Direkte und umgekehrt proportionale Beziehungen. Direkte und umgekehrte Proportionalität

Das Konzept der direkten Verhältnismäßigkeit

Stellen Sie sich vor, Sie planen, Ihre Lieblingssüßigkeiten (oder alles, was Ihnen wirklich schmeckt) zu kaufen. Süßigkeiten im Laden haben ihren eigenen Preis. Sagen wir 300 Rubel pro Kilogramm. Je mehr Süßigkeiten Sie kaufen, desto mehr Geld zahlen Sie. Das heißt, wenn Sie 2 Kilogramm wollen, zahlen Sie 600 Rubel, und wenn Sie 3 Kilogramm wollen, zahlen Sie 900 Rubel. Das scheint alles klar zu sein, oder?

Wenn ja, dann ist Ihnen jetzt klar, was direkte Proportionalität ist – ein Konzept, das das Verhältnis zweier voneinander abhängiger Größen beschreibt. Und das Verhältnis dieser Größen bleibt unverändert und konstant: um wie viele Teile einer von ihnen zunimmt oder abnimmt, um die gleiche Anzahl von Teilen nimmt der zweite proportional zu oder ab.

Direkte Proportionalität kann mit der folgenden Formel beschrieben werden: f(x) = a*x, und a ist in dieser Formel ein konstanter Wert (a = const). In unserem Beispiel über Süßigkeiten ist der Preis ein konstanter Wert, eine Konstante. Es nimmt nicht zu oder ab, egal wie viele Bonbons Sie kaufen. Die unabhängige Variable (Argument) x gibt an, wie viele Kilogramm Süßigkeiten Sie kaufen werden. Und die abhängige Variable f(x) (Funktion) gibt an, wie viel Geld Sie am Ende für Ihren Kauf bezahlen werden. Wir können die Zahlen also in die Formel einsetzen und erhalten: 600 Rubel. = 300 Rubel. * 2 kg.

Die Zwischenschlussfolgerung lautet: Wenn das Argument zunimmt, nimmt auch die Funktion zu, wenn das Argument abnimmt, nimmt auch die Funktion ab

Funktion und ihre Eigenschaften

Direkte Proportionalfunktion ist ein Sonderfall einer linearen Funktion. Wenn die lineare Funktion y = k*x + b ist, dann sieht sie für die direkte Proportionalität so aus: y = k*x, wobei k als Proportionalitätskoeffizient bezeichnet wird und immer eine Zahl ungleich Null ist. Es ist einfach, k zu berechnen – es wird als Quotient einer Funktion und eines Arguments ermittelt: k = y/x.

Um es klarer zu machen, nehmen wir ein anderes Beispiel. Stellen Sie sich vor, ein Auto fährt von Punkt A nach Punkt B. Seine Geschwindigkeit beträgt 60 km/h. Wenn wir davon ausgehen, dass die Bewegungsgeschwindigkeit konstant bleibt, kann sie als konstant angenommen werden. Und dann schreiben wir die Bedingungen in der Form: S = 60*t, und diese Formel ähnelt der Funktion der direkten Proportionalität y = k *x. Ziehen wir noch eine Parallele: Wenn k = y/x, dann kann die Geschwindigkeit des Autos berechnet werden, wenn man den Abstand zwischen A und B und die auf der Straße verbrachte Zeit kennt: V = S /t.

Und nun kehren wir von der praktischen Anwendung des Wissens über die direkte Proportionalität zurück zu ihrer Funktion. Zu den Eigenschaften gehören:

sein Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen (sowie ihre Teilmengen);

Funktion ist ungerade;

Die Änderung der Variablen ist entlang der gesamten Länge der Zahlenlinie direkt proportional.

Direkte Proportionalität und ihr Diagramm

Der Graph einer direkten Proportionalitätsfunktion ist eine Gerade, die den Ursprung schneidet. Um es aufzubauen, reicht es aus, nur einen weiteren Punkt zu markieren. Und verbinden Sie es und den Koordinatenursprung mit einer geraden Linie.

Im Fall eines Graphen ist k die Steigung. Wenn die Steigung kleiner als Null ist (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0) bilden der Graph und die x-Achse einen spitzen Winkel und die Funktion nimmt zu.

