Wie man aus dem Sinus den Kosinus berechnet. Beispiele zur Lösung praktischer Probleme

In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick darauf. Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die eine Verbindung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen und es einem ermöglichen, jede dieser trigonometrischen Funktionen über eine bekannte andere zu finden.

Lassen Sie uns gleich die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auflisten, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Schreiben wir sie in eine Tabelle, und unten geben wir die Ergebnisse dieser Formeln an und geben die notwendigen Erklärungen.

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Beziehung zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal geht es nicht um die in der obigen Tabelle aufgeführten wichtigsten trigonometrischen Identitäten, sondern um eine einzige grundlegende trigonometrische Identität Art . Die Erklärung für diese Tatsache ist recht einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Hauptidentität erhalten, nachdem beide Teile durch und bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden Und ergeben sich aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher darauf eingehen.

Das heißt, von besonderem Interesse ist die Gleichheit, die den Namen der wichtigsten trigonometrischen Identität erhielt.

Bevor wir die trigonometrische Hauptidentität beweisen, geben wir ihre Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich eins. Jetzt wollen wir es beweisen.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft verwendet, wenn Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke. Es ermöglicht, die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins zu ersetzen. Nicht seltener wird die grundlegende trigonometrische Identität in umgekehrter Reihenfolge verwendet: Die Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die Tangens und Kotangens mit Sinus und Cosinus eines Blickwinkels verbinden und ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist der Sinus per Definition die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x und der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d. h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, d. h. .

Dank dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und Tangens und Kotangens werden oft nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus definiert. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Cosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass die Identitäten und finden für alle Winkel statt, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen sinnvoll sind. Die Formel gilt also für alle außer (ansonsten hat der Nenner eine Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als wenn z irgendein Wert ist.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

Eine noch offensichtlichere trigonometrische Identität als die beiden vorherigen ist die Identität, die Tangens und Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass dies für alle anderen Winkel als gilt, da sonst entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert sind.

Beweis der Formel sehr einfach. Per Definition und von wo . Der Beweis hätte etwas anders erfolgen können. Seit , Das .

Tangens und Kotangens des gleichen Winkels, bei dem sie einen Sinn ergeben, sind also .

Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Die ersten trigonometrischen Verhältnisse wurden von Astronomen abgeleitet, um einen genauen Kalender und eine genaue Ausrichtung anhand der Sterne zu erstellen. Diese Berechnungen beziehen sich auf die sphärische Trigonometrie, während im Schulkurs das Verhältnis von Seiten und Winkeln eines ebenen Dreiecks untersucht wird.

Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken beschäftigt.

Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Osten bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des Arabischen Kalifats. Insbesondere führte der turkmenische Wissenschaftler al-Marazwi Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Die Konzepte Sinus und Cosinus wurden von indischen Wissenschaftlern eingeführt. Die Trigonometrie fand in den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes große Beachtung.

Grundgrößen der Trigonometrie

Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist die Formulierung besser bekannt: „Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.

Sinus, Kosinus und andere Beziehungen legen die Beziehung zwischen den spitzen Winkeln und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks fest. Stellen wir Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A vor und verfolgen wir die Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:

Wie Sie sehen, sind tg und ctg Umkehrfunktionen. Wenn wir uns Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c vorstellen, erhalten wir die folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:

Trigonometrischer Kreis

Grafisch lässt sich der Zusammenhang zwischen den genannten Größen wie folgt darstellen:

Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α – von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Beispielsweise hat sin α ein „+“-Zeichen, wenn α zum 1. und 2. Viertel des Kreises gehört, also im Bereich von 0° bis 180° liegt. Für α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.

Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.

Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Für sie werden die Werte trigonometrischer Funktionen berechnet und in Form spezieller Tabellen dargestellt.

Diese Winkel wurden nicht zufällig ausgewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen bezieht sich auf das Bogenmaß. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um eine universelle Abhängigkeit herzustellen; bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.

Winkel in Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Bogenmaßwerten:

Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein vollständiger Kreis oder 360° ist.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus

Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer Kurve erfolgen, die in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegt.

Betrachten Sie die Vergleichstabelle der Eigenschaften für Sinus und Cosinus:

Es ist sehr einfach festzustellen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht. Es genügt, sich einen trigonometrischen Kreis mit den Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen gedanklich relativ zur OX-Achse zu „falten“. Wenn die Vorzeichen übereinstimmen, ist die Funktion gerade, andernfalls ist sie ungerade.

Die Einführung des Bogenmaßes und die Auflistung der grundlegenden Eigenschaften von Sinus- und Kosinuswellen ermöglichen uns die Darstellung des folgenden Musters:

Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob die Formel korrekt ist. Für x = π/2 ist beispielsweise der Sinus 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Konsultieren von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.

Eigenschaften von Tangentenoiden und Kotangentenoiden

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich deutlich von den Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Werte tg und ctg sind Kehrwerte voneinander.

1. Y = tan x.
2. Die Tangente tendiert zu den Werten von y bei x = π/2 + πk, erreicht sie aber nie.
3. Die kleinste positive Periode des Tangentoids ist π.
4. Tg (- x) = - tg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
5. Tg x = 0, für x = πk.
6. Die Funktion nimmt zu.
7. Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Ableitung (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Betrachten Sie das grafische Bild des Kotangentoids unten im Text.

