So finden Sie das kleinste Vielfache von Zahlen. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) – Definition, Beispiele und Eigenschaften

Setzen wir das Gespräch über das kleinste gemeinsame Vielfache fort, das wir im Abschnitt „LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele“ begonnen haben. In diesem Thema werden wir uns mit Möglichkeiten befassen, den KGV für drei oder mehr Zahlen zu ermitteln, und wir werden uns mit der Frage befassen, wie man den KGV einer negativen Zahl ermittelt.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) über GCD

Den Zusammenhang zwischen dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler haben wir bereits festgestellt. Lassen Sie uns nun lernen, wie man den LCM durch GCD bestimmt. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie das für positive Zahlen geht.

Definition 1

Sie können das kleinste gemeinsame Vielfache durch den größten gemeinsamen Teiler mithilfe der Formel LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ermitteln.

Beispiel 1

Sie müssen den LCM der Zahlen 126 und 70 finden.

Lösung

Nehmen wir a = 126, b = 70. Ersetzen wir die Werte in die Formel zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen durch den größten gemeinsamen Teiler LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Ermittelt den gcd der Zahlen 70 und 126. Dazu benötigen wir den euklidischen Algorithmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, also GCD (126 , 70) = 14 .

Berechnen wir den LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Antwort: LCM(126, 70) = 630.

Beispiel 2

Finden Sie die Zahlen 68 und 34.

Lösung

GCD ist in diesem Fall nicht schwer zu finden, da 68 durch 34 teilbar ist. Berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Formel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Antwort: LCM(68, 34) = 68.

In diesem Beispiel haben wir die Regel zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der positiven ganzen Zahlen a und b verwendet: Wenn die erste Zahl durch die zweite teilbar ist, ist der kgV dieser Zahlen gleich dem der ersten Zahl.

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Schauen wir uns nun die Methode zur Ermittlung des LCM an, die auf der Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren basiert.

Definition 2

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen wir eine Reihe einfacher Schritte ausführen:

• Wir bilden das Produkt aller Primfaktoren der Zahlen, für die wir das kgV ermitteln müssen.
• wir schließen alle Primfaktoren aus ihren resultierenden Produkten aus;
• Das nach Eliminierung der gemeinsamen Primfaktoren erhaltene Produkt entspricht dem kgV der angegebenen Zahlen.

Diese Methode zur Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen basiert auf der Gleichung LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Schaut man sich die Formel an, wird klar: Das Produkt der Zahlen a und b ist gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Zerlegung dieser beiden Zahlen beteiligt sind. In diesem Fall ist der ggT zweier Zahlen gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Faktorisierungen dieser beiden Zahlen vorkommen.

Beispiel 3

Wir haben zwei Nummern 75 und 210. Wir können sie wie folgt faktorisieren: 75 = 3 5 5 Und 210 = 2 3 5 7. Wenn Sie das Produkt aller Faktoren der beiden ursprünglichen Zahlen zusammensetzen, erhalten Sie: 2 3 3 5 5 5 7.

Wenn wir die Faktoren ausschließen, die den Zahlen 3 und 5 gemeinsam sind, erhalten wir ein Produkt der folgenden Form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dieses Produkt wird unser LCM für die Nummern 75 und 210 sein.

Beispiel 4

Finden Sie das LCM von Zahlen 441 Und 700 , wobei beide Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Lösung

Finden wir alle Primfaktoren der in der Bedingung angegebenen Zahlen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Wir erhalten zwei Zahlenketten: 441 = 3 3 7 7 und 700 = 2 2 5 5 7.

Das Produkt aller Faktoren, die an der Zerlegung dieser Zahlen beteiligt waren, hat die Form: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lassen Sie uns gemeinsame Faktoren finden. Das ist die Nummer 7. Schließen wir es vom Gesamtprodukt aus: 2 2 3 3 5 5 7 7. Es stellt sich heraus, dass NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Antwort: LOC(441, 700) = 44.100.

Lassen Sie uns die Methode zum Ermitteln des LCM durch Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren noch einmal formulieren.

Definition 3

Zuvor haben wir die Faktoren, die beiden Zahlen gemeinsam sind, aus der Gesamtzahl ausgeschlossen. Jetzt machen wir es anders:

• Zerlegen wir beide Zahlen in Primfaktoren:
• Addiere zum Produkt der Primfaktoren der ersten Zahl die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl;
• Wir erhalten das Produkt, das das gewünschte LCM zweier Zahlen ist.

Beispiel 5

Kehren wir zu den Zahlen 75 und 210 zurück, für die wir bereits in einem der vorherigen Beispiele nach dem LCM gesucht haben. Teilen wir sie in einfache Faktoren auf: 75 = 3 5 5 Und 210 = 2 3 5 7. Zum Produkt der Faktoren 3, 5 und 5 Zahlen 75 ergänzen die fehlenden Faktoren 2 Und 7 Nummern 210. Wir bekommen: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Dies ist das LCM der Zahlen 75 und 210.

Beispiel 6

Es ist notwendig, den LCM der Zahlen 84 und 648 zu berechnen.

Lösung

Zerlegen wir die Zahlen aus der Bedingung in einfache Faktoren: 84 = 2 2 3 7 Und 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Fügen wir dem Produkt die Faktoren 2, 2, 3 und hinzu 7 Zahlen 84 fehlende Faktoren 2, 3, 3 und
3 Nummern 648. Wir bekommen das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Antwort: LCM(84, 648) = 4.536.

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Unabhängig davon, mit wie vielen Zahlen wir es zu tun haben, wird der Algorithmus unserer Aktionen immer derselbe sein: Wir werden nacheinander das LCM zweier Zahlen ermitteln. Für diesen Fall gibt es einen Satz.

Satz 1

Nehmen wir an, wir haben ganze Zahlen a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k Diese Zahlen werden durch sequentielle Berechnung von m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) ermittelt.

Schauen wir uns nun an, wie der Satz zur Lösung spezifischer Probleme angewendet werden kann.

Beispiel 7

Sie müssen das kleinste gemeinsame Vielfache der vier Zahlen 140, 9, 54 und berechnen 250 .

Lösung

Führen wir die Notation ein: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Beginnen wir mit der Berechnung von m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Wenden wir den euklidischen Algorithmus an, um die GCD der Zahlen 140 und 9 zu berechnen: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Wir erhalten: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1.260. Daher ist m 2 = 1.260.

Berechnen wir nun mit demselben Algorithmus m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Bei den Berechnungen erhalten wir m 3 = 3 780.

Wir müssen lediglich m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) berechnen. Wir folgen dem gleichen Algorithmus. Wir erhalten m 4 = 94 500.

Der LCM der vier Zahlen aus der Beispielbedingung beträgt 94500.

Antwort: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Wie Sie sehen, sind die Berechnungen einfach, aber recht arbeitsintensiv. Um Zeit zu sparen, können Sie einen anderen Weg gehen.

Definition 4

Wir bieten Ihnen folgenden Aktionsalgorithmus an:

• wir zerlegen alle Zahlen in Primfaktoren;
• zum Produkt der Faktoren der ersten Zahl addieren wir die fehlenden Faktoren aus dem Produkt der zweiten Zahl;
• zu dem im vorherigen Schritt erhaltenen Produkt fügen wir die fehlenden Faktoren der dritten Zahl usw. hinzu;
• Das resultierende Produkt ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen aus der Bedingung.

Beispiel 8

Sie müssen den LCM von fünf Zahlen ermitteln: 84, 6, 48, 7, 143.

Lösung

Zerlegen wir alle fünf Zahlen in Primfaktoren: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Primzahlen, also die Zahl 7, können nicht in Primfaktoren zerlegt werden. Solche Zahlen fallen mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen.

Nehmen wir nun das Produkt der Primfaktoren 2, 2, 3 und 7 der Zahl 84 und addieren dazu die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl. Wir haben die Zahl 6 in 2 und 3 zerlegt. Diese Faktoren sind bereits im Produkt der ersten Zahl enthalten. Deshalb lassen wir sie weg.

Wir ergänzen weiterhin die fehlenden Multiplikatoren. Kommen wir zur Zahl 48, aus deren Primfaktorenprodukt wir 2 und 2 bilden. Dann addieren wir den Primfaktor 7 der vierten Zahl und die Faktoren 11 und 13 der fünften. Wir erhalten: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen fünf Zahlen.

Antwort: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen negativer Zahlen

Um das kleinste gemeinsame Vielfache negativer Zahlen zu finden, müssen diese Zahlen zunächst durch Zahlen mit umgekehrtem Vorzeichen ersetzt werden und anschließend müssen die Berechnungen mit den oben genannten Algorithmen durchgeführt werden.

