Euklidische Räume. Lineare Algebra

Kapitel 4
EUKLIDISCHE RÄUME

Aus dem Studium der analytischen Geometrie ist der Leser mit dem Konzept des Skalarprodukts zweier freier Vektoren und mit den vier Haupteigenschaften des angegebenen Skalarprodukts vertraut. In diesem Kapitel werden lineare Räume jeglicher Art untersucht, für deren Elemente auf irgendeine Weise (und egal was) eine Regel definiert ist, die zwei beliebige Elemente einer Zahl zuordnet, die als Skalarprodukt dieser Elemente bezeichnet wird. Wichtig ist in diesem Fall nur, dass diese Regel die gleichen vier Eigenschaften hat wie die Regel zur Bildung des Skalarprodukts zweier freier Vektoren. Lineare Räume, in denen die angegebene Regel definiert ist, werden euklidische Räume genannt. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Eigenschaften beliebiger euklidischer Räume erläutert.

§ 1. Realer euklidischer Raum und seine einfachsten Eigenschaften

1. Definition des realen euklidischen Raums. Ein reeller linearer Raum R heißt echter euklidischer Raum(oder einfach Euklidischer Raum), wenn die folgenden beiden Voraussetzungen erfüllt sind.
I. Es gibt eine Regel, nach der zwei beliebige Elemente dieses Raums x und y einer reellen Zahl namens zugeordnet werden Skalarprodukt dieser Elemente und wird mit dem Symbol (x, y) bezeichnet.
P. Diese Regel unterliegt den folgenden vier Axiomen:
1°. (x, y) = (y, x) (kommutative Eigenschaft oder Symmetrie);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (Verteilungseigenschaft);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) für jedes reelle λ;
4°. (x, x) > 0, wenn x ein Element ungleich Null ist; (x, x) = 0, wenn x das Nullelement ist.
Wir betonen, dass wir bei der Einführung des Konzepts des euklidischen Raums nicht nur von der Natur der untersuchten Objekte abstrahieren, sondern auch von der spezifischen Art von Regeln für die Bildung der Summe von Elementen, des Produkts eines Elements durch eine Zahl und das Skalarprodukt von Elementen (wichtig ist nur, dass diese Regeln die acht Axiome des linearen Raums und die vier Axiome des Skalarprodukts erfüllen).
Wenn die Art der untersuchten Objekte und die Art der aufgeführten Regeln angegeben sind, wird der euklidische Raum aufgerufen Spezifisch.
Lassen Sie uns Beispiele für bestimmte euklidische Räume geben.
Beispiel 1. Betrachten Sie den linearen Raum B 3 aller freien Vektoren. Wir definieren das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren wie in der analytischen Geometrie (d. h. als Produkt der Längen dieser Vektoren und des Kosinus des Winkels zwischen ihnen). Im Rahmen der analytischen Geometrie wurde die Gültigkeit des so definierten Skalarprodukts der Axiome 1°-4° nachgewiesen (siehe Heft „Analytische Geometrie“, Kapitel 2, §2, Punkt 3). Daher ist der Raum B 3 mit dem so definierten Skalarprodukt ein euklidischer Raum.
Beispiel 2. Betrachten Sie den unendlichdimensionalen linearen Raum C [a, b] aller Funktionen x(t), definiert und stetig auf dem Segment a ≤ t ≤ b. Wir definieren das Skalarprodukt zweier solcher Funktionen x(t) und y(t) als Integral (im Bereich von a bis b) des Produkts dieser Funktionen

Die Gültigkeit des so definierten Skalarprodukts der Axiome 1°-4° wird auf elementare Weise überprüft. Tatsächlich ist die Gültigkeit von Axiom 1° offensichtlich; die Gültigkeit der Axiome 2° und 3° ergibt sich aus den linearen Eigenschaften des bestimmten Integrals; Die Gültigkeit von Axiom 4° folgt aus der Tatsache, dass das Integral einer stetigen nicht negativen Funktion x 2 (t) nicht negativ ist und nur dann verschwindet, wenn diese Funktion auf der Strecke a ≤ t ≤ b identisch gleich Null ist (siehe die Ausgabe „Grundlagen der mathematischen Analyse“, Teil I, Eigenschaften 1° und 2° aus Absatz 1 §6 Kapitel 10) (d. h. es ist das Nullelement des betrachteten Raums).
Somit ist der Raum C[a, b] mit dem so definierten Skalarprodukt unendlichdimensionaler euklidischer Raum.
Beispiel 3. Das folgende Beispiel eines euklidischen Raums ergibt einen n-dimensionalen linearen Raum A n aus geordneten Sammlungen von n reellen Zahlen, dem Skalarprodukt zweier beliebiger Elemente x = (x 1, x 2,..., x n) und y = (y 1, y 2 ,...,y n) was durch die Gleichheit definiert ist

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Die Gültigkeit von Axiom 1° für ein solch definiertes Skalarprodukt ist offensichtlich; Die Gültigkeit der Axiome 2° und 3° lässt sich leicht überprüfen. Denken Sie einfach an die Definition der Operationen zum Addieren und Multiplizieren von Elementen mit Zahlen:

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

schließlich folgt die Gültigkeit von Axiom 4° aus der Tatsache, dass (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 immer eine nichtnegative Zahl ist und nur unter der Bedingung x 1 = x verschwindet 2 = .. = x n = 0.
Der in diesem Beispiel betrachtete euklidische Raum wird oft mit dem Symbol E n bezeichnet.
Beispiel 4. Im gleichen linearen Raum A n führen wir das Skalarprodukt zweier beliebiger Elemente x = (x 1, x 2,..., x n) und y = (y 1, y 2,..., y n) ein ) nicht Beziehung (4.2), sondern auf eine andere, allgemeinere Weise.
Betrachten Sie dazu eine quadratische Matrix der Ordnung n

Erstellen wir mit der Matrix (4.3) ein homogenes Polynom zweiter Ordnung bezüglich n Variablen x 1, x 2,..., x n

Mit Blick auf die Zukunft stellen wir fest, dass ein solches Polynom aufgerufen wird quadratische Form(erzeugt durch Matrix (4.3)) (quadratische Formen werden in Kapitel 7 dieses Buches systematisch untersucht).
Die quadratische Form (4.4) heißt positiv definitiv, wenn es für alle Werte der Variablen x 1, x 2,..., x n, die gleichzeitig ungleich Null sind, streng positive Werte annimmt (im Kapitel 7 dieses Buches das Notwendige und Genügende). Bedingung für die positive Bestimmtheit der quadratischen Form wird angegeben).
Da für x 1 = x 2 = ... = x n = 0 die quadratische Form (4.4) offensichtlich gleich Null ist, können wir das sagen positiv definitiv
die quadratische Form verschwindet nur unter der Bedingung x 1 = x 2 = ... = x N = 0.
Wir verlangen, dass die Matrix (4.3) zwei Bedingungen erfüllt.
1°. Erzeugte eine positiv definite quadratische Form (4.4).
2°. Es war symmetrisch (relativ zur Hauptdiagonale), d.h. erfüllte die Bedingung a ik = a ki für alle i = 1, 2,..., n und k = I, 2,..., n.
Unter Verwendung der Matrix (4.3), die die Bedingungen 1° und 2° erfüllt, definieren wir das Skalarprodukt zweier beliebiger Elemente x = (x 1, x 2,..., x n) und y = (y 1, y 2,... . ,y n) des Raumes A n durch die Beziehung

Es ist einfach, die Gültigkeit des so definierten Skalarprodukts aller Axiome 1°-4° zu überprüfen. Tatsächlich gelten die Axiome 2° und 3° offensichtlich für eine völlig beliebige Matrix (4.3); Die Gültigkeit von Axiom 1° ergibt sich aus der Symmetriebedingung der Matrix (4.3) und die Gültigkeit von Axiom 4° ergibt sich aus der Tatsache, dass die quadratische Form (4.4), also das Skalarprodukt (x, x), positiv ist definitiv.
Somit ist der Raum A n mit dem durch Gleichheit (4.5) definierten Skalarprodukt, vorausgesetzt, die Matrix (4.3) ist symmetrisch und die von ihr erzeugte quadratische Form positiv definit, ein euklidischer Raum.
Wenn wir die Identitätsmatrix als Matrix (4.3) nehmen, dann wird die Beziehung (4.4) zu (4.2) und wir erhalten den euklidischen Raum E n , der in Beispiel 3 betrachtet wird.
2. Die einfachsten Eigenschaften eines beliebigen euklidischen Raums. Die in diesem Absatz festgelegten Eigenschaften gelten für einen völlig beliebigen euklidischen Raum sowohl endlicher als auch unendlicher Dimensionen.
Satz 4.1.Für zwei beliebige Elemente x und y eines beliebigen euklidischen Raums gilt die folgende Ungleichung:

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

nennt man die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung.
Nachweisen. Für jede reelle Zahl λ gilt aufgrund des Axioms 4° des Skalarprodukts die Ungleichung (λ x - y, λ x - y) > 0. Aufgrund der Axiome 1°-3° kann die letzte Ungleichung sein umgeschrieben als

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Nichtnegativität des letzten quadratischen Trinoms ist die Nichtpositivität seiner Diskriminante, also die Ungleichung (im Fall (x, x) = 0 degeneriert das quadratische Trinom in eine lineare Funktion, aber in In diesem Fall ist das Element x Null, also ist (x, y) = 0 und die Ungleichung (4.7) ist ebenfalls wahr)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Die Ungleichung (4.6) folgt unmittelbar aus (4.7). Der Satz ist bewiesen.
Unsere nächste Aufgabe besteht darin, das Konzept vorzustellen Normen(oder Länge) jedes Elements. Dazu führen wir das Konzept eines linearen normierten Raums ein.
Definition. Der lineare Raum R heißt normalisiert, wenn die beiden folgenden Voraussetzungen erfüllt sind.
I. Es gibt eine Regel, nach der jedem Element x des Raums R eine reelle Zahl namens zugeordnet ist Die Norm(oder Länge) des angegebenen Elements und gekennzeichnet durch das Symbol ||x||.
P. Diese Regel unterliegt den folgenden drei Axiomen:
1°. ||x|| > 0, wenn x ein Element ungleich Null ist; ||x|| = 0, wenn x ein Nullelement ist;
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| für jedes Element x und jede reelle Zahl λ;
3°. Für zwei beliebige Elemente x und y gilt die folgende Ungleichung

||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4.8)

sogenannte Dreiecksungleichung (oder Minkowski-Ungleichung).
Satz 4.2. Jeder euklidische Raum ist normiert, wenn die Norm eines beliebigen Elements x darin durch die Gleichheit definiert ist

Nachweisen. Es genügt zu beweisen, dass für die durch Beziehung (4.9) definierte Norm die Axiome 1°-3° aus der Definition eines normierten Raums gelten.
Die Gültigkeit der Norm von Axiom 1° folgt unmittelbar aus dem Axiom 4° des Skalarprodukts. Die Gültigkeit der Norm von Axiom 2° folgt fast direkt aus den Axiomen 1° und 3° des Skalarprodukts.
Es bleibt die Gültigkeit von Axiom 3° für die Norm, also die Ungleichung (4.8), zu überprüfen. Wir werden uns auf die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung (4.6) verlassen, die wir in der Form umschreiben werden

Unter Verwendung der letzten Ungleichung, der Axiome 1°-4° des Skalarprodukts und der Definition der Norm erhalten wir

Der Satz ist bewiesen.
Folge. In jedem euklidischen Raum mit der durch die Beziehung (4.9) bestimmten Elementnorm gilt für zwei beliebige Elemente x und y die Dreiecksungleichung (4.8).

Wir stellen außerdem fest, dass wir in jedem realen euklidischen Raum das Konzept eines Winkels zwischen zwei beliebigen Elementen x und y dieses Raums einführen können. In völliger Analogie zur Vektoralgebra rufen wir auf Winkelφ zwischen Elementen X Und bei der (von 0 bis π variierende) Winkel, dessen Kosinus durch die Beziehung bestimmt wird

Unsere Definition des Winkels ist korrekt, da aufgrund der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung (4,7") der Bruch auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht größer als eins im Modul ist.
Als nächstes vereinbaren wir, zwei beliebige Elemente x und y des euklidischen Raums E orthogonal zu nennen, wenn das Skalarprodukt dieser Elemente (x, y) gleich Null ist (in diesem Fall der Kosinus des Winkels (φ zwischen den Elementen). x und y werden gleich Null sein).
Wiederum unter Berufung auf die Vektoralgebra nennen wir die Summe x + y zweier orthogonaler Elemente x und y die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, das aus den Elementen x und y aufgebaut ist.
Beachten Sie, dass in jedem euklidischen Raum der Satz des Pythagoras gilt: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel. Da x und y orthogonal sind und (x, y) = 0, gilt dies aufgrund der Axiome und der Definition der Norm

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Dieses Ergebnis wird auf n paarweise orthogonale Elemente x 1, x 2,..., x n verallgemeinert: wenn z = x 1 + x 2 + ...+ x n, dann

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Abschließend schreiben wir die Norm, die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung und die Dreiecksungleichung in jedem der im vorherigen Absatz betrachteten spezifischen euklidischen Räume auf.
Im euklidischen Raum aller freien Vektoren mit der üblichen Definition des Skalarprodukts stimmt die Norm eines Vektors a mit seiner Länge |a| überein, die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung wird auf die Form ((a,b) 2 ≤ | reduziert a|. 2, und die Dreiecksungleichung - auf die Form |a + b| (Wenn wir die Vektoren a und b gemäß der Dreiecksregel addieren, reduziert sich diese Ungleichung auf die Tatsache, dass eine Seite eines Dreiecks nicht größer ist als die Summe seiner beiden anderen Seiten).
Im euklidischen Raum C [a, b] aller auf dem Segment a ≤ t ≤ b mit Skalarprodukt (4.1) stetigen Funktionen x = x(t) ist die Norm des Elements x = x(t) gleich , und die Cauchy-Bunyakovsky- und Dreiecksungleichungen haben die Form

Beide Ungleichungen spielen in verschiedenen Bereichen der mathematischen Analyse eine wichtige Rolle.
Im euklidischen Raum E n geordneter Sammlungen von n reellen Zahlen mit Skalarprodukt (4.2) ist die Norm jedes Elements x = (x 1 , x 2 ,..., x n) gleich

Schließlich ist im euklidischen Raum geordneter Sammlungen von n reellen Zahlen mit Skalarprodukt (4.5) die Norm jedes Elements x = (x 1, x 2,..., x n) gleich 0 (wir erinnern Sie daran, dass in diese Fallmatrix (4.3) ist symmetrisch und erzeugt positiv definite quadratische Form (4.4)).

und die Cauchy-Bunyakovsky- und Dreiecksungleichungen haben die Form

Entspricht einem solchen Vektorraum. In diesem Artikel wird die erste Definition als Ausgangspunkt genommen.

$N$-dimensionaler euklidischer Raum wird mit bezeichnet $\backslash mathbb\; E^n,$ Die Notation wird auch häufig verwendet $\backslash mathbb\; R^n$(sofern aus dem Kontext klar hervorgeht, dass der Raum eine euklidische Struktur hat).

Formale Definition

Um den euklidischen Raum zu definieren, ist es am einfachsten, das Skalarprodukt als Hauptkonzept zu verwenden. Ein euklidischer Vektorraum ist definiert als ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen, auf dessen Vektoren eine reellwertige Funktion angegeben ist $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ mit den folgenden drei Eigenschaften:

• Bilinearität: für beliebige Vektoren $u,v,w$ und für alle reellen Zahlen $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$ Und $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Symmetrie: für beliebige Vektoren $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Positive Gewissheit: für jeden $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$ Und $(u,u)\; =\; 0\backslash Rightarrow\; u=0.$

Beispiel für einen euklidischen Raum – Koordinatenraum $\backslash mathbb\; R^n,$ bestehend aus allen möglichen Tupeln reeller Zahlen $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ Skalarprodukt, das durch die Formel bestimmt wird $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Längen und Winkel

Das im euklidischen Raum definierte Skalarprodukt reicht aus, um die geometrischen Konzepte Länge und Winkel einzuführen. Vektorlänge $u$ ist definiert als $\backslash sqrt((u,u))$ und ist bezeichnet $|u|.$ Die positive Bestimmtheit des Skalarprodukts garantiert, dass die Länge des Vektors ungleich Null ungleich Null ist, und aus der Bilinearität folgt dies $|au|=|a||u|,$ das heißt, die Längen proportionaler Vektoren sind proportional.

Winkel zwischen Vektoren $u$ Und $v$ durch die Formel bestimmt $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right).$ Aus dem Kosinussatz folgt für einen zweidimensionalen euklidischen Raum ( Euklidische Ebene) stimmt diese Winkeldefinition mit der üblichen überein. Orthogonale Vektoren können wie im dreidimensionalen Raum als Vektoren definiert werden, deren Winkel zwischen ihnen gleich ist $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Die Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-Ungleichung und die Dreiecksungleichung

In der oben gegebenen Definition des Winkels gibt es noch eine Lücke: um $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$ definiert wurde, ist es notwendig, dass die Ungleichung $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Diese Ungleichung gilt in einem beliebigen euklidischen Raum und wird Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz-Ungleichung genannt. Aus dieser Ungleichung folgt wiederum die Dreiecksungleichung: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Die Dreiecksungleichung bedeutet zusammen mit den oben aufgeführten Längeneigenschaften, dass die Länge eines Vektors die Norm im euklidischen Vektorraum und die Funktion ist $d(x,y)=|x-y|$ definiert die Struktur eines metrischen Raums im euklidischen Raum (diese Funktion wird euklidische Metrik genannt). Insbesondere der Abstand zwischen Elementen (Punkten) $X$ Und $j$ Koordinatenraum $\backslash mathbb\; R^n$ ergibt sich aus der Formel $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Algebraische Eigenschaften

Orthonormale Basen

Konjugierte Leerzeichen und Operatoren

Jeder Vektor $X$ Der euklidische Raum definiert ein lineares Funktional $x^*$ auf diesem Raum, definiert als $x^*(y)=(x,y).$ Dieser Vergleich ist ein Isomorphismus zwischen dem euklidischen Raum und seinem Dualraum und ermöglicht deren Identifizierung ohne Beeinträchtigung der Berechnungen. Insbesondere kann davon ausgegangen werden, dass konjugierte Operatoren auf den ursprünglichen Raum wirken und nicht auf seinen Dualraum, und selbstadjungierte Operatoren können als Operatoren definiert werden, die mit ihren Konjugierten zusammenfallen. Bei einer Orthonormalbasis wird die Matrix des adjungierten Operators auf die Matrix des ursprünglichen Operators transponiert, und die Matrix des selbstadjungierten Operators ist symmetrisch.

Bewegungen des euklidischen Raums

Beispiele

Anschauliche Beispiele für euklidische Räume sind die folgenden Räume:

• $\backslash mathbb\; E^1$ Maße $1$ (echte Linie)
• $\backslash mathbb\; E^2$ Maße $2$ (Euklidische Ebene)
• $\backslash mathbb\; E^3$ Maße $3$ (Euklidischer dreidimensionaler Raum)

Abstrakteres Beispiel:

• Raum reeller Polynome $p(x)$ Abschluss nicht überschreiten $N$, wobei das Skalarprodukt beispielsweise als Integral des Produkts über ein endliches Segment (oder über die gesamte Linie, aber mit einer schnell abfallenden Gewichtsfunktion) definiert ist $e^(-x^2)$).

Beispiele für geometrische Formen im mehrdimensionalen euklidischen Raum

• Regelmäßige mehrdimensionale Polyeder (insbesondere N-dimensionaler Würfel, N-dimensionales Oktaeder, N-dimensionales Tetraeder)

Verwandte Definitionen

• Unter Euklidische Metrik kann als die oben beschriebene Metrik sowie als entsprechende Riemannsche Metrik verstanden werden.

• Mit lokaler Euklidizität meinen wir normalerweise, dass jeder Tangentenraum einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ein euklidischer Raum mit allen sich daraus ergebenden Eigenschaften ist, zum Beispiel der Fähigkeit (aufgrund der Glätte der Metrik), Koordinaten in einer kleinen Umgebung eines Punktes einzuführen, in dem Der Abstand wird (bis zu einer Größenordnung) wie oben beschrieben ausgedrückt.

• Ein metrischer Raum wird auch lokal euklidisch genannt, wenn es möglich ist, auf ihm Koordinaten einzuführen, in denen die Metrik überall (oder zumindest auf einem endlichen Bereich) euklidisch (im Sinne der zweiten Definition) ist – was beispielsweise der Fall ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ohne Krümmung.

Variationen und Verallgemeinerungen

• Durch Ersetzen des Grundkörpers vom Körper der reellen Zahlen durch den Körper der komplexen Zahlen erhält man die Definition eines einheitlichen (oder hermiteschen) Raums.
• Die Ablehnung der Anforderung der endlichen Dimensionalität führt zur Definition eines Raums vor Hilbert.
• Die Ablehnung des Erfordernisses der positiven Bestimmtheit des Skalarprodukts führt zur Definition des pseudoeuklidischen Raums.

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Anmerkungen

Literatur

• Gelfand I. M. Vorlesungen zur linearen Algebra. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 S. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. Lineare Algebra und Geometrie. - M.: Nauka, 1986. - 304 S.

Ein Auszug, der den euklidischen Raum charakterisiert

„Es passiert dir“, sagte Natasha zu ihrem Bruder, als sie sich auf das Sofa setzten, „es passiert dir, dass es dir so vorkommt, als würde nichts passieren – nichts; Was war alles gut? Und nicht nur langweilig, sondern auch traurig?
- Und wie! - er sagte. „Es passierte mir, dass alles in Ordnung war, alle waren fröhlich, aber mir kam in den Sinn, dass ich das alles schon satt hatte und dass alle sterben müssten.“ Einmal ging ich nicht zum Spaziergang zum Regiment, aber dort lief Musik ... und so wurde mir plötzlich langweilig ...
- Oh, das weiß ich. Ich weiß, ich weiß“, sagte Natasha. – Ich war noch klein, das ist mir passiert. Erinnern Sie sich, als ich für Pflaumen bestraft wurde und Sie alle getanzt haben und ich im Klassenzimmer saß und schluchzte, werde ich es nie vergessen: Ich war traurig und hatte Mitleid mit allen und mit mir selbst, und ich hatte Mitleid mit allen. Und vor allem war es nicht meine Schuld“, sagte Natasha, „erinnerst du dich?
„Ich erinnere mich“, sagte Nikolai. „Ich erinnere mich, dass ich später zu dir kam und dich trösten wollte und, weißt du, ich schämte mich. Wir waren furchtbar lustig. Ich hatte damals ein Wackelkopf-Spielzeug und wollte es dir schenken. Erinnerst du dich?
„Erinnerst du dich“, sagte Natasha mit einem nachdenklichen Lächeln, wie vor langer, langer Zeit, wir waren noch ganz klein, ein Onkel uns ins Büro rief, zurück in das alte Haus, und es war dunkel – wir kamen und plötzlich war da Dort stehen...
„Arap“, beendete Nikolai mit einem freudigen Lächeln, „wie kann ich mich nicht erinnern?“ Selbst jetzt weiß ich nicht, ob es ein Blackamoor war, ob wir es in einem Traum gesehen haben oder ob es uns erzählt wurde.
- Er war grau, erinnern Sie sich, und hatte weiße Zähne - er stand da und sah uns an ...
– Erinnerst du dich, Sonya? - Nikolai fragte...
„Ja, ja, ich erinnere mich auch an etwas“, antwortete Sonya schüchtern ...
„Ich habe meinen Vater und meine Mutter nach diesem Blackamoor gefragt“, sagte Natasha. - Sie sagen, dass es kein Blackamoor gab. Aber du erinnerst dich!
- Oh, wie ich mich jetzt an seine Zähne erinnere.
- Wie seltsam es ist, es war wie ein Traum. Ich mag das.
- Erinnern Sie sich, wie wir im Flur Eier rollten und plötzlich zwei alte Frauen begannen, sich auf dem Teppich zu drehen? War es oder nicht? Erinnern Sie sich, wie gut es war?
- Ja. Erinnern Sie sich, wie Papa in einem blauen Pelzmantel auf der Veranda eine Waffe abfeuerte? „Sie drehten sich um, lächelten vor Vergnügen, Erinnerungen, nicht traurige alte, sondern poetische Jugenderinnerungen, jene Eindrücke aus der fernsten Vergangenheit, wo Träume mit der Realität verschmelzen, und lachten leise und freuten sich über etwas.
Sonya blieb wie immer hinter ihnen zurück, obwohl ihre Erinnerungen gemeinsam waren.
Sonya erinnerte sich nicht an viel von dem, woran sie sich erinnerten, und was sie erinnerte, weckte in ihr nicht das poetische Gefühl, das sie erlebten. Sie genoss nur ihre Freude und versuchte, sie nachzuahmen.
Sie nahm erst teil, als sie sich an Sonyas ersten Besuch erinnerten. Sonya erzählte, dass sie Angst vor Nikolai hatte, weil er Schnüre an seiner Jacke hatte, und das Kindermädchen sagte ihr, dass sie ihr auch Schnüre nähen würden.
„Und ich erinnere mich: Sie sagten mir, dass du unter Kohl geboren wurdest“, sagte Natascha, „und ich erinnere mich, dass ich es damals nicht zu glauben wagte, aber ich wusste, dass es nicht wahr war, und es war mir so peinlich.“ ”
Während dieses Gesprächs ragte der Kopf des Dienstmädchens aus der Hintertür des Sofazimmers. „Miss, sie haben den Hahn mitgebracht“, sagte das Mädchen flüsternd.
„Nicht nötig, Polya, sag mir, ich soll es tragen“, sagte Natasha.
Mitten in den Gesprächen auf dem Sofa betrat Dimmler den Raum und näherte sich der Harfe, die in der Ecke stand. Er nahm das Tuch ab und die Harfe gab einen falschen Ton von sich.
„Eduard Karlych, spielen Sie bitte meine geliebte Nocturiene von Monsieur Field“, sagte die Stimme der alten Gräfin aus dem Wohnzimmer.
Dimmler schlug einen Ton an und sagte, sich an Natascha, Nikolai und Sonja wendend: „Junge Leute, wie still sitzen sie!“
„Ja, wir philosophieren“, sagte Natascha, schaute sich einen Moment um und setzte das Gespräch fort. Das Gespräch drehte sich nun um Träume.
Dimmer begann zu spielen. Natasha ging schweigend auf Zehenspitzen zum Tisch, nahm die Kerze, nahm sie heraus und setzte sich, als sie zurückkam, ruhig an ihren Platz. Es war dunkel im Zimmer, besonders auf dem Sofa, auf dem sie saßen, aber durch die großen Fenster fiel das silberne Licht des Vollmonds auf den Boden.
„Weißt du, ich denke“, sagte Natasha flüsternd und trat näher an Nikolai und Sonya heran, als Dimmler bereits fertig war und immer noch saß, schwach an den Saiten zupfte und offenbar unentschlossen war, aufzuhören oder etwas Neues zu beginnen, „das, wenn du dich erinnerst So erinnerst du dich, du erinnerst dich an alles.“ Du erinnerst dich so sehr, dass du dich daran erinnerst, was passiert ist, bevor ich auf der Welt war ...
„Das ist Metampsic“, sagte Sonya, die immer gut lernte und sich an alles erinnerte. – Die Ägypter glaubten, dass unsere Seelen in Tieren seien und zu Tieren zurückkehren würden.
„Nein, weißt du, ich glaube nicht, dass wir Tiere waren“, sagte Natasha im selben Flüstern, obwohl die Musik verstummt war, „aber ich weiß mit Sicherheit, dass wir hier und da irgendwo Engel waren, und deshalb.“ wir erinnern uns an alles.“
-Kann ich mitmachen? - sagte Dimmler, der leise näher kam und sich neben sie setzte.
- Wenn wir Engel wären, warum sind wir dann tiefer gefallen? - sagte Nikolai. - Nein, das kann nicht sein!
„Nicht niedriger, wer hat dir das unten gesagt? … Warum weiß ich, was ich vorher war“, widersprach Natasha überzeugt. - Schließlich ist die Seele unsterblich... Wenn ich also für immer lebe, habe ich zuvor so gelebt, für alle Ewigkeit.
„Ja, aber wir können uns die Ewigkeit nur schwer vorstellen“, sagte Dimmler, der mit einem sanftmütigen, verächtlichen Lächeln auf die jungen Leute zuging, nun aber genauso leise und ernst sprach wie sie.
– Warum ist es schwierig, sich die Ewigkeit vorzustellen? – sagte Natascha. - Heute wird es sein, morgen wird es sein, es wird immer sein und gestern war es und gestern war es...
- Natascha! Jetzt bist du dran. „Sing mir etwas“, war die Stimme der Gräfin zu hören. - Dass Sie sich wie Verschwörer hingesetzt haben.
- Mama! „Das möchte ich nicht tun“, sagte Natasha, stand aber gleichzeitig auf.
Sie alle, auch der mittelalte Dimmler, wollten das Gespräch nicht unterbrechen und die Sofaecke verlassen, aber Natascha stand auf und Nikolai setzte sich ans Clavichord. Wie immer begann Natasha, in der Mitte des Saals stehend und den günstigsten Ort für die Resonanz zu wählen, das Lieblingsstück ihrer Mutter zu singen.
Sie sagte, sie wolle nicht singen, aber sie habe schon lange nicht mehr gesungen, so wie sie an diesem Abend gesungen habe. Graf Ilya Andreich hörte sie aus dem Büro, in dem er mit Mitinka sprach, singen, und wie ein Student, der es eilig hatte, zum Spielen zu gehen, nachdem er die Unterrichtsstunde beendet hatte, geriet er in seinen Worten in Verwirrung, gab dem Manager Befehle und verstummte schließlich , und Mitinka, die ebenfalls schweigend und lächelnd zuhörte, stand vor dem Grafen. Nikolai ließ seine Schwester nicht aus den Augen und atmete mit ihr ein. Als Sonya zuhörte, dachte sie darüber nach, wie groß der Unterschied zwischen ihr und ihrer Freundin war und wie unmöglich es für sie war, auch nur annähernd so charmant zu sein wie ihre Cousine. Die alte Gräfin saß mit einem glücklichen, traurigen Lächeln und Tränen in den Augen da und schüttelte gelegentlich den Kopf. Sie dachte an Natasha und an ihre Jugend und daran, dass diese bevorstehende Hochzeit von Natasha mit Prinz Andrei etwas Unnatürliches und Schreckliches an sich hatte.
Dimmler setzte sich neben die Gräfin, schloss die Augen und lauschte.
„Nein, Gräfin“, sagte er schließlich, „das ist ein europäisches Talent, sie muss nichts lernen, diese Sanftheit, Zärtlichkeit, Stärke ...“
- Ah! „Wie viel Angst ich um sie habe, wie viel Angst ich habe“, sagte die Gräfin, ohne sich daran zu erinnern, mit wem sie sprach. Ihr mütterlicher Instinkt sagte ihr, dass in Natasha etwas zu viel sei und dass dies sie nicht glücklich machen würde. Natasha hatte noch nicht zu Ende gesungen, als die begeisterte vierzehnjährige Petya mit der Nachricht, dass die Mummer angekommen waren, ins Zimmer lief.
Natascha blieb plötzlich stehen.
- Narr! - Sie schrie ihren Bruder an, rannte auf den Stuhl zu, fiel darauf und schluchzte so sehr, dass sie lange nicht aufhören konnte.
„Nichts, Mama, wirklich nichts, einfach so: Petja hat mir Angst gemacht“, sagte sie und versuchte zu lächeln, aber die Tränen flossen weiter und Schluchzen erstickte ihre Kehle.
Verkleidete Diener, Bären, Türken, Wirte, Damen, gruselig und lustig, Kälte und Spaß mit sich bringend, zunächst schüchtern zusammengedrängt im Flur; dann wurden sie, einer hinter dem anderen versteckt, in die Halle gezwungen; und zunächst schüchtern, dann immer fröhlicher und freundschaftlicher begannen Lieder, Tänze, Chor- und Weihnachtsspiele. Die Gräfin, die die Gesichter erkannte und über die Verkleideten lachte, ging ins Wohnzimmer. Graf Ilja Andreich saß mit strahlendem Lächeln im Saal und lobte die Spieler. Der Jugendliche ist irgendwo verschwunden.

Schon in der Schule werden alle Schüler mit dem Konzept der „euklidischen Geometrie“ vertraut gemacht, deren Hauptinhalte sich auf mehrere Axiome konzentrieren, die auf geometrischen Elementen wie einem Punkt, einer Ebene, einer geraden Linie und einer Bewegung basieren. Sie alle zusammen bilden das, was seit langem als „Euklidischer Raum“ bekannt ist.

Der Euklidische Raum, der auf dem Prinzip der Skalarmultiplikation von Vektoren basiert, ist ein Sonderfall eines linearen (affinen) Raums, der eine Reihe von Anforderungen erfüllt. Erstens ist das Skalarprodukt von Vektoren absolut symmetrisch, d. h. ein Vektor mit den Koordinaten (x;y) ist quantitativ identisch mit einem Vektor mit den Koordinaten (y;x), jedoch in entgegengesetzter Richtung.

Zweitens, wenn ein Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst durchgeführt wird, ist das Ergebnis dieser Aktion positiv. Die einzige Ausnahme ist der Fall, wenn die Anfangs- und Endkoordinaten dieses Vektors gleich Null sind: In diesem Fall ist auch sein Produkt mit sich selbst gleich Null.

Drittens ist das Skalarprodukt distributiv, d. h. es besteht die Möglichkeit, eine seiner Koordinaten in die Summe zweier Werte zu zerlegen, was keine Änderungen am Endergebnis der Skalarmultiplikation von Vektoren zur Folge hat. Viertens schließlich erhöht sich bei der Multiplikation von Vektoren mit demselben Faktor auch deren Skalarprodukt um denselben Betrag.

Wenn alle diese vier Bedingungen erfüllt sind, können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich um einen euklidischen Raum handelt.

Aus praktischer Sicht lässt sich der euklidische Raum durch die folgenden konkreten Beispiele charakterisieren:

1. Der einfachste Fall ist das Vorhandensein einer Menge von Vektoren mit einem Skalarprodukt, das gemäß den Grundgesetzen der Geometrie definiert ist.
2. Der euklidische Raum wird auch dann erhalten, wenn wir unter Vektoren eine bestimmte endliche Menge reeller Zahlen verstehen, deren Skalarsumme oder Produkt eine gegebene Formel beschreibt.
3. Als Sonderfall des euklidischen Raums ist der sogenannte Nullraum zu erkennen, der entsteht, wenn die Skalarlänge beider Vektoren gleich Null ist.

Der euklidische Raum hat eine Reihe spezifischer Eigenschaften. Erstens kann der Skalarfaktor sowohl aus dem ersten als auch dem zweiten Faktor des Skalarprodukts aus Klammern entnommen werden, das Ergebnis erfährt keine Änderungen. Zweitens wirkt neben der Distributivität des ersten Elements des Skalarprodukts auch die Distributivität des zweiten Elements. Zusätzlich zur skalaren Summe von Vektoren tritt Distributivität auch bei der Subtraktion von Vektoren auf. Drittens schließlich ist das Ergebnis bei der Skalarmultiplikation eines Vektors mit Null ebenfalls gleich Null.

Somit ist der euklidische Raum das wichtigste geometrische Konzept, das zur Lösung von Problemen mit der relativen Position von Vektoren relativ zueinander verwendet wird, zu dessen Charakterisierung ein Konzept wie ein Skalarprodukt verwendet wird.

Euklidischer Raum

T.A. Volkova, T.P. Knysh.

UND QUADRATISCHE FORMEN

EUKLIDISCHER RAUM

Sankt Petersburg

Gutachter: Kandidatin der technischen Wissenschaften, außerordentliche Professorin Shkadova A.R.

Euklidischer Raum und quadratische Formen: Vorlesungsskript. – St. Petersburg: SPGUVK, 2012 – S.

