Eigenwerte (Zahlen) und Eigenvektoren. Beispiele für Lösungen.

Vorlesung 9.

Lineare Koordinatentransformationen. Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix, ihre Eigenschaften. Charakteristisches Polynom einer Matrix, ihre Eigenschaften.

Wir werden das über die Menge der Vektoren sagenRgegeben Transformation A , wenn jeder Vektor X R nach einer Regel der Vektor A X R.

Definition 9.1.Konvertierung A angerufen linear, falls für irgendwelche Vektoren X Und bei und für jede reelle Zahl λ Es gelten folgende Gleichheiten:

A( X + bei )=A X+ A bei ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Definition 9.2.Die lineare Transformation heißt identisch, wenn es einen beliebigen Vektor transformiert X in dich hinein.

Die Identitätstransformation wird bezeichnet IHR X= X .

Betrachten Sie einen dreidimensionalen Raum mit einer Basis e 1 , e 2, e 3 , in dem eine lineare Transformation angegeben ist A. Wenn wir es auf die Basisvektoren anwenden, erhalten wir die Vektoren A e 1, A e 2, A e 3 Zugehörigkeit zu diesem dreidimensionalen Raum. Folglich kann jeder von ihnen eindeutig in Basisvektoren entwickelt werden:

A e 1 = eine 11 e 1+ ein 21 e 2+a 31 e 3,

A e 2 = eine 12 e 1+ ein 22 e 2+ eine 32 e 3 ,(9.2)

A e 3= eine 13 e 1+ ein 23 e 2+ eine 33 e 3 .

Matrix angerufen lineare Transformationsmatrix A in der Basis e 1 , e 2, e 3 . Die Spalten dieser Matrix bestehen aus den Koeffizienten in den Basistransformationsformeln (9.2).

Kommentar. Offensichtlich ist die Identitätstransformationsmatrix die Identitätsmatrix E.

Für einen beliebigen Vektor X =x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 das Ergebnis der Anwendung einer linearen Transformation darauf A wird ein Vektor sein A X, die in Vektoren derselben Basis erweitert werden können: A X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , wo die KoordinatenX` ichkann mit den Formeln ermittelt werden:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .

Die Koeffizienten in den Formeln dieser linearen Transformation sind Elemente der Matrixzeilen A.

Lineare Transformationsmatrixtransformation

beim Umzug auf eine neue Basis.

Betrachten Sie eine lineare Transformation A und zwei Basen im dreidimensionalen Raum: e 1, e 2, e 3 Und e 1 , e 2 , e 3 . Die Matrix C definiere die Formeln für den Übergang von der Basis (e k) zur Basis ( e k). Wenn in der ersten dieser Basen die ausgewählte lineare Transformation durch die Matrix A und in der zweiten durch die Matrix gegeben ist A, dann können wir den Zusammenhang zwischen diesen Matrizen finden, nämlich:

A = C -1 A C(9.4)

Also tatsächlich A . Andererseits die Ergebnisse der Anwendung derselben linearen Transformation A in der Basis (e k), d.h. , und in der Basis (e k ): bzw. - verbunden durch die Matrix MIT: , woraus folgt CA= A MIT. Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichheit von links mit MIT-1 , bekommen wir MIT -1 CA= = C -1 A MIT, was die Gültigkeit der Formel (9.4) beweist.

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix.

Definition 9.3.Vektor X angerufen Eigenvektor Matrizen A, wenn es eine solche Zahl gibt λ, dass die Gleichheit gilt: A X= λ X, das heißt, das Ergebnis der Bewerbung bei X lineare Transformation, die durch die Matrix angegeben wird A ist die Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl λ . Die Nummer selbst λ angerufen Eigenwert Matrizen A.

Einsetzen in Formeln (9.3)X` J = λ x j, wir erhalten ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten des Eigenvektors:

Von hier

.(9.5)

Das linear homogen Ein System hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Hauptdeterminante 0 ist (Cramer-Regel). Indem Sie diese Bedingung in das Formular schreiben:

wir erhalten eine Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte λ , angerufen charakteristische Gleichung. Kurz gesagt lässt es sich wie folgt darstellen:

| A -λ E | = 0,(9.6)

da seine linke Seite die Determinante der Matrix enthält A- λE. Polynom relativ λ| A -λ E| angerufen charakteristisches Polynom Matrizen A.

Eigenschaften des charakteristischen Polynoms:

1) Das charakteristische Polynom einer linearen Transformation hängt nicht von der Wahl der Basis ab. Beweis. (siehe (9.4)), aber somit, . Es kommt also nicht auf die Wahl der Basis an. Das bedeutet, dass |A-λ E| ändert sich beim Wechsel auf eine neue Basis nicht.

2) Wenn Matrix A lineare Transformation ist symmetrisch(diese. A ij= ein ji), dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung (9.6) reelle Zahlen.

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren:

1) Wenn wir eine Basis aus den Eigenvektoren wählen x1, x2, x3 , entsprechend den Eigenwerten λ 1, λ 2, λ 3 Matrizen A, dann hat die lineare Transformation A in dieser Basis eine Matrix diagonaler Form:

(9.7) Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus der Definition von Eigenvektoren.

2) Wenn die Transformation Eigenwerte ist A unterschiedlich sind, dann sind ihre entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig.

3) Wenn das charakteristische Polynom der Matrix A hat drei verschiedene Wurzeln, dann in gewisser Weise die Matrix A hat ein diagonales Aussehen.

Beispiel.

Finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix C und verlassen wir die charakteristische Gleichung: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Lassen Sie uns die Koordinaten der Eigenvektoren ermitteln, die jedem gefundenen Wert entsprechen λ. Aus (9.5) folgt, dass if X (1) ={ X 1 , X 2 , X 3 ) – Eigenvektor entsprechend λ 1 = -2 also

- ein kooperatives, aber unsicheres System. Seine Lösung kann in der Form geschrieben werden X (1) ={ A,0,- A), wobei a eine beliebige Zahl ist. Insbesondere wenn wir das verlangen |X (1) |=1, X (1) =

Einsetzen in das System (9.5) λ 2 =3, wir erhalten ein System zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten Eigenvektors -X (2) ={ j 1 , j 2 , j 3

Eigenwerte (Zahlen) und Eigenvektoren.
Beispiele für Lösungen

Sei du selbst

Aus beiden Gleichungen folgt das.

Sagen wir es mal so: .

Ergebend: – zweiter Eigenvektor.

Wiederholen wir die wichtigen Punkte der Entscheidung:

– das resultierende System hat sicherlich eine allgemeine Lösung (die Gleichungen sind linear abhängig);

– Wir wählen das „y“ so aus, dass es ganzzahlig ist und die erste „x“-Koordinate ganzzahlig, positiv und möglichst klein ist.

– Wir prüfen, ob die jeweilige Lösung jede Gleichung des Systems erfüllt.

Antwort .

Da es zwischenzeitliche „Kontrollpunkte“ in ausreichender Zahl gab, ist eine Überprüfung der Gleichstellung grundsätzlich nicht erforderlich.

In verschiedenen Informationsquellen werden die Koordinaten von Eigenvektoren oft nicht in Spalten, sondern in Zeilen geschrieben, zum Beispiel: (und ehrlich gesagt bin ich es selbst gewohnt, sie in Zeilen aufzuschreiben). Diese Option ist akzeptabel, aber angesichts des Themas lineare Transformationen technisch komfortabler zu bedienen Spaltenvektoren.

Vielleicht kam Ihnen die Lösung sehr langwierig vor, aber das liegt nur daran, dass ich das erste Beispiel ausführlich kommentiert habe.

Beispiel 2

Matrizen

Lasst uns alleine trainieren! Ein ungefähres Beispiel für eine Abschlussaufgabe am Ende der Lektion.

Manchmal müssen Sie eine zusätzliche Aufgabe erledigen, nämlich:

Schreiben Sie die kanonische Matrixzerlegung

Was ist das?

Wenn die Eigenvektoren der Matrixform Basis, dann kann es dargestellt werden als:

Wo ist eine Matrix, die aus Koordinaten von Eigenvektoren besteht, – Diagonale Matrix mit entsprechenden Eigenwerten.

Diese Matrixzerlegung wird aufgerufen kanonisch oder Diagonale.

Schauen wir uns die Matrix des ersten Beispiels an. Seine Eigenvektoren linear unabhängig(nichtkollinear) und bilden eine Basis. Erstellen wir eine Matrix ihrer Koordinaten:

An Hauptdiagonale Matrizen in der entsprechenden Reihenfolge die Eigenwerte werden lokalisiert und die restlichen Elemente sind gleich Null:
– Ich betone noch einmal die Wichtigkeit der Reihenfolge: „zwei“ entspricht dem 1. Vektor und steht daher in der 1. Spalte, „drei“ – dem 2. Vektor.

Verwenden des üblichen Algorithmus zum Finden inverse Matrix oder Gauß-Jordan-Methode wir finden . Nein, das ist kein Tippfehler! - Vor Ihnen liegt ein seltenes Ereignis, wie eine Sonnenfinsternis, bei der die Umkehrung mit der ursprünglichen Matrix zusammenfiel.

Es bleibt die kanonische Zerlegung der Matrix aufzuschreiben:

Das System kann mit elementaren Transformationen gelöst werden, und in den folgenden Beispielen werden wir auf diese Methode zurückgreifen. Aber hier funktioniert die „Schul“-Methode viel schneller. Aus der dritten Gleichung drücken wir Folgendes aus: – Ersetzen Sie in die zweite Gleichung:

Da die erste Koordinate Null ist, erhalten wir ein System, aus dem aus jeder Gleichung folgt:

Und wieder Achten Sie auf das zwingende Vorliegen einer linearen Beziehung. Wenn nur eine triviale Lösung erhalten wird , dann wurde entweder der Eigenwert falsch gefunden oder das System wurde mit einem Fehler kompiliert/gelöst.

Kompakte Koordinaten geben den Wert an

Eigenvektor:

Und noch einmal überprüfen wir, ob die Lösung gefunden wurde erfüllt jede Gleichung des Systems. In den folgenden Absätzen und in den folgenden Aufgaben empfehle ich, diesen Wunsch als verbindliche Regel zu berücksichtigen.

2) Für den Eigenwert erhalten wir nach dem gleichen Prinzip das folgende System:

Aus der 2. Gleichung des Systems drücken wir Folgendes aus: – Ersetzen Sie in die dritte Gleichung:

Da die „Zeta“-Koordinate gleich Null ist, erhalten wir aus jeder Gleichung ein System, aus dem eine lineare Abhängigkeit folgt.

Lassen

Überprüfen Sie, ob die Lösung vorliegt erfüllt jede Gleichung des Systems.

Somit ist der Eigenvektor: .

3) Und schließlich entspricht das System dem Eigenwert:

Die zweite Gleichung sieht am einfachsten aus, also lasst uns sie ausdrücken und in die erste und dritte Gleichung einsetzen:

Alles ist gut – es ist ein linearer Zusammenhang entstanden, den wir in den Ausdruck ersetzen:

Infolgedessen wurden „x“ und „y“ durch „z“ ausgedrückt: . In der Praxis ist es nicht notwendig, genau solche Beziehungen herzustellen; in manchen Fällen ist es bequemer, sowohl durch oder als auch durch auszudrücken. Oder sogar „trainieren“ – zum Beispiel „X“ bis „I“ und „I“ bis „Z“

Sagen wir es mal so:

Wir prüfen, ob die Lösung gefunden wurde erfüllt jede Gleichung des Systems und schreibt den dritten Eigenvektor

Antwort: Eigenvektoren:

Geometrisch definieren diese Vektoren drei verschiedene Raumrichtungen ("Dorthin und wieder zurück"), wonach lineare Transformation wandelt Nicht-Null-Vektoren (Eigenvektoren) in kollineare Vektoren um.

Wenn die Bedingung das Finden der kanonischen Zerlegung erforderte, dann ist dies hier möglich, weil Unterschiedliche Eigenwerte entsprechen unterschiedlichen linear unabhängigen Eigenvektoren. Eine Matrix erstellen aus ihren Koordinaten eine Diagonalmatrix aus relevant Eigenwerte und finden inverse Matrix .

Wenn Sie aufgrund der Bedingung schreiben müssen lineare Transformationsmatrix auf Basis von Eigenvektoren, dann geben wir die Antwort im Formular ein. Es gibt einen Unterschied, und der Unterschied ist erheblich! Denn diese Matrix ist die „de“-Matrix.

Ein Problem mit einfacheren Berechnungen, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 5

Finden Sie Eigenvektoren einer linearen Transformation, die durch eine Matrix gegeben ist

Versuchen Sie beim Finden Ihrer eigenen Zahlen, nicht bis zum Polynom 3. Grades zu gehen. Darüber hinaus können Ihre Systemlösungen von meinen Lösungen abweichen – eine Gewissheit besteht hier nicht; und die Vektoren, die Sie finden, können sich bis auf die Proportionalität ihrer jeweiligen Koordinaten von den Beispielvektoren unterscheiden. Zum Beispiel, und. Es ist ästhetisch ansprechender, die Antwort im Formular darzustellen, aber es ist in Ordnung, wenn Sie bei der zweiten Option stehen bleiben. Allerdings gibt es für alles vernünftige Grenzen, die Version sieht nicht mehr besonders gut aus.

Ein ungefähres Abschlussbeispiel der Aufgabe am Ende der Lektion.

Wie lässt sich das Problem bei mehreren Eigenwerten lösen?

Der allgemeine Algorithmus bleibt derselbe, weist jedoch seine eigenen Merkmale auf, und es ist ratsam, einige Teile der Lösung in einem strengeren akademischen Stil beizubehalten:

Beispiel 6

Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren

Lösung

Lassen Sie uns natürlich die fabelhafte erste Kolumne groß schreiben:

Und nach der Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

Als Ergebnis werden Eigenwerte erhalten, von denen zwei Vielfache sind.

Finden wir die Eigenvektoren:

1) Gehen wir nach einem „vereinfachten“ Schema mit einem Einzelsoldaten um:

Aus den letzten beiden Gleichungen ist die Gleichheit deutlich ersichtlich, die natürlich in die erste Gleichung des Systems eingesetzt werden sollte:

Eine bessere Kombination werden Sie nicht finden:
Eigenvektor:

2-3) Jetzt entfernen wir ein paar Wachposten. In diesem Fall kann es klappen entweder zwei oder eins Eigenvektor. Unabhängig von der Multiplizität der Wurzeln setzen wir den Wert in die Determinante ein was uns zum nächsten bringt homogenes System linearer Gleichungen:

Eigenvektoren sind exakt Vektoren
grundlegendes Lösungssystem

Tatsächlich haben wir während der gesamten Lektion nichts anderes getan, als die Vektoren des Fundamentalsystems zu finden. Nur war dieser Begriff vorerst nicht besonders erforderlich. Übrigens, diese klugen Studenten, die in Tarnanzügen das Thema verpasst haben homogene Gleichungen, wird jetzt gezwungen sein, es zu rauchen.

Die einzige Aktion bestand darin, die zusätzlichen Zeilen zu entfernen. Das Ergebnis ist eine Eins-mal-Drei-Matrix mit einem formalen „Schritt“ in der Mitte.
– Basisvariable, – freie Variablen. Es gibt also zwei freie Variablen Es gibt auch zwei Vektoren des Fundamentalsystems.

Lassen Sie uns die Basisvariable durch freie Variablen ausdrücken: . Durch den Nullmultiplikator vor dem „X“ kann es absolut beliebige Werte annehmen (was aus dem Gleichungssystem deutlich ersichtlich ist).

Im Kontext dieses Problems ist es bequemer, die allgemeine Lösung nicht in einer Zeile, sondern in einer Spalte zu schreiben:

Das Paar entspricht einem Eigenvektor:
Das Paar entspricht einem Eigenvektor:

Notiz : Erfahrene Leser können diese Vektoren mündlich auswählen – einfach durch Analyse des Systems , aber hier sind einige Kenntnisse erforderlich: Es gibt drei Variablen, Rang der Systemmatrix- eins, was bedeutet grundlegendes Entscheidungssystem besteht aus 3 – 1 = 2 Vektoren. Allerdings sind die gefundenen Vektoren auch ohne dieses Wissen, rein intuitiv, deutlich sichtbar. In diesem Fall wird der dritte Vektor noch „schöner“ geschrieben: . Ich warne Sie jedoch, dass in einem anderen Beispiel eine einfache Auswahl möglicherweise nicht möglich ist, weshalb die Klausel für erfahrene Personen gedacht ist. Warum nicht beispielsweise den dritten Vektor verwenden? Schließlich erfüllen seine Koordinaten auch jede Gleichung des Systems und der Vektoren linear unabhängig. Diese Option ist im Prinzip geeignet, aber „schief“, da der „andere“ Vektor eine Linearkombination von Vektoren des Fundamentalsystems ist.

Antwort: Eigenwerte: , Eigenvektoren:

Ein ähnliches Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 7

Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren

Ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs am Ende der Lektion.

Es ist zu beachten, dass sowohl im 6. als auch im 7. Beispiel ein Tripel linear unabhängiger Eigenvektoren erhalten wird und daher die ursprüngliche Matrix in der kanonischen Zerlegung darstellbar ist. Aber solche Himbeeren kommen nicht in allen Fällen vor:

Beispiel 8

Lösung: Lassen Sie uns die charakteristische Gleichung erstellen und lösen:

Erweitern wir die Determinante in der ersten Spalte:

Weitere Vereinfachungen führen wir nach der betrachteten Methode unter Vermeidung des Polynoms dritten Grades durch:

– Eigenwerte.

Finden wir die Eigenvektoren:

1) Es gibt keine Schwierigkeiten mit der Wurzel:

Wundern Sie sich nicht, neben dem Kit kommen auch Variablen zum Einsatz – hier gibt es keinen Unterschied.

Aus der 3. Gleichung drücken wir es aus und setzen es in die 1. und 2. Gleichung ein:

Aus beiden Gleichungen folgt:

Dann sei:

2-3) Für mehrere Werte erhalten wir das System .

Schreiben wir die Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Lineare Koordinatentransformationen. Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix, ihre Eigenschaften. Charakteristisches Polynom einer Matrix, ihre Eigenschaften.

Wir werden das über die Menge der Vektoren sagen R gegeben TransformationA , wenn jeder Vektor X R nach einer Regel der Vektor AX R.

Definition 9.1. Konvertierung A angerufen linear, falls für irgendwelche Vektoren X Und bei und für jede reelle Zahl λ Es gelten folgende Gleichheiten:

A(X + bei )=AX + Abei ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Definition 9.2. Die lineare Transformation heißt identisch, wenn es einen beliebigen Vektor transformiert X in dich hinein.

Die Identitätstransformation wird bezeichnet IHRX = X .

Betrachten Sie einen dreidimensionalen Raum mit einer Basis e 1 , e 2 , e 3 , in dem eine lineare Transformation angegeben ist A. Wenn wir es auf die Basisvektoren anwenden, erhalten wir die Vektoren Ae 1 , Ae 2 , Ae 3 Zugehörigkeit zu diesem dreidimensionalen Raum. Folglich kann jeder von ihnen eindeutig in Basisvektoren entwickelt werden:

Ae 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

Ae 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

Ae 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matrix
angerufen lineare TransformationsmatrixA in der Basis e 1 , e 2 , e 3 . Die Spalten dieser Matrix bestehen aus den Koeffizienten in den Basistransformationsformeln (9.2).

Kommentar. Offensichtlich ist die Identitätstransformationsmatrix die Identitätsmatrix E.

Für einen beliebigen Vektor X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 das Ergebnis der Anwendung einer linearen Transformation darauf A wird ein Vektor sein AX , die in Vektoren derselben Basis erweitert werden können: AX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , wo die Koordinaten X` ich kann mit den Formeln ermittelt werden:

X` 1 = a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 ,

x` 2 = a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .

Die Koeffizienten in den Formeln dieser linearen Transformation sind Elemente der Matrixzeilen A.

Lineare Transformationsmatrixtransformation

beim Umzug auf eine neue Basis.

Betrachten Sie eine lineare Transformation A und zwei Basen im dreidimensionalen Raum: e 1 , z 2 , e 3 Und e 1 , e 2 , e 3 . Die Matrix C definiere die Formeln für den Übergang von der Basis ( e k) zur Basis ( e k). Wenn in der ersten dieser Basen die gewählte lineare Transformation durch die Matrix A und in der zweiten durch die Matrix gegeben ist A, dann können wir den Zusammenhang zwischen diesen Matrizen finden, nämlich:

A = C -1 A C (9.4)

Wirklich,
, Dann A
. Andererseits die Ergebnisse der Anwendung derselben linearen Transformation A in der Basis ( e k), d.h. , und in der Basis ( e k ): jeweils - durch Matrix verbunden MIT:
, woraus folgt CA=A MIT. Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichheit von links mit MIT-1 , bekommen wir MIT - 1 CA = = C -1 A MIT, was die Gültigkeit der Formel (9.4) beweist.

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix.

Definition 9.3. Vektor X angerufen Eigenvektor Matrizen A, wenn es eine solche Zahl gibt λ, dass die Gleichheit gilt: AX = λ X , das heißt, das Ergebnis der Bewerbung bei X lineare Transformation, die durch die Matrix angegeben wird A ist die Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl λ . Die Nummer selbst λ angerufen Eigenwert Matrizen A.

Einsetzen in Formeln (9.3) X` J = λ X J , wir erhalten ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten des Eigenvektors:

. (9.5)

Dieses lineare homogene System hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Hauptdeterminante 0 ist (Cramer-Regel). Indem Sie diese Bedingung in das Formular schreiben:

wir erhalten eine Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte λ , angerufen charakteristische Gleichung. Kurz gesagt lässt es sich wie folgt darstellen:

| A - λ E| = 0, (9.6)

da seine linke Seite die Determinante der Matrix enthält A-λE. Polynom relativ λ | A - λ E| angerufen charakteristisches Polynom Matrizen A.

Eigenschaften des charakteristischen Polynoms:

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren:

Wenn wir eine Basis aus den Eigenvektoren wählen X 1 , X 2 , X 3 , entsprechend den Eigenwerten λ 1 , λ 2 , λ 3 Matrizen A, dann hat die lineare Transformation A in dieser Basis eine Matrix diagonaler Form:

(9.7) Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus der Definition von Eigenvektoren.

Wenn die Transformation Eigenwerte ist A unterschiedlich sind, dann sind ihre entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig.

Wenn das charakteristische Polynom der Matrix A hat drei verschiedene Wurzeln, dann in gewisser Weise die Matrix A hat ein diagonales Aussehen.

Finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Erstellen wir eine charakteristische Gleichung:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Lassen Sie uns die Koordinaten der Eigenvektoren ermitteln, die jedem gefundenen Wert entsprechen λ. Aus (9.5) folgt, dass if X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) – Eigenvektor entsprechend λ 1 = -2 also

- ein kooperatives, aber unsicheres System. Seine Lösung kann in der Form geschrieben werden X (1) ={A,0,-A), wobei a eine beliebige Zahl ist. Insbesondere wenn wir das verlangen | X (1) |=1,X (1) =

Einsetzen in das System (9.5) λ 2 =3, wir erhalten ein System zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten Eigenvektors - X (2) ={j 1 , j 2 , j 3 }:

, Wo X (2) ={B,- B, B) oder, sofern | X (2) |=1,X (2) =

Für λ 3 = 6 finde den Eigenvektor X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={C,2 C, C) oder in der normalisierten Version

X (3) =
Das kann man merken X (1) X (2) =ab – ab = 0,X (1) X (3) =ac – ac = 0,X (2) X (3) =v. Chr - 2v. Chr + v. Chr = 0. Somit sind die Eigenvektoren dieser Matrix paarweise orthogonal.

Definition 9.3. Vektor X angerufen Eigenvektor Matrizen A, wenn es eine solche Zahl gibt λ, dass die Gleichheit gilt: A X= λ X, das heißt, das Ergebnis der Bewerbung bei X lineare Transformation, die durch die Matrix angegeben wird A ist die Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl λ . Die Nummer selbst λ angerufen Eigenwert Matrizen A.

Einsetzen in Formeln (9.3) x` j = λx j , wir erhalten ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten des Eigenvektors:

. (9.5)

Dieses lineare homogene System hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Hauptdeterminante 0 ist (Cramer-Regel). Indem Sie diese Bedingung in das Formular schreiben:

wir erhalten eine Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte λ , angerufen charakteristische Gleichung. Kurz gesagt lässt es sich wie folgt darstellen:

| A - λE | = 0, (9.6)

da seine linke Seite die Determinante der Matrix enthält A-λE. Polynom relativ λ | A - λE| angerufen charakteristisches Polynom Matrizen A.

Eigenschaften des charakteristischen Polynoms:

1) Das charakteristische Polynom einer linearen Transformation hängt nicht von der Wahl der Basis ab. Nachweisen. (siehe (9.4)), aber somit, . Es kommt also nicht auf die Wahl der Basis an. Das bedeutet, dass | A-λE| ändert sich beim Wechsel auf eine neue Basis nicht.

2) Wenn die Matrix A lineare Transformation ist symmetrisch(diese. und ij =a ji), dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung (9.6) reelle Zahlen.

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren:

1) Wenn Sie eine Basis aus den Eigenvektoren wählen x1, x2, x3 , entsprechend den Eigenwerten λ 1, λ 2, λ 3 Matrizen A, dann hat die lineare Transformation A in dieser Basis eine Matrix diagonaler Form:

(9.7) Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus der Definition von Eigenvektoren.

2) Wenn die Eigenwerte der Transformation A unterschiedlich sind, dann sind ihre entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig.

3) Wenn das charakteristische Polynom der Matrix A hat drei verschiedene Wurzeln, dann in gewisser Weise die Matrix A hat ein diagonales Aussehen.

Finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. Erstellen wir eine charakteristische Gleichung: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Lassen Sie uns die Koordinaten der Eigenvektoren ermitteln, die jedem gefundenen Wert entsprechen λ. Aus (9.5) folgt, dass if X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – Eigenvektor entsprechend λ 1 = -2 also

- ein kooperatives, aber unsicheres System. Seine Lösung kann in der Form geschrieben werden X (1) ={A,0,-A), wobei a eine beliebige Zahl ist. Insbesondere wenn wir das verlangen | X (1) |=1, X (1) =

Einsetzen in das System (9.5) λ 2 =3, wir erhalten ein System zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten Eigenvektors - X (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, Wo X (2) ={b,-b,b) oder, sofern | X (2) |=1, X (2) =

Für λ 3 = 6 finde den Eigenvektor X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={C,2c,c) oder in der normalisierten Version

x (3) = Das kann man merken X (1) X (2) = ab–ab= 0, X (1) X (3) = Wechselstrom-Wechselstrom= 0, X (2) X (3) = v. Chr- 2v. Chr. + v. Chr= 0. Somit sind die Eigenvektoren dieser Matrix paarweise orthogonal.

Vorlesung 10.

Quadratische Formen und ihre Verbindung mit symmetrischen Matrizen. Eigenschaften von Eigenvektoren und Eigenwerten einer symmetrischen Matrix. Reduzieren einer quadratischen Form auf eine kanonische Form.

Definition 10.1.Quadratische Form reelle Variablen x 1, x 2,…, x n heißt in diesen Variablen ein Polynom zweiten Grades, das keinen freien Term und Terme ersten Grades enthält.

Beispiele für quadratische Formen:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Erinnern wir uns an die Definition einer symmetrischen Matrix aus der letzten Vorlesung:

Definition 10.2. Die quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn , das heißt, wenn die Matrixelemente, die symmetrisch zur Hauptdiagonale sind, gleich sind.

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix:

1) Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

Beweis (für N = 2).

Lassen Sie die Matrix A hat die Form: . Erstellen wir eine charakteristische Gleichung: