Das Konzept der Dezimalbrüche und Operationen mit ihnen. So lösen Sie Dezimalzahlen

§ 102. Vorabklärungen.

Im vorherigen Teil haben wir uns Brüche mit allen möglichen Nennern angesehen und sie gewöhnliche Brüche genannt. Uns interessierte jeder Bruch, der beim Messen oder Dividieren entstand, unabhängig davon, welchen Nenner wir am Ende hatten.

Aus der gesamten Menge der Brüche werden wir nun Brüche mit Nennern herausgreifen: 10, 100, 1.000, 10.000 usw., d. h. solche Brüche, deren Nenner nur Zahlen sind, die durch eine Eins (1) gefolgt von Nullen (eine oder mehrere) dargestellt werden ). Solche Brüche heißen Dezimal.

Hier sind Beispiele für Dezimalbrüche:

Wir sind bereits auf Dezimalbrüche gestoßen, haben jedoch keine besonderen Eigenschaften angegeben, die ihnen innewohnen. Wir werden nun zeigen, dass sie einige bemerkenswerte Eigenschaften haben, die alle Berechnungen mit Brüchen einfacher machen.

§ 103. Bild eines Dezimalbruchs ohne Nenner.

Dezimalbrüche werden normalerweise nicht auf die gleiche Weise wie gewöhnliche Brüche geschrieben, sondern nach den Regeln, nach denen ganze Zahlen geschrieben werden.

Um zu verstehen, wie man einen Dezimalbruch ohne Nenner schreibt, müssen Sie sich daran erinnern, wie jede ganze Zahl im Dezimalsystem geschrieben wird. Schreiben wir beispielsweise eine dreistellige Zahl nur mit der Zahl 2, also der Zahl 222, dann hat jede dieser Zweien eine besondere Bedeutung, je nachdem, an welcher Stelle sie in der Zahl steht. Die ersten beiden auf der rechten Seite stehen für Einheiten, die zweite für Zehner und die dritte für Hunderter. Somit bezeichnet jede Ziffer links von einer anderen Ziffer zehnmal größere Einheiten als die durch die vorherige Ziffer bezeichneten. Fehlt eine Ziffer, wird stattdessen eine Null geschrieben.

Bei einer ganzen Zahl stehen also rechts an erster Stelle die Einer, an zweiter Stelle die Zehner usw.

Stellen wir uns nun die Frage, welche Einheitenstelle wir erhalten, wenn wir uns beispielsweise in der Zahl 222 befinden Rechts Fügen wir noch eine Zahl an der Seite hinzu. Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie berücksichtigen, dass die letzten beiden (der erste von rechts) Einsen darstellen.

Wenn wir also nach den beiden, die Einheiten bezeichnen, etwas zurücktreten und eine andere Zahl schreiben, zum Beispiel 3, dann werden Einheiten angezeigt. zehnmal kleiner als die vorherigen, mit anderen Worten, es wird bedeuten Zehntel Einheiten; Das Ergebnis ist eine Zahl, die 222 ganze Einheiten und 3 Zehntel einer Einheit enthält.

Es ist üblich, zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen der Zahl ein Komma zu setzen, d.h. schreiben Sie so:

Wenn wir dieser Zahl nach der Drei eine weitere Zahl hinzufügen, zum Beispiel 4, dann bedeutet das 4 Hundertstel Bruchteile einer Einheit; Die Nummer sieht folgendermaßen aus:

und wird ausgesprochen: zweihundertzweiundzwanzig Komma vierunddreißig Hundertstel.

Eine neue Ziffer, zum Beispiel 5, gibt uns, wenn sie dieser Nummer zugewiesen wird Tausendstel: 222,345 (zweihundertzweiundzwanzig Komma dreihundertfünfundvierzig Tausendstel).

Zur besseren Übersichtlichkeit kann die Anordnung in der Anzahl der Ganz- und Nachkommastellen in tabellarischer Form dargestellt werden:

Damit haben wir erklärt, wie Dezimalbrüche ohne Nenner geschrieben werden. Schreiben wir einige dieser Brüche.

Um den Bruch 5/10 ohne Nenner zu schreiben, müssen Sie berücksichtigen, dass er keine ganzen Zahlen hat und daher die Stelle der ganzen Zahlen durch Null eingenommen werden muss, d. h. 5/10 = 0,5.

Der Bruch 2 9 / 100 ohne Nenner wird wie folgt geschrieben: 2,09, das heißt, anstelle der Zehntel müssen Sie eine Null setzen. Hätten wir diese 0 weggelassen, hätten wir einen ganz anderen Bruch erhalten, nämlich 2,9, also zwei ganze und neun Zehntel.

Das bedeutet, dass Sie beim Schreiben von Dezimalbrüchen die fehlenden ganzen und gebrochenen Ziffern mit Null bezeichnen müssen:

0,325 – keine ganzen Zahlen,
0,012 - keine ganzen Zahlen und keine Zehntel,
1,208 - keine Hundertstel,
0,20406 – keine ganzen Zahlen, keine Hundertstel und keine Zehntausendstel.

Die Zahlen rechts vom Dezimalpunkt werden Dezimalzahlen genannt.

Um Fehler beim Schreiben von Dezimalbrüchen zu vermeiden, müssen Sie bedenken, dass nach dem Dezimalpunkt im Bild eines Dezimalbruchs so viele Zahlen stehen sollten, wie Nullen im Nenner wären, wenn wir diesen Bruch mit einem Nenner geschrieben hätten, d.h.

0,1 = 1/10 (es gibt eine Null im Nenner und eine Ziffer nach dem Dezimalpunkt);

§ 104. Anhängen von Nullen an Dezimalbrüche.

Im vorherigen Absatz wurde beschrieben, wie Dezimalbrüche ohne Nenner dargestellt werden. Beim Schreiben von Dezimalzahlen ist Null wichtig. Jeder echte Dezimalbruch hat eine Null anstelle der ganzen Zahlen, um anzuzeigen, dass der Bruch keine ganzen Zahlen hat. Wir werden nun verschiedene Dezimalbrüche mit den Zahlen 0, 3 und 5 schreiben.

0,35 - 0 ganz, 35 Hundertstel,
0,035 - 0 ganz, 35 Tausendstel,
0,305 - 0 ganz, 305 Tausendstel,
0,0035 - 0 ganz, 35 Zehntausendstel.

Lassen Sie uns nun herausfinden, welche Bedeutung die am Ende des Dezimalbruchs, also rechts, platzierten Nullen haben.

Wenn wir eine ganze Zahl, zum Beispiel 5, nehmen, ein Komma dahinter setzen und dann eine Null hinter das Komma schreiben, dann bedeutet diese Null null Zehntel. Folglich hat diese rechts zugewiesene Null keinen Einfluss auf den Wert der Zahl, d. h.

Nehmen wir nun die Zahl 6,1 und fügen rechts davon eine Null hinzu, erhalten wir 6,10, d. h. wir hatten 1/10 nach dem Komma, aber daraus wurde 10/100, aber 10/100 sind gleich 1/10. Das bedeutet, dass sich die Größe der Zahl nicht geändert hat und dass sich durch das Hinzufügen einer Null rechts nur das Aussehen der Zahl und die Aussprache geändert haben (6.1 – sechs Komma ein Zehntel; 6.10 – sechs Komma eins Zehnhundertstel).

Durch ähnliche Überlegungen können wir sicherstellen, dass das Hinzufügen von Nullen rechts von einem Dezimalbruch seinen Wert nicht ändert. Daher können wir die folgenden Gleichungen schreiben:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 usw.

Wenn wir links vom Dezimalbruch Nullen hinzufügen, haben diese keine Bedeutung. Wenn wir links von der Zahl 4,6 eine Null schreiben, nimmt die Zahl tatsächlich die Form 04,6 an. Wo ist die Null? Es steht an der Zehnerstelle, d. h. es zeigt an, dass es in dieser Zahl keine Zehner gibt, dies ist aber auch ohne Null klar.

Es ist jedoch zu beachten, dass manchmal rechts von Dezimalbrüchen Nullen hinzugefügt werden. Es gibt beispielsweise vier Brüche: 0,32; 2,5; 13.1023; 5.238. Den Brüchen, die weniger Nachkommastellen haben, weisen wir rechts Nullen zu: 0,3200; 2,5000; 13.1023; 5.2380.

Warum wird das gemacht? Durch das Hinzufügen von Nullen auf der rechten Seite erhalten wir vier Nachkommastellen für jede Zahl, was bedeutet, dass jeder Bruch einen Nenner von 10.000 hat, und vor dem Hinzufügen von Nullen hatte der erste Bruch einen Nenner von 100, der zweite 10 der dritte 10.000 und der vierte 1.000. Somit haben wir durch das Hinzufügen von Nullen die Anzahl der Dezimalstellen unserer Brüche ausgeglichen, d. h. wir haben sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Daher erfolgt die Zusammenführung von Dezimalbrüchen auf einen gemeinsamen Nenner durch das Hinzufügen von Nullen zu diesen Brüchen.

Wenn andererseits ein Dezimalbruch rechts Nullen hat, können wir diese verwerfen, ohne seinen Wert zu ändern, zum Beispiel: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4.200 = 4,2.

Wie ist das Weglassen von Nullen rechts vom Dezimalbruch zu verstehen? Es ist gleichbedeutend mit seiner Reduktion, und dies kann man sehen, wenn wir diese Dezimalbrüche mit einem Nenner schreiben:

§ 105. Vergleich von Dezimalbrüchen nach Betrag.

Bei der Verwendung von Dezimalbrüchen ist es sehr wichtig, Brüche miteinander vergleichen zu können und die Frage beantworten zu können, welche Brüche gleich, welche größer und welche kleiner sind. Der Vergleich von Dezimalzahlen funktioniert anders als der Vergleich ganzer Zahlen. Beispielsweise ist eine ganzzahlige zweistellige Zahl immer größer als eine einstellige Zahl, unabhängig davon, wie viele Einheiten die einstellige Zahl enthält. Eine dreistellige Zahl ist größer als eine zweistellige Zahl und umso mehr eine einstellige Zahl. Beim Vergleich von Dezimalzahlen wäre es jedoch ein Fehler, alle Zeichen zu zählen, in denen die Brüche geschrieben sind.

Nehmen wir zwei Brüche: 3,5 und 2,5 und vergleichen sie in ihrer Größe. Sie haben die gleichen Dezimalstellen, aber der erste Bruch hat 3 ganze Zahlen und der zweite hat 2. Der erste Bruch ist größer als der zweite, d. h.

Nehmen wir andere Brüche: 0,4 und 0,38. Um diese Brüche zu vergleichen, ist es sinnvoll, rechts vom ersten Bruch eine Null hinzuzufügen. Dann vergleichen wir die Brüche 0,40 und 0,38. Jeder von ihnen hat zwei Nachkommastellen: Das bedeutet, dass diese Brüche den gleichen Nenner 100 haben.

Wir müssen nur ihre Zähler vergleichen, aber der Zähler von 40 ist größer als 38. Das bedeutet, dass der erste Bruch größer als der zweite ist, d. h.

Der erste Bruch hat mehr Zehntel als der zweite, der zweite Bruch hat zwar 8 Hundertstel mehr, aber diese sind weniger als ein Zehntel, weil 1/10 = 10/100.

Vergleichen wir nun die folgenden Brüche: 1,347 und 1,35. Fügen wir rechts vom zweiten Bruch eine Null hinzu und vergleichen wir die Dezimalbrüche: 1,347 und 1,350. Ihre ganzen Teile sind gleich, was bedeutet, dass nur Bruchteile verglichen werden müssen: 0,347 und 0,350. Diese Brüche haben einen gemeinsamen Nenner, aber der Zähler des zweiten Bruchs ist größer als der Zähler des ersten, was bedeutet, dass der zweite Bruch größer als der erste ist, also 1,35 > 1,347.

Vergleichen wir abschließend zwei weitere Brüche: 0,625 und 0,62473. Fügen wir zum ersten Bruch zwei Nullen hinzu, um die Ziffern auszugleichen, und vergleichen wir die resultierenden Brüche: 0,62500 und 0,62473. Ihre Nenner sind gleich, aber der Zähler des ersten Bruchs 62.500 ist größer als der Zähler des zweiten Bruchs 62.473. Daher ist der erste Bruch größer als der zweite, d. h. 0,625 > 0,62473.

Basierend auf dem oben Gesagten können wir die folgende Schlussfolgerung ziehen: Von zwei Dezimalbrüchen ist derjenige mit der größeren Anzahl an ganzen Zahlen größer; wenn die ganzen Zahlen gleich sind, ist der Bruch mit der größeren Zehntelzahl größer; wenn ganze Zahlen und Zehntel gleich sind, ist der Bruch mit der größeren Hundertstelzahl größer usw.

§ 106. Erhöhen und Verringern eines Dezimalbruchs um das 10-, 100-, 1.000-fache usw.

Wir wissen bereits, dass das Hinzufügen von Nullen zu einer Dezimalzahl keinen Einfluss auf ihren Wert hat. Als wir ganze Zahlen untersuchten, sahen wir, dass jede rechts hinzugefügte Null die Zahl um das Zehnfache erhöhte. Es ist nicht schwer zu verstehen, warum das passiert ist. Wenn wir eine ganze Zahl, zum Beispiel 25, nehmen und rechts davon eine Null hinzufügen, dann erhöht sich die Zahl um das Zehnfache, die Zahl 250 ist zehnmal größer als 25. Wenn rechts eine Null erscheint, erscheint die Zahl 5, die zuvor Die Zahl 2, die früher für Zehner stand, stand nun für Hunderter. Das heißt, durch das Erscheinen der Null wurden die bisherigen Ziffern durch neue ersetzt, sie wurden größer, sie rückten um eine Stelle nach links. Wenn wir einen Dezimalbruch beispielsweise um das Zehnfache erhöhen müssen, müssen wir auch die Ziffern um eine Stelle nach links verschieben, aber eine solche Verschiebung ist mit der Null nicht möglich. Ein Dezimalbruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil, die Grenze zwischen ihnen ist ein Komma. Links vom Dezimalpunkt steht die niedrigste Ganzzahl, rechts die höchste Nachkommastelle. Betrachten Sie den Bruch:

Wie können wir die Ziffern darin um mindestens eine Stelle verschieben, d. h. wie können wir sie um das Zehnfache erhöhen? Wenn wir das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben, dann wirkt sich das zunächst auf das Schicksal der Fünf aus: Es wandert vom Bereich der Bruchzahlen in den Bereich der ganzen Zahlen. Die Nummer sieht dann so aus: 12345.678. Die Änderung trat bei allen anderen Zahlen auf, nicht nur bei fünf. Alle in der Nummer enthaltenen Zahlen begannen eine neue Rolle zu spielen, Folgendes geschah (siehe Tabelle):

Alle Dienstgrade änderten ihre Namen und alle Dienstgradeinheiten rückten sozusagen um einen Platz nach oben. Dadurch erhöhte sich die Gesamtzahl um das Zehnfache. Wenn man also die Dezimalstelle um eine Stelle nach rechts verschiebt, erhöht sich die Zahl um das Zehnfache.

Schauen wir uns einige weitere Beispiele an:

1) Nehmen Sie den Bruch 0,5 und verschieben Sie den Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts; Wir erhalten die Zahl 5, die zehnmal größer als 0,5 ist, da fünf früher Zehntel einer Einheit bedeuteten, jetzt aber ganze Einheiten.

2) Verschieben Sie den Dezimalpunkt in der Zahl 1,234 um zwei Stellen nach rechts; die Zahl wird 123,4. Diese Zahl ist 100-mal größer als die vorherige, da darin die Zahl 3 begann, Einheiten zu bezeichnen, die Zahl 2 - Zehner und die Zahl 1 - Hunderter.

Um also einen Dezimalbruch um das Zehnfache zu erhöhen, müssen Sie die Dezimalstelle um eine Stelle nach rechts verschieben; Um es um das Hundertfache zu erhöhen, müssen Sie den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach rechts verschieben. um das Tausendfache erhöhen - drei Ziffern nach rechts usw.

Wenn die Zahl nicht genügend Vorzeichen hat, werden ihr rechts Nullen hinzugefügt. Erhöhen wir beispielsweise den Bruch 1,5 um das Hundertfache, indem wir den Dezimalpunkt auf zwei Stellen verschieben; wir erhalten 150. Erhöhen wir den Bruch 0,6 um das Tausendfache; wir bekommen 600.

Bei Bedarf zurück verringern Wenn Sie den Dezimalbruch um das 10-, 100-, 1.000-fache usw. multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt um eine, zwei, drei usw. Stellen nach links verschieben. Gegeben sei der Bruch 20,5; Reduzieren wir es um das Zehnfache; Verschieben Sie dazu den Dezimalpunkt um eine Stelle nach links. Der Bruch erhält dann die Form 2,05. Reduzieren wir den Bruch 0,015 um das Hundertfache; wir erhalten 0,00015. Reduzieren wir die Zahl 334 um das Zehnfache; wir bekommen 33,4.

Wir haben bereits gesagt, dass es Brüche gibt normal Und Dezimal. An diesem Punkt haben wir ein wenig über Brüche gelernt. Wir haben gelernt, dass es regelmäßige und unechte Brüche gibt. Wir haben auch gelernt, dass gewöhnliche Brüche reduziert, addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden können. Und wir haben auch gelernt, dass es sogenannte gemischte Zahlen gibt, die aus einem ganzzahligen und einem gebrochenen Teil bestehen.

Wir haben die gemeinsamen Brüche noch nicht vollständig erforscht. Es gibt viele Feinheiten und Details, über die gesprochen werden sollte, aber heute beginnen wir mit dem Studium Dezimal Brüche, da gewöhnliche und dezimale Brüche oft kombiniert werden müssen. Das heißt, wenn man Probleme löst, muss man mit beiden Arten von Brüchen arbeiten.

Diese Lektion mag kompliziert und verwirrend erscheinen. Es ist ganz normal. Solche Lektionen erfordern, dass sie studiert werden und nicht nur oberflächlich überflogen werden.

Unterrichtsinhalte

Mengen in gebrochener Form ausdrücken

Manchmal ist es praktisch, etwas in Bruchform darzustellen. Ein Zehntel Dezimeter wird beispielsweise so geschrieben:

Dieser Ausdruck bedeutet, dass ein Dezimeter in zehn gleiche Teile geteilt wurde und von diesen zehn Teilen ein Teil genommen wurde. Und ein Teil von zehn entspricht in diesem Fall einem Zentimeter:

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Zeigen Sie 6 cm und weitere 3 mm in Zentimetern in gebrochener Form an.

Sie müssen also 6 cm und 3 mm in Zentimetern angeben, jedoch in gebrochener Form. Wir haben bereits 6 ganze Zentimeter:

Es sind aber noch 3 Millimeter übrig. Wie werden diese 3 Millimeter angezeigt, und zwar in Zentimetern? Fraktionen kommen zur Rettung. Ein Zentimeter sind zehn Millimeter. Drei Millimeter sind drei Teile von zehn. Und drei von zehn Teilen werden als cm geschrieben

Der Ausdruck cm bedeutet, dass ein Zentimeter in zehn gleiche Teile geteilt wurde und aus diesen zehn Teilen drei Teile genommen wurden.

Als Ergebnis haben wir sechs ganze Zentimeter und drei Zehntel Zentimeter:

In diesem Fall gibt 6 die Anzahl ganzer Zentimeter und der Bruch die Anzahl gebrochener Zentimeter an. Dieser Bruch wird gelesen als „sechs Komma drei Zentimeter“.

Brüche, deren Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 enthält, können ohne Nenner geschrieben werden. Schreiben Sie zuerst den ganzen Teil und dann den Zähler des Bruchteils. Der ganzzahlige Teil wird durch ein Komma vom Zähler des Bruchteils getrennt.

