Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren (Moskalenko M.V.). Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren, Regel, Beispiele, Lösungen

Ursprünglich wollte ich Techniken des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Brüche addieren und subtrahieren“ einbeziehen. Es stellte sich jedoch heraus, dass es so viele Informationen gab und ihre Bedeutung so groß war (schließlich haben nicht nur numerische Brüche einen gemeinsamen Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen sicherstellen, dass die Nenner gleich werden. Zur Rettung kommt die Grundeigenschaft eines Bruchs, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn sein Zähler und Nenner mit derselben Zahl außer Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, werden die Nenner der Brüche gleich – diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die erforderlichen Zahlen, die die Nenner „ausgleichen“, werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.

Warum müssen wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren? Hier nur einige Gründe:

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang durchzuführen.
Brüche vergleichen. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
Lösen von Problemen mit Brüchen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind im Wesentlichen gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, die, wenn man sie mit ihnen multipliziert, die Nenner von Brüchen gleich machen. Wir werden nur drei davon betrachten – in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen auch Wirksamkeit.

Kreuzvervielfachung

Die einfachste und zuverlässigste Methode, die garantiert den Nenner ausgleicht. Wir werden „überstürzt“ vorgehen: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Dadurch werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn Sie gerade erst anfangen, Brüche zu lernen, ist es besser, mit dieser Methode zu arbeiten – so versichern Sie sich vor vielen Fehlern und erhalten garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode besteht darin, dass viel gezählt werden muss, da die Nenner „vollständig“ multipliziert werden und das Ergebnis sehr große Zahlen sein kann. Das ist der Preis für Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik trägt dazu bei, die Berechnungen erheblich zu reduzieren, wird aber leider recht selten eingesetzt. Die Methode ist wie folgt:

Bevor Sie geradeaus (also mit der Kreuzmethode) vorgehen, werfen Sie einen Blick auf die Nenner. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) in den anderen geteilt.
Die aus dieser Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für den Bruch mit kleinerem Nenner.
In diesem Fall muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert werden – hier liegt die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich reduziert.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen geteilt wird, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Faktoren. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir den Rechenaufwand halbiert!

Die Brüche in diesem Beispiel habe ich übrigens nicht zufällig genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Kreuzmethode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Dies ist die Stärke der Methode mit gemeinsamen Teilern, aber auch hier kann sie nur verwendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist. Was recht selten vorkommt.

Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren, Regeln, Beispiele, Lösungen.

Dieser Artikel erklärt wie man den kleinsten gemeinsamen Nenner findet Und wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

Zunächst werden die Definitionen des gemeinsamen Nenners von Brüchen und des kleinsten gemeinsamen Nenners gegeben, und es wird gezeigt, wie man den gemeinsamen Nenner von Brüchen findet. Nachfolgend finden Sie eine Regel zur Reduzierung von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner und Beispiele für die Anwendung dieser Regel. Abschließend werden Beispiele diskutiert, wie drei oder mehr Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden können.

Wie nennt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren?

Wenn gewöhnliche Brüche den gleichen Nenner haben, dann nennt man diese Brüche gleich auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Somit werden die Brüche 45/76 und 143/76 auf einen gemeinsamen Nenner von 76 reduziert, und die Brüche 1/3, 3/3, 17/3 und 1.000/3 werden auf einen gemeinsamen Nenner von 3 reduziert.

Wenn die Nenner der Brüche nicht gleich sind, können solche Brüche immer auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, indem ihr Zähler und Nenner mit bestimmten zusätzlichen Faktoren multipliziert werden.

Beispielsweise werden gewöhnliche Brüche 2/5 und 7/4 mit Hilfe der zusätzlichen Faktoren 4 bzw. 5 auf einen gemeinsamen Nenner 20 reduziert. Tatsächlich erhalten wir, wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs 2/5 mit 4 multiplizieren den Bruch 8/20 und durch Multiplizieren der Zähler- und Nennerbrüche 7/4 mit 5 erhalten wir den Bruch 35/20 (siehe Brüche auf einen neuen Nenner bringen).

Jetzt können wir sagen, was es heißt, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren- Dies ist die Multiplikation der Zähler und Nenner gegebener Brüche mit solchen zusätzlichen Faktoren, dass das Ergebnis Brüche mit demselben Nenner sind.

Seitenanfang

Gemeinsamer Nenner, Definition, Beispiele

Jetzt ist es an der Zeit, den gemeinsamen Nenner von Brüchen zu definieren.

Mit anderen Worten: Der gemeinsame Nenner einer bestimmten Menge gewöhnlicher Brüche ist jede natürliche Zahl, die durch alle Nenner dieser Brüche teilbar ist.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass eine gegebene Menge von Brüchen unendlich viele gemeinsame Nenner hat, da es unendlich viele gemeinsame Vielfache aller Nenner der ursprünglichen Menge von Brüchen gibt.

