Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie dvoch premenných v uzavretej doméne

V úlohe B14 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky potrebujete nájsť najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu funkcie jednej premennej. Ide o pomerne triviálny problém z matematickej analýzy a práve z tohto dôvodu sa ho každý absolvent strednej školy môže a mal naučiť normálne riešiť. Pozrime sa na niekoľko príkladov, ktoré riešili školáci počas diagnostických prác z matematiky, konaných v Moskve 7. decembra 2011.

V závislosti od intervalu, v ktorom chcete nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie, sa na vyriešenie tohto problému použije jeden z nasledujúcich štandardných algoritmov.

I. Algoritmus na nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie na segmente:

Nájdite deriváciu funkcie.
Z bodov podozrivých z extrému vyberte tie, ktoré patria do daného segmentu a domény definície funkcie.
Vypočítajte hodnoty funkcie(nie odvodené!) v týchto bodoch.
Medzi získanými hodnotami vyberte najväčšiu alebo najmenšiu, bude to požadovaná.

Príklad 1 Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie
r = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 v segmente.

Riešenie: Postupujeme podľa algoritmu na nájdenie najmenšej hodnoty funkcie na segmente:

Rozsah funkcie nie je obmedzený: D Y) = R.
Derivácia funkcie sa rovná: y' = 3X 2 – 36X+ 81. Definičný obor derivácie funkcie tiež nie je obmedzený: D Y') = R.
Nuly derivátu: y' = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, čo znamená X 2 – 12X+ 27 = 0, odkiaľ X= 3 a X= 9, náš interval zahŕňa iba X= 9 (jeden bod podozrivý pre extrém).
Hodnotu funkcie nájdeme v bode podozrivom z extrému a na okrajoch medzery. Pre zjednodušenie výpočtu uvádzame funkciu v tvare: r = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- r(8) = 8. (8-9)2+23 = 31;
- r(9) = 9. (9-9)2+23 = 23;
- r(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Takže zo získaných hodnôt je najmenšia 23. odpoveď: 23.

II. Algoritmus na nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie:

Nájdite doménu definície funkcie.
Nájdite deriváciu funkcie.
Identifikujte body podozrivé z extrému (tie body, v ktorých derivácia funkcie zaniká a body, v ktorých neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia).
Označte tieto body a definičný obor funkcie na číselnej osi a určte znamienka derivát(nie funkcie!) na výsledných intervaloch.
Definujte hodnoty funkcie(nie derivácia!) v minimálnych bodoch (tie body, v ktorých sa znamienko derivácie mení z mínus na plus), najmenšia z týchto hodnôt bude najmenšou hodnotou funkcie. Ak neexistujú žiadne minimálne body, funkcia nemá minimálnu hodnotu.
Definujte hodnoty funkcie(nie derivácia!) v maximálnych bodoch (tie body, v ktorých sa znamienko derivácie mení z plus na mínus), najväčšia z týchto hodnôt bude najväčšia hodnota funkcie. Ak neexistujú žiadne maximálne body, funkcia nemá najväčšiu hodnotu.

Príklad 2 Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie.

$\blacktriangleright$ Aby sme našli najväčšiu/najmenšiu hodnotu funkcie na segmente  , je potrebné schematicky znázorniť graf funkcie na tomto segmente.
V problémoch z tejto podtémy to možno urobiť pomocou derivácie: nájdite intervaly zvyšovania ($f">0$ ) a klesania ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ Nezabudnite, že funkcia môže nadobúdať najväčšiu/najmenšiu hodnotu nielen vo vnútorných bodoch segmentu , ale aj na jeho koncoch.

$\blacktriangleright$ Najväčšia/najmenšia hodnota funkcie je hodnota súradnice $y=f(x)$ .

$\blacktriangleright$ Deriváciu komplexnej funkcie $f(t(x))$ nájdeme podľa pravidla: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(pole)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkcia) f(x) & \text(Derivácia) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(pole) \quad \quad \quad \quad \begin(pole)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkcia) f(x) & \text(Derivácia) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(pole)\]

Úloha 1 #2357

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie $y = e^(x^2 - 4)$ na segmente $[-10; -2]$ .

ODZ: $x$ – ľubovoľné.

1) \

\ Teda $y" = 0$ pre $x = 0$ .

3) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ na uvažovanom segmente $[-10; -2]$ :

4) Náčrt grafu na segmente $[-10; -2]$ :

Funkcia teda dosiahne svoju najmenšiu hodnotu pri $[-10; -2]$ pri $x = -2$ .

\ Celkom: $1$ – najmenšia hodnota funkcie $y$ na $[-10; -2]$ .

odpoveď: 1

Úloha 2 #2355

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$ na segmente $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ – ľubovoľné.

1) \

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičnej oblasti funkcie, v ktorých sa jej derivácia rovná $0$ alebo neexistuje): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Derivát existuje pre ľubovoľné $x$ .

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ :

3) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ na uvažovanom segmente $[-1; 1]$ :

4) Náčrt grafu na segmente $[-1; 1]$ :

Funkcia teda dosiahne svoju najväčšiu hodnotu pri $[-1; 1]$ pri $x = -1$ alebo pri $x = 1$ . Porovnajme funkčné hodnoty v týchto bodoch.

\ Celkom: $2$ – najväčšia hodnota funkcie $y$ na $[-1; 1]$ .

odpoveď: 2

Úloha 3 #2356

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie $y = \cos 2x$ na segmente  .

ODZ: $x$ – ľubovoľné.

1) \

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičnej oblasti funkcie, v ktorých sa jej derivácia rovná $0$ alebo neexistuje): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Derivát existuje pre ľubovoľné $x$ .

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ :

(tu je nekonečný počet intervalov, v ktorých sa striedajú znamienka derivácie).

3) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ na uvažovanom segmente :

4) Náčrt grafu na segmente  :

Funkcia teda dosiahne svoju najmenšiu hodnotu na  pri $x = \dfrac(\pi)(2)$ .

\ Celkom: $-1$ – najmenšia hodnota funkcie $y$ na  .

odpoveď: -1

Úloha 4 #915

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . Rozhodnime sa o ODZ:

1) Označme $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , potom $y(t)=-\log_(17)t$ .

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičnej oblasti funkcie, v ktorých sa jej derivácia rovná $0$ alebo neexistuje): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– na ODZ, odkiaľ nájdeme koreň $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ . Derivácia funkcie $y$ neexistuje, keď $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$, ale táto rovnica má záporný diskriminant, preto nemá riešenia. Aby ste našli najväčšiu/najmenšiu hodnotu funkcie, musíte pochopiť, ako jej graf vyzerá schematicky.

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ :

3) Náčrt grafu:

Funkcia teda dosiahne svoju najväčšiu hodnotu pri $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ :

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

Celkom: $0$ – najväčšia hodnota funkcie $y$ .

odpoveď: 0

Úloha 5 #2344

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . Rozhodnime sa o ODZ:

1) Označme $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , potom $y(t)=\log_(3)t$ .

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičnej oblasti funkcie, v ktorých sa jej derivácia rovná $0$ alebo neexistuje): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– na ODZ, odkiaľ nájdeme koreň $x = -4$ . Derivácia funkcie $y$ neexistuje, keď $x^2 + 8x + 19 = 0$, ale táto rovnica má záporný diskriminant, preto nemá riešenia. Aby ste našli najväčšiu/najmenšiu hodnotu funkcie, musíte pochopiť, ako jej graf vyzerá schematicky.

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka $y"$ :

3) Náčrt grafu:

Teda $x = -4$ je minimálny bod funkcie $y$ a najmenšia hodnota sa v ňom dosiahne:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

Celkom: $1$ – najmenšia hodnota funkcie $y$ .

odpoveď: 1

Úloha 6 #917

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

Z praktického hľadiska je najväčší záujem použiť deriváciu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života musíme riešiť problémy s optimalizáciou niektorých parametrov. A to sú úlohy nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Je potrebné poznamenať, že najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie sa zvyčajne hľadajú na určitom intervale X, ktorý je buď celým oborom funkcie, alebo časťou oblasti definície. Samotný interval X môže byť segment, otvorený interval , nekonečný interval.

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne definovanej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Pozrime sa stručne na hlavné definície.

Najväčšia hodnota funkcie že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota na uvažovanom intervale na vodorovnej osi.

Stacionárne body– toto sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa derivácia funkcie stáva nulou.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať svoje najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, v ktorých prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a funkcia samotná je definovaná.

Okamžite odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvedieme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a mnohé bude jasnejšie.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňme segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku 3 sú hraničné body segmentu [-3;2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Na otvorenom intervale

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri otvoreného intervalu (-6;6).

O intervale nemožno vyvodiť žiadne závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade uvedenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

V priebehu intervalu funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď sa x=2 približuje sprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keď sa úsečka blíži k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Nájdeme doménu definície funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne takéto body nájdeme vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
Určíme všetky stacionárne body spadajúce do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší bod.
Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, v ktorých prvá derivácia neexistuje (ak existuje), ako aj v x=a a x=b.
Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus na riešenie príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

na segmente;
na segmente [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel, teda s výnimkou nuly. Oba segmenty spadajú do definičnej domény.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1].

Z rovnice určíme stacionárne body. Jediný skutočný koreň je x=2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote - pri x=2.

V druhom prípade vypočítame funkčné hodnoty iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s riešením naformátovaným vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných. Môžete tiež nájsť intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Rovnica f" 0 (x *) = 0 je nevyhnutnou podmienkou pre extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Identifikuje stacionárne body x c, v ktorých funkcia nezaniká. zvýšiť alebo znížiť.

Dostatočná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D. Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je lokálny (globálny) minimálny bod funkcie.

Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potom bod x * je lokálne (globálne) maximum.

Príklad č.1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente.
Riešenie.

Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f’(x) = 0). Tento bod patrí do segmentu. (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pri x = 2; f max = 9 pri x = 1

Príklad č.2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y’’=2sin(x), vypočítame , čo znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; , čo znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.

Príklad č.3. Preskúmajte extrémnu funkciu v blízkosti bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0, zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nevyčerpajú sa možné situácie ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií v extréme.

Príklad č.4. Rozdeľte číslo 49 na dva pojmy, ktorých súčin bude najväčší.
Riešenie. Označme x ako prvý člen. Potom (49-x) je druhý člen.
Produkt bude maximálne: x·(49-x) → max

Najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota ordináty na uvažovanom intervale.

Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte:

Skontrolujte, ktoré stacionárne body sú zahrnuté v danom segmente.
Vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnych bodoch z kroku 3
Zo získaných výsledkov vyberte najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu.

Ak chcete nájsť maximálny alebo minimálny počet bodov, musíte:

Nájdite deriváciu funkcie $f"(x)$
Nájdite stacionárne body riešením rovnice $f"(x)=0$
Faktor derivácie funkcie.
Nakreslite súradnicovú čiaru, umiestnite na ňu stacionárne body a určte znamienka derivácie vo výsledných intervaloch pomocou zápisu v kroku 3.
Nájdite maximálny alebo minimálny počet bodov podľa pravidla: ak v určitom bode derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom to bude maximálny bod (ak z mínus na plus, bude to minimálny bod). V praxi je vhodné použiť obrázok šípok na intervaloch: na intervale, kde je derivácia kladná, sa šípka ťahá nahor a naopak.

Tabuľka derivácií niektorých elementárnych funkcií:

Funkcia	Derivát
$c$	$0$
$ x $	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Základné pravidlá diferenciácie

1. Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Nájdite deriváciu funkcie $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivácia súčtu a rozdielu sa rovná derivácii každého člena

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivát produktu.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Nájdite deriváciu $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivácia kvocientu

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Nájdite deriváciu $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie a derivácie vnútornej funkcie

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Nájdite minimálny bod funkcie $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Nájdite ODZ funkcie: $x+11>0; x>-11 $

2. Nájdite deriváciu funkcie $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Nájdite stacionárne body prirovnaním derivácie k nule

$(2x+21)/(x+11)=0$

Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.

$2x+21=0; x≠ -11 $

4. Narysujme si súradnicovú čiaru, umiestnime na ňu stacionárne body a určme znamienka derivácie vo výsledných intervaloch. Ak to chcete urobiť, nahraďte do derivácie ľubovoľné číslo z oblasti úplne vpravo, napríklad nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V minimálnom bode derivácia zmení znamienko z mínus na plus, preto bod $-10,5$ je minimálny bod.

Odpoveď: $-10,5 $

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie $y=6x^5-90x^3-5$ na segmente $[-5;1]$

1. Nájdite deriváciu funkcie $y′=30x^4-270x^2$

2. Prirovnajte deriváciu k nule a nájdite stacionárne body

$30x^4-270x^2=0$

Vyberme celkový faktor $30x^2$ zo zátvoriek

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Prirovnajme každý faktor k nule

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$