Ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές

Αυτό το άρθρο εξετάζει το ζήτημα της επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η θεωρία θα συζητηθεί μαζί με παραδείγματα συγκεκριμένων προβλημάτων. Για την αποκρυπτογράφηση ακατανόητων όρων, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στο θέμα των βασικών ορισμών και εννοιών της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Ας εξετάσουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση (LDE) δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές της μορφής y "" + p · y " + q · y = f (x), όπου p και q είναι αυθαίρετοι αριθμοί, και την υπάρχουσα συνάρτηση f Το (x) είναι συνεχές στο διάστημα ολοκλήρωσης x.

Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του θεωρήματος για τη γενική λύση του LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Γενικό θεώρημα λύσης για LDNU

Θεώρημα 1

Η γενική λύση, που βρίσκεται στο διάστημα x, μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της μορφής y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) με συνεχείς συντελεστές ολοκλήρωσης στο διάστημα x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) και μια συνεχής συνάρτηση f (x) ισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης y 0, που αντιστοιχεί στο LOD και σε κάποια συγκεκριμένη λύση y ~, όπου η αρχική ανομοιογενής εξίσωση είναι y = y 0 + y ~.

Αυτό δείχνει ότι η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης δεύτερης τάξης έχει τη μορφή y = y 0 + y ~ . Ο αλγόριθμος για την εύρεση του y 0 συζητείται στο άρθρο για γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μετά από αυτό θα πρέπει να προχωρήσουμε στον ορισμό του y ~.

Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης για το LPDE εξαρτάται από τον τύπο της διαθέσιμης συνάρτησης f (x) που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εξεταστούν χωριστά οι λύσεις γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Όταν η f (x) θεωρείται πολυώνυμο του n βαθμού f (x) = P n (x), προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LPDE βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο της μορφής y ~ = Q n (x ) x γ, όπου Q n ( x) είναι πολυώνυμο βαθμού n, r είναι ο αριθμός των μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η τιμή y ~ είναι μια συγκεκριμένη λύση y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , τότε οι διαθέσιμοι συντελεστές που ορίζονται από το πολυώνυμο
Q n (x), βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών από την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Λύση

Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y "" - 2 y " = x 2 + 1, η οποία θα ικανοποιεί τις δεδομένες συνθήκες y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι το άθροισμα της γενικής λύσης, που αντιστοιχεί στην εξίσωση y 0 ή σε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση y ~, δηλαδή y = y 0 + y ~.

Πρώτα, θα βρούμε μια γενική λύση για το LNDU και μετά μια συγκεκριμένη.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση του y 0. Η εγγραφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα σας βοηθήσει να βρείτε τις ρίζες. Το καταλαβαίνουμε

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι διαφορετικές και πραγματικές. Επομένως, ας γράψουμε

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Ας βρούμε το y ~ . Μπορεί να φανεί ότι η δεξιά πλευρά της δεδομένης εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού, τότε μία από τις ρίζες είναι ίση με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση για το y ~ θα είναι

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, όπου οι τιμές των A, B, C λαμβάνουν απροσδιόριστους συντελεστές.

Ας τα βρούμε από μια ισότητα της μορφής y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Τότε παίρνουμε ότι:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους εκθέτες του x, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εκφράσεων - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Όταν λύνουμε με οποιαδήποτε από τις μεθόδους, θα βρούμε τους συντελεστές και θα γράψουμε: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 και y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται γενική λύση της αρχικής γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Για να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις συνθήκες y (0) = 2, y "(0) = 1 4, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τιμές Γ 1Και Γ 2, με βάση μια ισότητα της μορφής y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Καταλαβαίνουμε ότι:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Εργαζόμαστε με το προκύπτον σύστημα εξισώσεων της μορφής C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, όπου C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Cauchy, έχουμε αυτό

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Απάντηση: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Όταν η συνάρτηση f (x) παριστάνεται ως το γινόμενο ενός πολυωνύμου με βαθμό n και εκθέτη f (x) = P n (x) · e a x, τότε προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LPDE δεύτερης τάξης θα είναι εξίσωση της μορφής y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο n ου βαθμού και r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με α.

Οι συντελεστές που ανήκουν στο Q n (x) βρίσκονται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Λύση

Η γενική εξίσωση είναι y = y 0 + y ~ . Η υποδεικνυόμενη εξίσωση αντιστοιχεί στο LOD y "" - 2 y " = 0. Από το προηγούμενο παράδειγμα φαίνεται ότι οι ρίζες της είναι ίσες k 1 = 0και k 2 = 2 και y 0 = C 1 + C 2 e 2 x από τη χαρακτηριστική εξίσωση.

Φαίνεται ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι x 2 + 1 · e x . Από εδώ το LPDE βρίσκεται μέσω y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, όπου α = 1 και r = 0, επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση δεν έχουν ρίζα ίση με 1. Από εδώ το καταλαβαίνουμε

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

Οι A, B, C είναι άγνωστοι συντελεστές που μπορούν να βρεθούν από την ισότητα y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Το κατάλαβα

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Εξισώνουμε τους δείκτες με τους ίδιους συντελεστές και παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Από εδώ βρίσκουμε τα Α, Β, Γ:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Απάντηση:είναι σαφές ότι y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 είναι μια συγκεκριμένη λύση του LNDDE, και y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - μια γενική λύση για μια ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης.

Όταν η συνάρτηση γράφεται ως f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, και Α'1Και ΣΕ 1είναι αριθμοί, τότε μια μερική λύση του LPDE θεωρείται εξίσωση της μορφής y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, όπου Α και B θεωρούνται απροσδιόριστοι συντελεστές και r είναι ο αριθμός των σύνθετες συζυγείς ρίζες που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσες με ± i β . Σε αυτή την περίπτωση, η αναζήτηση για συντελεστές πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Παράδειγμα 3

Βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Λύση

Πριν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, βρίσκουμε y 0. Επειτα

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Έχουμε ένα ζευγάρι σύνθετων συζυγών ριζών. Ας μεταμορφωθούμε και πάρουμε:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης θεωρούνται το συζυγές ζεύγος ± 2 i, τότε f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Αυτό δείχνει ότι η αναζήτηση για y ~ θα γίνει από y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Άγνωστα Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές Α και Β από μια ισότητα της μορφής y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ας μεταμορφώσουμε:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Τότε είναι ξεκάθαρο ότι

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Είναι απαραίτητο να εξισωθούν οι συντελεστές ημιτόνων και συνημιτόνων. Παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Έπεται ότι y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Απάντηση:θεωρείται η γενική λύση του αρχικού LDDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Όταν f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), τότε y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Έχουμε ότι r είναι ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ζευγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με α ± i β, όπου P n (x), Q k (x). L m (x) και Nm(x)είναι πολυώνυμα βαθμού n, k, m, m, όπου m = m a x (n, k). Εύρεση συντελεστών Lm(x)Και Nm(x)γίνεται με βάση την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη γενική λύση y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Λύση

Σύμφωνα με την προϋπόθεση είναι σαφές ότι

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Τότε m = m a x (n, k) = 1. Βρίσκουμε το y 0 γράφοντας πρώτα μια χαρακτηριστική εξίσωση της μορφής:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Επομένως y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε μια γενική λύση που βασίζεται στην ανομοιογενή εξίσωση y ~ της μορφής

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Είναι γνωστό ότι τα Α, Β, Γ είναι συντελεστές, r = 0, γιατί δεν υπάρχει ζεύγος συζυγών ριζών που να σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση με α ± i β = 3 ± 5 · i. Βρίσκουμε αυτούς τους συντελεστές από την ισότητα που προκύπτει:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + Δ) αμαρτία (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) αμαρτία (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Η εύρεση της παραγώγου και παρόμοιων όρων δίνει

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · αμαρτία (5 x) + 45 · αμαρτία (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Αφού εξισώσουμε τους συντελεστές, παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Από όλα προκύπτει ότι

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))

Απάντηση:Τώρα έχουμε λάβει μια γενική λύση στη δεδομένη γραμμική εξίσωση:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))

Αλγόριθμος επίλυσης LDNU

Ορισμός 1

Οποιοσδήποτε άλλος τύπος συνάρτησης f (x) για λύση απαιτεί συμμόρφωση με τον αλγόριθμο λύσης:

βρίσκοντας μια γενική λύση στην αντίστοιχη γραμμική ομοιογενή εξίσωση, όπου y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, όπου y 1Και y 2είναι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις του LODE, Γ 1Και Γ 2θεωρούνται αυθαίρετες σταθερές.
υιοθέτηση ως γενική λύση του LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
προσδιορισμός παραγώγων μιας συνάρτησης μέσω συστήματος της μορφής C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , και εύρεση συναρτήσεων C 1 (x)και C 2 (x) μέσω ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τη γενική λύση για το y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Λύση

Προχωράμε στη σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης, έχοντας προηγουμένως γράψει y 0, y "" + 36 y = 0. Ας γράψουμε και ας λύσουμε:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = αμαρτία (6 x)

Έχουμε ότι η γενική λύση της δεδομένης εξίσωσης θα γραφεί ως y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε στον ορισμό των παραγώγων συναρτήσεων C 1 (x)Και C2(x)σύμφωνα με ένα σύστημα με εξισώσεις:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 αμαρτία (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Πρέπει να ληφθεί απόφαση σχετικά C 1" (x)Και C 2" (x)χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο. Στη συνέχεια γράφουμε:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Κάθε μία από τις εξισώσεις πρέπει να ενσωματωθεί. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x αμαρτία (6 x) + C 4

Από αυτό προκύπτει ότι η γενική λύση θα έχει τη μορφή:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 αμαρτία (6 x)

Απάντηση: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Βασικές αρχές επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (LNDE-2) με σταθερούς συντελεστές (PC)

Ένα LDDE 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές $p$ και $q$ έχει τη μορφή $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, όπου $f\left(x \right)$ είναι μια συνεχής συνάρτηση.

Όσον αφορά το LNDU 2 με υπολογιστή, οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς.

Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνάρτηση $U$ είναι μια αυθαίρετη μερική λύση μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε επίσης ότι κάποια συνάρτηση $Y$ είναι η γενική λύση (GS) της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Τότε το GR του Το LHDE-2 είναι ίσο με το άθροισμα των υποδεικνυόμενων ιδιωτικών και γενικών λύσεων, δηλαδή $y=U+Y$.

Αν η δεξιά πλευρά ενός LMDE 2ης τάξης είναι ένα άθροισμα συναρτήσεων, δηλαδή $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, τότε πρώτα μπορούμε να βρούμε τα PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ που αντιστοιχούν. σε καθεμία από τις συναρτήσεις $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, και μετά γράψτε το CR LNDU-2 με τη μορφή $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Λύση LPDE 2ης τάξης με Η/Υ

Είναι προφανές ότι ο τύπος του ενός ή του άλλου PD $U$ ενός δεδομένου LNDU-2 εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή της δεξιάς πλευράς του $f\left(x\right)$. Οι απλούστερες περιπτώσεις αναζήτησης για PD LNDU-2 διατυπώνονται με τη μορφή των παρακάτω τεσσάρων κανόνων.

Κανόνας #1.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, δηλαδή ονομάζεται α πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, όπου το $Q_(n) \left(x\right)$ είναι άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$, και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2 που είναι ίσοι με μηδέν. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών (UK).

Κανόνας Νο. 2.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) Το \left( x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, όπου $Q_(n ) \ left(x\right)$ είναι ένα άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης LODE-2 ίσο με $\alpha $. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.

Κανόνας Νο. 3.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, όπου οι $a$, $b$ και $\beta$ είναι γνωστοί αριθμοί. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, όπου $A$ και $B$ είναι άγνωστοι συντελεστές, και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίσος με $i\cdot \beta $. Οι συντελεστές $A$ και $B$ βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μη καταστροφική μέθοδο.

Κανόνας Νο. 4.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, όπου $P_(n) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $ n$ και το $P_(m) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $m$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, όπου $Q_(s) \left(x\right)$ και $ R_(s) \left(x\right)$ είναι πολυώνυμα βαθμού $s$, ο αριθμός $s$ είναι ο μέγιστος αριθμός δύο αριθμών $n$ και $m$ και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίση με $\alpha +i\cdot \beta $. Οι συντελεστές των πολυωνύμων $Q_(s) \left(x\right)$ και $R_(s) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.

Η μέθοδος NK συνίσταται στην εφαρμογή του ακόλουθου κανόνα. Για να βρεθούν οι άγνωστοι συντελεστές του πολυωνύμου που αποτελούν μέρος της μερικής λύσης της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης LNDU-2, είναι απαραίτητο:

Αντικαταστήστε το PD $U$, γραμμένο σε γενική μορφή, στην αριστερή πλευρά του LNDU-2.
στην αριστερή πλευρά του LNDU-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
να λύσει το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων για άγνωστους συντελεστές.

Παράδειγμα 1

Εργασία: find OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Βρείτε επίσης PD , ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$.

Καταγράφουμε το αντίστοιχο LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Χαρακτηριστική εξίσωση: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Αυτές οι ρίζες είναι έγκυρες και διακριτές. Έτσι, το OR του αντίστοιχου LODE-2 έχει τη μορφή: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Η δεξιά πλευρά αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο συντελεστής του εκθέτη $\alpha =3$. Αυτός ο συντελεστής δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επομένως, το PD αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NC.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις $U""$, $U"$ και $U$ αντί των $y""$, $y"$ και $y$ στο δεδομένο NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Επιπλέον, καθώς ο εκθέτης $e^(3\cdot x) $ περιλαμβάνεται ως παράγοντας σε όλα τα στοιχεία, τότε μπορεί να παραλειφθεί Παίρνουμε:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Εκτελούμε τις ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NDT. Λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) Το $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ του ΕΠ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε σε $y$ και $y"$ τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Λάβαμε ένα σύστημα εξισώσεων:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Ας το λύσουμε. Βρίσκουμε $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και $C_(2) $ προσδιορίζουμε από την πρώτη εξίσωση:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Οι ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές έχουν τη μορφή

όπου p και q είναι πραγματικοί αριθμοί. Ας δούμε παραδείγματα για το πώς λύνονται ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Η λύση μιας γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης εξαρτάται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η εξίσωση k²+pk+q=0.

1) Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί:

τότε η γενική λύση μιας δεύτερης τάξης γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή

2) Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ίσοι πραγματικοί αριθμοί

(για παράδειγμα, με διάκριση ίση με μηδέν), τότε η γενική λύση μιας ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι

3) Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικοί αριθμοί

(για παράδειγμα, με μια διάκριση ίση με έναν αρνητικό αριθμό), τότε η γενική λύση μιας ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης γράφεται με τη μορφή

Παραδείγματα επίλυσης γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Βρείτε γενικές λύσεις ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης:

Δημιουργούμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: k²-7k+12=0. Η διάκρισή του είναι D=b²-4ac=1>0, επομένως οι ρίζες είναι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Επομένως, η γενική λύση αυτής της ομοιογενούς ΔΕ 2ης τάξης είναι

Ας συνθέσουμε και λύσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

Οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Ως εκ τούτου, έχουμε μια γενική λύση σε αυτήν την ομοιογενή διαφορική εξίσωση:

Σε αυτή την περίπτωση, η χαρακτηριστική εξίσωση

Οι ρίζες είναι διαφορετικές και έγκυρες. Επομένως, η γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης είναι εδώ

Χαρακτηριστική εξίσωση

Επειδή οι ρίζες είναι πραγματικές και ίσες, για αυτή τη διαφορική εξίσωση γράφουμε τη γενική λύση ως

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι εδώ

Εφόσον η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικοί αριθμοί.

Η γενική λύση αυτής της ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης έχει τη μορφή

Χαρακτηριστική εξίσωση

Από εδώ βρίσκουμε τη γενική λύση σε αυτό το διαφορικό. εξισώσεις:

Παραδείγματα για αυτοέλεγχο.

Όσον αφορά το LNDU 2 με υπολογιστή, οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς.

Λύση LPDE 2ης τάξης με Η/Υ

Κανόνας #1.

Κανόνας Νο. 2.

Κανόνας Νο. 3.

Κανόνας Νο. 4.

Αντικαταστήστε το PD $U$, γραμμένο σε γενική μορφή, στην αριστερή πλευρά του LNDU-2.
στην αριστερή πλευρά του LNDU-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
να λύσει το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων για άγνωστους συντελεστές.

Παράδειγμα 1

Καταγράφουμε το αντίστοιχο LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NC.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Εκτελούμε τις ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NDT. Λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) Το $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ του ΕΠ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε σε $y$ και $y"$ τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Λάβαμε ένα σύστημα εξισώσεων:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Ας το λύσουμε. Βρίσκουμε $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και $C_(2) $ προσδιορίζουμε από την πρώτη εξίσωση:

Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής

,
όπου p και q είναι συναρτήσεις της μεταβλητής x.

Γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής

Γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής

q όρος (Χ)ονομάζεται το ανομοιογενές μέρος της εξίσωσης.

Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:
(1) .
Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί αυτή η εξίσωση:

μέθοδος συντελεστή ολοκλήρωσης·

Επίλυση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με χρήση συντελεστή ολοκλήρωσης

Ας εξετάσουμε μια μέθοδο για την επίλυση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης χρησιμοποιώντας συντελεστής ολοκλήρωσης.
Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης (1) με συντελεστή ολοκλήρωσης
:
(2)
Στη συνέχεια, σημειώνουμε ότι η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

Αντικατάσταση σε (2) :

Ας ενσωματώσουμε:

Πολλαπλασιάστε με . Παίρνουμε γενική λύση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης:

Ένα παράδειγμα επίλυσης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης

Λύστε την εξίσωση

Λύση

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με x:
(Εγώ) .
Επειτα
;
.
Συντελεστής ολοκλήρωσης:

Το πρόσημο του συντελεστή μπορεί να παραλειφθεί, αφού ο συντελεστής ολοκλήρωσης μπορεί να πολλαπλασιαστεί με οποιαδήποτε σταθερά (συμπεριλαμβανομένης ± 1).
Ας πολλαπλασιαζόμαστε (Εγώ)από x 3 :
.
Επιλέγουμε την παράγωγο.
;
.
Ενσωματώνουμε χρησιμοποιώντας τον πίνακα των ολοκληρωμάτων:
.
Διαιρέστε με το x 3 :
.

Απάντηση

Βιβλιογραφικές αναφορές:
Ν.Μ. Gunter, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, "Lan", 2003.