Stellen Sie die Gleichung y x quadriert grafisch dar. Funktion y = x2 und ihr Graph – Wissens-Hypermarkt
Wie zeichnet man die Funktion y=x im Quadrat+2x-5 grafisch auf? und bekam die beste Antwort
Antwort von Alexey Popov (Ozean)[Guru]
Die Funktion ist quadratisch und ihr Graph ist parabolisch. Lassen Sie uns die Koordinaten des Scheitelpunkts dieser Parabel ermitteln: X und berechnen). Wir markieren den Scheitelpunkt der Parabel A (-1;-6) im Koordinatensystem. Und von diesem Punkt (von Punkt A) aus markieren wir die gefundenen Punkte mit der Formel y=x im Quadrat, also Punkte (1;1) (-1;1)(2;4) (-2;4) (3 ;9) ( -3;9) Achtung! Wir zeichnen alle diese Punkte vom Scheitelpunkt der Parabel aus, vom Punkt A (und nicht vom Punkt O, dem Koordinatenursprung) aus.
Antwort von Yergey Cherevan[Meister]
Nehmen Sie x=0 – dies wird der Anfang des Diagramms sein, und nehmen Sie dann 4 Punkte x=1, x=-1, x=2 und x=-2 und erstellen Sie ein Diagramm, das als Parabel bezeichnet wird
Antwort von Elena Fedyukina[Guru]
Quadratische Funktion, Parabelgraph, Aufwärtswind. Eckpunkte entlang der x-Achse = -1, entlang der y-Achse = -5.
Antwort von Anna Egorova[Guru]
y=x im Quadrat+2x-5 Graph-Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind (a=1 ist größer als Null), finden Sie die Spitze der Parabel: m= -b geteilt durch 2a - das ist die Koordinate entlang die x-Achse - wird -1 sein; y-Koordinate: Sie setzen sie in Ihre Funktion ein: Sie wird -6 sein, was bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel (-1;-6) ist. Zeichnen Sie dann eine Tabelle mit den Werten von x und y, zum Beispiel für x=- 3, y=-2; x=-2, y =-5; x=-1,y=-6; x=0, y=-5; x=1, y=-2; x=2, y=3, dann markieren Sie diese Punkte auf der Koordinatenebene und verbinden)))
Antwort von Bibi[Guru]
y=x in Quadrat. +2x-5, isoliert man das Quadrat des Binomials, erhält man y=(x +1)sq. -6 Daraus folgt, dass die Spitze (-1;-6) ist. Der Graph einer Funktion ist eine Parabel. Die Äste der Parabel sind senkrecht nach oben gerichtet, da vor der Klammer (a) kein Minus steht.
Antwort von 2 Antworten[Guru]
Hallo! Hier finden Sie eine Auswahl an Themen mit Antworten auf Ihre Frage: Wie zeichnet man die Funktion y=x im Quadrat+2x-5 grafisch auf?
Zuvor haben wir andere Funktionen untersucht, beispielsweise lineare. Erinnern wir uns an ihre Standardform:
daher der offensichtliche grundlegende Unterschied - in der linearen Funktion X steht im ersten Grad und in der neuen Funktion, die wir zu studieren beginnen, X steht zur zweiten Potenz.
Denken Sie daran, dass der Graph einer linearen Funktion eine gerade Linie ist und der Graph einer Funktion, wie wir sehen werden, eine Kurve ist, die Parabel genannt wird.
Beginnen wir damit, herauszufinden, woher die Formel stammt. Die Erklärung ist folgende: Wenn uns ein Quadrat mit einer Seite gegeben wird A, dann können wir seine Fläche wie folgt berechnen:
Wenn wir die Seitenlänge eines Quadrats ändern, ändert sich auch seine Fläche.
Dies ist also einer der Gründe, warum die Funktion untersucht wird
Denken Sie daran, dass die Variable X- Dies ist eine unabhängige Variable oder ein Argument in einer physikalischen Interpretation, es kann beispielsweise die Zeit sein. Die Entfernung ist dagegen eine abhängige Variable; sie hängt von der Zeit ab. Die abhängige Variable oder Funktion ist eine Variable bei.
Dies ist das Gesetz der Korrespondenz, nach dem jeder Wert X Es wird ein einzelner Wert zugewiesen bei.
Jedes Korrespondenzgesetz muss die Anforderung der Eindeutigkeit von Argument zu Funktion erfüllen. In einer physikalischen Interpretation wird dies am Beispiel der Abhängigkeit der Entfernung von der Zeit ganz deutlich: Zu jedem Zeitpunkt befinden wir uns in einer bestimmten Entfernung vom Startpunkt, und es ist unmöglich, sowohl 10 als auch 20 Kilometer vom Startpunkt entfernt zu sein der Fahrt gleichzeitig zum Zeitpunkt t.
Gleichzeitig kann jeder Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden.
Wir müssen also einen Graphen der Funktion erstellen und dazu eine Tabelle erstellen. Studieren Sie dann die Funktion und ihre Eigenschaften anhand des Diagramms. Aber noch bevor wir einen Graphen basierend auf dem Funktionstyp konstruieren, können wir etwas über seine Eigenschaften sagen: Das ist offensichtlich bei kann keine negativen Werte annehmen, da
Machen wir also eine Tabelle:
Reis. 1
Aus der Grafik lassen sich leicht die folgenden Eigenschaften erkennen:
Achse bei- Dies ist die Symmetrieachse des Diagramms;
Der Scheitelpunkt der Parabel ist Punkt (0; 0);
Wir sehen, dass die Funktion nur nichtnegative Werte akzeptiert;
In dem Intervall wo 
die Funktion nimmt ab und auf dem Intervall, in dem die Funktion zunimmt;
Die Funktion erhält ihren kleinsten Wert am Scheitelpunkt, 
;
Es gibt keinen größten Wert einer Funktion;
Beispiel 1
Zustand:
Lösung:
Weil das X Durch Bedingungsänderungen in einem bestimmten Intervall können wir über die Funktion sagen, dass sie im Intervall zunimmt und sich ändert. Die Funktion hat in diesem Intervall einen Minimalwert und einen Maximalwert
Reis. 2. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈
Beispiel 2
Zustand: Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion:
Lösung:
Xändert sich im Laufe des Intervalls, was bedeutet bei nimmt im Intervall while ab und nimmt im Intervall while zu.
Also die Grenzen der Veränderung X und die Grenzen des Wandels bei und daher gibt es in einem gegebenen Intervall sowohl einen Minimalwert der Funktion als auch einen Maximalwert
Reis. 3. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Lassen Sie uns die Tatsache veranschaulichen, dass der gleiche Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden kann.
Wählen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene und zeichnen wir die Werte des Arguments auf der Abszissenachse auf X, und auf der Ordinate - die Werte der Funktion y = f(x).
Funktionsgraph y = f(x) ist die Menge aller Punkte, deren Abszissen zum Definitionsbereich der Funktion gehören und deren Ordinaten gleich den entsprechenden Werten der Funktion sind.
Mit anderen Worten, der Graph der Funktion y = f (x) ist die Menge aller Punkte der Ebene, Koordinaten X, bei die die Relation erfüllen y = f(x).
In Abb. 45 und 46 zeigen Funktionsgraphen y = 2x + 1 Und y = x 2 - 2x.
Streng genommen sollte man zwischen einem Graphen einer Funktion (deren genaue mathematische Definition oben gegeben wurde) und einer gezeichneten Kurve unterscheiden, die immer nur eine mehr oder weniger genaue Skizze des Graphen liefert (und selbst dann in der Regel nicht der gesamte Graph, sondern nur sein Teil, der sich in den letzten Teilen der Ebene befindet). Im Folgenden werden wir jedoch generell von „Grafik“ und nicht von „Grafikskizze“ sprechen.
Mithilfe eines Diagramms können Sie den Wert einer Funktion an einem Punkt ermitteln. Nämlich, wenn der Punkt x = a gehört zum Definitionsbereich der Funktion y = f(x), dann um die Nummer zu finden Fa)(also die Funktionswerte am Punkt x = a) du solltest das tun. Es ist notwendig, durch den Abszissenpunkt zu gehen x = a Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zur Ordinatenachse. Diese Linie schneidet den Graphen der Funktion y = f(x) an einer Stelle; Die Ordinate dieses Punktes ist aufgrund der Definition des Diagramms gleich Fa)(Abb. 47).
Zum Beispiel für die Funktion f(x) = x 2 - 2x Mithilfe des Diagramms (Abb. 46) finden wir f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 usw.
Ein Funktionsgraph veranschaulicht anschaulich das Verhalten und die Eigenschaften einer Funktion. Aus der Betrachtung von Abb. 46 Es ist klar, dass die Funktion y = x 2 - 2x nimmt positive Werte an, wenn X< 0 und bei x > 2, negativ - bei 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x akzeptiert bei x = 1.
Eine Funktion grafisch darstellen f(x) Sie müssen alle Punkte der Ebene und Koordinaten finden X,bei die die Gleichung erfüllen y = f(x). In den meisten Fällen ist dies nicht möglich, da es unendlich viele solcher Punkte gibt. Daher wird der Graph der Funktion näherungsweise dargestellt – mit mehr oder weniger Genauigkeit. Am einfachsten ist es, einen Graphen anhand mehrerer Punkte zu zeichnen. Es besteht darin, dass das Argument X Geben Sie eine endliche Anzahl von Werten an – sagen wir x 1, x 2, x 3,..., x k und erstellen Sie eine Tabelle, die die ausgewählten Funktionswerte enthält.
Die Tabelle sieht so aus:
Nachdem wir eine solche Tabelle zusammengestellt haben, können wir mehrere Punkte im Funktionsgraphen skizzieren y = f(x). Wenn wir diese Punkte dann mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir eine ungefähre Ansicht des Funktionsgraphen y = f(x).
Es ist jedoch zu beachten, dass die Mehrpunkt-Plotmethode sehr unzuverlässig ist. Tatsächlich bleibt das Verhalten des Graphen zwischen den beabsichtigten Punkten und sein Verhalten außerhalb des Segments zwischen den aufgenommenen Extrempunkten unbekannt.
Beispiel 1. Eine Funktion grafisch darstellen y = f(x) jemand hat eine Tabelle mit Argument- und Funktionswerten zusammengestellt:
Die entsprechenden fünf Punkte sind in Abb. dargestellt. 48.
Aufgrund der Lage dieser Punkte kam er zu dem Schluss, dass der Graph der Funktion eine gerade Linie ist (in Abb. 48 mit einer gepunkteten Linie dargestellt). Kann diese Schlussfolgerung als zuverlässig angesehen werden? Sofern es keine zusätzlichen Überlegungen gibt, die diese Schlussfolgerung stützen, kann sie kaum als zuverlässig angesehen werden. zuverlässig.
Um unsere Aussage zu untermauern, betrachten wir die Funktion
.
Berechnungen zeigen, dass die Werte dieser Funktion an den Punkten -2, -1, 0, 1, 2 durch die obige Tabelle genau beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion ist jedoch überhaupt keine Gerade (er ist in Abb. 49 dargestellt). Ein anderes Beispiel wäre die Funktion y = x + l + sinπx; Seine Bedeutung ist ebenfalls in der obigen Tabelle beschrieben.
Diese Beispiele zeigen, dass die Methode zur Erstellung eines Diagramms aus mehreren Punkten in ihrer „reinen“ Form unzuverlässig ist. Um einen Graphen einer bestimmten Funktion zu zeichnen, gehen Sie daher in der Regel wie folgt vor. Zunächst werden die Eigenschaften dieser Funktion untersucht, mit deren Hilfe Sie eine Skizze des Diagramms erstellen können. Durch Berechnen der Werte der Funktion an mehreren Punkten (deren Wahl von den festgelegten Eigenschaften der Funktion abhängt) werden dann die entsprechenden Punkte des Diagramms gefunden. Und schließlich wird mithilfe der Eigenschaften dieser Funktion eine Kurve durch die konstruierten Punkte gezeichnet.
Wir werden uns später einige (die einfachsten und am häufigsten verwendeten) Eigenschaften von Funktionen ansehen, die zum Auffinden einer Diagrammskizze verwendet werden, aber jetzt werden wir uns einige häufig verwendete Methoden zum Erstellen von Diagrammen ansehen.
Graph der Funktion y = |f(x)|.
Oft ist es notwendig, eine Funktion darzustellen y = |f(x)|, wo f(x) - gegebene Funktion. Wir erinnern Sie daran, wie das geht. Indem wir den absoluten Wert einer Zahl definieren, können wir schreiben
Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion y =|f(x)| kann aus dem Graphen, der Funktion, erhalten werden y = f(x) wie folgt: alle Punkte im Graphen der Funktion y = f(x), deren Ordinaten nicht negativ sind, sollte unverändert bleiben; weiter, anstelle der Punkte des Funktionsgraphen y = f(x) Wenn Sie negative Koordinaten haben, sollten Sie die entsprechenden Punkte im Diagramm der Funktion konstruieren y = -f(x)(d. h. Teil des Graphen der Funktion
y = f(x), die unterhalb der Achse liegt X, sollte symmetrisch um die Achse gespiegelt werden X).
Beispiel 2. Stellen Sie die Funktion grafisch dar y = |x|.
Nehmen wir den Graphen der Funktion y = x(Abb. 50, a) und Teil dieser Grafik bei X< 0 (unter der Achse liegend X) symmetrisch zur Achse reflektiert X. Als Ergebnis erhalten wir einen Graphen der Funktion y = |x|(Abb. 50, b).
Beispiel 3. Stellen Sie die Funktion grafisch dar y = |x 2 - 2x|.
Lassen Sie uns zunächst die Funktion grafisch darstellen y = x 2 - 2x. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten (1; -1), ihr Graph schneidet die x-Achse in den Punkten 0 und 2. Im Intervall (0; 2) Die Funktion nimmt negative Werte an, daher ist dieser Teil des Diagramms relativ zur Abszissenachse symmetrisch gespiegelt. Abbildung 51 zeigt den Graphen der Funktion y = |x 2 -2x|, basierend auf dem Graphen der Funktion y = x 2 - 2x
Graph der Funktion y = f(x) + g(x)
Betrachten Sie das Problem der Konstruktion eines Funktionsgraphen y = f(x) + g(x). wenn Funktionsgraphen gegeben sind y = f(x) Und y = g(x).
Beachten Sie, dass der Definitionsbereich der Funktion y = |f(x) + g(x)| ist die Menge aller Werte von x, für die beide Funktionen y = f(x) und y = g(x) definiert sind, d. h. dieser Definitionsbereich ist der Schnittpunkt der Definitionsbereiche, Funktionen f(x) und g(x).