Durch die Bestimmung des gemeinsamen Nenners von Brüchen können Sie die gemeinsamen Nenner bestimmter Brüche ermitteln. Nehmen wir zum Beispiel die Brüche 1/4 und 5/6 an, deren Nenner 4 bzw. 6 sind.

Positive gemeinsame Vielfache von 4 und 6 sind 12, 24, 36, 48, ... Jede dieser Zahlen ist ein gemeinsamer Nenner der Brüche 1/4 und 5/6.

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung des folgenden Beispiels.

Können die Brüche 2/3, 23/6 und 7/12 auf einen gemeinsamen Nenner von 150 reduziert werden?

Um die gestellte Frage zu beantworten, müssen wir herausfinden, ob die Zahl 150 ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 3, 6 und 12 ist. Dazu prüfen wir, ob 150 durch jede dieser Zahlen teilbar ist (siehe ggf Regeln und Beispiele für die Division natürlicher Zahlen sowie Regeln und Beispiele für die Division natürlicher Zahlen durch einen Rest): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (Rest.

150 ist also nicht gleichmäßig durch 12 teilbar, daher ist 150 kein gemeinsames Vielfaches von 3, 6 und 12. Daher kann die Zahl 150 kein gemeinsamer Nenner der ursprünglichen Brüche sein.

Seitenanfang

Kleinster gemeinsamer Nenner, wie findet man ihn?

In der Menge der Zahlen, die den gemeinsamen Nenner gegebener Brüche darstellen, gibt es eine kleinste natürliche Zahl, die als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet wird.

Formulieren wir die Definition des kleinsten gemeinsamen Nenners dieser Brüche.

Bleibt noch die Frage, wie man den kleinsten gemeinsamen Teiler findet.

Da das kleinste gemeinsame Vielfache der kleinste positive gemeinsame Teiler einer gegebenen Zahlenmenge ist, ist der kgV der Nenner der gegebenen Brüche der kleinste gemeinsame Nenner der gegebenen Brüche.

Um den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen zu finden, kommt es also darauf an, den LCM der Nenner dieser Brüche zu finden.

Schauen wir uns die Lösung des Beispiels an.

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche 3/10 und 277/28.

Die Nenner dieser Brüche sind 10 und 28. Der gesuchte kleinste gemeinsame Nenner ist der KGV der Zahlen 10 und 28. In unserem Fall ist es einfach, den KGV zu ermitteln, indem man die Zahlen in Primfaktoren zerlegt: da 10 = 2 5 und 28 = 2 2 7 , dann LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Seitenanfang

Wie bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Regel, Beispiele, Lösungen

Gemeinsame Brüche ergeben normalerweise den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Wir werden nun eine Regel aufschreiben, die erklärt, wie man Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert.

Regel zur Reduktion von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner besteht aus drei Schritten:

Finden Sie zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche.
Zweitens wird für jeden Bruch ein zusätzlicher Faktor berechnet, indem der kleinste gemeinsame Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.
Drittens werden Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor multipliziert.

Wenden wir die angegebene Regel an, um das folgende Beispiel zu lösen.

Reduzieren Sie die Brüche 5/14 und 7/18 auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner.

Lassen Sie uns alle Schritte des Algorithmus zum Reduzieren von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ausführen.

Zuerst finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner, der dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 14 und 18 entspricht. Da 14=2·7 und 18=2·3·3, dann LCM(14, 18)=2·3 ·3·7=126.

Nun berechnen wir zusätzliche Faktoren, mit deren Hilfe die Brüche 5/14 und 7/18 auf einen Nenner von 126 reduziert werden. Für den Bruch 5/14 beträgt der zusätzliche Faktor 126:14=9, und für den Bruch 7/ 18 beträgt der zusätzliche Faktor 126:18=7 .

Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche 5/14 und 7/18 mit den zusätzlichen Faktoren 9 bzw. 7 zu multiplizieren.

Wir haben Und .

Damit ist die Reduzierung der Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner abgeschlossen.

Die resultierenden Fraktionen waren 45/126 und 49/126.

Seitenanfang

Drei oder mehr Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren

Mit der Regel aus dem vorherigen Absatz können Sie nicht nur zwei Brüche, sondern auch drei Brüche und mehr davon auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Reduzieren Sie die vier gemeinsamen Brüche 3/2, 5/6, 3/8 und 17/18 auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner.

Der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 2, 6, 8 und 18. Um den LCM(2, 6, 8, 18) zu ermitteln, verwenden wir die Informationen aus dem Abschnitt Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen.

Wir erhalten LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24, schließlich LCM(24, 18)=72, also LCM(2, 6, 8, 18)=72. Der kleinste gemeinsame Nenner ist also 72.

Jetzt berechnen wir zusätzliche Faktoren. Für den Bruch 3/2 beträgt der zusätzliche Faktor 72:2=36, für den Bruch 5/6 beträgt er 72:6=12, für den Bruch 3/8 beträgt der zusätzliche Faktor 72:8=9 und für den Bruch 17/18 ist es 72 :18=4.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Es bleibt noch ein letzter Schritt, um die ursprünglichen Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren: .

