Τύποι για τα εμβαδά τριγώνου, παραλληλογράμμου, τραπεζοειδούς, κύκλου. Πώς να υπολογίσετε και να επισημάνετε την περιοχή

Εμβαδόν γεωμετρικού σχήματος- ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός γεωμετρικού σχήματος που δείχνει το μέγεθος αυτού του σχήματος (τμήμα της επιφάνειας που περιορίζεται από το κλειστό περίγραμμα αυτού του σχήματος). Το μέγεθος του εμβαδού εκφράζεται με τον αριθμό των τετραγωνικών μονάδων που περιέχονται σε αυτό.

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου δίπλα και το ύψος
   Εμβαδόν τριγώνουίσο με το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς ενός τριγώνου και του μήκους του υψομέτρου που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά
   
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του κυκλικού κύκλου
   
3. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
   Εμβαδόν τριγώνουισούται με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου του τριγώνου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου.
   
όπου S είναι το εμβαδόν του τριγώνου,
- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου,
- ύψος του τριγώνου,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών και,
- ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
R - ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,

Τύποι τετραγωνικού εμβαδού

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός τετραγώνου κατά μήκος της πλευράς
   Τετράγωνη έκτασηίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του.
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός τετραγώνου κατά μήκος της διαγώνιας
   Τετράγωνη έκτασηίσο με το μισό του τετραγώνου του μήκους της διαγωνίου του.
   

   S=	1	2
   	2

όπου S είναι το εμβαδόν του τετραγώνου,
- μήκος της πλευράς του τετραγώνου,
- μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου.

Τύπος ορθογώνιου εμβαδού

Εμβαδόν ορθογωνίουίσο με το γινόμενο των μηκών των δύο διπλανών πλευρών του

όπου S είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου,
- μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.

Τύποι εμβαδού παραλληλογράμμου

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με βάση το μήκος και το ύψος της πλευράς
   Εμβαδόν παραλληλογράμμου
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με βάση δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους
   Εμβαδόν παραλληλογράμμουισούται με το γινόμενο των μηκών των πλευρών του πολλαπλασιασμένο επί το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
   

   a b sin α

όπου S είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου,
- τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου,
- μήκος παραλληλογράμμου ύψους,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών του παραλληλογράμμου.

Τύποι για την περιοχή ενός ρόμβου

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση το μήκος και το ύψος της πλευράς
   Περιοχή ρόμβουίσο με το γινόμενο του μήκους της πλευράς του και το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση το μήκος και τη γωνία της πλευράς
   Περιοχή ρόμβουείναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου του μήκους της πλευράς του και του ημιτόνου της γωνίας μεταξύ των πλευρών του ρόμβου.
3. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση τα μήκη των διαγωνίων του
   Περιοχή ρόμβουίσο με το μισό του γινόμενου των μηκών των διαγωνίων του.
όπου S είναι το εμβαδόν του ρόμβου,
- μήκος της πλευράς του ρόμβου,
- μήκος του ύψους του ρόμβου,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών του ρόμβου,
1, 2 - μήκη διαγωνίων.

Τύποι τραπεζοειδούς περιοχής

1. Ο τύπος του Heron για το τραπεζοειδές

   Όπου S είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς,
   - τα μήκη των βάσεων του τραπεζοειδούς,
   - μήκη των πλευρών του τραπεζοειδούς,
   

Τύπος περιοχήςείναι απαραίτητο για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός σχήματος, το οποίο είναι μια συνάρτηση με πραγματική αξία που ορίζεται σε μια συγκεκριμένη κατηγορία ψηφίων του ευκλείδειου επιπέδου και ικανοποιεί 4 συνθήκες:

1. Θετικότητα - Η περιοχή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από το μηδέν.
2. Κανονικοποίηση - ένα τετράγωνο με πλευρική μονάδα έχει εμβαδόν 1.
3. Συμφωνία - τα ομοιόμορφα σχήματα έχουν ίσο εμβαδόν.
4. Προσθετικότητα - το εμβαδόν της ένωσης 2 ψηφίων χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Οι περιοχές των γεωμετρικών σχημάτων είναι αριθμητικές τιμές που χαρακτηρίζουν το μέγεθός τους σε δισδιάστατο χώρο. Αυτή η τιμή μπορεί να μετρηθεί σε μονάδες συστήματος και εκτός συστήματος. Έτσι, για παράδειγμα, μια μη συστημική μονάδα επιφάνειας είναι ένα εκατοστό, ένα εκτάριο. Αυτό συμβαίνει εάν η επιφάνεια που μετράται είναι ένα κομμάτι γης. Η μονάδα συστήματος εμβαδού είναι το τετράγωνο του μήκους. Στο σύστημα SI, η μονάδα εμβαδού επίπεδης επιφάνειας είναι το τετραγωνικό μέτρο. Στο GHS, η μονάδα εμβαδού εκφράζεται ως τετραγωνικό εκατοστό.

