Struktura općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Struktura općeg rješenja linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe

Struktura općeg rješenja takve jednadžbe određena je sljedećim teoremom.

Teorem 1. Opće rješenje nehomogene jednadžbe (1) predstavlja se kao zbroj nekog posebnog rješenja te jednadžbe y h te opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe

Dokaz. Moramo dokazati da je zbroj (3)

Postoji opće rješenje jednadžbe (1).

Dokažimo najprije da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1). Umjesto toga zamijeniti na zbroj u jednadžbi (1) bit će:

Kako je – rješenje jednadžbe (2), izraz u prvim zagradama jednadžbe (4) identički je jednak nuli. Jer y h je rješenje jednadžbe (1), tada je izraz u drugoj zagradi (4) jednak f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teorema je dokazan.

Dokažimo sada da je izraz (3) opće rješenje jednadžbe (1), tj. Dokažimo da se proizvoljne konstante uključene u njega mogu odabrati tako da su početni uvjeti (5) zadovoljeni

kakvi god brojevi bili x 0, y 0, i (ako samo područja u kojima funkcionira a 1, a 2 I f(x) stalan).

Uočivši da to možemo prikazati kao , Gdje y 1, y 2 linearno neovisna rješenja jednadžbe (2), i C 1 I C 2 su proizvoljne konstante, jednakost (3) možemo prepisati u obliku . Tada ćemo na temelju uvjeta (5) imati sustav

Iz ovog sustava jednadžbi potrebno je odrediti C 1 I C 2. Prepišimo sustav u obliku

(6)

Odrednica sustava – postoji Wronski odrednica za rješenja u 1 I u 2 u točki . Budući da su te funkcije linearno neovisne po uvjetu, determinanta Wronskog nije jednaka nuli, stoga sustav (6) ima jedinstveno rješenje C 1 I C 2, tj. postoje takva značenja C 1 I C 2 pri čemu formula (3) određuje rješenje jednadžbe (1) koje zadovoljava zadane početne uvjete.

Dakle, ako je opće rješenje homogene jednadžbe (2) poznato, tada je glavni zadatak pri integraciji nehomogene jednadžbe (1) pronaći bilo koje posebno rješenje y h.

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima s posebnom desnom stranom. Metoda neodređenih koeficijenata.

Ponekad je moguće pronaći jednostavnije rješenje bez pribjegavanja integraciji. To se događa u posebnim slučajevima kada funkcija f(x) ima poseban izgled.

Neka nam je jednadžba , (1)

Gdje str I q realni brojevi i f(x) ima poseban izgled. Razmotrimo nekoliko takvih mogućnosti za jednadžbu (1).

Neka je desna strana jednadžbe (1) umnožak eksponencijalne funkcije i polinoma, tj. izgleda kao , (2)

gdje je polinom n-tog stupnja. Tada su mogući sljedeći slučajevi:

broj - nije korijen karakteristična jednadžba .

U ovom slučaju posebno rješenje treba tražiti u obliku (3)

oni. i u obliku polinoma n-th stupanj, gdje A 0, A 1,…, A n treba odrediti koeficijente.

Da bismo ih odredili, nalazimo izvodnice i .

Zamjena y h, i u jednadžbu (1) i smanjenjem obje strane za faktor imat ćemo:

Ovdje je polinom n-tog stupnja, – polinom (n-1)-og stupnja i – polinom (n-2)-og stupnja.

Dakle, lijevo i desno od znaka jednakosti nalaze se polinomi n- stupanj. Izjednačavanje koeficijenata na istim stupnjevima x(broj nepoznatih koeficijenata je jednak ), dobivamo sustav jednadžbi za određivanje koeficijenata A 0, A 1, ..., A n.

ako desna strana jednadžbe (1) ima oblik:

D U viših redova

Kao što smo već rekli, diferencijalne jednadžbe mogu sadržavati derivacije različitih redova.

Takve diferencijalne jednadžbe imaju rješenja koja sadrže onoliko proizvoljnih konstanti integracije → koji je red diferencijalne jednadžbe, tj. za diferencijalnu jednadžbu 2. reda postojat će dvije proizvoljne konstante C1 i C2, za 3. red → C1, C2 i C3, itd.

Dakle, opće rješenje (opći integral) takve diferencijalne jednadžbe bit će funkcija

Za dobivanje partikularnog rješenja takvih diferencijalnih jednadžbi potrebno je postaviti onoliko početnih uvjeta koliki je red diferencijalne jednadžbe, odnosno koliko se proizvoljnih konstanti dobije u općem rješenju.

D U u punim razlikama. Integrirajući faktor

Diferencijalna jednadžba oblika naziva se diferencijalna jednadžba u potpunim diferencijalima ako je njezina lijeva strana potpuni diferencijal neke glatke funkcije, tj. Ako , . Potreban i dovoljan uvjet za postojanje takve funkcije ima oblik:

Da biste riješili diferencijalnu jednadžbu u ukupnim diferencijalima, trebate pronaći funkciju. Tada se opće rješenje diferencijalne jednadžbe može napisati u obliku za proizvoljnu konstantu C.

Integracijski faktor za diferencijalnu jednadžbu

naziva se takva funkcija, nakon množenja kojom se diferencijalna jednadžba pretvara u jednadžbu u totalnim diferencijalima. Ako funkcije M i N u jednadžbi imaju neprekidne parcijalne derivacije i ne nestaju istodobno, tada postoji integrirajući faktor. Međutim, ne postoji opći način za njegovo pronalaženje.

Struktura općeg rješenja LNDU

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− bez obzira na početnu točku (x0, y0, ) , x0∈ , postoje vrijednosti C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 takve da funkcija y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) zadovoljava početni uvjeti y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Točna je sljedeća tvrdnja (teorem o strukturi općeg rješenja linearne nehomogene jednadžbe).

Ako su svi koeficijenti jednadžbe linearne homogene diferencijalne jednadžbe kontinuirani na intervalu , a funkcije y1(x), y2(x),..., yn(x) tvore sustav rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe , tada opće rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

gdje su C1,...,Cn proizvoljne konstante, y*(x) je posebno rješenje nehomogene jednadžbe.

LNDU 2. reda

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Jednadžba oblika y" + py" + qy = f(x), gdje su p i q realni brojevi, f(x) je kontinuirana funkcija, naziva se linearna nehomogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje jednadžbe je zbroj partikularnog rješenja nehomogene jednadžbe i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe. Proučavano je pronalaženje općeg rješenja homogene jednadžbe. Za traženje određenog rješenja koristit ćemo se metodom neodređenih koeficijenata koja ne sadrži proces integracije.

Razmotrimo različite vrste desnih strana jednadžbe y" + py" + qy = f(x).

1) Desna strana ima oblik F(x) = Pn(x), gdje je Pn(x) polinom stupnja n. Tada se određeno rješenje y može tražiti u obliku gdje je Qn (x) polinom istog stupnja kao Pn (x), a r je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak nuli.

Primjer. Nađite opće rješenje jednadžbe y" – 2y" + y = x+1.

Riješenje: Opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe ima oblik Y = ex (C1 + C2x). Kako niti jedan korijen karakteristične jednadžbe k2 – 2k + 1 = 0 nije jednak nuli (k1 = k2 = 1), tražimo određeno rješenje u obliku gdje su A i B nepoznati koeficijenti. Diferencirajući dva puta i zamjenjujući " i " u ovu jednadžbu, nalazimo –2A + Ax + B = x + 1.

Izjednačavanjem koeficijenata za iste potencije x na obje strane jednakosti: A = 1, –2A + B = 1, nalazimo A = 1, B = 3. Dakle, određeno rješenje ove jednadžbe ima oblik = x + 3, a njegovo opće rješenje je y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) Desna strana ima oblik f(x) = eax Pn(x), gdje je Rn (x) polinom stupnja n. Tada posebno rješenje treba tražiti u obliku gdje je Qn(x) polinom istog stupnja kao Pn (x), a r je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak a. Ako je a = 0, tada je f(x) = Pn (x), tj. javlja se slučaj 1.

LOD s konstantnim koeficijentima.

Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu

gdje su realne konstante.

Da bismo pronašli opće rješenje jednadžbe (8), učinit ćemo ovo. Sastavljamo karakterističnu jednadžbu za jednadžbu (8): (9)

Neka su korijeni jednadžbe (9), a među njima mogu biti višekratnici. Mogući su sljedeći slučajevi:

a) - pravi i različiti. Opće rješenje homogene jednadžbe bit će ;

b) korijeni karakteristične jednadžbe su realni, ali među njima ima višekratnika, tj. , onda će opće rješenje biti

c) ako su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni (k=a±bi), tada opće rješenje ima oblik .

Opća struktura rješenja za LDE 2. reda

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Opće rješenje ove jednadžbe na intervalu je funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn), koja ovisi o n proizvoljnih konstanti C1,..., Cn i koja zadovoljava sljedeće uvjete:

− za sve dopuštene vrijednosti konstanti C1,..., Cn, funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn) je rješenje jednadžbe na ;

− bez obzira na početnu točku (x0, y0, ) , x0∈ , postoje vrijednosti C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 takve da funkcija y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) zadovoljava početni uvjeti y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Poznavanje temeljnog sustava rješenja jednadžbe omogućuje konstruiranje općeg rješenja te jednadžbe. Prisjetimo se definicije općeg rješenja diferencijalne jednadžbe P-ti red

Funkcija
, definiran u nekoj domeni varijacije varijabli
, u čijoj svakoj točki postoji i jedinstvenost rješenja Cauchyjevog problema, i koji ima kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na x do reda P uključujući, naziva se općim rješenjem jednadžbe (15) u navedenom području ako:

sustav jednadžbi

rješiv u navedenom području s obzirom na proizvoljne konstante
, Dakle

(16)

2. funkcija
je rješenje jednadžbe (15) za sve vrijednosti proizvoljnih konstanti
, izražen formulama (16), kada je točka
pripada području koje se razmatra.

Teorem 1. (o strukturi općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe). Ako funkcije
,
, …,
tvore temeljni sustav rješenja homogene linearne jednadžbe P-ti red
u intervalu
, tj. u intervalu neprekidnosti koeficijenata, zatim funkcija
je opće rješenje ove jednadžbe u regiji D:
,
,
.

Dokaz. U svakoj točki naznačenog područja postoji i postoji jedinstvenost rješenja Cauchyjevog problema. Pokažimo sada da funkcija
zadovoljava definiciju općeg rješenja jednadžbe P-ti red.

sustav jednadžbi

rješiv u domeni D u odnosu na proizvoljne konstante
jer je determinanta ovog sustava Wronskijeva determinanta za temeljni sustav rješenja (12) i stoga je različita od nule.

2. Funkcija
po svojstvu rješenja homogene linearne jednadžbe ono je rješenje jednadžbe
za sve vrijednosti proizvoljnih konstanti
.

Stoga funkcija
je opće rješenje jednadžbe
u području D. Teorem je dokazan.

Primjer.

Rješenja ove jednadžbe očito su funkcije
,
. Ove odluke čine temeljni sustav odluka, jer

Stoga je opće rješenje izvorne jednadžbe funkcija.

Struktura općeg rješenja nehomogene linearne jednadžbe n-tog reda.

Razmotrimo nehomogenu linearnu jednadžbu P-ti red

Pokažimo da se, kao iu slučaju linearne nehomogene jednadžbe prvog reda, integracija jednadžbe (1) svodi na integraciju homogene jednadžbe ako je poznato jedno posebno rješenje nehomogene jednadžbe (1).

Neka
- određeno rješenje jednadžbe (1), tj.

,
. (2)

Stavimo
, Gdje z– nova nepoznata funkcija od x. Tada će jednadžba (1) poprimiti oblik

ili
,

odakle, na temelju identiteta (2), dobivamo

. (3)

Ovo je homogena linearna jednadžba, čija je lijeva strana ista kao ona nehomogene jednadžbe (1) koju razmatramo. Oni. dobili smo homogenu jednadžbu koja odgovara ovoj nehomogenoj jednadžbi (1).

,
, …,
,

je temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe (3). Tada su sva rješenja te jednadžbe sadržana u formuli za njezino opće rješenje, tj.

Zamijenimo ovu vrijednost z u formulu
, dobivamo

Rezultirajuća funkcija je opće rješenje jednadžbe (1) u području D.

Time smo pokazali da je opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako zbroju nekog partikularnog rješenja te jednadžbe i općeg rješenja odgovarajuće homogene linearne jednadžbe.

Primjer. Pronađite opće rješenje jednadžbe

Riješenje. Imamo da određeno rješenje ove nehomogene linearne jednadžbe ima oblik

Opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe
, kao što smo već ranije pokazali, ima oblik

Stoga je opće rješenje izvorne jednadžbe:
.

U mnogim je slučajevima zadatak pronalaženja određenog rješenja nehomogene jednadžbe lakši ako koristite sljedeće svojstvo:

Teorema. Ako u jednadžbi (1) desna strana ima oblik

a poznato je da
, A - partikularno rješenje jednadžbe
, zatim zbroj ovih posebnih rješenja +bit će djelomično rješenje jednadžbe (1).

Dokaz. Doista, budući da po uvjetu postoji određeno rješenje jednadžbe
, A - partikularno rješenje jednadžbe
, To

,
.

oni. +je posebno rješenje jednadžbe (1).

Za linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu n- prva narudžba

g(n) + a 1(x)g(n- 1) + ... + an- 1 (x) g" + an(x)g = f(x),

Gdje g = g(x) - nepoznata funkcija, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - poznato, kontinuirano, pravedan:
1) ako g 1(x) I g 2(x) su dva rješenja nehomogene jednadžbe, zatim funkcija
g(x) = g 1(x) - g 2(x) - rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe;
2) ako g 1(x) rješenje nehomogene jednadžbe, i g 2(x) je rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zatim funkcija
g(x) = g 1(x) + g 2(x) - rješenje nehomogene jednadžbe;
3) ako g 1(x), g 2(x), ..., god(x) - n linearno neovisna rješenja homogene jednadžbe, i ych(x) - proizvoljno rješenje nehomogene jednadžbe,
zatim za bilo koje početne vrijednosti
x 0, g 0, g 0,1, ..., g 0,n- 1
Izraz
g(x)=c 1 g 1(x) + c 2 g 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
nazvao opća odluka linearna nehomogena diferencijalna jednadžba n-ti red.

Za pronalaženje parcijalnih rješenja nehomogenih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima s desnom stranom oblika:
Pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)grijeh( bx),
Gdje Pk(x), Q m(x) - polinomi stupnja k I m Sukladno tome, postoji jednostavan algoritam za konstruiranje određenog rješenja, tzv način selekcije.

Metoda odabira, odnosno metoda neodređenih koeficijenata je sljedeća.
Traženo rješenje jednadžbe zapisuje se kao:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + Qr(x)exp(a x)grijeh( bx))xs,
Gdje Pr(x), Qr(x) - polinomi stupnja r= max( k, m) Sa nepoznato koeficijenti
pr , pr- 1, ..., str 1, str 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Tako, da bi se pronašlo opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima, treba
pronaći opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe (napisati karakterističnu jednadžbu, pronaći sve korijene karakteristične jednadžbe l 1, l 2, ... , ul, zapišite temeljni sustav rješenja g 1(x), g 2(x), ..., god(x));
pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednadžbe ych(x);
zapiši izraz za opće rješenje
g(x)=c 1 g 1(x) + c 2 g 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima s posebnom desnom stranom. Metoda neodređenih koeficijenata.

Diferencijalna jednadžba oblika (1)

gdje je , f poznata funkcija, koja se naziva linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda s konstantnim koeficijentima. Ako je , tada se jednadžba (1) naziva homogenom, inače - nehomogenom.

Za linearne nehomogene jednadžbe s konstantnim koeficijentima i s desnom stranom posebnog oblika, naime koja se sastoji od zbrojeva i produkata funkcija, partikularno rješenje može se tražiti metodom neodređenih koeficijenata. Vrsta pojedinog rješenja ovisi o korijenima karakteristične jednadžbe. Ispod je tablica tipova parcijalnih rješenja linearne nehomogene jednadžbe s posebnom desnom stranom.

Složena ravnina. Modul i argument kompleksnog broja. Glavno značenje argumenta. Geometrijsko značenje

Kompleksni brojevi se pišu u obliku: a+ bi. Ovdje su a i b realni brojevi, a i je imaginarna jedinica, tj. i 2 = –1. Broj a naziva se apscisa, a b ordinata kompleksnog broja a+ bi. Dva kompleksna broja a+ bi i a – bi nazivamo konjugiranim kompleksnim brojevima.

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su prikazani točkama na brojevnom pravcu:

Ovdje točka A predstavlja broj –3, točka B označava broj 2, a O označava nulu. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni točkama na koordinatnoj ravnini. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijeve) koordinate s istim mjerilima na obje osi. Tada će kompleksni broj a+ bi biti prikazan točkom P s apscisom a i ordinatom b (vidi sliku). Ovaj koordinatni sustav naziva se kompleksna ravnina.

Modul kompleksnog broja je duljina vektora OP koji predstavlja kompleksni broj na koordinatnoj (kompleksnoj) ravnini. Modul kompleksnog broja a+ bi označava se sa | a+ bi | ili slovo r i jednako je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul. __

Argument kompleksnog broja je kut između osi OX i vektora OP koji predstavlja ovaj kompleksni broj. Dakle, tan = b/a.