도함수 예제를 사용하여 그래프 그리기. 함수를 연구하고 그래프를 그리는 일반적인 방식

한동안 TheBat의 SSL용 내장 인증서 데이터베이스가 제대로 작동하지 않았습니다(이유는 확실하지 않습니다).

게시물을 확인하면 다음과 같은 오류가 나타납니다.

알 수 없는 CA 인증서
서버가 세션에 루트 인증서를 제공하지 않았으며 해당 루트 인증서를 주소록에서 찾을 수 없습니다.
이 연결은 비밀로 할 수 없습니다. 제발
서버 관리자에게 문의하세요.

그리고 YES / NO 중에서 선택할 수 있습니다. 그래서 메일을 삭제할 때마다.

해결책

이 경우 TheBat 설정에서 S/MIME 및 TLS 구현 표준을 Microsoft CryptoAPI로 대체해야 합니다!

모든 파일을 하나로 합쳐야 했기 때문에 먼저 모든 doc 파일을 하나의 pdf 파일로 변환(Acrobat 프로그램 사용)한 후 온라인 변환기를 통해 fb2로 전송했습니다. 파일을 개별적으로 변환할 수도 있습니다. 형식은 doc, jpg, 심지어 zip 아카이브까지 모든 (소스)일 수 있습니다!

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내 인생에서 나는 전기 스토브 수리 문제를 발견했습니다. 나는 이미 많은 일을 했고, 많은 것을 배웠지만 타일과 관련된 일이 거의 없었습니다. 조절기와 버너의 접점을 교체해야 했습니다. 질문이 생겼습니다. 전기 스토브의 버너 직경을 결정하는 방법은 무엇입니까?

대답은 간단했습니다. 아무것도 측정할 필요가 없으며 필요한 크기를 눈으로 쉽게 결정할 수 있습니다.

가장 작은 버너- 145밀리미터(14.5센티미터)입니다.

중간 버너- 180밀리미터(18센티미터)입니다.

그리고 마지막으로 가장 대형 버너- 225밀리미터(22.5센티미터)입니다.

눈으로 크기를 결정하고 버너에 필요한 직경을 이해하는 것으로 충분합니다. 이것을 몰랐을 때 이러한 치수에 대해 걱정했고 측정 방법, 탐색할 가장자리 등을 몰랐습니다. 이제 나는 현명해졌습니다 :) 나도 당신에게 도움이 되었기를 바랍니다!

내 인생에서 나는 그런 문제에 직면했습니다. 나는 유일한 사람이 아니라고 생각합니다.

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전체 연구를 수행하고 함수를 그래프로 표시합니다.

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) 기능의 범위. 함수는 분수이므로 분모의 0을 찾아야 합니다.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

함수 정의 영역에서 유일한 점 x=1x=1을 제외하고 다음을 얻습니다.

D(y)=(-무한대;1)∪(1;+무한대).D(y)=(-무한대;1)∪(1;+무한대).

2) 불연속점 근처에서 함수의 동작을 연구해 보겠습니다. 일방적인 한계를 찾아봅시다:

극한이 무한대와 같기 때문에 점 x=1x=1은 제2종 불연속점이고, 직선 x=1x=1은 수직 점근선입니다.

3) 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 결정합시다.

x=0x=0과 동일시되는 세로축 OyOy와의 교차점을 찾아보겠습니다.

따라서 OyOy 축과의 교차점은 (0;8)(0;8) 좌표를 갖습니다.

y=0y=0으로 설정한 가로축 OxOx와의 교차점을 찾아보겠습니다.

방정식에는 근이 없으므로 OxOx 축과 교차점이 없습니다.

모든 xx에 대해 x2+8>0x2+8>0입니다. 따라서 x∈(−무한대;1)x∈(−무한대;1)의 경우 함수 y>0y>0(양수 값을 취하고 그래프가 x축 위에 있음), x∈(1;+무한대) )x∈(1; +무한대) 함수 y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) 이 함수는 다음과 같은 이유로 짝수도 홀수도 아닙니다.

5) 주기성에 대한 함수를 살펴보겠습니다. 이 함수는 분수 유리함수이므로 주기적이지 않습니다.

6) 극한성과 단조성에 대한 함수를 살펴보겠습니다. 이를 위해 함수의 1차 도함수를 찾습니다.

1차 도함수를 0과 동일시하고 고정점(y′=0y′=0)을 찾아보겠습니다.