Lassen Sie die Punkte (x 0 , y 1) Und (x 0, y 2) gehören jeweils zu den Funktionsgraphen y = f(x) Und y = g(x), d.h. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Dann gehört der Punkt (x0;. y1 + y2) zum Graphen der Funktion y = f(x) + g(x)(für f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. und jeder Punkt im Graphen der Funktion y = f(x) + g(x) können auf diese Weise erhalten werden. Daher der Graph der Funktion y = f(x) + g(x) kann aus Funktionsgraphen gewonnen werden y = f(x). Und y = g(x) Ersetzen Sie jeden Punkt ( x n, y 1) Funktionsgrafiken y = f(x) Punkt (x n, y 1 + y 2), Wo y 2 = g(x n), d. h. durch Verschieben jedes Punktes ( x n, y 1) Funktionsgraph y = f(x) entlang der Achse bei um den Betrag y 1 = g(x n). In diesem Fall werden nur solche Punkte berücksichtigt X n, für die beide Funktionen definiert sind y = f(x) Und y = g(x).
Diese Methode zum Zeichnen einer Funktion y = f(x) + g(x) heißt Addition von Funktionsgraphen y = f(x) Und y = g(x)
Beispiel 4. In der Abbildung wurde ein Diagramm der Funktion mithilfe der Methode zum Hinzufügen von Diagrammen erstellt
y = x + sinx.
Beim Zeichnen einer Funktion y = x + sinx das dachten wir f(x) = x, A g(x) = sinx. Um den Funktionsgraphen darzustellen, wählen wir Punkte mit den Abszissen -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, 1,5, 2 aus. Werte f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Berechnen wir an den ausgewählten Punkten und tragen die Ergebnisse in die Tabelle ein.
Die Konstruktion von Funktionsgraphen, die Module enthalten, bereitet Schülern meist erhebliche Schwierigkeiten. Es ist jedoch nicht alles so schlimm. Es reicht aus, sich ein paar Algorithmen zur Lösung solcher Probleme zu merken, und Sie können problemlos einen Graphen selbst der scheinbar komplexesten Funktion erstellen. Lassen Sie uns herausfinden, um welche Art von Algorithmen es sich handelt.
1. Zeichnen eines Graphen der Funktion y = |f(x)|
Beachten Sie, dass die Menge der Funktionswerte y = |f(x)| : y ≥ 0. Somit liegen die Graphen solcher Funktionen immer vollständig in der oberen Halbebene.
Zeichnen der Funktion y = |f(x)| besteht aus den folgenden einfachen vier Schritten.
1) Konstruieren Sie sorgfältig und sorgfältig einen Graphen der Funktion y = f(x).
2) Lassen Sie alle Punkte im Diagramm unverändert, die über oder auf der 0x-Achse liegen.
3) Zeigen Sie den Teil des Diagramms, der unterhalb der 0x-Achse liegt, symmetrisch relativ zur 0x-Achse an.
Beispiel 1. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = |x 2 – 4x + 3|
1) Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4x + 3. Offensichtlich ist der Graph dieser Funktion eine Parabel. Finden wir die Koordinaten aller Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Daher schneidet die Parabel die 0x-Achse in den Punkten (3, 0) und (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Daher schneidet die Parabel die 0y-Achse im Punkt (0, 3).
Koordinaten des Parabelscheitelpunkts:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Daher ist Punkt (2, -1) der Scheitelpunkt dieser Parabel.
Zeichnen Sie mit den erhaltenen Daten eine Parabel (Abb. 1)
2) Der unter der 0x-Achse liegende Teil des Diagramms wird symmetrisch relativ zur 0x-Achse angezeigt.
3) Wir erhalten einen Graphen der ursprünglichen Funktion ( Reis. 2, dargestellt in gepunkteter Linie).
2. Zeichnen der Funktion y = f(|x|)
Beachten Sie, dass Funktionen der Form y = f(|x|) gerade sind:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Das bedeutet, dass die Graphen solcher Funktionen symmetrisch zur 0y-Achse sind.
Das Zeichnen eines Graphen der Funktion y = f(|x|) besteht aus der folgenden einfachen Aktionskette.
1) Zeichnen Sie die Funktion y = f(x) grafisch auf.
2) Belassen Sie den Teil des Graphen, für den x ≥ 0 ist, also den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.
