제어 최적화 문제의 최적 자동 제어 시스템 공식화. 최적의 제어 시스템

최적 자동 제어 시스템은 필요한 최적성 기준이 극한 값을 갖도록 제어가 수행되는 시스템입니다. 시스템의 초기 및 필수 최종 상태를 정의하는 경계 조건, 즉 시스템의 기술적 목표입니다. tн 특정 시간 간격에 대한 평균 편차가 특히 중요하고 제어 시스템의 작업이 이 적분의 최소값을 보장하는 경우에 설정됩니다.

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최적의 제어

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. 자동 규제 및 제어 이론의 기초. M .: 고등 학교, 1977. 519 p. P.477491.

최적의 자주포 이는 필요한 최적성 기준이 극단적인 값을 갖는 방식으로 제어가 수행되는 시스템입니다.

최적의 개체 관리의 예:

1. 최소한의 연료 소비로 주어진 높이나 범위를 달성하기 위해 로켓의 움직임을 제어합니다.
2. 엔진으로 구동되는 메커니즘의 움직임을 제어하여 에너지 비용을 최소화합니다.
3. 최대 성능을 위한 원자로 제어.

최적 제어 문제는 다음과 같이 공식화됩니다.

“제어 시간의 변화 법칙을 찾아보세요너(티 ) 주어진 제한 하에서 시스템은 기능적 측면에서 최적의 방식으로 한 주어진 상태에서 다른 상태로 이동합니다.나 , 프로세스의 품질을 표현하는 것은 극한의 가치를 얻게 될 것입니다.”

최적의 제어 문제를 해결하려면 다음을 알아야 합니다.

1. 연구, 제어 및 방해 영향을 받는 프로세스의 모든 좌표 값을 연결하는 개체 및 환경의 수학적 설명

2. 수학적으로 표현되는 좌표 및 제어법칙에 대한 물리적 제한;

3. 시스템의 초기 상태와 필수 최종 상태를 정의하는 경계 조건

(시스템의 기술적 목표)

4. 목적함수(품질함수)

수학적 목표).

수학적으로 최적성 기준은 다음과 같이 가장 자주 표현됩니다.

~에

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + ψ [ y (t ~), t ~ ], (1)

티엔

여기서 첫 번째 항은 전체 구간에 대한 제어 품질을 나타냅니다( tn, tn)이라고 불립니다.

필수 구성요소, 두 번째 항

최종(최종) 시점의 정확도를 특성화합니다.에서 .

식 (1)은 함수형이라고 불립니다. 왜냐하면나 기능 선택에 따라 다름너(티 ) 그리고 그 결과와이(티).

라그랑주 문제.기능성을 최소화한

~에

I=∫f o dt.

티엔

시간에 따른 평균 편차가 특히 중요한 경우에 사용됩니다.

특정 시간 간격이며 제어 시스템의 임무는 이러한 적분(제품 품질 저하, 손실 등)을 최소화하는 것입니다.

기능의 예:

나는 =∫(t) dt 정상 상태에서 최소 오류에 대한 기준, 여기서 x(티)

1. 지정된 값에서 제어된 매개변수의 편차;

나는 =∫ dt = t 2 - t 1 = > min 자주포의 최대 속도 기준;

나는 =∫ dt = > min 최적의 효율성 기준.

메이어의 문제. 이 경우 최소화되는 기능은 터미널 부분에서만 정의되는 기능입니다.

I = Φ =>분.

예를 들어, 다음 방정식으로 설명되는 항공기 제어 시스템의 경우

F o (x, u, t),

다음 작업을 설정할 수 있습니다: 제어 결정 u (t), t n ≤ t ≤ t k이므로

최대 거리에 도달하기 위한 주어진 비행 시간(마지막 순간에)~에 항공기가 착륙합니다. x(t ~ ) =0.

볼츠 문제 기준 (1)을 최소화하는 문제로 축소됩니다.

최적의 제어 문제를 해결하기 위한 기본 방법은 다음과 같습니다.

1.변이 오일러의 정리와 방정식의 고전적 미적분학;

2. 최대 L.S.의 원리 폰트리아긴;

3. R. Bellman의 동적 프로그래밍.

오일러 방정식과 정리

기능을 부여하자:

~에

나는 =∫ f o dt ,

티엔

어디 일부 두 번 미분 가능한 함수 중 그러한 함수를 찾는 것이 필요합니다( t ) 또는 극단 , 지정된 경계 조건을 충족합니다. x i (t n), x i (t k ) 기능을 최소화합니다.

극값은 오일러 방정식의 해 중에서 발견됩니다.

나는 = .

함수를 최소화한다는 사실을 확립하려면 극값을 따라 라그랑주 조건이 충족되는지 확인해야 합니다.

이는 함수의 최소점에서 2차 도함수의 양성에 대한 요구 사항과 유사합니다.

오일러의 정리: “기능의 극한이라면나 부드러운 곡선 사이에 존재하고 달성된다면 극한에서만 달성될 수 있습니다.”

L.S.PONTRYAGIN의 최대 원칙

L.S. Pontryagin 학교는 최적의 필수 조건에 대한 정리를 공식화했으며 그 본질은 다음과 같습니다.

제어 장치의 변경할 수 없는 부분과 함께 객체의 미분 방정식이 일반적인 형식으로 제공된다고 가정해 보겠습니다.

u j를 제어하려면 예를 들어 불평등의 형태로 제한이 가해질 수 있습니다.

, .

제어의 목적은 객체를 초기 상태(티엔 )에서 최종 상태(~에 ). 프로세스의 끝~에 고정되거나 무료일 수 있습니다.

최적성 기준을 기능적 최소값으로 설정합니다.

나 = dt

보조변수를 도입하고 함수를 만들어 봅시다

포()+ 에프() 에프()+

최대 원칙은 시스템이 최적이어야 함을 나타냅니다. 즉, 함수의 최소값을 얻으려면 방정식을 만족하는 0이 아닌 연속 함수가 존재해야 합니다.

그것은 어떤 t에 대해서도 , 주어진 범위에 위치 t n ≤ t ≤ t k , 허용 가능한 제어의 함수로서 H 값은 최대값에 도달합니다.

함수 H의 최대값은 다음 조건에 따라 결정됩니다.

영역의 경계에 도달하지 않으면 함수 H의 최상값으로, 그렇지 않으면.

R. Bellman의 동적 프로그래밍

R. Bellman의 최적성 원칙:

"최적의 행동은 최초 순간의 초기 상태와 결정이 무엇이든 후속 결정이 첫 번째 결정의 결과인 상태와 관련하여 최적의 행동을 구성해야 한다는 속성을 가지고 있습니다."

시스템의 "동작"을 이해해야 합니다.움직임 이러한 시스템과 용어"결정"은 다음을 의미한다.통제력의 시간 변화 법칙 선택.

동적 프로그래밍에서 극값을 검색하는 과정은 다음과 같이 나뉩니다. N 단계를 거치는 반면, 고전적 변이 계산에서는 전체 극단값에 대한 검색이 수행됩니다.

극값을 찾는 과정은 R. Bellman의 최적성 원칙의 다음 전제를 기반으로 합니다.

1. 최적의 궤적의 각 세그먼트 자체가 최적의 궤적입니다.
2. 각 현장의 최적 프로세스는 해당 역사에 의존하지 않습니다.
3. 최적의 제어(최적의 궤적)는 후방 이동을 사용하여 추구됩니다. y(T) ~ y(T -Δ), 여기서 Δ = T/ N, N 궤적의 섹션 수 등].

발견적으로 필요한 문제 설명에 대한 벨만 방정식은 연속 시스템과 이산 시스템에 대해 파생됩니다.

적응 제어

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. 언어의 예가 포함된 자동 제어 이론의 선택된 장 MATLAB . 상트페테르부르크: Nauka, 1999. 467p. 12장.

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. 자동 규제 및 제어 이론의 기초. M .: 고등 학교, 1977. 519 p. P.491499.

Ankhimyuk V.L., Opeiko O.F., Mikheev N.N. 자동 제어 이론. Mn .: 디자인 PRO, 2000. 352 p. P.328340.

적응형 제어 시스템의 필요성은 해결되는 제어 문제의 상당한 복잡성으로 인해 발생하며, 이 복잡성의 특정 특징은 제어 대상에서 발생하는 프로세스에 대한 자세한 연구 및 설명을 위한 실제 기회가 부족하다는 것입니다.

예를 들어, 대기 매개 변수, 비행 속도, 범위 및 고도의 큰 변화뿐만 아니라 존재로 인해 모든 작동 조건에서 특성에 대한 정확한 선험적 데이터를 얻을 수 없는 현대 고속 항공기 광범위한 파라메트릭 및 외부 교란.

일부 제어 개체(항공기 및 미사일, 기술 프로세스 및 발전소)는 사전에 예상하지 못한 방식으로 정적 및 동적 특성이 넓은 범위에 걸쳐 변경된다는 사실로 구별됩니다. 누락된 정보가 작동 중에 시스템 자체에 의해 자동으로 보충되는 시스템을 통해 이러한 객체를 최적으로 관리할 수 있습니다.

적응형(위도)적응 "장치)는 작동 중 물체의 매개변수나 외부 영향의 특성을 변경할 때 사람의 개입 없이 독립적으로 조정기의 매개변수, 구조, 설정 또는 규제 영향을 변경하여 최적의 작동 모드를 유지하는 시스템입니다. 그 물체.

적응 제어 시스템의 생성은 근본적으로 다른 조건에서 수행됩니다. 적응형 방법은 관리되는 공정의 특성에 대한 선험적 정보가 충분하지 않거나 불확실한 상황에서 높은 품질 관리를 달성하는 데 도움이 되어야 합니다.

적응 시스템의 분류:

자기 적응

(적응형)

제어 시스템

적응을 통한 자가 조정 자가 학습 시스템

특수 단계의 시스템 시스템

상태

검색 없는 검색- 훈련- 훈련- 릴레이 적응형

(극단적(자체 진동 시스템 없이 인센티브로 분석됨)

신규) 틱 인센티브 변수

시스템 시스템 시스템 구조

AS 분류의 구조 다이어그램(적응 과정의 성격에 따름)

셀프 튜닝 시스템(SNS)매개변수와 제어 조치를 변경하여 변화하는 작동 조건에 대한 적응이 수행되는 시스템입니다.

자기 조직화이는 매개변수와 제어 동작뿐만 아니라 구조도 변경하여 적응이 수행되는 시스템입니다.

자가 학습제어 장치를 이용하여 제어 대상의 최적 작동 모드를 결정하고, 자동 검색을 통해 학습 과정에서 알고리즘을 의도적으로 자동으로 개선하는 자동 제어 시스템입니다. 검색은 자가 학습 시스템의 유기적 부분인 두 번째 제어 장치를 사용하여 수행됩니다.

검색 엔진에서 시스템에서 제어 장치의 매개변수 변경이나 제어 작업은 품질 지표의 극한 조건을 검색한 결과로 수행됩니다. 이 유형의 시스템에서 극한 조건에 대한 검색은 테스트 영향 및 평가를 사용하여 수행됩니다.결과를 얻었습니다.

비검색 중 시스템에서 제어 장치의 매개변수 결정 또는 제어 조치는 특별한 검색 신호를 사용하지 않고 지정된 제어 품질을 보장하는 조건의 분석적 결정을 기반으로 수행됩니다.

다음을 갖춘 시스템 특수 위상 상태의 적응비선형 시스템의 특수 모드 또는 속성(자체 진동 모드, 슬라이딩 모드)을 사용하여 제어 시스템의 동적 속성에 대한 제어된 변경 사항을 구성합니다. 이러한 시스템에서 특별히 구성된 특수 모드는 시스템의 작동 조건 변화에 대한 추가 작동 정보 소스로 사용되거나 제어 시스템에 새로운 속성을 부여하여 제어 프로세스의 동적 특성이 원하는 한계 내에서 유지됩니다. , 작동 중에 발생하는 변경의 성격에 관계없이.

적응 시스템을 사용하면 다음과 같은 주요 작업이 해결됩니다.

1 . 제어 시스템이 작동하는 동안 매개변수, 구조 및 외부 영향이 변경되면 시스템의 지정된 동적 및 정적 속성이 유지되는 제어가 제공됩니다.

2 . 설계 및 시운전 과정에서 초기에 매개변수, 제어 개체의 구조 및 외부 영향에 대한 완전한 정보가 없는 경우 시스템은 지정된 동적 및 정적 속성에 따라 자동으로 조정됩니다.

실시예 1 . 적응형 항공기 각도 위치 안정화 시스템.

f1(티) f2(티) f3(티)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f(t) f1(t) f2(t) f3(t)

유(t) W1(p) W0(p) y(t)

+ -

쌀. 1.

적응형 항공기 안정화 시스템

비행 조건이 변경되면 전달 기능이 변경됩니다. W0(p ) 항공기 및 결과적으로 전체 안정화 시스템의 동적 특성:

. (1)

외부 환경의 방해 f1(티), f2(티), f3(티) ) 시스템 매개변수의 제어된 변경으로 이어지는 이 개체의 다양한 지점에 적용됩니다.

방해하는 영향력에프(티 )는 제어 객체의 입력에 직접 적용됩니다. f1(티), f2(티), f3(티) )는 해당 매개변수를 변경하지 않습니다. 따라서 시스템 작동 중에만 f1(t), f2(t), f3(t).

피드백 원리와 식 (1)에 따르면 제어되지 않는 특성 변화 W0(p ) 교란 및 간섭으로 인해 매개변수 Ф(피) .

항공기 안정화 시스템의 전달 함수 Ф(р)가 실질적으로 변경되지 않도록 제어된 변경 사항을 보다 완벽하게 보상하는 작업을 설정하는 경우 컨트롤러의 특성을 적절하게 변경해야 합니다. W1(p ). 이는 그림 1의 구성에 따라 만들어진 적응형 자주포에서 수행됩니다. 신호로 특징지어지는 환경 매개변수 f1(티), f2(티), f3(티) )(예: 속도 수두 압력) PH(t) , 주변 온도 T0(t) 그리고 비행 속도 v(티) , 센서 D에 의해 지속적으로 측정됩니다. 1, 디 2, 디 3 , 현재 매개변수 값은 컴퓨팅 장치 B로 전송됩니다. 1, 비 2, 비 3 , 특성이 조정되는 신호를 생성합니다. W1(p ) 특성 변화를 보상하기 위해 W0(p).

그러나 이러한 유형의 자동화된 제어 시스템(개방형 구성 루프 포함)에서는 제어된 변경 사항의 효율성에 대한 자체 분석이 없습니다.

예 2. 극한 항공기 비행 속도 제어 시스템.

Z 방해

영향

엑스 3 = 엑스 0 - 엑스 2

자동 장치 X 0 증폭 X 4 Executive X 5 조정 가능 X 1

수학 변환기 장치 객체

극단 이스카 + - 장치

자질

장치

그림 2. 극한 항공기 비행 속도 제어 시스템의 기능 다이어그램

극단 시스템은 가장 수익성이 높은 프로그램을 결정합니다. 그런 다음 값× 1 (항공기의 필수 속도) 단위 경로 길이당 최소 연료 소비를 생성하기 위해 현재 유지되어야 합니다.

지 - 물체의 특성; X 0 - 시스템에 미치는 영향을 제어합니다.

(연료 소비 값)

와이(0)

와이(티)

자기 조직화 시스템

어떤 물체를 제어하도록 설계된 자동 시스템은 그것이 수행하는 제어가 최적, 즉 어떤 의미에서 최고가 되는 방식으로 구축되어야 합니다. 최적의 제어 문제는 프로세스 제어 하위 시스템에서 가장 자주 발생합니다. 각각의 경우에 적절한 제어 시스템을 갖춘 해당 기계 또는 설비(제어 대상)가 의도하는 특정한 기술적 작업이 있습니다. 우리는 제어 개체와 이 개체를 제어하는 ​​장치 세트로 구성된 일부 자체 추진 제어 시스템에 대해 이야기하고 있습니다. 일반적으로 이 세트에는 측정, 증폭, 변환 및 작동 장치가 포함됩니다. 증폭, 변환 및 작동 장치를 제어 장치 또는 조정기라고 하는 하나의 링크로 결합하면 ACS의 기능 다이어그램이 그림 1에 표시될 수 있습니다. 열하나.