Und eine weitere Eigenschaft des Graphen der direkten Proportionalitätsfunktion steht in direktem Zusammenhang mit der Steigung k. Angenommen, wir haben zwei nichtidentische Funktionen und dementsprechend zwei Graphen. Wenn also die Koeffizienten k dieser Funktionen gleich sind, liegen ihre Graphen parallel zur Koordinatenachse. Und wenn die Koeffizienten k nicht gleich sind, schneiden sich die Graphen.

Beispiele für Probleme

Lassen Sie uns nun ein paar lösen direkte Proportionalitätsprobleme

Beginnen wir mit etwas Einfachem.

Problem 1: Stellen Sie sich vor, dass 5 Hühner in 5 Tagen 5 Eier gelegt haben. Und wenn es 20 Hühner gibt, wie viele Eier legen sie in 20 Tagen?

Lösung: Bezeichnen wir das Unbekannte mit kx. Und wir werden wie folgt argumentieren: Wie oft sind es mehr Hühner geworden? Teilen Sie 20 durch 5 und finden Sie heraus, dass es 4 ist. Wie oft legen 20 Hennen in den gleichen 5 Tagen mehr Eier? Auch 4 mal mehr. Also, wir finden unsere Eier so: 5*4*4 = 80 Eier werden von 20 Hühnern in 20 Tagen gelegt.

Da das Beispiel nun etwas komplizierter ist, paraphrasieren wir das Problem aus Newtons „Allgemeiner Arithmetik“. Problem 2: Ein Autor kann in 8 Tagen 14 Seiten eines neuen Buches verfassen. Wenn er Assistenten hätte, wie viele Leute wären nötig, um in 12 Tagen 420 Seiten zu schreiben?

Lösung: Wir gehen davon aus, dass die Anzahl der Personen (Autor + Assistenten) mit dem Arbeitsvolumen zunimmt, wenn diese in der gleichen Zeit erledigt werden müssten. Aber wie oft? Wenn wir 420 durch 14 dividieren, stellen wir fest, dass sich die Zahl um das 30-fache erhöht. Da aber je nach Aufgabenstellung mehr Zeit für die Arbeit zur Verfügung steht, erhöht sich die Zahl der Gehilfen nicht um das 30-fache, sondern auf diese Weise: x = 1 (Schreiber) * 30 (mal): 12/8 ( Tage). Lassen Sie uns transformieren und herausfinden, dass x = 20 Personen in 12 Tagen 420 Seiten schreiben.

Lassen Sie uns ein weiteres Problem lösen, das denen in unseren Beispielen ähnelt.

Problem 3: Zwei Autos machen sich auf den gleichen Weg. Einer bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h und legte die gleiche Strecke in 2 Stunden zurück, während der andere 7 Stunden brauchte. Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos.

Lösung: Wie Sie sich erinnern, wird der Weg durch Geschwindigkeit und Zeit bestimmt – S = V *t. Da beide Autos die gleiche Distanz zurückgelegt haben, können wir die beiden Ausdrücke gleichsetzen: 70*2 = V*7. Wie finden wir heraus, dass die Geschwindigkeit des zweiten Autos V = 70*2/7 = 20 km/h beträgt?

Und noch ein paar Beispiele für Aufgaben mit Funktionen direkter Proportionalität. Manchmal ist es bei Problemen erforderlich, den Koeffizienten k zu finden.

Aufgabe 4: Bestimmen Sie anhand der Funktionen y = - x/16 und y = 5x/2 deren Proportionalitätskoeffizienten.

Lösung: Wie Sie sich erinnern, ist k = y/x. Das bedeutet, dass für die erste Funktion der Koeffizient gleich -1/16 ist und für die zweite k = 5/2.

Möglicherweise stoßen Sie auch auf eine Aufgabe wie Aufgabe 5: Direkte Proportionalität mit einer Formel schreiben. Sein Graph und der Graph der Funktion y = -5x + 3 liegen parallel.

Lösung: Die Funktion, die uns in der Bedingung gegeben wird, ist linear. Wir wissen, dass die direkte Proportionalität ein Sonderfall einer linearen Funktion ist. Und wir wissen auch, dass ihre Graphen parallel sind, wenn die Koeffizienten von k Funktionen gleich sind. Dies bedeutet, dass lediglich der Koeffizient einer bekannten Funktion berechnet und die direkte Proportionalität mithilfe der uns bekannten Formel eingestellt werden muss: y = k *x. Koeffizient k = -5, direkte Proportionalität: y = -5*x.

Abschluss

Jetzt haben Sie gelernt (oder sich daran erinnert, falls Sie sich bereits mit diesem Thema befasst haben), wie man es nennt direkte Proportionalität, und schaute es sich an Beispiele. Wir haben auch über die direkte Proportionalitätsfunktion und ihren Graphen gesprochen und mehrere Beispielaufgaben gelöst.

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Beispiel

Proportionalitätsfaktor

Ein konstanter Zusammenhang proportionaler Größen wird genannt Proportionalitätsfaktor. Der Proportionalitätskoeffizient gibt an, wie viele Einheiten einer Größe pro Einheit einer anderen Größe vorhanden sind.

Direkte Verhältnismäßigkeit

Direkte Verhältnismäßigkeit- funktionale Abhängigkeit, bei der eine bestimmte Größe von einer anderen Größe so abhängt, dass ihr Verhältnis konstant bleibt. Mit anderen Worten: Diese Variablen ändern sich anteilig, zu gleichen Teilen, das heißt, wenn sich das Argument zweimal in eine beliebige Richtung ändert, ändert sich auch die Funktion zweimal in dieselbe Richtung.

Mathematisch wird die direkte Proportionalität als Formel geschrieben:

F(X) = AX,A = CÖNST

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität- Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der eine Erhöhung des unabhängigen Werts (Arguments) eine proportionale Verringerung des abhängigen Werts (Funktion) verursacht.

Mathematisch wird die umgekehrte Proportionalität als Formel geschrieben:

Funktionseigenschaften:

Quellen

Wikimedia-Stiftung. 2010.

• Newtons zweites Gesetz
• Coulomb-Barriere

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „direkte Proportionalität“ ist:

direkte Proportionalität- - [A.S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Energiethemen im Allgemeinen EN direktes Verhältnis ... Leitfaden für technische Übersetzer

direkte Proportionalität- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. direkte Proportionalität vok. direkte Proportionalität, f rus. direkte Proportionalität, f pranc. proportionalität direkt, f … Fizikos terminų žodynas

Verhältnismäßigkeit- (von lateinisch proportionalis proportional, proportional). Verhältnismäßigkeit. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Chudinov A.N., 1910. PROPORTIONALITÄT lat. proportionalis, proportional. Verhältnismäßigkeit. Erläuterung 25000... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

Verhältnismäßigkeit- PROPORTIONALITÄT, Verhältnismäßigkeit, Plural. nein, weiblich (Buch). 1. abstrakt Substantiv zu proportional. Verhältnismäßigkeit der Teile. Körperproportionalität. 2. Eine solche Beziehung zwischen Größen, wenn sie proportional sind (siehe proportional ... Uschakows erklärendes Wörterbuch

Verhältnismäßigkeit- Zwei voneinander abhängige Größen heißen proportional, wenn das Verhältnis ihrer Werte unverändert bleibt. Inhalt 1 Beispiel 2 Proportionalitätskoeffizient ... Wikipedia

Verhältnismäßigkeit- PROPORTIONALITÄT, und, weiblich. 1. siehe proportional. 2. In der Mathematik: eine solche Beziehung zwischen Größen, bei der eine Zunahme einer von ihnen eine Änderung der anderen um denselben Betrag mit sich bringt. Gerade Linie (mit einem Schnitt mit einer Erhöhung um einen Wert... ... Ozhegovs erklärendes Wörterbuch

Verhältnismäßigkeit- Und; Und. 1. bis Proportional (1 Wert); Verhältnismäßigkeit. P. Teile. P. Körperbau. P. Vertretung im Parlament. 2. Mathematik. Abhängigkeit zwischen sich proportional ändernden Größen. Proportionalitätsfaktor. Direkte Linie (in der mit... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Proportionalität ist eine Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Änderung einer von ihnen eine Änderung der anderen um denselben Betrag nach sich zieht.

Die Proportionalität kann direkt oder umgekehrt sein. In dieser Lektion werden wir uns jeden einzelnen davon ansehen.

Direkte Verhältnismäßigkeit

Nehmen wir an, dass das Auto mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fährt. Wir erinnern uns, dass Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit (1 Stunde, 1 Minute oder 1 Sekunde) ist. In unserem Beispiel bewegt sich das Auto mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h, das heißt, es legt in einer Stunde eine Strecke von fünfzig Kilometern zurück.

Lassen Sie uns in der Abbildung die vom Auto in 1 Stunde zurückgelegte Strecke darstellen.

Lassen Sie das Auto noch eine Stunde mit der gleichen Geschwindigkeit von fünfzig Stundenkilometern fahren. Dann stellt sich heraus, dass das Auto 100 km weit fahren wird

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, führte eine Verdoppelung der Zeit zu einer Erhöhung der zurückgelegten Strecke um den gleichen Betrag, also um das Doppelte.

Größen wie Zeit und Entfernung werden als direkt proportional bezeichnet. Und die Beziehung zwischen solchen Größen heißt direkte Proportionalität.

Direkte Proportionalität ist die Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Erhöhung einer von ihnen eine Erhöhung der anderen um denselben Betrag mit sich bringt.

und umgekehrt: Wenn eine Größe um eine bestimmte Anzahl abnimmt, nimmt die andere um die gleiche Anzahl ab.

Nehmen wir an, der ursprüngliche Plan bestand darin, ein Auto in 2 Stunden 100 km weit zu fahren, aber nach 50 km Fahrt beschloss der Fahrer, sich auszuruhen. Dann stellt sich heraus, dass sich die Zeit um den gleichen Betrag verkürzt, wenn man die Distanz um die Hälfte reduziert. Mit anderen Worten: Eine Verringerung der zurückgelegten Strecke führt zu einer Verkürzung der Zeit um den gleichen Betrag.

Ein interessantes Merkmal direkt proportionaler Größen ist, dass ihr Verhältnis immer konstant ist. Das heißt, wenn sich die Werte direkt proportionaler Größen ändern, bleibt ihr Verhältnis unverändert.

Im betrachteten Beispiel betrug die Distanz zunächst 50 km und die Zeit eine Stunde. Das Verhältnis von Entfernung zu Zeit beträgt die Zahl 50.

Aber wir verdoppelten die Reisezeit auf zwei Stunden. Dadurch erhöhte sich die zurückgelegte Strecke um den gleichen Betrag, also auf 100 km. Das Verhältnis von einhundert Kilometern zu zwei Stunden ergibt wiederum die Zahl 50

Die Nummer 50 wird aufgerufen Koeffizient der direkten Proportionalität. Es zeigt an, wie viel Distanz pro Bewegungsstunde zurückgelegt wird. In diesem Fall spielt der Koeffizient die Rolle der Bewegungsgeschwindigkeit, da Geschwindigkeit das Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur Zeit ist.

Proportionen können aus direkt proportionalen Mengen gebildet werden. Die Verhältnisse ergeben beispielsweise das Verhältnis:

Fünfzig Kilometer entsprechen einer Stunde, so wie einhundert Kilometer zwei Stunden.

Beispiel 2. Die Kosten und die Menge der gekauften Waren sind direkt proportional. Wenn 1 kg Süßigkeiten 30 Rubel kostet, dann kosten 2 kg derselben Süßigkeiten 60 Rubel und 3 kg 90 Rubel. Wenn die Kosten eines gekauften Produkts steigen, erhöht sich seine Menge um den gleichen Betrag.

Da die Kosten eines Produkts und seine Menge direkt proportionale Größen sind, ist ihr Verhältnis immer konstant.

Schreiben wir auf, wie hoch das Verhältnis von dreißig Rubel zu einem Kilogramm ist

Schreiben wir nun auf, wie das Verhältnis von sechzig Rubel zu zwei Kilogramm ist. Dieses Verhältnis beträgt wiederum dreißig:

Hier ist der Koeffizient der direkten Proportionalität die Zahl 30. Dieser Koeffizient gibt an, wie viele Rubel pro Kilogramm Süßigkeiten sind. In diesem Beispiel spielt der Koeffizient die Rolle des Preises eines Kilogramms der Ware, da der Preis das Verhältnis der Kosten der Ware zu ihrer Menge ist.

Umgekehrte Proportionalität

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Die Entfernung zwischen den beiden Städten beträgt 80 km. Der Motorradfahrer verließ die erste Stadt und erreichte mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h in 4 Stunden die zweite Stadt.

Wenn die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers 20 km/h betrug, bedeutete dies, dass er jede Stunde eine Strecke von zwanzig Kilometern zurücklegte. Stellen wir in der Abbildung die vom Motorradfahrer zurückgelegte Strecke und den Zeitpunkt seiner Bewegung dar:

Auf dem Rückweg betrug die Geschwindigkeit des Motorradfahrers 40 km/h und er brauchte für die gleiche Fahrt zwei Stunden.

Es ist leicht zu erkennen, dass sich die Bewegungszeit um den gleichen Betrag ändert, wenn sich die Geschwindigkeit ändert. Darüber hinaus änderte es sich in die entgegengesetzte Richtung – das heißt, die Geschwindigkeit nahm zu, aber die Zeit nahm im Gegenteil ab.

Größen wie Geschwindigkeit und Zeit werden als umgekehrt proportional bezeichnet. Und die Beziehung zwischen solchen Größen heißt umgekehrte Proportionalität.

Unter umgekehrter Proportionalität versteht man die Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Erhöhung einer von ihnen eine Verringerung der anderen um denselben Betrag zur Folge hat.

und umgekehrt: Wenn eine Größe um eine bestimmte Anzahl abnimmt, erhöht sich die andere um die gleiche Anzahl.

Wenn die Geschwindigkeit des Motorradfahrers auf dem Rückweg beispielsweise 10 km/h betrug, dann würde er die gleichen 80 km in 8 Stunden zurücklegen:

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, führte eine Verringerung der Geschwindigkeit zu einer Verlängerung der Bewegungszeit um den gleichen Betrag.

Die Besonderheit umgekehrt proportionaler Größen besteht darin, dass ihr Produkt immer konstant ist. Das heißt, wenn sich die Werte umgekehrt proportionaler Größen ändern, bleibt ihr Produkt unverändert.

Im betrachteten Beispiel betrug die Entfernung zwischen den Städten 80 km. Wenn sich Geschwindigkeit und Bewegungszeit des Motorradfahrers änderten, blieb dieser Abstand immer unverändert

Ein Motorradfahrer könnte diese Strecke mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h in 4 Stunden zurücklegen, mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h in 2 Stunden und mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h in 8 Stunden. In allen Fällen betrug das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit 80 km

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Grundlegende Ziele:

• das Konzept der direkten und umgekehrt proportionalen Abhängigkeit von Mengen einführen;
• lehren, wie man Probleme mithilfe dieser Abhängigkeiten löst;
• die Entwicklung von Fähigkeiten zur Problemlösung fördern;
• die Fähigkeit festigen, Gleichungen mithilfe von Proportionen zu lösen;
• Wiederholen Sie die Schritte mit gewöhnlichen und dezimalen Brüchen.
• Entwickeln Sie das logische Denken der Schüler.

WÄHREND DES UNTERRICHTS

ICH. Selbstbestimmung für Aktivität(Zeit organisieren)

- Jungs! Heute lernen wir in der Lektion Probleme kennen, die mithilfe von Proportionen gelöst werden.

II. Wissen aktualisieren und Schwierigkeiten bei Aktivitäten aufzeichnen

2.1. Mündliche Arbeit (3 Minuten)

– Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke heraus und finden Sie das in den Antworten verschlüsselte Wort heraus.

14 – s; 0,1 – und; 7 – l; 0,2 – a; 17 – c; 25 – bis

– Das resultierende Wort ist Stärke. Gut gemacht!
– Das Motto unserer heutigen Lektion: Macht liegt im Wissen! Ich suche – das heißt ich lerne!
– Bilden Sie aus den resultierenden Zahlen einen Anteil. (14:7 = 0,2:0,1 usw.)

2.2. Betrachten wir die Beziehung zwischen den uns bekannten Größen (7 Minuten)

– die vom Auto bei konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Strecke und die Zeit seiner Bewegung: S = v t ( mit zunehmender Geschwindigkeit (Zeit) nimmt die Distanz zu);
– Fahrzeuggeschwindigkeit und Fahrtzeit: v=S:t(Mit zunehmender Zeit zum Durchqueren des Pfades nimmt die Geschwindigkeit ab);
– die Kosten der zu einem Preis gekauften Waren und ihre Menge: C = a · n (mit steigendem (sinkendem) Preis steigen (sinken) die Anschaffungskosten);
– Preis des Produkts und seiner Menge: a = C: n (mit zunehmender Menge sinkt der Preis)
– Fläche des Rechtecks ​​und seine Länge (Breite): S = a · b (mit zunehmender Länge (Breite) nimmt die Fläche zu;
– Länge und Breite des Rechtecks: a = S: b (mit zunehmender Länge nimmt die Breite ab;
– die Anzahl der Arbeiter, die eine Arbeit mit gleicher Arbeitsproduktivität ausführen, und die Zeit, die für die Erledigung dieser Arbeit benötigt wird: t = A: n (mit zunehmender Anzahl der Arbeiter nimmt die für die Ausführung der Arbeit aufgewendete Zeit ab) usw .

Wir haben Abhängigkeiten erhalten, bei denen bei mehrmaliger Erhöhung einer Größe eine andere sofort um denselben Betrag zunimmt (Beispiele sind mit Pfeilen dargestellt) und Abhängigkeiten, bei denen bei mehrmaliger Erhöhung einer Größe die zweite Größe um den gleichen Betrag abnimmt gleich oft.
Solche Abhängigkeiten werden direkte und umgekehrte Proportionalität genannt.
Direkt proportionale Abhängigkeit– eine Beziehung, bei der der zweite Wert um den gleichen Betrag zunimmt (sinkt), wenn ein Wert mehrmals steigt (sinkt).
Umgekehrt proportionale Beziehung– eine Beziehung, bei der ein Wert mehrmals steigt (sinkt), der zweite Wert um denselben Betrag sinkt (steigt).

III. Eine Lernaufgabe stellen

– Vor welchem ​​Problem stehen wir? (Lernen Sie, zwischen direkten und inversen Abhängigkeiten zu unterscheiden)
- Das - Ziel unsere Lektion. Jetzt formulieren Thema Lektion. (Direkte und umgekehrt proportionale Beziehung).
- Gut gemacht! Notieren Sie das Thema der Lektion in Ihren Notizbüchern. (Der Lehrer schreibt das Thema an die Tafel.)

IV. „Entdeckung“ neuen Wissens(10 Minuten)

Schauen wir uns die Probleme Nr. 199 an.

1. Der Drucker druckt 27 Seiten in 4,5 Minuten. Wie lange dauert es, 300 Seiten zu drucken?

27 Seiten – 4,5 Min.
300 Seiten - x?

2. Die Box enthält 48 Packungen Tee à 250 g. Wie viele 150-g-Packungen dieses Tees erhalten Sie?

48 Packungen – 250 g.
X? – 150 g.

3. Das Auto fuhr 310 km und verbrauchte 25 Liter Benzin. Wie weit kann ein Auto mit einem vollen 40-Liter-Tank fahren?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Eines der Kupplungsräder hat 32 Zähne, das andere 40. Wie viele Umdrehungen macht das zweite Zahnrad, während das erste 215 Umdrehungen macht?

32 Zähne – 315 Umdrehungen
40 Zähne – x?

Um ein Verhältnis zu bilden, ist eine Richtung der Pfeile erforderlich; bei umgekehrter Proportionalität wird ein Verhältnis durch das Gegenteil ersetzt.

An der Tafel finden die Schüler die Bedeutung der Mengen; vor Ort lösen die Schüler ein Problem ihrer Wahl.

– Formulieren Sie eine Regel zur Lösung von Problemen mit direkter und umgekehrt proportionaler Abhängigkeit.

Auf der Tafel erscheint eine Tabelle:

V. Primäre Konsolidierung in der externen Sprache(10 Minuten)

Arbeitsblattaufgaben:

1. Aus 21 kg Baumwollsamen wurden 5,1 kg Öl gewonnen. Wie viel Öl wird aus 7 kg Baumwollsamen gewonnen?
2. Um das Stadion zu bauen, räumten fünf Bulldozer das Gelände in 210 Minuten. Wie lange würden 7 Bulldozer brauchen, um dieses Gelände zu räumen?

VI. Selbstständiges Arbeiten mit Selbsttest nach Norm(5 Minuten)

Zwei Schüler lösen Aufgabe Nr. 225 selbstständig auf versteckten Tafeln, der Rest – in Notizbüchern. Anschließend überprüfen sie die Funktion des Algorithmus und vergleichen ihn mit der Lösung an der Tafel. Fehler werden behoben und deren Ursachen ermittelt. Wenn die Aufgabe richtig gelöst wurde, legen die Schüler ein „+“-Zeichen daneben.
Studierende, die bei der selbstständigen Arbeit Fehler machen, können auf Berater zurückgreifen.

VII. Einbindung in das Wissenssystem und Wiederholung№ 271, № 270.

Im Vorstand arbeiten sechs Personen. Nach 3-4 Minuten stellen die an der Tafel arbeitenden Studierenden ihre Lösungen vor, der Rest prüft die Aufgaben und beteiligt sich an der Diskussion.

VIII. Reflexion über die Aktivität (Zusammenfassung der Lektion)

– Was haben Sie in der Lektion Neues gelernt?
- Was haben sie wiederholt?
– Was ist der Algorithmus zur Lösung von Proportionsproblemen?
– Haben wir unser Ziel erreicht?
– Wie bewerten Sie Ihre Arbeit?

>>Mathematik: Direkte Proportionalität und ihr Graph

Direkte Proportionalität und ihr Diagramm

Unter den linearen Funktionen y = kx + m wird insbesondere der Fall m = 0 unterschieden; in diesem Fall hat es die Form y = kx und wird direkte Proportionalität genannt. Dieser Name erklärt sich aus der Tatsache, dass zwei Größen y und x direkt proportional genannt werden, wenn ihr Verhältnis einem bestimmten entspricht
eine Zahl ungleich Null. Hier wird diese Zahl k Proportionalitätskoeffizient genannt.

Viele reale Situationen werden mithilfe direkter Proportionalität modelliert.

Beispielsweise hängen Weg s und Zeit t bei einer konstanten Geschwindigkeit von 20 km/h durch die Abhängigkeit s = 20t zusammen; das ist direkte Proportionalität mit k = 20.

Ein anderes Beispiel:

Kosten y und Anzahl x Brote zum Preis von 5 Rubel. für den Laib sind durch die Abhängigkeit y = 5x verbunden; das ist direkte Proportionalität, wobei k = 5.

Nachweisen. Wir werden es in zwei Schritten umsetzen.
1. y = kx ist ein Sonderfall einer linearen Funktion, und der Graph einer linearen Funktion ist eine gerade Linie; Bezeichnen wir es mit I.
2. Das Paar x = 0, y = 0 erfüllt die Gleichung y - kx, und daher gehört der Punkt (0; 0) zum Graphen der Gleichung y = kx, also der Geraden I.

Folglich verläuft die Gerade I durch den Ursprung. Der Satz ist bewiesen.

Sie müssen nicht nur in der Lage sein, vom analytischen Modell y = kx zum geometrischen Modell (Graph der direkten Proportionalität) überzugehen, sondern auch vom geometrischen Modell Modelle bis analytisch. Betrachten Sie zum Beispiel eine gerade Linie auf der xOy-Koordinatenebene, die in Abbildung 50 dargestellt ist. Es handelt sich um einen Graphen der direkten Proportionalität. Sie müssen lediglich den Wert des Koeffizienten k ermitteln. Da y, reicht es aus, einen beliebigen Punkt auf der Geraden zu nehmen und das Verhältnis der Ordinate dieses Punktes zu seiner Abszisse zu ermitteln. Die Gerade geht durch den Punkt P(3; 6), und für diesen Punkt gilt: Das bedeutet k = 2, und daher dient die gegebene Gerade als Graph der direkten Proportionalität y = 2x.

Daher wird der Koeffizient k in der Notation der linearen Funktion y = kx + m auch Steigungskoeffizient genannt. Wenn k>0, dann bildet die Gerade y = kx + m einen spitzen Winkel mit der positiven Richtung der x-Achse (Abb. 49, a), und wenn k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

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A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen