가장 작은 수의 배수를 찾는 방법. 최소공배수(LCM) - 정의, 예 및 속성

LCM - 최소공배수, 정의, 예 섹션에서 시작한 최소공배수에 대한 논의를 계속하겠습니다. 이 주제에서는 3개 이상의 숫자에 대한 LCM을 찾는 방법을 살펴보고 음수의 LCM을 찾는 방법에 대한 질문을 분석합니다.

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gcd를 통한 최소공배수(LCM) 계산

우리는 이미 최소공배수와 최대공약수 사이의 관계를 설정했습니다. 이제 GCD를 통해 LCM을 정의하는 방법을 알아보겠습니다. 먼저 양수에 대해 이 작업을 수행하는 방법을 알아보겠습니다.

정의 1

공식 LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) 를 사용하여 최대 공약수를 통해 최소 공배수를 찾을 수 있습니다.

실시예 1

숫자 126과 70의 LCM을 찾아야 합니다.

해결책

a = 126 , b = 70 이라고 합시다. 최대공약수 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b)를 통해 최소공배수를 계산하는 공식의 값을 대입합니다.

숫자 70과 126의 GCD를 찾습니다. 이를 위해 우리는 Euclid 알고리즘이 필요합니다: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , 따라서 gcd (126 , 70) = 14 .

LCM을 계산해 보겠습니다. LCM(126, 70) = 126 70: GCD(126, 70) = 126 70: 14 = 630

대답: LCM(126, 70) = 630

실시예 2

숫자 68과 34의 노크를 찾으십시오.

해결책

이 경우 GCD는 68이 34로 나누어지기 때문에 찾기 쉽습니다. 다음 공식을 사용하여 최소공배수를 계산합니다. LCM(68, 34) = 68 34: GCD(68, 34) = 68 34: 34 = 68

대답: LCM(68, 34) = 68.

이 예에서 우리는 양의 정수 a와 b의 최소 공배수를 찾는 규칙을 사용했습니다. 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자로 나누어지면 이 숫자의 최소공배수는 첫 번째 숫자와 같습니다.

숫자를 소인수로 분해하여 LCM 찾기

이제 숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 방법을 살펴보겠습니다.

정의 2

최소 공배수를 찾으려면 다음과 같은 간단한 단계를 수행해야 합니다.

• 우리는 LCM을 찾는 데 필요한 모든 소인수의 곱을 구성합니다.
• 우리는 획득한 제품에서 모든 주요 요소를 제외합니다.
• 공통 소인수를 제거한 후 얻은 제품은 주어진 숫자의 LCM과 같습니다.

최소 공배수를 찾는 이 방법은 등식 LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) 를 기반으로 합니다. 공식을 보면 명확해질 것입니다. 숫자와 b의 곱은 이 두 숫자의 확장과 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 이 경우 두 숫자의 GCD는 이 두 숫자의 인수분해에 동시에 존재하는 모든 소인수의 곱과 같습니다.

실시예 3

두 개의 숫자 75 와 210 이 있습니다. 다음과 같이 제외할 수 있습니다. 75 = 3 5 5그리고 210 = 2 3 5 7. 두 원래 숫자의 모든 인수를 곱하면 다음을 얻습니다. 2 3 3 5 5 5 7.

숫자 3과 5에 공통적인 요소를 제외하면 다음 형식의 곱이 나옵니다. 2 3 5 5 7 = 1050. 이 제품은 75번과 210번의 LCM이 됩니다.

실시예 4

숫자의 LCM 찾기 441 그리고 700 , 두 숫자를 소인수로 분해합니다.

해결책

조건에 주어진 숫자의 모든 소인수를 찾아봅시다:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

441 = 3 3 7 7 및 700 = 2 2 5 5 7의 두 가지 숫자 사슬을 얻습니다.

이 숫자의 확장에 참여한 모든 요소의 곱은 다음과 같습니다. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. 공통점을 찾아보자. 이 숫자는 7입니다. 우리는 그것을 일반 제품에서 제외합니다: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC는 (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

대답: LCM(441, 700) = 44 100 .

숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 방법의 공식을 하나 더 제공하겠습니다.

