Ευκλείδειοι χώροι. Γραμμική άλγεβρα

Κεφάλαιο 4
ΕΥΚΛΕΙΔΑΝΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Από το μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας, ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με την έννοια του κλιμακωτού γινομένου δύο ελεύθερων διανυσμάτων και με τις τέσσερις κύριες ιδιότητες του καθορισμένου βαθμωτό γινόμενο. Σε αυτό το κεφάλαιο μελετώνται γραμμικοί χώροι οποιασδήποτε φύσης, για τα στοιχεία των οποίων ορίζεται ένας κανόνας με κάποιο τρόπο (και δεν έχει σημασία τι) που συνδέει οποιαδήποτε δύο στοιχεία με έναν αριθμό που ονομάζεται κλιμακωτό γινόμενο αυτών των στοιχείων. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι μόνο σημαντικό ότι αυτός ο κανόνας έχει τις ίδιες τέσσερις ιδιότητες με τον κανόνα για τη σύνθεση του κλιμακωτού γινομένου δύο ελεύθερων διανυσμάτων. Οι γραμμικοί χώροι στους οποίους ορίζεται αυτός ο κανόνας ονομάζονται Ευκλείδειοι χώροι. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις βασικές ιδιότητες των αυθαίρετων ευκλείδειων χώρων.

§ 1. Ο πραγματικός Ευκλείδειος χώρος και οι απλούστερες ιδιότητές του

1. Ορισμός πραγματικού Ευκλείδειου χώρου.Ένας πραγματικός γραμμικός χώρος R ονομάζεται πραγματικός Ευκλείδειος χώρος(ή απλά Ευκλείδειος χώρος) εάν πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις.
I. Υπάρχει ένας κανόνας με τον οποίο οποιαδήποτε δύο στοιχεία αυτού του χώρου x και y συνδέονται με έναν πραγματικό αριθμό που ονομάζεται κλιμακωτό προϊόναπό αυτά τα στοιχεία και συμβολίζεται με το σύμβολο (x, y).
P. Αυτός ο κανόνας υπόκειται στα ακόλουθα τέσσερα αξιώματα:
1°. (x, y) = (y, x) (ανταλλαγή ιδιότητας ή συμμετρία);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (ιδιότητα κατανομής);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) για οποιοδήποτε πραγματικό λ;
4°. (x, x) > 0 αν το x είναι μη μηδενικό στοιχείο. (x, x) = 0 αν x είναι το μηδενικό στοιχείο.
Τονίζουμε ότι όταν εισάγουμε την έννοια του Ευκλείδειου χώρου, αφαιρούμε όχι μόνο από τη φύση των υπό μελέτη αντικειμένων, αλλά και από το συγκεκριμένο είδος κανόνων για το σχηματισμό του αθροίσματος των στοιχείων, του γινομένου ενός στοιχείου με έναν αριθμό και το βαθμωτό γινόμενο των στοιχείων (είναι σημαντικό μόνο αυτοί οι κανόνες να ικανοποιούν τα οκτώ αξιώματα του γραμμικού χώρου και τα τέσσερα αξιώματα κλιμακωτό γινόμενο).
Εάν υποδεικνύεται η φύση των αντικειμένων που μελετώνται και ο τύπος των αναφερόμενων κανόνων, τότε ο Ευκλείδειος χώρος ονομάζεται ειδικός.
Ας δώσουμε παραδείγματα συγκεκριμένων ευκλείδειων χώρων.
Παράδειγμα 1. Θεωρήστε τον γραμμικό χώρο B 3 όλων των ελεύθερων διανυσμάτων. Ορίζουμε το βαθμωτό γινόμενο οποιωνδήποτε δύο διανυσμάτων όπως έγινε στην αναλυτική γεωμετρία (δηλαδή, ως το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας). Κατά τη διάρκεια της αναλυτικής γεωμετρίας, αποδείχθηκε η εγκυρότητα του ούτως καθορισμένου βαθμωτό γινόμενο των αξιωμάτων 1°-4° (βλ. τεύχος «Αναλυτική Γεωμετρία», Κεφάλαιο 2, §2, στοιχείο 3). Επομένως, ο χώρος B 3 με το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται έτσι είναι ένας Ευκλείδειος χώρος.
Παράδειγμα 2. Θεωρούμε τον απεριόριστο γραμμικό χώρο C [a, b] όλων των συναρτήσεων x(t), ορισμένου και συνεχούς στο τμήμα a ≤ t ≤ b. Ορίζουμε το κλιμακωτό γινόμενο δύο τέτοιων συναρτήσεων x(t) και y(t) ως το ολοκλήρωμα (στην περιοχή από a έως b) του γινομένου αυτών των συναρτήσεων

Η εγκυρότητα του ούτως καθορισμένου βαθμωτό γινόμενο των αξιωμάτων 1°-4° ελέγχεται με στοιχειώδη τρόπο. Πράγματι, η εγκυρότητα του αξιώματος 1° είναι προφανής. η εγκυρότητα των αξιωμάτων 2° και 3° προκύπτει από τις γραμμικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. η εγκυρότητα του αξιώματος 4° προκύπτει από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης x 2 (t) είναι μη αρνητικό και εξαφανίζεται μόνο όταν αυτή η συνάρτηση είναι πανομοιότυπα ίση με μηδέν στο τμήμα a ≤ t ≤ b (βλ. το τεύχος «Βασικές αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης», μέρος Ι, ιδιότητες 1° και 2° από την παράγραφο 1 §6 κεφάλαιο 10) (δηλαδή είναι το μηδενικό στοιχείο του υπό εξέταση χώρου).
Έτσι, ο χώρος C[a, b] με το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται έτσι είναι απειροσδιάστατος Ευκλείδειος χώρος.
Παράδειγμα 3. Το ακόλουθο παράδειγμα Ευκλείδειου χώρου δίνει έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο A n διατεταγμένων συλλογών n πραγματικών αριθμών, το κλιμακωτό γινόμενο οποιωνδήποτε δύο στοιχείων x = (x 1, x 2,..., x n) και y = (y 1, y 2 ,...,y n) που ορίζεται από την ισότητα

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Η εγκυρότητα του αξιώματος 1° για ένα τέτοιο καθορισμένο βαθμωτό γινόμενο είναι προφανής. Η εγκυρότητα των αξιωμάτων 2° και 3° μπορεί εύκολα να επαληθευτεί, απλώς θυμηθείτε τον ορισμό των πράξεων πρόσθεσης στοιχείων και πολλαπλασιασμού τους με αριθμούς:

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

Τέλος, η εγκυρότητα του αξιώματος 4° προκύπτει από το γεγονός ότι (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός και εξαφανίζεται μόνο υπό την συνθήκη x 1 = x 2 = .. = x n = 0.
Ο Ευκλείδειος χώρος που εξετάζεται σε αυτό το παράδειγμα συχνά υποδηλώνεται με το σύμβολο E n.
Παράδειγμα 4. Στον ίδιο γραμμικό χώρο A n, εισάγουμε το βαθμωτό γινόμενο οποιωνδήποτε δύο στοιχείων x = (x 1, x 2,..., x n) και y = (y 1, y 2,..., y n ) όχι τη σχέση (4.2), αλλά με έναν άλλο, γενικότερο τρόπο.
Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα τάξης n

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα (4.3), ας συνθέσουμε ένα ομοιογενές πολυώνυμο δεύτερης τάξης σε σχέση με n μεταβλητές x 1, x 2,..., x n

Κοιτώντας μπροστά, σημειώνουμε ότι ένα τέτοιο πολυώνυμο ονομάζεται τετραγωνική μορφή(παράγεται από τον πίνακα (4.3)) (οι τετραγωνικές μορφές μελετώνται συστηματικά στο Κεφάλαιο 7 αυτού του βιβλίου).
Ο τετραγωνικός τύπος (4.4) ονομάζεται θετική οριστική, εάν παίρνει αυστηρά θετικές τιμές για όλες τις τιμές των μεταβλητών x 1, x 2,..., x n, οι οποίες δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα (στο Κεφάλαιο 7 αυτού του βιβλίου τα απαραίτητα και επαρκή θα υποδεικνύεται προϋπόθεση για τη θετική οριστικότητα της τετραγωνικής μορφής).
Εφόσον για x 1 = x 2 = ... = x n = 0 η τετραγωνική μορφή (4.4) είναι προφανώς ίση με μηδέν, μπορούμε να πούμε ότι θετική οριστική
η τετραγωνική μορφή εξαφανίζεται μόνο υπό την συνθήκη x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Απαιτούμε ο πίνακας (4.3) να πληροί δύο προϋποθέσεις.
1°. Δημιουργήθηκε μια θετική οριστική τετραγωνική μορφή (4.4).
2°. Ήταν συμμετρικό (σε σχέση με την κύρια διαγώνιο), δηλ. ικανοποιήθηκε η συνθήκη a ik = a ki για όλα τα i = 1, 2,..., n και k = I, 2,..., n.
Χρησιμοποιώντας τον πίνακα (4.3), που ικανοποιεί τις συνθήκες 1° και 2°, ορίζουμε το κλιμακωτό γινόμενο οποιωνδήποτε δύο στοιχείων x = (x 1, x 2,..., x n) και y = (y 1, y 2,.. ,y n) του διαστήματος A n από τη σχέση

Είναι εύκολο να ελέγξετε την εγκυρότητα του ούτως καθορισμένου βαθμωτό γινόμενο όλων των αξιωμάτων 1°-4°. Πράγματι, τα αξιώματα 2° και 3° ισχύουν προφανώς για έναν εντελώς αυθαίρετο πίνακα (4.3). η εγκυρότητα του αξιώματος 1° προκύπτει από τη συνθήκη συμμετρίας του πίνακα (4.3) και η εγκυρότητα του αξιώματος 4° προκύπτει από το γεγονός ότι η τετραγωνική μορφή (4.4), που είναι το βαθμωτό γινόμενο (x, x), είναι θετική σαφής.
Έτσι, ο χώρος A n με το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται από την ισότητα (4.5), με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας (4.3) είναι συμμετρικός και η τετραγωνική μορφή που δημιουργείται από αυτόν είναι θετική οριστική, είναι Ευκλείδειος χώρος.
Εάν πάρουμε τον πίνακα ταυτότητας ως πίνακα (4.3), τότε η σχέση (4.4) μετατρέπεται σε (4.2) και λαμβάνουμε τον Ευκλείδειο χώρο E n, που εξετάζεται στο Παράδειγμα 3.
2. Οι απλούστερες ιδιότητες ενός αυθαίρετου Ευκλείδειου χώρου.Οι ιδιότητες που καθορίζονται σε αυτήν την παράγραφο ισχύουν για έναν εντελώς αυθαίρετο Ευκλείδειο χώρο τόσο πεπερασμένων όσο και άπειρων διαστάσεων.
Θεώρημα 4.1.Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία x και y ενός αυθαίρετου ευκλείδειου χώρου, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

ονομάζεται ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky.
Απόδειξη.Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ, δυνάμει του αξιώματος 4° του κλιμακωτού γινόμενου, η ανισότητα (λ x - y, λ x - y) > 0 είναι αληθής Με βάση τα αξιώματα 1°-3°, η τελευταία ανισότητα μπορεί να είναι ξαναγράφεται ως

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη μη αρνητικότητα του τελευταίου τετραγωνικού τριωνύμου είναι η μη θετικότητα της διακρίνουσας του, δηλαδή η ανισότητα (στην περίπτωση (x, x) = 0, το τετράγωνο τριώνυμο εκφυλίζεται σε γραμμική συνάρτηση, αλλά σε Σε αυτή την περίπτωση το στοιχείο x είναι μηδέν, άρα (x, y ) = 0 και η ανισότητα (4.7) είναι επίσης αληθής)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Η ανισότητα (4.6) ακολουθεί αμέσως από την (4.7). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Το επόμενο καθήκον μας είναι να εισαγάγουμε την έννοια κανόνες(ή μήκος) κάθε στοιχείου. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε την έννοια του γραμμικού κανονιοποιημένου χώρου.
Ορισμός.Ο γραμμικός χώρος R ονομάζεται κανονικοποιημένη, εάν πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις.
I. Υπάρχει ένας κανόνας με τον οποίο κάθε στοιχείο x του διαστήματος R συνδέεται με έναν πραγματικό αριθμό που ονομάζεται ο κανόνας(ή μήκος) του καθορισμένου στοιχείου και συμβολίζεται με το σύμβολο ||x||.
P. Αυτός ο κανόνας υπόκειται στα ακόλουθα τρία αξιώματα:
1°. ||x|| > 0 αν το x είναι μη μηδενικό στοιχείο. ||x|| = 0 αν το x είναι μηδενικό στοιχείο.
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| για οποιοδήποτε στοιχείο x και κάθε πραγματικό αριθμό λ.
3°. για οποιαδήποτε δύο στοιχεία x και y ισχύει η παρακάτω ανισότητα

||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4.8)

ονομάζεται ανισότητα τριγώνου (ή ανισότητα Minkowski).
Θεώρημα 4.2. Οποιοσδήποτε Ευκλείδειος χώρος κανονικοποιείται εάν ο κανόνας οποιουδήποτε στοιχείου x σε αυτόν ορίζεται από την ισότητα

Απόδειξη.Αρκεί να αποδειχθεί ότι για τον κανόνα που ορίζεται από τη σχέση (4.9), ισχύουν τα αξιώματα 1°-3° από τον ορισμό ενός κανονικού χώρου.
Η εγκυρότητα του κανόνα του αξιώματος 1° προκύπτει αμέσως από το αξίωμα 4° του κλιμακωτού γινομένου. Η εγκυρότητα του κανόνα του αξιώματος 2° απορρέει σχεδόν άμεσα από τα αξιώματα 1° και 3° του κλιμακωτού γινομένου.
Απομένει να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα του Αξιώματος 3° για τον κανόνα, δηλαδή την ανισότητα (4.8). Θα βασιστούμε στην ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky (4.6), την οποία θα ξαναγράψουμε στη μορφή

Χρησιμοποιώντας την τελευταία ανισότητα, τα αξιώματα 1°-4° του βαθμωτού γινομένου και τον ορισμό του κανόνα, λαμβάνουμε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συνέπεια.Σε κάθε Ευκλείδειο χώρο με τον κανόνα των στοιχείων που καθορίζεται από τη σχέση (4.9), για οποιαδήποτε δύο στοιχεία x και y ισχύει η τριγωνική ανισότητα (4.8).

Σημειώνουμε περαιτέρω ότι σε οποιονδήποτε πραγματικό Ευκλείδειο χώρο μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια της γωνίας μεταξύ δύο αυθαίρετων στοιχείων x και y αυτού του χώρου. Σε πλήρη αναλογία με τη διανυσματική άλγεβρα, καλούμε γωνίαφ μεταξύ στοιχείων ΧΚαι στοεκείνη (που κυμαίνεται από 0 έως π) γωνία της οποίας το συνημίτονο καθορίζεται από τη σχέση

Ο ορισμός μας για τη γωνία είναι σωστός, γιατί λόγω της ανισότητας Cauchy-Bunyakovsky (4,7"), το κλάσμα στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας δεν υπερβαίνει το ένα σε συντελεστή.
Στη συνέχεια, θα συμφωνήσουμε να ονομάσουμε δύο αυθαίρετα στοιχεία x και y του Ευκλείδειου χώρου E ορθογώνια εάν το βαθμωτό γινόμενο αυτών των στοιχείων (x, y) είναι ίσο με μηδέν (στην περίπτωση αυτή, το συνημίτονο της γωνίας (φ μεταξύ των στοιχείων x και y θα είναι ίσα με μηδέν).
Και πάλι κάνοντας έκκληση στη διανυσματική άλγεβρα, ας ονομάσουμε το άθροισμα x + y δύο ορθογώνιων στοιχείων x και y υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου που βασίζεται στα στοιχεία x και y.
Σημειώστε ότι σε κάθε Ευκλείδειο χώρο ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Στην πραγματικότητα, εφόσον τα x και y είναι ορθογώνια και (x, y) = 0, τότε βάσει των αξιωμάτων και του ορισμού του κανόνα

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Αυτό το αποτέλεσμα γενικεύεται σε n ζεύγη ορθογώνια στοιχεία x 1, x 2,..., x n: αν z = x 1 + x 2 + ...+ x n, τότε

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Συμπερασματικά, γράφουμε τον κανόνα, την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky και την ανισότητα του τριγώνου σε καθένα από τους συγκεκριμένους Ευκλείδειους χώρους που εξετάστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο.
Στον Ευκλείδειο χώρο όλων των ελεύθερων διανυσμάτων με τον συνήθη ορισμό του βαθμωτού γινομένου, ο κανόνας ενός διανύσματος a συμπίπτει με το μήκος του |a|, η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky ανάγεται στη μορφή ((a,b) 2 ≤ | α|. το γεγονός ότι η μία πλευρά ενός τριγώνου δεν υπερβαίνει το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών του).
Στον Ευκλείδειο χώρο C [a, b] όλων των συναρτήσεων x = x(t) συνεχείς στο τμήμα a ≤ t ≤ b με κλιμακωτό γινόμενο (4.1), η νόρμα του στοιχείου x = x(t) είναι ίση με , και οι ανισότητες Cauchy-Bunyakovsky και τριγώνου έχουν τη μορφή

Και οι δύο αυτές ανισότητες παίζουν σημαντικό ρόλο σε διάφορους κλάδους της μαθηματικής ανάλυσης.
Στον Ευκλείδειο χώρο E n διατεταγμένων συλλογών n πραγματικών αριθμών με κλιμακωτό γινόμενο (4.2), ο κανόνας οποιουδήποτε στοιχείου x = (x 1 , x 2 ,..., x n) είναι ίσος

Τέλος, στον Ευκλείδειο χώρο διατεταγμένων συλλογών n πραγματικών αριθμών με κλιμακωτό γινόμενο (4,5), ο κανόνας οποιουδήποτε στοιχείου x = (x 1, x 2,..., x n) είναι ίσος με 0 (υπενθυμίζουμε ότι σε αυτός ο πίνακας περίπτωσης (4.3) είναι συμμετρικός και δημιουργεί θετική οριστική τετραγωνική μορφή (4.4)).

και οι ανισότητες Cauchy-Bunyakovsky και τριγώνου έχουν τη μορφή

Αντιστοιχεί σε τέτοιο διανυσματικό χώρο. Σε αυτό το άρθρο, ο πρώτος ορισμός θα ληφθεί ως σημείο εκκίνησης.

$n$-ο διαστατικός ευκλείδειος χώρος συμβολίζεται με $\backslash mathbb\; E^n,$ο συμβολισμός χρησιμοποιείται επίσης συχνά $\backslash mathbb\; R^n$(αν είναι σαφές από τα συμφραζόμενα ότι ο χώρος έχει ευκλείδεια δομή).

Επίσημος ορισμός

Για να ορίσουμε τον Ευκλείδειο χώρο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να λάβουμε ως κύρια έννοια το βαθμωτό γινόμενο. Ένας ευκλείδειος διανυσματικός χώρος ορίζεται ως ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών, στα διανύσματα του οποίου καθορίζεται μια συνάρτηση με πραγματική αξία $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$έχει τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

• Διγραμμικότητα: για τυχόν διανύσματα $u,v,w$και για τυχόν πραγματικούς αριθμούς $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$Και $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Συμμετρία: για οποιαδήποτε διανύσματα $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Θετική βεβαιότητα: για οποιονδήποτε $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$και $(u,u)\; =\; 0\backslash \Delta \epsilon \xi ί\; \beta έ\lambda o\varsigma \; u=0.$

Παράδειγμα Ευκλείδειου χώρου - χώρος συντεταγμένων $\backslash mathbb\; R^n,$που αποτελείται από όλες τις πιθανές πλειάδες πραγματικών αριθμών $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$κλιμακωτό προϊόν στο οποίο προσδιορίζεται από τον τύπο $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Μήκη και γωνίες

Το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται στον Ευκλείδειο χώρο είναι αρκετό για να εισαγάγει τις γεωμετρικές έννοιες του μήκους και της γωνίας. Διάνυσμα μήκος $u$ορίζεται ως $\backslash sqrt((u,u))$και ορίζεται $|u|.$Η θετική οριστικότητα του βαθμωτού γινόμενου εγγυάται ότι το μήκος του μη μηδενικού διανύσματος είναι μη μηδενικό και από τη διγραμμικότητα προκύπτει ότι $|au|=|a||u|,$δηλαδή τα μήκη των αναλογικών διανυσμάτων είναι ανάλογα.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $u$Και $v$καθορίζεται από τον τύπο $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right).$Από το θεώρημα συνημιτόνου προκύπτει ότι για έναν δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ( Ευκλείδειο επίπεδο) αυτός ο ορισμός της γωνίας συμπίπτει με τον συνηθισμένο. Τα ορθογώνια διανύσματα, όπως στον τρισδιάστατο χώρο, μπορούν να οριστούν ως διανύσματα η γωνία μεταξύ των οποίων είναι ίση με $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz και η ανισότητα του τριγώνου

Υπάρχει ένα κενό στον ορισμό της γωνίας που δόθηκε παραπάνω: προκειμένου να $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$έχει οριστεί, είναι απαραίτητο η ανισότητα $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$Αυτή η ανισότητα ισχύει σε έναν αυθαίρετο Ευκλείδειο χώρο και ονομάζεται ανισότητα Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz. Από αυτή την ανισότητα, με τη σειρά της, ακολουθεί η τριγωνική ανισότητα: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$Η ανισότητα τριγώνου, μαζί με τις ιδιότητες μήκους που αναφέρονται παραπάνω, σημαίνει ότι το μήκος ενός διανύσματος είναι ο κανόνας στον ευκλείδειο διανυσματικό χώρο και η συνάρτηση $d(x,y)=|x-y|$ορίζει τη δομή ενός μετρικού χώρου στον Ευκλείδειο χώρο (αυτή η συνάρτηση ονομάζεται Ευκλείδεια μετρική). Ειδικότερα, η απόσταση μεταξύ των στοιχείων (σημείων) ${\rm X}$Και $y$χώρο συντεταγμένων $\backslash mathbb\; R^n$δίνεται από τον τύπο $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Αλγεβρικές ιδιότητες

Ορθοκανονικές βάσεις

Συζευγμένοι χώροι και τελεστές

Οποιοδήποτε διάνυσμα ${\rm X}$Ο Ευκλείδειος χώρος ορίζει μια γραμμική συνάρτηση $x^*$σε αυτόν τον χώρο, που ορίζεται ως $x^*(y)=(x,y).$Αυτή η σύγκριση είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ του Ευκλείδειου χώρου και του διπλού του χώρου και επιτρέπει την αναγνώρισή τους χωρίς συμβιβασμούς στους υπολογισμούς. Ειδικότερα, οι συζευγμένοι τελεστές μπορούν να θεωρηθούν ότι δρουν στον αρχικό χώρο και όχι στον διπλό του, και οι αυτοσυνδεόμενοι τελεστές μπορούν να οριστούν ως τελεστές που συμπίπτουν με τους συζυγείς τους. Σε μια ορθοκανονική βάση, η μήτρα του πρόσθετου τελεστή μεταφέρεται στη μήτρα του αρχικού τελεστή και η μήτρα του αυτοσυνημμένου τελεστή είναι συμμετρική.

Κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου

Παραδείγματα

Ενδεικτικά παραδείγματα ευκλείδειων χώρων είναι τα ακόλουθα κενά:

• $\backslash mathbb\; E^1$διαστάσεις $1$ (πραγματική γραμμή)
• $\backslash mathbb\; {\rm E}^2$διαστάσεις $2$ (Ευκλείδειο επίπεδο)
• $\backslash mathbb\; {\rm E}^3$διαστάσεις $3$ (Ευκλείδειος τρισδιάστατος χώρος)

Πιο αφηρημένο παράδειγμα:

• χώρος πραγματικών πολυωνύμων $p(x)$βαθμός που δεν υπερβαίνει $n$, με το κλιμακωτό γινόμενο που ορίζεται ως το ολοκλήρωμα του προϊόντος σε ένα πεπερασμένο τμήμα (ή σε ολόκληρη τη γραμμή, αλλά με μια συνάρτηση βάρους που αποσυντίθεται γρήγορα, για παράδειγμα $e^(-x^2)$).

Παραδείγματα γεωμετρικών σχημάτων στον πολυδιάστατο ευκλείδειο χώρο

• Κανονικά πολυδιάστατα πολύεδρα (συγκεκριμένα Ν-διάστατος κύβος, Ν-διάστατο οκτάεδρο, Ν-διάστατο τετράεδρο)

Σχετικοί ορισμοί

• Κάτω από Ευκλείδεια μετρικήμπορεί να γίνει κατανοητό ως η μέτρηση που περιγράφηκε παραπάνω καθώς και η αντίστοιχη μετρική Riemanni.

• Με τον όρο τοπική ευκλείδεια συνήθως εννοούμε ότι κάθε εφαπτομενικός χώρος μιας πολλαπλότητας Riemann είναι ένας Ευκλείδειος χώρος με όλες τις επακόλουθες ιδιότητες, για παράδειγμα, την ικανότητα (λόγω της ομαλότητας της μετρικής) να εισάγει συντεταγμένες σε μια μικρή γειτονιά ενός σημείου στο οποίο η απόσταση εκφράζεται (μέχρι κάποια τάξη μεγέθους) ) όπως περιγράφεται παραπάνω.

• Ένας μετρικός χώρος ονομάζεται επίσης τοπικά Ευκλείδειος εάν είναι δυνατόν να εισαχθούν συντεταγμένες σε αυτόν στις οποίες η μετρική θα είναι Ευκλείδεια (με την έννοια του δεύτερου ορισμού) παντού (ή τουλάχιστον σε ένα πεπερασμένο πεδίο) - το οποίο, για παράδειγμα, είναι μια πολλαπλότητα Riemann μηδενικής καμπυλότητας.

Παραλλαγές και γενικεύσεις

• Η αντικατάσταση του βασικού πεδίου από το πεδίο των πραγματικών αριθμών στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών δίνει τον ορισμό ενός ενιαίου (ή ερμιτικού) χώρου.
• Η άρνηση της απαίτησης πεπερασμένων διαστάσεων δίνει τον ορισμό ενός χώρου προ-Hilbert.
• Η άρνηση της απαίτησης της θετικής οριστικότητας του βαθμωτού γινομένου οδηγεί στον ορισμό του ψευδο-Ευκλείδειου χώρου.

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Ευκλείδειος χώρος"

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Γκέλφανντ Ι. Μ.Διαλέξεις για τη γραμμική άλγεβρα. - 5η. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A. I., Manin Yu.Γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία. - Μ.: Nauka, 1986. - 304 σελ.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τον Ευκλείδειο χώρο

«Σας συμβαίνει», είπε η Νατάσα στον αδερφό της όταν κάθισαν στον καναπέ, «σας συμβαίνει να σας φαίνεται ότι τίποτα δεν θα συμβεί - τίποτα. τι ήταν αυτό που ήταν καλό; Και όχι απλά βαρετό, αλλά λυπηρό;
- Και πως! - αυτός είπε. «Μου έτυχε να είναι όλα καλά, όλοι ήταν χαρούμενοι, αλλά θα ερχόταν στο μυαλό μου ότι είχα ήδη κουραστεί από όλα αυτά και ότι όλοι έπρεπε να πεθάνουν». Κάποτε δεν πήγα στο σύνταγμα για μια βόλτα, αλλά έπαιζε μουσική εκεί... και έτσι ξαφνικά βαρέθηκα...
- Α, το ξέρω. Ξέρω, ξέρω», σήκωσε η Νατάσα. – Ήμουν μικρός ακόμα, μου συνέβη αυτό. Θυμάσαι, μια φορά που με τιμωρούσαν για τα δαμάσκηνα και χορεύατε όλοι, και κάθισα στην τάξη και έκλαιγα, δεν θα ξεχάσω ποτέ: στεναχωρήθηκα και λυπήθηκα όλους, και τον εαυτό μου, και λυπήθηκα όλους. Και, το πιο σημαντικό, δεν έφταιγα εγώ», είπε η Νατάσα, «θυμάσαι;
«Θυμάμαι», είπε ο Νικολάι. «Θυμάμαι ότι ήρθα σε σένα αργότερα και ήθελα να σε παρηγορήσω και, ξέρεις, ντρεπόμουν. Ήμασταν τρομερά αστείοι. Είχα τότε ένα παιχνιδάκι και ήθελα να σας το δώσω. Θυμάσαι?
«Θυμάσαι», είπε η Νατάσα με ένα στοχαστικό χαμόγελο, πόσο καιρό πριν, ήμασταν πολύ μικροί, ένας θείος μας φώναξε στο γραφείο, πίσω στο παλιό σπίτι, και ήταν σκοτεινά - ήρθαμε και ξαφνικά ήρθε στέκεται εκεί...
«Άραπ», ολοκλήρωσε ο Νικολάι με ένα χαρούμενο χαμόγελο, «πώς να μην θυμάμαι;» Ακόμα και τώρα δεν ξέρω ότι ήταν μαυροβούνι, ή το είδαμε σε όνειρο, ή μας είπαν.
- Ήταν γκρίζος, θυμάσαι, και είχε λευκά δόντια - στάθηκε και μας κοίταξε...
– Θυμάσαι, Σόνια; - ρώτησε ο Νικολάι...
«Ναι, ναι, κάτι θυμάμαι κι εγώ», απάντησε δειλά η Σόνια...
«Ρώτησα τον πατέρα και τη μητέρα μου για αυτό το blackamoor», είπε η Νατάσα. - Λένε ότι δεν υπήρχε blackamoor. Αλλά θυμάσαι!
- Ω, πόσο θυμάμαι τα δόντια του τώρα.
- Τι περίεργο που ήταν, ήταν σαν όνειρο. Μου αρέσει.
«Θυμάσαι πώς κυλούσαμε αυγά στο χολ και ξαφνικά δύο γριές άρχισαν να στριφογυρίζουν πάνω στο χαλί;» Ήταν ή όχι; Θυμάσαι πόσο καλό ήταν;
- Ναί. Θυμάστε πώς ο μπαμπάς με ένα μπλε γούνινο παλτό πυροβόλησε ένα όπλο στη βεράντα; «Γύρισαν, χαμογελώντας από ευχαρίστηση, αναμνήσεις, όχι παλιές θλιβερές, αλλά ποιητικές νεανικές αναμνήσεις, εκείνες οι εντυπώσεις από το πιο μακρινό παρελθόν, όπου τα όνειρα συγχωνεύονται με την πραγματικότητα, και γέλασαν ήσυχα, χαιρόμενοι για κάτι.
Η Sonya, όπως πάντα, έμεινε πίσω τους, αν και οι αναμνήσεις τους ήταν κοινές.
Η Sonya δεν θυμόταν πολλά από αυτά που θυμόντουσαν, και όσα θυμόταν δεν της ξύπνησαν το ποιητικό συναίσθημα που βίωσαν. Απολάμβανε μόνο τη χαρά τους, προσπαθώντας να τη μιμηθεί.
Πήρε μέρος μόνο όταν θυμήθηκαν την πρώτη επίσκεψη της Sonya. Η Σόνια είπε πώς φοβόταν τον Νικολάι, επειδή είχε κορδόνια στο σακάκι του, και η νταντά της είπε ότι θα την ράψουν και αυτή σε κορδόνια.
«Και θυμάμαι: μου είπαν ότι γεννήθηκες κάτω από λάχανο», είπε η Νατάσα, «και θυμάμαι ότι δεν τολμούσα να μην το πιστέψω τότε, αλλά ήξερα ότι δεν ήταν αλήθεια και ήμουν τόσο ντροπιασμένος. ”
Κατά τη διάρκεια αυτής της συνομιλίας, το κεφάλι της υπηρέτριας ξεπήδησε από την πίσω πόρτα του καναπέ. «Δεσποινίς, έφεραν τον κόκορα», είπε ψιθυριστά το κορίτσι.
«Δεν χρειάζεται, Πόλια, πες μου να το κουβαλήσω», είπε η Νατάσα.
Στη μέση των συζητήσεων που γίνονταν στον καναπέ, ο Ντίμλερ μπήκε στο δωμάτιο και πλησίασε την άρπα που στεκόταν στη γωνία. Έβγαλε το ύφασμα και η άρπα έβγαλε έναν ψεύτικο ήχο.
«Έντουαρντ Κάρλιχ, σε παρακαλώ παίξε την αγαπημένη μου Νοκτουριέν του Κονσιέ Φιλντ», είπε η φωνή της γριάς κόμισσας από το σαλόνι.
Ο Ντίμλερ χτύπησε μια χορδή και, γυρίζοντας προς τη Νατάσα, τον Νικολάι και τη Σόνια, είπε: «Νέοι, πόσο ήσυχα κάθονται!»
«Ναι, φιλοσοφούμε», είπε η Νατάσα, κοιτάζοντας γύρω για ένα λεπτό και συνεχίζοντας τη συζήτηση. Η συζήτηση αφορούσε πλέον τα όνειρα.
Ο Ντάμερ άρχισε να παίζει. Η Νατάσα σιωπηλή, στις μύτες των ποδιών, ανέβηκε στο τραπέζι, πήρε το κερί, το έβγαλε και, επιστρέφοντας, κάθισε ήσυχα στη θέση της. Ήταν σκοτεινά στο δωμάτιο, ειδικά στον καναπέ στον οποίο κάθονταν, αλλά μέσα από τα μεγάλα παράθυρα το ασημένιο φως της πανσελήνου έπεφτε στο πάτωμα.
«Ξέρεις, νομίζω», είπε ψιθυριστά η Νατάσα, πλησιάζοντας προς τον Νικολάι και τη Σόνια, όταν ο Ντίμλερ είχε ήδη τελειώσει και καθόταν ακόμα, μαδώντας αδύναμα τα κορδόνια, προφανώς αναποφάσιστη να φύγει ή να ξεκινήσει κάτι καινούργιο, «αυτό όταν θυμηθείς έτσι, θυμάσαι, θυμάσαι τα πάντα, θυμάσαι τόσο πολύ που θυμάσαι τι συνέβη πριν είμαι στον κόσμο...
«Αυτό είναι το Metampsic», είπε η Sonya, η οποία πάντα μελετούσε καλά και θυμόταν τα πάντα. – Οι Αιγύπτιοι πίστευαν ότι οι ψυχές μας ήταν μέσα στα ζώα και θα επέστρεφαν στα ζώα.
«Όχι, ξέρεις, δεν το πιστεύω, ότι ήμασταν ζώα», είπε η Νατάσα με τον ίδιο ψίθυρο, αν και η μουσική είχε τελειώσει, «αλλά ξέρω σίγουρα ότι ήμασταν άγγελοι εδώ κι εκεί κάπου, και γι' αυτό θυμόμαστε τα πάντα...»
-Μπορώ να έρθω μαζί σου? - είπε ο Ντίμλερ, που πλησίασε ήσυχα και κάθισε δίπλα τους.
- Αν ήμασταν άγγελοι, τότε γιατί πέσαμε πιο χαμηλά; - είπε ο Νικολάι. - Όχι, αυτό δεν μπορεί να είναι!
«Όχι πιο κάτω, ποιος σου είπε τόσο πιο κάτω;... Γιατί ξέρω τι ήμουν πριν», αντιτάχθηκε με πεποίθηση η Νατάσα. - Άλλωστε η ψυχή είναι αθάνατη... επομένως, αν ζω για πάντα, έτσι έζησα πριν, έζησα για όλη την αιωνιότητα.
«Ναι, αλλά είναι δύσκολο για εμάς να φανταστούμε την αιωνιότητα», είπε ο Ντίμλερ, ο οποίος πλησίασε τους νέους με ένα πράο, περιφρονητικό χαμόγελο, αλλά τώρα μίλησε τόσο ήσυχα και σοβαρά όσο εκείνοι.
– Γιατί είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς την αιωνιότητα; - είπε η Νατάσα. - Σήμερα θα είναι, αύριο θα είναι, θα είναι πάντα και χθες ήταν και χθες ήταν...
- Νατάσα! τωρα ειναι η σειρα σου. «Τραγούδα μου κάτι», ακούστηκε η φωνή της κόμισσας. - Που κάθισες σαν συνωμότες.
- Μητέρα! «Δεν θέλω να το κάνω αυτό», είπε η Νατάσα, αλλά ταυτόχρονα σηκώθηκε.
Όλοι τους, ακόμη και ο μεσήλικας Ντίμλερ, δεν ήθελαν να διακόψουν τη συζήτηση και να φύγουν από τη γωνία του καναπέ, αλλά η Νατάσα σηκώθηκε όρθια και ο Νικολάι κάθισε στο κλαβιχόρδο. Όπως πάντα, στέκοντας στη μέση της αίθουσας και επιλέγοντας το πιο συμφέρον μέρος για αντήχηση, η Νατάσα άρχισε να τραγουδά το αγαπημένο κομμάτι της μητέρας της.
Είπε ότι δεν ήθελε να τραγουδήσει, αλλά δεν είχε τραγουδήσει για πολύ καιρό πριν, και για πολύ καιρό από τότε, όπως τραγούδησε εκείνο το βράδυ. Ο κόμης Ilya Andreich, από το γραφείο όπου μιλούσε με τη Mitinka, την άκουσε να τραγουδά, και σαν μαθητής βιαζόταν να πάει να παίξει, τελειώνοντας το μάθημα, μπερδεύτηκε στα λόγια του, έδωσε εντολές στον διευθυντή και τελικά σώπασε. , και η Μιτίνκα, που επίσης άκουγε, σιωπηλά με ένα χαμόγελο, στάθηκε μπροστά στον κόμη. Ο Νικολάι δεν πήρε τα μάτια του από την αδερφή του και πήρε μια ανάσα μαζί της. Η Sonya, ακούγοντας, σκέφτηκε τι τεράστια διαφορά υπήρχε μεταξύ εκείνης και της φίλης της και πόσο αδύνατο ήταν για εκείνη να είναι τόσο γοητευτική όσο η ξαδέρφη της. Η γριά κόμισσα καθόταν με ένα χαρούμενο λυπημένο χαμόγελο και δάκρυα στα μάτια, κουνώντας κατά καιρούς το κεφάλι της. Σκέφτηκε τη Νατάσα και τη νεολαία της και πώς υπήρχε κάτι αφύσικο και τρομερό σε αυτόν τον επερχόμενο γάμο της Νατάσα με τον πρίγκιπα Αντρέι.
Ο Ντίμλερ κάθισε δίπλα στην κόμισσα και έκλεισε τα μάτια του ακούγοντας.
«Όχι, κοντέσσα», είπε τελικά, «αυτό είναι ένα ευρωπαϊκό ταλέντο, δεν έχει τίποτα να μάθει, αυτή την απαλότητα, την τρυφερότητα, τη δύναμη...»
- Αχ! «Πώς τη φοβάμαι, πόσο φοβάμαι», είπε η κόμισσα, χωρίς να θυμάται σε ποιον μιλούσε. Το μητρικό της ένστικτο της είπε ότι υπήρχε πάρα πολύ κάτι στη Νατάσα και ότι αυτό δεν θα την έκανε ευτυχισμένη. Η Νατάσα δεν είχε ακόμη τελειώσει το τραγούδι, όταν μια ενθουσιώδης δεκατετράχρονη Πέτια έτρεξε στο δωμάτιο με την είδηση ​​ότι έφτασαν οι μαμάδες.
Η Νατάσα σταμάτησε ξαφνικά.
- Βλάκα! - ούρλιαξε στον αδερφό της, έτρεξε στην καρέκλα, έπεσε πάνω της και έκλαψε τόσο πολύ που δεν μπορούσε να σταματήσει για πολλή ώρα.
«Τίποτα, μαμά, πραγματικά τίποτα, ακριβώς έτσι: η Πέτια με τρόμαξε», είπε, προσπαθώντας να χαμογελάσει, αλλά τα δάκρυα συνέχισαν να κυλούν και οι λυγμοί της έπνιγαν τον λαιμό.
Ντυμένοι υπηρέτες, αρκούδες, Τούρκοι, ξενοδόχοι, κυρίες, τρομακτικές και αστείες, φέρνοντας μαζί τους ψυχρότητα και διασκέδαση, στην αρχή δειλά μαζεμένοι στο διάδρομο. Στη συνέχεια, κρυμμένοι ο ένας πίσω από τον άλλο, αναγκάστηκαν να μπουν στην αίθουσα. και στην αρχή ντροπαλά, και μετά όλο και πιο χαρούμενα και φιλικά, άρχισαν τραγούδια, χοροί, χορωδιακά και χριστουγεννιάτικα παιχνίδια. Η κόμισσα, αναγνωρίζοντας τα πρόσωπα και γελώντας με τους ντυμένους, μπήκε στο σαλόνι. Ο κόμης Ilya Andreich κάθισε στην αίθουσα με ένα λαμπερό χαμόγελο, επιδοκιμάζοντας τους παίκτες. Η νεολαία χάθηκε κάπου.

Ακόμη και στο σχολείο, όλοι οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της «Ευκλείδειας γεωμετρίας», οι κύριες διατάξεις της οποίας επικεντρώνονται σε πολλά αξιώματα που βασίζονται σε γεωμετρικά στοιχεία όπως ένα σημείο, ένα επίπεδο, μια ευθεία γραμμή και η κίνηση. Όλοι μαζί σχηματίζουν αυτό που από καιρό ήταν γνωστό ως «Ευκλείδειος χώρος».

Ο Ευκλείδειος, ο οποίος βασίζεται στην αρχή του βαθμωτού πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων, είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικού (συγγενικού) χώρου που ικανοποιεί μια σειρά από απαιτήσεις. Πρώτον, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι απολύτως συμμετρικό, δηλαδή, ένα διάνυσμα με συντεταγμένες (x;y) είναι ποσοτικά ταυτόσημο με ένα διάνυσμα με συντεταγμένες (y;x), αλλά αντίθετη στην κατεύθυνση.

Δεύτερον, εάν ένα βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος εκτελείται με τον εαυτό του, τότε το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας θα είναι θετικό. Η μόνη εξαίρεση θα είναι η περίπτωση που οι αρχικές και τελικές συντεταγμένες αυτού του διανύσματος είναι ίσες με μηδέν: στην περίπτωση αυτή, το γινόμενο του με τον εαυτό του θα είναι επίσης ίσο με μηδέν.

Τρίτον, το κλιμακωτό γινόμενο είναι διανεμητικό, δηλαδή η δυνατότητα αποσύνθεσης μιας από τις συντεταγμένες του στο άθροισμα δύο τιμών, που δεν θα επιφέρει καμία αλλαγή στο τελικό αποτέλεσμα του βαθμωτού πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων. Τέλος, τέταρτον, κατά τον πολλαπλασιασμό των διανυσμάτων με το ίδιο πράγμα, το βαθμωτό γινόμενο τους θα αυξηθεί επίσης κατά το ίδιο ποσό.

Εάν πληρούνται και οι τέσσερις αυτές προϋποθέσεις, μπορούμε με βεβαιότητα να πούμε ότι πρόκειται για τον Ευκλείδειο χώρο.

Από πρακτική άποψη, ο Ευκλείδειος χώρος μπορεί να χαρακτηριστεί από τα ακόλουθα συγκεκριμένα παραδείγματα:

1. Η απλούστερη περίπτωση είναι η παρουσία ενός συνόλου διανυσμάτων με ένα βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται σύμφωνα με τους βασικούς νόμους της γεωμετρίας.
2. Ο Ευκλείδειος χώρος θα ληφθεί επίσης εάν με διανύσματα κατανοήσουμε ένα ορισμένο πεπερασμένο σύνολο πραγματικών αριθμών με έναν δεδομένο τύπο που περιγράφει το κλιμακωτό άθροισμα ή το γινόμενο τους.
3. Μια ειδική περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου θα πρέπει να αναγνωριστεί ως ο λεγόμενος μηδενικός χώρος, ο οποίος προκύπτει εάν το βαθμωτό μήκος και των δύο διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν.

Ο Ευκλείδειος χώρος έχει μια σειρά από συγκεκριμένες ιδιότητες. Πρώτον, ο βαθμωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες τόσο από τον πρώτο όσο και από τον δεύτερο παράγοντα του κλιμακωτού προϊόντος, το αποτέλεσμα δεν θα υποστεί καμία αλλαγή. Δεύτερον, μαζί με τη διανεμησιμότητα του πρώτου στοιχείου του κλιμακωτού προϊόντος, λειτουργεί και η κατανομή του δεύτερου στοιχείου. Επιπλέον, εκτός από το κλιμακωτό άθροισμα των διανυσμάτων, η κατανομή εμφανίζεται και στην περίπτωση της αφαίρεσης των διανυσμάτων. Τέλος, τρίτον, κατά τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με το μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ίσο με μηδέν.

Έτσι, ο Ευκλείδειος χώρος είναι η πιο σημαντική γεωμετρική έννοια που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων με τη σχετική θέση των διανυσμάτων μεταξύ τους, για να χαρακτηρίσει την οποία χρησιμοποιείται μια έννοια όπως ένα βαθμωτό γινόμενο.

Ευκλείδειος χώρος

Τ.Α. Volkova, T.P. Knysh.

ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΕΥΚΛΗΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ

Αγία Πετρούπολη

Κριτής: Υποψήφια Τεχνικών Επιστημών, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Shkadova A.R.

Ευκλείδειος χώρος και τετραγωνικές μορφές: σημειώσεις διαλέξεων. – Αγία Πετρούπολη: SPGUVK, 2012 – σελ.

Οι σημειώσεις διαλέξεων απευθύνονται σε δευτεροετείς φοιτητές του πτυχίου 010400.62 «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και Επιστήμη Υπολογιστών» και σε πρωτοετείς φοιτητές του πτυχίου 090900.62 «Ασφάλεια Πληροφοριών».

Το εγχειρίδιο περιέχει πλήρεις σημειώσεις διάλεξης για μια από τις ενότητες του κλάδου «Γεωμετρία και Άλγεβρα» για την κατεύθυνση 010400.62 και τον κλάδο «Άλγεβρα και Γεωμετρία» για την κατεύθυνση 090900.62 Το σχολικό βιβλίο αντιστοιχεί στα προγράμματα εργασίας των κλάδων, τα πρότυπα αυτών ειδικοτήτων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην προετοιμασία για τις εξετάσεις από μαθητές και καθηγητές.

© Πολιτεία της Αγίας Πετρούπολης

University of Water Communications, 2012

Πολλές ιδιότητες των αντικειμένων που βρίσκονται στη γεωμετρία σχετίζονται στενά με την ικανότητα μέτρησης του μήκους των τμημάτων και της γωνίας μεταξύ των ευθειών γραμμών. Στον γραμμικό χώρο δεν μπορούμε ακόμη να κάνουμε τέτοιες μετρήσεις, με αποτέλεσμα να στενεύει αρκετά το πεδίο εφαρμογής της γενικής θεωρίας των γραμμικών χώρων στη γεωμετρία και σε μια σειρά άλλων μαθηματικών κλάδων. Αυτή η δυσκολία, ωστόσο, μπορεί να εξαλειφθεί με την εισαγωγή της έννοιας του κλιμακωτού γινόμενου δύο διανυσμάτων. Δηλαδή, ας είναι ένας γραμμικός -διάστατος πραγματικός χώρος. Ας συσχετίσουμε κάθε ζεύγος διανυσμάτων με έναν πραγματικό αριθμό και ας καλέσουμε αυτόν τον αριθμό κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα και εάν πληρούνται οι ακόλουθες απαιτήσεις:

1. (ανταλλαγή νόμου).

3. για κάθε πραγματικό.

4. για οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα.

Το κλιμακωτό γινόμενο είναι μια ειδική περίπτωση της έννοιας αριθμητική συνάρτηση δύο διανυσματικών ορισμάτων, δηλαδή συναρτήσεις των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί. Μπορούμε επομένως να ονομάσουμε ένα κλιμακωτό γινόμενο μια αριθμητική συνάρτηση διανυσματικών ορισμάτων, , των οποίων οι τιμές ισχύουν για οποιεσδήποτε τιμές των ορισμάτων από και για τις οποίες ικανοποιούνται οι απαιτήσεις 1 - 4.

Θα καλείται ένας πραγματικός γραμμικός χώρος στον οποίο ορίζεται το βαθμωτό γινόμενο Ευκλείδειοςκαι θα συμβολίζεται με .

Σημειώστε ότι στον Ευκλείδειο χώρο το βαθμωτό γινόμενο ενός μηδενικού διανύσματος και οποιουδήποτε διανύσματος είναι ίσο με μηδέν: . Πράγματι, και λόγω απαίτησης 3. Αν υποθέσουμε, το καταλαβαίνουμε. Ως εκ τούτου, ειδικότερα, .

1. Έστω ο συνήθης τρισδιάστατος χώρος γεωμετρικών διανυσμάτων με κοινή αρχή στο σημείο . Στην αναλυτική γεωμετρία, το κλιμακωτό γινόμενο δύο τέτοιων διανυσμάτων είναι ένας πραγματικός αριθμός ίσος με , όπου και είναι τα μήκη των διανυσμάτων και , και είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων , και αποδεικνύεται ότι για αυτόν τον αριθμό όλες οι απαιτήσεις 1 − 4 είναι ικανοποιημένοι.

Έτσι, η έννοια του κλιμακωτού γινόμενου που εισήχθη από εμάς είναι μια γενίκευση της έννοιας ενός κλιμακωτού γινόμενου γεωμετρικών διανυσμάτων.

2. Θεωρήστε το διάστημα των διαστάσεων σειρών με πραγματικές συντεταγμένες και αντιστοιχίστε έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε ζεύγος τέτοιων διανυσμάτων σειρών

Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι πληρούνται όλες οι απαιτήσεις 1 - 4 για αυτόν τον αριθμό:

και ομοίως. Τελικά,

αφού τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς στο είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Βλέπουμε από εδώ ότι αυτός ο αριθμός είναι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων συμβολοσειράς και , και ο χώρος, αφού εισαγάγαμε ένα τέτοιο βαθμωτό γινόμενο, γίνεται Ευκλείδειος.

3. Έστω ένας γραμμικός πραγματικός -διάστατος χώρος και είναι μέρος της βάσης του. Ας συσχετίσουμε κάθε ζεύγος διανυσμάτων με έναν πραγματικό αριθμό. Τότε ο χώρος θα μετατραπεί σε Ευκλείδειο, δηλαδή ο αριθμός θα είναι το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων και . Πράγματι:

Μπορούμε ακόμη και να μετατρέψουμε τον χώρο μας σε Ευκλείδειο χώρο με άλλους τρόπους, για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να αντιστοιχίσουμε ένα ζεύγος διανυσμάτων, έναν πραγματικό αριθμό

και είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι για έναν τέτοιο αριθμό πληρούνται όλες οι απαιτήσεις 1 − 4, που χαρακτηρίζουν το κλιμακωτό γινόμενο. Επειδή όμως εδώ (με την ίδια βάση) έχουμε ορίσει μια διαφορετική αριθμητική συνάρτηση, τότε παίρνουμε έναν διαφορετικό Ευκλείδειο χώρο με διαφορετικό «ορισμό μέτρου».

4. Τέλος, γυρίζοντας στο ίδιο διάστημα, θεωρήστε την αριθμητική συνάρτηση, η οποία, για , ορίζεται από την ισότητα . Αυτή η συνάρτηση δεν είναι πλέον βαθμωτό γινόμενο, καθώς η απαίτηση 4 παραβιάζεται: όταν , το διάνυσμα είναι ίσο με , a . Επομένως, ο Ευκλείδειος χώρος δεν μπορεί να ληφθεί εδώ.

Χρησιμοποιώντας τις απαιτήσεις 2 και 3 που περιλαμβάνονται στον ορισμό του βαθμωτού προϊόντος, είναι εύκολο να αποκτήσετε τον ακόλουθο τύπο:

όπου , είναι δύο αυθαίρετα συστήματα διανυσμάτων. Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει για αυθαίρετη βάση και για οποιοδήποτε ζεύγος διανυσμάτων, , ότι

Οπου . Η έκφραση στη δεξιά πλευρά της ισότητας (1) είναι πολυώνυμο στο και και ονομάζεται διγραμμική μορφήαπό και (κάθε όρος του είναι γραμμικός, δηλ. πρώτου βαθμού, τόσο ως προς όσο και ως προς το ). Η διγραμμική μορφή ονομάζεται συμμετρικός, αν για καθέναν από τους συντελεστές του ικανοποιείται η συνθήκη συμμετρίας. Ετσι, κλιμακωτό προϊόν σε αυθαίρετη βάση εκφράζεται ως διγραμμική συμμετρική μορφή των διανυσματικών συντεταγμένων , με πραγματικές πιθανότητες. Αλλά αυτό δεν είναι ακόμα αρκετό. Δηλαδή, θέτοντας , λαμβάνουμε από την ισότητα (1) ότι

§3. Διάσταση και βάση του διανυσματικού χώρου

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Ασήμαντο και μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό

Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα

Ιδιότητες του διανυσματικού χώρου που σχετίζονται με τη γραμμική εξάρτηση των διανυσμάτων

Π-διαστατικός διανυσματικός χώρος

Διάσταση διανυσματικού χώρου

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση

§4. Μετάβαση σε νέα βάση

Πίνακας μετάβασης από την παλιά βάση στη νέα

Διανυσματικές συντεταγμένες στη νέα βάση

§5. Ευκλείδειος χώρος

Scalar προϊόν

Ευκλείδειος χώρος

Μήκος (κανόνας) του διανύσματος

Ιδιότητες του διανυσματικού μήκους

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Ορθογώνια διανύσματα

Ορθοκανονική βάση

§ 3. Διάσταση και βάση διανυσματικού χώρου

Θεωρήστε κάποιο διανυσματικό χώρο (V, Å, ∘) πάνω από το πεδίο R. Έστω μερικά στοιχεία του συνόλου V, δηλ. φορείς.

Γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα είναι οποιοδήποτε διάνυσμα ίσο με το άθροισμα των γινομένων αυτών των διανυσμάτων από αυθαίρετα στοιχεία του πεδίου R(δηλαδή σε βαθμίδες):

Αν όλοι οι βαθμωτοί είναι ίσοι με μηδέν, τότε ονομάζεται ένας τέτοιος γραμμικός συνδυασμός ασήμαντος(το πιο απλό), και .

Αν τουλάχιστον ένας βαθμωτός είναι μη μηδενικός, καλείται ο γραμμικός συνδυασμός μη τετριμμένο.

Τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη, εάν μόνο ο τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι ίσος με:

Τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με .

Παράδειγμα. Εξετάστε το σύνολο των διατεταγμένων συνόλων τετραπλών πραγματικών αριθμών - αυτός είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών. Εργασία: βρείτε αν τα διανύσματα είναι , Και γραμμικά εξαρτώμενη.

Λύση.

Ας κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων: , όπου είναι άγνωστοι αριθμοί. Απαιτούμε αυτός ο γραμμικός συνδυασμός να είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα: .

Σε αυτή την ισότητα γράφουμε τα διανύσματα ως στήλες αριθμών:

Εάν υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους ισχύει αυτή η ισότητα, και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε αυτός είναι ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός και τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Ας κάνουμε τα εξής:

Έτσι, το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων:

Λύνοντάς το, παίρνουμε:

Οι τάξεις των εκτεταμένων και κύριων πινάκων του συστήματος είναι ίσες και μικρότερες από τον αριθμό των αγνώστων, επομένως, το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Αφήστε , τότε και .

Έτσι, για αυτά τα διανύσματα υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός, για παράδειγμα στο , ο οποίος είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα, που σημαίνει ότι αυτά τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Ας σημειώσουμε μερικά ιδιότητες του διανυσματικού χώρου που σχετίζονται με τη γραμμική εξάρτηση των διανυσμάτων:

1. Εάν τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε τουλάχιστον ένα από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

2. Αν μεταξύ των διανυσμάτων υπάρχει μηδενικό διάνυσμα, τότε αυτά τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

3. Εάν μερικά από τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε όλα αυτά τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται Π-διαστατικός διανυσματικός χώρος, εάν περιέχει Πγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και οποιοδήποτε σύνολο ( Π+ 1) τα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.

Αριθμός Ππου ονομάζεται διάσταση του διανυσματικού χώρου, και συμβολίζεται dim(V)από την αγγλική "διάσταση" - διάσταση (μέτρηση, μέγεθος, διάσταση, μέγεθος, μήκος κ.λπ.).

Ολότητα Πγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα Π-διαστατικός διανυσματικός χώρος ονομάζεται βάση.

Ο τύπος (*) ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης κατά βάση, και τους αριθμούς – διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση .

Ένας διανυσματικός χώρος μπορεί να έχει περισσότερες από μία ή και άπειρες βάσεις. Σε κάθε νέα βάση, το ίδιο διάνυσμα θα έχει διαφορετικές συντεταγμένες.

§ 4. Μετάβαση σε νέα βάση

Στη γραμμική άλγεβρα, συχνά προκύπτει το πρόβλημα της εύρεσης των συντεταγμένων ενός διανύσματος σε μια νέα βάση, εάν οι συντεταγμένες του στην παλιά βάση είναι γνωστές.

Ας δούμε μερικά Π-διαστατικός διανυσματικός χώρος (V, +, ·) πάνω από το πεδίο R. Ας υπάρχουν δύο βάσεις σε αυτόν τον χώρο: παλιά και νέα .

Εργασία: βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος στη νέα βάση.

Αφήστε τα διανύσματα της νέας βάσης στην παλιά βάση να έχουν την επέκταση:

,

Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στον πίνακα όχι σε σειρές, όπως είναι γραμμένες στο σύστημα, αλλά σε στήλες:

Ο προκύπτων πίνακας ονομάζεται μήτρα μετάβασηςαπό την παλιά βάση στη νέα.

Ο πίνακας μετάβασης συνδέει τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος στην παλιά και τη νέα βάση με την ακόλουθη σχέση:

,

όπου βρίσκονται οι επιθυμητές συντεταγμένες του διανύσματος στη νέα βάση.

Έτσι, το έργο της εύρεσης των διανυσματικών συντεταγμένων σε μια νέα βάση περιορίζεται στην επίλυση της εξίσωσης του πίνακα: , όπου Χ– μήτρα-στήλη διανυσματικών συντεταγμένων στην παλιά βάση, ΕΝΑ– πίνακας μετάβασης από την παλιά βάση στη νέα, Χ* – η απαιτούμενη μήτρα-στήλη συντεταγμένων διανυσμάτων στη νέα βάση. Από την εξίσωση του πίνακα παίρνουμε:

Ετσι, διανυσματικές συντεταγμένες σε νέα βάσηβρίσκονται από την ισότητα:

.

Παράδειγμα.Σε μια συγκεκριμένη βάση, δίνονται οι διανυσματικές αποσυνθέσεις:

Βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση.

Λύση.

1. Ας γράψουμε τον πίνακα μετάβασης σε μια νέα βάση, π.χ. Θα γράψουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στην παλιά βάση σε στήλες:

2. Βρείτε τον πίνακα ΕΝΑ –1:

3. Εκτελέστε πολλαπλασιασμό , όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος:

Απάντηση: .

§ 5. Ευκλείδειος χώρος

Ας δούμε μερικά Π-διαστατικός διανυσματικός χώρος (V, +, ·) πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών R. Ας είναι κάποια βάση αυτού του χώρου.

Ας εισαγάγουμε σε αυτόν τον διανυσματικό χώρο μετρικός, δηλ. Ας προσδιορίσουμε πώς να μετρήσουμε τα μήκη και τις γωνίες. Για να γίνει αυτό, ορίζουμε την έννοια του κλιμακωτού προϊόντος.