우리는 세 가지 중요한 점을 얻었습니다: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. 함수 정의의 전체 영역을 이러한 점을 사용하여 간격으로 나누고 각 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다.

x∈(−무한대;−2),(4;+무한)x∈(−무한대;−2),(4;+무한)에 대해 도함수 y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) 도함수 y′>0y′>0의 경우 함수는 이러한 간격에서 증가합니다.

이 경우 x=−2x=−2는 지역적 최소점(함수는 감소했다가 증가함)이고, x=4x=4는 지역적 최대점(함수는 증가했다가 감소한다)입니다.

다음 지점에서 함수의 값을 찾아 보겠습니다.

따라서 최소점은 (−2;4)(−2;4)이고 최대점은 (4;−8)(4;−8)입니다.

7) 꼬임과 볼록함에 대한 기능을 살펴보겠습니다. 함수의 2차 도함수를 찾아보겠습니다.

2차 도함수를 0과 동일시해 보겠습니다.

결과 방정식에는 근이 없으므로 변곡점이 없습니다. 또한, x∈(−무한대;1)x∈(−무한대;1) y′′>0y″>0이 만족될 때, 즉 함수는 오목함수이고, x∈(1;+무한대)x∈( 1;+ )는 y′′에 의해 충족됩니다.<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) 무한대, 즉 에서 함수의 동작을 살펴보겠습니다.

극한이 무한하기 때문에 수평 점근선은 없습니다.

y=kx+by=kx+b 형식의 경사 점근선을 구해 봅시다. 알려진 공식을 사용하여 k,bk,b 값을 계산합니다.

우리는 함수가 하나의 경사 점근선 y=−x−1y=−x−1을 가지고 있음을 발견했습니다.

9) 추가 포인트. 그래프를 보다 정확하게 구성하기 위해 다른 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) 얻은 데이터를 바탕으로 그래프를 구성하고 점근선 x=1x=1(파란색), y=−x−1y=−x−1(녹색)으로 보완하고 특징점(세로 좌표와 보라색 교차점)을 표시합니다. 축, 주황색 극값, 검은색 추가 점):

작업 4: 기하학적, 경제적 문제(무엇인지 모르겠습니다. 여기에 솔루션 및 공식과 관련된 대략적인 문제 선택이 있습니다)

예제 3.23. ㅏ

해결책. 엑스그리고 와이 와이
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4가 유일한 임계점이므로, 이 점을 통과할 때 미분의 부호가 바뀌는지 확인해 보겠습니다. xa/4 S " > 0의 경우 및 x >a/4 S "의 경우< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

예제 3.24.

해결책.
R = 2, H = 16/4 = 4.

예제 3.22.함수 f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14의 극값을 구합니다.

해결책. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3)이므로 함수의 임계점 x 1 = 2 및 x 2 = 3. 극한값은 다음에서만 가능합니다. 따라서 점 x 1 = 2를 통과할 때 도함수는 그 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하고 이 지점에서 함수는 최대값을 갖습니다. 점 x 2 = 3을 통과할 때 도함수의 부호는 마이너스에서 변경됩니다. 플러스로, 따라서 x 2 = 3 지점에서 함수는 최소값을 갖습니다. 지점에서 함수 값을 계산하면
x 1 = 2 및 x 2 = 3인 경우, 함수의 극값, 즉 최대 f(2) = 14 및 최소 f(3) = 13을 찾습니다.

예제 3.23.돌담 근처에 직사각형 영역을 만들어 철망으로 3면을 막고 네 번째면은 벽에 인접하도록해야합니다. 이를 위해 ㅏ메쉬의 선형 미터. 사이트의 면적이 가장 큰 가로 세로 비율은 얼마입니까?

해결책.플랫폼의 측면을 다음과 같이 표시하겠습니다. 엑스그리고 와이. 사이트의 면적은 S = xy입니다. 허락하다 와이- 벽에 인접한 변의 길이입니다. 그러면 조건에 따라 2x + y = a가 성립해야 합니다. 따라서 y = a - 2x이고 S = x(a - 2x)입니다. 여기서
0 ≤ x ≤ a/2(패드의 길이와 너비는 음수일 수 없음) S " = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4, 여기서
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4가 유일한 임계점이므로, 이 점을 통과할 때 미분의 부호가 바뀌는지 확인해 보겠습니다. xa/4 S " > 0의 경우 및 x >a/4 S "의 경우< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

예제 3.24.용량 V=16p ≒ 50m 3 의 폐쇄형 원통형 탱크를 제조해야 합니다. 제조에 최소한의 재료가 사용되도록 탱크의 크기(반경 R 및 높이 H)는 어떻게 되어야 합니까?

해결책.원통의 전체 표면적은 S = 2pR(R+H)입니다. 우리는 실린더의 부피 V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 를 알고 있습니다. 이는 S(R) = 2p(R 2 +16/R)을 의미합니다. 우리는 이 함수의 미분을 찾습니다:
S"(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p(R- 8/R 2). R 3 = 8인 경우 S "(R) = 0이므로,
R = 2, H = 16/4 = 4.

경제학에서 파생 개념의 적용. 탄력기능

경제 과정을 연구하고 기타 응용 문제를 해결하기 위해 함수의 탄력성 개념이 자주 사용됩니다.

정의.탄력기능
함수의 상대적 증가 비율의 한계라고 합니다. 변수의 상대적 증가분 ~에
, . (Ⅶ)

함수의 탄력성은 함수가 대략 몇 퍼센트 정도 변경되는지를 나타냅니다.
독립변수가 변할 때 1%씩.

탄력성 함수는 수요와 소비를 분석하는 데 사용됩니다. 수요의 탄력성(절대값 기준)
, 다음과 같은 경우 수요가 탄력적이라고 간주됩니다.
─ 중립적인 경우
─ 가격(또는 소득)에 비해 비탄력적입니다.

실시예 10함수의 탄력성을 계산합니다.
에 대한 탄력성 지수 값을 구합니다. = 3.

풀이: 공식 (VII)에 따르면 함수의 탄력성은 다음과 같습니다.

x=3이라고 하면
.즉, 독립변수가 1% 증가하면 종속변수의 값도 1.42% 증가한다는 의미입니다.

실시예 11수요기능을 시키자 가격에 관해서 처럼 보인다
, 어디 ─ 상수 계수. 가격 x = 3den에서 수요함수의 탄력성 지표 값을 구합니다. 단위

해결 방법: 공식 (VII)을 사용하여 수요 함수의 탄력성을 계산합니다.

믿음
화폐 단위, 우리는 얻습니다
. 즉, 가격에
화폐 단위 즉, 가격이 1% 상승하면 수요는 6% 감소합니다. 수요는 탄력적이다.

미분학의 가장 중요한 작업 중 하나는 함수의 동작을 연구하는 일반적인 예를 개발하는 것입니다.

함수 y=f(x)가 구간 에서 연속이고 그 도함수가 구간 (a,b)에서 양수이거나 0과 같으면 y=f(x)는 (f"(x)0)만큼 증가합니다. 함수 y=f(x)가 세그먼트에서 연속이고 그 도함수가 구간 (a,b)에서 음수이거나 0과 같으면 y=f(x)는 (f"(x)0만큼 감소합니다. )

함수가 감소하거나 증가하지 않는 구간을 함수의 단조성 구간이라고 합니다. 함수의 단조성은 1차 도함수의 부호가 변경되는 정의 영역의 지점에서만 변경될 수 있습니다. 함수의 1차 도함수가 사라지거나 불연속성을 갖는 지점을 임계 지점이라고 합니다.

정리 1(극값이 존재하기 위한 첫 번째 충분조건)

함수 y=f(x)를 점 x 0에서 정의하고 함수가 구간에서 연속이고 구간 (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , 그리고 그 도함수는 이러한 각 구간에서 상수 부호를 유지합니다. 그런 다음 x 0 -δ,x 0) 및 (x 0 , x 0 +δ)에서 도함수의 부호가 다르면 x 0은 극점이고 일치하면 x 0은 극점이 아닙니다. . 또한, x0 지점을 통과할 때 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되면(x 0의 왼쪽 f"(x)>0이 충족되면 x 0이 최대 점입니다. 도함수의 부호가 다음에서 변경되면 마이너스에서 플러스로(x 0의 오른쪽으로 실행됨 f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

함수의 최대값과 최소값을 함수의 극값이라고 하며, 함수의 최대값과 최소값을 극값이라고 합니다.

정리 2(국소 극값의 필수 부호).

함수 y=f(x)가 현재 x=x 0에서 극값을 가지면 f'(x 0)=0 또는 f'(x 0)이 존재하지 않습니다.
미분 함수의 극점에서 그래프의 접선은 Ox 축과 평행합니다.

극값에 대한 함수를 연구하기 위한 알고리즘:

1) 함수의 미분을 구합니다.
2) 중요한 점을 찾으십시오. 함수가 연속이고 도함수가 0이거나 존재하지 않는 지점.
3) 각 점의 이웃을 고려하고, 이 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 도함수의 부호를 조사합니다.
4) 극점의 좌표를 결정하고 이를 위해 임계점의 값을 이 함수에 대체합니다. 극값에 대한 충분한 조건을 사용하여 적절한 결론을 도출합니다.

예제 18. 극값에 대한 함수 y=x 3 -9x 2 +24x 조사

해결책.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) 도함수를 0으로 동일시하면 x 1 =2, x 2 =4를 알 수 있습니다. 이 경우 도함수는 모든 곳에서 정의됩니다. 이는 발견된 두 지점 외에 다른 중요한 지점이 없음을 의미합니다.
3) 도함수 y"=3(x-2)(x-4)의 부호는 그림 1과 같이 간격에 따라 변화한다. x=2 점을 지날 때 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 바뀌고, x=4 지점을 통과할 때 - 마이너스에서 플러스로.
4) x=2 지점에서 함수의 최대 y max =20을 가지며 x=4 지점에서 최소 y min =16을 갖습니다.

정리 3. (극값이 존재하기 위한 두 번째 충분조건)

f"(x 0)라고 하고 x 0 지점에 f""(x 0)이 존재합니다. 그러면 f""(x 0)>0이면 x 0이 최소 지점이고 f""(x이면 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

세그먼트에서 함수 y=f(x)는 구간(a;b)에 있는 함수의 임계점에서 가장 작은 값(y가 가장 작음) 또는 가장 큰 값(y가 가장 높음)에 도달할 수 있습니다. 세그먼트의 끝.

세그먼트에서 연속 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘:

1) f"(x)를 구하세요.
2) f"(x)=0 또는 f"(x)가 존재하지 않는 지점을 찾아 세그먼트 내부에 있는 지점을 선택합니다.
3) 2)단계에서 얻은 점과 세그먼트의 끝에서 함수 y=f(x)의 값을 계산하고 그 중에서 가장 큰 점과 가장 작은 점을 선택합니다. 구간에 대한 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값(y는 가장 작은 값)입니다.

예제 19. 세그먼트에서 연속 함수 y=x 3 -3x 2 -45+225의 가장 큰 값을 찾습니다.

1) 세그먼트에 y"=3x 2 -6x-45가 있습니다.
2) 모든 x에 대해 도함수 y"가 존재합니다. y"=0인 점을 찾아보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 지점에서 함수의 값을 계산합니다.
세그먼트에는 x=5 점만 포함되어 있습니다. 함수에서 찾은 값 중 가장 큰 값은 225이고, 가장 작은 값은 50입니다. 따라서 y max = 225, y min = 50입니다.

볼록성에 대한 함수 연구

그림은 두 가지 기능의 그래프를 보여줍니다. 첫 번째는 위쪽으로 볼록하고 두 번째는 아래쪽으로 볼록합니다.

함수 y=f(x)는 구간에서 연속이고 구간 (a;b)에서 미분 가능하며, axb에 대해 해당 그래프가 다음보다 높지(낮지 않음)인 경우 이 구간에서 위쪽으로 볼록(아래로)이라고 합니다. 임의의 점 M 0 (x 0 ;f(x 0))에서 그려진 접선, 여기서 axb.

정리 4. 함수 y=f(x)가 세그먼트의 내부 점 x에서 2차 도함수를 갖고 이 세그먼트의 끝에서 연속이라고 가정합니다. 그런 다음 부등식 f""(x)0이 구간 (a;b)에서 유지되면 함수는 구간 에서 아래쪽으로 볼록합니다. 부등식 f""(x)0이 구간 (a;b)에서 유지되면 함수는 에서 위쪽으로 볼록합니다.

정리 5. 함수 y=f(x)가 구간 (a;b)에서 2차 도함수를 갖고 x 0 지점을 통과할 때 부호가 변경되면 M(x 0 ;f(x 0))은 다음과 같습니다. 변곡점.

변곡점을 찾는 규칙:

1) f""(x)가 존재하지 않거나 사라지는 지점을 찾으십시오.
2) 첫 번째 단계에서 찾은 각 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 기호 f""(x)를 검사합니다.
3) 정리 4를 바탕으로 결론을 도출한다.

예제 20. 함수 y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 그래프의 극점과 변곡점을 구합니다.

f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2입니다. x 1 =0, x 2 =1일 때 분명히 f"(x)=0입니다. x=0 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경하지만 x=1 지점을 통과할 때는 부호를 변경하지 않습니다. 이는 x=0이 최소점(y min =12)이고 x=1 지점에 극값이 없음을 의미합니다. 다음으로 우리는 . 2차 도함수는 x 1 =1, x 2 =1/3 지점에서 사라집니다. 2차 미분의 부호는 다음과 같이 변경됩니다. 광선(- 0;)에는 f""(x)>0이 있고, 간격(;1)에는 f""(x)가 있습니다.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. 따라서 x=는 함수 그래프의 변곡점(볼록성에서 위쪽으로의 볼록성으로의 전환)이고 x=1은 또한 변곡점(볼록성에서 위쪽으로의 볼록성으로의 전환)입니다. x=이면 y=; 그렇다면 x=1, y=13입니다.

그래프의 점근선을 찾는 알고리즘

I. x → a로 y=f(x)이면 x=a는 수직 점근선입니다.
II. y=f(x)가 x → 또는 x → - 이라면, y=A는 수평 점근선입니다.
III. 경사 점근선을 찾기 위해 다음 알고리즘을 사용합니다.
1) 계산합니다. 극한이 존재하고 b와 같으면 y=b는 수평 점근선입니다. 이면 두 번째 단계로 이동합니다.
2) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 그것이 존재하고 k와 같으면 세 번째 단계로 이동합니다.
3) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 b와 같으면 네 번째 단계로 이동합니다.
4) 경사 점근선 y=kx+b의 방정식을 적어보세요.

예제 21: 함수의 점근선 찾기

1)
2)
3)
4) 경사 점근선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

함수를 연구하고 그래프를 구성하는 방식

I. 함수 정의 영역을 찾아보세요.
II. 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 찾습니다.
III. 점근선을 찾으세요.
IV. 가능한 극점을 찾아보세요.
V. 중요한 점을 찾으십시오.
6. 보조 그림을 사용하여 1차 도함수와 2차 도함수의 부호를 탐색합니다. 함수의 증가 및 감소 영역을 결정하고 그래프의 볼록한 방향, 극한점 및 변곡점을 찾습니다.
Ⅶ. 단락 1-6에서 수행된 연구를 고려하여 그래프를 구성하십시오.

예제 22: 위 다이어그램에 따라 함수의 그래프를 구성합니다.

해결책.
I. 함수의 정의역은 x=1을 제외한 모든 실수의 집합입니다.
II. 방정식 x 2 +1=0에는 실수 근이 없으므로 함수 그래프에는 Ox 축과 교차점이 없지만 점 (0;-1)에서 Oy 축과 교차합니다.
III. 점근선의 존재에 대한 문제를 명확히 해보자. 불연속점 x=1 근처에서 함수의 동작을 연구해 보겠습니다. y → IGHT는 x → -로, y → +는 x → 1+로, 직선 x=1은 함수 그래프의 수직 점근선입니다.
x → +무한대(x → -무한대)라면, y → +무한대(y → -무한대); 따라서 그래프에는 수평 점근선이 없습니다. 게다가 한계의 존재로부터

방정식 x 2 -2x-1=0을 풀면 두 가지 가능한 극점을 얻을 수 있습니다.
x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2

V. 임계점을 찾기 위해 2차 도함수를 계산합니다.

f""(x)는 사라지지 않으므로 임계점은 없습니다.
6. 1차 도함수와 2차 도함수의 부호를 살펴보겠습니다. 고려해야 할 가능한 극점: x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2, 함수의 존재 영역을 간격 (-;1-√2),(1-√2;1)으로 나눕니다. +√2) 및 (1+√2;+무한대).

이러한 각 간격에서 미분은 첫 번째 - 플러스, 두 번째 - 마이너스, 세 번째 - 플러스의 부호를 유지합니다. 1차 도함수의 부호 순서는 +,-,+와 같이 작성됩니다.
함수는 (-무한대;1-√2)에서 증가하고, (1-√2;1+√2)에서 감소하고, (1+√2;+무한대)에서 다시 증가하는 것을 발견했습니다. 극점: x=1-√2에서 최대값, x=1+√2에서 최소값 f(1-√2)=2-2√2, f(1+√2)=2+2√2. (-무한대;1)에서 그래프는 위쪽으로 볼록하고, (1;+무한대)에서는 아래쪽으로 볼록합니다.
VII 얻은 값을 표로 만들어보자

VIII 얻은 데이터를 바탕으로 함수 그래프의 스케치를 구성합니다.