Lineare Gleichungen anhand von Beispielen lösen. Gleichungen mit zwei Variablen lösen Gleichung 2 4 lösen

Eine Gleichung mit einer Unbekannten, die nach Öffnen der Klammern und Einbringen ähnlicher Terme die Form annimmt

Axt + B = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind, heißt Lineargleichung mit einem Unbekannten. Heute werden wir herausfinden, wie man diese linearen Gleichungen löst.

Zum Beispiel alle Gleichungen:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) – linear.

Der Wert der Unbekannten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt, wird aufgerufen Entscheidung oder Wurzel der Gleichung .

Wenn wir beispielsweise in der Gleichung 3x + 7 = 13 anstelle der Unbekannten x die Zahl 2 einsetzen, erhalten wir die korrekte Gleichheit 3 ​​2 +7 = 13. Das bedeutet, dass der Wert x = 2 die Lösung oder Wurzel ist der Gleichung.

Und der Wert x = 3 verwandelt die Gleichung 3x + 7 = 13 nicht in eine echte Gleichheit, da 3 2 +7 ≠ 13. Das bedeutet, dass der Wert x = 3 keine Lösung oder Wurzel der Gleichung ist.

Das Lösen linearer Gleichungen reduziert sich auf das Lösen von Gleichungen der Form

Axt + B = 0.

Verschieben wir den freien Term von der linken Seite der Gleichung nach rechts und ändern das Vorzeichen vor b in das Gegenteil, so erhalten wir

Wenn a ≠ 0, dann x = ‒ b/a .

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 3x + 2 =11.

Verschieben wir 2 von der linken Seite der Gleichung nach rechts und ändern das Vorzeichen vor 2 in das Gegenteil, so erhalten wir
3x = 11 – 2.

Dann führen wir die Subtraktion durch
3x = 9.

Um x zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren
x = 9:3.

Das bedeutet, dass der Wert x = 3 die Lösung oder Wurzel der Gleichung ist.

Antwort: x = 3.

Wenn a = 0 und b = 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ist auch gleich 0. Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Erweitern wir die Klammern:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Hier sind einige ähnliche Begriffe:
0x = 0.

Antwort: x – eine beliebige Zahl.

Wenn a = 0 und b ≠ 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = - b. Diese Gleichung hat keine Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ≠ 0.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung x + 8 = x + 5.

Lassen Sie uns Begriffe mit Unbekannten auf der linken Seite und freie Begriffe auf der rechten Seite gruppieren:
x – x = 5 – 8.

Hier sind einige ähnliche Begriffe:
0х = ‒ 3.

Antwort: keine Lösungen.

An Abbildung 1 zeigt ein Diagramm zur Lösung einer linearen Gleichung

Lassen Sie uns ein allgemeines Schema zum Lösen von Gleichungen mit einer Variablen erstellen. Betrachten wir die Lösung zu Beispiel 4.

Beispiel 4. Angenommen, wir müssen die Gleichung lösen

1) Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, gleich 12.

2) Nach Reduktion erhalten wir
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Um Begriffe, die unbekannte und freie Begriffe enthalten, zu trennen, öffnen Sie die Klammern:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Gruppieren wir in einem Teil die Begriffe, die Unbekannte enthalten, und im anderen Teil die freien Begriffe:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Lassen Sie uns ähnliche Begriffe vorstellen:
- 22х = - 154.

6) Teilen durch – 22, wir erhalten
x = 7.

Wie Sie sehen können, ist die Wurzel der Gleichung sieben.

Im Allgemeinen so Gleichungen können mit dem folgenden Schema gelöst werden:

a) Bringen Sie die Gleichung in ihre ganzzahlige Form;

b) Öffnen Sie die Klammern;

c) gruppieren Sie die Terme, die das Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die freien Terme im anderen;

d) ähnliche Mitglieder mitbringen;

e) Lösen Sie eine Gleichung der Form aх = b, die nach Einführung ähnlicher Terme erhalten wurde.

Allerdings ist dieses Schema nicht für jede Gleichung notwendig. Wenn Sie viele einfachere Gleichungen lösen, müssen Sie nicht mit der ersten, sondern mit der zweiten beginnen ( Beispiel. 2), dritte ( Beispiel. 13) und sogar ab der fünften Stufe, wie in Beispiel 5.

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung 2x = 1/4.

Finden Sie das Unbekannte x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Schauen wir uns die Lösung einiger linearer Gleichungen an, die im Hauptstaatsexamen gefunden wurden.

Beispiel 6. Lösen Sie die Gleichung 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Antwort: - 0,125

Beispiel 7. Lösen Sie die Gleichung – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Antwort: 2.3

Beispiel 8. Löse die Gleichung

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Beispiel 9. Finden Sie f(6), wenn f (x + 2) = 3 7er

Lösung

Da wir f(6) finden müssen und f (x + 2) kennen,
dann ist x + 2 = 6.

Wir lösen die lineare Gleichung x + 2 = 6,
wir erhalten x = 6 – 2, x = 4.

Wenn x = 4 dann
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Antwort: 27.

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Im Mathematikkurs der 7. Klasse begegnen wir zum ersten Mal Gleichungen mit zwei Variablen, aber sie werden nur im Kontext von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten untersucht. Aus diesem Grund geraten eine ganze Reihe von Problemen außer Sicht, bei denen bestimmte Bedingungen an die Koeffizienten der Gleichung eingeführt werden, die sie begrenzen. Darüber hinaus werden auch Methoden zur Lösung von Problemen wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ ignoriert, obwohl Probleme dieser Art immer häufiger in den Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen und in Aufnahmeprüfungen zu finden sind.

Welche Gleichung wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet?

So sind beispielsweise die Gleichungen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 oder xy = 12 Gleichungen in zwei Variablen.

Betrachten Sie die Gleichung 2x – y = 1. Sie wird wahr, wenn x = 2 und y = 3, sodass dieses Variablenwertpaar eine Lösung der betreffenden Gleichung ist.

Somit ist die Lösung jeder Gleichung mit zwei Variablen eine Menge geordneter Paare (x; y), Werte der Variablen, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandeln.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann:

A) habe eine Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + 5y 2 = 0 eine eindeutige Lösung (0; 0);

B) mehrere Lösungen haben. Zum Beispiel hat (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 Lösungen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) habe keine Lösungen. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + y 2 + 1 = 0 keine Lösungen;

G) haben unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel: x + y = 3. Die Lösungen dieser Gleichung sind Zahlen, deren Summe gleich 3 ist. Die Lösungsmenge dieser Gleichung kann in der Form (k; 3 – k) geschrieben werden, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist Nummer.

Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen sind Methoden, die auf der Faktorisierung von Ausdrücken, der Isolierung eines vollständigen Quadrats, der Verwendung der Eigenschaften einer quadratischen Gleichung, begrenzten Ausdrücken und Schätzmethoden basieren. Die Gleichung wird normalerweise in eine Form umgewandelt, aus der ein System zum Finden der Unbekannten abgeleitet werden kann.

Faktorisierung

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung: xy – 2 = 2x – y.

Lösung.

Wir gruppieren die Begriffe zum Zweck der Faktorisierung:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Aus jeder Klammer entnehmen wir einen gemeinsamen Faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Wir haben:

y = 2, x – jede reelle Zahl oder x = -1, y – jede reelle Zahl.

Auf diese Weise, Die Antwort sind alle Paare der Form (x; 2), x € R und (-1; y), y € R.

Gleichheit nicht negativer Zahlen mit Null

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lösung.

Gruppierung:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nun kann jede Klammer mit der quadrierten Differenzformel gefaltet werden.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Die Summe zweier nichtnegativer Ausdrücke ist nur dann Null, wenn 3x – 2 = 0 und 2y – 3 = 0.

Das bedeutet x = 2/3 und y = 3/2.

Antwort: (2/3; 3/2).

Schätzmethode

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Lösung.

In jeder Klammer wählen wir ein vollständiges Quadrat aus:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Lassen Sie uns schätzen die Bedeutung der Ausdrücke in Klammern.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 und (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 2. Gleichheit ist möglich, wenn:

(x + 1) 2 + 1 = 1 und (y – 2) 2 + 2 = 2, was x = -1, y = 2 bedeutet.

Antwort: (-1; 2).

Machen wir uns mit einer anderen Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades vertraut. Diese Methode besteht darin, die Gleichung als zu behandeln Quadrat in Bezug auf eine Variable.

Beispiel 4.

Lösen Sie die Gleichung: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lösung.

Lösen wir die Gleichung als quadratische Gleichung für x. Finden wir die Diskriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn D = 0, also wenn y = 4. Wir setzen den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, dass x = 3.

Antwort: (3; 4).

Sie geben oft in Gleichungen mit zwei Unbekannten an Einschränkungen für Variablen.

Beispiel 5.

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lösung.

Schreiben wir die Gleichung in der Form x 2 = -5y 2 + 20x + 2 um. Die rechte Seite der resultierenden Gleichung ergibt bei Division durch 5 einen Rest von 2. Daher ist x 2 nicht durch 5 teilbar. Aber das Quadrat von a Eine Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, ergibt einen Rest von 1 oder 4. Daher ist Gleichheit unmöglich und es gibt keine Lösungen.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 6.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lösung.

Lassen Sie uns die vollständigen Quadrate in jeder Klammer hervorheben:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Die linke Seite der Gleichung ist immer größer oder gleich 3. Gleichheit ist möglich, vorausgesetzt |x| – 2 = 0 und y + 3 = 0. Somit ist x = ± 2, y = -3.

Antwort: (2; -3) und (-2; -3).

Beispiel 7.

Für jedes Paar negativer Ganzzahlen (x;y), die die Gleichung erfüllen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, berechne die Summe (x + y). Bitte geben Sie in Ihrer Antwort den kleinsten Betrag an.

Lösung.

Wählen wir vollständige Quadrate aus:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x und y ganze Zahlen sind, sind auch ihre Quadrate ganze Zahlen. Wir erhalten die Summe der Quadrate zweier ganzen Zahlen gleich 37, wenn wir 1 + 36 addieren. Daher:

(x – y) 2 = 36 und (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 und (y + 2) 2 = 36.

Wenn wir diese Systeme lösen und berücksichtigen, dass x und y negativ sind, finden wir Lösungen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Antwort: -17.

Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie Schwierigkeiten haben, Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen. Mit ein wenig Übung können Sie mit jeder Gleichung umgehen.

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1. Lösen des Systems mit der Substitutionsmethode.
2. Lösen des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Systemgleichungen.

Um das Gleichungssystem zu lösen durch Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Express. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir setzen den resultierenden Wert anstelle der ausgedrückten Variablen in eine andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Additions- (Subtraktions-)Methode müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir identische Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, was zu einer Gleichung mit einer Variablen führt.
3. Lösen Sie das Ergebnis Lineargleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, was bedeutet, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nachdem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir 3+10y in der ersten Gleichung anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (öffnen Sie die Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, weil der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, in dem ersten Punkt, an dem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns das Problem mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wir wählen eine Variable, sagen wir, wir wählen x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir setzen das gefundene y in eine der Gleichungen ein, sagen wir in die erste Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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