Seitenanfang

Gemeinsamer Nenner ist ein beliebiges positives gemeinsames Vielfaches aller Nenner dieser Brüche.

Kleinster gemeinsamer Nenner ist die kleinste Zahl aller gemeinsamen Nenner dieser Brüche.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Bildungsinstitutionen.
Vilenkin N.Ya. und andere. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.

Gemeinsamer Nenner gemeinsamer Brüche

Wenn gewöhnliche Brüche den gleichen Nenner haben, dann haben diese Brüche einen gemeinsamen Nenner. Z.B,

sie haben einen gemeinsamen Nenner.

Gemeinsamer Nenner Dies ist eine Zahl, die den Nenner für zwei oder mehr reguläre Brüche darstellt.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern können auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden.

Brüche mit einem gemeinsamen Nenner versehen

Brüche mit einem gemeinsamen Nenner versehen Ist das Ersetzen dieser Brüche durch unterschiedliche Nenner dieselben Brüche mit denselben Nennern?

Brüche können einfach auf einen gemeinsamen Nenner oder den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert werden.

Kleinster gemeinsamer Nenner Dies ist der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche.

Gemeinsamer Nenner der Fraktionen im Internet

Um Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen, benötigen Sie:

Wenn möglich, führen Sie eine Bruchreduktion durch.
Finden Sie die kleinsten gemeinsamen Kataloge dieser Brüche. NOC wird ihr kleinster gemeinsamer Nenner sein.
Teilen Sie den LCM durch die Nenner dieser Brüche. Dieses Maß ermittelt für jeden dieser Brüche einen zusätzlichen Faktor. Zusätzlicher Koeffizient Handelt es sich um eine Zahl, bei der die Mitglieder eines Bruchs multipliziert werden müssen, um ihn auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen?
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor.

Beispiel.

1) Finden Sie die NOC-Namen dieser Fraktionen:

NOC(8, 12) = 24

2) Zusätzliche Faktoren wurden gefunden:

24: 8 = 3 (für ) und 24: 12 = 2 (für )

3) Multiplizieren Sie die Mitglieder jeder Fraktion mit einem zusätzlichen Faktor:

Das Verringern des gemeinsamen Nenners lässt sich in kürzerer Form schreiben, indem man zusätzlich zum Zähler jedes Bruchs (oben rechts oder oben links) einen zusätzlichen Faktor angibt und die Zwischenrechnungen nicht aufschreibt:

Der gemeinsame Nenner kann leichter reduziert werden, indem die Mitglieder des ersten Bruchs mit dem zweiten immanenten Anteil und die Mitglieder des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten multipliziert werden.

Beispiel. Ermitteln Sie den gemeinsamen Nenner von Brüchen und:

Das Produkt ihrer Nenner kann als gemeinsamer Nenner von Brüchen verwendet werden.

Durch die Reduktion von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert, subtrahiert und verglichen.

Rechner zur Reduktion auf den gemeinsamen Nenner

Dieser Rechner hilft Ihnen, gemeinsame Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren.

Geben Sie einfach zwei Brüche ein und klicken Sie.

5.4.5. Beispiele für die Umwandlung von Brüchen in den kleinsten gemeinsamen Nenner

Der kleinste gemeinsame Nenner von Kettenbrüchen ist der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche. ( siehe Abschnitt „Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen“: 5.3.5. Finden Sie die kleinste Anzahl von Vielfachen (NOC) der angegebenen Zahlen.

Um den Bruch um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie: 1) das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche finden, und dies wird der kleinste gemeinsame Nenner sein.

2) findet für jeden Bruch einen zusätzlichen Koeffizienten, für den ein neuer Nenner mit dem Namen jedes Bruchs verteilt wird. 3) Multiplizieren Sie Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor.

Beispiele. Die folgenden Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren.

Wir finden den kleinsten gemeinsamen mehrstelligen Nenner: LCM (5; 4) = 20, da 20 die kleinste Zahl dividiert durch 5 und 4 ist.

Für den ersten Teil gilt ein zusätzlicher Koeffizient von 4 (20 : 5 = 4). Für den zweiten Bruch gibt es einen zusätzlichen Koeffizienten von 5 (20). : 4 = 5). Multiplizieren Sie die Zahl und den Nenner des ersten Bruchs mit 4 und den Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit 5.

20 ).

Der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche ist die Zahl 8, da sie intern durch 4 teilbar ist.

Für den ersten Bruch gibt es keinen zusätzlichen Faktor (oder wir können sagen, dass er gleich eins ist), der zweite Faktor ist ein zusätzlicher Faktor 2 (8 : 4 = 2). Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit 2.

Online-Rechner. Brüche mit einem gemeinsamen Nenner versehen

Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert ( 8. Platz).

Diese Fraktionen sind nicht unerträglich.

Die erste Fraktion wurde um 4 und die zweite Fraktion um 2 reduziert. (Siehe Beispiele für die Reduzierung gemeinsamer Fraktionen: Sitemap → 5.4.2.

Beispiele für die Reduktion gemeinsamer Brüche). Findet NOC (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Ein zusätzlicher Faktor für den 1. Bruch ist 5 (80). : 16 = 5). Ein zusätzlicher Faktor für den zweiten Bruch ist 4 (80). : 20 = 4).

Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 5 und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit 4. Die Bruchangabe wurde dem kleinsten gemeinsamen Nenner gegeben ( 80 ).

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von NOx (5). ; 6 und 15) = NOK (5 ; 6 und 15) = 30. Ein zusätzlicher Faktor für den ersten Bruch ist 6 (30). : 5 = 6), ist ein zusätzlicher Faktor im zweiten Teil von 5 (30 : 6 = 5), ist ein zusätzlicher Faktor für den dritten Bruch 2 (30 : 15 = 2).

Anzahl und Nenner des ersten Bruchs werden mit 6 multipliziert, Anzahl und Nenner des zweiten Bruchs mit 5 und Anzahl und Nenner des dritten Bruchs mit 2. Den Teildaten wurde der kleinste gemeinsame Nenner zugewiesen 30 ).

Seite 1 von 11

Kleinster gemeinsamer Nenner.

Was ist der kleinste gemeinsame Nenner?

Definition:
Kleinster gemeinsamer Nenner ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches der Nenner dieser Brüche ist.

Wie kann man auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren? Um diese Frage zu beantworten, betrachten Sie ein Beispiel:

Reduzieren Sie Brüche mit ungleichem Nenner auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner.

Lösung:
Um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner dieser Brüche ermitteln.

Der erste Bruch hat einen Nenner von 20; zerlegen wir ihn in Primfaktoren.
20=2⋅5⋅2

Zerlegen wir auch den zweiten Nenner des Bruchs 14 in Primfaktoren.
14=7⋅2

NOC(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Antwort: Der kleinste gemeinsame Nenner wäre 140.

Wie kann man einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen?

Sie müssen den ersten Bruch \(\frac(1)(20)\) mit 7 multiplizieren, um einen Nenner von 140 zu erhalten.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
Und multiplizieren Sie den zweiten Bruch mit 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Regeln oder Algorithmus zur Reduktion von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

Algorithmus zur Reduktion von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:

Sie müssen die Nenner von Brüchen in Primfaktoren zerlegen.
Wir müssen das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) für die Nenner dieser Brüche finden.
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, d. h. Zähler und Nenner des Bruchs mit einem Faktor multiplizieren.

Gemeinsamer Nenner mehrerer Brüche.

Wie findet man den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche?

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner für die Brüche \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Lösung:
Zerlegen wir die Nenner 11, 15 und 22 in Primfaktoren.

Die Zahl 11 ist an sich bereits eine einfache Zahl, daher besteht keine Notwendigkeit, sie zu beschreiben.
Erweitern wir die Zahl 15=5⋅3
Erweitern wir die Zahl 22=11⋅2

Lassen Sie uns das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner 11, 15 und 22 ermitteln.
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Wir haben den kleinsten gemeinsamen Nenner für diese Brüche gefunden. Nun bringen wir diese Brüche \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) auf einen gemeinsamen Nenner von 330.

\(\begin(align)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(align)\)

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn sein Zähler und Nenner mit derselben Zahl außer Null multipliziert werden.

Warum müssen wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren? Hier nur einige Gründe:

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang durchzuführen.
Brüche vergleichen. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
Lösen von Problemen mit Brüchen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind im Wesentlichen gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Kreuzvervielfachung

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik trägt dazu bei, die Berechnungen erheblich zu reduzieren, wird aber leider recht selten eingesetzt. Die Methode ist wie folgt:

Bevor Sie geradeaus (also mit der Kreuzmethode) vorgehen, werfen Sie einen Blick auf die Nenner. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) in den anderen geteilt.
Die aus dieser Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für den Bruch mit kleinerem Nenner.
In diesem Fall muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert werden – hier liegt die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich reduziert.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen geteilt wird, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Faktoren. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir den Rechenaufwand halbiert!

Dies ist die Stärke der Methode mit gemeinsamen Teilern, aber auch hier kann sie nur verwendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen wird nicht unbedingt gleich dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche sein, wie es bei der „Kreuz“-Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 durchaus geeignet, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt 8 · 12 = 96.

Die kleinste Zahl, die durch jeden Nenner teilbar ist, wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) bezeichnet.

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b) bezeichnet. Zum Beispiel: LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Wenn es Ihnen gelingt, eine solche Zahl zu finden, ist der Gesamtaufwand an Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3. Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben außer 1 keine gemeinsamen Faktoren), und Faktor 117 ist gemeinsam. Daher ist LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd und Faktor 5 ist gemeinsam. Daher ist LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Lassen Sie uns nun die Brüche auf gemeinsame Nenner reduzieren:

Beachten Sie, wie nützlich es war, die ursprünglichen Nenner zu faktorisieren:

Nachdem wir identische Faktoren entdeckt hatten, kamen wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren in jedem Bruch „fehlen“. Zum Beispiel 234 · 3 = 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch 3.

Um zu verstehen, welchen Unterschied die Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen macht, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare unnötig sein.

Denken Sie nicht, dass es in den realen Beispielen nicht so komplexe Brüche geben wird. Sie treffen sich ständig und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem besteht darin, genau dieses NOC zu finden. Manchmal ist alles in wenigen Sekunden buchstäblich „mit dem Auge“ gefunden, aber im Allgemeinen handelt es sich um eine komplexe Rechenaufgabe, die einer gesonderten Betrachtung bedarf. Darauf gehen wir hier nicht näher ein.

Der Nenner des arithmetischen Bruchs a/b ist die Zahl b, die die Größe der Brüche einer Einheit angibt, aus der der Bruch zusammengesetzt ist. Der Nenner eines algebraischen Bruchs A / B ist der algebraische Ausdruck B. Um arithmetische Operationen mit Brüchen durchzuführen, müssen diese auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert werden.

Du wirst brauchen

Um mit algebraischen Brüchen zu arbeiten und den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, müssen Sie wissen, wie man Polynome faktorisiert.

Anweisungen

Betrachten wir die Reduzierung zweier arithmetischer Brüche n/m und s/t auf den kleinsten gemeinsamen Nenner, wobei n, m, s, t ganze Zahlen sind. Es ist klar, dass diese beiden Brüche auf jeden durch m und t teilbaren Nenner reduziert werden können. Aber sie versuchen, auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu kommen. Es ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner m und t der gegebenen Brüche. Das kleinste Vielfache (LMK) einer Zahl ist das kleinste, das gleichzeitig durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist. Diese. In unserem Fall müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen m und t finden. Wird als LCM (m, t) bezeichnet. Als nächstes werden die Brüche mit den entsprechenden Brüchen multipliziert: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner der drei Brüche: 4/5, 7/8, 11/14. Erweitern wir zunächst die Nenner 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Berechnen Sie als Nächstes den LCM (5, 8, 14) durch Multiplikation alle Zahlen, die in mindestens einer der Erweiterungen enthalten sind. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Beachten Sie, dass wir den Faktor annehmen, wenn er bei der Entwicklung mehrerer Zahlen auftritt (Faktor 2 bei der Entwicklung der Nenner 8 und 14). einen größeren Grad (2^3 in unserem Fall).

Man erhält also das Allgemeine. Es ist gleich 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Hier erhalten wir die Zahlen, mit denen wir die Brüche mit den entsprechenden Nennern multiplizieren müssen, um sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen. Wir erhalten 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Die Reduktion algebraischer Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erfolgt analog zu arithmetischen Brüchen. Zur Verdeutlichung betrachten wir das Problem anhand eines Beispiels. Gegeben seien zwei Brüche (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) und (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Lassen Sie uns beide Nenner faktorisieren. Beachten Sie, dass der Nenner des ersten Bruchs ein perfektes Quadrat ist: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Für

In dieser Lektion werden wir uns mit der Reduzierung von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner befassen und Probleme zu diesem Thema lösen. Definieren wir das Konzept eines gemeinsamen Nenners und eines zusätzlichen Faktors und erinnern wir uns an relativ Primzahlen. Lassen Sie uns das Konzept des kleinsten gemeinsamen Nenners (LCD) definieren und eine Reihe von Problemen lösen, um ihn zu finden.

Thema: Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren

Lektion: Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Wiederholung. Die Haupteigenschaft eines Bruchs.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen gleichen Bruch.

Beispielsweise können Zähler und Nenner eines Bruchs durch 2 geteilt werden. Wir erhalten den Bruch. Diese Operation wird Bruchreduktion genannt. Sie können die Rücktransformation auch durchführen, indem Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit 2 multiplizieren. In diesem Fall sagen wir, dass wir den Bruch auf einen neuen Nenner reduziert haben. Die Zahl 2 wird als zusätzlicher Faktor bezeichnet.

Abschluss. Ein Bruch kann auf jeden Nenner reduziert werden, der ein Vielfaches des Nenners des gegebenen Bruchs ist. Um einen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen, werden Zähler und Nenner mit einem zusätzlichen Faktor multipliziert.

1. Reduzieren Sie den Bruch auf den Nenner 35.

Die Zahl 35 ist ein Vielfaches von 7, d. h. 35 ist ohne Rest durch 7 teilbar. Dies bedeutet, dass diese Transformation möglich ist. Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor finden. Teilen Sie dazu 35 durch 7. Wir erhalten 5. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit 5.

2. Reduziere den Bruch auf den Nenner 18.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor finden. Teilen Sie dazu den neuen Nenner durch den ursprünglichen. Wir erhalten 3. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs mit 3.

3. Reduzieren Sie den Bruch auf einen Nenner von 60.

Die Division von 60 durch 15 ergibt einen zusätzlichen Faktor. Es ist gleich 4. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit 4.

4. Reduzieren Sie den Bruch auf den Nenner 24

In einfachen Fällen erfolgt die Reduktion auf einen neuen Nenner mental. Es ist nur üblich, den zusätzlichen Faktor hinter einer Klammer etwas rechts und oberhalb des ursprünglichen Bruchs anzugeben.

Ein Bruch kann auf den Nenner 15 reduziert werden und ein Bruch kann auf den Nenner 15 reduziert werden. Brüche haben auch einen gemeinsamen Nenner von 15.

Der gemeinsame Nenner von Brüchen kann jedes gemeinsame Vielfache ihrer Nenner sein. Der Einfachheit halber werden Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert. Es ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der angegebenen Brüche.

Beispiel. Reduziere den Bruch auf den kleinsten gemeinsamen Nenner und .

Lassen Sie uns zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche ermitteln. Diese Zahl ist 12. Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten und zweiten Bruch. Teilen Sie dazu 12 durch 4 und 6. Drei ist ein zusätzlicher Faktor für den ersten Bruch und zwei für den zweiten. Bringen wir die Brüche auf den Nenner 12.

Wir haben die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, das heißt, wir haben gleiche Brüche gefunden, die den gleichen Nenner haben.

Regel. Um Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie Folgendes tun

Finden Sie zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche. Es wird ihr kleinster gemeinsamer Nenner sein.

Zweitens dividieren Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner durch die Nenner dieser Brüche, d. h. finden Sie für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor.

Drittens multiplizieren Sie den Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.

a) Reduzieren Sie die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12. Der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch beträgt 4, für den zweiten - 3. Wir reduzieren die Brüche auf den Nenner 24.

b) Reduzieren Sie die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist 45. Die Division von 45 durch 9 durch 15 ergibt 5 bzw. 3. Wir reduzieren die Brüche auf den Nenner 45.

c) Reduzieren Sie die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.

Der gemeinsame Nenner ist 24. Zusätzliche Faktoren sind 2 bzw. 3.

Manchmal kann es schwierig sein, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner gegebener Brüche verbal zu finden. Anschließend werden der gemeinsame Nenner und zusätzliche Faktoren mithilfe der Primfaktorzerlegung ermittelt.

Reduzieren Sie die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.

Zerlegen wir die Zahlen 60 und 168 in Primfaktoren. Schreiben wir die Entwicklung der Zahl 60 auf und fügen die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der zweiten Entwicklung hinzu. Multiplizieren wir 60 mit 14 und erhalten einen gemeinsamen Nenner von 840. Der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch ist 14. Der zusätzliche Faktor für den zweiten Bruch ist 5. Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner von 840.

Referenzliste

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. und andere. Mathematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik 6. Klasse. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. - Aufklärung, 1989.

4. Rurukin A.N., Tschaikowsky I.V. Aufgaben für den Mathematikkurs für die Klassen 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tschaikowsky K.G. Mathematik 5-6. Ein Handbuch für Schüler der 6. Klasse der MEPhI-Fernschule. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. und andere. Mathematik: Lehrbuch-Gesprächspartner für die 5. bis 6. Klasse der Sekundarstufe. Bibliothek für Mathematiklehrer. - Aufklärung, 1989.

Sie können die in Ziffer 1.2 genannten Bücher herunterladen. dieser Lektion.

Hausaufgaben

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. und andere. Mathematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (Link siehe 1.2)

Hausaufgaben: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.

Weitere Aufgaben: Nr. 270, Nr. 290

Bei den meisten Operationen mit algebraischen Brüchen, wie etwa Addition und Subtraktion, müssen diese Brüche zunächst auf den gleichen Nenner reduziert werden. Solche Nenner werden oft auch als „gemeinsamer Nenner“ bezeichnet. In diesem Thema werden wir uns mit der Definition der Konzepte „gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche“ und „kleinster gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche (LCD)“ befassen, den Algorithmus zum Finden des gemeinsamen Nenners Punkt für Punkt betrachten und mehrere Probleme damit lösen Thema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche

Wenn wir von gewöhnlichen Brüchen sprechen, dann ist der gemeinsame Nenner eine Zahl, die durch jeden Nenner der ursprünglichen Brüche teilbar ist. Für gewöhnliche Brüche 1 2 Und 5 9 Die Zahl 36 kann ein gemeinsamer Nenner sein, da sie ohne Rest durch 2 und 9 teilbar ist.

Der gemeinsame Nenner algebraischer Brüche wird auf ähnliche Weise bestimmt, es werden jedoch anstelle von Zahlen Polynome verwendet, da diese Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs sind.

Definition 1

Gemeinsamer Nenner eines algebraischen Bruchs ist ein Polynom, das durch den Nenner eines beliebigen Bruchs teilbar ist.

Aufgrund der Besonderheiten algebraischer Brüche, die weiter unten besprochen werden, werden wir es oft mit gemeinsamen Nennern zu tun haben, die als Produkt und nicht als Standardpolynom dargestellt werden.

Beispiel 1

Als Produkt geschriebenes Polynom 3 x 2 (x + 1), entspricht einem Polynom der Standardform 3 x 3 + 3 x 2. Dieses Polynom kann der gemeinsame Nenner der algebraischen Brüche 2 x, - 3 x y x 2 und y + 3 x + 1 sein, da es durch teilbar ist X, An x 2 und weiter x+1. Informationen zur Teilbarkeit von Polynomen finden Sie im entsprechenden Thema unserer Ressource.

Kleinster gemeinsamer Nenner (LCD)

Für gegebene algebraische Brüche kann die Anzahl der gemeinsamen Nenner unendlich sein.

Beispiel 2

Nehmen wir als Beispiel die Brüche 1 2 x und x + 1 x 2 + 3. Ihr gemeinsamer Nenner ist 2 x (x 2 + 3), sowie − 2 x (x 2 + 3), sowie x (x 2 + 3), sowie 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), sowie − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, usw.

Beim Lösen von Problemen können Sie sich die Arbeit erleichtern, indem Sie einen gemeinsamen Nenner verwenden, der unter allen Nennern die einfachste Form hat. Dieser Nenner wird oft als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

Definition 2

Kleinster gemeinsamer Nenner algebraischer Brüche ist der gemeinsame Nenner algebraischer Brüche, der die einfachste Form hat.

Der Begriff „kleinster gemeinsamer Nenner“ ist übrigens nicht allgemein akzeptiert, daher beschränken wir uns besser auf den Begriff „gemeinsamer Nenner“. Und deshalb.

Zuvor haben wir Ihre Aufmerksamkeit auf den Ausdruck „Nenner der einfachsten Art“ gelenkt. Die Hauptbedeutung dieses Satzes ist folgende: Der Nenner der einfachsten Form muss jeden anderen gemeinsamen Nenner der Daten unter der Bedingung des algebraischen Bruchproblems ohne Rest dividieren. In diesem Fall können im Produkt, das den gemeinsamen Nenner von Brüchen darstellt, verschiedene numerische Koeffizienten verwendet werden.

Beispiel 3

Nehmen wir die Brüche 1 2 · x und x + 1 x 2 + 3 . Wir haben bereits herausgefunden, dass es für uns am einfachsten ist, mit einem gemeinsamen Nenner der Form 2 · x · (x 2 + 3) zu arbeiten. Auch der gemeinsame Nenner dieser beiden Brüche kann sein x (x 2 + 3), der keinen numerischen Koeffizienten enthält. Die Frage ist, welcher dieser beiden gemeinsamen Nenner als der kleinste gemeinsame Nenner der Brüche gilt. Es gibt keine eindeutige Antwort, deshalb ist es richtiger, einfach über den gemeinsamen Nenner zu sprechen und mit der Option zu arbeiten, mit der man am bequemsten arbeiten kann. Wir können also solche gemeinsamen Nenner verwenden wie x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) oder − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, die ein komplexeres Aussehen haben, aber es kann schwieriger sein, Aktionen mit ihnen durchzuführen.

Den gemeinsamen Nenner algebraischer Brüche finden: Aktionsalgorithmus

Angenommen, wir haben mehrere algebraische Brüche, für die wir einen gemeinsamen Nenner finden müssen. Um dieses Problem zu lösen, können wir den folgenden Aktionsalgorithmus verwenden. Zuerst müssen wir die Nenner der ursprünglichen Brüche faktorisieren. Dann verfassen wir ein Werk, in das wir nacheinander Folgendes aufnehmen:

alle Faktoren ab dem Nenner des ersten Bruchs samt Potenzen;
alle Faktoren, die im Nenner des zweiten Bruchs vorhanden sind, aber im schriftlichen Ergebnis nicht vorkommen oder deren Grad nicht ausreicht;
alle fehlenden Faktoren im Nenner des dritten Bruchs usw.

Das resultierende Produkt ist der gemeinsame Nenner algebraischer Brüche.

Als Faktoren des Produkts können wir alle Nenner der in der Problemstellung angegebenen Brüche nehmen. Allerdings wird der Multiplikator, den wir am Ende erhalten werden, in seiner Bedeutung weit von der NCD entfernt sein und seine Verwendung wird irrational sein.

Beispiel 4

Bestimmen Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche 1 x 2 y, 5 x + 1 und y - 3 x 5 y.

Lösung

In diesem Fall müssen wir die Nenner der ursprünglichen Brüche nicht faktorisieren. Daher beginnen wir mit der Anwendung des Algorithmus, indem wir die Arbeit verfassen.

Aus dem Nenner des ersten Bruchs nehmen wir den Multiplikator x 2 Jahre, aus dem Nenner des zweiten Bruchs der Multiplikator x+1. Wir bekommen das Produkt x 2 y (x + 1).

Der Nenner des dritten Bruchs kann uns einen Multiplikator liefern x 5 Jahre Das Produkt, das wir zuvor zusammengestellt haben, verfügt jedoch bereits über Faktoren x 2 Und j. Deshalb fügen wir weitere hinzu x 5 − 2 = x 3. Wir bekommen das Produkt x 2 y (x + 1) x 3, die auf die Form reduziert werden kann x 5 y (x + 1). Dies wird unsere NOZ algebraischer Brüche sein.

Antwort: x 5 · y · (x + 1) .

Schauen wir uns nun Beispiele für Probleme an, bei denen die Nenner algebraischer Brüche ganzzahlige numerische Faktoren enthalten. Auch in solchen Fällen folgen wir dem Algorithmus, indem wir zuvor die ganzzahligen Faktoren in einfache Faktoren zerlegen.

Beispiel 5

Finden Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche 1 12 x und 1 90 x 2.

Lösung

Teilen wir die Zahlen im Nenner der Brüche in Primfaktoren auf, erhalten wir 1 2 2 3 x und 1 2 3 2 5 x 2. Jetzt können wir mit der Zusammenstellung eines gemeinsamen Nenners fortfahren. Dazu bilden wir aus dem Nenner des ersten Bruchs das Produkt 2 2 3 x und addiere dazu die Faktoren 3, 5 und X aus dem Nenner des zweiten Bruchs. Wir bekommen 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Das ist unser gemeinsamer Nenner.

Antwort: 180 x 2.

Wenn Sie sich die Ergebnisse der beiden analysierten Beispiele genau ansehen, werden Sie feststellen, dass die gemeinsamen Nenner der Brüche alle in den Erweiterungen der Nenner vorhandenen Faktoren enthalten und wenn ein bestimmter Faktor in mehreren Nennern vorhanden ist, wird er übernommen mit dem größten verfügbaren Exponenten. Und wenn die Nenner ganzzahlige Koeffizienten haben, dann enthält der gemeinsame Nenner einen numerischen Faktor, der dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser numerischen Koeffizienten entspricht.

Beispiel 6

Die Nenner der beiden algebraischen Brüche 1 12 x und 1 90 x 2 haben einen Faktor X. Im zweiten Fall wird der Faktor x quadriert. Um einen gemeinsamen Nenner zu schaffen, müssen wir diesen Faktor größtmöglich berücksichtigen, d. h. x 2. Es gibt keine anderen Multiplikatoren mit Variablen. Ganzzahlige numerische Koeffizienten ursprünglicher Brüche 12 Und 90 und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 180 . Es stellt sich heraus, dass der gewünschte gemeinsame Nenner die Form hat 180 x 2.

Jetzt können wir einen weiteren Algorithmus zum Ermitteln des gemeinsamen Teilers algebraischer Brüche aufschreiben. Dafür haben wir:

Faktorisieren Sie die Nenner aller Brüche;
wir bilden das Produkt aller Buchstabenfaktoren (wenn es einen Faktor in mehreren Erweiterungen gibt, nehmen wir die Option mit dem größten Exponenten);
Wir addieren die LCM der numerischen Koeffizienten der Erweiterungen zum resultierenden Produkt.

Die angegebenen Algorithmen sind gleichwertig, sodass jeder von ihnen zur Lösung von Problemen verwendet werden kann. Es ist wichtig, auf Details zu achten.

Es gibt Fälle, in denen gemeinsame Faktoren in den Nennern von Brüchen hinter den numerischen Koeffizienten unsichtbar sein können. Hier empfiehlt es sich, zunächst in jedem der im Nenner vorhandenen Faktoren die numerischen Koeffizienten bei höheren Potenzen der Variablen außerhalb der Klammern anzugeben.

Beispiel 7

Welchen gemeinsamen Nenner haben die Brüche 3 5 - x und 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Lösung

Im ersten Fall muss minus eins aus Klammern genommen werden. Wir erhalten 3-x-5. Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit - 1, um das Minus im Nenner loszuwerden: - 3 x - 5.

Im zweiten Fall setzen wir die beiden aus Klammern. Dadurch erhalten wir den Bruch 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Es ist offensichtlich, dass der gemeinsame Nenner dieser algebraischen Brüche - 3 x - 5 und 5 - x · y 2 2 · x - 5 ist 2 (x − 5).

Antwort:2 (x − 5).

Die Daten in der Bruchproblembedingung können Bruchkoeffizienten haben. In diesen Fällen müssen Sie zunächst die Bruchkoeffizienten entfernen, indem Sie Zähler und Nenner mit einer bestimmten Zahl multiplizieren.

Beispiel 8

Vereinfachen Sie die algebraischen Brüche 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 und - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 und bestimmen Sie dann ihren gemeinsamen Nenner.

Lösung

Lassen Sie uns die Bruchkoeffizienten loswerden, indem wir Zähler und Nenner im ersten Fall mit 14, im zweiten Fall mit 3 multiplizieren. Wir bekommen:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 und - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Nach den Transformationen wird deutlich, dass der gemeinsame Nenner besteht 2 (x 2 + 2).

Antwort: 2 (x 2 + 2).

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste