Bereich der abgeschnittenen Pyramide. Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes

Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu berechnen, ist wichtig für die Lösung einer Reihe praktischer Probleme der Geometrie. Eine der häufigsten Figuren ist die Pyramide. In diesem Artikel betrachten wir sowohl Vollpyramiden als auch Pyramidenstümpfe.

Pyramide als dreidimensionale Figur

Jeder kennt die ägyptischen Pyramiden und hat daher eine gute Vorstellung davon, um welche Art von Figur es sich handelt. Allerdings sind ägyptische Steinbauten nur ein Sonderfall einer riesigen Klasse von Pyramiden.

Das betrachtete geometrische Objekt ist im allgemeinen Fall eine polygonale Basis, deren jeder Scheitelpunkt mit einem bestimmten Punkt im Raum verbunden ist, der nicht zur Ebene der Basis gehört. Diese Definition führt zu einer Figur bestehend aus einem n-Eck und n Dreiecken.

Jede Pyramide besteht aus n+1 Flächen, 2*n Kanten und n+1 Eckpunkten. Da es sich bei der betreffenden Figur um ein perfektes Polyeder handelt, gehorchen die Zahlen der markierten Elemente der Eulerschen Gleichung:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Das an der Basis befindliche Polygon gibt der Pyramide den Namen, zum Beispiel dreieckig, fünfeckig usw. Auf dem Foto unten ist eine Reihe von Pyramiden mit unterschiedlichen Sockeln dargestellt.

Der Punkt, an dem sich n Dreiecke einer Figur verbinden, wird als Scheitelpunkt der Pyramide bezeichnet. Senkt man von dort aus eine Senkrechte auf die Grundfläche und schneidet diese im geometrischen Mittelpunkt, so nennt man eine solche Figur eine Gerade. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, liegt eine geneigte Pyramide vor.

Eine rechte Figur, deren Basis ein gleichseitiges (gleichwinkliges) n-Eck bildet, heißt regulär.

Pyramidenvolumenformel

Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, verwenden wir die Integralrechnung. Dazu teilen wir die Figur durch Schnittebenen parallel zur Grundfläche in unendlich viele dünne Schichten. Die folgende Abbildung zeigt eine viereckige Pyramide mit der Höhe h und der Seitenlänge L, bei der die dünne Schicht des Abschnitts mit einem Viereck markiert ist.

Die Fläche jeder dieser Schichten kann mit der Formel berechnet werden:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Hier ist A 0 die Fläche der Basis, z ist der Wert der vertikalen Koordinate. Es ist ersichtlich, dass die Formel für z = 0 den Wert A 0 ergibt.

Um die Formel für das Volumen einer Pyramide zu erhalten, muss man das Integral über die gesamte Höhe der Figur berechnen, also:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Wenn wir die Abhängigkeit A(z) einsetzen und die Stammfunktion berechnen, erhalten wir den Ausdruck:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Wir haben die Formel für das Volumen einer Pyramide erhalten. Um den Wert von V zu ermitteln, multiplizieren Sie einfach die Höhe der Figur mit der Grundfläche und teilen Sie das Ergebnis dann durch drei.

Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck für die Berechnung des Volumens einer Pyramide jeglichen Typs gültig ist. Das heißt, es kann geneigt sein und seine Basis kann ein beliebiges n-Eck sein.

und seine Lautstärke

Die im obigen Absatz erhaltene allgemeine Formel für das Volumen kann im Fall einer Pyramide mit regelmäßiger Grundfläche verfeinert werden. Die Fläche einer solchen Basis wird nach folgender Formel berechnet:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Dabei ist L die Seitenlänge eines regelmäßigen Vielecks mit n Eckpunkten. Das Symbol Pi ist die Zahl Pi.

Wenn wir den Ausdruck für A 0 in die allgemeine Formel einsetzen, erhalten wir das Volumen einer regelmäßigen Pyramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Für eine dreieckige Pyramide ergibt diese Formel beispielsweise den folgenden Ausdruck:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Für eine regelmäßige viereckige Pyramide hat die Volumenformel die Form:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Die Bestimmung des Volumens regelmäßiger Pyramiden erfordert die Kenntnis der Seite ihrer Grundfläche und der Höhe der Figur.

Pyramidenstumpf

Nehmen wir an, wir hätten eine beliebige Pyramide genommen und einen Teil ihrer Mantelfläche abgeschnitten, der die Spitze enthält. Die verbleibende Figur wird Pyramidenstumpf genannt. Es besteht bereits aus zwei n-gonalen Basen und n Trapezen, die diese verbinden. Wenn die Schnittebene parallel zur Grundfläche der Figur verlief, entsteht ein Pyramidenstumpf mit ähnlich parallelen Grundflächen. Das heißt, die Längen der Seiten eines von ihnen können durch Multiplizieren der Längen des anderen mit einem bestimmten Koeffizienten k erhalten werden.

Die obige Abbildung zeigt eine abgeschnittene regelmäßige Form. Man erkennt, dass ihre obere Basis, wie auch die untere, durch ein regelmäßiges Sechseck gebildet wird.

Die Formel, die mithilfe der Integralrechnung ähnlich wie oben abgeleitet werden kann, lautet:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Wobei A 0 und A 1 die Flächen der unteren (großen) bzw. oberen (kleinen) Basis sind. Die Variable h bezeichnet die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Volumen der Cheops-Pyramide

Es ist interessant, das Problem der Bestimmung des Volumens zu lösen, das die größte ägyptische Pyramide in sich enthält.

1984 ermittelten die britischen Ägyptologen Mark Lehner und Jon Goodman die genauen Abmessungen der Cheops-Pyramide. Seine ursprüngliche Höhe betrug 146,50 Meter (derzeit etwa 137 Meter). Die durchschnittliche Länge jeder der vier Seiten des Bauwerks betrug 230,363 Meter. Die Basis der Pyramide ist mit hoher Präzision quadratisch.

Bestimmen wir anhand der angegebenen Zahlen das Volumen dieses Steinriesen. Da die Pyramide regelmäßig viereckig ist, gilt für sie die Formel:

Wenn wir die Zahlen ersetzen, erhalten wir:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Das Volumen der Cheops-Pyramide beträgt fast 2,6 Millionen m3. Zum Vergleich stellen wir fest, dass das Olympia-Schwimmbecken ein Volumen von 2,5 Tausend m 3 hat. Das heißt, um die gesamte Cheops-Pyramide zu füllen, braucht man mehr als 1000 solcher Becken!

Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt richtig , wenn seine Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Man nennt eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind Tetraeder .

Seitliche Rippe einer Pyramide ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Grundfläche gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema . Diagonaler Abschnitt heißt ein Abschnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Gesamtfläche heißt die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Grundfläche.

Theoreme

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleichmäßig zur Grundebene geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in der Nähe der Grundfläche umschriebenen Kreises projiziert.

2. Wenn alle Seitenkanten einer Pyramide gleich lang sind, wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines Kreises projiziert, der nahe der Basis umschrieben wird.

3. Wenn alle Flächen einer Pyramide gleich stark zur Grundebene geneigt sind, wird die Spitze der Pyramide auf den Mittelpunkt des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, lautet die richtige Formel:

Wo V- Lautstärke;

S-Basis- Grundfläche;

H– Höhe der Pyramide.

Für eine regelmäßige Pyramide sind die folgenden Formeln korrekt:

Wo P– Basisumfang;

h a– Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S-Basis- Grundfläche;

V– Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil der Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Regelmäßiger Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil einer regelmäßigen Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Gründe Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen – Trapeze. Höhe eines Pyramidenstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Spitzen verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen. Diagonaler Abschnitt ist ein Schnitt durch einen Pyramidenstumpf durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten folgende Formeln:

(4)

Wo S 1 , S 2 – Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll– Gesamtfläche;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

V– Volumen eines Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf ist die Formel korrekt:

Wo P 1 , P 2 – Umfang der Sockel;

h a– Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60°. Finden Sie den Tangens des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, das heißt, an der Basis befindet sich ein gleichseitiges Dreieck und alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Der Diederwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel A zwischen zwei Senkrechten: usw. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des Umkreises und des eingeschriebenen Kreises des Dreiecks). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenkante (z.B S.B.) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Ebene der Basis. Für die Rippe S.B. Dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Beine kennen ALSO Und O.B.. Sei die Länge des Segments BD gleich 3 A. Punkt UM Liniensegment BD ist in Teile unterteilt: und Von wir finden ALSO: Daraus finden wir:

Antwort:

Beispiel 2. Ermitteln Sie das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn die Diagonalen ihrer Grundflächen gleich cm und cm sind und ihre Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu ermitteln, verwenden wir Formel (4). Um die Fläche der Grundflächen zu ermitteln, müssen Sie die Seiten der Grundquadrate ermitteln und dabei deren Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen betragen jeweils 2 cm und 8 cm. Das bedeutet, dass die Flächen der Basen und unter Einsetzen aller Daten in die Formel das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

Antwort: 112cm3.