Beispiel 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) und LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Solche Handlungen sind zulässig, da wir dies akzeptieren A Und − a– entgegengesetzte Zahlen,
dann die Menge der Vielfachen einer Zahl A entspricht der Menge der Vielfachen einer Zahl − a.

Beispiel 10

Es ist notwendig, den kgV von negativen Zahlen zu berechnen − 145 Und − 45 .

Lösung

Ersetzen wir die Zahlen − 145 Und − 45 zu ihren Gegenzahlen 145 Und 45 . Nun berechnen wir mithilfe des Algorithmus das LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, nachdem wir zuvor das GCD mithilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt haben.

Wir erhalten, dass das LCM der Zahlen − 145 ist und − 45 gleicht 1 305 .

Antwort: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

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Lancinova Aisa

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Bildunterschriften:

Probleme zu GCD und LCM von Zahlen Arbeit eines Schülers der 6. Klasse der MCOU „Kamyshovskaya-Sekundarschule“ Lantsinova Aisa Betreuerin Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, Mathematiklehrerin p. Kamyschewo, 2013

Ein Beispiel für die Ermittlung des ggT der Zahlen 50, 75 und 325. 1) Lassen Sie uns die Zahlen 50, 75 und 325 in Primfaktoren zerlegen. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Von den Faktoren, die in die Entwicklung einer dieser Zahlen eingehen, streichen wir diejenigen durch, die in der Entwicklung der anderen nicht enthalten sind . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren 5 ∙ 5 = 25 Antwort: GCD (50, 75 und 325) = 25 Das größte natürliche Zahl, durch die Wenn die Zahlen a und b ohne Rest geteilt werden, wird der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen als größter gemeinsamer Teiler dieser Zahlen bezeichnet.

Ein Beispiel für die Ermittlung des LCM der Zahlen 72, 99 und 117. 1) Lassen Sie uns die Zahlen 72, 99 und 117 in Primfaktoren zerlegen: 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Notieren Sie die Faktoren, die in der Entwicklung einer der Zahlen 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 enthalten sind, und addieren Sie dazu die fehlenden Faktoren der verbleibenden Zahlen. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Antwort: LCM (72, 99 und 117) = 10296 Das kleinste gemeinsame Vielfache der natürlichen Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a ist und B.

Der Karton hat die Form eines Rechtecks, dessen Länge 48 cm und die Breite 40 cm beträgt. Dieser Bogen muss ohne Abfall in gleich große Quadrate geschnitten werden. Was sind die größten Quadrate, die aus diesem Arbeitsblatt erhalten werden können, und wie viele? Lösung: 1) S = a ∙ b – Fläche des Rechtecks. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – Bereich aus Pappe. 2) a – Seite des Quadrats 48: a – die Anzahl der Quadrate, die entlang der Länge des Kartons gelegt werden können. 40: a – die Anzahl der Quadrate, die über die Breite des Kartons gelegt werden können. 3) GCD (40 und 48) = 8 (cm) – Seite des Quadrats. 4) S = a² – Fläche eines Quadrats. S = 8² = 64 (cm²) – Fläche eines Quadrats. 5) 1960: 64 = 30 (Anzahl der Quadrate). Antwort: 30 Quadrate mit einer Seitenlänge von jeweils 8 cm. GCD-Probleme

Der Kamin im Raum muss in Form eines Quadrats gefliest sein. Wie viele Fliesen werden für einen Kamin mit den Maßen 195 x 156 cm benötigt und was sind die größten Fliesengrößen? Lösung: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S der Kaminoberfläche. 2) GCD (195 und 156) = 39 (cm) – Seite der Fliese. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – Fläche von 1 Fliese. 4) 30420: = 20 (Stück). Antwort: 20 Fliesen mit einer Größe von 39 ͯ 39 (cm). GCD-Probleme

Ein Gartengrundstück mit einer Umfangslänge von 54 ͯ 48 m muss eingezäunt werden; dazu müssen in regelmäßigen Abständen Betonpfeiler aufgestellt werden. Wie viele Masten müssen für die Baustelle mitgebracht werden und in welchem ​​maximalen Abstand zueinander werden die Masten aufgestellt? Lösung: 1) P = 2(a + b) – Umfang des Geländes. P = 2(54 + 48) = 204 m 2) GCD (54 und 48) = 6 (m) – der Abstand zwischen den Säulen. 3) 204: 6 = 34 (Säulen). Antwort: 34 Säulen, im Abstand von 6 m GCD-Probleme

Es wurden Sträuße aus 210 burgunderfarbenen, 126 weißen und 294 roten Rosen zusammengestellt, wobei jeder Strauß die gleiche Anzahl Rosen derselben Farbe enthielt. Wie viele Sträuße werden aus diesen Rosen am häufigsten hergestellt und wie viele Rosen jeder Farbe enthält ein Strauß? Lösung: 1) GCD (210, 126 und 294) = 42 (Blumensträuße). 2) 210: 42 = 5 (burgunderfarbene Rosen). 3) 126: 42 = 3 (weiße Rosen). 4) 294: 42 = 7 (rote Rosen). Antwort: 42 Sträuße: 5 burgunderrote, 3 weiße und 7 rote Rosen in jedem Strauß. GCD-Probleme

Tanya und Masha kauften die gleiche Anzahl Postpakete. Tanja zahlte 90 Rubel und Mascha zahlte 5 Rubel. mehr. Wie viel kostet ein Set? Wie viele Sets hat jede Person gekauft? Lösung: 1) 90 + 5 = 95 (Rubel) Mascha hat bezahlt. 2) GCD (90 und 95) = 5 (Rubel) – Preis für 1 Satz. 3) 980: 5 = 18 (Sets) – gekauft von Tanya. 4) 95:5 = 19 (Sätze) – gekauft von Masha. Antwort: 5 Rubel, 18 Sätze, 19 Sätze. GCD-Probleme

In der Hafenstadt beginnen drei touristische Bootsfahrten, von denen die erste 15 Tage, die zweite 20 und die dritte 12 Tage dauert. Nach der Rückkehr in den Hafen machten sich die Schiffe noch am selben Tag wieder auf den Weg. Heute verließen Schiffe auf allen drei Routen den Hafen. In wie vielen Tagen werden sie zum ersten Mal wieder gemeinsam segeln gehen? Wie viele Fahrten wird jedes Schiff unternehmen? Lösung: 1) NOC (15,20 und 12) = 60 (Tage) – Besprechungszeit. 2) 60: 15 = 4 (Reisen) – 1 Schiff. 3) 60: 20 = 3 (Reisen) – 2 Schiffe. 4) 60: 12 = 5 (Flüge) – 3 Schiffe. Antwort: 60 Tage, 4 Flüge, 3 Flüge, 5 Flüge. NOC-Aufgaben

Mascha kaufte im Laden Eier für den Bären. Auf dem Weg in den Wald wurde ihr klar, dass die Anzahl der Eier durch 2,3,5,10 und 15 teilbar ist. Wie viele Eier hat Mascha gekauft? Lösung: NOC (2;3;5;10;15) = 30 (Eier) Antwort: Mascha hat 30 Eier gekauft. NOC-Aufgaben

Es ist erforderlich, eine Schachtel mit quadratischem Boden anzufertigen, um Schachteln mit einer Größe von 16 ͯ 20 cm unterzubringen. Was ist die kürzeste Länge der Seite des quadratischen Bodens, damit die Schachteln fest in die Schachtel passen? Lösung: 1) LCM (16 und 20) = 80 (Boxen). 2) S = a ∙ b – Fläche von 1 Box. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – Bodenfläche einer Box. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – Fläche des quadratischen Bodens. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – Abmessungen der Box. Antwort: 160 cm ist die Seite des quadratischen Bodens. NOC-Aufgaben

Entlang der Straße von Punkt K aus befinden sich alle 45 m Strommasten. Sie beschlossen, diese Masten durch andere zu ersetzen und sie in einem Abstand von 60 m voneinander aufzustellen. Wie viele Säulen gab es und wie viele wird es geben? Lösung: 1) LCM (45 und 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – es gab Säulen. 3) 180: 60 = 3 – wurden zu Säulen. Antwort: 4 Säulen, 3 Säulen. NOC-Aufgaben

Wie viele Soldaten marschieren auf dem Exerzierplatz, wenn sie in Formation von 12 Personen in einer Reihe marschieren und in eine Kolonne von 18 Personen in einer Reihe übergehen? Lösung: 1) NOC (12 und 18) = 36 (Menschen) – marschieren. Antwort: 36 Personen. NOC-Aufgaben

Viele natürliche Zahlen sind aber auch durch andere natürliche Zahlen teilbar.

Zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12 teilbar;

Die Zahl 36 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36 teilbar.

Man nennt die Zahlen, durch die die Zahl durch ein Ganzes teilbar ist (für 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12). Teiler von Zahlen. Teiler einer natürlichen Zahl A- ist eine natürliche Zahl, die eine gegebene Zahl teilt A ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, heißt zusammengesetzt .

Bitte beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Faktoren haben. Diese Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen A Und B- Dies ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest geteilt werden A Und B.

Gemeinsame Vielfache Mehrere Zahlen ist eine Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. Zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber auch 90 und 360 sind ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen gemeinsamen Vielfachen gibt es immer ein kleinstes, in diesem Fall ist es 90. Diese Zahl heißt das kleinstegemeinsames Vielfaches (CMM).

Die LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und Koprimzahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen M Und N ist ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen M Und N. Darüber hinaus die Menge der gemeinsamen Vielfachen m, n stimmt mit der Menge der Vielfachen für LCM überein( m, n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

Also, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies ergibt sich aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Gesetz der Primzahlverteilung?

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( a, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seinen Zusammenhang mit dem LCM nutzen:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

Wo p 1 ,...,p k- verschiedene Primzahlen und d 1 ,...,d k Und e 1 ,...,e k– nichtnegative ganze Zahlen (sie können Nullen sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Erweiterung enthalten ist).

Dann NOC ( A,B) wird nach der Formel berechnet:

Mit anderen Worten: Die LCM-Zerlegung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenzerlegungen enthalten sind a, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Multiplikators wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen kann auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduziert werden:

Regel. Um den LCM einer Zahlenreihe zu ermitteln, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Zerlegung (das Produkt der Faktoren der größten Anzahl der gegebenen) auf die Faktoren des gewünschten Produkts und fügen Sie dann Faktoren aus der Zerlegung anderer Zahlen hinzu, die nicht in der ersten Zahl vorkommen oder darin vorkommen seltener;

— Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist das kgV der gegebenen Zahlen.

Zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes LCM. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Entwicklung nicht die gleichen Faktoren haben, ist ihr kgV gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) werden mit einem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt (84) ist die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Die Primfaktoren der größten Zahl 30 werden durch den Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt, das resultierende Produkt 150 ist größer als die größte Zahl 30 und durch alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar. Dies ist das kleinstmögliche Produkt (150, 250, 300...), das ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, daher ist ihr kgV gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um den kgV von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) Notieren Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen;

4) Wählen Sie den höchsten Grad jeder dieser Zahlen, der in allen Erweiterungen dieser Zahlen zu finden ist;

5) Multiplizieren Sie diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie den LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Lösung. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler auf und multiplizieren sie:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Viele Teiler

Betrachten wir das folgende Problem: Finden Sie den Teiler der Zahl 140. Offensichtlich hat die Zahl 140 nicht einen Teiler, sondern mehrere. In solchen Fällen soll das Problem vorliegen ein Haufen Entscheidungen. Lasst uns sie alle finden. Lassen Sie uns diese Zahl zunächst in einfache Faktoren zerlegen:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Jetzt können wir ganz einfach alle Teiler aufschreiben. Beginnen wir mit den Primfaktoren, also denen, die in der oben angegebenen Entwicklung vorkommen:

Dann schreiben wir diejenigen auf, die durch paarweise Multiplikation von Primteilern erhalten werden:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Dann - diejenigen, die drei Primteiler enthalten:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Vergessen wir zum Schluss nicht die Einheit und die zerlegte Zahl selbst:

Alle Teiler, die wir gefunden haben, bilden ein Haufen Teiler der Zahl 140, die in geschweiften Klammern geschrieben wird:

Teilermenge der Zahl 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Zur besseren Übersichtlichkeit haben wir hier die Teiler notiert ( Elemente der Menge) in aufsteigender Reihenfolge, aber im Allgemeinen ist dies nicht notwendig. Zusätzlich führen wir eine Abkürzung ein. Anstelle von „Teilermenge der Zahl 140“ schreiben wir „D(140)“. Auf diese Weise,

Auf die gleiche Weise können Sie die Teilermenge für jede andere natürliche Zahl ermitteln. Zum Beispiel aus der Zersetzung

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

wir bekommen:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Aus der Menge aller Teiler sollte man die Menge der einfachen Teiler unterscheiden, die für die Zahlen 140 bzw. 105 gleich sind:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Besonders hervorzuheben ist, dass bei der Zerlegung der Zahl 140 in Primfaktoren die beiden zweimal vorkommen, während es in der Menge PD(140) nur einen gibt. Die Menge von PD(140) enthält im Wesentlichen alle Antworten auf das Problem: „Finden Sie den Primfaktor der Zahl 140.“ Es ist klar, dass dieselbe Antwort nicht mehr als einmal wiederholt werden sollte.

Brüche reduzieren. Größter gemeinsamer Teiler

Betrachten Sie den Bruch

Wir wissen, dass dieser Bruch durch eine Zahl reduziert werden kann, die sowohl Teiler des Zählers (105) als auch Teiler des Nenners (140) ist. Schauen wir uns die Mengen D(105) und D(140) an und notieren wir ihre gemeinsamen Elemente.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Gemeinsame Elemente der Mengen D(105) und D(140) =

Die letzte Gleichheit kann kürzer geschrieben werden, nämlich:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Hier weist das spezielle Symbol „∩“ („Beutel mit dem Loch nach unten“) darauf hin, dass aus den beiden auf gegenüberliegenden Seiten beschrifteten Sätzen nur gemeinsame Elemente ausgewählt werden dürfen. Der Eintrag „D(105) ∩ D(140)“ lautet „ Überschneidung Sätze von De ab 105 und De ab 140.“

[Beachten Sie nebenbei, dass Sie mit Mengen verschiedene binäre Operationen ausführen können, fast wie mit Zahlen. Eine weitere häufige binäre Operation ist Union, was durch das „∪“-Symbol („Beutel mit dem Loch nach oben“) angezeigt wird. Die Vereinigung zweier Mengen umfasst alle Elemente beider Mengen:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Also haben wir herausgefunden, dass der Bruch

kann um jede der zur Menge gehörenden Zahlen reduziert werden

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

und kann nicht durch eine andere natürliche Zahl reduziert werden. Hier sind alle möglichen Abkürzungen (bis auf die uninteressante Verkürzung um eins):

Offensichtlich ist es am praktischsten, den Bruch um eine möglichst große Zahl zu reduzieren. In diesem Fall handelt es sich um die Zahl 35, die angegeben wird größter gemeinsamer Teiler (GCD) Nummern 105 und 140. Dies wird geschrieben als

gcd(105, 140) = 35.

Wenn wir jedoch in der Praxis zwei Zahlen erhalten und ihren größten gemeinsamen Teiler ermitteln müssen, sollten wir überhaupt keine Mengen konstruieren. Es genügt, beide Zahlen einfach in Primfaktoren zu zerlegen und diejenigen dieser Faktoren hervorzuheben, die beiden Zerlegungen gemeinsam sind, zum Beispiel:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Wenn wir die unterstrichenen Zahlen (in einer beliebigen Erweiterung) multiplizieren, erhalten wir:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Natürlich ist es möglich, dass mehr als zwei Faktoren hervorgehoben werden:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Daraus geht hervor, dass

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Besonders hervorzuheben ist die Situation, wenn es überhaupt keine gemeinsamen Faktoren gibt und es nichts hervorzuheben gibt, zum Beispiel:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

In diesem Fall,

GCD(42, 55) = 1.

Es werden zwei natürliche Zahlen aufgerufen, für die GCD gleich eins ist gegenseitig prim. Wenn man aus solchen Zahlen beispielsweise einen Bruch bildet,

dann ist ein solcher Bruch irreduzibel.

Im Allgemeinen kann die Regel zum Kürzen von Brüchen wie folgt geschrieben werden:

Hier wird davon ausgegangen A Und B sind natürliche Zahlen und der gesamte Bruch ist positiv. Wenn wir nun auf beiden Seiten dieser Gleichheit ein Minuszeichen hinzufügen, erhalten wir die entsprechende Regel für negative Brüche.

Brüche addieren und subtrahieren. Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Angenommen, Sie müssen die Summe zweier Brüche berechnen:

Wir wissen bereits, wie die Nenner in Primfaktoren zerlegt werden:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Aus dieser Zerlegung folgt sofort, dass es ausreicht, Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 2 ∙ 2 (dem Produkt der unbetonten Primfaktoren des zweiten Nenners) zu multiplizieren, um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen Zähler und Nenner des zweiten Bruchs durch 3 („Produkt“ unbetonter Primfaktoren des ersten Nenners). Dadurch werden die Nenner beider Brüche gleich der Zahl, die sich wie folgt darstellen lässt:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Es ist leicht zu erkennen, dass beide ursprünglichen Nenner (sowohl 105 als auch 140) Teiler der Zahl 420 sind und die Zahl 420 wiederum ein Vielfaches beider Nenner ist – und zwar nicht nur ein Vielfaches kleinstes gemeinsames Vielfaches (NOC) Nummern 105 und 140. Es wird wie folgt geschrieben:

LCM(105, 140) = 420.

Wenn wir uns die Zerlegung der Zahlen 105 und 140 genauer ansehen, sehen wir das

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Ebenso für beliebige natürliche Zahlen B Und D:

B ∙ D= LOC( B, D) ∙ GCD( B, D).

Vervollständigen wir nun die Summierung unserer Brüche:

Das Thema „Mehrfache Zahlen“ wird in der 5. Klasse der Sekundarstufe studiert. Ziel ist die Verbesserung der schriftlichen und mündlichen mathematischen Rechenfähigkeiten. In dieser Lektion werden neue Konzepte eingeführt – „mehrfache Zahlen“ und „Teiler“, die Technik zum Ermitteln von Teilern und Vielfachen einer natürlichen Zahl sowie die Fähigkeit, LCM auf verschiedene Arten zu ermitteln.

Dieses Thema ist sehr wichtig. Kenntnisse darüber können beim Lösen von Beispielen mit Brüchen angewendet werden. Dazu müssen Sie den gemeinsamen Nenner ermitteln, indem Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) berechnen.

Ein Vielfaches von A ist eine ganze Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist.

Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Vielfache davon. Es gilt selbst als das kleinste. Das Vielfache darf nicht kleiner sein als die Zahl selbst.

Sie müssen beweisen, dass die Zahl 125 ein Vielfaches der Zahl 5 ist. Dazu müssen Sie die erste Zahl durch die zweite dividieren. Wenn 125 ohne Rest durch 5 teilbar ist, lautet die Antwort „Ja“.

Diese Methode ist für kleine Zahlen anwendbar.

Bei der Berechnung des LOC gibt es Sonderfälle.

1. Wenn Sie ein gemeinsames Vielfaches von zwei Zahlen (zum Beispiel 80 und 20) finden müssen, von denen eine (80) durch die andere (20) teilbar ist, dann ist diese Zahl (80) das kleinste Vielfache davon zwei Zahlen.

LCM(80, 20) = 80.

2. Wenn zwei keinen gemeinsamen Teiler haben, können wir sagen, dass ihr LCM das Produkt dieser beiden Zahlen ist.

LCM(6, 7) = 42.

Schauen wir uns das letzte Beispiel an. 6 und 7 im Verhältnis zu 42 sind Teiler. Sie dividieren ein Vielfaches einer Zahl ohne Rest.

In diesem Beispiel sind 6 und 7 gepaarte Faktoren. Ihr Produkt ist gleich dem größten Vielfachen (42).

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar ist (3:1=3; 3:3=1). Der Rest wird als zusammengesetzt bezeichnet.

Ein weiteres Beispiel besteht darin, festzustellen, ob 9 ein Teiler von 42 ist.

42:9=4 (Rest 6)

Antwort: 9 ist kein Teiler von 42, da die Antwort einen Rest hat.

Ein Divisor unterscheidet sich von einem Vielfachen dadurch, dass der Divisor die Zahl ist, durch die natürliche Zahlen geteilt werden, und das Vielfache selbst durch diese Zahl geteilt wird.

Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen A Und B, multipliziert mit ihrem kleinsten Vielfachen, ergibt das Produkt der Zahlen selbst A Und B.

Nämlich: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Gemeinsame Vielfache für komplexere Zahlen werden auf folgende Weise ermittelt.

Ermitteln Sie beispielsweise den LCM für 168, 180, 3024.

Wir zerlegen diese Zahlen in einfache Faktoren und schreiben sie als Potenzprodukt:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.