Die Summe von n Zahlen einer geometrischen Folge. Geometrischer Verlauf

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und deren jeder nachfolgende Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist. Der geometrische Verlauf wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Eigenschaften des geometrischen Verlaufs

Das Verhältnis eines beliebigen Termes des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Dies ergibt sich direkt aus der Definition einer arithmetischen Folge. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Normalerweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge anzugeben, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q anzugeben. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen definieren den geometrischen Verlauf 4, -8, 16, -32, ….

Wenn q>0 (q ist ungleich 1), dann ist die Folge eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton steigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner im geometrischen Fehler q=1 ist, dann sind alle Terme der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer konstanten Abfolge.

Formel für das n-te Glied der Progression

Damit eine Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, ist es notwendig, dass jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel benachbarter Mitglieder ist. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen: (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Formel für den n-ten Term der geometrischen Folge lautet:

bn=b1*q^(n-1), wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an:

Finden Sie in der geometrischen Folge b1=6, q=3, n=8 bn.

Verwenden wir die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge.

Arithmetische und geometrische Folgen

Theoretische Informationen

Theoretische Informationen

	Arithmetische Folge	Geometrischer Verlauf
Definition	Arithmetische Folge ein ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, addiert zur gleichen Zahl D (D- Fortschrittsunterschied)	Geometrischer Verlauf b n ist eine Folge von Zahlen ungleich Null, von denen jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ist Q (Q- Nenner des Fortschritts)
Wiederholungsformel	Für jede natürliche N a n + 1 = a n + d	Für jede natürliche N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formel n. Term	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Charakteristische Eigenschaft
Summe der ersten n Terme

Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren

Übung 1

In der arithmetischen Folge ( ein) eine 1 = -6, eine 2

Nach der Formel des n-ten Termes:

ein 22 = eine 1+ d (22 - 1) = eine 1+ 21 T

Nach Bedingung:

eine 1= -6 also ein 22= -6 + 21 d .

Es ist notwendig, den Unterschied in den Progressionen zu finden:

d = eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

ein 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Antwort : ein 22 = -48.

Aufgabe 2

Finden Sie den fünften Term der geometrischen Folge: -3; 6;....

1. Methode (unter Verwendung der n-Term-Formel)

Nach der Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Als b 1 = -3,

2. Methode (mit wiederkehrender Formel)

Da der Nenner der Progression -2 (q = -2) ist, gilt:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Antwort : b 5 = -48.

Aufgabe 3

In der arithmetischen Folge ( a n ) a 74 = 34; eine 76= 156. Finden Sie das fünfundsiebzigste Glied dieser Folge.

Für eine arithmetische Folge hat die charakteristische Eigenschaft die Form .

Daher:

Ersetzen wir die Daten in der Formel:

Antwort: 95.

Aufgabe 4

In der arithmetischen Folge ( ein n ) ein n= 3n - 4. Finden Sie die Summe der ersten siebzehn Terme.

Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu ermitteln, werden zwei Formeln verwendet:

Welche davon ist in diesem Fall bequemer zu verwenden?

Durch Bedingung ist die Formel für den n-ten Term der ursprünglichen Progression bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Sie können sofort finden und eine 1, Und ein 16 ohne d zu finden. Daher verwenden wir die erste Formel.

Antwort: 368.

Aufgabe 5

In der arithmetischen Folge( ein) eine 1 = -6; eine 2= -8. Finden Sie das zweiundzwanzigste Glied der Progression.

Nach der Formel des n-ten Termes:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = eine 1+ 21d.

Bedingung, wenn eine 1= -6 also ein 22= -6 + 21d . Es ist notwendig, den Unterschied in den Progressionen zu finden:

d = eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

ein 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Antwort : ein 22 = -48.

Aufgabe 6

Es werden mehrere aufeinanderfolgende Terme der geometrischen Progression geschrieben:

Finden Sie den Term der durch x angegebenen Progression.

Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n = b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Der erste Term der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie einen der angegebenen Terme der Progression nehmen und durch den vorherigen dividieren. In unserem Beispiel können wir nehmen und durch dividieren. Wir erhalten q = 3. Anstelle von n ersetzen wir 3 in der Formel, da es notwendig ist, den dritten Term einer gegebenen geometrischen Folge zu finden.

Wenn wir die gefundenen Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:

Antwort : .

Aufgabe 7

Wählen Sie aus den durch die Formel des n-ten Termes gegebenen arithmetischen Folgen diejenige aus, für die die Bedingung erfüllt ist ein 27 > 9:

Da die gegebene Bedingung für das 27. Glied der Progression erfüllt sein muss, ersetzen wir in jeder der vier Progressionen 27 anstelle von n. In der 4. Progression erhalten wir:

Antwort: 4.

Aufgabe 8

Im arithmetischen Fortschritt eine 1= 3, d = -1,5. Geben Sie den größten Wert von n an, für den die Ungleichung gilt ein > -6.

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer erkennen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.

Die Zahl mit der Zahl wird als n-tes Glied der Folge bezeichnet.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Die gebräuchlichsten Progressionsarten sind Arithmetik und Geometrie. In diesem Thema werden wir über den zweiten Typ sprechen – geometrischer Verlauf.

Warum ist eine geometrische Progression erforderlich und welche Geschichte hat sie?

Schon in der Antike beschäftigte sich der italienische Mathematikermönch Leonardo von Pisa (besser bekannt als Fibonacci) mit den praktischen Bedürfnissen des Handels. Der Mönch stand vor der Aufgabe, die kleinste Anzahl an Gewichten zu bestimmen, mit der ein Produkt gewogen werden kann. Fibonacci beweist in seinen Werken, dass ein solches Gewichtungssystem optimal ist: Dies ist eine der ersten Situationen, in denen Menschen mit einer geometrischen Folge zu tun hatten, von der Sie wahrscheinlich bereits gehört haben und die Sie zumindest allgemein verstehen. Wenn Sie das Thema vollständig verstanden haben, überlegen Sie, warum ein solches System optimal ist.

Derzeit manifestiert sich in der Lebenspraxis die geometrische Progression bei der Anlage von Geld bei einer Bank, wenn der Zinsbetrag auf den auf dem Konto für die Vorperiode angesammelten Betrag angerechnet wird. Mit anderen Worten: Wenn Sie Geld auf ein Festgeld bei einer Sparkasse legen, erhöht sich die Einlage nach einem Jahr um den ursprünglichen Betrag, d. h. Der neue Betrag entspricht dem Beitrag multipliziert mit. In einem weiteren Jahr erhöht sich dieser Betrag um, d.h. Der zu diesem Zeitpunkt erhaltene Betrag wird erneut mit multipliziert und so weiter. Eine ähnliche Situation wird bei Problemen zur Berechnung des sogenannten beschrieben Zinseszins– Der Prozentsatz wird jedes Mal vom Betrag auf dem Konto abgezogen, unter Berücksichtigung früherer Zinsen. Wir werden etwas später über diese Aufgaben sprechen.

Es gibt viele weitere einfache Fälle, in denen geometrische Progression angewendet wird. Zum Beispiel die Ausbreitung der Grippe: Eine Person infizierte eine andere Person, diese infizierte wiederum eine andere Person, und so ist die zweite Infektionswelle eine Person, und sie infizierte wiederum eine andere Person ... und so weiter. .

Übrigens ist eine Finanzpyramide, das gleiche MMM, eine einfache und trockene Berechnung, die auf den Eigenschaften einer geometrischen Progression basiert. Interessant? Lass es uns herausfinden.

Geometrischer Verlauf.

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge:

Sie werden sofort antworten, dass dies einfach ist und der Name einer solchen Sequenz aus dem Unterschied ihrer Mitglieder besteht. Wie wäre es damit:

Wenn Sie die vorherige Zahl von der nachfolgenden Zahl subtrahieren, werden Sie sehen, dass Sie jedes Mal eine neue Differenz erhalten (und so weiter), aber die Folge existiert definitiv und ist leicht zu erkennen – jede nachfolgende Zahl ist um ein Vielfaches größer als die vorherige!

Diese Art von Zahlenfolge wird aufgerufen geometrischer Verlauf und ist bezeichnet.

Geometrische Progression () ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Die Einschränkungen, dass der erste Term ( ) nicht gleich ist und nicht zufällig sind. Nehmen wir an, dass es keine gibt und der erste Term immer noch gleich ist und q gleich ist, hmm.. lass es sein, dann stellt sich heraus:

Stimmen Sie zu, dass dies kein Fortschritt mehr ist.

Wie Sie wissen, erhalten wir die gleichen Ergebnisse, wenn es eine andere Zahl als Null gibt, a. In diesen Fällen gibt es einfach keine Progression, da die gesamte Zahlenreihe entweder nur aus Nullen oder aus einer Zahl besteht und der Rest aus Nullen besteht.

Lassen Sie uns nun ausführlicher über den Nenner der geometrischen Folge sprechen, also o.

Wiederholen wir: - Das ist die Nummer Wie oft ändert sich jeder nachfolgende Begriff? geometrischer Verlauf.

Was denkst du, könnte es sein? Das ist richtig, positiv und negativ, aber nicht Null (darüber haben wir etwas weiter oben gesprochen).

Nehmen wir an, dass unseres positiv ist. Sei in unserem Fall a. Welchen Wert hat der zweite Term und? Das können Sie ganz einfach beantworten:

Alles ist richtig. Wenn also, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv.

Was ist, wenn es negativ ist? Zum Beispiel ein. Welchen Wert hat der zweite Term und?

Das ist eine ganz andere Geschichte

Versuchen Sie, die Bedingungen dieser Progression zu zählen. Wie viel hast du bekommen? Bei mir. Wenn also, dann wechseln sich die Vorzeichen der Terme der geometrischen Folge ab. Das heißt, wenn Sie eine Progression mit wechselnden Vorzeichen für ihre Mitglieder sehen, dann ist ihr Nenner negativ. Dieses Wissen kann Ihnen helfen, sich bei der Lösung von Problemen zu diesem Thema zu testen.

Jetzt üben wir ein wenig: Versuchen wir herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine geometrische Folge und welche eine arithmetische Folge sind:

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:

Geometrischer Verlauf – 3, 6.
Arithmetische Folge – 2, 4.
Es handelt sich weder um eine arithmetische noch um eine geometrische Folge – 1, 5, 7.

Kehren wir zu unserer letzten Folge zurück und versuchen, ihr Mitglied zu finden, genau wie in der arithmetischen Folge. Wie Sie vielleicht schon vermutet haben, gibt es zwei Möglichkeiten, es zu finden.

Wir multiplizieren nacheinander jeden Term mit.

Der te Term der beschriebenen geometrischen Folge ist also gleich.

Wie Sie bereits vermutet haben, werden Sie nun selbst eine Formel ableiten, die Ihnen hilft, jedes Mitglied der geometrischen Folge zu finden. Oder haben Sie es bereits selbst entwickelt und beschrieben, wie Sie Schritt für Schritt das richtige Mitglied finden? Wenn ja, dann überprüfen Sie die Richtigkeit Ihrer Argumentation.

Lassen Sie uns dies am Beispiel der Suche nach dem th-Term dieser Progression veranschaulichen:

Mit anderen Worten:

Finden Sie selbst den Wert des Termes der gegebenen geometrischen Folge.

Passiert? Vergleichen wir unsere Antworten:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir nacheinander mit jedem vorherigen Term der geometrischen Folge multipliziert haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Die abgeleitete Formel gilt für alle Werte – sowohl positive als auch negative. Überprüfen Sie dies selbst, indem Sie die Terme der geometrischen Folge mit den folgenden Bedingungen berechnen: , a.

Hast du gezählt? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Stimmen Sie zu, dass es möglich wäre, einen Term einer Progression auf die gleiche Weise wie einen Term zu finden, allerdings besteht die Möglichkeit einer falschen Berechnung. Und wenn wir den dritten Term der geometrischen Folge bereits gefunden haben, was könnte dann einfacher sein, als den „abgeschnittenen“ Teil der Formel zu verwenden?

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf.

Vor kurzem haben wir darüber gesprochen, dass er entweder größer oder kleiner als Null sein kann, es gibt jedoch spezielle Werte, für die der geometrische Verlauf aufgerufen wird unendlich abnehmend.

Warum wird Ihrer Meinung nach dieser Name vergeben?
Schreiben wir zunächst eine geometrische Folge auf, die aus Termen besteht.
Sagen wir dann:

Wir sehen, dass jeder nachfolgende Term um einen Faktor kleiner ist als der vorherige, aber wird es eine Zahl geben? Sie werden sofort mit „Nein“ antworten. Deshalb nimmt es unendlich ab – es nimmt immer weiter ab, wird aber nie Null.

Um klar zu verstehen, wie dies visuell aussieht, versuchen wir, eine Grafik unseres Fortschritts zu zeichnen. Für unseren Fall hat die Formel also die folgende Form:

In Diagrammen sind wir es gewohnt, Abhängigkeiten darzustellen, daher:

Das Wesen des Ausdrucks hat sich nicht geändert: Im ersten Eintrag haben wir die Abhängigkeit des Wertes eines Mitglieds einer geometrischen Folge von seiner Ordnungszahl gezeigt, und im zweiten Eintrag haben wir einfach den Wert eines Mitglieds einer geometrischen Folge angenommen als , und bezeichnete die Ordnungszahl nicht als, sondern als. Jetzt muss nur noch ein Diagramm erstellt werden.
Lass sehen was du bekommen hast. Hier ist die Grafik, die ich erstellt habe:

Siehst du? Die Funktion nimmt ab, strebt gegen Null, überschreitet sie jedoch nie, ist also unendlich fallend. Markieren wir unsere Punkte im Diagramm und geben gleichzeitig an, was die Koordinate und die Bedeutung sind:

Versuchen Sie, einen Graphen einer geometrischen Folge schematisch darzustellen, wenn auch ihr erster Term gleich ist. Analysieren Sie, was der Unterschied zu unserem vorherigen Diagramm ist.

Hast du es geschafft? Hier ist die Grafik, die ich erstellt habe:

Nachdem Sie nun die Grundlagen des Themas der geometrischen Progression vollständig verstanden haben: Sie wissen, was sie ist, Sie wissen, wie man ihren Begriff findet und Sie wissen auch, was eine unendlich abnehmende geometrische Progression ist, kommen wir zu ihrer Haupteigenschaft.

Eigenschaft der geometrischen Progression.

Erinnern Sie sich an die Eigenschaft der Terme einer arithmetischen Folge? Ja, ja, wie findet man den Wert einer bestimmten Zahl einer Progression, wenn es vorherige und nachfolgende Werte der Terme dieser Progression gibt? Erinnerst du dich? Das hier:

Jetzt stehen wir vor genau der gleichen Frage nach den Termen einer geometrischen Folge. Um eine solche Formel abzuleiten, beginnen wir mit dem Zeichnen und Denken. Sie werden sehen, es ist ganz einfach, und wenn Sie es vergessen, können Sie es selbst herausholen.

Nehmen wir eine weitere einfache geometrische Folge, in der wir wissen und. Wie findet man? Mit der arithmetischen Progression ist es einfach und unkompliziert, aber wie sieht es hier aus? Tatsächlich gibt es auch in der Geometrie nichts Kompliziertes – Sie müssen nur jeden uns gegebenen Wert gemäß der Formel aufschreiben.

Sie fragen sich vielleicht: Was sollen wir jetzt dagegen tun? Ja, ganz einfach. Lassen Sie uns zunächst diese Formeln in einem Bild darstellen und versuchen, verschiedene Manipulationen damit durchzuführen, um den Wert zu ermitteln.

Lassen Sie uns von den uns gegebenen Zahlen abstrahieren und uns nur auf ihren Ausdruck durch die Formel konzentrieren. Wir müssen den orange hervorgehobenen Wert finden und die daneben stehenden Begriffe kennen. Versuchen wir, mit ihnen verschiedene Aktionen auszuführen, die wir erreichen können.

Zusatz.
Versuchen wir, zwei Ausdrücke hinzuzufügen, und wir erhalten:

Wie Sie sehen, können wir diesen Ausdruck in keiner Weise ausdrücken, daher werden wir eine andere Option ausprobieren – die Subtraktion.

Subtraktion.

Wie Sie sehen, können wir dies auch nicht ausdrücken. Versuchen wir daher, diese Ausdrücke miteinander zu multiplizieren.

Multiplikation.

Schauen Sie sich nun genau an, was wir erhalten, indem wir die Terme der uns gegebenen geometrischen Progression mit dem vergleichen, was gefunden werden muss:

Ratet mal, wovon ich rede? Um das richtig zu finden, müssen wir die Quadratwurzel der geometrischen Folgezahlen ziehen, die an die gewünschte Zahl angrenzen und miteinander multipliziert werden:

Bitte schön. Sie haben selbst die Eigenschaft der geometrischen Progression abgeleitet. Versuchen Sie, diese Formel in allgemeiner Form zu schreiben. Passiert?

Bedingung für vergessen? Überlegen Sie, warum es wichtig ist, und versuchen Sie es beispielsweise selbst zu berechnen. Was wird in diesem Fall passieren? Das ist richtig, völliger Unsinn, denn die Formel sieht so aus:

Vergessen Sie daher diese Einschränkung nicht.

Berechnen wir nun, was es bedeutet

Korrekte Antwort - ! Wenn Sie bei der Berechnung den zweiten möglichen Wert nicht vergessen haben, sind Sie in Ordnung und können sofort mit dem Training fortfahren, und wenn Sie es vergessen haben, lesen Sie, was unten besprochen wird, und achten Sie darauf, warum beide Wurzeln in den Wert geschrieben werden müssen Antwort.

Zeichnen wir unsere beiden geometrischen Verläufe – einen mit einem Wert und den anderen mit einem Wert – und prüfen wir, ob beide eine Daseinsberechtigung haben:

Um zu überprüfen, ob eine solche geometrische Folge existiert oder nicht, muss geprüft werden, ob alle ihre gegebenen Terme gleich sind. Berechnen Sie q für den ersten und zweiten Fall.

Sehen Sie, warum wir zwei Antworten schreiben müssen? Denn das Vorzeichen des gesuchten Begriffs hängt davon ab, ob es positiv oder negativ ist! Und da wir nicht wissen, was es ist, müssen wir beide Antworten mit einem Plus und einem Minus schreiben.

Nachdem Sie nun die Hauptpunkte gemeistert und die Formel für die Eigenschaft der geometrischen Progression abgeleitet haben, finden, kennen und

Vergleichen Sie Ihre Antworten mit den richtigen:

Was denken Sie, was wäre, wenn uns nicht die Werte der Terme der geometrischen Folge neben der gewünschten Zahl, sondern in gleichem Abstand davon gegeben würden? Zum Beispiel müssen wir finden, und gegeben und. Können wir die Formel, die wir in diesem Fall abgeleitet haben, verwenden? Versuchen Sie, diese Möglichkeit auf die gleiche Weise zu bestätigen oder zu widerlegen, indem Sie beschreiben, woraus jeder Wert besteht, wie Sie es bei der ursprünglichen Ableitung der Formel getan haben.
Was hast du bekommen?

Schauen Sie nun noch einmal genau hin.
und entsprechend:

Daraus können wir schließen, dass die Formel funktioniert nicht nur mit Nachbarn mit den gewünschten Termen des geometrischen Verlaufs, aber auch mit äquidistant von dem, was die Mitglieder suchen.

Somit hat unsere Ausgangsformel die Form:

Das heißt, wenn wir das im ersten Fall gesagt haben, sagen wir jetzt, dass es gleich jeder natürlichen Zahl sein kann, die kleiner ist. Hauptsache, es ist für beide angegebenen Zahlen gleich.

Üben Sie mit konkreten Beispielen, seien Sie nur äußerst vorsichtig!

, . Finden.
, . Finden.
, . Finden.

Entschieden? Ich hoffe, Sie waren äußerst aufmerksam und haben einen kleinen Haken bemerkt.

Vergleichen wir die Ergebnisse.

In den ersten beiden Fällen wenden wir ruhig die obige Formel an und erhalten folgende Werte:

Im dritten Fall stellen wir bei sorgfältiger Prüfung der Seriennummern der uns gegebenen Zahlen fest, dass sie nicht den gleichen Abstand von der gesuchten Zahl haben: Es handelt sich um die vorherige Zahl, die aber an einer Position entfernt ist, also ist sie es Es ist nicht möglich, die Formel anzuwenden.

Wie man es löst? Es ist eigentlich gar nicht so schwierig, wie es scheint! Schreiben wir auf, woraus jede uns gegebene Zahl und die Zahl, nach der wir suchen, besteht.

Also haben wir und. Mal sehen, was wir mit ihnen machen können? Ich schlage vor, durch zu dividieren. Wir bekommen:

Wir setzen unsere Daten in die Formel ein:

Der nächste Schritt, den wir finden können, ist: Dazu müssen wir die Kubikwurzel der resultierenden Zahl ziehen.

Schauen wir uns nun noch einmal an, was wir haben. Wir haben es, aber wir müssen es finden, und es ist wiederum gleich:

Wir haben alle notwendigen Daten für die Berechnung gefunden. Ersetzen Sie in die Formel:

Unsere Antwort: .

Versuchen Sie, ein anderes ähnliches Problem selbst zu lösen:
Gegeben: ,
Finden:

Wie viel hast du bekommen? Bei mir - .

Wie Sie sehen, brauchen Sie im Wesentlichen Merken Sie sich nur eine Formel- . Den Rest können Sie jederzeit problemlos selbst abheben. Schreiben Sie dazu einfach die einfachste geometrische Folge auf ein Blatt Papier und notieren Sie, was jede ihrer Zahlen gemäß der oben beschriebenen Formel bedeutet.

Die Summe der Terme einer geometrischen Folge.

Schauen wir uns nun Formeln an, mit denen wir schnell die Summe der Terme einer geometrischen Folge in einem bestimmten Intervall berechnen können:

Um die Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge abzuleiten, multiplizieren Sie alle Teile der obigen Gleichung mit. Wir bekommen:

Schauen Sie genau hin: Was haben die letzten beiden Formeln gemeinsam? Das ist richtig, zum Beispiel gemeinsame Mitglieder und so weiter, mit Ausnahme des ersten und letzten Mitglieds. Versuchen wir, die 1. von der 2. Gleichung zu subtrahieren. Was hast du bekommen?

Drücken Sie nun den Term der geometrischen Progression durch die Formel aus und setzen Sie den resultierenden Ausdruck in unsere letzte Formel ein:

Gruppieren Sie den Ausdruck. Du solltest bekommen:

Jetzt bleibt nur noch Folgendes zu sagen:

Dementsprechend in diesem Fall.

Was ist, wenn? Welche Formel funktioniert dann? Stellen Sie sich eine geometrische Folge vor. Wie ist sie? Eine Reihe identischer Zahlen ist korrekt, daher sieht die Formel folgendermaßen aus:

Es gibt viele Legenden sowohl über die arithmetische als auch über die geometrische Progression. Eine davon ist die Legende von Set, dem Schöpfer des Schachs.

Viele Menschen wissen, dass das Schachspiel in Indien erfunden wurde. Als der Hindu-König sie traf, war er von ihrem Witz und den vielfältigen Stellungen, die ihr möglich waren, begeistert. Als der König erfuhr, dass es von einem seiner Untertanen erfunden worden war, beschloss er, ihn persönlich zu belohnen. Er rief den Erfinder zu sich und befahl ihm, ihn um alles zu bitten, was er wollte, und versprach, selbst den geschicktesten Wunsch zu erfüllen.

Seta bat um Zeit zum Nachdenken, und als Seta am nächsten Tag vor dem König erschien, überraschte er den König mit der beispiellosen Bescheidenheit seiner Bitte. Er bat darum, ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts zu geben, ein Weizenkorn für das zweite, ein Weizenkorn für das dritte, ein viertes usw.

Der König war wütend und vertrieb Seth mit der Begründung, dass die Bitte des Dieners der Großzügigkeit des Königs unwürdig sei, versprach aber, dass der Diener seine Körner für alle Quadrate des Bretts erhalten würde.

Und nun die Frage: Berechnen Sie anhand der Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge, wie viele Körner Seth erhalten sollte?

Beginnen wir mit der Überlegung. Da Seth gemäß der Bedingung ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts, für das zweite, für das dritte, für das vierte usw. verlangte, sehen wir, dass es sich bei dem Problem um eine geometrische Folge handelt. Was bedeutet es in diesem Fall?
Rechts.

Gesamtquadrate des Schachbretts. Jeweils, . Wir haben alle Daten, es bleibt nur noch, sie in die Formel einzubauen und zu berechnen.

Um uns die „Skala“ einer gegebenen Zahl zumindest annähernd vorzustellen, transformieren wir mithilfe der Gradeigenschaften:

Wenn Sie möchten, können Sie natürlich einen Taschenrechner nehmen und berechnen, welche Zahl am Ende herauskommt. Wenn nicht, müssen Sie sich auf mein Wort verlassen: Der Endwert des Ausdrucks wird sein.
Also:

Trillionen Billiarden Billionen Milliarden Millionen Tausend.

Puh) Wenn Sie sich vorstellen wollen, wie enorm diese Zahl ist, dann schätzen Sie ab, wie groß eine Scheune sein müsste, um die gesamte Getreidemenge unterzubringen.
Wenn die Scheune m hoch und m breit ist, müsste ihre Länge sich über km erstrecken, d. h. doppelt so weit wie von der Erde zur Sonne.

Wäre der König gut in Mathematik gewesen, hätte er den Wissenschaftler selbst einladen können, die Körner zu zählen, denn um eine Million Körner zu zählen, bräuchte er mindestens einen Tag unermüdlichen Zählens, und wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, Trillionen zu zählen, die Körner müsste sein ganzes Leben lang gezählt werden.

Lassen Sie uns nun ein einfaches Problem lösen, bei dem es um die Summe der Terme einer geometrischen Folge geht.
Ein Schüler der 5A-Klasse, Vasya, erkrankte an der Grippe, geht aber weiterhin zur Schule. Jeden Tag infiziert Vasya zwei Menschen, die wiederum zwei weitere Menschen infizieren und so weiter. Es gibt nur Leute in der Klasse. In wie vielen Tagen wird die ganze Klasse an Grippe erkranken?

Der erste Begriff der geometrischen Progression ist also Vasya, also eine Person. Der dritte Term der geometrischen Progression sind die beiden Menschen, die er am ersten Tag seiner Ankunft infizierte. Die Gesamtsumme der Progressionssemester entspricht der Anzahl der 5A-Studierenden. Dementsprechend sprechen wir von einem Verlauf, bei dem:

Setzen wir unsere Daten in die Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge ein:

Die ganze Klasse wird innerhalb weniger Tage krank. Glauben Sie nicht an Formeln und Zahlen? Versuchen Sie, die „Ansteckung“ der Studierenden selbst darzustellen. Passiert? Schauen Sie, wie es bei mir aussieht:

Berechnen Sie selbst, wie viele Tage es dauern würde, bis Schüler an Grippe erkranken, wenn jeder eine Person anstecken würde und nur eine Person in der Klasse wäre.

Welchen Wert hast du bekommen? Es stellte sich heraus, dass alle nach einem Tag krank wurden.

Wie Sie sehen, ähneln eine solche Aufgabe und die Zeichnung dafür einer Pyramide, in die jede weitere neue Leute „bringt“. Früher oder später kommt jedoch der Moment, in dem Letzteres niemanden anziehen kann. Wenn wir uns in unserem Fall vorstellen, dass die Klasse isoliert ist, schließt die Person aus die Kette (). Wenn also eine Person an einer Finanzpyramide beteiligt wäre, bei der Geld gespendet wird, wenn man zwei andere Teilnehmer mitbringt, dann würde die Person (oder im Allgemeinen) niemanden mitbringen und dementsprechend alles verlieren, was sie in diesen Finanzbetrug investiert hat.

Alles, was oben gesagt wurde, bezieht sich auf einen abnehmenden oder zunehmenden geometrischen Verlauf, aber wie Sie sich erinnern, haben wir einen besonderen Typ – einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf. Wie berechnet man die Summe seiner Mitglieder? Und warum weist diese Art der Progression bestimmte Merkmale auf? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden.

Schauen wir uns also zunächst noch einmal diese Zeichnung einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression aus unserem Beispiel an:

Schauen wir uns nun die etwas früher abgeleitete Formel für die Summe einer geometrischen Folge an:
oder

Was streben wir an? Das ist richtig, die Grafik zeigt, dass es gegen Null tendiert. Das heißt, at wird nahezu gleich sein bzw. wenn wir den Ausdruck berechnen, erhalten wir fast. In diesem Zusammenhang glauben wir, dass diese Klammer bei der Berechnung der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge vernachlässigt werden kann, da sie gleich ist.

- Formel ist die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge.

WICHTIG! Wir verwenden die Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge nur, wenn die Bedingung ausdrücklich besagt, dass wir die Summe finden müssen unendlich Anzahl der Mitglieder.

Wenn eine bestimmte Zahl n angegeben ist, verwenden wir die Formel für die Summe von n Termen, auch wenn oder.

Jetzt lasst uns üben.

Ermitteln Sie die Summe der ersten Terme der geometrischen Folge mit und.
Finden Sie die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit und.

Ich hoffe, Sie waren äußerst vorsichtig. Vergleichen wir unsere Antworten:

Jetzt wissen Sie alles über geometrische Progression und es ist Zeit, von der Theorie zur Praxis überzugehen. Die häufigsten geometrischen Progressionsprobleme, die in der Prüfung auftreten, sind Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses. Über diese werden wir sprechen.

Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses.

Sie haben wahrscheinlich schon von der sogenannten Zinseszinsformel gehört. Verstehen Sie, was es bedeutet? Wenn nicht, lassen Sie es uns herausfinden, denn sobald Sie den Prozess selbst verstanden haben, werden Sie sofort verstehen, was die geometrische Progression damit zu tun hat.

Wir alle gehen zur Bank und wissen, dass es für Einlagen unterschiedliche Konditionen gibt: Dazu gehören eine Laufzeit, Zusatzleistungen und Zinsen mit zwei unterschiedlichen Berechnungsarten – einfach und komplex.

MIT einfaches Interesse Alles ist mehr oder weniger klar: Die Zinsen fallen einmalig am Ende der Einlagenlaufzeit an. Das heißt, wenn wir sagen, dass wir 100 Rubel für ein Jahr einzahlen, werden diese erst am Ende des Jahres gutgeschrieben. Dementsprechend erhalten wir am Ende der Einzahlung Rubel.

Zinseszins- Dies ist eine Option, bei der es passiert Zinskapitalisierung, d.h. deren Addition zum Einzahlungsbetrag und anschließende Berechnung des Einkommens nicht aus dem ursprünglichen, sondern aus dem kumulierten Einzahlungsbetrag. Die Großschreibung erfolgt nicht ständig, sondern mit einer gewissen Häufigkeit. In der Regel sind diese Zeiträume gleich und am häufigsten verwenden Banken einen Monat, ein Quartal oder ein Jahr.

Nehmen wir an, dass wir jährlich die gleichen Rubel einzahlen, jedoch mit monatlicher Kapitalisierung der Einlage. Was machen wir?

Verstehst du hier alles? Wenn nicht, lassen Sie es uns Schritt für Schritt herausfinden.

Wir brachten Rubel zur Bank. Am Ende des Monats sollten wir auf unserem Konto einen Betrag haben, der sich aus unseren Rubel plus Zinsen zusammensetzt, das heißt:

Zustimmen?

Wir können es aus der Klammer nehmen und dann erhalten wir:

Stimmen Sie zu, diese Formel ähnelt bereits mehr dem, was wir am Anfang geschrieben haben. Jetzt müssen Sie nur noch die Prozentsätze ermitteln

In der Problemstellung werden wir über Jahresraten informiert. Wie Sie wissen, multiplizieren wir nicht mit, sondern wandeln Prozentsätze in Dezimalbrüche um, das heißt:

Rechts? Nun fragen Sie sich vielleicht: Woher kommt die Nummer? Sehr einfach!
Ich wiederhole: In der Problemstellung heißt es etwa JÄHRLICH Zinsen, die anfallen MONATLICH. Wie Sie wissen, berechnet uns die Bank in einem Jahr mit Monaten entsprechend einen Teil der Jahreszinsen pro Monat:

Haben Sie es erkannt? Versuchen Sie nun zu schreiben, wie dieser Teil der Formel aussehen würde, wenn ich sagen würde, dass die Zinsen täglich berechnet werden.
Hast du es geschafft? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Gut gemacht! Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Schreiben Sie, wie viel unserem Konto im zweiten Monat gutgeschrieben wird, und berücksichtigen Sie dabei, dass auf den angesammelten Einzahlungsbetrag Zinsen anfallen.
Folgendes habe ich bekommen:

Oder anders gesagt:

Ich denke, dass Sie in all dem bereits ein Muster und einen geometrischen Verlauf bemerkt haben. Schreiben Sie auf, wie hoch sein Mitglied sein wird, oder mit anderen Worten, wie viel Geld wir am Ende des Monats erhalten werden.
Tat? Lass uns das Prüfen!

Wie Sie sehen, erhalten Sie Rubel, wenn Sie ein Jahr lang Geld zu einem einfachen Zinssatz auf die Bank legen, und wenn Sie zu einem Zinseszinssatz Geld auf die Bank legen, erhalten Sie Rubel. Der Nutzen ist gering, aber das passiert nur im Laufe des Jahres, aber über einen längeren Zeitraum ist die Kapitalisierung viel rentabler:

Schauen wir uns eine andere Art von Problem an, bei dem es um Zinseszinsen geht. Nach dem, was Sie herausgefunden haben, wird es für Sie elementar sein. Also die Aufgabe:

Das Unternehmen Zvezda begann im Jahr 2000 mit Kapital in Dollar in die Branche zu investieren. Seit 2001 erhält sie jedes Jahr einen Gewinn in Höhe des Vorjahreskapitals. Wie viel Gewinn wird das Unternehmen Zvezda Ende 2003 erzielen, wenn die Gewinne nicht aus dem Verkehr gezogen würden?

Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2000.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2001.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2002.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2003.

Oder wir schreiben kurz:

Für unseren Fall:

2000, 2001, 2002 und 2003.

Jeweils:
Rubel
Bitte beachten Sie, dass wir in diesem Problem weder durch noch durch dividieren, da der Prozentsatz JÄHRLICH angegeben und JÄHRLICH berechnet wird. Das heißt, achten Sie beim Lesen einer Aufgabe zum Zinseszins darauf, welcher Prozentsatz angegeben ist und in welchem Zeitraum er berechnet wird, und fahren Sie erst dann mit den Berechnungen fort.
Jetzt wissen Sie alles über den geometrischen Verlauf.

Ausbildung.

Finden Sie den Term der geometrischen Progression, wenn bekannt ist, dass und
Finden Sie die Summe der ersten Terme der geometrischen Folge, wenn bekannt ist, dass und
Das Unternehmen MDM Capital begann im Jahr 2003 mit Kapital in Dollar in die Branche zu investieren. Seit 2004 erhält sie jedes Jahr einen Gewinn in Höhe des Vorjahreskapitals. Das Unternehmen MSK Cash Flows begann im Jahr 2005 mit Investitionen in Höhe von 10.000 US-Dollar in der Branche und erwirtschaftete ab 2006 einen Gewinn in Höhe von 10.000 US-Dollar. Um wie viel Dollar wäre das Kapital eines Unternehmens Ende 2007 größer als das des anderen, wenn die Gewinne nicht aus dem Verkehr gezogen würden?

Antworten:

Da die Problemstellung nicht besagt, dass die Progression unendlich ist und es erforderlich ist, die Summe einer bestimmten Anzahl ihrer Terme zu ermitteln, erfolgt die Berechnung nach der Formel:
MDM Capital Company:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- erhöht sich um 100 %, also um das Zweifache.
Jeweils:
Rubel
MSK Cash Flows Unternehmen:
2005, 2006, 2007.
- erhöht sich um, das heißt um ein Vielfaches.
Jeweils:
Rubel
Rubel

Fassen wir zusammen.

1) Geometrische Progression ( ) ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

2) Die Gleichung der Terme der geometrischen Progression lautet .

3) kann beliebige Werte außer und annehmen.

Wenn, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv;
Wenn, dann alle nachfolgenden Terme der Progression alternative Zeichen;
wenn – der Verlauf heißt unendlich abnehmend.

4) , at – Eigenschaft der geometrischen Progression (benachbarte Begriffe)

oder
, bei (äquidistante Terme)

Wenn Sie es finden, vergessen Sie das nicht Es sollte zwei Antworten geben.

Zum Beispiel,

5) Die Summe der Terme der geometrischen Progression wird nach der Formel berechnet:
oder

oder

WICHTIG! Wir verwenden die Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge nur dann, wenn die Bedingung ausdrücklich besagt, dass wir die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen ermitteln müssen.

6) Zinseszinsprobleme werden ebenfalls mit der Formel des ten Termes einer geometrischen Progression berechnet, sofern keine Mittel aus dem Verkehr gezogen wurden:

GEOMETRISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Geometrischer Verlauf( ) ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Nummer wird angerufen Nenner einer geometrischen Folge.

Nenner der geometrischen Progression kann jeden Wert außer und annehmen.

Wenn ja, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv;
wenn, dann wechseln alle nachfolgenden Mitglieder der Progression die Vorzeichen;
wenn – der Verlauf heißt unendlich abnehmend.

Gleichung der Terme der geometrischen Progression - .

Summe der Terme einer geometrischen Folge berechnet nach der Formel:
oder

Wenn die Progression unendlich abnimmt, dann gilt:

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Geometrischer Verlauf ist eine Zahlenfolge, bei der jeder Term (beginnend mit dem zweiten) aus dem vorherigen durch Multiplikation mit derselben Zahl q ≠ 0 erhalten wird. Die Zahl q heißt Nenner geometrischer Verlauf. Um eine geometrische Folge festzulegen, müssen Sie ihren ersten Term a auf 1 und ihren Nenner q setzen.

Die geometrische Progression nimmt zu, wenn q > 1, und nimmt ab, wenn 0< q < 1.

Beispiele für geometrische Verläufe:

1. 2, 4, 8, 16… . Hier ist der erste Term 1 und der Nenner 2.

81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Hier ist der erste Term 81 und der Nenner ist 1/3.

Der erste Term der Progression ist also gleich a 1, der zweite gleich a 1 q, der dritte a 1 q*q = a 1 q 2, der vierte a 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . Auf diese Weise, Der n-te Term der Progression wird nach der Formel a n = a 1 q n-1 berechnet.

Stellungnahme: Die Summe von n Termen einer geometrischen Folge wird durch die Formel berechnet

S n = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1 .

Mit multiplizieren erhalten wir:

S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n.

Subtrahieren wir nun S n q von S n .

Beispiele für Probleme zur geometrischen Progression.

1. Ermitteln Sie die Summe der ersten 10 Terme der geometrischen Folge, wenn bekannt ist, dass a 1 = 3, q = 4.

2. In einer Minute verdoppelt sich die Biomasse. Welches Gewicht wird sie in 5 Minuten haben, wenn ihr aktuelles Gewicht 3 kg beträgt?

Wir haben es mit einer geometrischen Folge zu tun, bei der a 1 = 3 und q = 2. Um das Problem zu lösen, müssen wir den sechsten Term dieser Folge finden.

NUMERISCHE SEQUENZEN VI

§ 148. Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression

Wenn wir bisher von Summen sprechen, sind wir immer davon ausgegangen, dass die Anzahl der Terme in diesen Summen endlich ist (z. B. 2, 15, 1000 usw.). Bei der Lösung einiger Probleme (insbesondere der höheren Mathematik) muss man sich jedoch mit der Summe unendlich vieler Terme befassen

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Wie hoch sind diese Beträge? A-Priorat die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen A 1 , A 2 , ..., A N , ... heißt der Grenzwert der Summe S N Erste P Zahlen wann P -> ∞ :

S=S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Grenze (2) kann natürlich existieren oder auch nicht. Dementsprechend sagen sie, dass die Summe (1) existiert oder nicht existiert.

Wie können wir herausfinden, ob die Summe (1) im Einzelfall existiert? Die allgemeine Lösung dieses Problems geht weit über den Rahmen unseres Programms hinaus. Es gibt jedoch einen wichtigen Sonderfall, den wir jetzt berücksichtigen müssen. Wir werden über die Summierung der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression sprechen.

Lassen A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... ist eine unendlich abnehmende geometrische Folge. Das bedeutet, dass | Q |< 1. Сумма первых P Die Bedingungen dieser Progression sind gleich

Aus den Grundsätzen über die Grenzen von Variablen (siehe § 136) erhalten wir:

Aber 1 = 1, a qn = 0. Daher

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist also gleich dem ersten Term dieser Folge geteilt durch eins minus dem Nenner dieser Folge.

1) Die Summe der geometrischen Progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ist gleich

und die Summe der geometrischen Progression beträgt 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... gleich

2) Wandeln Sie einen einfachen periodischen Bruch 0,454545 ... in einen gewöhnlichen um.

Um dieses Problem zu lösen, stellen Sie sich diesen Bruch als unendliche Summe vor:

Die rechte Seite dieser Gleichheit ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, deren erster Term gleich 45/100 ist und deren Nenner 1/100 ist. Deshalb

Mit der beschriebenen Methode lässt sich eine allgemeine Regel zur Umwandlung einfacher periodischer Brüche in gewöhnliche Brüche erhalten (siehe Kapitel II, § 38):

Um einen einfachen periodischen Bruch in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln, müssen Sie Folgendes tun: Geben Sie im Zähler den Punkt des Dezimalbruchs und im Nenner eine Zahl ein, die aus Neunen besteht und so oft genommen wird, wie der Punkt Ziffern enthält des Dezimalbruchs.

3) Wandeln Sie den gemischten periodischen Bruch 0,58333 .... in einen gewöhnlichen Bruch um.

Stellen wir uns diesen Bruch als unendliche Summe vor:

Auf der rechten Seite dieser Gleichheit bilden alle Terme, beginnend mit 3/1000, eine unendlich abnehmende geometrische Folge, deren erster Term gleich 3/1000 ist und deren Nenner 1/10 ist. Deshalb

Mit der beschriebenen Methode kann eine allgemeine Regel zur Umwandlung gemischter periodischer Brüche in gewöhnliche Brüche ermittelt werden (siehe Kapitel II, § 38). Wir stellen es hier bewusst nicht vor. Sie müssen sich diese umständliche Regel nicht merken. Es ist viel nützlicher zu wissen, dass jeder gemischte periodische Bruch als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge und einer bestimmten Zahl dargestellt werden kann. Und die Formel

für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression müssen Sie sich natürlich erinnern.

Als Übung empfehlen wir Ihnen, sich zusätzlich zu den unten aufgeführten Aufgaben Nr. 995-1000 noch einmal der Aufgabe Nr. 301 § 38 zuzuwenden.

Übungen

995. Wie nennt man die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression?

996. Finden Sie die Summen unendlich abnehmender geometrischer Verläufe:

997. Bei welchen Werten X Fortschreiten

nimmt es unendlich ab? Finden Sie die Summe einer solchen Progression.

998. In einem gleichseitigen Dreieck mit Seite A ein neues Dreieck entsteht durch die Verbindung der Mittelpunkte seiner Seiten; In dieses Dreieck wird auf die gleiche Weise ein neues Dreieck eingeschrieben und so weiter bis ins Unendliche.

a) die Summe der Umfänge aller dieser Dreiecke;

b) die Summe ihrer Flächen.

999. Quadrat mit Seite A ein neues Quadrat wird durch die Verbindung der Mittelpunkte seiner Seiten eingeschrieben; In dieses Quadrat wird auf die gleiche Weise ein Quadrat eingeschrieben und so weiter bis ins Unendliche. Ermitteln Sie die Summe der Umfänge aller dieser Quadrate und die Summe ihrer Flächen.

1000. Stellen Sie eine unendlich abnehmende geometrische Folge zusammen, sodass ihre Summe 25/4 und die Summe der Quadrate ihrer Terme 625/24 beträgt.