Schreiben wir es zum Beispiel ohne Nenner. Zuerst schreiben wir den gesamten Teil auf. Der ganze Teil ist 6

Der gesamte Teil wird aufgezeichnet. Gleich nachdem wir den ganzen Teil geschrieben haben, setzen wir ein Komma:

Und jetzt schreiben wir den Zähler des Bruchteils auf. Bei einer gemischten Zahl ist der Zähler des Bruchteils die Zahl 3. Wir schreiben eine Drei nach dem Komma:

Jede Zahl, die in dieser Form dargestellt wird, wird aufgerufen Dezimal.

Daher können Sie 6 cm und weitere 3 mm mit einem Dezimalbruch in Zentimetern anzeigen:

6,3 cm

Es wird so aussehen:

Tatsächlich sind Dezimalzahlen dasselbe wie gewöhnliche Brüche und gemischte Zahlen. Die Besonderheit solcher Brüche besteht darin, dass der Nenner ihres Bruchteils die Zahlen 10, 100, 1000 oder 10000 enthält.

Ein Dezimalbruch besteht wie eine gemischte Zahl aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Beispielsweise ist in einer gemischten Zahl der ganzzahlige Teil 6 und der Bruchteil .

Im Dezimalbruch 6,3 ist der ganzzahlige Teil die Zahl 6 und der Bruchteil der Zähler des Bruchs, also die Zahl 3.

Es kommt auch vor, dass gewöhnliche Brüche im Nenner, deren Zahlen 10, 100, 1000 sind, ohne einen ganzzahligen Teil angegeben sind. Beispielsweise wird ein Bruch ohne ganzen Teil angegeben. Um einen solchen Bruch als Dezimalzahl zu schreiben, schreiben Sie zuerst 0, setzen Sie dann ein Komma und schreiben Sie den Zähler des Bruchs. Ein Bruch ohne Nenner wird wie folgt geschrieben:

Liest sich wie „Null Komma fünf“.

Gemischte Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Wenn wir gemischte Zahlen ohne Nenner schreiben, wandeln wir sie dadurch in Dezimalbrüche um. Bei der Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen müssen Sie einige Dinge wissen, über die wir jetzt sprechen werden.

Nachdem der ganze Teil aufgeschrieben wurde, ist es notwendig, die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils zu zählen, da die Anzahl der Nullen des Bruchteils und die Anzahl der Nachkommastellen im Dezimalbruch gleich sein müssen Dasselbe. Was bedeutet das? Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Anfangs

Und Sie könnten sofort den Zähler des Bruchteils aufschreiben und der Dezimalbruch ist fertig, aber Sie müssen unbedingt die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils zählen.

Wir zählen also die Anzahl der Nullen im Bruchteil einer gemischten Zahl. Der Nenner des Bruchteils hat eine Null. Das bedeutet, dass es in einem Dezimalbruch eine Ziffer nach dem Dezimalpunkt gibt und diese Ziffer der Zähler des Bruchteils der gemischten Zahl ist, also der Zahl 2

Wenn man sie also in einen Dezimalbruch umwandelt, wird eine gemischte Zahl zu 3,2.

Dieser Dezimalbruch liest sich so:

„Drei Komma zwei“

„Zehntel“, weil die Zahl 10 im Bruchteil einer gemischten Zahl steht.

Beispiel 2. Wandeln Sie eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl um.

Schreiben Sie den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Und Sie könnten sofort den Zähler des Bruchteils aufschreiben und den Dezimalbruch 5,3 erhalten, aber die Regel besagt, dass nach dem Komma so viele Ziffern stehen sollten, wie Nullen im Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl sind. Und wir sehen, dass der Nenner des Bruchteils zwei Nullen hat. Das bedeutet, dass unser Dezimalbruch zwei Nachkommastellen haben muss, nicht eine.

In solchen Fällen muss der Zähler des Bruchteils leicht geändert werden: Fügen Sie vor dem Zähler, also vor der Zahl 3, eine Null hinzu

Jetzt können Sie diese gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umwandeln. Schreiben Sie den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Und notieren Sie den Zähler des Bruchteils:

Der Dezimalbruch 5,03 liest sich wie folgt:

„Fünf Komma drei“

„Hunderter“, weil der Nenner des Bruchteils einer gemischten Zahl die Zahl 100 enthält.

Beispiel 3. Wandeln Sie eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl um.

Aus früheren Beispielen haben wir gelernt, dass zur erfolgreichen Umwandlung einer gemischten Zahl in eine Dezimalzahl die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchs und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich sein müssen.

Bevor eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umgewandelt wird, muss ihr Bruchteil leicht geändert werden, um sicherzustellen, dass die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils übereinstimmen Dasselbe.

Zunächst betrachten wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils. Wir sehen, dass es drei Nullen gibt:

Unsere Aufgabe besteht darin, drei Ziffern im Zähler des Bruchteils zu organisieren. Wir haben bereits eine Ziffer – das ist die Zahl 2. Es müssen noch zwei weitere Ziffern hinzugefügt werden. Es werden zwei Nullen sein. Fügen Sie sie vor der Zahl 2 hinzu. Dadurch ist die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich:

Jetzt können Sie damit beginnen, diese gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Zuerst schreiben wir den gesamten Teil auf und setzen ein Komma:

und notieren Sie sofort den Zähler des Bruchteils

3,002

Wir sehen, dass die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl gleich sind.

Der Dezimalbruch 3,002 liest sich wie folgt:

„Drei Komma zweitausendstel“

„Tausendstel“, weil der Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl die Zahl 1000 enthält.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000 oder 10000 können auch in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Da ein gewöhnlicher Bruch keinen ganzzahligen Teil hat, schreiben Sie zuerst 0 auf, setzen Sie dann ein Komma und notieren Sie den Zähler des Bruchteils.

Auch hier müssen die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich sein. Daher sollten Sie vorsichtig sein.

Beispiel 1.

Der ganze Teil fehlt, also schreiben wir zuerst 0 und setzen ein Komma:

Nun schauen wir uns die Anzahl der Nullen im Nenner an. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Und der Zähler hat eine Ziffer. Dies bedeutet, dass Sie den Dezimalbruch sicher fortsetzen können, indem Sie die Zahl 5 nach dem Dezimalpunkt schreiben

Im resultierenden Dezimalbruch 0,5 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Der Dezimalbruch 0,5 wird wie folgt gelesen:

„Null Komma fünf“

Beispiel 2. Wandeln Sie einen Bruch in eine Dezimalzahl um.

Ein ganzer Teil fehlt. Zuerst schreiben wir 0 und setzen ein Komma:

Nun schauen wir uns die Anzahl der Nullen im Nenner an. Wir sehen, dass es zwei Nullen gibt. Und der Zähler hat nur eine Ziffer. Um die Anzahl der Ziffern und die Anzahl der Nullen anzugleichen, fügen Sie vor der Zahl 2 eine Null in den Zähler ein. Dann nimmt der Bruch die Form an. Jetzt sind die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich. So können Sie den Dezimalbruch fortsetzen:

Im resultierenden Dezimalbruch 0,02 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Der Dezimalbruch 0,02 wird wie folgt gelesen:

„Null Komma zwei.“

Beispiel 3. Wandeln Sie einen Bruch in eine Dezimalzahl um.

Schreiben Sie 0 und setzen Sie ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs. Wir sehen, dass es fünf Nullen gibt und der Zähler nur eine Ziffer enthält. Um die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich zu machen, müssen Sie vor der Zahl 5 vier Nullen im Zähler hinzufügen:

Jetzt sind die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich. Wir können also mit dem Dezimalbruch fortfahren. Schreiben Sie den Zähler des Bruchs nach dem Dezimalpunkt

Im resultierenden Dezimalbruch 0,00005 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Der Dezimalbruch 0,00005 wird wie folgt gelesen:

„Null Komma fünfhunderttausendstel.“

Unechte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist. Es gibt unechte Brüche, deren Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 oder 10000 enthält. Solche Brüche können in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Vor der Umwandlung in einen Dezimalbruch müssen solche Brüche jedoch in den ganzen Teil zerlegt werden.

Beispiel 1.

Der Bruch ist ein unechter Bruch. Um einen solchen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, müssen Sie zunächst den ganzen Teil davon auswählen. Erinnern wir uns daran, wie man den ganzen Teil unechter Brüche isoliert. Wenn Sie es vergessen haben, empfehlen wir Ihnen, dorthin zurückzukehren und es zu studieren.

Markieren wir also den ganzen Teil im unechten Bruch. Denken Sie daran, dass ein Bruch eine Division bedeutet – in diesem Fall die Division der Zahl 112 durch die Zahl 10

Schauen wir uns dieses Bild an und stellen wir eine neue gemischte Zahl zusammen, wie einen Kinderbaukasten. Die Zahl 11 ist der ganzzahlige Teil, die Zahl 2 ist der Zähler des Bruchteils und die Zahl 10 ist der Nenner des Bruchteils.

Wir haben eine gemischte Nummer. Wandeln wir es in einen Dezimalbruch um. Und wir wissen bereits, wie man solche Zahlen in Dezimalbrüche umwandelt. Schreiben Sie zunächst den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Und der Zähler des Bruchteils hat eine Ziffer. Das bedeutet, dass die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils und die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils gleich sind. Dies gibt uns die Möglichkeit, den Zähler des Nachkommateils sofort nach dem Komma aufzuschreiben:

Im resultierenden Dezimalbruch 11.2 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Das bedeutet, dass ein unechter Bruch bei der Umwandlung in eine Dezimalzahl 11,2 ergibt.

Der Dezimalbruch 11,2 liest sich wie folgt:

„Elf Komma zwei.“

Beispiel 2. Wandeln Sie unechten Bruch in eine Dezimalzahl um.

Es handelt sich um einen unechten Bruch, da der Zähler größer als der Nenner ist. Er kann aber in einen Dezimalbruch umgewandelt werden, da der Nenner die Zahl 100 enthält.

Wählen wir zunächst den ganzen Teil dieses Bruchs aus. Teilen Sie dazu 450 durch 100 mit einer Ecke:

Sammeln wir eine neue gemischte Zahl – wir erhalten . Und wir wissen bereits, wie man gemischte Zahlen in Dezimalbrüche umwandelt.

Schreiben Sie den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Nun zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils und die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils. Wir sehen, dass die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich sind. Dies gibt uns die Möglichkeit, den Zähler des Nachkommateils sofort nach dem Komma aufzuschreiben:

Im resultierenden Dezimalbruch 4,50 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Das bedeutet, dass ein unechter Bruch bei der Umwandlung in eine Dezimalzahl 4,50 ergibt.

Wenn beim Lösen von Problemen am Ende des Dezimalbruchs Nullen stehen, können diese verworfen werden. Lassen Sie uns in unserer Antwort auch die Null weglassen. Dann erhalten wir 4,5

Das ist eines der interessanten Dinge an Dezimalzahlen. Es liegt darin, dass die Nullen, die am Ende eines Bruchs stehen, diesem Bruch kein Gewicht verleihen. Mit anderen Worten: Die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 sind gleich. Setzen wir zwischen ihnen ein Gleichheitszeichen:

4,50 = 4,5

Es stellt sich die Frage: Warum passiert das? Schließlich sehen 4,50 und 4,5 wie unterschiedliche Brüche aus. Das ganze Geheimnis liegt in der Grundeigenschaft von Brüchen, die wir zuvor untersucht haben. Wir werden versuchen zu beweisen, warum die Dezimalbrüche 4,50 und 4,5 gleich sind, aber nachdem wir uns mit dem nächsten Thema befasst haben, das „Umwandlung eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl“ heißt.

Konvertieren einer Dezimalzahl in eine gemischte Zahl

Jeder Dezimalbruch kann wieder in eine gemischte Zahl umgewandelt werden. Dazu reicht es aus, Dezimalbrüche lesen zu können. Lassen Sie uns zum Beispiel 6,3 in eine gemischte Zahl umwandeln. 6,3 ist sechs Komma drei. Zuerst schreiben wir sechs ganze Zahlen auf:

und neben drei Zehnteln:

Beispiel 2. Wandeln Sie die Dezimalzahl 3,002 in eine gemischte Zahl um

3,002 sind drei ganze und zwei Tausendstel. Zuerst schreiben wir drei ganze Zahlen auf

und daneben schreiben wir zwei Tausendstel:

Beispiel 3. Wandeln Sie die Dezimalzahl 4,50 in eine gemischte Zahl um

4,50 ist vier Komma fünfzig. Schreiben Sie vier ganze Zahlen auf

und die nächsten fünfzig Hundertstel:

Erinnern wir uns übrigens an das letzte Beispiel aus dem vorherigen Thema. Wir sagten, dass die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 gleich sind. Wir haben auch gesagt, dass die Null verworfen werden kann. Versuchen wir zu beweisen, dass die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 gleich sind. Dazu wandeln wir beide Dezimalbrüche in gemischte Zahlen um.

Bei der Umwandlung in eine gemischte Zahl wird die Dezimalzahl 4,50 zu und die Dezimalzahl 4,5

Wir haben zwei gemischte Zahlen und . Lassen Sie uns diese gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Jetzt haben wir zwei Brüche und . Es ist an der Zeit, sich an die Grundeigenschaft eines Bruchs zu erinnern, die besagt, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, wenn man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (oder dividiert).

