Η κύρια προϋπόθεση για τη σταθερότητα των συστημάτων αυτόματου ελέγχου. Επίδραση των παραμέτρων του αυτοκινούμενου όπλου στη σταθερότητά του

Το σύστημα παρακολούθησης (Εικ. 1.14, α) βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν το σφάλμα του μπορεί να είναι σταθερό ή ασταθές. Εάν, μετά από κάποια αλλαγή στην κινητήρια δύναμη (περιστροφή του άξονα μετάδοσης κίνησης κατά γωνία), το σύστημα, ως αποτέλεσμα μιας αποσβεσμένης μεταβατικής διαδικασίας (Εικ. 2.1, α, β), επιστρέψει σε κατάσταση ισορροπίας, τότε αυτό Η κατάσταση ισορροπίας είναι σταθερή και το σύστημα ονομάζεται σταθερό Όταν, μετά από μια μικρή αλλαγή της κινητήριας δύναμης (απόκλιση του συστήματος από την κατάσταση ισορροπίας), το σύστημα δεν τείνει στην αρχική κατάσταση ισορροπίας, αλλά σε μη απόσβεση ταλαντώσεων του συστήματος. ελεγχόμενη ποσότητα προκύπτει σε αυτό (Εικ. 2.1, γ, δ) ή η αλλαγή θα είναι ανεξάρτητη από το γεγονός ότι η κατάσταση ισορροπίας σε αυτό το σύστημα είναι ασταθής και το σύστημα ονομάζεται ασταθές.

Μια οπτική αναπαράσταση σταθερών και ασταθών καταστάσεων ισορροπίας δίνεται εξετάζοντας το σύστημα επιφάνειας μπάλας. Μια μπάλα που βρίσκεται σε εσοχή (Εικ. 3.1, α) βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση ισορροπίας, αφού μετά την εκτροπή της υπό την επίδραση εξωτερικής επιρροής θα επιστρέψει στην αρχική της κατάσταση. Το σύστημα επιφάνειας μπάλας είναι σταθερό. Η μπάλα, που βρίσκεται στο πάνω σημείο του λόφου (Εικ., βρίσκεται σε ασταθή θέση ισορροπίας: μια μικρή απόκλιση από

Ρύζι. 3.1. Στην έννοια της σταθερότητας των καταστάσεων ισορροπίας του συστήματος σφαιρικής επιφάνειας: α - σταθερή κατάσταση. β - ασταθής κατάσταση. γ - μια κατάσταση που είναι σταθερή για μικρές και ασταθής για μεγάλες αποκλίσεις.

αυτή την κατάσταση, και η μπάλα θα κυλήσει στην κλίση της επιφάνειας και δεν θα επιστρέψει στην αρχική της θέση. Το υπό εξέταση σύστημα είναι ασταθές.

Έτσι, η σταθερότητα νοείται ως η ιδιότητα ενός συστήματος να επιστρέφει στην προηγούμενη κατάσταση ισορροπίας του αφού το αφαιρέσει από αυτή την κατάσταση και σταματήσει την αλλαγή του κύριου ή την επίδραση της ενοχλητικής επιρροής.

Μόνο ένα σταθερό σύστημα είναι λειτουργικό. Επομένως, ένα από τα κύρια καθήκοντα της θεωρίας του αυτόματου ελέγχου είναι να μελετήσει τη σταθερότητα των συστημάτων αυτόματου ελέγχου. Τα θεμέλια μιας αυστηρής θεωρίας σταθερότητας δυναμικών συστημάτων αναπτύχθηκαν από τον Ακαδ. A. M. Lyapunov στο έργο του "The General Problem of Stability of Motion" (1892). Οι έννοιες της βιωσιμότητας που προκύπτουν από αυτή την εργασία είναι οι εξής.

Εάν το σύστημα περιγράφεται με γραμμική διαφορική εξίσωση, τότε η σταθερότητά του δεν εξαρτάται από το μέγεθος της διαταραχής. Ένα γραμμικό σύστημα που είναι σταθερό κάτω από μικρές διαταραχές θα είναι επίσης σταθερό κάτω από μεγάλες. Τα μη γραμμικά συστήματα μπορεί να είναι σταθερά σε μικρές διαταραχές και ασταθή σε μεγάλες. Ένα παράδειγμα τέτοιου μη γραμμικού συστήματος είναι ένα ρολόι τοίχου. Εάν δοθεί μια ασθενής ώθηση σε ένα ακίνητο εκκρεμές, τότε το εκκρεμές, έχοντας ολοκληρώσει αρκετές ταλαντεύσεις, θα σταματήσει, δηλαδή το σύστημα είναι σταθερό κάτω από μικρές διαταραχές. Εάν δοθεί μια ισχυρότερη ώθηση στο εκκρεμές, τότε το τελευταίο του ρολογιού της πληγής αρχίζει να εκτελεί ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση. Κατά συνέπεια, το σύστημα είναι ασταθές κάτω από μεγάλες διαταραχές. Μια σαφής ιδέα για μη γραμμικά συστήματα που είναι σταθερά κάτω από μικρές και ασταθή κάτω από μεγάλες διαταραχές δίνεται εξετάζοντας μια μπάλα τοποθετημένη σε μια κοιλότητα που βρίσκεται στην κορυφή ενός κυρτού σώματος (Εικ. 3.1, γ). Για μικρές αποκλίσεις που δεν υπερβαίνουν την άκρη της κοιλότητας, η μπάλα επιστρέφει στην αρχική της θέση, δηλαδή το σύστημα επιφάνειας μπάλας είναι σταθερό. Εάν αποκλίνει πέρα ​​από την άκρη της κοιλότητας, η μπάλα δεν επιστρέφει στην αρχική της θέση - το σύστημα είναι ασταθές. Επομένως, για τα μη γραμμικά συστήματα, η ευστάθεια μελετάται χωριστά για την περίπτωση μικρών διαταραχών, δηλ. σταθερότητα στις μικρές, και σταθερότητα κάτω από μεγάλες διαταραχές, δηλ. σταθερότητα στις μεγάλες.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Lyapunov, η σταθερότητα των μη γραμμικών συστημάτων κάτω από μικρές διαταραχές μπορεί να κριθεί από τις γραμμικοποιημένες εξισώσεις τους, οι οποίες περιγράφουν με ακρίβεια τη συμπεριφορά των συστημάτων σε μικρές αποκλίσεις από την κατάσταση ισορροπίας. Για τον προσδιορισμό της σταθερότητας των μη γραμμικών συστημάτων κάτω από μεγάλες διαταραχές, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν οι αρχικές εξισώσεις μη γραμμικής δυναμικής. Στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις, συστήματα που είναι σταθερά για μικρές αποκλίσεις αποδεικνύονται σταθερά ακόμη και για αρκετά μεγάλες αποκλίσεις πιθανές κατά τη λειτουργία, και επομένως το ζήτημα της σταθερότητας αυτών των συστημάτων μπορεί να επιλυθεί με βάση τη μελέτη γραμμικοποιημένων εξισώσεων.

Το πρόβλημα της σταθερότητας εμφανίζεται συνήθως σε κλειστά συστήματα αυτόματου ελέγχου λόγω της επιρροής της ανάδρασης. Επομένως, στο μέλλον, η σταθερότητα μελετάται χρησιμοποιώντας παραδείγματα κλειστών συστημάτων, αν και οι μέθοδοι για τη μελέτη της ευστάθειας είναι καθολικές.

Η σταθερότητα του συστήματος αυτόματου ελέγχου είναι ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του συστήματος, γιατί η απόδοση του συστήματος εξαρτάται από αυτό. Ένα σύστημα που δεν έχει σταθερότητα δεν μπορεί να λύσει αποτελεσματικά το πρόβλημα ελέγχου. Η έλλειψη σταθερότητας μπορεί επίσης να οδηγήσει σε καταστροφή του ίδιου του συστήματος κατά τη διαδικασία ελέγχου ή στην καταστροφή του αντικειμένου ελέγχου, επομένως η χρήση ασταθών συστημάτων είναι ακατάλληλη.

Αυτόματη σταθερότητα συστήματος ελέγχου - αυτό είναι μια ιδιότητα του συστήματος αέρα

περιστρέφονται στην αρχική κατάσταση ισορροπίας μετά την παύση της επιρροής που έφερε το σύστημα στην κατάσταση αρχικής ισορροπίας.

Ένα παράδειγμα σταθερών και ασταθών συστημάτων είναι το σύστημα μιας μπάλας που βρίσκεται σε μια κοίλη και κυρτή επιφάνεια, που παρουσιάζεται στο Σχήμα 60.

Εικ.60. Παραδείγματα συστημάτων: α) σταθερό; β) ασταθής

Στο Σχήμα 60α, μια μπάλα που βρίσκεται σε μια κοίλη επιφάνεια και μετατοπίζεται στο πλάι από μια ορισμένη δύναμη θα επιστρέψει στην αρχική της θέση ισορροπίας μετά το τέλος της εξωτερικής επιρροής. Σε περίπτωση απουσίας τριβής στην επιφάνεια ή της ελάχιστης τιμής της, η μπάλα θα εκτελεί σύντομες ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας μέχρι να επιστρέψει στην αρχική θέση ισορροπίας (καμπύλη 1 - απόσβεση ταλαντωτικής διαδικασίας). Με υψηλή τριβή, η μπάλα θα επιστρέψει στην αρχική θέση ισορροπίας χωρίς ταλαντώσεις (καμπύλη 2 - απεριοδική διαδικασία). Εάν η τιμή της τριβής είναι πολύ μεγάλη, η μπάλα μπορεί να μην επιστρέψει στην αρχική θέση ισορροπίας (καμπύλη 3), αλλά θα επιστρέψει σε μια περιοχή κοντά στη θέση ισορροπίας. Στην εξεταζόμενη περίπτωση, υπάρχει ένα σταθερό σύστημα. Σε σταθερά συστήματα αυτόματου ελέγχου, συμβαίνουν παρόμοιες μεταβατικές διεργασίες (αποσβεσμένη ταλαντωτική και απεριοδική).

Στο Σχήμα 60β, μια μπάλα που βρίσκεται σε μια κυρτή επιφάνεια και μετατοπίζεται στο πλάι από μια ορισμένη δύναμη δεν θα επιστρέψει στην αρχική θέση ισορροπίας (καμπύλη 4), επομένως το σύστημα είναι ασταθές. Σε ασταθή συστήματα, οι παροδικές διεργασίες συμβαίνουν με τη μορφή αποκλίνουσες ταλαντώσεις (καμπύλη 5) ή απεριοδικές (καμπύλη 4).

Η αστάθεια του ACS, κατά κανόνα, προκύπτει λόγω ενός πολύ ισχυρού αποτελέσματος ανάδρασης. Οι αιτίες της δυναμικής αστάθειας είναι συνήθως σημαντικά αδρανειακά χαρακτηριστικά των συνδέσμων ενός συστήματος κλειστού βρόχου, λόγω των οποίων το σήμα ανάδρασης στη λειτουργία ταλάντωσης υστερεί τόσο πολύ πίσω από το σήμα εισόδου που βρίσκεται σε φάση με αυτό. Αποδεικνύεται ότι η φύση της αρνητικής ανατροφοδότησης παίρνει τον χαρακτήρα

θετικός.

Ας δημιουργήσουμε μια μαθηματική περιγραφή της σταθερότητας και της αστάθειας. Δεδομένου ότι η σταθερότητα ενός συστήματος εξαρτάται μόνο από τη φύση της ελεύθερης κίνησης του, αυτή η ελεύθερη κίνηση του συστήματος μπορεί να περιγραφεί με μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση:

χαρακτηριστική εξίσωση, η οποία θα αντιπροσωπεύεται από την ακόλουθη έκφραση:

Ας παρουσιάσουμε τη γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (2.19.) με την ακόλουθη μορφή:

Οπου C k – σταθερές ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες, σελ κ είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να είναι σύνθετες ( p k = α k ± jβ k ), ισχύει ( p k = α k ) ή φανταστικό ( σελ κ = jβ k ). Οι σύνθετες ρίζες είναι πάντα συζευγμένες κατά ζεύγη, δηλ. αν υπάρχει ρίζα εξίσωσης με θετικό φανταστικό μέρος, τότε σίγουρα θα υπάρχει ρίζα με την ίδια απόλυτη τιμή, αλλά αρνητικό φανταστικό μέρος. y(t) στο t → ∞ από (2.21.) θα τείνει στο μηδέν μόνο όταν κάθε όρος S k e p k t → 0. Η φύση αυτής της συνάρτησης θα εξαρτηθεί από τον τύπο της ρίζας. Πιθανές περιπτώσεις εντοπισμού ρίζας σελ κ στο μιγαδικό επίπεδο και τις αντίστοιχες συναρτήσεις τους y(t) = C k e p k t παρουσιάζονται στο Σχήμα 61. Η εμφάνιση των συναρτήσεων φαίνεται στο εσωτερικό των ελλείψεων.

Εικ.61. Η επίδραση της θέσης των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης σε

στοιχεία της ελεύθερης κυκλοφορίας του συστήματος

Το σχήμα 61 δείχνει ότι αν κάθε πραγματική ρίζα σελ κ= α k για την έκφραση (2.21.) ο όρος θα αντιστοιχεί:

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

τότε στο α να< 0 (ρίζα Π 1) λειτουργία σε t→ ∞ θα τείνει στο μηδέν όταν α k > 0 (ρίζα σελ 3 ) η συνάρτηση θα αυξηθεί χωρίς όριο και πότε α k = 0 (ρίζα Π 2) η συνάρτηση θα παραμείνει σταθερή.

Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μιγαδικές ρίζες, τότε κάθε ζεύγος συζευγμένων μιγαδικών ριζών p k, k+1 = α k ± jβ k , θα υπάρχουν δύο όροι που αντιστοιχούν σε αυτούς, οι οποίοι μπορούν να συνδυαστούν και να αναπαρασταθούν ως η ακόλουθη έκφραση:

Αυτή η συνάρτηση είναι ένα ημιτονοειδές με εκθετικά μεταβαλλόμενο πλάτος και συχνότητα β k . Για αρνητικό πραγματικό μέρος δύο σύνθετων ριζών α k, k+1< 0 , (ρίζες σελ 4 Και σελ5 ) η ταλαντωτική συνιστώσα της συνάρτησης θα αποσυντεθεί, και με ένα θετικό πραγματικό μέρος α k, k+1 > 0 , (ρίζες σελ 8 Και σελ 9 ) το πλάτος των ταλαντώσεων θα αυξάνεται χωρίς όριο. Ελλείψει πραγματικού μέρους σύνθετων ριζών α k, k+1 = 0 (ρίζες σελ 6 Και σελ7 ), δηλ. παρουσία μόνο φανταστικών ριζών, η συνάρτηση θα είναι ένα συνεχές ημιτονοειδές με συχνότητα β k .

Με βάση τον ορισμό της σταθερότητας, εάν η αρχική θέση ισορροπίας ληφθεί ως μηδέν, τότε για σταθερά συστήματα η τιμή της παραμέτρου εξόδου θα πρέπει να τείνει στο μηδέν με την πάροδο του χρόνου, δηλ. το σύστημα θα επιστρέψει μόνο του στη θέση ισορροπίας του. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για αυτό είναι όλοι οι όροι της λύσης της διαφορικής εξίσωσης (2.21.) να τείνουν στο μηδέν με την πάροδο του χρόνου, κάτι που μπορεί να επιτευχθεί με αρνητικές πραγματικές ρίζες της εξίσωσης και οι μιγαδικές ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Η ύπαρξη τουλάχιστον μιας θετικής πραγματικής ρίζας ή ενός ζεύγους μιγαδικών ριζών με θετικό πραγματικό μέρος θα οδηγήσει στο γεγονός ότι η τιμή της παραμέτρου εξόδου του συστήματος δεν θα επιστρέψει στην αρχική της τιμή, δηλ. το σύστημα θα είναι ασταθές.

Αναλύοντας τη θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο, που παρουσιάζεται στο Σχήμα 62, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι το ACS είναι σταθερό εάν όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο και είναι όλες αρνητικές πραγματικές ή σύνθετο με αρνητικό πραγματικό μέρος. Η παρουσία τουλάχιστον μιας ρίζας στο δεξιό ημιεπίπεδο θα χαρακτηρίσει την αστάθεια του συστήματος.

Η σταθερότητα ενός συστήματος είναι μια εσωτερική ιδιότητα του συστήματος, που εξαρτάται μόνο από τον τύπο των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης που περιγράφει τις ιδιότητες του συστήματος και δεν εξαρτάται από εξωτερικές επιρροές. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη σταθερότητα του συστήματος είναι η θέση όλων των ριζών της εξίσωσης στο αριστερό (αρνητικό) ημιεπίπεδο.

Τα θετικά και αρνητικά ημιεπίπεδα, στα οποία βρίσκονται οι θετικές ή αρνητικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, διασφαλίζοντας τη σταθερότητα ή την αστάθεια του συστήματος, χωρίζονται με τον νοητό άξονα ± jβ . Αυτός ο άξονας είναι το όριο σταθερότητας, οπότε αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ένα ζεύγος καθαρά φανταστικών ριζών p k, k+1 =± jβ k , και οι άλλες ρίζες βρίσκονται στο αρνητικό ημιεπίπεδο, τότε το σύστημα χαρακτηρίζεται από την παρουσία μη απόσβεσης ταλαντώσεων με συχνότητα ω = β k. Είναι γενικά αποδεκτό ότι στην περίπτωση αυτή το σύστημα είναι στο όριο σταθερότητας ταλάντωσης .

Τελεία β = 0 στον νοητό άξονα αντιστοιχεί στη μηδενική ρίζα. Μια εξίσωση που έχει μια μηδενική ρίζα θεωρείται ότι είναι στο απεριοδικό όριο σταθερότητας , και παρουσία δύο μηδενικών ριζών το σύστημα είναι ασταθές.

Εικ.62. Η θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός σταθερού συστήματος επάνω

σύνθετο επίπεδο

Μην ξεχνάτε ότι οι εξισώσεις σχεδόν όλων των πραγματικών συστημάτων αυτόματου ελέγχου δεν είναι γραμμικές, αλλά μειώνονται σε γραμμικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας γραμμικοποίηση, επομένως, οι υποθέσεις που γίνονται κατά τη γραμμικοποίηση μπορούν να επηρεάσουν την ορθότητα του προσδιορισμού της σταθερότητας του συστήματος.

Ο A. M. Lyapunov το 1892, στο έργο του "The General Problem of Stability of Motion", έδωσε μια απόδειξη του θεωρήματος, στο οποίο έγιναν τα ακόλουθα συμπεράσματα για γραμμικές εξισώσεις:

1. Αν όλες οι πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός συστήματος είναι αρνητικές, τότε το σύστημα θεωρείται σταθερό.

2. Αν τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήματος είναι θετική, τότε το σύστημα θεωρείται ασταθές.

3. Αν η χαρακτηριστική εξίσωση ενός γραμμικοποιημένου συστήματος έχει τουλάχιστον μία μηδενική ρίζα ή ένα ζεύγος φανταστικών ριζών, τότε η σταθερότητα του πραγματικού συστήματος δεν μπορεί να κριθεί από τη γραμμική εξίσωση.

Κατά συνέπεια, ένα συμπέρασμα σχετικά με τη σταθερότητα των πραγματικών συστημάτων πρέπει να γίνει με βάση την ανάλυση της αρχικής μη γραμμικής εξίσωσης και για να προσδιοριστεί η αστάθεια ή η σταθερότητα του συστήματος, θα αρκεί να προσδιοριστεί η θετικότητα (αρνητικότητας) των πραγματικών ριζών του η χαρακτηριστική εξίσωση.

Κριτήρια βιωσιμότητας ονομάστε ορισμένους κανόνες με τους οποίους στη θεωρία του αυτόματου ελέγχου προσδιορίζονται τα πρόσημα των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης χωρίς να τη λύσετε. Υπάρχουν αλγεβρικά κριτήρια και κριτήρια συχνότητας για τη σταθερότητα.

