Drift geladener Teilchen. Bewegung in einem ungleichmäßigen Magnetfeld

Bei astrophysikalischen und thermonuklearen Problemen ist das Verhalten von Teilchen in einem im Raum variierenden Magnetfeld von erheblichem Interesse. Oft ist diese Änderung recht schwach, und eine gute Näherung ist die Lösung der Bewegungsgleichungen mit der Störungsmethode, die erstmals von Alfvén ermittelt wurde. Der Begriff „ausreichend schwach“ bedeutet, dass der Abstand, über den sich B in Größe oder Richtung signifikant ändert, groß im Vergleich zum Radius a der Teilchenrotation ist. In diesem Fall können wir in Nullnäherung davon ausgehen, dass sich die Teilchen spiralförmig um die magnetischen Feldlinien mit einer Rotationsfrequenz bewegen, die durch bestimmt wird

lokale Stärke des Magnetfeldes. In nächster Näherung treten langsame Änderungen der Umlaufbahn auf, die als Drift ihres Leitzentrums (Rotationszentrums) dargestellt werden können.

Die erste Art der räumlichen Änderung des Feldes, die wir betrachten werden, ist eine Änderung der Richtung senkrecht zu B. Es sei ein Gradient der Feldgröße in Richtung des Einheitsvektors senkrecht zu B vorhanden, sodass . Dann lässt sich die Rotationsfrequenz in erster Näherung in der Form schreiben

Hier ist die Koordinate in der Richtung und die Erweiterung erfolgt in der Nähe des Koordinatenursprungs, für den Da B seine Richtung nicht ändert, bleibt die Bewegung entlang B gleichmäßig. Daher betrachten wir nur die Änderung der seitlichen Bewegung. Nachdem wir es in der Form geschrieben haben, wobei die Quergeschwindigkeit in einem gleichförmigen Feld ist, a eine kleine Korrektur ist, setzen wir (12.102) in die Bewegungsgleichung ein

(12.103)

Wenn wir dann nur Terme erster Ordnung beibehalten, erhalten wir die Näherungsgleichung

Aus den Beziehungen (12.95) und (12.96) folgt, dass in einem gleichförmigen Feld die Quergeschwindigkeit und die Koordinate durch die Beziehungen zusammenhängen

(12.105)

wobei X die Koordinate des Rotationszentrums bei ungestörter Kreisbewegung ist (hier). Wenn wir in (12.104) durch ausdrücken, erhalten wir

Dieser Ausdruck zeigt, dass er zusätzlich zum oszillierenden Term einen Durchschnittswert ungleich Null hat, der gleich ist

Um den Mittelwert zu ermitteln, genügt die Berücksichtigung, dass die kartesischen Komponenten sinusförmig mit der Amplitude a und einer Phasenverschiebung von 90° variieren. Daher wird der Durchschnittswert nur durch die Parallelkomponente beeinflusst, also

(12.108)

Somit ist die „Gradienten“-Driftgeschwindigkeit gegeben durch

(12.109)

oder in Vektorform

Ausdruck (12.110) zeigt dies für ausreichend kleine Feldgradienten, wenn die Driftgeschwindigkeit klein im Vergleich zur Umlaufgeschwindigkeit ist.

Feige. 12.6. Drift geladener Teilchen aufgrund des Quergradienten des Magnetfelds.

In diesem Fall dreht sich das Teilchen schnell um das führende Zentrum, das sich langsam in Richtung senkrecht zu B und Grad B bewegt. Die Driftrichtung des positiven Teilchens wird durch den Ausdruck (12.110) bestimmt. Für ein negativ geladenes Teilchen hat die Driftgeschwindigkeit das umgekehrte Vorzeichen; Dieser Vorzeichenwechsel ist mit der Definition der Gradientendrift verbunden und kann qualitativ erklärt werden, indem die Änderung des Krümmungsradius der Flugbahn berücksichtigt wird, wenn sich das Teilchen in Regionen bewegt, in denen die Feldstärke größer und kleiner als der Durchschnitt ist. In Abb. Abbildung 12.6 zeigt qualitativ das Verhalten von Teilchen mit unterschiedlichen Ladungszeichen.

Eine andere Art von Feldänderung, die zur Drift des führenden Zentrums eines Teilchens führt, ist die Krümmung der Feldlinien. Betrachten Sie, was in Abb. gezeigt ist. 12.7 zweidimensionales Feld unabhängig von . In Abb. 12.7, a zeigt ein gleichmäßiges Magnetfeld parallel zur Achse. Das Teilchen rotiert auf einem Kreis mit dem Radius a mit der Geschwindigkeit und bewegt sich gleichzeitig mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Feldlinie. Wir betrachten diese Bewegung als Nullnäherung für die Bewegung eines Teilchens im Feld mit gekrümmten Feldlinien, wie in Abb. 12.7b, wo der lokale Krümmungsradius der Feldlinien R groß im Vergleich zu a ist.

Feige. 12.7. Drift geladener Teilchen aufgrund der Krümmung der Feldlinien. a – in einem konstanten gleichmäßigen Magnetfeld bewegt sich das Teilchen spiralförmig entlang der Kraftlinien; b - Die Krümmung der Magnetfeldlinien verursacht eine Drift senkrecht zur Ebene

Die Korrektur in erster Näherung kann wie folgt ermittelt werden. Da sich das Teilchen spiralförmig um die Feldlinie bewegt und die Feldlinie gekrümmt ist, entspricht dies für die Bewegung des führenden Zentrums dem Auftreten einer Zentrifugalbeschleunigung. Wir können davon ausgehen, dass diese Beschleunigung unter dem Einfluss von auftritt ein wirksames elektrisches Feld

(12.111)

als würde es dem Magnetfeld hinzugefügt. Aber nach (12.98) führt die Kombination eines solchen effektiven elektrischen Feldes und eines magnetischen Feldes zu einer Zentrifugaldrift mit einer Geschwindigkeit

(121,2)

Mit der Notation schreiben wir den Ausdruck für die Geschwindigkeit der Zentrifugaldrift in das Formular

Die Driftrichtung wird durch das Kreuzprodukt bestimmt, wobei R der Radiusvektor ist, der vom Krümmungsmittelpunkt zum Partikelort gerichtet ist. Das Vorzeichen in (12.113) entspricht der positiven Ladung des Teilchens und ist nicht vom Vorzeichen abhängig. Bei einem negativen Teilchen wird der Wert negativ und die Driftrichtung kehrt sich um.

Eine genauere, aber weniger elegante Herleitung der Beziehung (12.113) kann durch direktes Lösen der Bewegungsgleichungen erhalten werden. Wenn Sie Zylinderkoordinaten mit dem Ursprung im Krümmungsmittelpunkt einführen (siehe Abb. 12.7, b), dann hat das Magnetfeld nur die -Komponente. Es ist leicht zu zeigen, dass sich die Vektorgleichung der Bewegung auf die folgenden drei Skalare reduziert Gleichungen:

(12-114)

Wenn in der nullten Näherung die Flugbahn eine Spirale mit einem im Vergleich zum Krümmungsradius kleinen Radius ist, dann erhalten wir in der niedrigsten Ordnung aus der ersten Gleichung (12.114) den folgenden Näherungsausdruck: Gaußsche Plasmateilchen mit Temperatur eine Driftgeschwindigkeit von cm/sec. Das bedeutet, dass sie aufgrund der Drift im Bruchteil einer Sekunde die Wände der Kammer erreichen. Bei heißerem Plasma ist die Driftgeschwindigkeit entsprechend noch größer. Eine Möglichkeit, die Drift in der toroidalen Geometrie zu kompensieren, besteht darin, den Torus in die Form einer Acht zu biegen. Da das Teilchen innerhalb eines solchen geschlossenen Systems normalerweise viele Umdrehungen macht, durchquert es Bereiche, in denen sowohl die Krümmung als auch der Gradient unterschiedliche Vorzeichen haben, und driftet abwechselnd in verschiedene Richtungen. Daher stellt sich zumindest in erster Linie heraus, dass die resultierende durchschnittliche Drift Null ist. Diese Methode zur Eliminierung der durch räumliche Veränderungen des Magnetfeldes verursachten Drift wird in thermonuklearen Anlagen wie einem Stellarator eingesetzt. Der Plasmaeinschluss in solchen Anlagen erfolgt im Gegensatz zu Anlagen mit Pinch-Effekt (siehe Kapitel 10, § 5-7) durch ein starkes externes longitudinales Magnetfeld.

Drift geladener Teilchen, relativ langsame gerichtete Bewegung geladener Teilchen unter dem Einfluss verschiedener Ursachen, die der Hauptbewegung überlagert ist. Wenn beispielsweise ein elektrischer Strom durch ein ionisiertes Gas fließt, nehmen Elektronen zusätzlich zur Geschwindigkeit ihrer zufälligen thermischen Bewegung eine kleine Geschwindigkeit an, die entlang des elektrischen Feldes gerichtet ist. In diesem Fall sprechen wir von der aktuellen Driftgeschwindigkeit. Das zweite Beispiel ist D. z. auch in gekreuzten Feldern, wenn auf das Teilchen senkrecht zueinander stehende elektrische und magnetische Felder einwirken. Die Geschwindigkeit einer solchen Drift ist numerisch gleich cE/H, Wo Mit- Lichtgeschwindigkeit, E- elektrische Feldstärke in GHS-Einheitensystem , N- magnetische Feldstärke in Örstedach . Diese Geschwindigkeit ist senkrecht zu gerichtet E Und N und ist der thermischen Geschwindigkeit der Partikel überlagert.

L. A. Artsimovich.

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Vorlesung Nr. 3. DRIFT-BEWEGUNG GELADENER TEILCHEN Bewegung in einem ungleichmäßigen Magnetfeld. Driftnäherung – Anwendbarkeitsbedingungen, Vorlesung Nr. 3.
DRIFTBEWEGUNG GELADENER TEILCHEN
Bewegung in einem ungleichmäßigen Magnetfeld. Driftnäherung – Anwendbarkeitsbedingungen,
Driftgeschwindigkeit. Driften in einem ungleichmäßigen Magnetfeld. Adiabatische Invariante.
Bewegung in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern.
Bewegung in gekreuzten homogenen E H-Feldern.
Die Driftnäherung ist anwendbar, wenn eine Unterscheidung möglich ist
eine konstante Geschwindigkeit, die für alle Teilchen des gleichen Typs identisch ist
Drift, unabhängig von der Richtung der Teilchengeschwindigkeiten. Das Magnetfeld ist es nicht
beeinflusst die Bewegung von Teilchen in Richtung des Magnetfeldes. Daher die Geschwindigkeit
Die Drift kann nur senkrecht zum Magnetfeld gerichtet sein.
EH
Vdr c
H2
- Driftgeschwindigkeit.
Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Driftbewegung E H
in den Feldern:
E
V
H
C
Um die möglichen Flugbahnen geladener Teilchen in Feldern zu bestimmen, berücksichtigen Sie
Bewegungsgleichung für die rotierende Geschwindigkeitskomponente:
. Q
mu
C
äh

Wenn die Bedingung der Driftnäherung nicht erfüllt ist, das heißt, bei bzw. bei wird die Einwirkung des elektrischen Feldes nicht durch die Einwirkung von Magnesium kompensiert

Driftbewegung geladener Teilchen in einem ungleichmäßigen Magnetfeld.

Drift geladener Teilchen entlang der Ebene eines Magnetfeldsprungs. Gradientendrift.

Drift in einem Gleichstrom-Magnetfeld.

Zentrifugale (Trägheits-)Drift.

Polarisationsdrift.

10. Toroidaldrift und Rotationstransformation

Vorlesung Nr. 3.

Bewegung in einem ungleichmäßigen Magnetfeld. Driftnäherung – Anwendbarkeitsbedingungen, Driftgeschwindigkeit. Driften in einem ungleichmäßigen Magnetfeld. Adiabatische Invariante. Bewegung in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern. Der allgemeine Fall von gekreuzten Feldern beliebiger Stärke und einem Magnetfeld.

III. Driftbewegung geladener Teilchen

§3.1. Bewegung in gekreuzten homogenen Feldern.

Betrachten wir die Bewegung geladener Teilchen in gekreuzten Feldern in der Driftnäherung. Die Driftnäherung ist anwendbar, wenn es möglich ist, eine bestimmte konstante Driftgeschwindigkeit zu identifizieren, die für alle Partikel derselben Art identisch ist, unabhängig von der Richtung der Partikelgeschwindigkeiten:
, Wo
- Driftgeschwindigkeit. Lassen Sie uns zeigen, dass dies für die Bewegung geladener Teilchen in gekreuzter Form möglich ist
Felder. Wie bereits gezeigt wurde, hat das Magnetfeld keinen Einfluss auf die Bewegung von Partikeln in Richtung des Magnetfelds. Daher kann die Driftgeschwindigkeit nur senkrecht zur magnetischen gerichtet sein, d.h. es sei:
, Und
, Wo
. Bewegungsgleichung:
(Wir schreiben den Multiplikator immer noch im GHS). Dann gilt für die Querkomponente der Geschwindigkeit:
, ersetzen wir die Erweiterung durch die Driftgeschwindigkeit:
, d.h.
. Ersetzen wir diese Gleichung für jede Komponente und unter Berücksichtigung durch zwei
, d.h.,
erhalten wir die Gleichung für die Driftgeschwindigkeit:
. Durch vektorielle Multiplikation mit dem Magnetfeld erhalten wir:
. Unter Berücksichtigung der Regel erhalten wir
, Wo:

- Driftgeschwindigkeit. (3.1)

.

Die Driftgeschwindigkeit ist unabhängig vom Vorzeichen der Ladung und von der Masse, d.h. das Plasma verschiebt sich als Ganzes. Aus Beziehung (3.1) ist klar, wann
Die Driftgeschwindigkeit wird größer als die Lichtgeschwindigkeit, was bedeutet, dass sie ihre Bedeutung verliert. Und es geht nicht darum, relativistische Korrekturen zu berücksichtigen. Bei
Die Driftnäherungsbedingung wird verletzt. Die Bedingung der Driftnäherung für die Drift geladener Teilchen in einem Magnetfeld besteht darin, dass der Einfluss der Kraft, die die Drift verursacht, während der Umlaufdauer des Teilchens im Magnetfeld unbedeutend sein sollte, nur in diesem Fall ist die Driftgeschwindigkeit der Fall konstant sein. Diese Bedingung kann wie folgt geschrieben werden:
, woraus wir die Bedingung für die Anwendbarkeit der Driftbewegung in erhalten
Felder:
.

Um mögliche Flugbahnen geladener Teilchen zu bestimmen
Betrachten Sie die Bewegungsgleichung für die rotierende Geschwindigkeitskomponente :
, Wo
. Lass das Flugzeug ( X,j) steht senkrecht zum Magnetfeld. Vektor dreht sich mit der Frequenz
(Elektron und Ion drehen sich in unterschiedliche Richtungen) in der Ebene ( X,j), wobei der Modul konstant bleibt.

Liegt die Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens innerhalb dieses Kreises, dann bewegt sich das Teilchen entlang einer Epizykloide.

Bereich 2. Der durch die Gleichung gegebene Kreis
, entspricht einer Zykloide. Beim Drehen des Vektors Der Geschwindigkeitsvektor verläuft in jeder Periode durch den Ursprung, das heißt, die Geschwindigkeit ist gleich Null. Diese Momente entsprechen Punkten an der Basis der Zykloide. Die Flugbahn ähnelt der, die durch einen Punkt auf der Felge eines Rades mit Radius beschrieben wird
. Die Höhe der Zykloide beträgt , also proportional zur Masse des Teilchens, sodass sich die Ionen entlang einer viel höheren Zykloide bewegen als Elektronen, was nicht der schematischen Darstellung in Abb. 3.2 entspricht.

Bereich 3. Der Bereich außerhalb des Kreises, in dem
, entspricht einer Trochoide mit Schleifen (Hypozykloide), deren Höhe
. Schleifen entsprechen negativen Werten der Geschwindigkeitskomponente wenn sich Teilchen in die entgegengesetzte Richtung bewegen.

UM Bereich 4: Punkt
(
) entspricht einer Geraden. Wenn Sie ein Teilchen mit einer Anfangsgeschwindigkeit gestartet haben
, dann ist die Kraft der elektrischen und magnetischen Kraft zu jedem Zeitpunkt ausgeglichen, sodass sich das Teilchen geradlinig bewegt. Man kann sich vorstellen, dass alle diese Flugbahnen der Bewegung von Punkten entsprechen, die sich auf einem Rad mit Radius befinden
, also für alle Trajektorien die longitudinale räumliche Periode
. Während der Phase
Bei allen Flugbahnen kommt es zu einer gegenseitigen Kompensation der Wirkungen der elektrischen und magnetischen Felder. Die mittlere kinetische Energie des Teilchens bleibt konstant
. Es ist wichtig, das noch einmal zu beachten

Reis. 3.2. Charakteristische Flugbahnen von Teilchen in
Felder: 1) Trochoide ohne Schleifen; 2) Zykloide; 3) Trochoide mit Schleifen; 4) gerade.

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Bewegung in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern

Bisher haben wir von Teilchen gesprochen, die sich nur in einem elektrischen oder nur in einem magnetischen Feld befinden. Aber es gibt interessante Effekte, die entstehen, wenn beide Felder gleichzeitig wirken. Nehmen wir ein gleichmäßiges Magnetfeld B und ein im rechten Winkel dazu gerichtetes elektrisches Feld E an. Dann bewegen sich senkrecht zum Feld B einfliegende Teilchen entlang einer Kurve ähnlich der in Abb. 29.18. (Das Wohnung Kurve und Nicht(Spirale.) Qualitativ ist diese Bewegung nicht schwer zu verstehen. Bewegt sich ein Teilchen (das wir als positiv betrachten) in Richtung des Feldes E, dann gewinnt es an Geschwindigkeit und das Magnetfeld beugt es weniger. Und wenn sich ein Teilchen gegen das Feld E bewegt, verliert es an Geschwindigkeit und wird durch das Magnetfeld nach und nach immer mehr gebogen. Das Ergebnis ist eine „Drift“ in die Richtung (Bsp.B).

Wir können zeigen, dass eine solche Bewegung im Wesentlichen eine Überlagerung einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit ist v d= E/ B und kreisförmig, d. h. in Abb. 29.18 zeigt eine einfache Zykloide. Stellen Sie sich einen Beobachter vor, der sich mit konstanter Geschwindigkeit nach rechts bewegt. In seinem Bezugssystem wird unser Magnetfeld in ein neues Magnetfeld umgewandelt Plus elektrisches Feld nach unten gerichtet. Wählt man seine Geschwindigkeit so, dass das gesamte elektrische Feld gleich Null ist, sieht der Beobachter, wie sich das Elektron im Kreis bewegt. Also die Bewegung, die Wir Wir sehen, es wird eine kreisförmige Bewegung plus Bewegung mit Driftgeschwindigkeit geben v d= E/ B. Die Bewegung von Elektronen in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern liegt Magnetronen zugrunde, also Oszillatoren, die bei der Erzeugung von Mikrowellenstrahlung eingesetzt werden.

Es gibt viele andere interessante Beispiele für die Bewegung von Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern, zum Beispiel die Umlaufbahnen von Elektronen oder Protonen, die in den Strahlungsgürteln in den oberen Schichten der Stratosphäre gefangen sind, aber leider haben wir nicht genug Zeit dafür Beschäftige dich jetzt mit diesen Problemen.