Der größte und kleinste Wert der Funktion. Der größte und kleinste Wert einer Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen Bereich

In der Aufgabe B14 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik müssen Sie den kleinsten oder größten Wert einer Funktion einer Variablen ermitteln. Dies ist ein ziemlich triviales Problem aus der mathematischen Analyse, und aus diesem Grund kann und sollte jeder Abiturienten lernen, es normal zu lösen. Schauen wir uns einige Beispiele an, die Schüler während der diagnostischen Arbeit in Mathematik am 7. Dezember 2011 in Moskau gelöst haben.

Je nachdem, über welches Intervall Sie den Maximal- oder Minimalwert einer Funktion ermitteln möchten, wird zur Lösung dieses Problems einer der folgenden Standardalgorithmen verwendet.

I. Algorithmus zum Ermitteln des größten oder kleinsten Werts einer Funktion auf einem Segment:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Wählen Sie aus den Punkten, von denen vermutet wird, dass sie ein Extremum sind, diejenigen aus, die zum gegebenen Segment und Definitionsbereich der Funktion gehören.
Werte berechnen Funktionen(nicht abgeleitet!) an diesen Punkten.
Wählen Sie unter den erhaltenen Werten den größten oder kleinsten aus, es wird der gewünschte sein.

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
j = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 auf dem Segment.

Lösung: Wir folgen dem Algorithmus zum Finden des kleinsten Werts einer Funktion auf einem Segment:

Der Umfang einer Funktion ist nicht begrenzt: D(y) = R.
Die Ableitung der Funktion ist gleich: du = 3X 2 – 36X+ 81. Der Definitionsbereich der Ableitung einer Funktion ist ebenfalls nicht eingeschränkt: D(y’) = R.
Nullstellen der Ableitung: du = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, was bedeutet X 2 – 12X+ 27 = 0, daher X= 3 und X= 9, unser Intervall umfasst nur X= 9 (ein Punkt verdächtig für ein Extremum).
Wir finden den Wert der Funktion an einem Punkt, an dem ein Extremum vermutet wird, und an den Rändern der Lücke. Zur Vereinfachung der Berechnung stellen wir die Funktion in der Form dar: j = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- j(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- j(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- j(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Der kleinste der erhaltenen Werte ist also 23. Antwort: 23.

II. Algorithmus zum Ermitteln des größten oder kleinsten Werts einer Funktion:

Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Identifizieren Sie Punkte, bei denen ein Extremum vermutet wird (die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion verschwindet, und die Punkte, an denen es keine zweiseitige endliche Ableitung gibt).
Markieren Sie diese Punkte und den Definitionsbereich der Funktion auf dem Zahlenstrahl und bestimmen Sie die Vorzeichen Derivat(keine Funktionen!) auf die resultierenden Intervalle.
Werte definieren Funktionen(nicht die Ableitung!) An den Minimalpunkten (den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert) ist der kleinste dieser Werte der kleinste Wert der Funktion. Wenn es keine Mindestpunktzahl gibt, hat die Funktion keinen Mindestwert.
Werte definieren Funktionen(nicht die Ableitung!) An den Maximalpunkten (den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus ändert) ist der größte dieser Werte der größte Wert der Funktion. Wenn es keine maximale Punktzahl gibt, hat die Funktion nicht den größten Wert.

Beispiel 2. Finden Sie den größten Wert der Funktion.

$\blacktriangleright$ Um den größten/kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment  zu finden, ist es notwendig, den Graphen der Funktion auf diesem Segment schematisch darzustellen.
Bei Problemen aus diesem Unterthema kann dies mithilfe der Ableitung erfolgen: Ermitteln Sie die Intervalle für zunehmende ($f">0$ ) und abnehmende ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ Vergessen Sie nicht, dass die Funktion den größten/kleinsten Wert nicht nur an den inneren Punkten des Segments , sondern auch an seinen Enden annehmen kann.

$\blacktriangleright$ Der größte/kleinste Wert der Funktion ist der Koordinatenwert $y=f(x)$ .

$\blacktriangleright$ Die Ableitung einer komplexen Funktion $f(t(x))$ wird nach der Regel gefunden: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktion ) f(x) & \text(Ableitung ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

Aufgabe 1 #2357

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion $y = e^(x^2 - 4)$ auf dem Segment $[-10; -2]$ .

ODZ: $x$ – beliebig.

1) \

\ Somit ist $y" = 0$ für $x = 0$ .

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$ auf dem betrachteten Segment $[-10; -2]$:

4) Skizze eines Graphen auf der Strecke $[-10; -2]$:

Somit erreicht die Funktion ihren kleinsten Wert bei $[-10; -2]$ bei $x = -2$ .

\ Gesamt: $1$ – der kleinste Wert der Funktion $y$ auf $[-10; -2]$ .

Antwort 1

Aufgabe 2 #2355

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$ auf dem Segment $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ – beliebig.

1) \

Lassen Sie uns kritische Punkte finden (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich $0$ ist oder nicht existiert): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Die Ableitung existiert für jedes $x$ .

2) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$:

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$ auf dem betrachteten Segment $[-1; 1]$:

4) Skizze eines Graphen auf der Strecke $[-1; 1]$:

Somit erreicht die Funktion ihren größten Wert bei $[-1; 1]$ bei $x = -1$ oder bei $x = 1$ . Vergleichen wir die Funktionswerte an diesen Punkten.

\ Gesamt: $2$ – der größte Wert der Funktion $y$ auf $[-1; 1]$ .

Antwort: 2

Aufgabe 3 #2356

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion $y = \cos 2x$ auf dem Segment  .

ODZ: $x$ – beliebig.

1) \

Lassen Sie uns kritische Punkte finden (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich $0$ ist oder nicht existiert): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Die Ableitung existiert für jedes $x$ .

2) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$:

(hier gibt es unendlich viele Intervalle, in denen sich die Vorzeichen der Ableitung abwechseln).

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$ auf dem betrachteten Segment :

4) Skizze eines Graphen auf der Strecke  :

Somit erreicht die Funktion ihren kleinsten Wert auf  bei $x = \dfrac(\pi)(2)$ .

\ Gesamt: $-1$ – der kleinste Wert der Funktion $y$ auf  .

Antwort 1

Aufgabe 4 #915

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den größten Wert der Funktion

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . Entscheiden wir uns für ODZ:

1) Bezeichnen wir $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , dann $y(t)=-\log_(17)t$ .

Lassen Sie uns kritische Punkte finden (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich $0$ ist oder nicht existiert): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– auf der ODZ, von wo aus wir die Wurzel $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ finden. Die Ableitung der Funktion $y$ existiert nicht, wenn $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$, aber diese Gleichung hat eine negative Diskriminante und hat daher keine Lösungen. Um den größten/kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, wie ihr Diagramm schematisch aussieht.

2) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$:

3) Skizze der Grafik:

Somit erreicht die Funktion ihren größten Wert bei $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ :

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

Gesamt: $0$ – der größte Wert der Funktion $y$ .

Antwort: 0

Aufgabe 5 #2344

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . Entscheiden wir uns für ODZ:

1) Bezeichnen wir $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , dann $y(t)=\log_(3)t$ .

Lassen Sie uns kritische Punkte finden (d. h. interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, an denen ihre Ableitung gleich $0$ ist oder nicht existiert): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– auf der ODZ, von wo aus wir die Wurzel $x = -4$ finden. Die Ableitung der Funktion $y$ existiert nicht, wenn $x^2 + 8x + 19 = 0$, aber diese Gleichung hat eine negative Diskriminante und hat daher keine Lösungen. Um den größten/kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, wie ihr Diagramm schematisch aussieht.

2) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen $y"$:

3) Skizze der Grafik:

Somit ist $x = -4$ der Minimalpunkt der Funktion $y$ und an diesem wird der kleinste Wert erreicht:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

Gesamt: $1$ – der kleinste Wert der Funktion $y$ .

Antwort 1

Aufgabe 6 #917

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

Finden Sie den größten Wert der Funktion

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

Aus praktischer Sicht besteht das größte Interesse darin, mithilfe der Ableitung den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln. Womit hängt das zusammen? Gewinne maximieren, Kosten minimieren, optimale Auslastung der Ausrüstung ermitteln... Mit anderen Worten, in vielen Lebensbereichen müssen wir Probleme der Optimierung einiger Parameter lösen. Und das sind die Aufgaben, den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden.

Es ist zu beachten, dass der größte und kleinste Wert einer Funktion normalerweise in einem bestimmten Intervall X gesucht wird, das entweder der gesamte Funktionsbereich oder ein Teil des Definitionsbereichs ist. Das Intervall X selbst kann ein Segment, ein offenes Intervall sein , ein unendliches Intervall.

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, den größten und kleinsten Wert einer explizit definierten Funktion einer Variablen y=f(x) zu finden.

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Der größte und kleinste Wert einer Funktion – Definitionen, Illustrationen.

Schauen wir uns kurz die wichtigsten Definitionen an.

Der größte Wert der Funktion das für jeden Ungleichheit ist wahr.

Der kleinste Wert der Funktion y=f(x) im Intervall X nennt man einen solchen Wert das für jeden Ungleichheit ist wahr.

Diese Definitionen sind intuitiv: Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert des betrachteten Intervalls auf der Abszisse.

Stationäre Punkte– Dies sind die Werte des Arguments, bei denen die Ableitung der Funktion Null wird.

Warum brauchen wir stationäre Punkte, um die größten und kleinsten Werte zu finden? Die Antwort auf diese Frage gibt der Satz von Fermat. Aus diesem Satz folgt, dass, wenn eine differenzierbare Funktion an einem Punkt ein Extremum (lokales Minimum oder lokales Maximum) hat, dieser Punkt stationär ist. Daher nimmt die Funktion häufig ihren größten (kleinsten) Wert auf dem Intervall X an einem der stationären Punkte aus diesem Intervall an.

Außerdem kann eine Funktion ihren größten und minimalen Wert oft an Punkten annehmen, an denen die erste Ableitung dieser Funktion nicht existiert und die Funktion selbst definiert ist.

Beantworten wir gleich eine der häufigsten Fragen zu diesem Thema: „Ist es immer möglich, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu bestimmen“? Nein nicht immer. Manchmal fallen die Grenzen des Intervalls X mit den Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion zusammen, oder das Intervall X ist unendlich. Und einige Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs können sowohl unendlich große als auch unendlich kleine Werte annehmen. Über den größten und kleinsten Wert der Funktion kann in diesen Fällen keine Aussage gemacht werden.

Zur Verdeutlichung geben wir eine grafische Darstellung. Schauen Sie sich die Bilder an und vieles wird klarer.

Auf dem Segment

In der ersten Abbildung nimmt die Funktion den größten (max y) und den kleinsten (min y) Wert an stationären Punkten innerhalb des Segments [-6;6] an.

Betrachten Sie den in der zweiten Abbildung dargestellten Fall. Ändern wir das Segment in . In diesem Beispiel wird der kleinste Wert der Funktion an einem stationären Punkt erreicht und der größte an dem Punkt, dessen Abszisse der rechten Grenze des Intervalls entspricht.

In Abbildung 3 sind die Randpunkte des Segments [-3;2] die Abszissen der Punkte, die dem größten und kleinsten Wert der Funktion entsprechen.

In einem offenen Intervall

In der vierten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y) und kleinsten (min y) Werte an stationären Punkten an, die sich innerhalb des offenen Intervalls (-6;6) befinden.

Über das Intervall lassen sich keine Rückschlüsse auf den größten Wert ziehen.

Im Unendlichen

In dem in der siebten Abbildung dargestellten Beispiel nimmt die Funktion den größten Wert (max y) an einem stationären Punkt mit der Abszisse x=1 an und der kleinste Wert (min y) wird am rechten Rand des Intervalls erreicht. Bei minus Unendlich nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 an.

Im Intervall erreicht die Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert. Wenn sich x=2 von rechts nähert, tendieren die Funktionswerte zu minus Unendlich (die Linie x=2 ist eine vertikale Asymptote), und wenn die Abszisse zu plus Unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 an. Eine grafische Darstellung dieses Beispiels ist in Abbildung 8 dargestellt.

Algorithmus zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf einem Segment.

Schreiben wir einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

Wir finden den Definitionsbereich der Funktion und prüfen, ob er das gesamte Segment enthält.
Wir finden alle Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert und die im Segment enthalten sind (normalerweise finden sich solche Punkte in Funktionen mit einem Argument unter dem Modulzeichen und in Potenzfunktionen mit einem gebrochen-rationalen Exponenten). Wenn es keine solchen Punkte gibt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
Wir ermitteln alle stationären Punkte, die in das Segment fallen. Dazu setzen wir es mit Null gleich, lösen die resultierende Gleichung und wählen geeignete Wurzeln aus. Wenn es keine stationären Punkte gibt oder keiner davon in das Segment fällt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
Wir berechnen die Werte der Funktion an ausgewählten stationären Punkten (falls vorhanden), an Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden) sowie bei x=a und x=b.
Aus den erhaltenen Werten der Funktion wählen wir den größten und den kleinsten aus – es handelt sich um den erforderlichen größten bzw. kleinsten Wert der Funktion.

Lassen Sie uns den Algorithmus zum Lösen eines Beispiels analysieren, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

Beispiel.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment;
auf dem Segment [-4;-1] .

Lösung.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen, mit Ausnahme von Null. Beide Segmente fallen in den Definitionsbereich.

Finden Sie die Ableitung der Funktion nach:

Offensichtlich existiert die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente und [-4;-1].

Wir ermitteln stationäre Punkte aus der Gleichung. Die einzige echte Wurzel ist x=2. Dieser stationäre Punkt fällt in das erste Segment.

Für den ersten Fall berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am stationären Punkt, also für x=1, x=2 und x=4:

Daher der größte Wert der Funktion wird bei x=1 und dem kleinsten Wert erreicht – bei x=2.

Für den zweiten Fall berechnen wir die Funktionswerte nur an den Enden des Segments [-4;-1] (da es keinen einzigen stationären Punkt enthält):

Mit diesem Service können Sie Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion eine Variable f(x) mit der in Word formatierten Lösung. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle steigender und fallender Funktionen finden.

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Die Gleichung f" 0 (x *) = 0 ist eine notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen, d. h. am Punkt x * muss die erste Ableitung der Funktion verschwinden. Sie identifiziert stationäre Punkte x c, an denen die Funktion nicht verschwindet erhöhen oder verringern.

Ausreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Sei f 0 (x) zweimal differenzierbar bezüglich x, das zur Menge D gehört. Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist Punkt x * der Punkt des lokalen (globalen) Minimums der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dann ist Punkt x * ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel Nr. 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment.
Lösung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f’(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment. (Der Punkt x=0 ist nicht kritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 bei x=2; f max =9 bei x=1

Beispiel Nr. 2. Ermitteln Sie mithilfe von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Lösung.
Finden Sie die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y’’=2sin(x), berechnen, was bedeutet, dass x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion sind; , was bedeutet, dass x=- π / 3 +2πk, k∈Z die Maximalpunkte der Funktion sind.

Beispiel Nr. 3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Lösung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, ermitteln Sie seinen Typ (Minimum oder Maximum). Wenn es unter den gefundenen Punkten kein x = 0 gibt, dann berechnen Sie den Wert der Funktion f(x=0).
Es ist zu beachten, dass die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines bestimmten Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Umgebung auf einer Seite des Punktes x 0 oder Auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Punkten ist es notwendig, andere Methoden zur Untersuchung von Funktionen an einem Extremum zu verwenden.

Beispiel Nr. 4. Teilen Sie die Zahl 49 in zwei Terme, deren Produkt das größte ist.
Lösung. Bezeichnen wir x als ersten Term. Dann ist (49-x) der zweite Term.
Das Produkt wird maximal sein: x·(49-x) → max

Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:

Überprüfen Sie, welche stationären Punkte in einem bestimmten Segment enthalten sind.
Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu ermitteln, müssen Sie:

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
Faktorisieren Sie die Ableitung einer Funktion.
Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den resultierenden Intervallen, indem Sie die Notation in Schritt 3 verwenden.
Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von Minus nach Plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezeichnet und umgekehrt.

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))“=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat des Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finden Sie die ODZ der Funktion: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen wir eine Koordinatenlinie, platzieren stationäre Punkte darauf und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in den resultierenden Intervallen. Ersetzen Sie dazu eine beliebige Zahl aus dem Bereich ganz rechts in die Ableitung, beispielsweise Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher ist der Punkt $-10,5$ der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Sie den größten Wert der Funktion $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Segment $[-5;1]$

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und finden Sie stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den Gesamtfaktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen wir jeden Faktor mit Null gleich

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte aus, die zum angegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Die stationären Punkte $x=0$ und $x=-3$ passen zu uns

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3