정의 3

이전에는 두 숫자에 공통적인 요소의 총 수에서 제외했습니다. 이제 우리는 다르게 할 것입니다:

• 두 숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다.
• 첫 번째 숫자의 소인수 곱에 두 번째 숫자의 누락된 인수를 더합니다.
• 두 숫자의 원하는 LCM이 될 제품을 얻습니다.

실시예 5

이전 예 중 하나에서 이미 LCM을 찾았던 숫자 75와 210으로 돌아가 보겠습니다. 간단한 요인으로 분류해 보겠습니다. 75 = 3 5 5그리고 210 = 2 3 5 7. 요인 3, 5 및 5 숫자 75 누락된 요소 추가 2 그리고 7 숫자 210 . 우리는 다음을 얻습니다. 2 3 5 5 7 .이것은 숫자 75와 210의 LCM입니다.

실시예 6

숫자 84와 648의 LCM을 계산해야 합니다.

해결책

조건의 숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다. 84 = 2 2 3 7그리고 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 인수 2, 2, 3 및 7 숫자 84 결측 요인 2, 3, 3 및
3 숫자 648 . 우리는 제품을 얻는다 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .이것은 84와 648의 최소공배수입니다.

대답: LCM(84, 648) = 4536

세 개 이상의 숫자의 LCM 찾기

우리가 처리하는 숫자의 수에 관계없이 작업 알고리즘은 항상 동일합니다. 두 숫자의 LCM을 일관되게 찾을 것입니다. 이 경우에 대한 정리가 있습니다.

정리 1

정수가 있다고 가정합니다. a 1 , a 2 , … , k. NOC m k이 숫자 중 m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

이제 이 정리가 특정 문제에 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보겠습니다.

실시예 7

4개의 숫자 140, 9, 54의 최소 공배수를 계산해야 합니다. 250 .

해결책

표기법을 소개하겠습니다: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) 을 계산하는 것으로 시작하겠습니다. 유클리드 알고리즘을 사용하여 숫자 140과 9의 GCD를 계산해 보겠습니다. 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . 우리는 GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260을 얻습니다. 따라서 m 2 = 1 260 입니다.

이제 동일한 알고리즘 m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) 에 따라 계산해 보겠습니다. 계산 과정에서 우리는 m 3 = 3 780을 얻습니다.

계산하는 것은 m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) 입니다. 우리는 동일한 알고리즘에 따라 행동합니다. 우리는 m 4 \u003d 94 500을 얻습니다.

예제 조건에서 4개 숫자의 LCM은 94500입니다.

대답: LCM(140, 9, 54, 250) = 94,500

보시다시피, 계산은 간단하지만 꽤 힘든 작업입니다. 시간을 절약하기 위해 다른 방법으로 갈 수 있습니다.

정의 4

다음과 같은 작업 알고리즘을 제공합니다.

• 모든 숫자를 소인수로 분해합니다.
• 첫 번째 숫자의 요인의 곱에 두 번째 숫자의 곱에서 누락된 요인을 더합니다.
• 이전 단계에서 얻은 제품에 세 번째 숫자의 누락 요소를 추가하는 등
• 결과 제품은 조건의 모든 숫자의 최소 공배수가 됩니다.

실시예 8

5개의 숫자 84, 6, 48, 7, 143의 LCM을 찾아야 합니다.

해결책

다섯 개의 숫자를 모두 소인수로 분해해 보겠습니다. 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . 숫자 7인 소수는 소수로 인수분해될 수 없습니다. 이러한 숫자는 소인수로 분해되는 것과 일치합니다.

이제 숫자 84의 소인수 2, 2, 3, 7의 곱을 취하여 두 번째 숫자의 누락된 인수를 추가해 보겠습니다. 우리는 숫자 6을 2와 3으로 분해했습니다. 이러한 요소는 이미 첫 번째 숫자의 곱에 있습니다. 따라서 생략합니다.

누락된 승수를 계속 추가합니다. 우리는 2와 2를 취하는 소인수의 곱에서 숫자 48로 바뀝니다. 그런 다음 네 번째 숫자에서 간단한 인수 7을 추가하고 다섯 번째 숫자에서 11과 13의 인수를 추가합니다. 우리는 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048을 얻습니다. 이것은 다섯 개의 원래 숫자의 최소 공배수입니다.

대답: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048

음수의 최소공배수 구하기

음수의 최소공배수를 구하려면 먼저 이 숫자를 부호가 반대인 숫자로 대체한 다음 위의 알고리즘에 따라 계산을 수행해야 합니다.