쌀. 12 최적 시스템의 기능 다이어그램

제어 장치의 입력은 개체의 상태(소위 "원하는 상태")에 대한 지침이 포함된 명령 동작을 수신합니다.

제어 객체는 부하나 간섭을 나타내는 방해 영향 z를 받을 수 있습니다. 측정 장치를 사용하여 물체의 좌표를 측정하는 것은 임의의 오류 x(오차)로 수행될 수 있습니다.

따라서 제어 장치의 임무는 ACS 전체의 작동 품질이 어떤 의미에서 최고가 되도록 제어 조치를 개발하는 것입니다. 제어 장치의 알고리즘을 결정하려면 물체의 특성과 제어 장치에 들어오는 물체 및 외란에 대한 정보의 성격을 알아야 합니다.

객체의 특성은 입력에 대한 객체의 출력 값의 의존성을 의미합니다.

여기서 F는 일반적으로 두 함수 집합 사이의 대응 법칙을 설정하는 연산자입니다. 객체의 연산자 F는 공식, 표, 그래프를 사용하여 다양한 방법으로 지정할 수 있습니다. 이는 또한 벡터 형식으로 다음과 같이 작성되는 미분 방정식 시스템의 형태로 지정됩니다.

여기서 벡터의 초기 값과 최종 값이 지정되었습니다.

고려중인 문제를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그러나 객체를 제어하는 ​​한 가지 방법만이 어떤 의미에서는 최상의 결과를 제공합니다. 이러한 제어 방식과 이를 구현하는 시스템을 최적이라고 합니다.

한 관리 방법을 다른 관리 방법보다 선호하는 정량적 근거를 갖기 위해서는 관리 목표를 결정한 다음 목표 달성의 효율성을 특징 짓는 측정 방법, 즉 최적 관리의 기준을 도입해야 합니다. 일반적으로 최적성 기준은 각 제어 법칙이 기준의 특정 값에 해당하도록 시간과 공간에 따라 변화하는 시스템의 좌표 및 매개 변수에 따라 달라지는 수치 값입니다. 고려 중인 프로세스의 다양한 기술 및 경제적 지표를 최적 기준으로 선택할 수 있습니다.

때로는 서로 다르고 때로는 모순되는 요구 사항이 제어 시스템에 적용됩니다. 각 요구 사항을 동시에 가장 잘 충족하는 제어 법칙은 없습니다. 따라서 모든 요구 사항 중에서 가장 좋은 방법으로 충족되어야 하는 주요 사항 중 하나를 선택해야 합니다. 다른 요구 사항은 제한 사항으로 작용합니다. 결과적으로, 최적성 기준의 선택은 문제의 대상과 환경에 대한 기술 및 경제성 연구를 토대로 이루어져야 합니다. 이 작업은 연산 증폭기 이론의 범위를 벗어납니다.

최적 제어 문제를 해결할 때 가장 중요한 것은 제어 목표를 설정하는 것인데, 이는 최적성 기준인 특정 값 Q의 극한값을 달성하는 문제로 수학적으로 간주될 수 있습니다. 수학에서는 이러한 수량을 함수라고 합니다. 해결되는 문제에 따라 최소 또는 최대 Q를 달성해야 합니다. 예를 들어 Q가 최소가 되어야 하는 최적성 기준을 작성해 보겠습니다.

보시다시피 Q의 값은 함수에 따라 달라집니다.

다양한 기술 및 기술 경제적 지표와 평가를 최적 기준으로 사용할 수 있습니다. 최적성 기준의 선택은 제어된 프로세스에 대한 심층적이고 포괄적인 연구를 기반으로 해결되는 엔지니어링 및 엔지니어링 경제적 문제입니다. 제어 이론에서는 시스템 기능의 품질을 특성화하는 통합 기능이 널리 사용됩니다. 이 기능의 최대값 또는 최소값을 달성한다는 것은 시스템의 최적 동작 또는 상태를 나타냅니다. 통합 기능은 일반적으로 제어 개체의 작동 조건을 반영하고 좌표에 부과된 제한 사항(가열, 강도, 에너지원 전력 등)을 고려합니다.

관리 프로세스에는 다음 기준이 사용됩니다.

1. 최적의 성능(전환 시간)

2. 최소 제곱평균제곱근 오류 값.

3. 최소 에너지 소비.

따라서 최적성 기준은 시스템의 과도기 또는 정상 상태 프로세스와 관련될 수 있습니다.

최적성 기준에 따라 최적 시스템은 속도 최적화와 정확도 최적화라는 두 가지 주요 클래스로 나눌 수 있습니다.

최적 제어 시스템은 최적성 기준의 특성에 따라 세 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.

a) 균일하게 최적인 시스템;

b) 통계적으로 최적의 시스템;

c) 최소최대-최적 시스템.

균일 최적은 각 개별 프로세스가 최적인 시스템입니다. 예를 들어, 속도 측면에서 최적인 시스템에서 초기 조건 및 교란 하에서 시스템은 최단 경로를 통해 필요한 상태에 시간 내에 도달합니다.

통계적으로 최적인 시스템에서 최적성 기준은 본질적으로 통계적입니다. 이러한 시스템은 평균적으로 최고여야 합니다. 여기서는 각 개별 프로세스의 최적화가 필요하지도 않고 가능하지도 않습니다. 통계적 기준으로서 일부 기본 기준의 평균값이 가장 자주 나타납니다(예: 특정 한계를 초과하는 특정 값에 대한 수학적 기대).

Minimax-optimal 시스템은 최악의 경우 최상의 결과를 제공하는 시스템입니다. 이는 최악이 아닌 경우 다른 시스템보다 더 나쁜 결과를 제공할 수 있다는 점에서 균일 최적 시스템과 다릅니다.

최적의 시스템은 관리 개체에 대한 정보를 얻는 방법에 따라 세 가지 유형으로 나눌 수도 있습니다.

객체에 대한 완전한 정보를 갖춘 최적의 시스템

물체와 그 수동적 축적에 대한 불완전한 정보를 가진 최적의 시스템;

제어 프로세스 중 객체 및 객체의 활성 축적에 대한 불완전한 정보가 있는 최적의 시스템(이중 제어 시스템)

최적 시스템 합성 문제에는 두 가지 유형이 있습니다.

주어진 객체 매개변수 및 주어진 시스템 구조에 대한 컨트롤러 매개변수의 최적 값 결정

주어진 매개변수와 제어 개체의 구조를 사용하여 컨트롤러 매개변수의 구조를 합성하고 결정합니다.

첫 번째 유형의 문제는 적분 추정을 최소화하면서 다양한 분석 방법을 사용하고 주어진 최적 기준을 고려하여 컴퓨터 기술(컴퓨터 모델링)을 사용하여 해결하는 것이 가능합니다.

두 번째 유형의 문제 해결은 고전적인 변형 미적분 방법, Pontryagin의 최대 원리 및 Bellman 동적 프로그래밍 방법, 수학적 프로그래밍 방법과 같은 특별한 방법의 사용을 기반으로 합니다. 무작위 신호로 최적의 시스템을 합성하기 위해 Wiener 방법, 변이 방법 및 주파수 방법이 사용됩니다. 적응형 시스템을 개발할 때 구성 가능한 매개변수의 법칙과 변경 사항을 결정할 수 있는 그라데이션 방법이 가장 널리 사용됩니다.

최적의 제어

최적의 제어주어진 제어 객체 또는 프로세스에 대해 주어진 시스템 품질 기준 세트의 최대 또는 최소를 보장하는 제어 법칙 또는 영향의 제어 순서를 제공하는 시스템을 설계하는 작업입니다.

최적의 제어 문제를 해결하기 위해 제어되는 개체 또는 프로세스의 수학적 모델이 구성되어 제어 작업 및 자체 현재 상태의 영향을 받아 시간에 따른 동작을 설명합니다. 최적의 제어 문제에 대한 수학적 모델에는 다음이 포함됩니다. 제어 품질 기준을 통해 표현되는 제어 목표의 공식화; 제어 대상의 가능한 이동 방식을 설명하는 미분 또는 차이 방정식의 결정; 방정식이나 불평등의 형태로 사용되는 자원에 대한 제한을 결정합니다.

제어 시스템 설계에 가장 널리 사용되는 방법은 변동 계산, Pontryagin의 최대 원리 및 Bellman 동적 프로그래밍입니다.

때때로(예: 야금 용광로와 같은 복잡한 객체를 관리할 때 또는 경제 정보를 분석할 때) 최적 제어 문제를 설정할 때 제어 객체에 대한 초기 데이터 및 지식에는 기존 방식으로는 처리할 수 없는 불확실하거나 모호한 정보가 포함되어 있습니다. 정량적 방법. 이러한 경우에는 퍼지 집합의 수학적 이론(퍼지 제어)을 기반으로 하는 최적의 제어 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 사용된 개념과 지식은 퍼지 형태로 변환되고, 결정을 도출하기 위한 퍼지 규칙이 결정되며, 퍼지 결정은 다시 물리적 제어 변수로 변환됩니다.

최적 제어 문제

최적의 제어 문제를 공식화해 보겠습니다.

여기에 상태 벡터(제어)가 있습니다. 시간의 초기 및 최종 순간입니다.

최적 제어 문제는 기능을 최소화하는 시간에 대한 상태 및 제어 기능을 찾는 것입니다.

변이의 미적분학

이 최적 제어 문제를 변형 계산의 라그랑주 문제로 생각해 보겠습니다. 극한값에 필요한 조건을 찾기 위해 오일러-라그랑주 정리를 적용합니다. 라그랑주 함수의 형식은 다음과 같습니다. , 경계 조건은 어디에 있습니까? 라그랑지안의 형식은 다음과 같습니다. 여기서 , 는 라그랑주 승수의 n차원 벡터입니다.

이 정리에 따르면 극값의 필요 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

필수 조건(3-5)은 최적의 궤적을 결정하기 위한 기초를 형성합니다. 이러한 방정식을 작성하면 경계 조건의 일부가 초기 순간에 지정되고 나머지는 마지막 순간에 지정되는 2점 경계 문제를 얻습니다. 이러한 문제를 해결하는 방법이 책에 자세히 설명되어 있습니다.

Pontryagin의 최대 원리

Pontryagin 최대 원리의 필요성은 제어 변수의 허용 가능한 범위 중 어느 곳에서도 필수 조건(3), 즉 을 만족할 수 없는 경우에 발생합니다.

이 경우 조건 (3)은 조건 (6)으로 대체됩니다.

이 경우 Pontryagin의 최대 원리에 따르면 최적 제어 값은 허용 범위 끝 중 하나의 제어 값과 같습니다. Pontryagin의 방정식은 관계식으로 정의되는 해밀턴 함수 H를 사용하여 작성됩니다. 방정식으로부터 해밀턴 함수 H는 다음과 같이 라그랑주 함수 L과 관련되어 있습니다. 마지막 방정식의 L을 방정식(3-5)에 대체하면 해밀턴 함수를 통해 표현되는 필수 조건을 얻습니다.

이 형식으로 작성된 필수 조건을 Pontryagin 방정식이라고 합니다. Pontryagin의 최대 원리는 책에서 더 자세히 설명됩니다.

어디에 사용되나요?

최대 원리는 허용되는 제어 간격 내에서 중간 값이 아닌 극단적인 값을 취하는 릴레이형 제어가 사용되는 최대 속도와 최소 에너지 소비를 갖는 제어 시스템에서 특히 중요합니다.

이야기

최적 제어 이론 개발을 위해 L.S. Pontryagin과 그의 협력자 V.G. 볼티안스키, R.V. Gamkrelidze 및 E.F. 미슈첸코는 1962년 레닌상을 수상했다.

동적 프로그래밍 방법

동적 프로그래밍 방법은 Bellman의 최적성 원칙을 기반으로 하며 다음과 같이 공식화됩니다. 최적 제어 전략은 프로세스 시작 시 초기 상태와 제어가 무엇이든 후속 제어가 최적 제어 전략을 구성해야 한다는 특성을 갖습니다. 프로세스의 초기 단계 이후에 얻은 상태입니다. 동적 프로그래밍 방법은 책에 자세히 설명되어 있습니다.

노트

문학

1. 라스트리긴 LA 복잡한 객체를 관리하는 현대적인 원칙. -M .: Sov. 라디오, 1980. - 232p., BBK 32.815, ref. 12000 사본
2. Alekseev V.M., Tikhomirov V.M. , 포민 S.V. 최적의 제어. - M.: Nauka, 1979, UDC 519.6, - 223 pp., 대시. 24000 사본

또한보십시오

위키미디어 재단. 2010.

다른 사전에 "최적 제어"가 무엇인지 확인하십시오.

최적의 제어- 특정 최적성 기준(OC)의 가장 유리한 값을 제공하는 OU 제어로, 주어진 제한 하에서 제어 효과를 특성화합니다. 기술적이든 경제적이든 다양합니다. ... 규범 및 기술 문서 용어에 대한 사전 참고서

최적의 제어- 관리, 그 목적은 관리 품질 지표의 극한 가치를 보장하는 것입니다. [추천용어 모음. 이슈 107. 경영 이론. 소련 과학 아카데미. 과학기술용어위원회. 1984]… 기술 번역가 가이드

최적의 제어- 1. 최적 과정의 수학적 이론의 기본 개념(동일한 이름으로 수학 분과에 속함: "O.u.") ...라는 관점에서 최상의 결과를 제공할 제어 매개변수를 선택하는 것을 의미합니다. 경제수학사전

예를 들어 주어진 조건(종종 모순됨)에서 가능한 최선의 방법으로 목표를 달성할 수 있습니다. 최소한의 시간에 최대의 경제적 효과와 최대의 정확도로... 큰 백과사전

항공기는 선택한 기준의 최대 또는 최소를 제공하는 항공기의 모션 제어 법칙과 궤적을 결정하기 위한 최적화 방법의 개발 및 사용에 전념하는 비행 역학 섹션입니다.... 기술백과사전

비고전적인 변분 문제를 연구하는 수학의 한 분야입니다. 기술이 다루는 물체에는 일반적으로 "방향타"가 장착되어 있으며, 도움을 받아 사람이 움직임을 제어합니다. 수학적으로, 그러한 객체의 행동은 설명됩니다... ... 위대한 소련 백과사전

주어진 조건(종종 모순됨)에서 가능한 최선의 방법(예: 최소 시간, 최대 경제적 효과, 최대 정확도)으로 목표를 달성할 수 있습니다. * * * 최적의 관리 최적의 관리 ... 백과사전

일반적인 경우 자동 제어 시스템은 작동 매개변수 Y가 있는 연산 증폭기 제어 개체, 컨트롤러 P 및 제어를 달성하기 위해 명령 동작(프로그램)을 생성하는 프로그래머(세터) P(그림 6.3)로 구성됩니다. 질적, 양적 요구 사항을 충족해야 목표를 달성할 수 있습니다. 프로그래머는 외부 정보(AND 신호)의 전체성을 고려합니다.

쌀. 6.3. 최적의 제어 구조

최적의 시스템을 만드는 작업은 필요한 제어 목표를 가장 잘 해결하는 주어진 제어 개체에 대한 컨트롤러와 프로그래머를 합성하는 것입니다.
자동 제어 이론에서는 최적 프로그래머의 합성과 최적 컨트롤러의 합성이라는 두 가지 관련 문제가 고려됩니다. 수학적으로는 동일한 방식으로 공식화되고 동일한 방법을 사용하여 해결됩니다. 동시에 작업에는 특정 단계에서 차별화된 접근 방식이 필요한 특정 기능이 있습니다.

최적의 프로그래머(최적 프로그램 제어)가 있는 시스템을 제어 모드 측면에서 최적이라고 합니다. 최적의 컨트롤러를 갖춘 시스템을 일시적 최적이라고 합니다. 컨트롤러와 프로그래머가 최적인 경우 자동 제어 시스템을 최적이라고 합니다.
어떤 경우에는 프로그래머가 주어지고 최적의 컨트롤러만 결정하면 된다고 가정한다.

최적 시스템을 합성하는 문제는 변분 문제 또는 수학적 프로그래밍 문제로 공식화됩니다. 이 경우 제어 객체의 전달 기능 외에도 제어 객체의 제어 동작 및 작동 매개 변수, 경계 조건 및 최적성 기준에 대한 제한 사항이 설정됩니다. 경계(경계) 조건은 초기 및 최종 순간에 객체의 상태를 결정합니다. 시스템 품질의 수치적 지표인 최적성 기준은 일반적으로 함수 형식으로 지정됩니다.

J = J[유(티), y(티)],

어디 유(티) - 제어 조치; 와이(티) – 제어 개체의 매개변수입니다.

최적 제어 문제는 다음과 같이 공식화됩니다. 제어 개체, 제한 사항 및 경계 조건이 주어지면 최적성 기준이 최소(또는 최대) 값을 취하는 제어(프로그래머 또는 컨트롤러)를 찾습니다.

28. 자동화된 프로세스 제어 시스템의 정보 처리. 1차 측정 변환기의 상관 간격과 샘플링 주파수 사이의 관계. 기본 측정 변환기의 샘플링 주파수를 선택합니다.

최적의 적응형 시스템

(강의,통신학부, 5년차)

강의 1.

소개.

고전적인 자동 제어 이론(TAC)에서는 최적화 및 적응 문제가 주로 "소규모" 제어와 관련하여 제기되었습니다. 이는 규제 기관의 설정 조치로 표현되는 기술 프로세스 모드를 변경하기 위한 최적의 프로그램이 알려진 것으로 간주되어 설계 단계에서 결정되었음을 의미합니다. 제어 작업은 이 프로그램을 수행하고 프로그램 동작을 안정화하는 것이었습니다. 이 경우 주어진 동작에서 작은 편차만 허용되었으며 "작은" 일시적인 프로세스는 특정 기준에 따라 최적화되었습니다.

50년대 후반~60년대 초반. XX 세기에 L.S. 일반적으로 받아 들여지는 정의가 아직 존재하지 않는 현대 자동 제어 이론의 기초를 놓은 Pontryagin (최대 원리), R. Bellman (동적 프로그래밍), R. Kalman (최적 필터링, 제어 가능성 및 관찰 가능성).

가장 정확하게는 자동 제어에 대한 현대 이론은 과학 기술 진보, 현대 및 미래 자동화의 요구 사항을 고려하여 기존 TAU와 분리될 수 있습니다. 이러한 요구 사항 중 가장 중요한 것은 최적의 사용제한 사항을 준수하면서 주요 일반 최종 목표를 달성하기 위해 사용 가능한 모든 리소스(에너지, 정보, 컴퓨팅).

우선, 이 최적화를 위해서는 제어된 프로세스 또는 대상의 수학적 모델 형태로 제공되는 선험적 정보를 최대한 활용해야 합니다. 설계 단계뿐만 아니라 시스템 작동 중에도 이러한 모델을 사용하는 것은 현대 자동 제어 이론의 특징 중 하나입니다.

최적의 정보처리가 있어야 최적의 제어가 가능합니다. 따라서 동적 프로세스의 최적(및 차선) 평가(필터링) 이론은 현대 자동 제어 이론의 필수적인 부분입니다.특히 중요한 것은 연산 증폭기의 작동 모드에서 실시간으로 수행되는 파라메트릭 식별(실험 데이터로부터 매개변수 및 특성 추정)입니다.

선험적 정보가 불완전한 조건에서 자동 제어의 진정한 최적화는 현재 환경과 발생한 상황에서 시스템이 작동하는 동안에만 가능합니다. 그러므로 자동 제어에 대한 현대 이론은 다음을 고려해야 합니다. 적응형 최적(차선의) 관리는 "대규모"입니다. 또한 현대의 자동 제어 이론은 중복성 방법과 구조적 신뢰성 보장 방법(특히 오류 발생 시 자동 시스템 재구성 원칙)을 고려해야 합니다.

최적 시스템의 정의, 특징 및 일반적인 특성.

어떤 기술적, 경제적 의미에서 가장 좋은 시스템을 최적이라고 합니다. 주요 특징은 이러한 시스템이 자동으로 해결하는 두 가지 제어 목표가 있다는 것입니다.

제어의 주요 목표는 제어된 값을 주어진 값으로 유지하고 이 값의 결과 편차를 제거하는 것입니다.

최적화의 목표는 최적성 기준(OC)이라고 하는 일부 기술적, 경제적 지표의 극한값을 달성하여 결정된 최고의 제어 품질을 보장하는 것입니다.

최적 시스템은 CO 유형에 따라 정적 최적 시스템과 동적 최적 시스템의 두 가지 클래스로 나뉩니다.

정적으로 최적인 시스템의 경우 QoS는 매개변수 또는 제어 작업의 함수입니다. 이 기준은 시스템의 정적 작동 모드에서 극한값을 가지며, 최적화 제어 동작에 대한 KO의 의존성을 표현하는 정적 특성은 외란의 영향으로 예상치 못한 방식으로 바뀔 수 있습니다. 최적의 시스템은 이 극값을 찾아 유지해야 합니다. 이러한 시스템은 지정된 특성을 변화시키는 외란이 시스템의 과도 프로세스 기간에 비해 상대적으로 느리게 변하는 경우 적용 가능합니다. 그러면 시스템은 거의 정적 모드에서 극한 상황을 추적할 시간을 갖게 됩니다. 이러한 조건은 일반적으로 관리 계층의 최상위 수준에서 충족됩니다.

동적으로 최적인 시스템은 최적성 기준이 함수형, 즉 시간 함수의 함수라는 점에서 구별됩니다. 이는 이 함수가 의존하는 시간 함수를 지정함으로써 함수의 수치 값을 얻는다는 것을 의미합니다. 이러한 시스템은 비교적 빠르게 변화하는 외부 영향 하에서 사용할 수 있지만 허용 한계를 초과하지 않습니다. 따라서 더 낮은 수준의 관리에서 사용됩니다.

1.2. 동적으로 최적인 시스템에 대한 최적 기준

일반적으로 이러한 함수는 시간이 지남에 따라 명확한 적분의 형태를 갖습니다.

어디 x(티), 유(티)- 이 시스템의 상태 및 제어 벡터

T는 프로세스의 지속 시간입니다(특히 T = 가 될 수 있음).

피적분 함수에 따라 에프 0 이러한 기준에는 다음과 같은 주요 유형이 있습니다.

1. 선형 함수 에프 0 - 변수의 선형 함수:

최대 성능 기준: 에프 0 1, 즉

이는 프로세스 기간과 동일하며 해당 시스템은 속도 측면에서 최적이라고 합니다.

선형 적분 추정

최대 성능 기준

,

여기서 q(t)는 생산된 제품의 수량입니다.

2. 2차 함수 에프 0 - 포함된 변수의 2차 형태:

전환 프로세스의 품질에 대한 2차 적분 추정

;

제어를 위한 에너지 소비 기준은 다음과 같습니다.

,

어디 유- 제어 동작, a 및 2 - 제어에 소비되는 전력;

특정 가중치 계수를 사용하여 이전 두 기준의 합과 동일한 일반화된 2차 기준입니다. 이는 전환 프로세스의 품질과 이에 대한 에너지 소비의 절충안을 특징으로 합니다.

,

어디 큐 그리고 아르 자형 양의 정부호 정사각 행렬입니다. 적분을 포함하지 않는 함수:

Minimax 기준은 최적화할 때 참조 변경 법칙에서 제어 프로세스의 편차 벡터의 최대 모듈(표준)의 최소값을 보장하는 데 필요한 것입니다.

, 어디 엑스 e – 표준 변화 법칙.

스칼라 경우에 대한 이 기준의 가장 간단한 예는 알려진 최대 과도 오버슈트입니다.

최종 상태 함수

이는 객체의 최종 상태이기 때문에 기능적입니다. 엑스(T)는 제어 동작의 함수입니다. 유(티). 이 최적성 기준은 정적분의 형태를 갖는 위에서 논의된 기준 중 하나와 조합하여 사용될 수 있습니다.

특정 개체나 시스템에 대한 하나 또는 다른 최적성 기준의 선택은 개체의 작동과 개체에 부과되는 기술 및 경제적 요구 사항에 대한 적절한 연구를 기반으로 이루어집니다. 이 문제는 자동 제어 이론만으로는 해결될 수 없습니다. 최적성 기준의 물리적 의미에 따라 최소화되거나 최대화되어야 합니다. 첫 번째 경우에는 손실을 나타내고, 두 번째 경우에는 기술적, 경제적 이점을 나타냅니다. 공식적으로 함수 앞의 부호를 변경하면 최대화 문제를 최소화 문제로 줄일 수 있습니다.

강의 2.

1.3. 경계 조건 및 제한 사항
동적으로 최적의 시스템을 위한

이러한 시스템에서 제어의 주요 목표는 일반적으로 표현 점을 초기 상태 x(O)에서 최종 상태 x(T)로 전송하는 작업으로 공식화됩니다. 초기 상태를 일반적으로 최적 궤적의 왼쪽 끝이라고 하며 최종 상태를 오른쪽 끝이라고 합니다. 종합하면 이러한 데이터가 경계 조건을 형성합니다. 제어 문제는 경계 조건 유형에 따라 다를 수 있습니다.

1. 궤적의 끝이 고정된 문제다음과 같은 경우에 발생합니다. 엑스(0) 및 엑스(T) 공간의 고정점.

2. 궤적 끝 이동 문제언제 밝혀졌는가 엑스(0) 및 엑스(T)는 알려진 공간의 선이나 표면에 속합니다.

3. 궤적의 자유단 문제지정된 점이 임의의 위치를 ​​차지할 때 발생합니다. 실제로는 혼합된 문제도 있습니다. 예를 들어 엑스(0) - 고정 및 엑스(T 모바일. 이러한 작업은 주어진 고정 상태의 객체가 일부 참조 궤적을 "따라잡아야" 하는 경우 발생합니다(그림 1).

제약조건은 제어 조치와 제어 수량을 충족해야 하는 추가 조건입니다. 제한에는 두 가지 유형이 있습니다.

1. 무조건적인(자연적인) 제한,이는 제어 개체(OU)의 프로세스에 대한 물리적 법칙으로 인해 수행됩니다. 이러한 제한은 일부 수량과 해당 기능이 동등 또는 불평등으로 정의된 경계를 넘어설 수 없음을 보여줍니다. 예를 들어 DC 모터 방정식은 다음과 같습니다.

,

비동기 모터의 속도 제한, 여기서 는 동기 속도입니다.

2. 조건부(인위적) 제한,수량 또는 기능에 대한 요구 사항을 표현하며, 이에 따라 객체의 장기적이고 안전한 작동 조건에서 평등 또는 불평등으로 정의된 경계를 초과해서는 안 됩니다. 예를 들어, 공급 전압 제한, 허용 속도 제한, 가속도 제한 등이 있습니다.

조건부 제한을 보장하려면 해당 제어 장치를 구현할 때 회로 또는 소프트웨어 조치를 취해야 합니다.

유형에 관계없이 등식으로 표현되는 제약 조건은 고전적, 불평등은 비고전적이라고 합니다.

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