Beispiel 3. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Grundseiten 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Grundfläche und Höhe kennen. Die Sockel sind dem Zustand entsprechend angegeben, lediglich die Höhe bleibt unbekannt. Wir werden sie von wo aus finden A 1 E senkrecht von einem Punkt A 1 auf der Ebene der unteren Basis, A 1 D– senkrecht von A 1 pro Wechselstrom. A 1 E= 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Finden DE Lassen Sie uns eine zusätzliche Zeichnung erstellen, die die Draufsicht zeigt (Abb. 20). Punkt UM– Projektion der Mittelpunkte der oberen und unteren Basis. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK– Radius eingeschrieben in den Kreis und OM– In einen Kreis eingeschriebener Radius:

MK = DE.

Nach dem Satz des Pythagoras von

Seitenfläche:

Antwort:

Beispiel 4. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Grundflächen A Und B (A> B). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel, der der Ebene der Pyramidenbasis entspricht J. Finden Sie die Gesamtoberfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtoberfläche der Pyramide SABCD gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleichermaßen zur Ebene der Grundfläche geneigt sind, der Scheitelpunkt in die Mitte des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt UM– Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Ebene der Basis. Mit dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer ebenen Figur erhalten wir:

Ebenso bedeutet es Somit reduzierte sich das Problem darauf, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichnen wir ein Trapez A B C D separat (Abb. 22). Punkt UM– der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, dann oder Aus dem Satz des Pythagoras haben wir

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ist ein Polyeder, das aus der Basis der Pyramide und einem dazu parallelen Abschnitt besteht. Wir können sagen, dass ein Pyramidenstumpf eine Pyramide ist, deren Spitze abgeschnitten ist. Diese Figur hat viele einzigartige Eigenschaften:

• Die Seitenflächen der Pyramide sind Trapeze;
• Die Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich lang und im gleichen Winkel zur Grundfläche geneigt;
• Die Basen sind ähnliche Polygone;
• Bei einem regelmäßigen Pyramidenstumpf sind die Flächen identische gleichschenklige Trapeze, deren Fläche gleich ist. Außerdem sind sie in einem Winkel zur Basis geneigt.

Die Formel für die Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes ist die Summe seiner Seitenflächen:

Da die Seiten eines Pyramidenstumpfes Trapeze sind, müssen Sie zur Berechnung der Parameter die Formel verwenden Trapezfläche. Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf können Sie eine andere Formel zur Flächenberechnung anwenden. Da alle Seiten, Flächen und Winkel an der Basis gleich sind, können wir die Umfänge der Basis und des Apothems anwenden und auch die Fläche durch den Winkel an der Basis ableiten.

Wenn gemäß den Bedingungen in einem regelmäßigen Pyramidenstumpf das Apothem (Höhe der Seite) und die Längen der Seiten der Grundfläche gegeben sind, kann die Fläche durch das Halbprodukt der Summe der Umfänge von berechnet werden die Basen und das Apothem:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes an.
Gegeben sei eine regelmäßige fünfeckige Pyramide. Apothema l= 5 cm, die Länge der Kante in der großen Basis beträgt A= 6 cm, und der Rand liegt an der kleineren Basis B= 4 cm. Berechnen Sie die Fläche des Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zunächst die Umfänge der Basen ermitteln. Da wir eine fünfeckige Pyramide erhalten, verstehen wir, dass die Grundflächen Fünfecke sind. Das bedeutet, dass die Sockel eine Figur mit fünf identischen Seiten enthalten. Lassen Sie uns den Umfang der größeren Basis ermitteln:

Auf die gleiche Weise ermitteln wir den Umfang der kleineren Basis:

Jetzt können wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes berechnen. Setzen Sie die Daten in die Formel ein:

Daher haben wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes durch die Umfänge und das Apothem berechnet.

Eine andere Möglichkeit, die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel durch die Winkel an der Basis und die Fläche dieser Basen.

Schauen wir uns eine Beispielrechnung an. Wir erinnern uns, dass diese Formel nur für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt.

Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Kante der unteren Basis beträgt a = 6 cm und die Kante der oberen Basis beträgt b = 4 cm. Der Diederwinkel an der Basis beträgt β = 60°. Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Berechnen wir zunächst die Fläche der Basen. Da die Pyramide regelmäßig ist, sind alle Kanten der Grundflächen einander gleich. Wenn man bedenkt, dass die Basis ein Viereck ist, verstehen wir, dass eine Berechnung erforderlich ist Fläche des Platzes. Es ist das Produkt aus Breite und Länge, aber quadriert sind diese Werte gleich. Finden wir die Fläche der größeren Basis:


Aus den gefundenen Werten berechnen wir nun die Mantelfläche.

Mit ein paar einfachen Formeln konnten wir die Fläche des seitlichen Trapezes eines Pyramidenstumpfes anhand verschiedener Werte leicht berechnen.