Δεκαδικά κλάσματα στα ρωσικά. Δεκαδική έννοια

Αυτό το άρθρο αφορά δεκαδικά. Εδώ θα κατανοήσουμε τον δεκαδικό συμβολισμό των κλασματικών αριθμών, θα εισαγάγουμε την έννοια του δεκαδικού κλάσματος και θα δώσουμε παραδείγματα δεκαδικών κλασμάτων. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τα ψηφία των δεκαδικών κλασμάτων και θα δώσουμε τα ονόματα των ψηφίων. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα, ας μιλήσουμε για περιοδικά και μη κλάσματα. Στη συνέχεια παραθέτουμε τις βασικές πράξεις με δεκαδικά κλάσματα. Συμπερασματικά, ας καθορίσουμε τη θέση των δεκαδικών κλασμάτων στη δέσμη συντεταγμένων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Δεκαδικός συμβολισμός κλασματικού αριθμού

Ανάγνωση δεκαδικών

Ας πούμε λίγα λόγια για τους κανόνες ανάγνωσης δεκαδικών κλασμάτων.

Τα δεκαδικά κλάσματα, τα οποία αντιστοιχούν σε σωστά συνηθισμένα κλάσματα, διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως αυτά τα συνηθισμένα κλάσματα, πρώτα προστίθεται μόνο «μηδενικός ακέραιος». Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 0,12 αντιστοιχεί στο κοινό κλάσμα 12/100 (διαβάζεται "δώδεκα εκατοστά"), επομένως, το 0,12 διαβάζεται ως "σημείο μηδέν δώδεκα εκατοστά".

Τα δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν σε μεικτούς αριθμούς διαβάζονται ακριβώς το ίδιο με αυτούς τους μικτούς αριθμούς. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 56.002 αντιστοιχεί σε έναν μεικτό αριθμό, οπότε το δεκαδικό κλάσμα 56.002 διαβάζεται ως "πενήντα έξι σημεία δύο χιλιοστά".

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Στη γραφή δεκαδικών κλασμάτων, καθώς και στη σύνταξη φυσικών αριθμών, η σημασία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Πράγματι, ο αριθμός 3 στο δεκαδικό κλάσμα 0,3 σημαίνει τρία δέκατα, στο δεκαδικό κλάσμα 0,0003 - τρία δέκα χιλιοστά και στο δεκαδικό κλάσμα 30.000,152 - τρεις δεκάδες χιλιάδες. Μπορούμε λοιπόν να μιλήσουμε για δεκαδικά ψηφία, καθώς και για τα ψηφία των φυσικών αριθμών.

Τα ονόματα των ψηφίων στο δεκαδικό κλάσμα μέχρι την υποδιαστολή συμπίπτουν πλήρως με τα ονόματα των ψηφίων σε φυσικούς αριθμούς. Και τα ονόματα των δεκαδικών ψηφίων μετά την υποδιαστολή φαίνονται από τον παρακάτω πίνακα.

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 37.051, το ψηφίο 3 είναι στη θέση των δεκάδων, το 7 είναι στη θέση των μονάδων, το 0 είναι στη δέκατη θέση, το 5 είναι στη θέση των εκατοστών και το 1 είναι στη θέση των χιλιοστών.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα διαφέρουν επίσης ως προς την προτεραιότητα. Αν γράφοντας ένα δεκαδικό κλάσμα μετακινούμαστε από ψηφίο σε ψηφίο από αριστερά προς τα δεξιά, τότε θα μετακινηθούμε από ηλικιωμένουςΠρος την κατώτερες τάξεις. Για παράδειγμα, η θέση εκατοντάδων είναι μεγαλύτερη από τη δέκατη θέση και η θέση εκατομμυρίων είναι χαμηλότερη από τη θέση εκατοστών. Σε ένα δεδομένο τελικό δεκαδικό κλάσμα, μπορούμε να μιλήσουμε για τα μείζονα και τα δευτερεύοντα ψηφία. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 604,9387 ανώτερος (υψηλότερος)το μέρος είναι το εκατοντάδες μέρος, και junior (χαμηλότερο)- ψηφίο δέκα χιλιάδων.

Για τα δεκαδικά κλάσματα, πραγματοποιείται επέκταση σε ψηφία. Είναι παρόμοιο με την επέκταση σε ψηφία φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, η επέκταση σε δεκαδικά ψηφία του 45,6072 είναι η εξής: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Και οι ιδιότητες της πρόσθεσης από την αποσύνθεση ενός δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία σας επιτρέπουν να προχωρήσετε σε άλλες αναπαραστάσεις αυτού του δεκαδικού κλάσματος, για παράδειγμα, 45,6072=45+0,6072, ή 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ή 45,6072+ 0,6.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί

Μέχρι αυτό το σημείο, μιλήσαμε μόνο για δεκαδικά κλάσματα, στη σημειογραφία των οποίων υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται πεπερασμένα δεκαδικά.

Ορισμός.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, οι εγγραφές των οποίων περιέχουν πεπερασμένο αριθμό χαρακτήρων (ψηφία).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα τελικών δεκαδικών κλασμάτων: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Ωστόσο, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε κλάσμα ως τελικό δεκαδικό. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/13 δεν μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ίσο κλάσμα με έναν από τους παρονομαστές 10, 100, ..., επομένως, δεν μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα. Θα μιλήσουμε περισσότερο για αυτό στην ενότητα της θεωρίας, μετατρέποντας τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά.

Άπειροι δεκαδικοί: Περιοδικά κλάσματα και μη περιοδικά κλάσματα

Όταν γράφετε ένα δεκαδικό κλάσμα μετά την υποδιαστολή, μπορείτε να υποθέσετε την πιθανότητα ενός άπειρου αριθμού ψηφίων. Σε αυτή την περίπτωση, θα εξετάσουμε τα λεγόμενα άπειρα δεκαδικά κλάσματα.

Ορισμός.

Άπειρα δεκαδικά- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, που περιέχουν άπειρο αριθμό ψηφίων.

Είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να γράψουμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα σε πλήρη μορφή, έτσι στην καταγραφή τους περιοριζόμαστε μόνο σε έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή και βάζουμε μια έλλειψη που δείχνει μια απεριόριστα συνεχόμενη ακολουθία ψηφίων. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα άπειρων δεκαδικών κλασμάτων: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα δύο τελευταία άπειρα δεκαδικά κλάσματα, τότε στο κλάσμα 2.111111111... ο ατέλειωτα επαναλαμβανόμενος αριθμός 1 φαίνεται καθαρά και στο κλάσμα 69.74152152152..., ξεκινώντας από το τρίτο δεκαδικό ψηφίο, μια επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών Τα 1, 5 και 2 είναι καθαρά ορατά. Τέτοια άπειρα δεκαδικά κλάσματα ονομάζονται περιοδικά.

Ορισμός.

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί(ή απλά περιοδικά κλάσματα) είναι ατελείωτα δεκαδικά κλάσματα, στην καταγραφή των οποίων, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο, επαναλαμβάνεται ατελείωτα κάποιος αριθμός ή ομάδα αριθμών, που λέγεται περίοδος του κλάσματος.

Για παράδειγμα, η περίοδος του περιοδικού κλάσματος 2.111111111... είναι το ψηφίο 1 και η περίοδος του κλάσματος 69.74152152152... είναι μια ομάδα ψηφίων της μορφής 152.

Για άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, υιοθετείται μια ειδική μορφή σημειογραφίας. Για συντομία, συμφωνήσαμε να γράψουμε την περίοδο μία φορά, κλείνοντάς την σε παρένθεση. Για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα 2.111111111... γράφεται ως 2,(1) και το περιοδικό κλάσμα 69.74152152152... γράφεται ως 69.74(152) .

Αξίζει να σημειωθεί ότι μπορούν να καθοριστούν διαφορετικές περίοδοι για το ίδιο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 0,73333... μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα 0,7(3) με περίοδο 3, και επίσης ως κλάσμα 0,7(33) με περίοδο 33, και ούτω καθεξής 0,7(333), 0,7 (3333), ... Μπορείτε επίσης να δείτε το περιοδικό κλάσμα 0,73333 ... ως εξής: 0,733(3), ή όπως αυτό 0,73(333) κ.λπ. Εδώ, για να αποφευχθούν ασάφειες και αποκλίσεις, συμφωνούμε να θεωρήσουμε ως περίοδο ενός δεκαδικού κλάσματος τη συντομότερη από όλες τις πιθανές ακολουθίες επαναλαμβανόμενων ψηφίων και ξεκινώντας από την πλησιέστερη θέση στην υποδιαστολή. Δηλαδή, η περίοδος του δεκαδικού κλάσματος 0,73333... θα θεωρείται ακολουθία ενός ψηφίου 3, και η περιοδικότητα ξεκινά από τη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 0,73333...=0,7(3). Άλλο παράδειγμα: το περιοδικό κλάσμα 4,7412121212... έχει περίοδο 12, η περιοδικότητα ξεκινά από το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 4,7412121212...=4,74(12).

Τα άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα λαμβάνονται μετατρέποντας σε δεκαδικά κλάσματα συνηθισμένα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές περιέχουν πρώτους παράγοντες διαφορετικούς από το 2 και το 5.

Εδώ αξίζει να αναφέρουμε περιοδικά κλάσματα με περίοδο 9. Ας δώσουμε παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων: 6.43(9) , 27,(9) . Αυτά τα κλάσματα είναι ένας άλλος συμβολισμός για περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0 και συνήθως αντικαθίστανται από περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0. Για να γίνει αυτό, η περίοδος 9 αντικαθίσταται από την περίοδο 0 και η τιμή του επόμενου υψηλότερου ψηφίου αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ένα κλάσμα με τελεία 9 της μορφής 7.24(9) αντικαθίσταται από ένα περιοδικό κλάσμα με περίοδο 0 της μορφής 7.25(0) ή ένα ίσο τελικό δεκαδικό κλάσμα 7.25. Ένα άλλο παράδειγμα: 4,(9)=5,(0)=5. Η ισότητα ενός κλάσματος με περίοδο 9 και του αντίστοιχου κλάσματος με περίοδο 0 καθορίζεται εύκολα μετά την αντικατάσταση αυτών των δεκαδικών κλασμάτων με ίσα συνηθισμένα κλάσματα.

Τέλος, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα άπειρα δεκαδικά κλάσματα, τα οποία δεν περιέχουν μια ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων. Ονομάζονται μη περιοδικές.

Ορισμός.

Μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία(ή απλά μη περιοδικά κλάσματα) είναι άπειρα δεκαδικά κλάσματα που δεν έχουν τελεία.

Μερικές φορές τα μη περιοδικά κλάσματα έχουν μορφή παρόμοια με αυτή των περιοδικών κλασμάτων, για παράδειγμα, το 8.02002000200002... είναι ένα μη περιοδικό κλάσμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, θα πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί για να παρατηρήσετε τη διαφορά.

Σημειώστε ότι τα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα.

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Μία από τις πράξεις με δεκαδικά κλάσματα είναι η σύγκριση και ορίζονται επίσης οι τέσσερις βασικές αριθμητικές συναρτήσεις πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Ας εξετάσουμε ξεχωριστά κάθε μία από τις ενέργειες με δεκαδικά κλάσματα.

Σύγκριση δεκαδικώνβασίζονται ουσιαστικά στη σύγκριση των συνηθισμένων κλασμάτων που αντιστοιχούν στα δεκαδικά κλάσματα που συγκρίνονται. Ωστόσο, η μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα είναι μια διαδικασία που απαιτεί αρκετά κόπο και τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα συνηθισμένο κλάσμα, επομένως είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί μια τοπικά σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων. Η χωρικά σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων είναι παρόμοια με τη σύγκριση φυσικών αριθμών. Για πιο λεπτομερείς πληροφορίες, συνιστούμε να μελετήσετε το άρθρο: σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα - πολλαπλασιάζοντας δεκαδικούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται παρόμοια με την αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνων, παραδειγμάτων, λύσεων πολλαπλασιασμού με στήλη φυσικών αριθμών. Στην περίπτωση περιοδικών κλασμάτων, ο πολλαπλασιασμός μπορεί να αναχθεί σε πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων. Με τη σειρά του, ο πολλαπλασιασμός των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων μετά τη στρογγυλοποίησή τους ανάγεται στον πολλαπλασιασμό των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων. Συνιστούμε για περαιτέρω μελέτη του υλικού στο άρθρο: πολλαπλασιασμό δεκαδικών κλασμάτων, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Δεκαδικοί αριθμοί σε μια ακτίνα συντεταγμένων

Υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ σημείων και δεκαδικών.

Ας δούμε πώς κατασκευάζονται σημεία στην ακτίνα συντεταγμένων που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο δεκαδικό κλάσμα.

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα και τα άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα με ίσα συνηθισμένα κλάσματα και στη συνέχεια να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα στην ακτίνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 1.4 αντιστοιχεί στο κοινό κλάσμα 14/10, επομένως το σημείο με συντεταγμένη 1.4 αφαιρείται από την αρχή στη θετική κατεύθυνση κατά 14 τμήματα ίσα με το ένα δέκατο του τμήματος μονάδας.

Τα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να σημειωθούν σε μια ακτίνα συντεταγμένων, ξεκινώντας από την αποσύνθεση ενός δεδομένου δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία. Για παράδειγμα, ας χρειαστεί να οικοδομήσουμε ένα σημείο με συντεταγμένη 16.3007, αφού 16.3007=16+0.3+0.0007, τότε μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό το σημείο τοποθετώντας διαδοχικά 16 τμήματα μονάδας από την αρχή των συντεταγμένων, 3 τμήματα με μήκος ίσο με ένα δέκατο μιας μονάδας και 7 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το δέκατο χιλιοστό του μοναδιαίου τμήματος.

Αυτή η μέθοδος κατασκευής δεκαδικών αριθμών σε μια ακτίνα συντεταγμένων σας επιτρέπει να πλησιάσετε όσο θέλετε στο σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Μερικές φορές είναι δυνατό να σχεδιάσουμε με ακρίβεια το σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, , τότε αυτό το άπειρο δεκαδικό κλάσμα 1,41421... αντιστοιχεί σε ένα σημείο της ακτίνας συντεταγμένων, που απέχει από την αρχή των συντεταγμένων κατά το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά 1 μονάδας τμήματος.

Η αντίστροφη διαδικασία λήψης του δεκαδικού κλάσματος που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο σε μια ακτίνα συντεταγμένων είναι η λεγόμενη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος. Ας καταλάβουμε πώς γίνεται.

Ας είναι το καθήκον μας να φτάσουμε από την αρχή σε ένα δεδομένο σημείο της γραμμής συντεταγμένων (ή να το προσεγγίσουμε άπειρα αν δεν μπορούμε να το φτάσουμε). Με τη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος, μπορούμε διαδοχικά να αφαιρέσουμε από την αρχή οποιονδήποτε αριθμό μονάδων τμημάτων, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το ένα δέκατο της μονάδας, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το εκατοστό της μονάδας κ.λπ. Καταγράφοντας τον αριθμό των τμημάτων κάθε μήκους που παραμερίζονται, λαμβάνουμε το δεκαδικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο της ακτίνας συντεταγμένων.

Για παράδειγμα, για να φτάσετε στο σημείο M στο παραπάνω σχήμα, πρέπει να αφήσετε κατά μέρος 1 τμήμα μονάδας και 4 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το ένα δέκατο της μονάδας. Έτσι, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα 1.4.

Είναι σαφές ότι τα σημεία της ακτίνας συντεταγμένων, τα οποία δεν μπορούν να προσεγγιστούν στη διαδικασία της δεκαδικής μέτρησης, αντιστοιχούν σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα.

Βιβλιογραφία.

Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Ένα κοινό κλάσμα (ή μεικτός αριθμός) στο οποίο ο παρονομαστής είναι ένας ακολουθούμενος από ένα ή περισσότερα μηδενικά (δηλαδή 10, 100, 1000, κ.λπ.):

μπορεί να γραφτεί με απλούστερη μορφή: χωρίς παρονομαστή, χωρίζοντας τα ακέραια και κλασματικά μέρη το ένα από το άλλο με κόμμα (σε αυτή την περίπτωση, θεωρείται ότι το ακέραιο μέρος ενός κατάλληλου κλάσματος είναι ίσο με 0). Πρώτα γράφεται ολόκληρο το μέρος, μετά τοποθετείται κόμμα και μετά γράφεται το κλασματικό μέρος:

Τα κοινά κλάσματα (ή μικτοί αριθμοί) που γράφονται με αυτή τη μορφή ονομάζονται δεκαδικά.

Ανάγνωση και γραφή δεκαδικών αριθμών

Τα δεκαδικά κλάσματα γράφονται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή φυσικών αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι στα δεκαδικά, όπως και στους φυσικούς αριθμούς, κάθε ψηφίο εκφράζει μονάδες που είναι δέκα φορές μεγαλύτερες από τις γειτονικές μονάδες προς τα δεξιά.

Σκεφτείτε την ακόλουθη καταχώρηση:

Ο αριθμός 8 αντιπροσωπεύει τις πρώτες μονάδες. Ο αριθμός 3 σημαίνει μονάδες που είναι 10 φορές μικρότερες από τις απλές μονάδες, δηλαδή τα δέκατα. Το 4 σημαίνει εκατοστά, 2 σημαίνει χιλιοστά κ.λπ.

Καλούνται οι αριθμοί που εμφανίζονται δεξιά μετά την υποδιαστολή δεκαδικά.

Τα δεκαδικά κλάσματα διαβάζονται ως εξής: πρώτα καλείται ολόκληρο το μέρος και μετά το κλασματικό μέρος. Όταν διαβάζετε ένα ολόκληρο μέρος, θα πρέπει πάντα να απαντά στην ερώτηση: πόσες ολόκληρες μονάδες υπάρχουν σε ολόκληρο το μέρος; . Η λέξη ολόκληρος (ή ακέραιος) προστίθεται στην απάντηση, ανάλογα με τον αριθμό των ακέραιων μονάδων. Για παράδειγμα, ένας ακέραιος, δύο ακέραιοι, τρεις ακέραιοι κ.λπ. Κατά την ανάγνωση του κλασματικού μέρους, καλείται ο αριθμός των μετοχών και στο τέλος προσθέτουν το όνομα αυτών των μετοχών με τις οποίες τελειώνει το κλασματικό μέρος:

Το 3.1 έχει ως εξής: τρία σημεία ένα.

Το 2.017 διαβάζεται ως εξής: δύο σημεία δεκαεπτά χιλιοστά.

Για να κατανοήσετε καλύτερα τους κανόνες για τη γραφή και την ανάγνωση δεκαδικών κλασμάτων, εξετάστε τον πίνακα ψηφίων και τα παραδείγματα γραφής αριθμών που δίνονται σε αυτόν:

Σημειώστε ότι μετά την υποδιαστολή υπάρχουν τόσα ψηφία όσα και μηδενικά στον παρονομαστή του αντίστοιχου συνηθισμένου κλάσματος:

Τα δεκαδικά κλάσματα είναι τα ίδια με τα συνηθισμένα κλάσματα, αλλά με τη λεγόμενη δεκαδική σημείωση. Ο δεκαδικός συμβολισμός χρησιμοποιείται για κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000 κ.λπ. Αντί για κλάσματα, 1/10. 1/100; 1/1000; ... γράψτε 0,1; 0,01; 0,001;... .

Για παράδειγμα, 0,7 ( σημείο μηδέν επτά) είναι κλάσμα 7/10. 5,43 ( πέντε πόντοι σαράντα τρία) είναι ένα μικτό κλάσμα 5 43/100 (ή, που είναι το ίδιο, ένα ακατάλληλο κλάσμα 543/100).

Μπορεί να συμβεί να υπάρχουν ένα ή περισσότερα μηδενικά αμέσως μετά την υποδιαστολή: 1,03 είναι το κλάσμα 1 3/100. 17.0087 είναι το κλάσμα 17 87/10000. Ο γενικός κανόνας είναι: ο παρονομαστής ενός κοινού κλάσματος πρέπει να έχει τόσα μηδενικά όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα.

Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά. Αποδεικνύεται ότι αυτά τα μηδενικά είναι "έξτρα" - μπορούν απλά να αφαιρεθούν: 1,30 = 1,3. 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Μάθετε γιατί συμβαίνει αυτό;

Οι δεκαδικοί εμφανίζονται φυσικά όταν διαιρούνται με «στρογγυλούς» αριθμούς - 10, 100, 1000, ... Φροντίστε να κατανοήσετε τα ακόλουθα παραδείγματα:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Παρατηρείτε κάποιο μοτίβο εδώ; Προσπάθησε να το διατυπώσεις. Τι συμβαίνει αν πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000;

Για να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, πρέπει να το μειώσετε σε κάποιον «στρογγυλό» παρονομαστή:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5, κ.λπ.

Η προσθήκη δεκαδικών είναι πολύ πιο εύκολη από την προσθήκη κλασμάτων. Η πρόσθεση εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς - σύμφωνα με τα αντίστοιχα ψηφία. Κατά την προσθήκη σε μια στήλη, οι όροι πρέπει να γράφονται έτσι ώστε τα κόμματά τους να βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο. Το κόμμα του αθροίσματος θα βρίσκεται επίσης στον ίδιο κατακόρυφο. Η αφαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Εάν, κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση σε ένα από τα κλάσματα, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή είναι μικρότερος από ό,τι στο άλλο, τότε ο απαιτούμενος αριθμός μηδενικών θα πρέπει να προστεθεί στο τέλος αυτού του κλάσματος. Δεν μπορείτε να προσθέσετε αυτά τα μηδενικά, αλλά απλά να τα φανταστείτε στο μυαλό σας.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων, θα πρέπει και πάλι να πολλαπλασιάζονται ως συνηθισμένοι αριθμοί (δεν είναι πλέον απαραίτητο να γράψετε κόμμα κάτω από την υποδιαστολή). Στο αποτέλεσμα που προκύπτει, πρέπει να διαχωρίσετε με κόμμα έναν αριθμό ψηφίων ίσο με τον συνολικό αριθμό των δεκαδικών ψηφίων και στους δύο παράγοντες.

Κατά τη διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, μπορείτε να μετακινήσετε ταυτόχρονα την υποδιαστολή στο μέρισμα και τον διαιρέτη προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό θέσεων: αυτό δεν θα αλλάξει το πηλίκο:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Εξηγήστε γιατί συμβαίνει αυτό;

Σχεδιάστε ένα τετράγωνο 10x10. Βάψτε ένα μέρος του ίσο με: α) 0,02; β) 0,7; γ) 0,57; δ) 0,91; ε) 0,135 εμβαδόν ολόκληρης της πλατείας.
Τι είναι το 2,43 τετράγωνο; Σχεδιάστε το σε μια εικόνα.
Διαιρέστε τον αριθμό 37 με το 10. 795; 4; 2.3; 65,27; 0,48 και γράψτε το αποτέλεσμα ως δεκαδικό κλάσμα. Διαιρέστε τους ίδιους αριθμούς με το 100 και το 1000.
Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς 4,6 επί 10. 6.52; 23.095; 0,01999. Πολλαπλασιάστε τους ίδιους αριθμούς με το 100 και το 1000.
Να παραστήσετε το δεκαδικό ως κλάσμα και να το μειώσετε:
α) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
β) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
γ) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
δ) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
Παρουσιάζεται ως μικτό κλάσμα: 1,5; 3.2; 6.6; 2.25; 10,75; 4.125; 23.005; 7,0125.
Εκφράστε ένα κλάσμα ως δεκαδικό:
α) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
β) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
γ) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
δ) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
Να βρείτε το άθροισμα: α) 7,3+12,8; β) 65,14+49,76; γ) 3,762+12,85; δ) 85,4+129,756; ε) 1,44+2,56.
Σκεφτείτε το ένα ως το άθροισμα δύο δεκαδικών. Βρείτε είκοσι ακόμη τρόπους αυτής της αναπαράστασης.
Βρείτε τη διαφορά: α) 13,4–8,7; β) 74,52–27,04; γ) 49.736–43.45; δ) 127,24–93,883; ε) 67–52,07; ε) 35,24–34,9975.
Βρείτε το γινόμενο: α) 7,6·3,8; β) 4,8·12,5; γ) 2,39·7,4; δ) 3,74·9,65.

κλασματικός αριθμός.

Δεκαδικός συμβολισμός κλασματικού αριθμούείναι ένα σύνολο δύο ή περισσότερων ψηφίων από $0$ έως $9$, μεταξύ των οποίων υπάρχει το λεγόμενο \textit (δεκαδικό σημείο).

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, $35,02 $; 100,7 $; $123\$456,5; $54,89 $.

Το αριστερό ψηφίο στον δεκαδικό συμβολισμό ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι μηδέν, η μόνη εξαίρεση είναι η περίπτωση που η υποδιαστολή βρίσκεται αμέσως μετά το πρώτο ψηφίο $0$.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, $0,357$; $0,064 $.

Συχνά η υποδιαστολή αντικαθίσταται με μια υποδιαστολή. Για παράδειγμα, $35,02 $; 100,7 $; $123\456,5 $; $54,89 $.

Δεκαδικός ορισμός

Ορισμός 1

Δεκαδικά-- αυτοί είναι κλασματικοί αριθμοί που αναπαρίστανται με δεκαδικό συμβολισμό.

Για παράδειγμα, 121,05 $. $67,9 $; $345,6700 $.

Οι δεκαδικοί χρησιμοποιούνται για την πιο συμπαγή εγγραφή των κατάλληλων κλασμάτων, οι παρονομαστές των οποίων είναι οι αριθμοί $10$, $100$, $1\000$ κ.λπ. και μεικτούς αριθμούς, οι παρονομαστές του κλασματικού μέρους των οποίων είναι οι αριθμοί $10$, $100$, $1\000$ κ.λπ.

Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα $\frac(8)(10)$ μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό $0,8$ και ο μεικτός αριθμός $405\frac(8)(100)$ μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό $405,08$.

Ανάγνωση δεκαδικών

Τα δεκαδικά κλάσματα, που αντιστοιχούν σε κανονικά κλάσματα, διαβάζονται το ίδιο με τα συνηθισμένα κλάσματα, μόνο η φράση «μηδενικός ακέραιος» προστίθεται μπροστά. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα $\frac(25)(100)$ (διαβάστε "είκοσι πέντε εκατοστά") αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα $0,25$ (διαβάστε "σημείο μηδέν εικοσιπέντε εκατοστά").

Τα δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν σε μεικτούς αριθμούς διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως και οι μικτές. Για παράδειγμα, ο μεικτός αριθμός $43\frac(15)(1000)$ αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα $43,015$ (διαβάστε "σαράντα τρία σημεία δεκαπέντε χιλιοστά").

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Κατά τη σύνταξη ενός δεκαδικού κλάσματος, η σημασία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Εκείνοι. στα δεκαδικά κλάσματα ισχύει και η έννοια κατηγορία.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα μέχρι την υποδιαστολή ονομάζονται ίδια με τις θέσεις στους φυσικούς αριθμούς. Τα δεκαδικά ψηφία μετά την υποδιαστολή παρατίθενται στον πίνακα:

Εικόνα 1.

Παράδειγμα 3

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα $56,328$, το ψηφίο $5$ είναι στη θέση των δεκάδων, $6$ είναι στη θέση των μονάδων, $3$ είναι στη δέκατη θέση, $2$ είναι στη θέση εκατοστών, $8$ είναι στα χιλιοστά θέση.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα διακρίνονται με προτεραιότητα. Όταν διαβάζετε ένα δεκαδικό κλάσμα, μετακινηθείτε από αριστερά προς τα δεξιά - από αρχαιότεροςκατάταξη σε πιο ΝΕΟΣ.

Παράδειγμα 4

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα $56,328$, η πιο σημαντική (υψηλότερη) θέση είναι η θέση των δεκάδων και η χαμηλή (χαμηλότερη) θέση είναι η χιλιοστή.

Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να επεκταθεί σε ψηφία παρόμοια με την ψηφιακή αποσύνθεση ενός φυσικού αριθμού.

Παράδειγμα 5

Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε το δεκαδικό κλάσμα $37,851$ σε ψηφία:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί

Ορισμός 2

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοίονομάζονται δεκαδικά κλάσματα, οι εγγραφές των οποίων περιέχουν πεπερασμένο αριθμό χαρακτήρων (ψηφία).

Για παράδειγμα, $0,138$; $5,34 $; $56,123456 $; 350.972,54 $.

Οποιοδήποτε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα ή μεικτό αριθμό.

Παράδειγμα 6

Για παράδειγμα, το τελικό δεκαδικό κλάσμα $7,39$ αντιστοιχεί στον κλασματικό αριθμό $7\frac(39)(100)$ και το τελικό δεκαδικό κλάσμα $0,5$ αντιστοιχεί στο σωστό κοινό κλάσμα $\frac(5)(10)$ (ή οποιοδήποτε κλάσμα είναι ίσο με αυτό, για παράδειγμα, $\frac(1)(2)$ ή $\frac(10)(20)$.

Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό

Μετατροπή κλασμάτων με παρονομαστές $10, 100, \dots$ σε δεκαδικά

Πριν μετατρέψετε ορισμένα σωστά κλάσματα σε δεκαδικά, πρέπει πρώτα να «προετοιμαστούν». Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας προετοιμασίας θα πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός ψηφίων στον αριθμητή και ο ίδιος αριθμός μηδενικών στον παρονομαστή.

Η ουσία της «προκαταρκτικής προετοιμασίας» των κατάλληλων συνηθισμένων κλασμάτων για τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα είναι η προσθήκη ενός τέτοιου αριθμού μηδενικών προς τα αριστερά στον αριθμητή που ο συνολικός αριθμός των ψηφίων γίνεται ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή.

Παράδειγμα 7

Για παράδειγμα, ας προετοιμάσουμε το κλάσμα $\frac(43)(1000)$ για μετατροπή σε δεκαδικό και πάρουμε $\frac(043)(1000)$. Και το συνηθισμένο κλάσμα $\frac(83)(100)$ δεν χρειάζεται προετοιμασία.

Ας διατυπώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ενός σωστού κοινού κλάσματος με παρονομαστή $10$, ή $100$, ή $1\000$, $\dots$ σε δεκαδικό κλάσμα:

γράψτε $0$;

αφού έβαλε υποδιαστολή?

Σημειώστε τον αριθμό από τον αριθμητή (μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν μετά την προετοιμασία, εάν χρειάζεται).

Παράδειγμα 8

Μετατρέψτε το σωστό κλάσμα $\frac(23)(100)$ σε δεκαδικό.

Λύση.

Ο παρονομαστής περιέχει τον αριθμό $100$, ο οποίος περιέχει $2$ και δύο μηδενικά. Ο αριθμητής περιέχει τον αριθμό $23$, ο οποίος γράφεται με $2$.ψηφία. Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να προετοιμάσετε αυτό το κλάσμα για μετατροπή σε δεκαδικό.

Ας γράψουμε $0$, βάλουμε μια υποδιαστολή και γράψουμε τον αριθμό $23$ από τον αριθμητή. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα $0,23$.

Απάντηση: $0,23$.

Παράδειγμα 9

Γράψτε το σωστό κλάσμα $\frac(351)(100000)$ ως δεκαδικό.

Λύση.

Ο αριθμητής αυτού του κλάσματος περιέχει ψηφία $3$ και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή είναι $5$, επομένως αυτό το συνηθισμένο κλάσμα πρέπει να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να προσθέσετε μηδενικά $5-3=2$ στα αριστερά στον αριθμητή: $\frac(00351)(100000)$.

Τώρα μπορούμε να σχηματίσουμε το επιθυμητό δεκαδικό κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε $0$, προσθέστε ένα κόμμα και σημειώστε τον αριθμό από τον αριθμητή. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα $0,00351$.

Απάντηση: $0,00351$.

Ας διατυπώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ακατάλληλων κλασμάτων με παρονομαστές $10$, $100$, $\dots$ σε δεκαδικά κλάσματα:

γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή.

Χρησιμοποιήστε μια υποδιαστολή για να διαχωρίσετε τόσα ψηφία στα δεξιά όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.

Παράδειγμα 10

Μετατρέψτε το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(12756)(100)$ σε δεκαδικό.

Λύση.

Ας γράψουμε τον αριθμό από τον αριθμητή $12756$ και μετά διαχωρίζουμε τα ψηφία των $2$ στα δεξιά με μια υποδιαστολή, γιατί ο παρονομαστής του αρχικού κλάσματος $2$ είναι μηδέν. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα $127,56$.

Σε αυτό το άρθρο θα καταλάβουμε τι είναι το δεκαδικό κλάσμα, ποια χαρακτηριστικά και ιδιότητες έχει. Πηγαίνω! 🙂

Ένα δεκαδικό κλάσμα είναι μια ειδική περίπτωση συνηθισμένων κλασμάτων (όπου ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο του 10).

Ορισμός

Οι δεκαδικοί είναι τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι αριθμοί που αποτελούνται από ένα και έναν αριθμό μηδενικών που ακολουθούν. Δηλαδή, πρόκειται για κλάσματα με παρονομαστή 10, 100, 1000 κ.λπ. Διαφορετικά, ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να χαρακτηριστεί ως κλάσμα με παρονομαστή το 10 ή μία από τις δυνάμεις του δέκα.

Παραδείγματα κλασμάτων:

, ,

Τα δεκαδικά κλάσματα γράφονται διαφορετικά από τα συνηθισμένα κλάσματα. Οι πράξεις με αυτά τα κλάσματα είναι επίσης διαφορετικές από τις πράξεις με τις συνηθισμένες. Οι κανόνες για τη λειτουργία τους είναι σε μεγάλο βαθμό παρόμοιοι με τους κανόνες για τη λειτουργία σε ακέραιους αριθμούς. Αυτό, ειδικότερα, εξηγεί το αίτημά τους για επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Αναπαράσταση κλάσματος με δεκαδικό συμβολισμό

Το δεκαδικό κλάσμα δεν έχει παρονομαστή, εμφανίζει τον αριθμό του αριθμητή. Γενικά, ένα δεκαδικό κλάσμα γράφεται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

όπου X είναι το ακέραιο μέρος του κλάσματος, Y είναι το κλασματικό μέρος του, "," είναι η υποδιαστολή.

Για να αναπαραστήσουμε σωστά ένα κλάσμα ως δεκαδικό, απαιτείται να είναι κανονικό κλάσμα, δηλαδή με τονισμένο τον ακέραιο (αν είναι δυνατόν) και αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, με δεκαδικό συμβολισμό το ακέραιο μέρος γράφεται πριν από την υποδιαστολή (X), και ο αριθμητής του κοινού κλάσματος γράφεται μετά την υποδιαστολή (Y).

Εάν ο αριθμητής περιέχει έναν αριθμό με λιγότερα ψηφία από τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή, τότε στο μέρος Y ο αριθμός των ψηφίων που λείπουν στον δεκαδικό συμβολισμό συμπληρώνεται με μηδενικά μπροστά από τα ψηφία του αριθμητή.

Παράδειγμα:

Αν ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι μικρότερο από 1, δηλ. δεν έχει ακέραιο μέρος, τότε για το Χ σε δεκαδική μορφή γράψτε 0.

Στο κλασματικό μέρος (Υ), μετά το τελευταίο σημαντικό (μη μηδενικό) ψηφίο, μπορεί να εισαχθεί ένας αυθαίρετος αριθμός μηδενικών. Αυτό δεν επηρεάζει την τιμή του κλάσματος. Αντίθετα, όλα τα μηδενικά στο τέλος του κλασματικού μέρους του δεκαδικού μπορούν να παραληφθούν.

Ανάγνωση δεκαδικών

Το Μέρος Χ διαβάζεται γενικά ως εξής: «Χ ακέραιοι».

Το τμήμα Υ διαβάζεται σύμφωνα με τον αριθμό στον παρονομαστή. Για τον παρονομαστή 10 θα πρέπει να διαβάσετε: "Y δέκατα", για τον παρονομαστή 100: "Y εκατοστά", για τον παρονομαστή 1000: "Y χιλιοστά" και ούτω καθεξής... 😉

Μια άλλη προσέγγιση στην ανάγνωση, που βασίζεται στην καταμέτρηση του αριθμού των ψηφίων του κλασματικού μέρους, θεωρείται πιο σωστή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να καταλάβετε ότι τα κλασματικά ψηφία βρίσκονται σε μια κατοπτρική εικόνα σε σχέση με τα ψηφία ολόκληρου του τμήματος του κλάσματος.

Τα ονόματα για τη σωστή ανάγνωση δίνονται στον πίνακα:

Με βάση αυτό, η ανάγνωση θα πρέπει να βασίζεται στη συμμόρφωση με το όνομα του ψηφίου του τελευταίου ψηφίου του κλασματικού μέρους.

Το 3,5 λέει "τρία σημεία πέντε"
0,016 γράφει "σημείο μηδέν δεκαέξι χιλιοστά"

Μετατροπή αυθαίρετου κλάσματος σε δεκαδικό

Εάν ο παρονομαστής ενός κοινού κλάσματος είναι 10 ή κάποια δύναμη του δέκα, τότε η μετατροπή του κλάσματος γίνεται όπως περιγράφεται παραπάνω. Σε άλλες περιπτώσεις, απαιτούνται πρόσθετοι μετασχηματισμοί.

Υπάρχουν 2 μέθοδοι μετάφρασης.

Πρώτη μέθοδος μεταφοράς

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν τέτοιο ακέραιο ώστε ο παρονομαστής να παράγει τον αριθμό 10 ή μία από τις δυνάμεις του δέκα. Και τότε το κλάσμα αναπαρίσταται με δεκαδικό συμβολισμό.

Αυτή η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη για κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής μπορεί να επεκταθεί μόνο σε 2 και 5. Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα . Εάν η επέκταση περιέχει άλλους κύριους παράγοντες (για παράδειγμα, ), τότε θα πρέπει να καταφύγετε στη 2η μέθοδο.

Δεύτερη μέθοδος μετάφρασης

Η 2η μέθοδος είναι να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή σε μια στήλη ή σε μια αριθμομηχανή. Ολόκληρο το μέρος, αν υπάρχει, δεν συμμετέχει στη μεταμόρφωση.

Ο κανόνας για διαίρεση μεγάλου μήκους που οδηγεί σε δεκαδικό κλάσμα περιγράφεται παρακάτω (βλ. Διαίρεση δεκαδικών).

Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα

Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να γράψετε το κλασματικό του μέρος (στα δεξιά της υποδιαστολής) ως αριθμητή και το αποτέλεσμα της ανάγνωσης του κλασματικού μέρους ως τον αντίστοιχο αριθμό στον παρονομαστή. Στη συνέχεια, εάν είναι δυνατόν, πρέπει να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει.

Πεπερασμένο και άπειρο δεκαδικό κλάσμα

Ένα δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται τελικό κλάσμα, το κλασματικό μέρος του οποίου αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων.

Όλα τα παραπάνω παραδείγματα περιέχουν τελικά δεκαδικά κλάσματα. Ωστόσο, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε συνηθισμένο κλάσμα ως τελικό δεκαδικό. Εάν η 1η μέθοδος μετατροπής δεν είναι εφαρμόσιμη για ένα δεδομένο κλάσμα και η 2η μέθοδος δείχνει ότι η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί, τότε μπορεί να ληφθεί μόνο ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Είναι αδύνατο να γράψουμε ένα άπειρο κλάσμα στην πλήρη του μορφή. Σε ημιτελή μορφή, τέτοια κλάσματα μπορούν να αναπαρασταθούν:

ως αποτέλεσμα της μείωσης στον επιθυμητό αριθμό δεκαδικών ψηφίων.
ως περιοδικό κλάσμα.

Ένα κλάσμα ονομάζεται περιοδικό εάν μετά την υποδιαστολή είναι δυνατό να διακρίνει κανείς μια ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων.

Τα υπόλοιπα κλάσματα ονομάζονται μη περιοδικά. Για τα μη περιοδικά κλάσματα επιτρέπεται μόνο η 1η μέθοδος αναπαράστασης (στρογγυλοποίηση).

Παράδειγμα περιοδικού κλάσματος: 0,8888888... Εδώ υπάρχει ένας επαναλαμβανόμενος αριθμός 8, ο οποίος, προφανώς, θα επαναλαμβάνεται επ' άπειρον, αφού δεν υπάρχει λόγος να υποθέσουμε το αντίθετο. Αυτό το σχήμα ονομάζεται περίοδος του κλάσματος.

Τα περιοδικά κλάσματα μπορεί να είναι καθαρά ή μικτά. Καθαρό δεκαδικό κλάσμα είναι εκείνο του οποίου η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή. Ένα μικτό κλάσμα έχει 1 ή περισσότερα ψηφία πριν από την υποδιαστολή.

54.33333… – περιοδικό καθαρό δεκαδικό κλάσμα

2,5621212121… – περιοδικό μικτό κλάσμα

Παραδείγματα γραφής άπειρων δεκαδικών κλασμάτων:

Το 2ο παράδειγμα δείχνει πώς να μορφοποιήσετε σωστά μια τελεία γράφοντας ένα περιοδικό κλάσμα.

Μετατροπή περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα

Για να μετατρέψετε ένα καθαρό περιοδικό κλάσμα σε συνηθισμένη περίοδο, γράψτε το στον αριθμητή και γράψτε έναν αριθμό που αποτελείται από εννέα σε ποσότητα ίση με τον αριθμό των ψηφίων της περιόδου στον παρονομαστή.

Το μικτό περιοδικό δεκαδικό κλάσμα μεταφράζεται ως εξής:

πρέπει να σχηματίσετε έναν αριθμό που να αποτελείται από τον αριθμό μετά την υποδιαστολή πριν από την περίοδο και την πρώτη περίοδο.
Από τον αριθμό που προκύπτει, αφαιρέστε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή πριν από την περίοδο. Το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμητής του κοινού κλάσματος.
στον παρονομαστή πρέπει να εισαγάγετε έναν αριθμό που αποτελείται από έναν αριθμό εννέα ίσο με τον αριθμό των ψηφίων της περιόδου, ακολουθούμενο από μηδενικά, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων του αριθμού μετά την υποδιαστολή πριν από την 1η περίοδος.

Σύγκριση δεκαδικών

Τα δεκαδικά κλάσματα συγκρίνονται αρχικά με ολόκληρα μέρη τους. Το κλάσμα του οποίου ολόκληρο το μέρος είναι μεγαλύτερο είναι μεγαλύτερο.

Αν τα ακέραια μέρη είναι ίδια, τότε συγκρίνετε τα ψηφία των αντίστοιχων ψηφίων του κλασματικού μέρους, ξεκινώντας από το πρώτο (από τα δέκατα). Η ίδια αρχή ισχύει και εδώ: το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με περισσότερα δέκατα. αν τα ψηφία των δέκατων είναι ίσα, τα ψηφία των εκατοστών συγκρίνονται και ούτω καθεξής.

Επειδή η

, αφού με ίσα ολόκληρα μέρη και ίσα δέκατα στο κλασματικό μέρος, το 2ο κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμό εκατοστών.

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Οι δεκαδικοί προστίθενται και αφαιρούνται με τον ίδιο τρόπο όπως οι ακέραιοι αριθμοί γράφοντας τα αντίστοιχα ψηφία το ένα κάτω από το άλλο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να έχετε δεκαδικά ψηφία το ένα κάτω από το άλλο. Τότε οι μονάδες (δεκάδες κ.λπ.) του ακέραιου μέρους, καθώς και τα δέκατα (εκατοστά κ.λπ.) του κλασματικού μέρους, θα είναι σύμφωνα. Τα ψηφία που λείπουν από το κλασματικό μέρος συμπληρώνονται με μηδενικά. Κατευθείαν η διαδικασία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τους ακέραιους αριθμούς.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών

Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικά ψηφία, πρέπει να τα γράψετε το ένα κάτω από το άλλο, ευθυγραμμισμένα με το τελευταίο ψηφίο και χωρίς να προσέχετε τη θέση των δεκαδικών ψηφίων. Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς με τον ίδιο τρόπο όπως όταν πολλαπλασιάζετε ακέραιους αριθμούς. Αφού λάβετε το αποτέλεσμα, θα πρέπει να υπολογίσετε ξανά τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα και να διαχωρίσετε τον συνολικό αριθμό των κλασματικών ψηφίων στον αριθμό που προκύπτει με κόμμα. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά bits, αντικαθίστανται με μηδενικά.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών με 10n

Αυτές οι ενέργειες είναι απλές και καταλήγουν στη μετακίνηση της υποδιαστολής. Π Κατά τον πολλαπλασιασμό, η υποδιαστολή μετακινείται προς τα δεξιά (το κλάσμα αυξάνεται) με έναν αριθμό ψηφίων ίσο με τον αριθμό των μηδενικών στο 10n, όπου n είναι μια αυθαίρετη ακέραια δύναμη. Δηλαδή, ένας ορισμένος αριθμός ψηφίων μεταφέρεται από το κλασματικό μέρος στο ολόκληρο μέρος. Κατά τη διαίρεση, αντίστοιχα, το κόμμα μετακινείται προς τα αριστερά (ο αριθμός μειώνεται) και ορισμένα από τα ψηφία μεταφέρονται από το ακέραιο μέρος στο κλασματικό μέρος. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί για μεταφορά, τότε τα bit που λείπουν συμπληρώνονται με μηδενικά.

Διαίρεση δεκαδικού και ακέραιου αριθμού με ακέραιο και δεκαδικό

Η διαίρεση στηλών ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν ακέραιο είναι παρόμοια με τη διαίρεση δύο ακεραίων. Επιπλέον, χρειάζεται μόνο να λάβετε υπόψη τη θέση της υποδιαστολής: όταν αφαιρείτε το ψηφίο ενός μέρους ακολουθούμενο από κόμμα, πρέπει να τοποθετείτε κόμμα μετά το τρέχον ψηφίο της απάντησης που δημιουργείται. Στη συνέχεια πρέπει να συνεχίσετε τη διαίρεση μέχρι να πάρετε το μηδέν. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια στο μέρισμα για πλήρη διαίρεση, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται μηδενικά ως αυτά.

Ομοίως, 2 ακέραιοι αριθμοί χωρίζονται σε μια στήλη εάν αφαιρεθούν όλα τα ψηφία του μερίσματος και η πλήρης διαίρεση δεν έχει ακόμη ολοκληρωθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, μετά την αφαίρεση του τελευταίου ψηφίου του μερίσματος, τοποθετείται μια υποδιαστολή στην απάντηση που προκύπτει και τα μηδενικά χρησιμοποιούνται ως ψηφία που αφαιρέθηκαν. Εκείνοι. το μέρισμα εδώ ουσιαστικά αναπαρίσταται ως δεκαδικό κλάσμα με μηδενικό κλασματικό μέρος.

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα (ή έναν ακέραιο) με έναν δεκαδικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη με τον αριθμό 10 n, στον οποίο ο αριθμός των μηδενικών είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή του διαιρέτη. Με αυτόν τον τρόπο, θα απαλλαγείτε από την υποδιαστολή στο κλάσμα με το οποίο θέλετε να διαιρέσετε. Περαιτέρω, η διαδικασία διαίρεσης συμπίπτει με αυτή που περιγράφηκε παραπάνω.

Γραφική αναπαράσταση δεκαδικών κλασμάτων

Τα δεκαδικά κλάσματα αναπαρίστανται γραφικά χρησιμοποιώντας μια γραμμή συντεταγμένων. Για να γίνει αυτό, τα μεμονωμένα τμήματα χωρίζονται περαιτέρω σε 10 ίσα μέρη, όπως τα εκατοστά και τα χιλιοστά σημειώνονται ταυτόχρονα σε έναν χάρακα. Αυτό διασφαλίζει ότι τα δεκαδικά ψηφία εμφανίζονται με ακρίβεια και μπορούν να συγκριθούν αντικειμενικά.

Προκειμένου οι διαιρέσεις σε μεμονωμένα τμήματα να είναι πανομοιότυπες, θα πρέπει να εξετάσετε προσεκτικά το μήκος του ίδιου του μεμονωμένου τμήματος. Θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να μπορεί να εξασφαλιστεί η ευκολία της πρόσθετης διαίρεσης.