Čo je to konvexný mnohouholník. Mnohouholník, konvexný mnohouholník, štvoruholník
V 8. ročníku sa žiaci na hodinách geometrie v škole po prvý raz oboznamujú s pojmom konvexný mnohouholník. Veľmi skoro sa dozvedia, že táto figúrka má veľmi zaujímavú vlastnosť. Bez ohľadu na to, aký zložitý môže byť, súčet všetkých vnútorných a vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka nadobúda presne definovanú hodnotu. V tomto článku učiteľ matematiky a fyziky hovorí o tom, aký je súčet uhlov konvexného mnohouholníka.
Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka
Ako dokázať tento vzorec?
Predtým, ako pristúpime k dôkazu tohto tvrdenia, pripomenieme, ktorý mnohouholník sa nazýva konvexný. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak leží celý na jednej strane čiary obsahujúcej niektorú z jeho strán. Napríklad ten, ktorý je zobrazený na tomto obrázku:
Ak polygón nespĺňa uvedenú podmienku, potom sa nazýva nekonvexný. Napríklad takto:
Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka je , kde je počet strán mnohouholníka.
Dôkaz tejto skutočnosti je založený na vete o súčte uhlov v trojuholníku, dobre známej všetkým školákom. Som si istý, že túto vetu poznáte. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je .
Cieľom je rozdeliť konvexný mnohouholník na viacero trojuholníkov. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi. V závislosti od toho, ktorú metódu zvolíme, sa dôkazy budú mierne líšiť.
1. Rozdeľte konvexný mnohouholník na trojuholníky všetkými možnými uhlopriečkami nakreslenými z nejakého vrcholu. Je ľahké pochopiť, že potom bude náš n-uholník rozdelený na trojuholníky:
Navyše súčet všetkých uhlov všetkých výsledných trojuholníkov sa rovná súčtu uhlov nášho n-uholníka. Koniec koncov, každý uhol vo výsledných trojuholníkoch je čiastočným uhlom v našom konvexnom mnohouholníku. To znamená, že požadované množstvo sa rovná .
2. Môžete tiež vybrať bod vnútri konvexného mnohouholníka a spojiť ho so všetkými vrcholmi. Potom bude náš n-uholník rozdelený na trojuholníky:
Okrem toho sa súčet uhlov nášho mnohouholníka v tomto prípade bude rovnať súčtu všetkých uhlov všetkých týchto trojuholníkov mínus stredový uhol, ktorý sa rovná . To znamená, že požadované množstvo sa opäť rovná .
Súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka
Položme si teraz otázku: „Aký je súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka? Na túto otázku možno odpovedať nasledujúcim spôsobom. Každý vonkajší roh susedí so zodpovedajúcim vnútorným rohom. Preto sa rovná:
Potom súčet všetkých vonkajších uhlov je . To znamená, že sa rovná .
To je veľmi vtipný výsledok. Ak odložíme postupne jeden po druhom všetky vonkajšie rohy akéhokoľvek konvexného n-uholníka, potom bude vyplnená presne celá rovina.
Tento zaujímavý fakt možno ilustrovať nasledovne. Proporcionálne zmenšme všetky strany nejakého konvexného mnohouholníka, kým sa nezlúči do bodu. Potom sa všetky vonkajšie rohy odložia jeden od druhého a vyplnia tak celú rovinu.
Zaujímavý fakt, však? A takých faktov je v geometrii veľa. Učte sa teda geometriu, milí študenti!
Materiál o tom, čomu sa rovná súčet uhlov konvexného mnohouholníka, pripravil Sergey Valerievich
Určenie konvexnosti mnohouholníka.
Algoritmus Kyrus-Back predpokladá konvexný polygón, ktorý sa má použiť ako okno.
V praxi však pomerne často vzniká problém odrezania polygónom a informácie o tom, či je konvexný alebo nie, nie sú na začiatku špecifikované. V tomto prípade je potrebné pred začatím procesu orezávania určiť, či je daný polygón konvexný alebo nie.
Uveďme niekoľko definícií konvexnosti mnohouholníka
Mnohouholník sa považuje za konvexný, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
1) v konvexnom mnohouholníku sú všetky vrcholy umiestnené na jednej strane čiary nesúcej akúkoľvek hranu (na vnútornej strane danej hrany);
2) všetky vnútorné uhly mnohouholníka sú menšie ako 180°;
3) všetky diagonály spájajúce vrcholy mnohouholníka ležia vo vnútri tohto mnohouholníka;
4) všetky rohy polygónu sa obchádzajú v rovnakom smere (obr. 3.3‑1).
Na vytvorenie analytickej reprezentácie posledného kritéria konvexnosti používame vektorový súčin.
vektorový produkt W dva vektory a a b (Obr. 3.3-2 a) definovaný ako:
Ax,ay,az a bx,by,bz a a b,
- i, j, k– jednotkové vektory pozdĺž súradnicových osí X , Y , Z .
 |
Ryža.3.3 ‑ 1
Ryža.3.3 ‑ 2
Ak uvažujeme dvojrozmerné zobrazenie mnohouholníka ako jeho zobrazenie v súradnicovej rovine XY trojrozmerného súradnicového systému X ,Y ,Z (obr. 3.3-2 b ), potom výraz pre vznik krížového súčinu vektorov U a V, kde sú vektory U a V sú susedné hrany, ktoré tvoria roh mnohouholníka, možno zapísať ako determinant:
Vektor krížového súčinu je kolmý na rovinu, v ktorej sa vektory faktorov nachádzajú. Smer vektora produktu je určený pravidlom gimlet alebo pravidlom pravotočivej skrutky.
Pre prípad znázornený na obr. 3.3‑2 b), vektor W, zodpovedajúce vektorovému súčinu vektorov V, U, bude mať rovnakú smerovosť ako smer súradnicovej osi Z.
Berúc do úvahy skutočnosť, že projekcie vektorov-faktorov na osi Z sú v tomto prípade rovné nule, vektorový súčin môže byť reprezentovaný ako:
(3.3-1)
Jednotkový vektor k vždy kladné, teda znamienko vektora w vektorový produkt bude určený iba znamienkom determinantu D vo vyššie uvedenom výraze. Všimnite si, že na základe vlastnosti vektorového súčinu pri preusporiadaní faktorových vektorov U a V vektorový znak w sa zmení na opak.
Z toho vyplýva, že ak ako vektory V a U zvážte dve susedné hrany mnohouholníka, potom poradie enumerácie vektorov vo vektorovom súčine môže byť v súlade s obchádzaním uvažovaného rohu mnohouholníka alebo hrán tvoriacich tento roh. To nám umožňuje použiť pravidlo ako kritérium na určenie konvexnosti mnohouholníka:
ak je pre všetky dvojice hrán mnohouholníka splnená nasledujúca podmienka:
 |
Ak sa znamienka vektorových produktov pre jednotlivé uhly nezhodujú, potom polygón nie je konvexný.
Keďže hrany polygónu sú špecifikované ako súradnice ich koncových bodov, je vhodnejšie použiť determinant na určenie znamienka krížového súčinu.
Konvexná množina bodov v rovine.
Množina bodov v rovine alebo v trojrozmernom priestore sa nazýva konvexné, ak ľubovoľné dva body tejto množiny môžu byť spojené úsečkou, ktorá leží úplne v tejto množine.
Veta 1. Priesečník konečného počtu konvexných množín je konvexná množina.
Dôsledok. Priesečník konečného počtu konvexných množín je konvexná množina.
rohové body.
Hraničný bod konvexnej množiny sa nazýva hranatý, ak je možné cez ňu nakresliť úsečku, ktorej všetky body nepatria do danej množiny.
Množiny rôznych tvarov môžu mať konečný alebo nekonečný počet rohových bodov.
Konvexný mnohouholník.
Polygón volal konvexné, ak leží na jednej strane každej priamky prechádzajúcej jej dvoma susednými vrcholmi.
Veta: Súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180˚ *(n-2)
6) Riešenie sústav m lineárnych nerovníc s dvoma premennými
Daný je systém m lineárnych nerovností s dvoma premennými
Príznaky niektorých alebo všetkých nerovností môžu byť ≥.
Zvážte prvú nerovnosť v súradnicovom systéme X1OX2. Postavme rovnú čiaru
čo je hraničná čiara.
Táto priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny 1 a 2 (obr. 19.4).
Polovičná rovina 1 obsahuje počiatok, polovičná rovina 2 počiatok neobsahuje.
Na určenie, na ktorej strane hraničnej čiary sa daná polrovina nachádza, je potrebné vziať ľubovoľný bod na rovine (lepšie počiatok) a dosadiť súradnice tohto bodu do nerovnosti. Ak je nerovnosť pravdivá, potom je polrovina otočená smerom k tomuto bodu, ak nie je pravdivá, tak v opačnom smere od bodu.
Smer polroviny na obrázkoch je znázornený šípkou.
Definícia 15. Riešením každej nerovnosti systému je polrovina obsahujúca hraničnú čiaru a umiestnená na jej jednej strane.
Definícia 16. Priesečník polrovín, z ktorých každá je určená zodpovedajúcou nerovnosťou systému, sa nazýva oblasť riešenia systému (SR).
Definícia 17. Oblasť riešenia systému, ktorý spĺňa podmienky nezápornosti (xj ≥ 0, j =), sa nazýva oblasť nezáporných alebo prípustných riešení (ODS).
Ak je systém nerovností konzistentný, potom OP a ODE môže byť mnohosten, neohraničená mnohostenná oblasť alebo jeden bod.
Ak je systém nerovností nekonzistentný, potom OR a ODR sú prázdnou množinou.
Príklad 1
Riešenie. Nájdite ALEBO prvej nerovnosti: x1 + 3x2 ≥ 3. Zostrojme hraničnú čiaru x1 + 3x2 - 3 = 0 (obr. 19.5). Dosaďte súradnice bodu (0,0) do nerovnice: 1∙0 + 3∙0 > 3; keďže súradnice bodu (0,0) to nevyhovujú, tak riešením nerovnosti (19.1) je polrovina, ktorá neobsahuje bod (0,0).
Podobne nájdeme riešenia na zostávajúce nerovnosti systému. Získame, že OP a ODE sústavy nerovníc je konvexný mnohosten ABCD.
Nájdite rohové body mnohostenu. Bod A je definovaný ako priesečník čiar
Vyriešením systému dostaneme A(3/7, 6/7).
Bod B nájdeme ako priesečník čiar
Zo systému dostaneme B(5/3, 10/3). Podobne zistíme súradnice bodov C a D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Príklad 2. Nájdite OR a ODR systému nerovností
Riešenie. Zostrojme priamky a určme riešenia nerovníc (19.5)-(19.7). OR a ODR sú neohraničené polyedrické oblasti ACFM a ABDEKM (obr. 19.6).
Príklad 3. Nájdite OR a ODR systému nerovností
Riešenie. Nájdeme riešenia nerovníc (19.8)-(19.10) (obr. 19.7). OP predstavuje neohraničenú polyedrickú oblasť ABC; RSO - bod B.
Príklad 4. Nájdite OP a ODS systému nerovností
Riešenie. Po zostrojení priamych čiar nájdeme riešenia nerovností systému. OR a ODR sú nekompatibilné (obr. 19.8).
CVIČENIA
Nájdite OR a ODR systémov nerovností
Veta. Ak xn ® a, potom .
Dôkaz. Z xn ® a vyplýva, že . V rovnakom čase:
Tie. , t.j. . Veta bola dokázaná.
Veta. Ak xn ® a, tak postupnosť (xn) je ohraničená.
Treba si uvedomiť, že opačné tvrdenie nie je pravdivé, t.j. ohraničenosť postupnosti neznamená jej konvergenciu.
Napríklad postupnosť nemá žiadne obmedzenie
Rozšírenie funkcií do mocninových radov.
Rozšírenie funkcií v mocninnom rade má veľký význam pre riešenie rôznych problémov štúdia funkcií, diferenciácie, integrácie, riešenia diferenciálnych rovníc, výpočtu limitov, výpočtu približných hodnôt funkcie.
Celkovo dostaneme:
Zvážte spôsob rozšírenia funkcie do radu pomocou integrácie.
Pomocou integrácie je možné v rade expandovať takú funkciu, pre ktorú je expanzia v rade jej derivácie známa alebo sa dá ľahko nájsť.
Nájdeme diferenciál funkcie a integrujeme ho v rozsahu od 0 do x.
Koncept mnohouholníka
Definícia 1
mnohouholník nazývaný geometrický útvar v rovine, ktorý pozostáva z párovo prepojených segmentov, z ktorých susedné neležia na jednej priamke.
V tomto prípade sú segmenty tzv polygónové strany, a ich konce sú polygónové vrcholy.
Definícia 2
$n$-uholník je mnohouholník s $n$ vrcholmi.
Typy polygónov
Definícia 3
Ak polygón leží vždy na jednej strane akejkoľvek priamky prechádzajúcej jeho stranami, potom sa polygón nazýva konvexné(obr. 1).
Obrázok 1. Konvexný mnohouholník
Definícia 4
Ak mnohouholník leží na opačných stranách aspoň jednej priamky prechádzajúcej jeho stranami, potom sa mnohouholník nazýva nekonvexný (obr. 2).
Obrázok 2. Nekonvexný mnohouholník
Súčet uhlov mnohouholníka
Zavedieme vetu o súčte uhlov -uholníka.
Veta 1
Súčet uhlov konvexného -uholníka je definovaný nasledovne
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Dôkaz.
Dostaneme konvexný mnohouholník $A_1A_2A_3A_4A_5\bodky A_n$. Pripojte jeho vrchol $A_1$ k všetkým ostatným vrcholom daného polygónu (obr. 3).
Obrázok 3
Pri takomto spojení dostaneme $n-2$ trojuholníky. Sčítaním ich uhlov dostaneme súčet uhlov daného -gonu. Keďže súčet uhlov trojuholníka je $(180)^0,$, dostaneme, že súčet uhlov konvexného -uholníka je určený vzorcom
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Veta bola dokázaná.
Pojem štvoruholník
Pomocou definície $2$ je ľahké zaviesť definíciu štvoruholníka.
Definícia 5
Štvoruholník je mnohouholník s $4$ vrcholmi (obr. 4).
Obrázok 4. Štvoruholník
Pre štvoruholník sú podobne definované pojmy konvexný štvoruholník a nekonvexný štvoruholník. Klasickými príkladmi konvexných štvoruholníkov sú štvorec, obdĺžnik, lichobežník, kosoštvorec, rovnobežník (obr. 5).
Obrázok 5. Konvexné štvoruholníky
Veta 2
Súčet uhlov konvexného štvoruholníka je $(360)^0$
Dôkaz.
Podľa vety $1$ vieme, že súčet uhlov konvexného -gon je určený vzorcom
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Preto súčet uhlov konvexného štvoruholníka je
\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Veta bola dokázaná.
Konvexný štvoruholník je obrazec pozostávajúci zo štyroch strán navzájom spojených vo vrcholoch, ktoré spolu so stranami zvierajú štyri uhly, pričom samotný štvoruholník je vždy v rovnakej rovine vzhľadom na priamku, na ktorej leží jedna z jeho strán. Inými slovami, celá postava je na jednej strane ktorejkoľvek z jej strán.
V kontakte s
Ako vidíte, definícia je celkom ľahko zapamätateľná.
Základné vlastnosti a typy
Takmer všetky postavy, ktoré sú nám známe, pozostávajúce zo štyroch rohov a strán, možno pripísať konvexným štvoruholníkom. Možno rozlíšiť nasledovné:
- rovnobežník;
- námestie;
- obdĺžnik;
- lichobežník;
- kosoštvorec.
Všetky tieto obrazce spája nielen to, že sú štvoruholníkové, ale aj to, že sú aj vypuklé. Stačí sa pozrieť na schému:
Na obrázku je znázornený konvexný lichobežník. Tu môžete vidieť, že lichobežník je v rovnakej rovine alebo na jednej strane segmentu. Ak vykonáte podobné akcie, môžete zistiť, že v prípade všetkých ostatných strán je lichobežník konvexný.
Je rovnobežník konvexný štvoruholník?
Hore je obrázok rovnobežníka. Ako je možné vidieť z obrázku, rovnobežník je tiež konvexný. Ak sa pozriete na obrázok vzhľadom na čiary, na ktorých ležia segmenty AB, BC, CD a AD, je zrejmé, že je vždy v rovnakej rovine z týchto čiar. Hlavnými znakmi rovnobežníka sú, že jeho strany sú párovo rovnobežné a rovnaké rovnakým spôsobom, ako sa navzájom rovnajú protiľahlé uhly.
Teraz si predstavte štvorec alebo obdĺžnik. Podľa ich hlavných vlastností sú tiež rovnobežníky, to znamená, že všetky ich strany sú usporiadané v pároch paralelne. Len v prípade obdĺžnika môže byť dĺžka strán rôzna a uhly sú pravé (rovnajúce sa 90 stupňom), štvorec je obdĺžnik, v ktorom sú všetky strany rovnaké a uhly sú tiež pravé, zatiaľ čo dĺžky strany a uhly rovnobežníka môžu byť rôzne.
Výsledkom je súčet všetkých štyroch rohov štvoruholníka musí byť rovný 360 stupňom. Najjednoduchší spôsob, ako to určiť, je obdĺžnik: všetky štyri rohy obdĺžnika sú správne, to znamená, že sa rovnajú 90 stupňom. Súčet týchto 90-stupňových uhlov dáva 360 stupňov, inými slovami, ak pridáte 90 stupňov 4-krát, dostanete požadovaný výsledok.
Vlastnosť uhlopriečok konvexného štvoruholníka
Uhlopriečky konvexného štvoruholníka sa pretínajú. Tento jav možno skutočne pozorovať vizuálne, stačí sa pozrieť na obrázok:
Obrázok vľavo zobrazuje nekonvexný štvoruholník alebo štvoruholník. Ako si praješ. Ako vidíte, uhlopriečky sa nepretínajú, teda aspoň nie všetky. Na pravej strane je konvexný štvoruholník. Tu je už pozorovaná vlastnosť uhlopriečok pretínať sa. Rovnakú vlastnosť možno považovať za znak konvexnosti štvoruholníka.
Ďalšie vlastnosti a znaky konvexnosti štvoruholníka
Konkrétne podľa tohto pojmu je veľmi ťažké pomenovať nejaké konkrétne vlastnosti a vlastnosti. Jednoduchšie je izolovať podľa rôznych druhov štvoruholníkov tohto typu. Môžete začať s rovnobežníkom. Už vieme, že ide o štvoruholníkový obrazec, ktorého strany sú párovo rovnobežné a rovnaké. Zároveň to zahŕňa aj vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka navzájom sa pretínať, ako aj znamenie konvexnosti samotného obrazca: rovnobežník je vždy v rovnakej rovine a na jednej strane vzhľadom na akúkoľvek jeho strán.
takže, hlavné vlastnosti a vlastnosti sú známe:
- súčet uhlov štvoruholníka je 360 stupňov;
- diagonály obrazcov sa pretínajú v jednom bode.
Obdĺžnik. Tento obrazec má všetky rovnaké vlastnosti a vlastnosti ako rovnobežník, ale všetky jeho uhly sú rovné 90 stupňom. Odtiaľ názov, obdĺžnik.
Štvorec, rovnaký rovnobežník, ale jeho rohy sú správne, ako obdĺžnik. Z tohto dôvodu sa štvorec zriedka nazýva obdĺžnik. Ale hlavným rozlišovacím znakom štvorca, okrem tých, ktoré už boli uvedené vyššie, je, že všetky jeho štyri strany sú rovnaké.
Lichobežník je veľmi zaujímavá postava.. Toto je tiež štvoruholník a tiež konvexný. V tomto článku sa už lichobežník zvažoval pomocou príkladu výkresu. Je jasné, že je tiež vypuklá. Hlavným rozdielom, a teda aj znakom lichobežníka, je to, že jeho strany sa nemôžu navzájom absolútne rovnať v dĺžke, ako aj v hodnote jeho uhlov. V tomto prípade zostáva obrazec vždy v rovnakej rovine vzhľadom na ktorúkoľvek z priamych čiar, ktoré spájajú akékoľvek dva jeho vrcholy pozdĺž segmentov tvoriacich obrazec.
Rovnako zaujímavou postavou je kosoštvorec. Čiastočne kosoštvorec možno považovať za štvorec. Znakom kosoštvorca je skutočnosť, že jeho uhlopriečky sa nielen pretínajú, ale aj rozdeľujú rohy kosoštvorca na polovicu a samotné uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle, to znamená, že sú kolmé. Ak sú dĺžky strán kosoštvorca rovnaké, potom sú uhlopriečky tiež rozdelené na polovicu v priesečníku.
Deltoidy alebo konvexné kosoštvorce (košoštvorce) môžu mať rôzne dĺžky strán. Zároveň sa však stále zachovávajú hlavné vlastnosti a vlastnosti samotného kosoštvorca, ako aj vlastnosti a vlastnosti konvexnosti. To znamená, že môžeme pozorovať, že uhlopriečky pretínajú rohy a pretínajú sa v pravých uhloch.
Dnešnou úlohou bolo zvážiť a pochopiť, čo sú konvexné štvoruholníky, čo sú a aké sú ich hlavné znaky a vlastnosti. Pozor! Ešte raz je potrebné pripomenúť, že súčet uhlov konvexného štvoruholníka je 360 stupňov. Obvod obrázkov sa napríklad rovná súčtu dĺžok všetkých segmentov tvoriacich obrázok. Vzorce na výpočet obvodu a plochy štvoruholníkov sa budú diskutovať v nasledujúcich článkoch.
Typy konvexných štvoruholníkov
