Matematičko očekivanje slučajne varijable, primjeri rješenja. Diskretne slučajne varijable

Zadatak 1. Vjerojatnost klijanja sjemena pšenice je 0,9. Kolika je vjerojatnost da će od četiri posijane sjemenke niknuti najmanje tri?

Riješenje. Neka događaj A– od 4 sjemenke niknu najmanje 3 sjemenke; događaj U– iz 4 sjemenke niknu 3 sjemenke; događaj S– iz 4 sjemenke niknu 4 sjemenke. Po teoremu zbrajanja vjerojatnosti

Vjerojatnosti
I
određujemo Bernoullijevom formulom, primijenjenom u sljedećem slučaju. Neka se serija održi P neovisni testovi, tijekom svakog od kojih je vjerojatnost događanja događaja konstantna i jednaka R, a vjerojatnost da se ovaj događaj ne dogodi jednaka je
. Tada je vjerojatnost da događaj A V P testovi će se pojaviti točno puta, izračunato pomoću Bernoullijeve formule

,

Gdje
– broj kombinacija od P elementi po . Zatim

Tražena vjerojatnost

Zadatak 2. Vjerojatnost klijanja sjemena pšenice je 0,9. Odredite vjerojatnost da će od 400 posijanih sjemenki niknuti 350 sjemenki.

Riješenje. Izračunajte traženu vjerojatnost
korištenje Bernoullijeve formule je teško zbog glomaznosti izračuna. Stoga primjenjujemo približnu formulu koja izražava Laplaceov lokalni teorem:

,

Gdje
I
.

Od uvjeta problema. Zatim

.

Iz tablice 1. priloga nalazimo. Tražena vjerojatnost jednaka je

Zadatak 3. Sjeme pšenice sadrži 0,02% korova. Kolika je vjerojatnost da će se, ako se slučajno odabere 10 000 sjemenki, pronaći 6 sjemenki korova?

Riješenje. Primjena Laplaceovog lokalnog teorema zbog male vjerojatnosti
dovodi do značajnog odstupanja vjerojatnosti od točne vrijednosti
. Dakle, pri malim vrijednostima R izračunati
primijeniti asimptotičku Poissonovu formulu

, Gdje .

Ova formula se koristi kada
, i što manje R i više P, točniji rezultat.

Prema uvjetima problema
;
. Zatim

Zadatak 4. Klijavost sjemena pšenice je 90%. Nađite vjerojatnost da će od 500 posijanih sjemenki niknuti od 400 do 440 sjemenki.

Riješenje. Ako je vjerojatnost događanja događaja A u svakom P testovi su konstantni i jednaki R, zatim vjerojatnost
da je događaj A u takvim testovima neće biti ništa manje jednom i ne više vremena određena Laplaceovim integralnim teoremom sljedećom formulom:

, Gdje

,
.

Funkcija
naziva se Laplaceova funkcija. U prilozima (tablica 2) date su vrijednosti ove funkcije za
. Na
funkcija
. Za negativne vrijednosti x zbog neparnosti Laplaceove funkcije
. Koristeći Laplaceovu funkciju, imamo:

Prema uvjetima zadatka. Pomoću gornjih formula nalazimo
I :

Zadatak 5. Dan je zakon distribucije diskretne slučajne varijable x:

2. Nađite: 1) matematičko očekivanje; 2) disperzija; 3) standardna devijacija.

Riješenje. 1) Ako je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable dan tablicom

2. Gdje prvi redak sadrži vrijednosti slučajne varijable x, a drugi redak sadrži vjerojatnosti tih vrijednosti, tada se matematičko očekivanje izračunava pomoću formule

2) Varijanca
diskretna slučajna varijabla x naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja, tj.

Ova vrijednost karakterizira prosječnu očekivanu vrijednost kvadrata odstupanja x iz
. Iz zadnje formule koju imamo

Varijanca
može se pronaći na drugi način, na temelju njegovog sljedećeg svojstva: disperzije
jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable x i kvadrat njegovog matematičkog očekivanja
, to je

Izračunati
sastavimo sljedeći zakon raspodjele količine
:

3) Za karakterizaciju raspršenja mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njezine prosječne vrijednosti, uvodi se standardna devijacija
nasumična varijabla x, jednako kvadratnom korijenu varijance
, to je

.

Iz ove formule imamo:

Zadatak 6. Kontinuirana slučajna varijabla x dana kumulativnom funkcijom distribucije

Nađi: 1) diferencijalnu funkciju raspodjele
; 2) matematičko očekivanje
; 3) varijanca
.

Riješenje. 1) Funkcija diferencijalne distribucije
kontinuirana slučajna varijabla x naziva se derivacija funkcije kumulativne distribucije
, to je

.

Tražena diferencijalna funkcija ima sljedeći oblik:

2) Ako je kontinuirana slučajna varijabla x zadan funkcijom
, tada je njegovo matematičko očekivanje određeno formulom

Budući da funkcija
na
i kod
je jednako nuli, onda iz posljednje formule koju imamo

.

3) Varijanca
odredit ćemo formulom

Zadatak 7. Duljina dijela je normalno raspodijeljena slučajna varijabla s matematičkim očekivanjem od 40 mm i standardnom devijacijom od 3 mm. Nađite: 1) vjerojatnost da će duljina proizvoljno uzetog dijela biti veća od 34 mm i manja od 43 mm; 2) vjerojatnost da će duljina dijela odstupati od svog matematičkog očekivanja za najviše 1,5 mm.

Riješenje. 1) Neka x– duljina dijela. Ako je slučajna varijabla x dana diferencijalnom funkcijom
, tada je vjerojatnost da xće uzeti vrijednosti koje pripadaju segmentu
, određuje se formulom

.

Vjerojatnost strogih nejednakosti
određuje se istom formulom. Ako je slučajna varijabla x distribuira se prema normalnom zakonu, dakle

, (1)

Gdje
– Laplaceova funkcija,
.

U problemu. Zatim

2) Prema uvjetima problema, gdje
. Zamjenom u (1) imamo

. (2)

Iz formule (2) imamo.

Matematičko očekivanje je definicija

Šah-mat čekanje je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerojatnosti nasumična varijabla. Obično se izražava kao ponderirani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju serija brojeva i proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju cjenovnih pokazatelja pri trgovanju na financijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda igračkih taktika u teorije kockanja.

Šah-mat čeka- Ovo srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerojatnosti slučajna varijabla se razmatra u teoriji vjerojatnosti.

Šah-mat čekanje je mjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Matirajte očekivanje slučajne varijable x označen sa M(x).

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost populacije) je

Šah-mat čekanje je

Šah-mat čekanje je u teoriji vjerojatnosti, ponderirani prosjek svih mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može poprimiti.

Šah-mat čekanje je zbroj umnožaka svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti tih vrijednosti.

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost populacije) je

Šah-mat čekanje je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velikih udaljenosti.

Šah-mat čekanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji špekulant može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, na svakoj okladi. Jezikom kockanja špekulantima ovo se ponekad naziva "prednošću" špekulant" (ako je pozitivan za špekulanta) ili "house edge" (ako je negativan za špekulanta).

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost populacije) je

Wir verwenden Cookies für die best Presentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. u redu

Očekivanje je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable

Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, uzorak, uvjetno očekivanje, izračun, svojstva, problemi, procjena očekivanja, disperzija, funkcija distribucije, formule, primjeri izračuna

Proširi sadržaj

Sažmi sadržaj

Matematičko očekivanje je definicija

Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerojatnosti slučajne varijable. Obično se izražava kao ponderirani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju serija brojeva i proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju cjenovnih pokazatelja pri trgovanju na financijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igranja u teoriji kockanja.

Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerojatnosti slučajne varijable razmatra se u teoriji vjerojatnosti.

Matematičko očekivanje je mjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Očekivanje slučajne varijable x označen sa M(x).

Matematičko očekivanje je

Matematičko očekivanje je u teoriji vjerojatnosti, ponderirani prosjek svih mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može poprimiti.

Matematičko očekivanje je zbroj umnožaka svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti tih vrijednosti.

Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velikih udaljenosti.

Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitaka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku okladu. U kockarskom jeziku to se ponekad naziva "igračeva prednost" (ako je pozitivna za igrača) ili "kockasta prednost" (ako je negativna za igrača).

Matematičko očekivanje je postotak dobiti po pobjedi pomnožen s prosječnom dobiti, minus vjerojatnost gubitka pomnožena s prosječnim gubitkom.

Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematičkoj teoriji

Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je njezino matematičko očekivanje. Uvedimo pojam sustava slučajnih varijabli. Razmotrimo skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sustava, tada događaj odgovara određenoj vjerojatnosti koja zadovoljava Kolmogorovljev aksiom. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajedničkim zakonom raspodjele. Ova vam funkcija omogućuje izračunavanje vjerojatnosti bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koje uzimaju vrijednosti iz skupa i, dan je vjerojatnostima.

Pojam "matematičko očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795.) i dolazi od koncepta "očekivane vrijednosti dobitaka", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascala i Christiana Huygens. Međutim, prvo cjelovito teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog pojma dao je Pafnutij Ljvovič Čebišev (sredina 19. stoljeća).

Zakon distribucije slučajnih numeričkih varijabli (funkcija distribucije i serija distribucije ili gustoća vjerojatnosti) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je znati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njezina prosječna vrijednost i moguće odstupanje od nje) kako bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijanca, mod i medijan.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj umnožaka njezinih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderirani prosjek, budući da je približno jednako aritmetičkoj sredini opaženih vrijednosti slučajne varijable tijekom velikog broja eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizlazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable niti veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.

Matematičko očekivanje ima jednostavno fizičko značenje: ako stavite jediničnu masu na ravnu crtu, postavite određenu masu u neke točke (za diskretnu distribuciju), ili je "razmažete" određenom gustoćom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju) , tada će točka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinata "težište" ravna.

Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj koji je takoreći njen “reprezentativni” i zamjenjuje je u grubo približnim izračunima. Kada kažemo: "prosječno vrijeme rada svjetiljke je 100 sati" ili "prosječna točka udara je pomaknuta u odnosu na metu za 2 m udesno", ukazujemo na određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njen položaj na numeričkoj osi, tj. "položajne karakteristike".

Od karakteristika pozicije u teoriji vjerojatnosti najvažniju ulogu ima matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad jednostavno naziva prosječna vrijednost slučajne varijable.

Razmotrite slučajnu varijablu x, s mogućim vrijednostima x1, x2, …, xn s vjerojatnostima p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerojatnosti. U tu svrhu prirodno je koristiti takozvani "ponderirani prosjek" vrijednosti xi, a svaku vrijednost xi tijekom usrednjavanja treba uzeti u obzir s "težinom" proporcionalnom vjerojatnosti te vrijednosti. Stoga ćemo izračunati prosjek slučajne varijable x, koje označavamo M |X|:

Ovaj ponderirani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Time smo uveli u razmatranje jedan od najvažnijih pojmova teorije vjerojatnosti - pojam matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbroj umnožaka svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti tih vrijednosti.

Neka se proizvodi N nezavisni eksperimenti, u svakom od njih vrijednost x poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da vrijednost x1 pojavio se m1 puta, vrijednost x2 pojavio se m2 vremena, opće značenje xi pojavio se mi puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu opaženih vrijednosti vrijednosti X, koja za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označavamo M*|X|:

S povećanjem broja eksperimenata N frekvencije pi približit će se (konvergirati u vjerojatnosti) odgovarajućim vjerojatnostima. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable M|X| s povećanjem broja eksperimenata približit će se (konvergirati u vjerojatnosti) svom matematičkom očekivanju. Gore formulirana veza između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.

Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su neki prosjeci stabilni tijekom velikog broja eksperimenata. Ovdje je riječ o stabilnosti aritmetičke sredine iz niza opažanja iste veličine. S malim brojem eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo neslučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.

Stabilnost prosjeka tijekom velikog broja eksperimenata može se lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, kod vaganja tijela u laboratoriju na preciznim vagama, kao rezultat vaganja dobivamo svaki put novu vrijednost; Da bismo smanjili pogrešku opažanja, tijelo važemo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobivenih vrijednosti. Lako je vidjeti da s daljnjim povećanjem broja pokusa (vaganja) aritmetička sredina sve manje reagira na taj porast i da se s dovoljno velikim brojem pokusa praktički prestaje mijenjati.

Treba napomenuti da najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable – matematičko očekivanje – ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, budući da odgovarajući zbroj ili integral divergiraju. Međutim, takvi slučajevi nisu od većeg interesa za praksu. Tipično, slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju matematičko očekivanje.

Uz najvažniju karakteristiku položaja slučajne varijable - matematičko očekivanje - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebice modus i medijan slučajne varijable.

Modus slučajne varijable je njezina najvjerojatnija vrijednost. Izraz "najvjerojatnija vrijednost" strogo govoreći odnosi se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustoća vjerojatnosti najveća. Slike prikazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable.

Ako poligon distribucije (krivulja distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva "multimodalna".

Ponekad postoje distribucije koje imaju minimum u sredini umjesto maksimuma. Takve se distribucije nazivaju "antimodalne".

U općem slučaju modus i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne podudaraju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, tada se ona podudara s modom i središtem simetrije distribucije.

Često se koristi još jedna karakteristika položaja - takozvani medijan slučajne varijable. Ova se karakteristika obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno definirati za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski, medijan je apscisa točke u kojoj je površina koju obuhvaća krivulja distribucije podijeljena na pola.

U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan se podudara s matematičkim očekivanjem i modom.

Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable – numerička karakteristika distribucije vjerojatnosti slučajne varijable. U najopćenitijem smislu, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) definira se kao Lebesgueov integral s obzirom na mjeru vjerojatnosti R u izvornom prostoru vjerojatnosti:

Matematičko očekivanje također se može izračunati kao Lebesgueov integral od x distribucijom vjerojatnosti px količinama x:

Koncept slučajne varijable s beskonačnim matematičkim očekivanjem može se definirati na prirodan način. Tipičan primjer su povratna vremena nekih slučajnih šetnji.

Pomoću matematičkog očekivanja određuju se mnoge numeričke i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno disperzija, kovarijanca .

Matematičko očekivanje je karakteristika položaja vrijednosti slučajne varijable (prosječna vrijednost njezine distribucije). U tom svojstvu matematičko očekivanje služi kao neki “tipični” parametar raspodjele i njegova je uloga slična ulozi statičkog momenta - koordinate težišta raspodjele mase - u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije pomoću kojih se distribucija općenito opisuje - medijana, modusa, matematičko očekivanje se razlikuje po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremima teorije vjerojatnosti. Smisao matematičkog očekivanja najpotpunije otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.

Očekivanje diskretne slučajne varijable

Neka postoji neka slučajna varijabla koja može poprimiti jednu od nekoliko brojčanih vrijednosti (na primjer, broj bodova pri bacanju kocke može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi za takvu vrijednost postavlja pitanje: koju vrijednost uzima “u prosjeku” s velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prihod (ili gubitak) od svake od rizičnih transakcija?

Recimo, postoji neka vrsta lutrije. Želimo razumjeti je li isplativo ili ne sudjelovati u tome (ili čak sudjelovati više puta, redovito). Recimo da je svaka četvrta ulaznica dobitna, nagrada će biti 300 rubalja, a cijena bilo koje karte bit će 100 rubalja. S beskonačno velikim brojem sudjelovanja to se događa. U tri četvrtine slučajeva izgubit ćemo, svaka tri gubitka koštat će 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), odnosno za četiri sudjelovanja gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno će prosječna stopa naše propasti biti 25 rubalja po karti.

Bacamo kocku. Ako nije varanje (bez pomicanja težišta i sl.), koliko ćemo onda bodova prosječno imati odjednom? Budući da je svaka opcija jednako vjerojatna, jednostavno uzmemo aritmetičku sredinu i dobijemo 3,5. Budući da je ovo PROSJEK, ne treba se ljutiti što niti jedan određeni bacač neće dati 3,5 boda - pa ova kocka nema lice s takvim brojem!

Sada rezimiramo naše primjere:

Pogledajmo upravo danu sliku. S lijeve strane nalazi se tablica distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (prikazano u gornjem retku). Ne može biti drugih značenja. Ispod svake moguće vrijednosti ispisana je njezina vjerojatnost. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem testova (s velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti tom istom matematičkom očekivanju.

Vratimo se opet na istu igračku kocku. Matematičko očekivanje broja bodova pri bacanju je 3,5 (ako ne vjerujete izračunajte sami pomoću formule). Recimo da si ga bacio nekoliko puta. Rezultati su bili 4 i 6. Prosjek je bio 5, što je daleko od 3,5. Bacili su ga još jednom, dobili su 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - kotrljajte kocku 1000 puta! Pa čak i da prosjek nije baš 3,5, bit će blizu toga.

Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Ploča će izgledati ovako:

Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo gore utvrdili:

Druga je stvar što bi to bilo teško raditi “na prste”, bez formule, da je bilo više opcija. Pa, recimo da bi bilo 75% gubitnih listića, 20% dobitnih listića i 5% posebno dobitnih listića.

Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.

Lako je dokazati:

Konstantni faktor se može uzeti kao predznak matematičkog očekivanja, to jest:

Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.

Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:

odnosno matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.

Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, zatim:

To je također lako dokazati) Rad XY sama po sebi je slučajna varijabla, a ako početne vrijednosti mogu uzeti n I m vrijednosti prema tome, dakle XY može poprimiti nm vrijednosti. Vjerojatnost svake vrijednosti izračunava se na temelju činjenice da se množe vjerojatnosti neovisnih događaja. Kao rezultat, dobivamo ovo:

Očekivanje kontinuirane slučajne varijable

Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustoća distribucije (gustoća vjerojatnosti). Ono bitno karakterizira situaciju da slučajna varijabla neke vrijednosti iz skupa realnih brojeva uzima češće, a neke rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:

Ovdje x- stvarna slučajna varijabla, f(x)- gustoća distribucije. Sudeći prema ovom grafikonu, tijekom eksperimenata vrijednost xće često biti broj blizak nuli. Šanse su premašene 3 ili biti manji -3 nego čisto teorijski.

Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:

Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo, ako primimo mnogo slučajnih realnih brojeva s uniformnom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.

Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost itd., primjenjiva za diskretne slučajne varijable, također su primjenjiva i ovdje.

Odnos matematičkog očekivanja i ostalih statističkih pokazatelja

U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sustav međuovisnih pokazatelja koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Indikatori varijacije često nemaju samostalno značenje i koriste se za daljnju analizu podataka. Iznimka je koeficijent varijacije, koji karakterizira homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.

Stupanj varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj znanosti može se mjeriti pomoću nekoliko pokazatelja.

Najvažniji pokazatelj koji karakterizira varijabilnost slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i neposredno povezano s matematičkim očekivanjem. Ovaj se parametar aktivno koristi u drugim vrstama statističke analize (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih odnosa itd.). Poput prosječnog linearnog odstupanja, varijanca također odražava opseg širenja podataka oko srednje vrijednosti.

Korisno je prevesti jezik znakova na jezik riječi. Ispada da je disperzija prosječni kvadrat odstupanja. To jest, prvo se izračuna prosječna vrijednost, zatim se razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti uzima, kvadrira, zbraja, a zatim dijeli s brojem vrijednosti u populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i prosjeka odražava mjeru odstupanja. Kvadrira se tako da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i da se izbjegne međusobno uništavanje pozitivnih i negativnih odstupanja pri njihovom zbrajanju. Zatim, s obzirom na kvadrat odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i izračunava se prosjek. Odgovor na čarobnu riječ “disperzija” krije se u samo tri riječi.

Međutim, u svom čistom obliku, kao što je aritmetička sredina ili indeks, disperzija se ne koristi. To je više pomoćni i posredni pokazatelj koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Nema ni normalnu mjernu jedinicu. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat mjerne jedinice izvornih podataka.

Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, deset puta mjerimo brzinu vjetra i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je prosječna vrijednost povezana s funkcijom distribucije?

Ili ćemo bacati kocku veliki broj puta. Broj bodova koji će se pojaviti na kocki sa svakim bacanjem je slučajna varijabla i može imati bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. Aritmetička sredina ispuštenih bodova izračunata za sva bacanja kocke također je slučajna varijabla, ali za velike N teži vrlo određenom broju – matematičkom očekivanju Mx. U ovom slučaju Mx = 3,5.

Kako ste dobili ovu vrijednost? Pustiti unutra N testovi n1 kada dobijete 1 bod, n2 jednom - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u kojima je pao jedan bod:

Slično za ishode kada se bacaju 2, 3, 4, 5 i 6 bodova.

Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk s vjerojatnostima p1, p2, ..., pak.

Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x jednako je:

Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, za procjenu prosječne plaće razumnije je koristiti koncept medijana, odnosno takvu vrijednost da se broj ljudi koji primaju plaću manju od medijana i veću podudara.

Vjerojatnost p1 da će slučajna varijabla x biti manja od x1/2 i vjerojatnost p2 da će slučajna varijabla x biti veća od x1/2, iste su i jednake su 1/2. Medijan nije određen jedinstveno za sve distribucije.

Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stupanj odstupanja opažačkih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija označava da su podaci grupirani oko srednje vrijednosti, dok velika standardna devijacija ukazuje da su početni podaci smješteni daleko od nje. Standardna devijacija jednaka je kvadratnom korijenu veličine koja se naziva varijanca. To je prosjek zbroja kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od prosječne vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijance:

Primjer. U uvjetima ispitivanja pri gađanju mete izračunajte disperziju i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable:

Varijacija- fluktuacija, promjenjivost vrijednosti obilježja među jedinicama populacije. Pojedinačne numeričke vrijednosti karakteristike koje se nalaze u populaciji koja se proučava nazivaju se varijante vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za potpunu karakterizaciju populacije prisiljava nas da dopunimo prosječne vrijednosti pokazateljima koji nam omogućuju procjenu tipičnosti tih prosjeka mjerenjem varijabilnosti (varijacije) karakteristike koja se proučava. Koeficijent varijacije izračunava se pomoću formule:

Raspon varijacije(R) predstavlja razliku između maksimalne i minimalne vrijednosti atributa u populaciji koja se proučava. Ovaj pokazatelj daje najopćenitiju ideju o varijabilnosti karakteristike koja se proučava, budući da pokazuje razliku samo između maksimalnih vrijednosti opcija. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima karakteristike daje opsegu varijacije nestabilan, slučajan karakter.

Prosječno linearno odstupanje predstavlja aritmetičku sredinu apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:

Matematičko očekivanje u teoriji kockanja

Matematičko očekivanje je Prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na određenoj okladi. Ovo je vrlo važan koncept za igrača jer je temeljan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje također je optimalan alat za analizu osnovnih rasporeda karata i situacija u igri.

Recimo da igrate igru ​​s novčićima s prijateljem, kladite se svaki put na jednak iznos od 1 USD, bez obzira što se pojavi. Rep znači da pobjeđujete, glava znači da gubite. Izgledi su jedan naprema jedan da će doći do razlike, tako da se kladite 1 dolar na 1. Dakle, vaše matematičko očekivanje je nula, jer S matematičke točke gledišta, ne možete znati hoćete li voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.

Vaša dobit po satu je nula. Dobici po satu iznos su novca koji očekujete osvojiti u sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta u sat vremena, ali nećete pobijediti niti izgubiti jer... tvoje šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, sa stajališta ozbiljnog igrača, ovaj sustav klađenja nije loš. Ali ovo je jednostavno gubljenje vremena.

Ali recimo da se netko želi kladiti u 2 dolara protiv vaših 1 dolara na istu igru. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake oklade. Zašto 50 centi? U prosjeku jednu okladu dobijete, a drugu izgubite. Kladite se na prvi dolar i izgubit ćete $1, kladite se na drugi i dobit ćete $2. Uložili ste 1 $ dvaput i vodite za 1 $. Dakle, svaka vaša oklada od jednog dolara dala vam je 50 centi.

Ako se novčić pojavi 500 puta u jednom satu, vaš će dobitak po satu već biti 250 dolara, jer... U prosjeku ste izgubili jedan dolar 250 puta i osvojili dva dolara 250 puta. 500 dolara minus 250 dolara jednako je 250 dolara, što je ukupni dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, što je prosječni iznos koji osvajate po okladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara ulažući dolar 500 puta, što je jednako 50 centi po okladi.

Matematičko očekivanje nema nikakve veze s kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio uložiti 2 dolara protiv vas, mogao bi vas pobijediti u prvih deset bacanja zaredom, ali vi, koji imate prednost u klađenju 2 prema 1, ako su sve druge stvari jednake, zaradit ćete 50 centi na svaki uloženi dolar u bilo kojem trenutku. okolnosti. Nema razlike hoćete li dobiti ili izgubiti jednu okladu ili nekoliko oklada, sve dok imate dovoljno novca da udobno pokrijete troškove. Ako se nastavite kladiti na isti način, tada će se tijekom dugog vremenskog razdoblja vaši dobici približiti zbroju očekivanja u pojedinačnim bacanjima.

Svaki put kada napravite najbolju okladu (okladu koja se dugoročno može pokazati isplativom), kada su vam izgledi naklonjeni, sigurno ćete nešto osvojiti, bez obzira na to izgubite li ili ne u pružena ruka. Suprotno tome, ako napravite underdog ulog (okladu koja je dugoročno neisplativa) kada su izgledi protiv vas, gubite nešto bez obzira na to jeste li pobijedili ili izgubili ruku.

Kladite se s najboljim ishodom ako je vaše očekivanje pozitivno, a pozitivno je ako su izgledi na vašoj strani. Kada se kladite s najgorim ishodom, imate negativno očekivanje, što se događa kada su izgledi protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo na najbolji ishod; ako se dogodi najgore, odustaju. Što izgledi znače u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što stvarni izgledi donose. Stvarni izgledi za pad glave su 1 prema 1, ali vi dobivate 2 prema 1 zbog omjera izgleda. U ovom slučaju izgledi su u vašu korist. Definitivno dobivate najbolji ishod s pozitivnim očekivanjem od 50 centi po okladi.

Evo složenijeg primjera matematičkog očekivanja. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se u 5 USD u odnosu na tvojih 1 USD da nećeš pogoditi broj. Trebate li pristati na takvu okladu? Što je ovdje očekivanje?

U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na temelju toga, izgledi da ćete pogoditi broj su 4 prema 1. Izgledi da ćete izgubiti dolar u jednom pokušaju. Međutim, pobjeđujete 5 prema 1, s mogućnošću gubitka 4 prema 1. Dakle, izgledi su vam u korist, možete prihvatiti okladu i nadati se najboljem ishodu. Ako ovu okladu napravite pet puta, u prosjeku ćete četiri puta izgubiti $1 i jednom osvojiti $5. Na temelju toga, za svih pet pokušaja zaradit ćete 1 $ s pozitivnim matematičkim očekivanjem od 20 centi po okladi.

Igrač koji će osvojiti više nego što je uložio, kao u gornjem primjeru, riskira. Naprotiv, on uništava svoje šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivno ili negativno očekivanje, što ovisi o tome hoće li pobijediti ili pokvariti izglede.

Ako se uložite u 50 USD da biste osvojili 10 USD s šansama za dobitak 4 prema 1, dobit ćete negativno očekivanje od 2 USD jer U prosjeku ćete četiri puta osvojiti $10 i jednom izgubiti $50, što pokazuje da će gubitak po okladi biti $10. Ali ako se uložite u 30 USD da biste osvojili 10 USD, s istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 USD, jer ponovno osvajate 10 $ četiri puta i gubite 30 $ jednom, za profit od 10 $. Ovi primjeri pokazuju da je prva oklada loša, a druga dobra.

Matematičko očekivanje središte je svake igračke situacije. Kada kladioničar potiče ljubitelje nogometa da se klade na 11 dolara kako bi osvojili 10 dolara, on ima pozitivno očekivanje od 50 centi na svakih 10 dolara. Ako kockarnica isplaćuje čak i novac od prolazne linije u crapsu, tada će pozitivno očekivanje kasina biti otprilike 1,40 USD na svakih 100 USD, jer Ova je igra strukturirana tako da svatko tko se kladi na ovu liniju u prosjeku gubi 50,7% i dobiva 49,3% ukupnog vremena. Bez sumnje, upravo to naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi enormnu zaradu vlasnicima kasina diljem svijeta. Kao što je primijetio vlasnik kockarnice Vegas World Bob Stupak, "jedna tisućinka jednog postotka negativne vjerojatnosti na dovoljno velikoj udaljenosti uništit će najbogatijeg čovjeka na svijetu."

Očekivanja pri igranju pokera

Igra Poker je najilustrativniji i najilustrativniji primjer sa stajališta korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.

Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uvjetom da se takva odluka može razmatrati unutar okvira teorije velikih brojeva i velikih udaljenosti. Uspješna igra pokera je uvijek prihvaćanje poteza s pozitivnom očekivanom vrijednošću.

Matematičko značenje matematičkog očekivanja pri igranju pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama pri donošenju odluka (ne znamo koje karte protivnik ima u rukama, koje će karte doći u sljedećim krugovima klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stajališta teorije velikih brojeva, koja tvrdi da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti svom matematičkom očekivanju.

Među posebnim formulama za izračun matematičkog očekivanja, sljedeća je najprimjenjivija u pokeru:

Kada igrate poker, očekivana vrijednost može se izračunati i za oklade i za pozive. U prvom slučaju treba uzeti u obzir fold equity, u drugom, vlastite izglede banke. Kada procjenjujete matematičko očekivanje određenog poteza, trebali biste zapamtiti da odustajanje uvijek ima nulto očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.

Očekivanje vam govori što možete očekivati ​​(dobit ili gubitak) za svaki dolar koji riskirate. Kockarnice zarađuju jer je matematičko očekivanje svih igara koje se u njima igraju u korist kasina. S dovoljno dugim nizom igara, možete očekivati ​​da će klijent izgubiti svoj novac, budući da su "odds" u korist kasina. Međutim, profesionalni kasino igrači ograničavaju svoje igre na kratka vremenska razdoblja, slažući tako izglede u svoju korist. Isto vrijedi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca sklapanjem mnogih trgovina u kratkom vremenskom razdoblju. Očekivanje je vaš postotak dobiti po pobjedi pomnožen s vašom prosječnom dobiti, minus vaša vjerojatnost gubitka pomnožena s vašim prosječnim gubitkom.

Poker se također može promatrati sa stajališta matematičkog očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda nije najbolji jer je neki drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili full house u pokeru s pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da ako povisite ulog, on će odgovoriti. Stoga se podizanje čini najboljom taktikom. Ali ako povisite ulog, preostala dva igrača će sigurno odustati. Ali ako zovete, imate puno povjerenje da će druga dva igrača iza vas učiniti isto. Kada podignete ulog, dobivate jednu jedinicu, a kada samo pratite, dobivate dvije. Stoga vam poziv daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i bit će najbolja taktika.

Matematičko očekivanje također može dati ideju o tome koje su pokeraške taktike manje isplative, a koje više. Na primjer, ako odigrate određenu ruku i mislite da će vaš gubitak u prosjeku iznositi 75 centi uključujući ante, tada biste trebali igrati tu ruku jer ovo je bolje od odustajanja kada je ante $1.

Još jedan važan razlog za razumijevanje koncepta očekivane vrijednosti je taj što vam daje osjećaj bezbrižnosti bez obzira da li ste dobili okladu ili ne: ako ste dobro uložili ili odustali u pravo vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedio određeni iznos novca koji slabiji igrač nije mogao uštedjeti. Mnogo je teže odustati ako ste uznemireni jer je vaš protivnik izvukao jaču ruku. Uz sve to, novac koji uštedite neigranjem umjesto klađenjem dodaje se vašem dobitku za noć ili mjesec.

Samo upamtite da bi vas protivnik nazvao ako biste promijenili ruke, a kao što ćete vidjeti u članku o temeljnom teoremu pokera, to je samo jedna od vaših prednosti. Trebali biste biti sretni kad se ovo dogodi. Možete čak naučiti uživati ​​u gubitku ruke jer znate da bi drugi igrači na vašoj poziciji izgubili mnogo više.

Kao što je spomenuto u primjeru igre s novčićima na početku, satnica profita povezana je s matematičkim očekivanjima, a ovaj je koncept posebno važan za profesionalne igrače. Kada idete igrati poker, trebali biste mentalno procijeniti koliko možete osvojiti u sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete upotrijebiti i malo matematike. Na primjer, igrate draw lowball i vidite da tri igrača ulažu 10$ i zatim razmijene dvije karte, što je vrlo loša taktika, možete shvatiti da svaki put kad ulože 10$, izgube oko 2$. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube otprilike 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti 48$, pri čemu svaki ostvaruje profit od 12$ po satu. Vaši izgledi po satu u ovom slučaju jednostavno su jednaki vašem udjelu u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača u jednom satu.

Tijekom dugog vremenskog razdoblja, igračevi ukupni dobici su zbroj njegovih matematičkih očekivanja u pojedinačnim rukama. Što više ruku igrate s pozitivnim očekivanjem, više dobivate, i obrnuto, što više ruku igrate s negativnim očekivanjem, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste odabrati igru ​​koja može maksimizirati vaša pozitivna predviđanja ili poništiti vaša negativna predviđanja tako da možete maksimizirati svoje dobitke po satu.

Pozitivno matematičko očekivanje u strategiji igara

Ako znaš brojati karte, možeš biti u prednosti pred kockarnicom, sve dok te ne primijete i izbace. Kockarnice vole pijane igrače i ne toleriraju igrače koji broje karte. Prednost će vam omogućiti da pobijedite više puta nego što izgubite tijekom vremena. Dobro upravljanje novcem pomoću izračuna očekivane vrijednosti može vam pomoći da izvučete više profita iz svoje prednosti i smanjite svoje gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na burzi prednost daje sustav igre koji stvara veće dobitke od gubitaka, cjenovnih razlika i provizija. Nikakvo upravljanje novcem ne može spasiti loš sustav igranja.

Pozitivno očekivanje je definirano kao vrijednost veća od nule. Što je taj broj veći, statistička očekivanja su veća. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je čekanje na pragu rentabilnosti. Možete pobijediti samo ako imate pozitivno matematičko očekivanje i razuman sustav igre. Igranje intuicijom vodi u katastrofu.

Matematičko očekivanje i trgovanje dionicama

Matematičko očekivanje prilično je široko korišten i popularan statistički pokazatelj pri trgovanju na financijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pogoditi da što je ova vrijednost viša, to je više razloga da se trgovina koja se proučava smatra uspješnom. Naravno, analiza rada trgovca ne može se provesti samo pomoću ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvalitete rada, može značajno povećati točnost analize.

Matematičko očekivanje često se izračunava u uslugama praćenja računa za trgovanje, što vam omogućuje brzu procjenu rada obavljenog na depozitu. Iznimke uključuju strategije koje koriste neprofitabilne transakcije "odsjedanja". Trgovac može neko vrijeme imati sreće, pa stoga možda uopće neće biti gubitaka u njegovom radu. U ovom slučaju neće se moći voditi samo matematičkim očekivanjem, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.

U tržišnom trgovanju matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost bilo koje strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na temelju statističkih podataka iz njegovog prethodnog trgovanja.

Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno razumjeti da kada se sklapaju trgovine s negativnim očekivanjima, ne postoji shema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visoku zaradu. Ako nastavite igrati na burzi pod ovim uvjetima, bez obzira na to kako raspolažete svojim novcem, izgubit ćete cijeli račun, bez obzira na to koliko velik bio u početku.

Ovaj aksiom vrijedi ne samo za igre ili trgovine s negativnim očekivanjima, nego vrijedi i za igre s jednakim izgledima. Stoga, jedini put kada imate priliku dugoročno profitirati je ako zaključite trgovine s pozitivnom očekivanom vrijednošću.

Razlika između negativnog i pozitivnog očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko je očekivanje pozitivno ili koliko negativno; Bitno je samo da li je pozitivno ili negativno. Stoga, prije razmatranja upravljanja novcem, trebali biste pronaći igru ​​s pozitivnim očekivanjima.

Ako nemate tu igricu, onda vas sve upravljanje novcem na svijetu neće spasiti. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, možete ih pravilnim upravljanjem novcem pretvoriti u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko je malo pozitivno očekivanje! Drugim riječima, nije važno koliko je isplativ sustav trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sustav koji osvaja 10 USD po ugovoru po trgovini (nakon provizija i proklizavanja), možete upotrijebiti tehnike upravljanja novcem kako biste ga učinili unosnijim od sustava koji prosječno iznosi 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i proklizavanja).

Ono što je važno nije koliko je sustav bio isplativ, već koliko je sigurno da će sustav pokazati barem minimalnu dobit u budućnosti. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti jest osigurati da sustav pokaže pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.

Kako biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, vrlo je važno ne ograničavati stupnjeve slobode vašeg sustava. To se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koje treba optimizirati, već i smanjenjem što je više moguće sistemskih pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka sićušna promjena koju napravite u sustavu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, morate izgraditi prilično primitivan i jednostavan sustav koji će dosljedno generirati male profite na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sustav isplativ, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite u trgovanju zaradit će se učinkovitim upravljanjem novcem.

Sustav trgovanja jednostavno je alat koji vam daje pozitivnu očekivanu vrijednost tako da možete koristiti upravljanje novcem. Sustavi koji rade (pokazuju barem minimalnu dobit) samo na jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerojatnije neće dugo raditi u stvarnom vremenu. Problem s većinom tehnički orijentiranih trgovaca je taj što troše previše vremena i truda optimizirajući različita pravila i vrijednosti parametara sustava trgovanja. To daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da gubite energiju i vrijeme računala na povećanje profita trgovinskog sustava, svoju energiju usmjerite na povećanje razine pouzdanosti dobivanja minimalnog profita.

Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ta metoda logična i daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanja novcem, primijenjene na bilo koje, čak i vrlo osrednje metode trgovanja, same će obaviti ostatak posla.

Da bi svaki trgovac uspio u svom poslu, mora riješiti tri najvažnija zadatka: . Osigurati da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne pogreške i pogrešne procjene; Postavite svoj sustav trgovanja tako da imate priliku zaraditi novac što je češće moguće; Ostvarite stabilne pozitivne rezultate svog poslovanja.

I ovdje, za nas zaposlene trgovce, matematičko očekivanje može biti od velike pomoći. Ovaj pojam je jedan od ključnih u teoriji vjerojatnosti. Uz njegovu pomoć možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable slično je težištu, ako zamislite sve moguće vjerojatnosti kao točke različitih masa.

U odnosu na strategiju trgovanja, matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka) najčešće se koristi za procjenu njezine učinkovitosti. Ovaj se parametar definira kao zbroj umnožaka zadanih razina dobiti i gubitka i vjerojatnosti njihove pojave. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih transakcija donijeti profit, a preostali dio - 63% - bit će neprofitabilan. Istovremeno, prosječni prihod od uspješne transakcije bit će 7 dolara, a prosječni gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja pomoću ovog sustava:

Što ovaj broj znači? Kaže da ćemo, prema pravilima ovog sustava, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zaključene transakcije. Budući da je rezultirajuća ocjena učinkovitosti veća od nule, takav se sustav može koristiti za stvarni rad. Ako se kao rezultat izračuna matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo će trgovanje dovesti do propasti.

Iznos dobiti po transakciji također se može izraziti kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:

– postotak prihoda po 1 transakciji - 5%;

– postotak uspješnih trgovinskih operacija - 62%;

– postotak gubitka po 1 transakciji - 3%;

– postotak neuspješnih transakcija - 38%;

To jest, prosječna trgovina će donijeti 1,96%.

Moguće je razviti sustav koji će, unatoč prevladavanju neprofitabilnih poslova, dati pozitivan rezultat, budući da mu je MO>0.

Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi ako sustav daje vrlo malo signala za trgovanje. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti usporediva s bankovnim kamatama. Neka svaka operacija u prosjeku proizvede samo 0,5 dolara, ali što ako sustav uključuje 1000 operacija godišnje? To će biti vrlo značajan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično proizlazi da se još jednom posebnom značajkom dobrog sustava trgovanja može smatrati kratko razdoblje držanja pozicija.

Izvori i poveznice

dic.academic.ru – akademski online rječnik

mathematics.ru – obrazovna web stranica iz matematike

nsu.ru – obrazovna web stranica Državnog sveučilišta Novosibirsk

webmath.ru je obrazovni portal za studente, kandidate i školsku djecu.

exponenta.ru obrazovna matematička web stranica

ru.tradimo.com – besplatna online škola trgovanja

crypto.hut2.ru – multidisciplinarni izvor informacija

poker-wiki.ru – besplatna enciklopedija pokera

sernam.ru – Znanstvena biblioteka odabranih prirodoslovnih publikacija

reshim.su – web stranica RIJEŠIT ĆEMO zadatke testa

unfx.ru – Forex na UNFX-u: obuka, signali trgovanja, upravljanje povjerenjem

slovopedia.com – Veliki enciklopedijski rječnik Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Vaš vodič u svijetu pokera

statanaliz.info – informativni blog “Statističke analize podataka”

forex-trader.rf – Forex-Trader portal

megafx.ru – trenutna Forex analitika

fx-by.com – sve za trgovca

Sljedeće najvažnije svojstvo slučajne varijable nakon matematičkog očekivanja je njezina disperzija, definirana kao srednje kvadratno odstupanje od srednje vrijednosti:

Ako se tada označi, varijanca VX bit će očekivana vrijednost. Ovo je karakteristika "raspršenosti" distribucije X.

Kao jednostavan primjer izračuna varijance, recimo da smo upravo dobili ponudu koju ne možemo odbiti: netko nam je dao dvije potvrde za istu lutriju. Organizatori lutrije prodaju 100 listića svaki tjedan, sudjelujući u zasebnom izvlačenju. Izvlačenje odabire jednu od tih srećki jedinstvenim nasumičnim postupkom - svaka srećka ima jednaku šansu da bude odabrana - a vlasnik te sretne karte dobiva sto milijuna dolara. Preostalih 99 vlasnika lutrijskih listića ne dobivaju ništa.

Poklon možemo iskoristiti na dva načina: kupiti dvije karte na jednoj lutriji ili po jednu za sudjelovanje u dvije različite lutrije. Koja strategija je bolja? Pokušajmo to analizirati. Da bismo to učinili, označimo slučajnim varijablama koje predstavljaju veličinu naših dobitaka na prvom i drugom listiću. Očekivana vrijednost u milijunima je

a isto vrijedi i za Očekivane vrijednosti su aditivne, tako da će naša prosječna ukupna isplata biti

bez obzira na usvojenu strategiju.

Međutim, čini se da su te dvije strategije različite. Idemo dalje od očekivanih vrijednosti i proučimo punu distribuciju vjerojatnosti

Ako kupimo dva listića na jednoj lutriji, tada će naše šanse da ne dobijemo ništa biti 98%, a 2% - šanse da dobijemo 100 milijuna. Ako kupujemo listiće za različita izvlačenja, brojke će biti sljedeće: 98,01% - šansa da ne dobijemo ništa, što je malo više nego prije; 0,01% - šansa za osvajanje 200 milijuna, također malo više nego prije; a šansa da osvojite 100 milijuna sada je 1,98%. Dakle, u drugom slučaju, distribucija magnitude je nešto više raspršena; srednja vrijednost, 100 milijuna dolara, malo je manje vjerojatna, dok su krajnje vjerojatnije.

Upravo taj koncept širenja slučajne varijable treba odražavati disperzija. Mjerimo širenje kroz kvadrat odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja. Dakle, u slučaju 1 varijanca će biti

u slučaju 2 varijanca je

Kao što smo očekivali, potonja vrijednost je nešto veća, jer je distribucija u slučaju 2 nešto raširenija.

Kada radimo s varijancama, sve je na kvadrat, tako da rezultat može biti prilično velik broj. (Množnik je jedan trilijun, to bi trebalo biti impresivno

čak i igrači koji su navikli na velike uloge.) Da bi se vrijednosti pretvorile u smisleniju izvornu ljestvicu, često se uzima kvadratni korijen varijance. Rezultirajući broj naziva se standardna devijacija i obično se označava grčkim slovom a:

Standardna odstupanja veličine za naše dvije lutrijske strategije su . Na neki način, druga opcija je oko 71.247 dolara riskantnija.

Kako varijanca pomaže u odabiru strategije? Nije čisto. Strategija s većom varijancom je riskantnija; ali što je bolje za naš novčanik - rizik ili sigurna igra? Neka imamo priliku kupiti ne dvije ulaznice, nego svih sto. Tada bismo mogli jamčiti dobitak na jednoj lutriji (i varijanca bi bila nula); ili biste mogli igrati u stotinu različitih izvlačenja, ne dobivajući ništa s vjerojatnošću, ali imate šanse različite od nule za dobitak do dolara. Odabir jedne od ovih alternativa je izvan dosega ove knjige; sve što ovdje možemo učiniti je objasniti kako se rade izračuni.

Zapravo, postoji jednostavniji način za izračunavanje varijance od izravne uporabe definicije (8.13). (Postoje svi razlozi za sumnju na neku vrstu skrivene matematike ovdje; inače, zašto bi varijanca u primjerima lutrije ispala cjelobrojni višekratnik? Imamo

jer - postojan; stoga,

"Varijanca je srednja vrijednost kvadrata minus kvadrat srednje vrijednosti."

Na primjer, u problemu lutrije prosječna vrijednost ispada ili Oduzimanje (kvadrat prosjeka) daje rezultate koje smo već ranije dobili na teži način.

Postoji, međutim, još jednostavnija formula koja je primjenjiva kada računamo za neovisne X i Y. Imamo

jer, kao što znamo, za nezavisne slučajne varijable, dakle,

"Varijanca zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijanci." Tako je, na primjer, varijanca iznosa koji se može osvojiti jednom srećkom jednaka

Stoga će disperzija ukupnih dobitaka za dvije srećke u dvije različite (neovisne) lutrije biti Odgovarajuća vrijednost disperzije za nezavisne srećke biti će

Varijanca zbroja bodova bačenih na dvije kocke može se dobiti koristeći istu formulu, jer je to zbroj dviju neovisnih slučajnih varijabli. Imamo

za ispravnu kocku; dakle kod pomaknutog centra mase

dakle ako obje kocke imaju pomaknuto središte mase. Imajte na umu da je u potonjem slučaju varijanca veća, iako češće uzima srednju vrijednost 7 nego u slučaju običnih kockica. Ako nam je cilj baciti više sretnih sedmica, tada varijanca nije najbolji pokazatelj uspjeha.

U redu, utvrdili smo kako izračunati varijancu. Ali još nismo dali odgovor na pitanje zašto je potrebno izračunati varijancu. Svi to rade, ali zašto? Glavni razlog je Čebiševljeva nejednakost, koja utvrđuje važno svojstvo disperzije:

(Ova se nejednakost razlikuje od Chebyshevljevih nejednakosti za zbrojeve s kojima smo se susreli u poglavlju 2.) Na kvalitativnoj razini, (8.17) navodi da slučajna varijabla X rijetko poprima vrijednosti daleko od svoje srednje ako je njezina varijanca VX mala. Dokaz

upravljanje je izuzetno jednostavno. Stvarno,

dijeljenje s dovršava dokaz.

Ako matematičko očekivanje označimo s a, a standardnu ​​devijaciju s a i zamijenimo u (8.17) s tada se uvjet pretvara u stoga, dobivamo iz (8.17)

Dakle, X će ležati unutar - puta standardne devijacije njegove srednje vrijednosti, osim u slučajevima gdje vjerojatnost ne prelazi Slučajna varijabla će ležati unutar 2a od najmanje 75% pokusa; u rasponu od do - barem za 99%. Ovo su slučajevi Čebiševljeve nejednakosti.

Ako jednom bacite nekoliko kockica, tada će ukupni zbroj bodova u svim bacanjima gotovo uvijek biti blizu. Razlog tome je sljedeći: varijanca neovisnih bacanja bit će Varijanca u znači standardnu ​​devijaciju svega

Stoga iz Čebiševljeve nejednakosti dobivamo da će se zbroj točaka nalaziti između

barem za 99% svih bacanja ispravnih kockica. Na primjer, rezultat milijun bacanja s vjerojatnošću većom od 99% bit će između 6,976 milijuna i 7,024 milijuna.

Općenito, neka je X bilo koja slučajna varijabla na prostoru vjerojatnosti Π koja ima konačno matematičko očekivanje i konačno standardno odstupanje a. Tada možemo uvesti u razmatranje prostor vjerojatnosti Pn, čiji su elementarni događaji -nizovi gdje je svaki , a vjerojatnost je definirana kao

Ako sada formulom definiramo slučajne varijable

zatim vrijednost

bit će zbroj neovisnih slučajnih varijabli, što odgovara procesu zbrajanja neovisnih realizacija vrijednosti X na P. Matematičko očekivanje bit će jednako a standardna devijacija - ; dakle, prosječna vrijednost realizacija,

će se kretati od do u najmanje 99% vremenskog razdoblja. Drugim riječima, ako odaberete dovoljno veliki, aritmetička sredina neovisnih testova gotovo će uvijek biti vrlo blizu očekivanoj vrijednosti (U udžbenicima teorije vjerojatnosti dokazuje se čak i jači teorem, koji se naziva snažnim zakonom velikih brojeva; ali za nas jednostavan korolar Čebiševljeve nejednakosti, koji smo upravo izbacili.)

Ponekad ne znamo karakteristike prostora vjerojatnosti, ali moramo procijeniti matematičko očekivanje slučajne varijable X koristeći opetovana promatranja njezine vrijednosti. (Na primjer, možda bismo željeli prosječnu siječanjsku podnevnu temperaturu u San Franciscu; ili bismo mogli znati očekivani životni vijek na kojem bi agenti osiguranja trebali temeljiti svoje izračune.) Ako imamo na raspolaganju neovisna empirijska opažanja, možemo pretpostaviti da pravo matematičko očekivanje je približno jednako

Također možete procijeniti varijancu pomoću formule

Gledajući ovu formulu, mogli biste pomisliti da je u njoj tiskarska pogreška; Čini se da bi tu trebalo biti kao u (8.19), jer je prava vrijednost disperzije određena u (8.15) preko očekivanih vrijednosti. Međutim, zamjena ovdje s omogućuje nam da dobijemo bolju procjenu, budući da iz definicije (8.20) slijedi da

Evo dokaza:

(U ovom izračunu oslanjamo se na neovisnost opažanja kada zamijenimo s )

U praksi, za procjenu rezultata eksperimenta sa slučajnom varijablom X, obično se izračunava empirijska sredina i empirijska standardna devijacija, a zatim se odgovor zapisuje u obliku Ovdje su, na primjer, rezultati bacanja para kocki, vjerojatno ispravan.

Koncept matematičkog očekivanja može se razmotriti na primjeru bacanja kocke. Sa svakim bacanjem bilježe se izgubljeni bodovi. Za njihovo izražavanje koriste se prirodne vrijednosti u rasponu od 1 do 6.

Nakon određenog broja bacanja, koristeći jednostavne izračune, možete pronaći aritmetički prosjek bačenih bodova.

Baš kao i pojava bilo koje vrijednosti u rasponu, ova će vrijednost biti slučajna.

Što ako povećate broj bacanja nekoliko puta? S velikim brojem bacanja, aritmetički prosjek poena će se približiti određenom broju, koji se u teoriji vjerojatnosti naziva matematičko očekivanje.

Dakle, pod matematičkim očekivanjem podrazumijevamo prosječnu vrijednost slučajne varijable. Ovaj se pokazatelj također može prikazati kao ponderirani zbroj vjerojatnih vrijednosti vrijednosti.

Ovaj koncept ima nekoliko sinonima:

• Prosječna vrijednost;
• Prosječna vrijednost;
• pokazatelj središnje tendencije;
• prvi trenutak.

Drugim riječima, to nije ništa više od broja oko kojeg su raspoređene vrijednosti slučajne varijable.

U različitim sferama ljudske djelatnosti pristupi razumijevanju matematičkog očekivanja bit će nešto drugačiji.

Može se smatrati sljedećim:

• prosječna korist dobivena donošenjem odluke, kada se takva odluka razmatra sa stajališta teorije velikih brojeva;
• mogući iznos dobitka ili gubitka (teorija kockanja), izračunat u prosjeku za svaku okladu. U slengu zvuče kao "prednost igrača" (pozitivno za igrača) ili "prednost kasina" (negativno za igrača);
• postotak dobiti od dobitaka.

Očekivanje nije obavezno za apsolutno sve slučajne varijable. Nema ga za one koji imaju odstupanje u odgovarajućem zbroju ili integralu.

Svojstva matematičkog očekivanja

Kao i svaki statistički parametar, matematičko očekivanje ima sljedeća svojstva:

Osnovne formule za matematičko očekivanje

Izračun matematičkog očekivanja može se izvesti i za slučajne varijable koje karakterizira i kontinuitet (formula A) i diskretnost (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, gdje su xi vrijednosti slučajne varijable, pi su vjerojatnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, gdje je f(x) dana gustoća vjerojatnosti.

Primjeri izračuna matematičkog očekivanja

Primjer A.

Može li se saznati prosječna visina patuljaka u bajci o Snjeguljici. Poznato je da je svaki od 7 patuljaka imao određenu visinu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 i 0,81 m.

Algoritam izračuna je prilično jednostavan:

• nalazimo zbroj svih vrijednosti indikatora rasta (slučajna varijabla):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Podijelite dobiveni iznos s brojem gnomova:
  6,31:7=0,90.

Tako je prosječna visina patuljaka u bajci 90 cm, odnosno to je matematičko očekivanje rasta patuljaka.

Radna formula - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktična primjena matematičkog očekivanja

Izračunu statističkog pokazatelja matematičkog očekivanja pribjegava se u različitim područjima praktične djelatnosti. Prije svega, govorimo o komercijalnoj sferi. Uostalom, Huygensovo uvođenje ovog pokazatelja povezano je s određivanjem šanse koje mogu biti povoljne ili, naprotiv, nepovoljne za neki događaj.

Ovaj se parametar naširoko koristi za procjenu rizika, posebice kada su u pitanju financijska ulaganja.
Stoga u poslovanju izračun matematičkog očekivanja djeluje kao metoda za procjenu rizika pri izračunu cijena.

Ovaj pokazatelj također se može koristiti za izračunavanje učinkovitosti određenih mjera, na primjer, zaštite na radu. Zahvaljujući njemu možete izračunati vjerojatnost događanja događaja.

Drugo područje primjene ovog parametra je upravljanje. Također se može izračunati tijekom kontrole kvalitete proizvoda. Na primjer, pomoću mat. očekivanja, možete izračunati mogući broj proizvedenih neispravnih dijelova.

Matematičko očekivanje također se pokazuje neizostavnim pri provođenju statističke obrade rezultata dobivenih tijekom znanstvenog istraživanja. Omogućuje vam izračunavanje vjerojatnosti željenog ili neželjenog ishoda eksperimenta ili studije ovisno o razini postignuća cilja. Uostalom, njegovo postignuće može se povezati s dobitkom i koristi, a njegov neuspjeh može biti povezan s gubitkom ili gubitkom.

Korištenje matematičkog očekivanja u Forexu

Praktična primjena ovog statističkog parametra moguća je pri obavljanju transakcija na deviznom tržištu. Uz njegovu pomoć možete analizirati uspješnost trgovinskih transakcija. Štoviše, povećanje vrijednosti očekivanja ukazuje na povećanje njihove uspješnosti.

Također je važno zapamtiti da se matematičko očekivanje ne bi trebalo smatrati jedinim statističkim parametrom koji se koristi za analizu učinka trgovca. Korištenje nekoliko statističkih parametara uz prosječnu vrijednost značajno povećava točnost analize.

Ovaj se parametar dobro pokazao u praćenju promatranja računa za trgovanje. Zahvaljujući njemu, vrši se brza procjena obavljenog posla na depozitnom računu. U slučajevima kada je aktivnost trgovca uspješna i on izbjegava gubitke, ne preporuča se koristiti isključivo izračun matematičkog očekivanja. U tim slučajevima rizici se ne uzimaju u obzir, što smanjuje učinkovitost analize.

Provedena istraživanja taktika trgovaca pokazuju da:

• Najučinkovitije taktike su one koje se temelje na nasumičnim unosima;
• Najmanje učinkovite su taktike temeljene na strukturiranim inputima.

Za postizanje pozitivnih rezultata ne manje važni su:

• taktike upravljanja novcem;
• izlazne strategije.

Koristeći takav pokazatelj kao što je matematičko očekivanje, možete predvidjeti koliki će biti profit ili gubitak kada uložite 1 dolar. Poznato je da ovaj pokazatelj, izračunat za sve igre koje se prakticiraju u kasinu, ide u korist establišmenta. To je ono što vam omogućuje da zaradite novac. U slučaju dugog niza igara, vjerojatnost da će klijent izgubiti novac značajno se povećava.

Igre koje igraju profesionalni igrači ograničene su na kratka vremenska razdoblja, što povećava vjerojatnost dobitka i smanjuje rizik od gubitka. Isti se obrazac uočava pri izvođenju investicijskih operacija.

Investitor može zaraditi značajan iznos ako ima pozitivna očekivanja i napravi veliki broj transakcija u kratkom vremenskom razdoblju.

Očekivanje se može zamisliti kao razlika između postotka dobiti (PW) pomnoženog s prosječnom dobiti (AW) i vjerojatnosti gubitka (PL) pomnožene s prosječnim gubitkom (AL).

Kao primjer možemo uzeti u obzir sljedeće: pozicija – 12,5 tisuća dolara, portfelj – 100 tisuća dolara, rizik depozita – 1%. Profitabilnost transakcija je 40% slučajeva s prosječnom dobiti od 20%. U slučaju gubitka, prosječni gubitak je 5%. Izračun matematičkog očekivanja za transakciju daje vrijednost od 625 USD.