Haupteigenschaften von Cotangentoiden:

1. Y = Kinderbett x.
2. Im Gegensatz zu den Sinus- und Cosinusfunktionen kann Y beim Tangentoid die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
3. Der Kotangentoid tendiert zu den Werten von y bei x = πk, erreicht diese aber nie.
4. Die kleinste positive Periode eines Kotangentoids ist π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
6. Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
7. Die Funktion nimmt ab.
8. Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Ableitung (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Richtig

Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus für zwei Winkel α und β ermöglichen es uns, von der Summe dieser Winkel zum Produkt der Winkel α + β 2 und α - β 2 zu gelangen. Beachten wir gleich, dass Sie die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus nicht mit den Formeln für Sinus und Cosinus von Summe und Differenz verwechseln sollten. Im Folgenden listen wir diese Formeln auf, geben ihre Ableitungen an und zeigen Anwendungsbeispiele für spezifische Probleme.

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Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus

Schreiben wir auf, wie die Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus aussehen

Summen- und Differenzformeln für Sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Summen- und Differenzformeln für Kosinuswerte

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Diese Formeln gelten für alle Winkel α und β. Die Winkel α + β 2 und α - β 2 werden Halbsumme und Halbdifferenz der Winkel Alpha bzw. Beta genannt. Geben wir die Formulierung für jede Formel an.

Definitionen von Formeln für Summen und Differenzen von Sinus und Cosinus

Summe der Sinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme dieser Winkel und dem Kosinus der Halbdifferenz.

Differenz der Sinuswerte zweier Winkel ist gleich dem Doppelten des Produkts aus dem Sinus der Halbdifferenz dieser Winkel und dem Kosinus der Halbsumme.

Summe der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Kosinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel.

Differenz der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem Doppelten des Produkts aus dem Sinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel, genommen mit negativem Vorzeichen.

Ableiten von Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus

Um Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus zweier Winkel abzuleiten, werden Additionsformeln verwendet. Lassen Sie uns sie unten auflisten

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Stellen wir uns auch die Winkel selbst als Summe von Halbsummen und Halbdifferenzen vor.

α = α + β 2 + α – β 2 = α 2 + β 2 + α 2 – β 2 β = α + β 2 – α – β 2 = α 2 + β 2 – α 2 + β 2

Wir gehen direkt zur Herleitung der Summen- und Differenzformeln für sin und cos über.

Herleitung der Formel für die Sinussumme

In der Summe sin α + sin β ersetzen wir α und β durch die oben angegebenen Ausdrücke für diese Winkel. Wir bekommen

sin α + sin β = sin α + β 2 + α – β 2 + sin α + β 2 – α – β 2

Nun wenden wir auf den ersten Ausdruck die Additionsformel und auf den zweiten die Formel für den Sinus von Winkeldifferenzen an (siehe Formeln oben).

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Öffnen Sie die Klammern, fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu und erhalten Sie die erforderliche Formel

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Die Schritte zum Ableiten der übrigen Formeln sind ähnlich.

Herleitung der Formel für die Sinusdifferenz

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Herleitung der Formel für die Summe der Kosinuswerte

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Herleitung der Formel für die Kosinusdifferenz

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Beispiele zur Lösung praktischer Probleme

Überprüfen wir zunächst eine der Formeln, indem wir bestimmte Winkelwerte darin einsetzen. Sei α = π 2, β = π 6. Berechnen wir den Wert der Summe der Sinuswerte dieser Winkel. Zuerst verwenden wir die Tabelle der Grundwerte trigonometrischer Funktionen und wenden dann die Formel für die Sinussumme an.

Beispiel 1. Überprüfung der Formel für die Summe der Sinuswerte zweier Winkel

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Betrachten wir nun den Fall, dass die Winkelwerte von den in der Tabelle dargestellten Grundwerten abweichen. Sei α = 165°, β = 75°. Berechnen wir die Differenz zwischen den Sinuswerten dieser Winkel.

Beispiel 2. Anwendung der Sinusdifferenzformel

α = 165°, β = 75° sin α - sin β = sin 165° - sin 75° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165° - sin 75° 2 cos 165° + sin 75° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Mit den Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus können Sie von der Summe oder Differenz zum Produkt trigonometrischer Funktionen übergehen. Oft werden diese Formeln als Formeln für den Übergang von einer Summe zu einem Produkt bezeichnet. Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus werden häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen und zum Umwandeln trigonometrischer Ausdrücke verwendet.

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Ich werde nicht versuchen, Sie davon zu überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später möchte ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und warum Spickzettel nützlich sind. Und hier finden Sie Informationen darüber, wie Sie einige trigonometrische Formeln nicht lernen, sondern sich merken können. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel! Wir nutzen Assoziationen zum Auswendiglernen.

1. Additionsformeln:

Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor: Kosinus-Kosinus, Sinus-Sinus. Und noch etwas: Kosinuswerte sind „unzureichend“. „Alles stimmt nicht“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.

Nebenhöhlen – „mix“: Sinus-Cosinus, Cosinus-Sinus.

2. Summen- und Differenzformeln:

Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor. Durch Addition zweier Kosinuswerte – „Koloboks“ – erhalten wir ein Kosinuspaar – „Koloboks“. Und wenn wir subtrahieren, erhalten wir definitiv keine Koloboks. Wir bekommen ein paar Sinus. Auch mit einem Minus voraus.

Nebenhöhlen – „mix“ :

3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in Summe und Differenz.

Wann erhalten wir ein Kosinuspaar? Wenn wir Kosinus addieren. Deshalb

Wann bekommen wir ein paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinuswerten. Von hier:

„Mischen“ entsteht sowohl beim Addieren als auch beim Subtrahieren von Sinuswerten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Genau, falten. Und für die Formel nehmen sie den Zusatz:

In der ersten und dritten Formel steht die Summe in Klammern. Durch eine Neuanordnung der Begriffe ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Aber um nicht zu verwirren und sich leichter zu merken, nehmen wir in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz

und zweitens - die Menge

Spickzettel in Ihrer Tasche geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie kopieren. Und sie geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.