Οι τύποι γεωμετρίας και εμβαδού είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι. Αυτή η σύνδεση έγκειται στο γεγονός ότι ο υπολογισμός των εμβαδών των επίπεδων ψηφίων βασίζεται ακριβώς στην εφαρμογή τους. Για πολλά σχήματα, προκύπτουν διάφορες επιλογές από τις οποίες υπολογίζονται οι τετραγωνικές τους διαστάσεις. Με βάση τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος, μπορούμε να προσδιορίσουμε την απλούστερη δυνατή λύση. Αυτό θα διευκολύνει τον υπολογισμό και θα μειώσει την πιθανότητα σφαλμάτων υπολογισμού στο ελάχιστο. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε τις κύριες περιοχές των σχημάτων στη γεωμετρία.

Οι τύποι για την εύρεση της περιοχής οποιουδήποτε τριγώνου παρουσιάζονται σε διάφορες επιλογές:

1) Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται από τη βάση α και το ύψος h. Ως βάση θεωρείται η πλευρά του σχήματος στην οποία χαμηλώνει το ύψος. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι:

2) Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο εάν η υποτείνουσα θεωρείται η βάση. Εάν πάρουμε το πόδι ως βάση, τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου θα είναι ίσο με το γινόμενο των ποδιών που έχουν μειωθεί στο μισό.

Οι τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου δεν τελειώνουν εκεί. Μια άλλη έκφραση περιέχει τις πλευρές a,b και την ημιτονοειδή συνάρτηση της γωνίας γ μεταξύ a και b. Η ημιτονοειδής τιμή βρίσκεται στους πίνακες. Μπορείτε επίσης να το μάθετε χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι:

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ισότητα, μπορείτε επίσης να επαληθεύσετε ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου καθορίζεται μέσω των μήκων των ποδιών. Επειδή Η γωνία γ είναι μια ορθή γωνία, επομένως το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου υπολογίζεται χωρίς να πολλαπλασιάζεται με την ημιτονοειδή συνάρτηση.

3) Εξετάστε μια ειδική περίπτωση - ένα κανονικό τρίγωνο, του οποίου η πλευρά a είναι γνωστή από τη συνθήκη ή το μήκος του μπορεί να βρεθεί κατά την επίλυση. Τίποτα περισσότερο δεν είναι γνωστό για το σχήμα στο πρόβλημα της γεωμετρίας. Τότε πώς να βρείτε την περιοχή κάτω από αυτήν την κατάσταση; Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζεται ο τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου:

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου και να χρησιμοποιήσετε τις διαστάσεις των πλευρών που έχουν κοινή κορυφή; Η έκφραση υπολογισμού είναι:

Εάν πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα μήκη των διαγωνίων για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, τότε θα χρειαστείτε μια συνάρτηση του ημιτόνου της γωνίας που σχηματίζεται όταν τέμνονται. Αυτός ο τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι:

τετράγωνο

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου προσδιορίζεται ως η δεύτερη δύναμη του μήκους της πλευράς:

Η απόδειξη προκύπτει από τον ορισμό ότι ένα τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο. Όλες οι πλευρές που σχηματίζουν ένα τετράγωνο έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Επομένως, ο υπολογισμός του εμβαδού ενός τέτοιου ορθογωνίου καταλήγει στον πολλαπλασιασμό του ενός με το άλλο, δηλαδή στη δεύτερη δύναμη της πλευράς. Και ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τετραγώνου θα πάρει την επιθυμητή μορφή.

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου μπορεί να βρεθεί με άλλο τρόπο, για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιήσετε τη διαγώνιο:

Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος που σχηματίζεται από ένα τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από έναν κύκλο; Για τον υπολογισμό του εμβαδού, οι τύποι είναι:

Παραλληλόγραμμο

Για ένα παραλληλόγραμμο, ο τύπος περιέχει τις γραμμικές διαστάσεις της πλευράς, το ύψος και τη μαθηματική πράξη - πολλαπλασιασμό. Εάν το ύψος είναι άγνωστο, τότε πώς να βρείτε την περιοχή του παραλληλογράμμου; Υπάρχει άλλος τρόπος υπολογισμού. Θα απαιτηθεί μια ορισμένη τιμή, η οποία θα ληφθεί από την τριγωνομετρική συνάρτηση της γωνίας που σχηματίζουν οι γειτονικές πλευρές, καθώς και το μήκος τους.

Οι τύποι για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι:

Ρόμβος

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τετράπλευρου που ονομάζεται ρόμβος; Το εμβαδόν ενός ρόμβου προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας απλά μαθηματικά με διαγώνιες. Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι τα διαγώνια τμήματα στα d1 και d2 τέμνονται κάθετα. Ο πίνακας των ημιτόνων δείχνει ότι για μια ορθή γωνία αυτή η συνάρτηση είναι ίση με τη μονάδα. Επομένως, το εμβαδόν ενός ρόμβου υπολογίζεται ως εξής:

Η περιοχή ενός ρόμβου μπορεί επίσης να βρεθεί με άλλο τρόπο. Αυτό επίσης δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί, δεδομένου ότι οι πλευρές του έχουν το ίδιο μήκος. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το γινόμενο τους σε μια παρόμοια έκφραση για ένα παραλληλόγραμμο. Άλλωστε, μια ιδιαίτερη περίπτωση της συγκεκριμένης φιγούρας είναι ένας ρόμβος. Εδώ γ είναι η εσωτερική γωνία του ρόμβου. Το εμβαδόν ενός ρόμβου προσδιορίζεται ως εξής:

Τραπεζοειδές

Πώς να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς μέσω των βάσεων (α και β), εάν το πρόβλημα υποδεικνύει τα μήκη τους; Εδώ, χωρίς μια γνωστή τιμή του μήκους ύψους h, δεν θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της περιοχής ενός τέτοιου τραπεζοειδούς. Επειδή αυτή η τιμή περιέχει την έκφραση για τον υπολογισμό:

Το τετράγωνο μέγεθος ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς μπορεί επίσης να υπολογιστεί με τον ίδιο τρόπο. Λαμβάνεται υπόψη ότι σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο συνδυάζονται οι έννοιες του ύψους και της πλευράς. Επομένως, για ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές, πρέπει να υποδείξετε το μήκος της πλευρικής πλευράς αντί για το ύψος.

Κύλινδρος και παραλληλεπίπεδο

Ας εξετάσουμε τι χρειάζεται για να υπολογίσουμε την επιφάνεια ολόκληρου του κυλίνδρου. Η περιοχή αυτού του σχήματος είναι ένα ζευγάρι κύκλων που ονομάζονται βάσεις και μια πλευρική επιφάνεια. Οι κύκλοι που σχηματίζουν κύκλους έχουν μήκη ακτίνας ίσες με r. Για το εμβαδόν ενός κυλίνδρου γίνεται ο ακόλουθος υπολογισμός:

Πώς να βρείτε την περιοχή ενός παραλληλεπίπεδου που αποτελείται από τρία ζεύγη όψεων; Οι μετρήσεις του ταιριάζουν με το συγκεκριμένο ζευγάρι. Οι αντίθετες όψεις έχουν τις ίδιες παραμέτρους. Αρχικά, βρείτε S(1), S(2), S(3) - τις τετράγωνες διαστάσεις των άνισων όψεων. Τότε η επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου είναι:

Δαχτυλίδι

Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο σχηματίζουν έναν δακτύλιο. Περιορίζουν επίσης την περιοχή του δακτυλίου. Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο τύποι υπολογισμού λαμβάνουν υπόψη τις διαστάσεις κάθε κύκλου. Το πρώτο από αυτά, υπολογίζοντας την περιοχή του δακτυλίου, περιέχει τις μεγαλύτερες ακτίνες R και μικρότερες r. Πιο συχνά ονομάζονται εξωτερικά και εσωτερικά. Στη δεύτερη έκφραση, η περιοχή του δακτυλίου υπολογίζεται μέσω των μεγαλύτερων διαμέτρων D και μικρότερων d. Έτσι, η περιοχή του δακτυλίου με βάση τις γνωστές ακτίνες υπολογίζεται ως εξής:

Η περιοχή του δακτυλίου, χρησιμοποιώντας τα μήκη των διαμέτρων, προσδιορίζεται ως εξής:

Πολύγωνο

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου του οποίου το σχήμα δεν είναι κανονικό; Δεν υπάρχει γενικός τύπος για την περιοχή τέτοιων αριθμών. Αλλά εάν απεικονίζεται σε ένα επίπεδο συντεταγμένων, για παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι καρό χαρτί, τότε πώς να βρείτε την επιφάνεια σε αυτήν την περίπτωση; Εδώ χρησιμοποιούν μια μέθοδο που δεν απαιτεί κατά προσέγγιση μέτρηση του σχήματος. Κάνουν αυτό: αν βρουν σημεία που εμπίπτουν στη γωνία του κελιού ή έχουν ολόκληρες συντεταγμένες, τότε μόνο αυτά λαμβάνονται υπόψη. Για να μάθετε στη συνέχεια ποια είναι η περιοχή, χρησιμοποιήστε τον τύπο που αποδείχθηκε από τον Peake. Είναι απαραίτητο να προσθέσετε τον αριθμό των σημείων που βρίσκονται μέσα στη διακεκομμένη γραμμή με τα μισά σημεία που βρίσκονται πάνω της και να αφαιρέσετε ένα, δηλ. υπολογίζεται ως εξής:

όπου B, G - ο αριθμός των σημείων που βρίσκονται εντός και σε ολόκληρη τη διακεκομμένη γραμμή, αντίστοιχα.

Η γνώση του τρόπου μέτρησης της Γης εμφανίστηκε στην αρχαιότητα και σταδιακά διαμορφώθηκε στην επιστήμη της γεωμετρίας. Αυτή η λέξη μεταφράζεται από τα ελληνικά ως «τοποθέτηση γης».

Το μέτρο της έκτασης ενός επίπεδου τμήματος της Γης σε μήκος και πλάτος είναι το εμβαδόν. Στα μαθηματικά, συνήθως υποδηλώνεται με το λατινικό γράμμα S (από το αγγλικό "square" - "area", "square") ή το ελληνικό γράμμα σ (sigma). Το S υποδηλώνει το εμβαδόν ενός σχήματος σε ένα επίπεδο ή το εμβαδόν επιφάνειας ενός σώματος και το σ είναι το εμβαδόν διατομής ενός σύρματος στη φυσική. Αυτά είναι τα κύρια σύμβολα, αν και μπορεί να υπάρχουν άλλα, για παράδειγμα, στον τομέα της αντοχής των υλικών, το Α είναι η περιοχή διατομής του προφίλ.

Σε επαφή με

Τύποι υπολογισμού

Γνωρίζοντας τις περιοχές των απλών σχημάτων, μπορείτε να βρείτε τις παραμέτρους πιο πολύπλοκων.. Οι αρχαίοι μαθηματικοί ανέπτυξαν τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εύκολο υπολογισμό τους. Τέτοια σχήματα είναι τρίγωνο, τετράγωνο, πολύγωνο, κύκλος.

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός σύνθετου επίπεδου σχήματος, αυτό αναλύεται σε πολλά απλά σχήματα όπως τρίγωνα, τραπεζοειδή ή ορθογώνια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους, προκύπτει ένας τύπος για την περιοχή αυτού του σχήματος. Μια παρόμοια μέθοδος χρησιμοποιείται όχι μόνο στη γεωμετρία, αλλά και στη μαθηματική ανάλυση για τον υπολογισμό των περιοχών των σχημάτων που οριοθετούνται από καμπύλες.

Τρίγωνο

Ας ξεκινήσουμε με το απλούστερο σχήμα - ένα τρίγωνο. Είναι ορθογώνια, ισοσκελή και ισόπλευρα. Πάρτε οποιοδήποτε τρίγωνο ABC με πλευρές AB=a, BC=b και AC=c (∆ ABC). Για να βρούμε το εμβαδόν του, ας θυμηθούμε τα γνωστά από το μάθημα των σχολικών μαθηματικών θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου. Αφήνοντας όλους τους υπολογισμούς, καταλήγουμε στους ακόλουθους τύπους:

• S=√ - Ο τύπος του Heron, γνωστός σε όλους, όπου p=(a+b+c)/2 είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
• S=a h/2, όπου h είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει στην πλευρά a.
• S=a b (sin γ)/2, όπου γ είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b.
• S=a b/2, αν το ∆ ABC είναι ορθογώνιο (εδώ a και b είναι σκέλη).
• S=b² (sin (2 β))/2, εάν το ∆ ABC είναι ισοσκελές (εδώ b είναι ένα από τα "ισχία", β είναι η γωνία μεταξύ των "ισχίων" του τριγώνου).
• S=a² √¾, αν το Δ ABC είναι ισόπλευρο (εδώ a είναι μια πλευρά του τριγώνου).

Τετράπλευρο

Έστω ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ με AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Για να βρείτε το εμβαδόν S ενός αυθαίρετου 4-γωνίου, πρέπει να το διαιρέσετε με τη διαγώνιο σε δύο τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων τα S1 και S2 γενικά δεν είναι ίσα.

Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τους τύπους για να τα υπολογίσετε και να τα προσθέσετε, δηλαδή S=S1+S2. Ωστόσο, εάν ένα 4-gon ανήκει σε μια συγκεκριμένη κατηγορία, τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας προηγουμένως γνωστούς τύπους:

• S=(a+c) h/2=e h, αν το τετράγωνο είναι τραπεζοειδές (εδώ a και c είναι οι βάσεις, e είναι η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς, h είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει σε μία από τις βάσεις του τραπεζοειδούς.
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, εάν το ABCD είναι παραλληλόγραμμο (εδώ φ είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b, h είναι το ύψος που έπεσε στην πλευρά a, d1 και d2 είναι διαγώνιοι).
• S=a b=d²/2, αν το ABCD είναι ορθογώνιο (d είναι διαγώνιος).
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, εάν το ABCD είναι ρόμβος (a είναι η πλευρά του ρόμβου, το φ είναι μία από τις γωνίες του, το P είναι η περίμετρος).
• S=a²=P²/16=d²/2, αν το ABCD είναι τετράγωνο.

Πολύγωνο

Για να βρουν το εμβαδόν ενός n-gon, οι μαθηματικοί το αναλύουν στα πιο απλά ίσα σχήματα - τρίγωνα, βρίσκουν το εμβαδόν του καθενός από αυτά και στη συνέχεια τα προσθέτουν. Αλλά αν το πολύγωνο ανήκει στην κατηγορία του κανονικού, τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο:

S=a n h/2=a² n/=P²/, όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών (ή πλευρών) του πολυγώνου, a είναι η πλευρά του n-γώνου, P είναι η περίμετρός του, h είναι το απόθεμα, δηλ. a τμήμα που σχεδιάζεται από το κέντρο του πολυγώνου σε μία από τις πλευρές του υπό γωνία 90°.

Κύκλος

Ένας κύκλος είναι ένα τέλειο πολύγωνο με άπειρο αριθμό πλευρών. Πρέπει να υπολογίσουμε το όριο της έκφρασης στα δεξιά στον τύπο για το εμβαδόν ενός πολυγώνου με τον αριθμό των πλευρών n να τείνουν στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, η περίμετρος του πολυγώνου θα μετατραπεί σε μήκος κύκλου ακτίνας R, που θα είναι το όριο του κύκλου μας, και θα γίνει ίση με P=2 π R. Αντικαταστήστε αυτή την έκφραση στον παραπάνω τύπο. Θα πάρουμε:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Ας βρούμε το όριο αυτής της έκφρασης ως n→∞. Για να γίνει αυτό, λαμβάνουμε υπόψη ότι το lim (cos (180°/n)) για n→∞ ισούται με cos 0°=1 (lim είναι το πρόσημο του ορίου) και lim = lim για n→∞ είναι ίσο με 1/π (μετατρέψαμε το μέτρο της μοίρας σε ακτίνιο, χρησιμοποιώντας τη σχέση π rad=180°, και εφαρμόσαμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο lim (sin x)/x=1 στο x→∞). Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στην τελευταία έκφραση για το S, φτάνουμε στον γνωστό τύπο:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Μονάδες

Χρησιμοποιούνται συστημικές και μη συστημικές μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες συστήματος ανήκουν στο SI (System International). Αυτό είναι ένα τετραγωνικό μέτρο (τ.μ., m²) και οι μονάδες που προέρχονται από αυτό: mm², cm², km².

Σε τετραγωνικά χιλιοστά (mm²), για παράδειγμα, μετρούν το εμβαδόν διατομής των συρμάτων στην ηλεκτροτεχνική, σε τετραγωνικά εκατοστά (cm²) - τη διατομή μιας δοκού στη δομική μηχανική, σε τετραγωνικά μέτρα (m²) - σε διαμέρισμα ή σπίτι, σε τετραγωνικά χιλιόμετρα (km²) - στη γεωγραφία .

Ωστόσο, μερικές φορές χρησιμοποιούνται μη συστημικές μονάδες μέτρησης, όπως: ύφανση, αρ (α), εκτάριο (ha) και στρέμμα (ως). Ας παρουσιάσουμε τις παρακάτω σχέσεις:

• 1 εκατό τετραγωνικά μέτρα=1 a=100 m²=0,01 εκτάρια;
• 1 ha=100 a=100 στρέμματα=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 στρέμματα = 0,405 εκτάρια.