Das Vorlesungsskript richtet sich an Zweitsemesterstudierende des Bachelorstudiengangs 010400.62 „Angewandte Mathematik und Informatik“ und Erstsemesterstudierende des Bachelorstudiengangs 090900.62 „Informationssicherheit“.

Das Handbuch enthält ein vollständiges Vorlesungsskript zu einem der Abschnitte der Disziplin „Geometrie und Algebra“ für die Richtung 010400.62 und der Disziplin „Algebra und Geometrie“ für die Richtung 090900.62. Das Lehrbuch entspricht den Arbeitsprogrammen der Disziplinen, den Standards dieser Fachgebiete und können von Studierenden und Lehrenden zur Prüfungsvorbereitung genutzt werden.

©Staat St. Petersburg

Universität für Wasserkommunikation, 2012

Viele Eigenschaften von Objekten in der Geometrie hängen eng mit der Fähigkeit zusammen, die Länge von Segmenten und den Winkel zwischen geraden Linien zu messen. Im linearen Raum können wir solche Messungen noch nicht durchführen, wodurch der Anwendungsbereich der allgemeinen Theorie linearer Räume auf die Geometrie und eine Reihe anderer mathematischer Disziplinen erheblich eingeschränkt ist. Diese Schwierigkeit kann jedoch durch die Einführung des Konzepts des Skalarprodukts zweier Vektoren beseitigt werden. Es sei nämlich ein linear-dimensionaler realer Raum. Ordnen wir jedem Vektorpaar eine reelle Zahl zu und nennen diese Zahl Skalarprodukt Vektoren und wenn die folgenden Anforderungen erfüllt sind:

1. (Kommutativgesetz).

3. für jeden echten.

4. für jeden Vektor ungleich Null.

Das Skalarprodukt ist ein Sonderfall des Konzepts numerische Funktion zweier Vektorargumente, also Funktionen, deren Werte Zahlen sind. Wir können daher ein Skalarprodukt als numerische Funktion von Vektorargumenten bezeichnen, deren Werte für alle Werte der Argumente gelten und für die die Anforderungen 1 − 4 erfüllt sind.

Es wird ein reeller linearer Raum aufgerufen, in dem das Skalarprodukt definiert ist Euklidisch und wird mit bezeichnet.

Beachten Sie, dass im euklidischen Raum das Skalarprodukt eines Nullvektors und eines beliebigen Vektors gleich Null ist: . Tatsächlich und aufgrund der Anforderung 3. Vorausgesetzt, wir verstehen das. Daher insbesondere .

1. Sei der übliche dreidimensionale Raum geometrischer Vektoren mit einem gemeinsamen Ursprung im Punkt . In der analytischen Geometrie ist das Skalarprodukt zweier solcher Vektoren eine reelle Zahl gleich , wobei und die Längen der Vektoren und sind und der Winkel zwischen den Vektoren , ist, und es ist bewiesen, dass für diese Zahl alle Anforderungen 1 − 4 sind sind zufrieden.

Somit ist das von uns eingeführte Konzept eines Skalarprodukts eine Verallgemeinerung des Konzepts eines Skalarprodukts geometrischer Vektoren.

2. Betrachten Sie den Raum dimensionaler Zeilen mit reellen Koordinaten und weisen Sie jedem Paar solcher Zeilenvektoren eine reelle Zahl zu

Es lässt sich leicht überprüfen, ob für diese Zahl alle Anforderungen 1 − 4 erfüllt sind:

und ebenfalls. Endlich,

da mindestens eine der Zahlen bei von Null verschieden ist.

Von hier aus sehen wir, dass diese Zahl das Skalarprodukt der String-Vektoren und ist und der Raum, nachdem wir ein solches Skalarprodukt eingeführt haben, euklidisch wird.

3. Sei ein linearer realdimensionaler Raum und sei eine seiner Grundlagen. Ordnen wir jedem Vektorpaar eine reelle Zahl zu. Dann wird der Raum euklidisch, d. h. die Zahl ist das Skalarprodukt der Vektoren und . Tatsächlich:

Wir können unseren Raum sogar auf andere Weise in einen euklidischen Raum umwandeln, indem wir beispielsweise einem Vektorenpaar eine reelle Zahl zuweisen

und es ist leicht zu überprüfen, dass für eine solche Zahl alle Anforderungen 1 − 4, die das Skalarprodukt charakterisieren, erfüllt sind. Da wir hier aber (bei gleicher Basis) eine andere numerische Funktion definiert haben, erhalten wir einen anderen euklidischen Raum mit einer anderen „Maßdefinition“.

4. Wenden wir uns schließlich demselben Raum zu und betrachten wir die numerische Funktion, die für durch die Gleichheit definiert ist. Diese Funktion ist kein Skalarprodukt mehr, da Anforderung 4 verletzt ist: Wenn , ist der Vektor gleich , a . Daher kann hier kein euklidischer Raum erhalten werden.

Unter Verwendung der in der Definition des Skalarprodukts enthaltenen Anforderungen 2 und 3 lässt sich leicht die folgende Formel erhalten:

wobei , zwei beliebige Vektorsysteme sind. Von hier aus ergibt sich insbesondere für eine beliebige Basis und für jedes Vektorpaar , , das

Wo . Der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichheit (1) ist ein Polynom in und und heißt bilineare Form von und (jeder seiner Terme ist linear, d. h. vom ersten Grad, sowohl in Bezug auf als auch in Bezug auf ). Die bilineare Form heißt symmetrisch, wenn für jeden seiner Koeffizienten die Symmetriebedingung erfüllt ist. Auf diese Weise, Skalarprodukt auf willkürlicher Basis ausgedrückt als bilineare symmetrische Form der Vektorkoordinaten , mit echten Chancen. Aber das reicht immer noch nicht aus. Nämlich, Einstellung, wir erhalten aus Gleichheit (1) das

§3. Dimension und Basis des Vektorraums

Linearkombination von Vektoren

Triviale und nicht triviale Linearkombination

Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren

Eigenschaften des Vektorraums im Zusammenhang mit der linearen Abhängigkeit von Vektoren

P-dimensionaler Vektorraum

Dimension des Vektorraums

Zerlegung eines Vektors in eine Basis

§4. Übergang auf eine neue Basis

Übergangsmatrix von der alten zur neuen Basis

Vektorkoordinaten in der neuen Basis

§5. Euklidischer Raum

Skalarprodukt

Euklidischer Raum

Länge (Norm) des Vektors

Eigenschaften der Vektorlänge

Winkel zwischen Vektoren

Orthogonale Vektoren

Orthonormale Basis

§ 3. Dimension und Basis des Vektorraums

Betrachten Sie einen Vektorraum (V, Å, ∘) über dem Feld R. Seien einige Elemente der Menge V, d.h. Vektoren.

Lineare Kombination Vektoren ist jeder Vektor, der der Summe der Produkte dieser Vektoren durch beliebige Elemente des Feldes entspricht R(d. h. auf Skalaren):

Sind alle Skalare gleich Null, so heißt eine solche Linearkombination trivial(das einfachste) und .

Wenn mindestens ein Skalar ungleich Null ist, wird die Linearkombination aufgerufen nicht trivial.

Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination dieser Vektoren gleich ist:

Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn es mindestens eine nichttriviale Linearkombination dieser Vektoren gibt, die gleich ist.

Beispiel. Betrachten Sie die Menge der geordneten Mengen von Vierfachen reeller Zahlen – dies ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen. Aufgabe: Finden Sie heraus, ob die Vektoren vorhanden sind , Und linear abhängig.

Lösung.

Machen wir eine lineare Kombination dieser Vektoren: , wobei unbekannte Zahlen sind. Wir verlangen, dass diese Linearkombination gleich dem Nullvektor ist: .

In dieser Gleichung schreiben wir die Vektoren als Zahlenspalten:

Wenn es Zahlen gibt, für die diese Gleichheit gilt, und mindestens eine der Zahlen ungleich Null ist, dann handelt es sich um eine nicht triviale Linearkombination und die Vektoren sind linear abhängig.

Machen wir Folgendes:

Somit reduziert sich das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems:

Wenn wir es lösen, erhalten wir:

Die Ränge der erweiterten Matrizen und der Hauptmatrizen des Systems sind gleich und kleiner als die Anzahl der Unbekannten, daher hat das System unendlich viele Lösungen.

Lass , dann und .

Für diese Vektoren gibt es also eine nicht triviale Linearkombination, beispielsweise bei , die gleich dem Nullvektor ist, was bedeutet, dass diese Vektoren linear abhängig sind.

Lassen Sie uns einige notieren Eigenschaften des Vektorraums im Zusammenhang mit der linearen Abhängigkeit von Vektoren:

1. Wenn die Vektoren linear abhängig sind, dann ist mindestens einer von ihnen eine Linearkombination der anderen.

2. Wenn es unter den Vektoren einen Nullvektor gibt, dann sind diese Vektoren linear abhängig.

3. Wenn einige der Vektoren linear abhängig sind, dann sind alle diese Vektoren linear abhängig.

Der Vektorraum V heißt P-dimensionaler Vektorraum, wenn es enthält P linear unabhängige Vektoren und jede Menge von ( P+ 1) Vektoren ist linear abhängig.

Nummer P angerufen Dimension des Vektorraums, und wird bezeichnet schwach(V) vom englischen „dimension“ – Dimension (Maß, Größe, Abmessung, Größe, Länge usw.).

Gesamtheit P linear unabhängige Vektoren P-dimensionaler Vektorraum heißt Basis.

Die Formel (*) heißt Vektorzerlegung nach Basis, und die Zahlen – Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage .

Ein Vektorraum kann mehr als eine oder sogar unendlich viele Basen haben. In jeder neuen Basis hat derselbe Vektor unterschiedliche Koordinaten.

§ 4. Übergang auf eine neue Basis

In der linearen Algebra entsteht oft das Problem, die Koordinaten eines Vektors in einer neuen Basis zu finden, wenn seine Koordinaten in der alten Basis bekannt sind.

Schauen wir uns einige an P-dimensionaler Vektorraum (V, +, ·) über dem Körper R. In diesem Raum soll es zwei Basen geben: alte und neue .

Aufgabe: Finden Sie die Koordinaten des Vektors in der neuen Basis.

Die Vektoren der neuen Basis in der alten Basis hätten die Entwicklung:

,

Schreiben wir die Koordinaten der Vektoren nicht in Zeilen, wie sie im System geschrieben werden, sondern in Spalten in die Matrix:

Die resultierende Matrix heißt Übergangsmatrix Von der alten Basis zur neuen.

Die Übergangsmatrix verbindet die Koordinaten jedes Vektors in der alten und neuen Basis durch die folgende Beziehung:

,

Wo sind die gewünschten Koordinaten des Vektors in der neuen Basis?

Somit reduziert sich die Aufgabe, die Vektorkoordinaten in einer neuen Basis zu finden, auf die Lösung der Matrixgleichung: , wo X– Matrixspalte von Vektorkoordinaten in der alten Basis, A– Übergangsmatrix von der alten zur neuen Basis, X* – die erforderliche Matrixspalte mit Vektorkoordinaten in der neuen Basis. Aus der Matrixgleichung erhalten wir:

Also, Vektorkoordinaten auf neuer Basis ergeben sich aus der Gleichheit:

.

Beispiel. Auf einer bestimmten Basis sind die Vektorzerlegungen gegeben:

Finden Sie die Koordinaten des Vektors in der Basis.

Lösung.

1. Schreiben wir die Übergangsmatrix auf eine neue Basis, d. h. Wir werden die Koordinaten der Vektoren in der alten Basis in Spalten schreiben:

2. Finden Sie die Matrix A –1:

3. Führen Sie eine Multiplikation durch, wobei die Koordinaten des Vektors sind:

Antwort: .

§ 5. Euklidischer Raum

Schauen wir uns einige an P-dimensionaler Vektorraum (V, +, ·) über dem Körper der reellen Zahlen R. Lassen Sie uns eine Grundlage für diesen Raum sein.

Lassen Sie uns in diesen Vektorraum einführen metrisch, d.h. Lassen Sie uns bestimmen, wie Längen und Winkel gemessen werden. Dazu definieren wir den Begriff eines Skalarprodukts.