Αλγεβρικά κριτήρια Η σταθερότητα ενός συστήματος είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση ώστε οι ρίζες να είναι αρνητικές για ορισμένες τιμές των συντελεστών στη χαρακτηριστική εξίσωση.

Κριτήρια συχνότητας σταθερότητα του συστήματος, έχει εδραιωθεί η εξάρτηση της σταθερότητας του συστήματος από το σχήμα των χαρακτηριστικών συχνότητας του συστήματος.

Σταθερότητα είναι η ικανότητα ενός συστήματος να επιστρέψει στην ονομαστική λειτουργία εάν αποκλίνει για κάποιο λόγο από αυτή τη λειτουργία.

Οι απαιτήσεις ευστάθειας είναι υποχρεωτικές για όλα τα αυτοκινούμενα όπλα.

Ένας αυστηρός ορισμός της βιωσιμότητας δόθηκε από τον A.M. Ο Λιαπούνοφ στο έργο του «Το γενικό πρόβλημα της σταθερότητας της κίνησης» (τέλη 19ου αιώνα)

Ας περιγραφεί η δυναμική του συστήματος από την εξίσωση

y - τιμή εξόδου

Χ- ποσότητα εισόδου

y ( Εγώ ) , Χ ( ι ) - παράγωγα.

Ας υποθέσουμε ότι αυτό το σύστημα έχει έναν ονομαστικό τρόπο λειτουργίας στο n (t), που καθορίζεται μοναδικά από την ονομαστική επιρροή εισόδου Χ n (t) και ονομαστικές αρχικές συνθήκες.

(2)

Δεδομένου ότι οι ονομαστικές αρχικές συνθήκες (2) είναι δύσκολο να διατηρηθούν στην πράξη, υπάρχουν «παρεκκλίνουσες» αρχικές συνθήκες στο σύστημα.

(3)

Για τον ονομαστικό τρόπο ισχύει η εξίσωση:

Οι αρχικές συνθήκες που απορρίφθηκαν αντιστοιχούν στον τρόπο λειτουργίας που απορρίφθηκε.

Για την απορριφθείσα λειτουργία ισχύει η εξίσωση:

(6)

Αφαιρούμε την εξίσωση (4) από την εξίσωση (5), παίρνουμε (7)

Ας εισάγουμε έναν ορισμό.

Ονομαστική λειτουργία στο n (t) Ο Λιαπούνοφ σταθερός, εάν για οποιεσδήποτε απορριφθείσες αρχικές συνθήκες (3), οι οποίες διαφέρουν αρκετά ελάχιστα από τις ονομαστικές ονομαστικές αρχικές συνθήκες (2), για όλες τις t > 0, το z(t) θα είναι μικρό.

Εάν η ονομαστική λειτουργία είναι σταθερή σύμφωνα με τον Lyapunov και ταυτόχρονα το όριο
, τότε καλείται η ονομαστική λειτουργία ασυμπτωτικά σταθερή.

Εάν υπάρχουν αρχικές συνθήκες (3) που διαφέρουν όσο το δυνατόν λιγότερο από τις ονομαστικές αρχικές συνθήκες (2), και ταυτόχρονα
γίνεται μεγαλύτερη από κάποια μικρή, προκαθορισμένη τιμή, τότε η ονομαστική λειτουργία στο n (t) που ονομάζεται ασταθής.

Από την (7) προκύπτει ότι η συμπεριφορά z(t) εντελώς ανεξάρτητη από τον τύπο της επιρροής εισόδου Χ n (t) .

Αυτό οδηγεί στο εξής συμπέρασμα: είτε στο σύστημα (1) είναι ασυμπτωτικά σταθερά Ολαονομαστικές λειτουργίες που αντιστοιχούν σε διαφορετικές εισόδους Χ n (t), ή είναι όλα ασταθή.

Επομένως, μπορούμε να μιλάμε για τη σταθερότητα ή την αστάθεια του συστήματος και όχι για κάποιον από τους τρόπους λειτουργίας του.

Αυτό είναι ένα σημαντικό εύρημα που μειώνει το εύρος της έρευνας της ACS.

Δυστυχώς, ισχύει μόνο για γραμμικά αυτοκινούμενα όπλα.

Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τη σταθερότητα των γραμμικών αυτοκινούμενων πυροβόλων.

Για την ασυμπτωτική σταθερότητα των γραμμικών συστημάτων, είναι απαραίτητο και επαρκές όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

θα είχε ένα αρνητικό πραγματικό μέρος.

Είναι γνωστό ότι η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές

1. Αφήστε τις ρίζες να είναι αληθινές.

Στο

- και αυτό είναι μια απόκλιση από την ονομαστική λειτουργία.

2. Αν οι ρίζες είναι σύνθετες.

Απαραίτητη προϋπόθεση για σταθερότητα.

Για την ασυμπτωτική σταθερότητα του συστήματος (1), (8), είναι απαραίτητο όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν το ίδιο πρόσημο.

Γεωμετρική ερμηνεία της συνθήκης ευστάθειας

Για τη σταθερότητα του ACS είναι απαραίτητο και αρκετό οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου των ριζών.

Κριτήρια σταθερότητας ACS.

Πρόκειται για τεχνητές τεχνικές που επιτρέπουν, χωρίς να βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, να απαντηθούν ερωτήσεις σχετικά με τη σταθερότητα των αυτοκινούμενων όπλων, δηλ. προσδιορίστε τα σημάδια των πραγματικών τμημάτων των ριζών.

Δύο είδη κριτηρίων σταθερότητας:

1). Αλγεβρικό κριτήριο ευστάθειας (Hurwitz stability criterion).

Ας δοθεί μια χαρακτηριστική εξίσωση.

Για τη σταθερότητα των αυτοκινούμενων όπλων είναι απαραίτητο και αρκετό:

1). Έτσι ώστε όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν το ίδιο πρόσημο -
(
το σύστημα δεν είναι σταθερό)

2). Η κύρια ορίζουσα Hurwitz, που συντάσσεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, και όλες οι δευτερεύουσες διαγώνιοι της θα έχουν το πρόσημο των συντελεστών - θα ήταν μεγαλύτεροι από το μηδέν.

Κανόνες για τη σύνταξη του κύριου ορισμού του Hurwitz.

1). Κατά μήκος της κύριας διαγωνίου της ορίζουσας όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται σε αύξουσα σειρά δεικτών, ξεκινώντας από ένα 1 .

2). Τα κενά στην ορίζουσα πάνω από την κύρια διαγώνιο συμπληρώνονται με τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης κατά σειρά αυξανόμενων δεικτών.

3). Τα κενά στην ορίζουσα κάτω από την κύρια διαγώνιο συμπληρώνονται με τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης σε φθίνουσα σειρά των δεικτών.

4). Θέσεις στην ορίζουσα όπου εμφανίζονται συντελεστές με δείκτες μεγαλύτερους από τον κανονικό nκαι λιγότερα μηδέν,γεμάτο με μηδενικά

Έτσι, η κύρια ορίζουσα Hurwitz έχει τη μορφή:

Α=
>0

Το αυτοκινούμενο όπλο είναι σταθερό αν

1). Όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν ( 0!)

,
, ….

2). Η κύρια ορίζουσα Hurwitz και όλες οι δευτερεύουσες διαγώνιες της > 0.

,
,
, ….

Ας δούμε παραδείγματα.

1.

1.

2.

Για τη σταθερότητα ενός ACS δεύτερης τάξης, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη σταθερότητα είναι η θετικότητα των συντελεστών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

1.
i=0…3

2.

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη σταθερότητα των συστημάτων τρίτης τάξης είναι η θετικότητα των συντελεστών και το γινόμενο εσωτερικών όρων
πρέπει να υπάρχουν περισσότερα από το γινόμενο των ακραίων όρων
χαρακτηριστική εξίσωση.

,

,
,

Υπάρχει και το αλγεβρικό κριτήριο του Routh. Αυτό είναι το ίδιο κριτήριο Hurwitz, αλλά οργανωμένο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι βολικό να το χρησιμοποιήσετε για τη δημιουργία προγραμμάτων για τον προσδιορισμό της σταθερότητας.

Κριτήριο ευστάθειας Vyshnegradsky για συστήματα τρίτης τάξης.

Vyshnegradsky I.A. πρότεινε να απεικονίσει το όριο σταθερότητας στο λεγόμενο επίπεδο παραμέτρων Vyshnegradsky.

Ας έχουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση τρίτου βαθμού.

Ας το μετατρέψουμε χρησιμοποιώντας αντικατάσταση:

Τότε θα μοιάζει με:

ΕΝΑ 1 ΚαιΕΝΑ 2 ονομάζονται παράμετροι Vyshnegradsky (αδιάστατα μεγέθη), στο επίπεδο των οποίων κατασκευάζεται το όριο ευστάθειας.

Ας εφαρμόσουμε το κριτήριο ευστάθειας Hurwitz στη μετασχηματισμένη εξίσωση

ή ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 > 1

Στα όρια της σταθερότητας
.

Από εδώ
- εξίσωση στο όριο ευστάθειας

Από τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης προσδιορίζουμε ΕΝΑ 1 Και ΕΝΑ 2 . Εάν το σημείο είναι κάτω από την υπερβολή, το αυτοκινούμενο όπλο είναι σταθερό, εάν το σημείο είναι υψηλότερο, είναι ασταθές.

ΣΕΛΙΔΑ \* ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ 14

Διάλεξη Νο. 4

Σταθερότητα αυτοκινούμενου όπλου

Η ιδιότητα ενός συστήματος να επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση μετά την αφαίρεση της διαταραχής ονομάζεται σταθερότητα.

Ορισμός.

Οι καμπύλες 1 και 2 χαρακτηρίζουν ένα σταθερό σύστημα, οι καμπύλες 3 και 4 χαρακτηρίζουν ασταθή συστήματα.ε

Συστήματα 5 και 6 στα όρια ευστάθειας 5 - ουδέτερο σύστημα, 6 - όριο σταθερότητας ταλάντωσης.

Έστω η διαφορική εξίσωση του ACS σε μορφή τελεστή να έχει τη μορφή

Τότε η λύση της διαφορικής εξίσωσης (κίνηση συστήματος) αποτελείται από δύο μέρη Αναγκαστική κίνηση του ίδιου τύπου με την ενέργεια εισόδου.

Ελλείψει πολλαπλών ριζών όπου το CΕγώ - σταθερές ενοποιήσεις που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες,

 1 ,  2 …,  n ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης

Θέση των ριζών του χαρακτηριστικού

εξισώσεις του συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δεν εξαρτώνται ούτε από το είδος της διαταραχής ούτε από

αρχικές συνθήκες, το α προσδιορίζονται μόνο από τους συντελεστές α 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , δηλαδή τις παραμέτρους και τη δομή του συστήματος.

1-ρίζα πραγματική, μεγαλύτερη από το μηδέν.

2-root real, λιγότερο από μηδέν.

3-root είναι μηδέν.

4-δύο μηδενικές ρίζες.

5-δύο σύνθετες συζυγείς ρίζες των οποίων το πραγματικό μέρος είναι

Θετικός;

6-δύο σύνθετες συζυγείς ρίζες, το πραγματικό μέρος των οποίων είναι αρνητικό.

7-δύο νοητές συζυγείς ρίζες.

Μέθοδοι Ανάλυσης Σταθερότητας:

1. Άμεση (με βάση την επίλυση διαφορικών εξισώσεων).
2. Έμμεσο (κριτήρια σταθερότητας).

Θεωρήματα Α.Μ. Λιαπούνοβα.

Θεώρημα 1.

Θεώρημα 2.

Σημειώσεις:

1. Εάν μεταξύ των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης υπάρχουν δύο ή περισσότερες μηδενικές ρίζες, τότε το σύστημα είναι ασταθές.
2. Αν μια ρίζα είναι μηδέν και όλες οι άλλες βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο, τότε το σύστημα είναι ουδέτερο.
3. Εάν 2 ρίζες είναι φανταστικές συζυγείς και όλες οι υπόλοιπες βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο, τότε το σύστημα βρίσκεται στο ταλαντευόμενο όριο σταθερότητας.

Κριτήρια σταθερότητας ACS.

Το κριτήριο σταθερότητας είναι ένας κανόνας που επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει τη σταθερότητα ενός συστήματος χωρίς να υπολογίσει τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Το 1877 Εγκατεστημένο Routh:

1. Κριτήριο ευστάθειας Hurwitz

Το κριτήριο αναπτύχθηκε το 1895.

Ας οριστεί η χαρακτηριστική εξίσωση ενός κλειστού συστήματος: ανάγουμε την εξίσωση στη μορφή έτσι ώστεα 0 > 0.

Ας συνθέσουμε την κύρια ορίζουσα Hurwitz σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Κατά μήκος της κύριας διαγώνιου γράφονται οι συντελεστές της εξίσωσης, ξεκινώντας από τη δεύτερη έως την τελευταία, οι στήλες προς τα πάνω από τη διαγώνιο γεμίζονται με συντελεστές με αυξανόμενους δείκτες και οι στήλες προς τα κάτω από τη διαγώνιο γεμίζονται με συντελεστές με φθίνοντες δείκτες. Ελλείψει οποιουδήποτε συντελεστή στην εξίσωση και αντί για συντελεστές με δείκτες μικρότερους από 0 και περισσότερο n γράψτε μηδέν.

Ας επισημάνουμε τις διαγώνιες δευτερεύουσες ή τις απλούστερες ορίζουσες στην κύρια ορίζουσα Hurwitz:

Διατύπωση του κριτηρίου.

Για συστήματα υψηλότερης της δεύτερης τάξης, εκτός από τη θετικότητα όλων των συντελεστών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ανισότητες:

1. Για συστήματα τρίτης τάξης:
2. Για συστήματα τέταρτης τάξης:
3. Για συστήματα πέμπτης τάξης:

1. Για συστήματα έκτης τάξης:

Παράδειγμα. Δίνεται μια χαρακτηριστική εξίσωση για τη μελέτη της σταθερότητας του συστήματος σύμφωνα με τον Hurwitz.

Για σταθερά συστήματα είναι απαραίτητο και

2. Κριτήριο Routh

Το κριτήριο Routh χρησιμοποιείται για τη μελέτη της σταθερότητας συστημάτων υψηλής τάξης.

Διατύπωση κριτηρίου:

Τραπέζι στρογγυλό.

Αλγόριθμος για τη συμπλήρωση του πίνακα: η πρώτη και η δεύτερη γραμμή περιέχουν τους συντελεστές της εξίσωσης με άρτιους και περιττούς δείκτες. Τα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών υπολογίζονται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Το πλεονέκτημα του κριτηρίου: μπορεί να μελετηθεί η σταθερότητα συστημάτων οποιασδήποτε τάξης.

2. Κριτήριο σταθερότητας Nyquist

Αρχή της επιχειρηματολογίας

Οι μέθοδοι συχνότητας βασίζονται στην αρχή της επιχειρηματολογίας.

Ας αναλύσουμε τις ιδιότητες ενός πολυωνύμου της μορφής:

Όπου  i - ρίζες της εξίσωσης

Στο μιγαδικό επίπεδο, κάθε ρίζα αντιστοιχεί σε ένα καλά καθορισμένο σημείο. Γεωμετρικά, κάθε ρίζα fi μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάνυσμα που σχεδιάζεται από την αρχή στο σημείο i : | fi | - διάνυσμα μήκος, αργ fi - τη γωνία μεταξύ του διανύσματος και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα x. Ας αντιστοιχίσουμε το D(p) στον χώρο Fourier, τότε όπου j -  i - στοιχειώδες διάνυσμα.

Τα άκρα των στοιχειωδών διανυσμάτων βρίσκονται στον νοητό άξονα.

Το μέγεθος του διανύσματος και το όρισμα (φάση)

Η φορά περιστροφής του διανύσματος αριστερόστροφα λαμβάνεται ως ΘΕΤΙΚΗ. Μετά κατά την αλλαγή από σε κάθε στοιχειώδες διάνυσμα ( j  -  i ) θα στραφεί κατά γωνία + αν  i βρίσκεται στο αριστερό μισό επίπεδο.

Έστω D ( )=0 έχει m ρίζες στο δεξιό ημιεπίπεδο και n - m ρίζες στα αριστερά, μετά με αύξηση από για να αλλάξετε το όρισμα του διανύσματος D(j ) (γωνία περιστροφής D(j ), ίσο με το άθροισμα των αλλαγών στα ορίσματα των στοιχειωδών διανυσμάτων) θα είναι

Αρχή του επιχειρήματος:

Το κριτήριο Nyquist βασίζεται στα χαρακτηριστικά συχνότητας του ανοιχτού κυκλώματος του ACS, αφού ο τύπος των χαρακτηριστικών συχνότητας του ανοιχτού κυκλώματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κριθεί η σταθερότητα του κλειστού συστήματος.

Το κριτήριο Nyquist χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική πρακτική για τους ακόλουθους λόγους:

1. Η σταθερότητα ενός συστήματος σε κλειστή κατάσταση μελετάται από τη συνάρτηση μεταφοράς συχνότητας του ανοιχτού κυκλώματος του και αυτή η συνάρτηση συνήθως αποτελείται από απλούς παράγοντες. Οι συντελεστές είναι οι πραγματικές παράμετροι του συστήματος, που σας επιτρέπει να τους επιλέξετε από τις συνθήκες σταθερότητας.
2. Για να μελετήσετε τη σταθερότητα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε πειραματικά ληφθέντα χαρακτηριστικά συχνότητας των πιο περίπλοκων στοιχείων του συστήματος (αντικείμενο ελέγχου, εκτελεστικό όργανο), γεγονός που αυξάνει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται.
3. Η σταθερότητα μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας LFC, η κατασκευή των οποίων είναι απλή.
4. Είναι βολικό να προσδιορίζονται τα περιθώρια σταθερότητας.

1. Σύστημα σταθερό σε ανοιχτή κατάσταση

Ας εισάγουμε μια βοηθητική λειτουργία και ας αντικαταστήσουμε p  j  , τότε

Σύμφωνα με την αρχή της επιχειρηματολογίας, αλλάζοντας το όρισμα D(j ) και D ζ (j  ) στο 0<  <  ισούται Τότε αυτό είναι το οδόγραφο W 1 (j  ) δεν πρέπει να καλύπτει την προέλευση.

Για να απλοποιήσουμε την ανάλυση και τους υπολογισμούς, ας μεταθέσουμε την αρχή του διανύσματος ακτίνας από την αρχή των συντεταγμένων στο σημείο (-1,ι 0), και αντί για τη βοηθητική λειτουργία W 1 (j  ) χρησιμοποιούμε το AFC ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου W (j  ).

Διατύπωση κριτηρίου Νο. 1

Παραδείγματα.

Σημειώστε ότι η διαφορά στον αριθμό των θετικών και αρνητικών μεταβάσεων του AFC στα αριστερά του σημείου (-1, j 0) ισούται με μηδέν.

2. Σύστημα που έχει πόλους στον νοητό άξονα σε ανοιχτή κατάσταση

Για να αναλυθεί η σταθερότητα του συστήματος AFC, συμπληρώνονται με έναν κύκλο απείρως μεγάλης ακτίνας στο 0 αριστερόστροφα προς τον θετικό πραγματικό ημιάξονα σε μηδενικούς πόλους, και στην περίπτωση των καθαρά φανταστικών ριζών - κατά ημικύκλιο δεξιόστροφα στο σημείο ασυνέχειας του AFC.

Διατύπωση κριτηρίου Νο 2

1. Σύστημα διακοπτόμενου ανοιχτού κυκλώματος

Μια πιο γενική περίπτωση - ο παρονομαστής της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου περιέχει ρίζες που βρίσκονται στο δεξιό μισό επίπεδο. Η εμφάνιση αστάθειας σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου προκαλείται από δύο λόγους:

1. Συνέπεια της παρουσίας ασταθών συνδέσμων.
2. Συνέπεια απώλειας σταθερότητας συνδέσμων που καλύπτονται από θετικά ή αρνητικά σχόλια.

Χ Αν και θεωρητικά ολόκληρο το σύστημα σε κλειστή κατάσταση μπορεί να είναι σταθερό παρουσία αστάθειας στο κύκλωμα τοπικής ανάδρασης, στην πράξη μια τέτοια περίπτωση είναι ανεπιθύμητη και θα πρέπει να αποφευχθεί προσπαθώντας να χρησιμοποιηθούν μόνο σταθερές τοπικές ανατροφοδοτήσεις. Αυτό εξηγείται από την παρουσία ανεπιθύμητων ιδιοτήτων, ιδιαίτερα την εμφάνιση ευστάθειας υπό όρους, η οποία, δεδομένων των μη γραμμικοτήτων που συνήθως υπάρχουν στο σύστημα, μπορεί σε ορισμένους τρόπους να οδηγήσει σε απώλεια σταθερότητας και εμφάνιση αυτοταλαντώσεων. Επομένως, κατά κανόνα, κατά τον υπολογισμό του συστήματος, επιλέγονται τέτοιες τοπικές ανατροφοδοτήσεις που θα ήταν σταθερές όταν η κύρια ανάδραση είναι ανοιχτή.

Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμοΔ(σελ ) σύστημα ανοιχτού βρόχου έχειΜ ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος.

Επειτα

Λειτουργία υποβοήθησης αντικατάστασης p  j  σύμφωνα με την αρχή του επιχειρήματος για σταθερά κλειστά συστήματα θα πρέπει να έχει την ακόλουθη αλλαγή στο όρισμα στο

Διατύπωση κριτηρίου Νο 3

Σκεύασμα Ya.Z. Τσίπκινα

Κριτήριο Nyquist για LFC

Σημείωση: το χαρακτηριστικό φάσης του LFC των αστατικών συστημάτων συμπληρώνεται από ένα μονοτονικό τμήμα + /2 στο  0.

Απόλυτα βιώσιμοΟνομάζουν ένα σύστημα που παραμένει σταθερό για οποιαδήποτε μείωση του κέρδους ανοιχτού κυκλώματος, διαφορετικά το σύστημα είναι σταθερό υπό όρους.

Τα συστήματα που μπορούν να γίνουν σταθερά αλλάζοντας τις παραμέτρους τους ονομάζονταιδομικά σταθερή, κατά τα άλλα δομικά ασταθής.

Περιθώρια σταθερότητας

Για κανονική λειτουργία, οποιοδήποτε ACS πρέπει να αφαιρεθεί από το όριο ευστάθειας και να έχει επαρκές περιθώριο σταθερότητας. Η ανάγκη για αυτό οφείλεται στους εξής λόγους:

1. Οι εξισώσεις των στοιχείων ACS, κατά κανόνα, εξιδανικεύονται κατά τη σύνταξή τους, δεν λαμβάνονται υπόψη δευτερεύοντες παράγοντες.
2. Κατά τη γραμμικοποίηση των εξισώσεων, τα σφάλματα προσέγγισης αυξάνονται περαιτέρω.
3. Οι παράμετροι των στοιχείων καθορίζονται με κάποιο σφάλμα.
4. Οι παράμετροι των στοιχείων του ίδιου τύπου έχουν τεχνολογική διακύμανση.
5. Κατά τη λειτουργία, οι παράμετροι των στοιχείων αλλάζουν λόγω γήρανσης.

Στην πρακτική των μηχανικών υπολογισμών, ο πιο ευρέως χρησιμοποιούμενος προσδιορισμός του περιθωρίου σταθερότητας βασίζεται στο κριτήριο NYQVIST, με βάση την απόσταση του AFC ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου από το κρίσιμο σημείο με συντεταγμένες (-1,ι 0), το οποίο αξιολογείται με δύο δείκτες: περιθώριο σταθερότητας φάσης και περιθώριο σταθερότητας σε συντελεστή (σε πλάτος) H.

Για να έχει το ATS περιθώρια σταθερότητας τουλάχιστον και Χ , το AFC του ανοιχτού κυκλώματος του, εάν ικανοποιείται το κριτήριο ευστάθειας, δεν πρέπει να εισέρχεται στο σκιασμένο τμήμα του δακτυλίου στο Σχ. 1, όπου H καθορίζεται από τη σχέση

Εάν η σταθερότητα καθορίζεται από το LFC των υπό όρους σταθερών συστημάτων, τότε να διασφαλιστούν περιθώρια σταθερότητας τουλάχιστον και το h είναι απαραίτητο ώστε:

α) για h  L  - h το χαρακτηριστικό φάσης-συχνότητας ικανοποιούσε τις ανισότητεςθ > -180  +  ή θ< -180  -  , δηλ. δεν εισήγαγε τη σκιασμένη περιοχή 1 στο Σχ. 2;

β) σε -180  +   θ  -180  -  το χαρακτηριστικό πλάτους-συχνότητας ικανοποιούσε τις ανισότητεςμεγάλο< - h или L >η , δηλ. δεν μπήκε στις σκιασμένες περιοχές 2" και 2" στο Σχ. 2.

Για ένα απολύτως σταθερό σύστημα, τα περιθώρια σταθερότητας και h προσδιορίζονται όπως φαίνεται στο Σχ. 3:

1. Περιθώριο φάσης

1. Περιθώριο μονάδας h =- L (ω -π), όπου ω -π συχνότητα στην οποία θ=-180˚ .

Οι απαιτούμενες τιμές των περιθωρίων σταθερότητας εξαρτώνται από την κατηγορία του ACS και τις απαιτήσεις για την ποιότητα της ρύθμισης. Περίπου πρέπει να είναι =30  60  και h =6  20dB.

Τα ελάχιστα επιτρεπτά περιθώρια σταθερότητας σε πλάτος δεν πρέπει να είναι μικρότερα από 6 dB (δηλαδή, ο συντελεστής μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου είναι το ήμισυ της κρίσιμης τιμής) και στη φάση όχι μικρότερο από 25 30  .

Σταθερότητα συστήματος με καθαρή σύνδεση καθυστέρησης

Εάν το AFC ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου διέρχεται από το σημείο (-1,ι 0), τότε το σύστημα βρίσκεται στα πρόθυρα σταθερότητας.

Ένα σύστημα με καθαρή καθυστέρηση μπορεί να γίνει σταθερό εάν στο κύκλωμα περιλαμβάνεται ζεύξη χωρίς αδράνεια με συντελεστή μεταφοράς μικρότερο από 1.

Δομικά σταθερά και δομικά ασταθή συστήματα

Ένας τρόπος για να αλλάξετε την ποιότητα του συστήματος (από άποψη σταθερότητας) είναι να αλλάξετε τον συντελεστή μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου.

Όταν k L ( ) θα ανέβει ή θα πέσει. Αν k αύξηση, L ( ) αυξάνεται και  μέσος θα αυξηθεί, αλλά το σύστημα θα παραμείνει ασταθές. Ανκ μειωθεί, τότε το σύστημα μπορεί να γίνει σταθερό. Αυτός είναι ένας από τους τρόπους διόρθωσης του συστήματος.

Τα συστήματα που μπορούν να γίνουν σταθερά αλλάζοντας τις παραμέτρους του συστήματος ονομάζονται ΔΟΜΙΚΑ ΒΙΩΣΙΜΑ.

Για αυτά τα συστήματα υπάρχει μια κρίσιμη αναλογία μεταφοράς ανοιχτού βρόχου.Κ κριτ. αυτός είναι ο συντελεστής μεταφοράς όταν το σύστημα βρίσκεται στα όρια της σταθερότητας.

Υπάρχουν ΔΟΜΙΚΑ ΑΣΤΑΘΕΡΑ συστήματα - αυτά είναι συστήματα που δεν μπορούν να γίνουν σταθερά αλλάζοντας τις παραμέτρους του συστήματος, αλλά για τη σταθερότητα είναι απαραίτητο να αλλάξει η δομή του συστήματος.

Παράδειγμα.

Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις:

1. Αφήνω

Επειτα

Ας ελέγξουμε το σύστημα για σταθερότητα.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Για τον προσδιορισμό του k rs.cr. ας εξισωθεί με το μηδέν 2 .

Επειτα

Πότε πότε

Το υπό εξέταση σύστημα είναι ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΑΘΕΡΟ, αφού μπορεί να σταθεροποιηθεί αλλάζοντας τις παραμέτρους των συνδέσμων.

1. Αφήστε τα να είναι ίδια όπως στην πρώτη περίπτωση.

Τώρα δεν υπάρχει στατικό σφάλμα στο κανάλι ελέγχου.

Συνθήκες σταθερότητας Hurwitz:

Έστω  2 =0, τότε εάν το σύστημα είναι ασταθές.

Αυτό το σύστημα με αστατισμό 1ης τάξης είναι ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΑΘΕΡΟ.

1. Αφήνω

Το σύστημα είναι πάντα ασταθές. Αυτό το σύστημα είναι ΔΟΜΙΚΑ ΑΣΤΑΘΕΡΟ.

Σταθερότητα αυτοκινούμενου όπλου

Μηδενικά και πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς

Οι ρίζες του πολυωνύμου στον αριθμητή της συνάρτησης μεταφοράς ονομάζονται μηδενικά, και οι ρίζες του πολυωνύμου στον παρονομαστή είναι πόλωνλειτουργία μεταφοράς. Πολωνοί ταυτόχρονα ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, ή χαρακτηριστικούς αριθμούς.

Εάν οι ρίζες του αριθμητή και του παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο (ενώ οι ρίζες του αριθμητή και του παρονομαστή βρίσκονται στο άνω μισό επίπεδο), τότε ο σύνδεσμος ονομάζεται ελάχιστης φάσης.

Αντιστοιχία στο αριστερό μισό επίπεδο των ριζών Rτο άνω μισό επίπεδο των ριζών (Εικ. 2.2.1) εξηγείται από το γεγονός ότι, ή , δηλ. ένα διάνυσμα λαμβάνεται από ένα διάνυσμα περιστρέφοντάς το κατά μια γωνία δεξιόστροφα. Ως αποτέλεσμα, όλα τα διανύσματα από το αριστερό μισό επίπεδο έρχονται σε διανύσματα στο άνω μισό επίπεδο.

Μη ελάχιστη φάση και ασταθείς σύνδεσμοι

Οι σύνδεσμοι των τύπων θέσης και διαφοροποίησης που συζητήθηκαν παραπάνω αναφέρονται σε σταθερούς συνδέσμους ή αυτοεπιπεδούμενους συνδέσμους.

Κάτω από αυτοεπιπεδούμενοαναφέρεται στην ικανότητα μιας σύνδεσης να φτάνει αυθόρμητα σε μια νέα τιμή σταθερής κατάστασης με περιορισμένη αλλαγή στην τιμή εισόδου ή ενοχλητική επιρροή. Συνήθως, ο όρος αυτο-ευθυγράμμιση χρησιμοποιείται για συνδέσμους που υπόκεινται σε ρύθμιση.

Υπάρχουν σύνδεσμοι στους οποίους μια περιορισμένη αλλαγή στην τιμή εισόδου δεν αναγκάζει τη σύνδεση να φτάσει σε μια νέα σταθερή κατάσταση και η τιμή εξόδου τείνει να αυξάνεται απεριόριστα με την πάροδο του χρόνου. Αυτά, για παράδειγμα, περιλαμβάνουν συνδέσμους του τύπου ολοκλήρωσης.

Υπάρχουν σύνδεσμοι στους οποίους αυτή η διαδικασία είναι ακόμη πιο έντονη. Αυτό εξηγείται από την παρουσία θετικών πραγματικών ή μιγαδικών ριζών με θετικό πραγματικό μέρος στη χαρακτηριστική εξίσωση (ο παρονομαστής της συνάρτησης μεταφοράς είναι ίσος με μηδέν), ως αποτέλεσμα της οποίας ο σύνδεσμος θα ταξινομηθεί ως ασταθείς συνδέσμους.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης , έχουμε τη συνάρτηση μεταφοράς και χαρακτηριστική εξίσωση με θετική πραγματική ρίζα. Αυτός ο σύνδεσμος έχει το ίδιο χαρακτηριστικό πλάτους-συχνότητας με τον αδρανειακό σύνδεσμο με συνάρτηση μεταφοράς. Αλλά τα χαρακτηριστικά συχνότητας φάσης αυτών των συνδέσμων είναι τα ίδια. Για τον αδρανειακό σύνδεσμο έχουμε . Για σύνδεσμο με λειτουργία μεταφοράς έχουμε

εκείνοι. μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Από αυτή την άποψη, ασταθείς σύνδεσμοι ανήκουν στην ομάδα όχι συνδέσμους ελάχιστης φάσης.

Οι ζεύξεις μη ελάχιστης φάσης περιλαμβάνουν επίσης σταθερούς συνδέσμους που έχουν πραγματικές θετικές ρίζες ή σύνθετες ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος στον αριθμητή της συνάρτησης μεταφοράς (που αντιστοιχεί στη δεξιά πλευρά της διαφορικής εξίσωσης).

Για παράδειγμα, ένας σύνδεσμος με συνάρτηση μεταφοράς ανήκει στην ομάδα των συνδέσμων μη ελάχιστης φάσης. Η μονάδα της συνάρτησης μεταφοράς συχνότητας συμπίπτει με τη μονάδα της συνάρτησης μεταφοράς συχνότητας της ζεύξης που έχει τη λειτουργία μεταφοράς . Αλλά η μετατόπιση φάσης του πρώτου συνδέσμου είναι μεγαλύτερη σε απόλυτη τιμή:

Οι ζεύξεις ελάχιστης φάσης έχουν μικρότερες μετατοπίσεις φάσης σε σύγκριση με τις αντίστοιχες ζεύξεις που έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά συχνότητας πλάτους.

Λένε ότι το σύστημα σταθερόςή έχει αυτοεπιπεδούμενο εάν, μετά την αφαίρεση της εξωτερικής διαταραχής, επανέλθει στην αρχική του κατάσταση.

Δεδομένου ότι η κίνηση ενός συστήματος σε ελεύθερη κατάσταση περιγράφεται από μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση, ο μαθηματικός ορισμός ενός σταθερού συστήματος μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Ένα σύστημα ονομάζεται ασυμπτωτικά σταθερό εάν η συνθήκη ικανοποιείται (2.9.1)

Από την ανάλυση της γενικής λύσης (1.2.10) προκύπτει μια απαραίτητη και επαρκής συνθήκη σταθερότητας:

Για τη σταθερότητα του συστήματος, είναι απαραίτητο και αρκετό όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν αυστηρά αρνητικά πραγματικά μέρη, δηλ. Μαλλομέταξο ύφασμα Εγώ , Εγώ = 1…n. (2.9.2)

Για λόγους σαφήνειας, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης συνήθως απεικονίζονται στο μιγαδικό επίπεδο στο Σχ. 2.9.1α. Όταν κάνετε ό,τι είναι απαραίτητο και επαρκές

Εικ.8.12. Επίπεδο ρίζας

χαρακτηριστικό γνώρισμα

εξισώσεις ΕΝΑ(Π) = 0

OU - περιοχή σταθερότητας

Η τρίτη προϋπόθεση (2.9.2) είναι ότι όλες οι ρίζες βρίσκονται στα αριστερά του νοητού άξονα, δηλ. στον τομέα της βιωσιμότητας.

Επομένως, η συνθήκη (2.9.2) μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.

Για σταθερότητα είναι απαραίτητο και επαρκές όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης να βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο.

Ένας αυστηρός γενικός ορισμός της σταθερότητας, οι μέθοδοι για τη μελέτη της σταθερότητας των μη γραμμικών συστημάτων και η δυνατότητα επέκτασης του συμπεράσματος σχετικά με τη σταθερότητα ενός γραμμικού συστήματος στο αρχικό μη γραμμικό σύστημα δόθηκε από τον Ρώσο επιστήμονα A.M.

Στην πράξη, η σταθερότητα προσδιορίζεται συχνά έμμεσα, χρησιμοποιώντας τα λεγόμενα κριτήρια σταθερότητας χωρίς να βρεθούν άμεσα οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αυτά περιλαμβάνουν αλγεβρικά κριτήρια: τη συνθήκη Stodola, τα κριτήρια Hurwitz και Mikhailov, καθώς και το κριτήριο συχνότητας Nyquist. Σε αυτή την περίπτωση, το κριτήριο Nyquist επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει τη σταθερότητα ενός συστήματος κλειστού βρόχου από το AFC ή από τα λογαριθμικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου.

Κατάσταση Stodola

Η συνθήκη αποκτήθηκε από τον Σλοβάκο μαθηματικό Stodola στα τέλη του 19ου αιώνα. Είναι ενδιαφέρον από μεθοδολογική άποψη για την κατανόηση των συνθηκών σταθερότητας του συστήματος.

Ας γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος στη μορφή

Δ(ρ) = α 0 Π n + α 1 Π n- 1 +…α n = 0. (2.9.3)

Σύμφωνα με τον Stodol, για τη σταθερότητα είναι απαραίτητο, αλλά όχι αρκετό, αυτό ένα 0 > 0 όλοι οι άλλοι συντελεστές ήταν αυστηρά θετικοί, δηλ.

ένα 1 > 0 ,..., ένα n > 0.

Ανάγκημπορεί να σχηματιστεί ως εξής:

Εάν το σύστημα είναι σταθερό, τότε όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης έχουν , δηλ. είναι αριστεροί.

Η απόδειξη της ανάγκης είναι στοιχειώδης. Σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μπορεί να παρασταθεί ως

Έστω, δηλ., ένας πραγματικός αριθμός, και – σύνθετες συζυγείς ρίζες. Επειτα

Αυτό δείχνει ότι στην περίπτωση ενός πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές, οι μιγαδικές ρίζες είναι συζευγμένες κατά ζεύγη. Επιπλέον, εάν , τότε έχουμε ένα γινόμενο πολυωνύμων με θετικούς συντελεστές, το οποίο δίνει ένα πολυώνυμο μόνο με θετικούς συντελεστές.

ΑποτυχίαΗ προϋπόθεση του Stodola είναι ότι η συνθήκη δεν εγγυάται ότι όλα . Αυτό μπορεί να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα λαμβάνοντας υπόψη ένα πολυώνυμο βαθμού.

Σημειώστε ότι στην περίπτωση η συνθήκη Stodola είναι και απαραίτητη και επαρκής. Προκύπτει από. Αν , τότε και έτσι .

Διότι, από την ανάλυση του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης προκύπτει και η επάρκεια της συνθήκης.

Δύο σημαντικές συνέπειες προκύπτουν από την κατάσταση του Στοντόλα.

1. Εάν η προϋπόθεση πληρούται και το σύστημα είναι ασταθές, τότε η διαδικασία μετάβασης έχει ταλαντωτική φύση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι μια εξίσωση με θετικούς συντελεστές δεν μπορεί να έχει πραγματικές θετικές ρίζες. Εξ ορισμού, ρίζα είναι ένας αριθμός που κάνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να εξαφανίζεται. Κανένας θετικός αριθμός δεν μπορεί να εξαφανίσει ένα πολυώνυμο με θετικούς συντελεστές, δηλαδή να είναι η ρίζα του.

2. Η θετικότητα των συντελεστών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (αντίστοιχα η εκπλήρωση της συνθήκης Stodola) διασφαλίζεται στην περίπτωση αρνητικής ανάδρασης, δηλ. στην περίπτωση περιττού αριθμού αναστροφών σήματος κατά μήκος ενός κλειστού βρόχου. Στην περίπτωση αυτή, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Διαφορετικά, και αφού φέρουμε παρόμοιους, ορισμένοι συντελεστές θα μπορούσαν να αποδειχθούν αρνητικοί.

Σημειώστε ότι τα αρνητικά σχόλια δεν αποκλείουν την πιθανότητα μη εκπλήρωσης της συνθήκης Stodola. Για παράδειγμα, εάν , και , τότε στην περίπτωση μιας μεμονωμένης αρνητικής ανατροφοδότησης . Σε αυτό το πολυώνυμο, ο συντελεστής at είναι ίσος με μηδέν. Δεν υπάρχουν αρνητικοί συντελεστές, αλλά, παρόλα αυτά, η προϋπόθεση δεν ικανοποιείται, αφού απαιτεί αυστηρή εκπλήρωση των ανισοτήτων.

Αυτό επιβεβαιώνεται από το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.9.1. Εφαρμόστε τη συνθήκη Stodola στο κύκλωμα στο Σχ. 2.9.2.

Η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος αρνητικής ανάδρασης μονάδας ανοιχτού βρόχου είναι ίση με και η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος κλειστού βρόχου είναι το άθροισμα του αριθμητή και του παρονομαστή, δηλ.

D(p) = p 2 +κ 1 κ 2 = 0.

Αφού δεν υπάρχει μέλος με Rστον πρώτο βαθμό ( ένα 1 = 0), τότε η συνθήκη Stodola δεν ικανοποιείται και το σύστημα είναι ασταθές. Αυτό το σύστημα είναι δομικά ασταθές, αφού δεν υπάρχουν τιμές παραμέτρων κ 1 και κ 2 δεν μπορεί να είναι βιώσιμο.

Για να κάνετε το σύστημα σταθερό, πρέπει να εισάγετε μια πρόσθετη σύνδεση ή διορθωτική σύνδεση, π.χ. αλλαγή της δομής του συστήματος. Ας το δείξουμε αυτό με παραδείγματα. Στο Σχ. 2.9.3. ένας άμεσος σύνδεσμος αλυσίδας αντιπροσωπεύεται από συνδέσμους συνδεδεμένους σε σειρά με συναρτήσεις μεταφοράς και . Παράλληλα με την πρώτη εισαγωγή υπάρχει μια πρόσθετη σύνδεση.

Π
Η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος ανοικτού βρόχου κατά μήκος μιας αρνητικής σύνδεσης μονάδας και η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος κλειστού βρόχου είναι αντίστοιχα ίσες με

,

Πλέον η συνθήκη Stodola ικανοποιείται για οποιαδήποτε . Εφόσον στην περίπτωση μιας εξίσωσης δεύτερου βαθμού δεν είναι μόνο απαραίτητη, αλλά και επαρκής, το σύστημα είναι σταθερό για τυχόν θετικούς παράγοντες κέρδους.

Στο Σχ. 2.9.4, εισάγεται στο κύκλωμα ένας διαδοχικός σύνδεσμος εξαναγκασμού. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος μονής αρνητικής σύνδεσης ανοιχτού κυκλώματος σε αυτή την περίπτωση είναι ίση με και η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού συστήματος είναι ίση με

Παρόμοια με την προηγούμενη, το σύστημα είναι σταθερό για κάθε θετικό .

Κριτήριο σταθερότητας Rouss-Hurwitz

Οι μαθηματικοί Rouss (Αγγλία) και Hurwitz (Ελβετία) ανέπτυξαν αυτό το κριτήριο περίπου ταυτόχρονα. Η διαφορά ήταν στον αλγόριθμο υπολογισμού. Θα εξοικειωθούμε με το κριτήριο στη διατύπωση του Hurwitz.

Σύμφωνα με τον Hurwitz, για τη σταθερότητα είναι απαραίτητο και επαρκές ότι όταν ένα 0 > 0 ορίζουσα Hurwitz  =  nκαι όλα τα κύρια ανήλικα του  1 ,  2 ,...,  n -1 ήταν αυστηρά θετικές, δηλ.

(2.9.4)

Η δομή της ορίζουσας Hurwitz είναι εύκολο να θυμηθεί κανείς, δεδομένου ότι οι συντελεστές βρίσκονται κατά μήκος της κύριας διαγωνίου ΕΝΑ 1 ,… ,ΕΝΑ n, οι γραμμές περιέχουν συντελεστές που χωρίζονται με ένα εάν εξαντληθούν, τότε τα κενά διαστήματα γεμίζουν με μηδενικά.

Παράδειγμα 2.9.2. Για τη μελέτη της ευστάθειας Hurwitz ενός συστήματος με αρνητική ανάδραση μονάδας, στην άμεση αλυσίδα του οποίου περιλαμβάνονται τρεις αδρανειακές ζεύξεις και, επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου έχει τη μορφή (2.9.5)

Ας γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση ενός κλειστού συστήματος ως το άθροισμα του αριθμητή και του παρονομαστή (2.9.5):

Ως εκ τούτου,

Η ορίζουσα Hurwitz και τα ανήλικα της έχουν τη μορφή

λαμβάνω υπ'όψιν ένα 0 > 0, η αυστηρή θετικότητα της ορίζουσας Hurwitz και των ανηλίκων (2.9.6) συνεπάγεται την συνθήκη Stodola και, επιπλέον, την συνθήκη ένα 1 ένα 2 - ένα 0 ένα 3 > 0, που μετά την αντικατάσταση των τιμών των συντελεστών δίνει

(Τ 1 Τ 2 + Τ 1 Τ 3 +Τ 2 Τ 3 ) (Τ 1 +Τ 2 +Τ 3 ) > Τ 1 Τ 2 Τ 3 (1+ κ) . (2.9.7)

Από αυτό φαίνεται ότι με την αύξηση κτο σύστημα μπορεί να μετατραπεί από σταθερό σε ασταθές, αφού η ανισότητα (2.9.7) παύει να ικανοποιείται.

Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κατά λάθος είναι ίση με

Σύμφωνα με το θεώρημα για την τελική τιμή του αρχικού, το σφάλμα σταθερής κατάστασης στην επεξεργασία ενός σήματος ενός βήματος θα είναι ίσο με 1/(1+ κ). Κατά συνέπεια, αποκαλύπτεται μια αντίφαση μεταξύ σταθερότητας και ακρίβειας. Για να μειώσετε το σφάλμα, πρέπει να αυξήσετε κ, αλλά αυτό οδηγεί σε απώλεια σταθερότητας.

Η αρχή της επιχειρηματολογίας και το κριτήριο σταθερότητας Mikhailov

Το κριτήριο Mikhailov βασίζεται στη λεγόμενη αρχή της επιχειρηματολογίας.

Ας εξετάσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός συστήματος κλειστού βρόχου, το οποίο, σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή

Δ(ρ) = α 0 Π n + α 1 Π n- 1 +…+α n = α 0 (σελ - σελ 1 )…(σελ - σελ n ).

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση p = j

DJ ) = α 0 (ι ) n + α 1 (ι ) n- 1 +…+α n = α 0 (ι -Π 1 )…(ι -Π n ) = X( )+jY( ).

Για μια συγκεκριμένη τιμή  έχει ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις

μι
αν αλλάξει  στο εύρος από - έως , τότε θα σχεδιαστεί η καμπύλη Mikhailov, δηλαδή ο οδόγραφος. Ας μελετήσουμε την περιστροφή του διανύσματος DJ ) όταν αλλάζει  από - σε , δηλ., βρίσκουμε την αύξηση του ορίσματος του διανύσματος (το όρισμα είναι ίσο με το άθροισμα για το γινόμενο των διανυσμάτων): .

Στο  = -  διάνυσμα διαφοράς, η αρχή του οποίου βρίσκεται στο σημείο R i, και το άκρο στον νοητό άξονα κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω. Καθώς μεγαλώνεις  το άκρο του διανύσματος ολισθαίνει κατά μήκος του φανταστικού άξονα και πότε  =  το διάνυσμα κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Αν μείνει η ρίζα (Εικ. 2.9.19α), τότε  arg = + , και αν η ρίζα είναι σωστή, τότε  arg = - .

Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει Μσωστές ρίζες (αντίστοιχα n - mαριστερά), τότε .

Αυτή είναι η αρχή του επιχειρήματος. Κατά την επιλογή του πραγματικού τμήματος Χ( ) και φανταστικό Υ( ) αποδώσαμε σε Χ( ) όλοι οι όροι που περιέχουν ι σε άρτιο βαθμό, και να Υ( ) - σε περίεργο βαθμό. Επομένως, η καμπύλη Mikhailov είναι συμμετρική ως προς τον πραγματικό άξονα ( Χ( ) - ακόμη και, Υ( ) – περιττή συνάρτηση). Ως αποτέλεσμα, αν αλλάξετε  από 0 έως +, τότε η αύξηση του ορίσματος θα είναι το μισό μεγαλύτερο. Από αυτή την άποψη, τέλος αρχή της επιχειρηματολογίαςδιατυπώνεται ως εξής . (2.9.29)

Εάν το σύστημα είναι σταθερό, π.χ. Μ= 0, τότε λαμβάνουμε το κριτήριο σταθερότητας Mikhailov.

Σύμφωνα με τον Mikhailov, για τη σταθερότητα είναι απαραίτητο και αρκετό αυτό

, (2.9.30)

δηλαδή η καμπύλη Mikhailov πρέπει να περνά διαδοχικά n

Προφανώς, για την εφαρμογή του κριτηρίου Mikhailov, δεν απαιτείται ακριβής και λεπτομερής κατασκευή της καμπύλης. Είναι σημαντικό να διαπιστωθεί πώς περιστρέφεται γύρω από την αρχή των συντεταγμένων και εάν παραβιάζεται η ακολουθία διέλευσης nτέταρτα αριστερόστροφα.

Παράδειγμα 2.9.6. Εφαρμόστε το κριτήριο Mikhailov για να ελέγξετε τη σταθερότητα του συστήματος που φαίνεται στην Εικ. 2.9.20.

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο συστήματος κλειστού βρόχου στο κ 1 κ 2 > 0 αντιστοιχεί σε ένα σταθερό σύστημα, επομένως η συνθήκη Stodola ικανοποιείται και για n = 1 είναι αρκετό. Μπορείτε να βρείτε απευθείας τη ρίζα R 1 = - κ 1 κ 2 και βεβαιωθείτε ότι ικανοποιείται η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη σταθερότητας. Επομένως, η εφαρμογή του κριτηρίου Mikhailov είναι ενδεικτική. πιστεύοντας Π= ι , παίρνουμε

ρε(ι ) = Χ( )+ jY( ),

Οπου Χ( ) = ; Υ( ) =  . (2.9.31)

Χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσεις (2.9.31), το οδόγραφο του Mikhailov κατασκευάστηκε στο Σχ. 2.9.21, από το οποίο είναι σαφές ότι κατά την αλλαγή  0 έως  διάνυσμα ρε(ι ) περιστρέφεται αριστερόστροφα στο +  /2, δηλ. το σύστημα είναι σταθερό.

Κριτήριο σταθερότητας Nyquist

ΠΡΟΣ ΤΗΝ Όπως έχει ήδη σημειωθεί, το κριτήριο Nyquist κατέχει ιδιαίτερη θέση μεταξύ των κριτηρίων σταθερότητας. Αυτό είναι ένα κριτήριο συχνότητας που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τη σταθερότητα ενός συστήματος κλειστού βρόχου με βάση τα χαρακτηριστικά συχνότητας ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου. Σε αυτή την περίπτωση, θεωρείται ότι το σύστημα είναι ανοιχτό στο μοναδικό κύκλωμα αρνητικής ανάδρασης (Εικ. 2.9.22).

Ένα από τα πλεονεκτήματα του κριτηρίου Nyquist είναι ότι τα χαρακτηριστικά συχνότητας ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου μπορούν να ληφθούν πειραματικά.

Η εξαγωγή του κριτηρίου βασίζεται στη χρήση της αρχής της επιχειρηματολογίας. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανοιχτού βρόχου (μέσω του μοναδικού κυκλώματος αρνητικής ανάδρασης στο Σχ. 2.9.22) είναι ίση με

Ας σκεφτούμε.

(2.9.32) Στην περίπτωση ενός πραγματικού συστήματος με περιορισμένο εύρος ζώνης, ο βαθμός του παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχουΠ nμεγαλύτερη από τη δύναμη του αριθμητή, δηλ. n. Η μετάβαση από το AFC ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου στο AFC σύμφωνα με την (2.9.32) σημαίνει αύξηση του πραγματικού τμήματος κατά 1, δηλ. μετακινώντας την αρχή των συντεταγμένων στο σημείο (-1, 0), όπως φαίνεται στο Σχ. 2.9.23.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι σταθερό και η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ανοιχτού βρόχου είναι Α(ρ) = 0 έχει Μσωστές ρίζες. Στη συνέχεια, σύμφωνα με την αρχή της επιχειρηματολογίας (2.9.29), λαμβάνουμε μια απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για τη σταθερότητα ενός συστήματος κλειστού βρόχου σύμφωνα με τον Nyquist

Εκείνοι. για τη σταθερότητα ενός διανύσματος συστήματος κλειστού βρόχου W 1 (ι ) πρέπει να κάνω Μ/2 πλήρεις στροφές αριστερόστροφα, που ισοδυναμεί με περιστροφή του διανύσματος Wπα ζ (ι ) σε σχέση με το κρίσιμο σημείο (-1,0).

Στην πράξη, κατά κανόνα, ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι σταθερό, δηλ. Μ= 0. Στην περίπτωση αυτή, η προσαύξηση του ορίσματος είναι μηδέν, δηλ. Το AFC ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου δεν πρέπει να καλύπτει το κρίσιμο σημείο (-1,0).

Κριτήριο Nyquist για LAC και LFC

Στην πράξη, τα λογαριθμικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου χρησιμοποιούνται συχνότερα. Επομένως, είναι σκόπιμο να διαμορφωθεί το κριτήριο Nyquist για να προσδιοριστεί η σταθερότητα ενός συστήματος κλειστού βρόχου που βασίζεται σε αυτά. Ο αριθμός των περιστροφών του AFC σε σχέση με το κρίσιμο σημείο (-1,0) και αν καλύπτεται ή όχι

εξαρτώνται από τον αριθμό των θετικών και αρνητικών τομών του διαστήματος (-,-1) του πραγματικού άξονα και, κατά συνέπεια, τομές της γραμμής -180° από το χαρακτηριστικό φάσης στην περιοχή μεγάλο( )  0 . Το σχήμα 2.9.24 δείχνει το AFC και δείχνει τα σημάδια τομών του τμήματος (-,-1) του πραγματικού άξονα.

Δίκαιος κανόνας

όπου είναι ο αριθμός των θετικών και αρνητικών τομών.

Με βάση το AFC στο Σχ. 2.9.24γ, κατασκευάζονται το LAC και το LFC, όπως φαίνεται στο Σχ. 2.9.25, και οι θετικές και αρνητικές διασταυρώσεις σημειώνονται στο LFC. Στο τμήμα (-,-1) το στοιχείο είναι μεγαλύτερο από ένα, το οποίο αντιστοιχεί μεγάλο( ) > 0. Επομένως, το κριτήριο Nyquist:

ρε για τη σταθερότητα συστήματος κλειστού βρόχου LFC συστήματος ανοιχτού βρόχου στην περιοχή όπου μεγάλο( ) > 0, θα πρέπει να έχει περισσότερες θετικές τομές της γραμμής -180° από τις αρνητικές.

Εάν το σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι σταθερό, τότε ο αριθμός των θετικών και αρνητικών τομών της γραμμής -180° από το χαρακτηριστικό φάσης στην περιοχή μεγάλο( ) > Το 0 για τη σταθερότητα ενός συστήματος κλειστού βρόχου πρέπει να είναι το ίδιο ή να μην υπάρχουν διασταυρώσεις.

Κριτήριο Nyquist για ένα αστατικό σύστημα

Είναι ιδιαίτερα απαραίτητο να εξεταστεί η περίπτωση ενός συστήματος αστατικής τάξης rμε συνάρτηση μεταφοράς συστήματος ανοιχτού βρόχου ίση με

.

Σε αυτήν την περίπτωση στο 0, δηλαδή, το χαρακτηριστικό πλάτους φάσης (APC) του συστήματος ανοιχτού βρόχου πηγαίνει στο άπειρο. Προηγουμένως, κατασκευάζαμε AFH κατά την αλλαγή  από - σε  και ήταν μια συνεχής καμπύλη, κλειστή στο  =  0. Τώρα κλείνει και στο  = 0, αλλά στο άπειρο και δεν είναι σαφές σε ποια πλευρά του πραγματικού άξονα (στο άπειρο στα αριστερά ή στα δεξιά;).

Το σχήμα 2.9.19γ δείχνει ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχει αβεβαιότητα στον υπολογισμό της αύξησης του ορίσματος του διανύσματος διαφοράς. Τώρα βρίσκεται πάντα κατά μήκος του νοητού άξονα (συμπίπτει με ι ). Μόνο όταν διασταυρώνεται το μηδέν αλλάζει η κατεύθυνση (σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά  ή δεξιόστροφα κατά -?), Για βεβαιότητα, υποθέτουμε συμβατικά ότι η ρίζα έχει μείνει και η στρογγυλοποίηση της αρχής συμβαίνει κατά μήκος ενός τόξου απειροελάχιστης ακτίνας αριστερόστροφα (περιστροφή κατά +  ). Αντίστοιχα στην περιοχή  = 0 θα αντιπροσωπεύεται στη φόρμα

,

Οπου  = +  όταν αλλάζει  από – 0 έως + 0. Η τελευταία έκφραση δείχνει ότι με μια τέτοια αποκάλυψη αβεβαιότητας, η AFC στρέφεται με μια αλλαγή  από – 0 έως + 0 ανά γωνία - δεξιόστροφα. Το αντίστοιχο AFC πρέπει να είναι  = 0 συμπληρώνεται με τόξο άπειρου ακτίνας υπό γωνία , δηλαδή αριστερόστροφα προς τον θετικό πραγματικό ημιάξονα.

Περιθώρια σταθερότητας κατά συντελεστή και φάση

Για να εξασφαλιστεί η σταθερότητα όταν αλλάζουν οι παράμετροι του συστήματος, εισάγονται περιθώρια ευστάθειας σε συντελεστή και φάση, που καθορίζονται ως εξής.

Περιθώριο σταθερότητας Moduloδείχνει πόσες φορές ή πόσα ντεσιμπέλ επιτρέπεται να αυξηθεί ή να μειωθεί η απολαβή έτσι ώστε το σύστημα να παραμείνει σταθερό (είναι στο όριο σταθερότητας). Ορίζεται ως min( μεγάλο 3 , μεγάλο 4) στο Σχ. 2.9.25. Πράγματι, εάν δεν αλλάξετε το LFC, τότε όταν το LFC ανέβει μεγάλο 4 συχνότητα αποκοπής  Το cp θα μετακινηθεί στο σημείο  4 και το σύστημα θα βρίσκεται στα όρια της σταθερότητας. Εάν χαμηλώσετε το LAX σε μεγάλο 3, τότε η συχνότητα αποκοπής θα μετατοπιστεί προς τα αριστερά στο σημείο  3 και το σύστημα θα βρίσκεται επίσης στο όριο σταθερότητας. Αν χαμηλώσουμε το LAX ακόμα πιο χαμηλά, τότε στην περιοχή μεγάλο( ) > Το 0 θα παραμείνει μόνο η αρνητική τομή της γραμμής LFC -180°, δηλ. σύμφωνα με το κριτήριο Nyquist, το σύστημα θα γίνει ασταθές.

Περιθώριο σταθερότητας φάσηςδείχνει πόσο επιτρέπεται η αύξηση της μετατόπισης φάσης με σταθερό κέρδος έτσι ώστε το σύστημα να παραμένει σταθερό (βρίσκεται στο όριο ευστάθειας). Ορίζεται ως προσθήκη  ( cf) έως -180°.

Στην πράξη μεγάλο  12-20 dB,   20-30°.