3) Zeigen Sie den in Punkt (2) angegebenen Teil des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse an.
4) Wählen Sie als endgültige Grafik die Vereinigung der in den Punkten (2) und (3) erhaltenen Kurven aus.
Beispiel 2. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4 · |x| + 3
Da x 2 = |x| 2, dann kann die ursprüngliche Funktion in der folgenden Form umgeschrieben werden: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Jetzt können wir den oben vorgeschlagenen Algorithmus anwenden.
1) Wir erstellen sorgfältig und sorgfältig einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4 x + 3 (siehe auch Reis. 1).
2) Wir verlassen den Teil des Graphen, für den x ≥ 0 ist, also den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.
3) Zeigen Sie die rechte Seite des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse an.
(Abb. 3).
Beispiel 3. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = log 2 |x|
Wir wenden das oben angegebene Schema an.
1) Stellen Sie die Funktion y = log 2 x grafisch dar (Abb. 4).
3. Zeichnen Sie die Funktion y = |f(|x|)|
Beachten Sie, dass Funktionen der Form y = |f(|x|)| sind auch gerade. Tatsächlich ist y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), und daher sind ihre Graphen symmetrisch um die 0y-Achse. Die Wertemenge solcher Funktionen: y ≥ 0. Dies bedeutet, dass die Graphen solcher Funktionen vollständig in der oberen Halbebene liegen.
Um die Funktion y = |f(|x|)| darzustellen, müssen Sie Folgendes tun:
1) Konstruieren Sie sorgfältig einen Graphen der Funktion y = f(|x|).
2) Lassen Sie den Teil des Diagramms, der über oder auf der 0x-Achse liegt, unverändert.
3) Zeigen Sie den Teil des Diagramms unterhalb der 0x-Achse symmetrisch relativ zur 0x-Achse an.
4) Wählen Sie als endgültige Grafik die Vereinigung der in den Punkten (2) und (3) erhaltenen Kurven aus.
Beispiel 4. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Beachten Sie, dass x 2 = |x| 2. Dies bedeutet, dass anstelle der ursprünglichen Funktion y = -x 2 + 2|x| - 1
Sie können die Funktion y = -|x| verwenden 2 + 2|x| – 1, da ihre Diagramme übereinstimmen.
Wir erstellen einen Graphen y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Dazu verwenden wir Algorithmus 2.
a) Stellen Sie die Funktion y = -x 2 + 2x – 1 grafisch dar (Abb. 6).
b) Wir belassen den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.
c) Wir stellen den resultierenden Teil des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse dar.
d) Die resultierende Grafik ist in der Abbildung durch die gepunktete Linie dargestellt (Abb. 7).
2) Es gibt keine Punkte oberhalb der 0x-Achse; wir lassen die Punkte auf der 0x-Achse unverändert.
3) Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der 0x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zu 0x angezeigt.
4) Das resultierende Diagramm ist in der Abbildung mit einer gepunkteten Linie dargestellt (Abb. 8).
Beispiel 5. Stellen Sie die Funktion y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| grafisch dar
1) Zuerst müssen Sie die Funktion y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) zeichnen. Dazu kehren wir zu Algorithmus 2 zurück.
a) Zeichnen Sie sorgfältig die Funktion y = (2x – 4) / (x + 3) (Abb. 9).
Beachten Sie, dass diese Funktion gebrochen linear ist und ihr Graph eine Hyperbel ist. Um eine Kurve darzustellen, müssen Sie zunächst die Asymptoten des Diagramms ermitteln. Horizontal – y = 2/1 (das Verhältnis der Koeffizienten von x im Zähler und Nenner des Bruchs), vertikal – x = -3.
2) Wir lassen den Teil des Diagramms, der über oder auf der 0x-Achse liegt, unverändert.
3) Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der 0x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zu 0x angezeigt.
4) Die endgültige Grafik ist in der Abbildung dargestellt (Abb. 11).
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