실시예 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) 및 LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

그러한 행동은 다음과 같은 사실로 인해 허용됩니다. ㅏ그리고 - 에이- 반대 숫자
그런 다음 배수의 집합 ㅏ숫자의 배수 집합과 일치 - 에이.

실시예 10

음수의 LCM을 계산할 필요가 있습니다. − 145 그리고 − 45 .

해결책

숫자를 바꾸자 − 145 그리고 − 45 그들의 반대 숫자로 145 그리고 45 . 이제 알고리즘을 사용하여 LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 를 계산합니다. 이전에 Euclid 알고리즘을 사용하여 GCD를 결정했습니다.

우리는 숫자의 LCM - 145 및 − 45 같음 1 305 .

대답: LCM(− 145 , − 45) = 1 305 .

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숫자의 GCD 및 LCM 작업 MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa 수퍼바이저 Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, 수학 교사 p. 2013년 카미쇼보

숫자 50, 75, 325의 GCD를 구하는 예입니다. 1) 숫자 50, 75, 325를 소인수로 분해해 봅시다. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 나머지 없이 나누기 숫자 a와 b를 이 숫자의 최대공약수라고 합니다.

숫자 72, 99, 117의 최소공배수를 구하는 예입니다. 1) 숫자 72, 99, 117을 인수분해합시다. 숫자 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​중 하나의 전개에 포함된 인수를 쓰세요 ​​∙ 3에 나머지 숫자의 누락된 요소를 추가합니다. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) 결과 요인의 곱을 찾습니다. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 답: LCM (72, 99 and 117) = 10296 자연수 a와 b의 최소공배수는 a의 배수인 가장 작은 자연수입니다. 그리고 b.

판지 한 장의 길이는 48cm, 너비는 40cm인 직사각형 모양이며, 이 시트는 낭비 없이 동일한 정사각형으로 잘라야 합니다. 이 시트에서 얻을 수 있는 가장 큰 정사각형은 무엇이며 몇 개입니까? 솔루션: 1) S = a ∙ b는 직사각형의 면적입니다. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960cm². 골판지의 면적입니다. 2) a - 정사각형 48의 측면: a - 판지의 길이를 따라 놓을 수 있는 정사각형의 수. 40: a - 판지의 너비를 가로질러 놓을 수 있는 사각형의 수. 3) GCD (40 및 48) \u003d 8 (cm) - 정사각형의 측면. 4) S \u003d a² - 뼈 사각형의 면적. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - 뼈 사각형의 면적. 5) 1960: 64 = 30(정사각형 수). 답: 한 변이 8cm인 정사각형 30개. GCD 작업

방의 벽난로는 정사각형 모양의 마감 타일로 배치해야합니다. 195 ͯ 156 cm 벽난로에는 몇 개의 타일이 필요하고 가장 큰 타일 크기는 얼마입니까? 솔루션: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420(cm ²) - 벽난로 표면의 S. 2) GCD(195 및 156) = 39(cm) - 타일 측면. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 타일 면적. 4) 30420: = 20(조각). 답: 39 ͯ 39(cm) 크기의 타일 20개. GCD 작업

둘레가 54 ͯ 48 m인 정원 구획은 울타리를 쳐야 하며 이를 위해 일정한 간격으로 콘크리트 기둥을 배치해야 합니다. 현장을 위해 몇 개의 기둥을 가져와야 하며, 기둥 사이의 최대 거리는 얼마입니까? 솔루션: 1) P = 2(a + b) – 사이트 둘레. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m 2) GCD (54 및 48) \u003d 6 (m) - 기둥 사이의 거리. 3) 204: 6 = 34(기둥). 답변: 6m 거리에 34개의 기둥 GCD를 위한 작업

버건디 210송이, 백장미 126송이, 빨간장미 294송이, 부케를 모았고, 각 부케에는 같은 색깔의 장미가 들어 있다. 이 장미로 만든 꽃다발의 가장 큰 수는 몇 개이고 한 꽃다발에 들어 있는 장미는 각 색별로 몇 개입니까? 솔루션: 1) GCD(210, 126 및 294) = 42(꽃다발). 2) 210: 42 = 5(버건디 장미). 3) 126: 42 = 3(흰 장미). 4) 294: 42 = 7(빨간 장미). 답변: 42개의 꽃다발: 각 꽃다발에 버건디 5개, 흰색 3개, 빨간 장미 7개. GCD 작업