Teilen wir den ersten Bruch durch 10

Wir haben , und das ist der zweite Bruch. Das bedeutet, dass beide einander gleich sind und den gleichen Wert haben:

Versuchen Sie, mit einem Taschenrechner zuerst 450 durch 100 und dann 45 durch 10 zu dividieren. Das wird eine lustige Sache.

Einen Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln

Jeder Dezimalbruch kann wieder in einen Bruch umgewandelt werden. Auch hierfür reicht es aus, Dezimalbrüche lesen zu können. Lassen Sie uns zum Beispiel 0,3 in einen gemeinsamen Bruch umwandeln. 0,3 ist null Komma drei. Zuerst schreiben wir null ganze Zahlen auf:

und daneben drei Zehntel 0. Null wird traditionell nicht aufgeschrieben, daher lautet die endgültige Antwort nicht 0, sondern einfach .

Beispiel 2. Wandeln Sie den Dezimalbruch 0,02 in einen Bruch um.

0,02 ist null Komma zwei. Wir schreiben keine Null auf, also schreiben wir sofort zwei Hundertstel auf

Beispiel 3. Wandeln Sie 0,00005 in einen Bruch um

0,00005 ist null Komma fünf. Wir schreiben nicht Null auf, also schreiben wir sofort fünfhunderttausendstel auf

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Brüche geschrieben in der Form 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 wird als Dezimalzahl bezeichnet. Tatsächlich sind Dezimalzahlen eine vereinfachte Schreibweise für gewöhnliche Brüche. Diese Notation lässt sich bequem für alle Brüche verwenden, deren Nenner 10, 100, 1000 usw. sind.

Schauen wir uns Beispiele an (0,5 wird als null Komma fünf gelesen);

(0,15 gelesen als Null Komma fünfzehn);

(5.3 lautet: fünf Punkt drei).

Bitte beachten Sie, dass in der Notation eines Dezimalbruchs ein Komma den ganzzahligen Teil einer Zahl vom Bruchteil trennt, der ganzzahlige Teil eines echten Bruchs ist 0. Die Notation des Bruchteils eines Dezimalbruchs enthält so viele Ziffern wie Es gibt Nullen in der Notation des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Schauen wir uns ein Beispiel an: , , .

In manchen Fällen kann es notwendig sein, eine natürliche Zahl als eine Dezimalzahl zu behandeln, deren Bruchteil Null ist. Es ist üblich zu schreiben, dass 5 = 5,0; 245 = 245,0 und so weiter. Beachten Sie, dass in der Dezimalschreibweise einer natürlichen Zahl die Einheit der niedrigstwertigen Ziffer zehnmal kleiner ist als die Einheit der benachbarten höchstwertigen Ziffer. Das Schreiben von Dezimalbrüchen hat die gleiche Eigenschaft. Daher gibt es unmittelbar nach dem Dezimalpunkt eine Zehntelstelle, dann eine Hundertstelstelle, dann eine Tausendstelstelle und so weiter. Unten sind die Namen der Ziffern der Zahl 31.85431 aufgeführt, die ersten beiden Spalten sind der ganzzahlige Teil, die restlichen Spalten sind der Bruchteil.

Dieser Bruch wird als einunddreißig Komma fünfundachtzigtausendvierhunderteinunddreißighunderttausendstel gelesen.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Die erste Möglichkeit besteht darin, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln und eine Addition durchzuführen.

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, ist diese Methode sehr umständlich und es ist besser, die zweite Methode zu verwenden, die korrekter ist, ohne Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie:

die Anzahl der Nachkommastellen in den Termen ausgleichen;
Schreiben Sie die Begriffe so untereinander, dass jede Ziffer des zweiten Begriffs unter der entsprechenden Ziffer des ersten Begriffs steht.
Addieren Sie die resultierenden Zahlen auf die gleiche Weise, wie Sie natürliche Zahlen addieren.
Setzen Sie in der resultierenden Summe unter den Kommas in den Begriffen ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

die Anzahl der Nachkommastellen im Minuend und Subtrahend ausgleichen;
Schreiben Sie den Subtrahend so unter den Minuenden, dass jede Ziffer des Subtrahends unter der entsprechenden Ziffer des Minuenden steht.
Führen Sie die Subtraktion auf die gleiche Weise durch, wie natürliche Zahlen subtrahiert werden.
Setzen Sie in der resultierenden Differenz unter den Kommas im Minuend und Subtrahend ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

In den oben besprochenen Beispielen ist ersichtlich, dass die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Stück für Stück durchgeführt wurde, also auf die gleiche Weise, wie wir ähnliche Operationen mit natürlichen Zahlen durchgeführt haben. Dies ist der Hauptvorteil der dezimalen Schreibweise von Brüchen.

Dezimalzahlen multiplizieren

Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch jeweils um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschieben. Wenn also das Komma um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschoben wird, erhöht sich der Bruch entsprechend um das 10-, 100-, 1000-fache usw. Um zwei Dezimalbrüche zu multiplizieren, müssen Sie:

Multiplizieren Sie sie als natürliche Zahlen und ignorieren Sie Kommas.
Trennen Sie im resultierenden Produkt rechts so viele Ziffern durch ein Komma, wie nach den Kommas in beiden Faktoren zusammen vorhanden sind.

Es gibt Fälle, in denen ein Produkt weniger Ziffern enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen; die erforderliche Anzahl von Nullen wird links vor diesem Produkt hinzugefügt und dann wird das Komma um die erforderliche Anzahl von Ziffern nach links verschoben.

Schauen wir uns Beispiele an: 2 * 4 = 8, dann 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, dann 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Es gibt Fälle, in denen einer der Multiplikatoren gleich 0,1 ist; 0,01; 0,001 usw. ist es bequemer, die folgende Regel zu verwenden.

Eine Dezimalzahl mit 0,1 multiplizieren; 0,01; 0,001 usw. In diesem Dezimalbruch müssen Sie den Dezimalpunkt jeweils um 1, 2, 3 usw. nach links verschieben.

Schauen wir uns Beispiele an: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Die Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen gelten auch für Dezimalbrüche.

ab = ba- kommutative Eigenschaft der Multiplikation;
(ab) c = a (bc)- die assoziative Eigenschaft der Multiplikation;
a (b + c) = ab + ac ist eine Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Dezimaldivision

Es ist bekannt, dass man eine natürliche Zahl dividieren kann A zu einer natürlichen Zahl B bedeutet, eine solche natürliche Zahl zu finden C, was bei Multiplikation mit B gibt eine Zahl an A. Diese Regel bleibt wahr, wenn mindestens eine der Zahlen a, b, c ist ein Dezimalbruch.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Sie müssen 43,52 durch 17 mit einer Ecke dividieren und dabei das Komma ignorieren. In diesem Fall sollte das Komma im Quotienten unmittelbar vor der ersten Ziffer nach dem Komma im Dividenden stehen.

Es gibt Fälle, in denen der Dividend kleiner als der Divisor ist und der ganzzahlige Teil des Quotienten gleich Null ist. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Schauen wir uns ein weiteres interessantes Beispiel an.

Der Divisionsvorgang wurde gestoppt, weil die Ziffern des Dividenden aufgebraucht sind und der Rest keine Null hat. Es ist bekannt, dass sich ein Dezimalbruch nicht ändert, wenn ihm rechts beliebig viele Nullen hinzugefügt werden. Dann wird klar, dass die Zahlen der Dividende kein Ende nehmen können.

Um einen Dezimalbruch durch 10, 100, 1000 usw. zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch um 1, 2, 3 usw. Stellen nach links verschieben. Schauen wir uns ein Beispiel an: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Wenn Dividende und Divisor gleichzeitig um das 10-, 100-, 1000-fache usw. erhöht werden, ändert sich der Quotient nicht.

Betrachten Sie ein Beispiel: 39,44: 1,6 = 24,65, erhöhen Sie den Dividenden und den Divisor um das Zehnfache. 394,4: 16 = 24,65 Es ist fair anzumerken, dass die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl im zweiten Beispiel einfacher ist.

Um einen Dezimalbruch durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

Verschieben Sie die Kommas im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie nach dem Dezimalpunkt im Divisor vorhanden sind.
durch eine natürliche Zahl dividieren.

Betrachten wir ein Beispiel: 23,6: 0,02. Beachten Sie, dass der Divisor zwei Dezimalstellen hat. Daher multiplizieren wir beide Zahlen mit 100 und erhalten 2360: 2 = 1180. Teilen Sie das Ergebnis durch 100 und erhalten Sie die Antwort 11,80 oder 23,6: 0, 02 = 11.8.

Vergleich von Dezimalzahlen

Es gibt zwei Möglichkeiten, Dezimalzahlen zu vergleichen. Methode eins: Sie müssen zwei Dezimalbrüche 4,321 und 4,32 vergleichen, die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen und anfangen, Stelle für Stelle, Zehntel mit Zehntel, Hundertstel mit Hundertstel usw. zu vergleichen. Am Ende erhalten wir 4,321 > 4,320.

Die zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche zu vergleichen, erfolgt durch Multiplikation: Multiplizieren Sie das obige Beispiel mit 1000 und vergleichen Sie 4321 > 4320. Welche Methode bequemer ist, entscheidet jeder für sich.

Von den vielen Brüchen, die es in der Arithmetik gibt, verdienen diejenigen, die 10, 100, 1000 im Nenner haben – im Allgemeinen jede Zehnerpotenz – besondere Aufmerksamkeit. Diese Brüche haben einen besonderen Namen und eine besondere Schreibweise.

Eine Dezimalzahl ist jeder Zahlenbruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist.

Beispiele für Dezimalbrüche:

Warum war es überhaupt notwendig, solche Fraktionen auszusondern? Warum brauchen sie ein eigenes Aufnahmeformular? Dafür gibt es mindestens drei Gründe:

Dezimalzahlen sind viel einfacher zu vergleichen. Denken Sie daran: Um gewöhnliche Brüche zu vergleichen, müssen Sie sie voneinander subtrahieren und insbesondere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Bei Dezimalzahlen ist nichts dergleichen erforderlich;
Rechenaufwand reduzieren. Dezimalzahlen addieren und multiplizieren nach ihren eigenen Regeln, und mit ein wenig Übung können Sie mit ihnen viel schneller arbeiten als mit regulären Brüchen;
Einfache Aufnahme. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen werden Dezimalzahlen ohne Verlust der Klarheit in einer Zeile geschrieben.

Die meisten Taschenrechner geben Antworten auch in Dezimalzahlen an. In manchen Fällen kann ein anderes Aufnahmeformat Probleme verursachen. Was wäre zum Beispiel, wenn Sie im Laden um Wechselgeld in Höhe von 2/3 eines Rubels bitten :)

Regeln zum Schreiben von Dezimalbrüchen

Der Hauptvorteil von Dezimalbrüchen ist die bequeme und visuelle Notation. Nämlich:

Die Dezimalschreibweise ist eine Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen, bei der der ganzzahlige Teil durch einen regelmäßigen Punkt oder ein Komma vom Bruchteil getrennt wird. In diesem Fall wird das Trennzeichen selbst (Punkt oder Komma) als Dezimalpunkt bezeichnet.

Zum Beispiel 0,3 (sprich: „Null Zeiger, 3 Zehntel“); 7,25 (7 ganze, 25 Hundertstel); 3,049 (3 ganze, 49 Tausendstel). Alle Beispiele sind der vorherigen Definition entnommen.

Beim Schreiben wird üblicherweise ein Komma als Dezimalpunkt verwendet. Hier und im weiteren Verlauf der Website wird auch das Komma verwendet.

Um einen beliebigen Dezimalbruch in dieser Form zu schreiben, müssen Sie drei einfache Schritte ausführen:

Schreiben Sie den Zähler separat auf;
Verschieben Sie den Dezimalpunkt um so viele Stellen nach links, wie der Nenner Nullen enthält. Nehmen Sie an, dass sich der Dezimalpunkt zunächst rechts von allen Ziffern befindet.
Wenn sich der Dezimalpunkt verschoben hat und danach am Ende der Eingabe Nullen stehen, müssen diese durchgestrichen werden.

Es kommt vor, dass der Zähler im zweiten Schritt nicht genügend Ziffern hat, um die Verschiebung abzuschließen. In diesem Fall werden die fehlenden Stellen mit Nullen aufgefüllt. Und im Allgemeinen können Sie links von jeder Zahl beliebig viele Nullen zuweisen, ohne Ihre Gesundheit zu beeinträchtigen. Es ist hässlich, aber manchmal nützlich.

Auf den ersten Blick mag dieser Algorithmus recht kompliziert erscheinen. Eigentlich ist alles ganz, ganz einfach – man muss nur ein wenig üben. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Geben Sie für jeden Bruch seine Dezimalschreibweise an:

Der Zähler des ersten Bruchs ist: 73. Wir verschieben den Dezimalpunkt um eine Stelle (da der Nenner 10 ist) – wir erhalten 7,3.

Zähler des zweiten Bruchs: 9. Wir verschieben den Dezimalpunkt um zwei Stellen (da der Nenner 100 ist) – wir erhalten 0,09. Ich musste eine Null nach dem Komma und eine weitere davor hinzufügen, um keinen seltsamen Eintrag wie „.09“ zu hinterlassen.

Der Zähler des dritten Bruchs ist: 10029. Wir verschieben den Dezimalpunkt um drei Stellen (da der Nenner 1000 ist) – wir erhalten 10,029.

Der Zähler des letzten Bruchs: 10.500. Wieder verschieben wir den Punkt um drei Ziffern – wir erhalten 10.500. Am Ende der Zahl stehen zusätzliche Nullen. Streichen Sie sie durch und wir erhalten 10,5.

Achten Sie auf die letzten beiden Beispiele: die Zahlen 10,029 und 10,5. Gemäß den Regeln müssen die Nullen auf der rechten Seite durchgestrichen werden, wie im letzten Beispiel. Sie sollten dies jedoch niemals mit Nullen innerhalb einer Zahl tun (die von anderen Zahlen umgeben sind). Deshalb haben wir 10,029 und 10,5 erhalten und nicht 1,29 und 1,5.

Also haben wir die Definition und Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen herausgefunden. Jetzt wollen wir herausfinden, wie man gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandelt – und umgekehrt.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen

Betrachten Sie einen einfachen numerischen Bruch der Form a /b. Sie können die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen und Zähler und Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, dass das Ergebnis eine Zehnerpotenz ist. Aber bevor Sie das tun, lesen Sie Folgendes:

Es gibt Nenner, die nicht auf Zehnerpotenzen reduziert werden können. Lernen Sie, solche Brüche zu erkennen, da sie mit dem unten beschriebenen Algorithmus nicht verarbeitet werden können.

Das ist es. Nun, wie verstehen Sie, ob der Nenner auf eine Zehnerpotenz reduziert wird oder nicht?

Die Antwort ist einfach: Zerlegen Sie den Nenner in Primfaktoren. Enthält die Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5, kann diese Zahl auf eine Zehnerpotenz reduziert werden. Wenn es andere Zahlen gibt (3, 7, 11 – was auch immer), können Sie die Zehnerpotenz vergessen.

Aufgabe. Prüfen Sie, ob die angegebenen Brüche als Dezimalzahlen dargestellt werden können:

Schreiben wir die Nenner dieser Brüche auf und faktorisieren sie:

20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5 - Es kommen nur die Zahlen 2 und 5 vor. Daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - es gibt einen „verbotenen“ Faktor 3. Der Bruch kann nicht als Dezimalzahl dargestellt werden.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Alles ist in Ordnung: Es gibt nichts außer den Zahlen 2 und 5. Ein Bruch kann als Dezimalzahl dargestellt werden.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 · 4 · 3. Der Faktor 3 „tauchte wieder auf.“ Er kann nicht als Dezimalbruch dargestellt werden.

Damit haben wir den Nenner geklärt – schauen wir uns nun den gesamten Algorithmus zum Umwandeln in Dezimalbrüche an:

Faktorisieren Sie den Nenner des ursprünglichen Bruchs und stellen Sie sicher, dass er im Allgemeinen als Dezimalzahl darstellbar ist. Diese. Überprüfen Sie, ob in der Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5 vorhanden sind. Andernfalls funktioniert der Algorithmus nicht.
Zählen Sie, wie viele Zweier und Fünfer in der Erweiterung vorhanden sind (es wird dort keine anderen Zahlen geben, erinnern Sie sich?). Wählen Sie einen zusätzlichen Faktor, sodass die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich ist.
Tatsächlich multiplizieren wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit diesem Faktor – wir erhalten die gewünschte Darstellung, d. h. Der Nenner wird eine Zehnerpotenz sein.

Selbstverständlich wird auch der Zusatzfaktor nur in Zweier und Fünfer zerlegt. Um Ihr Leben nicht zu verkomplizieren, sollten Sie gleichzeitig den kleinsten Multiplikator von allen wählen.

Und noch etwas: Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthält, konvertieren Sie diesen Bruch unbedingt in einen unechten Bruch – und wenden Sie erst dann den beschriebenen Algorithmus an.

Aufgabe. Wandeln Sie diese numerischen Brüche in Dezimalzahlen um:

Lassen Sie uns den Nenner des ersten Bruchs faktorisieren: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden. Die Erweiterung enthält zwei Zweier und keine einzige Fünf, daher beträgt der zusätzliche Faktor 5 2 = 25. Damit ist die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich. Wir haben:

Schauen wir uns nun den zweiten Bruch an. Beachten Sie dazu, dass 24 = 3 8 = 3 2 3 – es gibt ein Tripel in der Entwicklung, sodass der Bruch nicht als Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Die letzten beiden Brüche haben die Nenner 5 (Primzahl) bzw. 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 – es kommen überall nur Zweier und Fünfer vor. Darüber hinaus reicht im ersten Fall „für vollkommenes Glück“ ein Faktor von 2 nicht aus und im zweiten Fall 5. Wir erhalten:

Umrechnung von Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Die umgekehrte Konvertierung – von der dezimalen in die reguläre Notation – ist viel einfacher. Hier gibt es keine Einschränkungen oder besondere Prüfungen, Sie können also jederzeit einen Dezimalbruch in den klassischen „zweistöckigen“ Bruch umwandeln.

Der Übersetzungsalgorithmus lautet wie folgt:

Streichen Sie alle Nullen auf der linken Seite der Dezimalstelle sowie den Dezimalpunkt durch. Dies ist der Zähler des gewünschten Bruchs. Die Hauptsache ist, es nicht zu übertreiben und die inneren Nullen, die von anderen Zahlen umgeben sind, nicht zu streichen;
Zählen Sie, wie viele Dezimalstellen es nach dem Komma gibt. Nehmen Sie die Zahl 1 und fügen Sie rechts so viele Nullen hinzu, wie Sie Zeichen zählen. Dies wird der Nenner sein;
Schreiben Sie tatsächlich den Bruch auf, dessen Zähler und Nenner wir gerade gefunden haben. Wenn möglich, reduzieren Sie es. Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthielt, erhalten wir nun einen unechten Bruch, was für weitere Berechnungen sehr praktisch ist.

Aufgabe. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Streichen Sie die Nullen links und die Kommas durch – wir erhalten die folgenden Zahlen (das sind die Zähler): 8; 3107; 225; 72008.

Im ersten und zweiten Bruch gibt es 3 Dezimalstellen, im zweiten 2 und im dritten sogar 4 Dezimalstellen. Wir erhalten die Nenner: 1000; 1000; 100; 10000.

Zum Schluss kombinieren wir die Zähler und Nenner zu gewöhnlichen Brüchen:

Wie aus den Beispielen hervorgeht, kann der resultierende Anteil sehr oft reduziert werden. Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass jeder Dezimalbruch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Die umgekehrte Konvertierung ist möglicherweise nicht immer möglich.