Tanya와 Masha는 같은 수의 우편함을 샀습니다. Tanya는 90루블을 지불하고 Masha는 5루블을 지불했습니다. 더. 1세트 가격은 얼마인가요? 각각 몇세트씩 구매하셨나요? 솔루션: 1) Masha는 90 + 5 = 95(루블)를 지불했습니다. 2) GCD(90 및 95) = 5(루블) - 1세트 가격. 3) 980: 5 = 18(세트) - Tanya에서 구입했습니다. 4) 95:5 = 19(세트) - 마샤가 샀습니다. 답: 5루블, 18세트, 19세트. GCD 작업

세 번의 관광 보트 여행은 항구 도시에서 시작되며 첫 번째는 15일, 두 번째는 20일, 세 번째는 12일입니다. 항구로 돌아온 배들은 같은 날 다시 항해를 떠난다. 모터 선박은 오늘 세 노선 모두 항구를 떠났습니다. 그들이 처음으로 함께 항해하는 날은 며칠입니까? 각 배는 몇 번 여행합니까? 솔루션: 1) NOC(15.20 및 12) = 60(일) - 회의 시간. 2) 60:15 = 4(항해) - 1척. 3) 60 : 20 = 3 (항해) - 2 모터 선박. 4) 60: 12 = 5(항해) - 3 모터 선박. 답: 60일, 4편, 3편, 5편. NOC의 임무

Masha는 상점에서 곰을 위해 계란을 샀습니다. 숲으로 가는 길에 그녀는 알의 수가 2,3,5,10, 15로 나누어 떨어지는 것을 깨달았습니다. Masha는 몇 개의 알을 샀습니까? 솔루션: LCM(2;3;5;10;15) = 30(계란) 답: Masha는 30개의 계란을 샀습니다. NOC의 임무

16 ͯ 20 cm 크기의 상자를 쌓기 위해 바닥이 정사각형인 상자를 만들어야 합니다. 상자에 상자를 단단히 고정하려면 정사각형 바닥의 가장 짧은 변이 어느 것이 되어야 합니까? 솔루션: 1) NOC(16 및 20) = 80(상자). 2) S = a ∙ b는 1 상자의 면적입니다. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - 1 상자 바닥의 면적. 3) 320 ∙ 80 = 25600(cm²) - 정사각형 바닥 면적. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - 상자의 크기. 답: 160cm는 정사각형 바닥의 한 변입니다. NOC의 임무

K 지점에서 길을 따라 45m마다 전봇대가 있는데 이 전봇대를 다른 것으로 교체하기로 결정하고 서로 60m 간격을 두었습니다. 거기에는 몇 개의 기둥이 있었고 얼마나 많은 기둥이 서 있을 것입니까? 솔루션: 1) NOK(45 및 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - 기둥이 있었습니다. 3) 180: 60 = 3 - 기둥이 있었습니다. 답: 4개의 기둥, 3개의 기둥. NOC의 작업

12인 1열로 행진하고 18인 열로 갈아타면 몇 명의 군인이 행진장을 행진하고 있는가? 솔루션: 1) NOC(12 및 18) = 36(사람) - 행진. 답: 36명. NOC의 작업

그러나 많은 자연수는 다른 자연수로 균등하게 나눌 수 있습니다.

예를 들어:

숫자 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나눌 수 있습니다.

숫자 36은 1의 배수, 2의 배수, 3의 배수, 4의 배수, 6의 배수, 12의 배수, 18의 배수, 36의 배수입니다.

숫자가 나누어지는 숫자 (12의 경우 1, 2, 3, 4, 6 및 12)를 호출합니다. 수의 제수. 자연수의 제수 ㅏ주어진 수를 나누는 자연수 ㅏ흔적없이. 두 개 이상의 인수를 갖는 자연수를 합성물 .

숫자 12와 36은 공약수가 있습니다. 다음은 숫자입니다: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 이 숫자의 가장 큰 약수는 12입니다. 이 두 숫자의 공약수 ㅏ그리고 비주어진 두 수를 나머지 없이 나누어 떨어지는 수 ㅏ그리고 비.

공통 배수여러 수를 이 수로 나누어 떨어지는 수라고 합니다. 예를 들어, 숫자 9, 18 및 45는 180의 공배수입니다. 그러나 90과 360도 공배수입니다. 모든 jcommon 배수 중에서 항상 가장 작은 배수가 있으며 이 경우에는 90입니다. 이 수를 이라고 합니다. 최소공배수(LCM).

LCM은 항상 자연수이며 정의된 가장 큰 수보다 커야 합니다.

최소공배수(LCM). 속성.

가환성:

연관성:

특히 와 가 동소수인 경우 다음을 수행합니다.

두 정수의 최소공배수 중그리고 N다른 모든 공통 배수의 제수입니다. 중그리고 N. 또한, 공배수 집합 m,n LCM( m,n).

에 대한 점근선은 몇 가지 수 이론 함수로 표현될 수 있습니다.

그래서, 체비쇼프 함수. 만큼 잘:

이것은 Landau 함수의 정의와 속성에 따릅니다. 지(n).

소수의 분포 법칙에 따른 것.

최소공배수(LCM) 구하기.

NOC( 에이, ㄴ)는 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.

1. 최대 공약수를 알고 있는 경우 LCM과의 관계를 사용할 수 있습니다.

2. 두 숫자를 소인수로 정식 분해하는 것을 알 수 있습니다.

어디 p 1 ,..., p k다양한 소수이며, d 1 ,...,dk그리고 전자 1 ,...,엑음이 아닌 정수입니다(해당 소수가 확장에 없으면 0일 수 있음).

그런 다음 LCM( ㅏ,비)는 다음 공식으로 계산됩니다.

즉, LCM 확장은 숫자 확장 중 하나 이상에 포함된 모든 소인수를 포함합니다. 에이, ㄴ, 이 인수의 두 지수 중 가장 큰 지수를 취합니다.

예시:

여러 숫자의 최소 공배수 계산은 두 숫자의 LCM에 대한 여러 연속 계산으로 줄일 수 있습니다.

규칙.일련의 숫자의 LCM을 찾으려면 다음이 필요합니다.

- 숫자를 소인수로 분해합니다.

- 가장 큰 전개를 ​​원하는 곱의 인자(주어진 것 중 가장 큰 개수의 인자의 곱)로 옮기고, 첫 번째 숫자에서 발생하지 않거나 그 안에 있는 다른 숫자의 전개에서 인자를 더합니다. 적은 횟수;

- 소인수의 결과 곱은 주어진 숫자의 LCM이 됩니다.

두 개 이상의 자연수에는 고유한 LCM이 있습니다. 숫자가 서로의 배수가 아니거나 확장에 동일한 요인이 없는 경우 LCM은 이러한 숫자의 곱과 같습니다.

숫자 28의 소인수(2, 2, 7)에 3의 인수(숫자 21)를 추가하면 결과 곱(84)은 21과 28로 나누어 떨어지는 가장 작은 숫자가 됩니다.

가장 큰 숫자 30의 소인수는 숫자 25의 5의 약수로 보완되었으며, 결과 곱 150은 가장 큰 숫자 30보다 크며 나머지 없이 주어진 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. 이것은 주어진 모든 숫자가 배수인 가능한 가장 작은 곱(150, 250, 300...)입니다.

숫자 2,3,11,37은 소수이므로 LCM은 주어진 숫자의 곱과 같습니다.

규칙. 소수의 LCM을 계산하려면 이 모든 숫자를 곱해야 합니다.

다른 옵션:

여러 숫자의 최소공배수(LCM)를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 각 숫자를 소인수의 곱으로 나타냅니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) 모든 소인수의 거듭제곱을 기록합니다.

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) 이 숫자 각각의 모든 소수(승수)를 기록합니다.

4) 이 숫자의 모든 확장에서 발견되는 각각의 가장 큰 차수를 선택합니다.

5) 이 힘을 곱하십시오.

예시. 숫자의 LCM을 찾으십시오: 168, 180 및 3024.

해결책. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

우리는 모든 소수의 가장 큰 거듭제곱을 쓰고 곱합니다.

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

많은 제수

다음 문제를 고려하십시오. 숫자 140의 제수를 찾으십시오. 숫자 140에는 제수가 하나가 아니라 여러 개 있다는 것이 분명합니다. 이러한 경우 작업이 있다고 합니다. 많은솔루션. 모두 찾아봅시다. 우선 이 수를 소인수로 분해합니다.

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

이제 모든 제수를 쉽게 쓸 수 있습니다. 간단한 제수, 즉 위의 확장에 있는 제수부터 시작하겠습니다.

그런 다음 소수 제수의 쌍으로 곱하여 얻은 것을 씁니다.

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

그런 다음 - 세 개의 간단한 약수를 포함하는 것:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

마지막으로 단위와 분해 가능한 숫자 자체를 잊지 말자.

우리가 찾은 모든 제수는 많은중괄호를 사용하여 작성된 숫자 140의 제수:

숫자 140의 제수 세트 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

인식의 편의를 위해 여기에 제수를 작성했습니다( 세트 요소) 오름차순으로 정렬되지만 일반적으로 이것은 필요하지 않습니다. 또한 약어를 소개합니다. "숫자 140의 제수 집합" 대신 "D (140)"를 씁니다. 이런 식으로,

유사하게, 다른 자연수에 대한 제수 세트를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 확장에서

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

우리는 얻는다:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

모든 제수 세트에서 140과 105가 각각 동일한 소수 제수 세트를 구별해야합니다.

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

숫자 140을 소인수로 분해할 때 2는 두 번 존재하는 반면 PD(140) 집합에서는 하나만 있다는 점을 강조해야 합니다. PD(140) 세트는 본질적으로 "수 140의 소인수 찾기" 문제에 대한 모든 답입니다. 같은 대답이 두 번 이상 반복되어서는 안 된다는 것은 분명합니다.

분수 감소. 최대 공약수

분수를 고려하십시오

우리는 이 분수가 분자의 제수(105)이고 분모의 제수(140)인 숫자로 줄일 수 있다는 것을 알고 있습니다. 집합 D(105)와 D(140)를 보고 공통 요소를 적어 봅시다.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

집합 D(105) 및 D(140)의 공통 요소 =

마지막 평등은 다음과 같이 더 짧게 작성할 수 있습니다.

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

여기에서 특수 아이콘 "∩"("구멍이 있는 가방")은 반대쪽에 쓰여진 두 세트 중에서 공통 요소만 선택해야 함을 나타냅니다. "D(105) ∩ D(140)" 항목은 " 교차로 105의 Te 및 140의 Te 집합입니다.

[거의 숫자처럼 집합으로 다양한 이진 연산을 수행할 수 있다는 점에 유의하십시오. 또 다른 일반적인 이진 연산은 협회, 아이콘 "∪"("구멍이 있는 가방")으로 표시됩니다. 두 집합의 합집합에는 두 집합의 모든 요소가 포함됩니다.

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

그래서 우리는 분수가

집합에 속하는 숫자 중 하나로 줄일 수 있습니다.

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

다른 자연수로 줄일 수 없습니다. 다음은 줄일 수 있는 모든 방법입니다.

분수를 가능한 한 더 큰 숫자로 줄이는 것이 가장 실용적이라는 것은 분명합니다. 이 경우 숫자 35라고 합니다. 최대 공약수 (GCD) 숫자 105 및 140. 이것은 다음과 같이 작성됩니다.

gcd(105, 140) = 35.

그러나 실제로 두 개의 숫자가 주어지고 최대 공약수를 찾아야 하는 경우 집합을 만들 필요가 전혀 없습니다. 두 숫자를 모두 소인수로 간단히 인수분해하고 두 인수분해에 공통적인 이러한 인수에 밑줄을 긋는 것으로 충분합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

밑줄 친 숫자를 곱하면(모든 확장에서) 다음을 얻습니다.

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

물론 밑줄 친 요소가 두 개 이상 있을 수 있습니다.

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

여기서부터 분명한 것은

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

특별한 언급은 공통 요소가 전혀 없고 강조할 것이 없는 상황에서 가치가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

이 경우,

gcd(42, 55) = 1.

gcd가 1인 두 개의 자연수를 호출합니다. 코프라임. 예를 들어 이러한 숫자에서 분수를 만들면

그런 분수는 줄일 수 없는.

일반적으로 분수를 줄이는 규칙은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

여기에서는 다음과 같이 가정합니다. ㅏ그리고 비는 자연수이고 모든 분수는 양수입니다. 이제 이 평등의 양쪽에 빼기 기호를 할당하면 음수 분수에 대한 해당 규칙을 얻습니다.

분수의 덧셈과 뺄셈. 최소 공배수

두 분수의 합을 계산한다고 가정합니다.

우리는 이미 분모가 소인수로 분해되는 방법을 알고 있습니다.

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

분수를 공통 분모로 만들려면 첫 번째 분수의 분자와 분모에 2 ∙ 2(두 번째 분모의 스트레스를 받지 않는 소인수의 곱)를 곱하면 충분하다는 것이 이 확장의 직후에 나옵니다. 두 번째 분수의 분자와 분모를 3으로 계산합니다(첫 번째 분모의 밑줄이 그어진 소인수 "곱"). 결과적으로 두 분수의 분모는 다음과 같이 나타낼 수 있는 숫자와 같아집니다.

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

두 개의 원래 분모(105와 140 모두)가 숫자 420의 약수이고 숫자 420이 차례로 두 분모의 배수라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 최소 공배수 (NOC) 숫자 105 및 140. 이것은 다음과 같이 작성됩니다.

LCM(105, 140) = 420.

숫자 105와 140의 확장을 더 자세히 살펴보면

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140)

마찬가지로 임의의 자연수에 대해 비그리고 디:

비 ∙ 디= LCM( 비, 디) ∙ GCD( 비, 디).

이제 분수의 합을 완성해 봅시다.

"다수"라는 주제는 종합 학교의 5 학년에서 공부합니다. 그 목표는 수학 계산의 쓰기 및 구두 기술을 향상시키는 것입니다. 이 단원에서는 "다수"와 "제수"라는 새로운 개념, 자연수의 약수와 배수를 찾는 기술, 다양한 방법으로 LCM을 찾는 능력을 학습합니다.

이 주제는 매우 중요합니다. 그것에 대한 지식은 분수로 예제를 해결할 때 적용될 수 있습니다. 이렇게 하려면 최소공배수(LCM)를 계산하여 공통분모를 찾아야 합니다.

A의 배수는 나머지 없이 A로 나눌 수 있는 정수입니다.

모든 자연수는 그 배수가 무한합니다. 가장 적은 것으로 간주됩니다. 배수는 숫자 자체보다 작을 수 없습니다.

숫자 125가 숫자 5의 배수임을 증명해야 합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 숫자를 두 번째 숫자로 나누어야 합니다. 125가 나머지 없이 5로 나누어 떨어지면 답은 예입니다.

이 방법은 작은 수에 적용할 수 있습니다.

LCM을 계산할 때 특별한 경우가 있습니다.

1. 2개의 숫자(예: 80과 20)에 대한 공배수를 찾아야 하는 경우, 그 중 하나(80)는 나머지가 없이 다른 숫자(20)로 나누어지며, 이 숫자(80)는 가장 작은 숫자입니다. 이 두 숫자의 배수.

LCM(80, 20) = 80.

2. 두 개의 제수가 공약수를 가지지 않으면 LCM이 이 두 수의 곱이라고 말할 수 있습니다.

LCM(6, 7) = 42.

마지막 예를 고려하십시오. 42에 대한 6과 7은 제수입니다. 그들은 나머지 없이 배수를 나눕니다.

이 예에서 6과 7은 쌍의 제수입니다. 그들의 곱은 최대 배수(42)와 같습니다.

그 수는 그 자체 또는 1(3:1=3, 3:3=1)로만 나눌 수 있는 경우 소수라고 합니다. 나머지는 합성이라고 합니다.

다른 예에서 9가 42에 대한 제수인지 확인해야 합니다.

42:9=4(나머지 6)

답: 9는 나머지가 있기 때문에 42의 약수가 아닙니다.

제수는 제수가 자연수를 나누는 수이고 배수 자체가 그 수로 나눌 수 있다는 점에서 배수와 다릅니다.

숫자의 최대공약수 ㅏ그리고 비, 가장 작은 배수로 곱하면 숫자 자체의 곱이 나옵니다. ㅏ그리고 비.

즉, GCD(a, b) x LCM(a, b) = a x b.

더 복잡한 숫자의 공배수는 다음과 같은 방식으로 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 168, 180, 3024에 대한 LCM을 찾습니다.

이 숫자를 소인수로 분해하여 거듭제곱으로 씁니다.

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120