Vektordiagramme, die harmonische Schwingungen darstellen. a) A – der Maximalwert der Schwingungsgröße, Schwingungsamplitude genannt

Erzwungene Vibrationen. Resonanz.

Bisher haben wir Eigenschwingungen betrachtet, also Schwingungen, die ohne äußere Einflüsse auftreten. Ein äußerer Einfluss genügte nur, um das System aus dem Gleichgewicht zu bringen, danach wurde es sich selbst überlassen. Die Differentialgleichung der Eigenschwingungen enthält keine Spuren eines äußeren Einflusses auf das System: Dieser Einfluss spiegelt sich nur in den Anfangsbedingungen wider.

Entstehung von Schwingungen.

Doch sehr oft hat man es mit Schwankungen zu tun, die bei einem ständig vorhandenen äußeren Einfluss auftreten. Besonders wichtig und zugleich recht einfach zu untersuchen ist der Fall, dass die äußere Kraft periodisch ist. Ein gemeinsames Merkmal erzwungener Schwingungen, die unter dem Einfluss einer periodischen äußeren Kraft auftreten, besteht darin, dass das System einige Zeit nach dem Einsetzen der äußeren Kraft seinen Ausgangszustand vollständig „vergisst“, die Schwingungen stationär werden und nicht von den Anfangsbedingungen abhängen . Die Anfangsbedingungen treten nur während der Etablierung der Schwingungen auf, die üblicherweise als Übergangsprozess bezeichnet wird.

Sinusförmiger Effekt.

Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall erzwungener Schwingungen eines Oszillators unter dem Einfluss einer nach einem Sinusgesetz variierenden äußeren Kraft.

Eine solche äußere Einwirkung auf das System kann auf verschiedene Weise erfolgen. Man kann zum Beispiel ein Pendel in Form einer Kugel an einer langen Stange und einer langen Feder mit geringer Steifigkeit nehmen und es in der Nähe des Aufhängepunkts an der Pendelstange befestigen, wie in Abb. 178. Das andere Ende einer horizontal angeordneten Feder soll nach Gesetz B mit Hilfe eines von einem Elektromotor angetriebenen Kurbelmechanismus in Bewegung versetzt werden. Die von der Feder auf das Pendel wirkende Antriebskraft ist praktisch sinusförmig, wenn der Bewegungsbereich des linken Endes der Feder B viel größer ist als die Schwingungsamplitude der Pendelstange an der Stelle, an der die Feder befestigt ist.

Bewegungsgleichung.

U Die Bewegungsgleichung für dieses und andere ähnliche Systeme, in denen neben der Rückstellkraft und der Widerstandskraft eine treibende äußere Kraft auf den Oszillator einwirkt, die sich mit der Zeit sinusförmig ändert, kann in der Form Hier die linke Seite, in geschrieben werden ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz das Produkt aus Masse und Beschleunigung. Der erste Term auf der rechten Seite stellt die Rückstellkraft dar, die proportional zur Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition ist. Bei einer an einer Feder aufgehängten Last handelt es sich um eine elastische Kraft. In allen anderen Fällen, wenn ihre physikalische Natur anders ist, wird diese Kraft als quasielastisch bezeichnet. Der zweite Term ist die Reibungskraft, proportional zur Geschwindigkeit, beispielsweise die Luftwiderstandskraft oder die Reibungskraft in der Achse. Wir gehen davon aus, dass die Amplitude und Frequenz der Antriebskraft, die das System bewegt, konstant sind. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch die Masse und führen wir die Notation ein, dass die rechte Seite der Gleichung verschwindet. Wie zu erwarten ist, reduziert es sich auf die Gleichung natürlicher gedämpfter Schwingungen. Die Erfahrung zeigt, dass in allen Systemen unter dem Einfluss einer sinusförmigen äußeren Kraft schließlich Schwingungen entstehen, die ebenfalls nach einem Sinusgesetz mit der Frequenz auftreten Antriebskraft co und mit konstanter Amplitude a, jedoch mit einer gewissen Phasenverschiebung relativ zur Antriebskraft. Solche Schwingungen werden stationäre erzwungene Schwingungen genannt. Betrachten wir zunächst die stationären erzwungenen Schwingungen und vernachlässigen der Einfachheit halber die Reibung. In diesem Fall enthält die Gleichung keinen Term, der die Geschwindigkeit enthält. Versuchen wir, eine Lösung zu finden, die stationären erzwungenen Schwingungen entspricht. Berechnen wir die zweite Ableitung und setzen sie in die Gleichung ein Jederzeit gültig, müssen die Koeffizienten links und rechts gleich sein. Aus dieser Bedingung ermitteln wir die Amplitude der Schwingungen. Untersuchen wir die Abhängigkeit der Amplitude a von der Frequenz c der Antriebskraft. Der Graph dieser Abhängigkeit ist in Abb. dargestellt. 179. Wenn wir hier Werte ersetzen, sehen wir, dass eine zeitlich konstante Kraft den Oszillator einfach in eine neue Gleichgewichtsposition verschiebt, die von der alten verschoben ist. Daraus folgt, dass beim Auftreten der Verschiebung die Phasenbeziehungen zunehmen. Da die Frequenz mit der Antriebskraft des stationären Rades zunimmt. 179. Diagramm, die Abhängigkeiten treten in Phase mit der Antriebskraft auf, und ihre Amplitude nimmt zunächst langsam zu, und je schneller sie sich nähert, desto größer wird die Amplitude der Schwingungen für Werte, die die Frequenz der Eigenschwingungen überschreiten , die Formel ergibt einen negativen Wert für a ( Reis. 179). Aus der Formel geht klar hervor, dass bei Schwingungen, die gegenphasig zur Antriebskraft auftreten: Wenn die Kraft in eine Richtung wirkt, wird der Schwinger in die entgegengesetzte Richtung verschoben. Bei unbegrenzter Erhöhung der Frequenz der Antriebskraft geht die Amplitude der Schwingungen gegen Null.

Es ist zweckmäßig, die Amplitude der Schwingungen in allen Fällen als positiv zu betrachten, was leicht durch Einführung einer Phasenverschiebung zwischen der Antriebsamplitude erreicht werden kann. Hier ist a immer noch durch die Formel gegeben, und die Phasenverschiebung ist bei gleich Null. Diagramme der Antriebskraft gegenüber der Frequenz sind in Abb. dargestellt. 180.

Resonanz.

Die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft ist nicht monoton. Ein starker Anstieg der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft der Eigenfrequenz co0 des Oszillators nähert, wird als Resonanz bezeichnet. Die Formel gibt einen Ausdruck für die Amplitude erzwungener Schwingungen unter Vernachlässigung der Reibung an. Durch diese Vernachlässigung geht die Amplitude der Schwingungen bei exakter Übereinstimmung der Frequenzen ins Unendliche. In der Realität kann die Amplitude der Schwingungen natürlich nicht bis ins Unendliche gehen. Das bedeutet, dass bei der Beschreibung erzwungener Schwingungen in der Nähe der Resonanz grundsätzlich die Berücksichtigung der Reibung erforderlich ist. Unter Berücksichtigung der Reibung erweist sich die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bei Resonanz als endlich. Je größer die Reibung im System ist, desto kleiner wird sie sein. Weit entfernt von Resonanz kann die Formel verwendet werden, um die Amplitude von Schwingungen auch bei Vorhandensein von Reibung zu ermitteln, sofern diese nicht zu stark ist. Darüber hinaus hat diese Formel, die ohne Berücksichtigung der Reibung ermittelt wird, nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn tatsächlich Reibung vorliegt. Tatsache ist, dass das Konzept der stationären erzwungenen Schwingungen nur auf Systeme anwendbar ist, in denen Reibung herrscht.

Wenn es überhaupt keine Reibung gäbe, würde der Prozess der Entstehung von Schwingungen auf unbestimmte Zeit andauern. In der Realität bedeutet dies, dass der ohne Berücksichtigung der Reibung erhaltene Ausdruck für die Amplitude erzwungener Schwingungen die Schwingungen im System erst nach einer ausreichend großen Zeitspanne nach Beginn der Wirkung der Antriebskraft korrekt beschreibt. Die Worte „ein ausreichend langer Zeitraum“ bedeuten hier, dass der Übergangsprozess bereits beendet ist, dessen Dauer mit der charakteristischen Zeit des Abklingens natürlicher Schwingungen im System zusammenfällt. Bei geringer Reibung treten stationäre erzwungene Schwingungen in Phase mit der Antriebskraft bei co und in Gegenphase bei bei auf, wie ohne Reibung. In der Nähe der Resonanz ändert sich die Phase jedoch nicht abrupt, sondern kontinuierlich, und bei exakter Übereinstimmung der Frequenzen hinkt die Verschiebung der treibenden Kraft in der Phase um (eine Viertelperiode) hinterher. Die Geschwindigkeit ändert sich phasengleich mit der Antriebskraft, was die günstigsten Bedingungen für die Energieübertragung von der Quelle der externen Antriebskraft auf den Oszillator bietet.

Welche physikalische Bedeutung haben die einzelnen Begriffe in der Gleichung, die die erzwungenen Schwingungen des Oszillators beschreibt?

Was sind stationäre erzwungene Schwingungen?

Unter welchen Bedingungen können wir die Formel für die Amplitude stationärer erzwungener Schwingungen verwenden, die ohne Berücksichtigung der Reibung erhalten wird?

Was ist Resonanz? Nennen Sie Ihnen bekannte Beispiele für die Erscheinungsform und Nutzung des Resonanzphänomens.

Beschreiben Sie die Phasenverschiebung zwischen der Antriebskraft und der Mischung für verschiedene Verhältnisse zwischen der Frequenz der Antriebskraft und der Eigenfrequenz des Oszillators.

Was bestimmt die Dauer des Prozesses der Entstehung erzwungener Schwingungen? Begründe deine Antwort.

Vektordiagramme.

Sie können die Gültigkeit der obigen Aussagen überprüfen, wenn Sie eine Lösung für die Gleichung erhalten, die stationäre erzwungene Schwingungen bei Vorhandensein von Reibung beschreibt. Da stationäre Schwingungen mit der Frequenz der Antriebskraft c und einer bestimmten Phasenverschiebung auftreten, sollte die Lösung der Gleichung, die solchen Schwingungen entspricht, in der Form gesucht werden. In diesem Fall ändern sich natürlich auch Geschwindigkeit und Beschleunigung Zeit nach einem harmonischen Gesetz. Amplitude a von stationären erzwungenen Schwingungen und Verschiebungsphasen werden bequem mithilfe von Vektordiagrammen bestimmt. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass der Momentanwert jeder nach dem harmonischen Gesetz variierenden Größe als Projektion eines Vektors in eine vorgewählte Richtung dargestellt werden kann und der Vektor selbst sich gleichmäßig in der Ebene mit einer Frequenz co dreht. und seine konstante Länge ist gleich dem Amplitudenwert dieser oszillierenden Größe. Dementsprechend ordnen wir jedem Term der Gleichung einen mit der Winkelgeschwindigkeit rotierenden Vektor zu, dessen Länge gleich dem Amplitudenwert dieses Termes ist, da die Projektion der Summe mehrerer Vektoren gleich der Summe der ist Bei Projektionen dieser Vektoren bedeutet die Gleichung, dass die Summe der Vektoren, die den Termen auf der linken Seite zugeordnet sind, gleich dem Vektor ist, der der Größe auf der rechten Seite zugeordnet ist. Um diese Vektoren zu konstruieren, schreiben wir die Momentanwerte aller Terme auf der linken Seite der Gleichung aus und berücksichtigen dabei die Beziehungen. Aus den Formeln geht hervor, dass der mit der Größe verbundene Längenvektor um einen Winkel von vorne liegt der mit der Menge verbundene Vektor. Der dem Mitglied zugeordnete Längenvektor liegt um den Längenvektor voraus. diese Vektoren sind in entgegengesetzte Richtungen gerichtet.

Die relative Position dieser Vektoren für einen beliebigen Zeitpunkt ist in Abb. dargestellt. 181. Das gesamte Vektorsystem dreht sich als Ganzes mit der Winkelgeschwindigkeit c gegen den Uhrzeigersinn um einen Punkt. Momentanwerte aller Größen erhält man durch die Projektion der entsprechenden Vektoren auf eine vorgewählte Richtung. Der der rechten Seite der Gleichung zugeordnete Vektor ist gleich der Summe der in Abb. gezeigten Vektoren. 181. Dieser Zusatz ist in Abb. dargestellt. 182. Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras erhalten wir die Phasenverschiebung zwischen der Antriebskraft und der Verschiebung, wie aus dem Vektordiagramm in Abb. ersichtlich ist. 182 ist negativ, da der Längenvektor hinter dem Vektor zurückbleibt. Daher treten stationäre erzwungene Schwingungen nach dem harmonischen Gesetz auf, wo sie durch Formeln bestimmt werden.

Resonanzkurven.

Die Amplitude der erzeugten erzwungenen Schwingungen ist proportional zur Amplitude der Antriebskraft. Untersuchen wir die Abhängigkeit der Schwingungsamplitude von der Frequenz der Antriebskraft. Bei geringer Dämpfung hat diese Abhängigkeit einen sehr scharfen Charakter. Wenn die Amplitude der erzwungenen Schwingungen a mit der Frequenz der freien Schwingungen tendiert, tendiert sie gegen Unendlich, was mit dem zuvor erhaltenen Ergebnis übereinstimmt. Bei Vorhandensein einer Dämpfung geht die Amplitude der Schwingungen bei Resonanz nicht mehr ins Unendliche, obwohl sie die Amplitude von Schwingungen unter dem Einfluss einer äußeren Kraft gleicher Größe, die jedoch eine weit von der Resonanzfrequenz entfernte Frequenz aufweist, deutlich übersteigt. Resonanzkurven für verschiedene Werte der Dämpfungskonstante y sind in Abb. dargestellt. 183.

Um die Grenzresonanzfrequenz zu ermitteln, müssen Sie herausfinden, bei welcher Wurzelausdruck in der Formel ein Minimum vorliegt. Indem wir die Ableitung dieses Ausdrucks nach Null gleichsetzen oder zu einem vollständigen Quadrat ergänzen, sind wir überzeugt, dass die maximale Amplitude erzwungener Schwingungen dann auftritt, wenn die Resonanzfrequenz kleiner ist als die Frequenz der freien Schwingungen des Systems. Bei kleinem y ist die Resonanzfrequenz nahezu identisch. Da die Frequenz der Antriebskraft bei gegen Unendlich tendiert, tendiert die Amplitude a, wie man sieht, unter Einwirkung einer konstanten äußeren Kraft gegen Null. Dabei handelt es sich um eine statische Verschiebung des Oszillators aus der Gleichgewichtslage unter dem Einfluss einer konstanten Maximalkraft. Wir ermitteln die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bei Resonanz, indem wir die Frequenz von in den Ausdruck einsetzen. Je kleiner die Dämpfungskonstante, desto größer ist die Amplitude der Schwingungen bei Resonanz. Bei der Untersuchung erzwungener Schwingungen in der Nähe einer Resonanz kann die Reibung nicht vernachlässigt werden, egal wie klein sie auch sein mag: Nur unter Berücksichtigung der Dämpfung ist die Amplitude an der Resonanz endlich. Es ist interessant, den Wert mit einer statischen Verschiebung unter der Resonanz zu vergleichen Einfluss von Gewalt. Wenn wir das Verhältnis zusammensetzen, erhalten wir bei geringer Dämpfung und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das gleiche System in Abwesenheit äußerer Kräfte eine Lebensdauer eigener gedämpfter Schwingungen hat. Wir finden, dass es sich um die Anzahl der Schwingungen handelt, die ein gedämpfter Oszillator ausführt während der Lebensdauer der Schwingungen. Somit werden die Resonanzeigenschaften des Systems durch denselben Parameter charakterisiert wie seine eigenen gedämpften Schwingungen. Die Formel ermöglicht es, die Änderung der Phasenverschiebung zwischen der äußeren Kraft und der Verschiebung bei erzwungenen Schwingungen zu analysieren. Wenn der Wert von d nahe Null liegt. Dies bedeutet, dass bei niedrigen Frequenzen die Oszillatorauslenkung phasengleich mit der äußeren Kraft erfolgt. Wenn sich die Kurbel langsam dreht in Abb. 178 Das Pendel bewegt sich im Takt des rechten Endes der Pleuelstange. Wenn es von der Seite negativer Werte gegen Null geht, ist die Phasenverschiebung gleich und der Oszillator verschiebt sich gegenphasig zur Antriebskraft. Wie man daraus erkennen kann, hinkt die Verschiebung in der Resonanz der äußeren Kraft phasenmäßig hinterher. Die zweite der Formeln zeigt, dass sich in diesem Fall die äußere Kraft phasengleich mit der Geschwindigkeit ändert und ständig in Bewegungsrichtung wirkt. Dass es genau so sein sollte, geht aus intuitiven Überlegungen zur Geschwindigkeitsresonanz hervor. Aus der Formel ist ersichtlich, dass die Amplitude der Geschwindigkeitsschwankungen bei stationären erzwungenen Schwingungen gleich ist. Mit Hilfe erhalten wir die Abhängigkeit der Geschwindigkeitsamplitude von der Frequenz der äußeren Kraft, die in Abb. dargestellt ist. 184. Die Resonanzkurve für Geschwindigkeit ähnelt zwar der Resonanzkurve für Verschiebung, unterscheidet sich jedoch in einigen Punkten von ihr. Somit erfährt der Oszillator unter Einwirkung einer konstanten Kraft eine statische Verschiebung aus der Gleichgewichtslage und seine Geschwindigkeit ist nach Beendigung des Übergangsprozesses Null. Aus der Formel geht klar hervor, dass die Geschwindigkeitsamplitude bei verschwindet. Geschwindigkeitsresonanz entsteht, wenn die Frequenz der äußeren Kraft genau mit der Frequenz der freien Schwingungen übereinstimmt.

Vektordiagramm. Hinzufügung von Vibrationen.

Die Lösung einer Reihe von Problemen der Schwingungstheorie wird viel einfacher und anschaulicher, wenn die Schwingungen mit der Methode grafisch dargestellt werden Vektordiagramme. Wählen wir eine Achse X. Von diesem Punkt 0 Auf der Achse tragen wir den Längenvektor ein, der zunächst einen Winkel mit der Achse bildet (Abb. 2.14.1). Bringen wir diesen Vektor mit Winkelgeschwindigkeit in Rotation, so ergibt sich die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse X wird sich im Laufe der Zeit gesetzlich ändern

.

Folglich führt die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse zu einer harmonischen Schwingung mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors, einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors und einer gleichen Anfangsphase auf den Winkel, den der Vektor zum Anfangszeitpunkt mit der Achse bildet. Der Winkel, den der Vektor zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Achse bildet, bestimmt die Phase der Schwingung zu diesem Zeitpunkt – .

Daraus folgt, dass eine harmonische Schwingung durch einen Vektor dargestellt werden kann, dessen Länge gleich der Amplitude der Schwingung ist und dessen Richtung mit einer bestimmten Achse einen Winkel bildet, der der Phase der Schwingung entspricht. Dies ist die Essenz der Vektordiagrammmethode.

Addition gleichsinniger Schwingungen.

Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen, deren Richtungen parallel sind:

. (2.14.1)

Resultierender Offset X wird die Summe sein und . Dies wird eine Schwingung mit Amplitude sein.

Wir verwenden die Vektordiagramm-Methode (Abb. 2.14.2). In der Abbildung und - Phasen der resultierenden bzw. hinzugefügten Schwingungen. Es ist leicht zu erkennen, was durch Addition der Vektoren und gefunden werden kann. Wenn jedoch die Frequenzen der addierten Schwingungen unterschiedlich sind, ändert sich die resultierende Amplitude im Laufe der Zeit in ihrer Größe und der Vektor dreht sich mit variabler Geschwindigkeit, d. h. Die Schwingung wird nicht harmonisch sein, sondern einen komplexen Schwingungsprozess darstellen. Damit die resultierende Schwingung harmonisch ist, müssen die Frequenzen der addierten Schwingungen gleich sein

und die resultierende Schwingung erfolgt mit der gleichen Frequenz

.

Aus der Konstruktion geht das klar hervor

Analysieren wir den Ausdruck (2.14.2) für die Amplitude der resultierenden Schwingung. Wenn die Phasendifferenz der addierten Schwingungen ist Null(Schwingungen sind in Phase), die Amplitude ist gleich der Summe der Amplituden der addierten Schwingungen, d.h. hat den maximal möglichen Wert . Wenn die Phasendifferenz ist(Schwingungen sind also gegenphasig). die resultierende Amplitude ist gleich der Amplitudendifferenz, d.h. hat den minimal möglichen Wert .

Addition zueinander senkrechter Schwingungen.

Lassen Sie das Teilchen zwei harmonische Schwingungen mit derselben Frequenz ausführen: eine entlang der Richtung, die wir bezeichnen X, der andere - in der senkrechten Richtung j. In diesem Fall bewegt sich das Teilchen entlang einer im Allgemeinen krummlinigen Flugbahn, deren Form vom Unterschied in den Phasen der Schwingungen abhängt.

Wählen wir den Beginn der Zeitzählung so, dass die Anfangsphase einer Schwingung gleich Null ist:

. (2.14.3)

Um die Teilchenbahngleichung zu erhalten, ist es notwendig, aus (2.14.3) auszuschließen: T. Aus der ersten Gleichung a. Bedeutet, . Schreiben wir die zweite Gleichung neu

oder

.

Übertragen wir den ersten Term von der rechten Seite der Gleichung auf die linke, quadrieren die resultierende Gleichung und führen Transformationen durch, erhalten wir

. (2.14.4)

Diese Gleichung ist die Gleichung einer Ellipse, deren Achsen relativ zu den Achsen gedreht sind X Und j in irgendeinem Winkel. In einigen Sonderfällen werden jedoch einfachere Ergebnisse erzielt.

1. Die Phasendifferenz ist Null. Dann erhalten wir aus (2.14.4).

oder . (2.14.5)

Dies ist die Gleichung einer Geraden (Abb. 2.14.3). Somit schwingt das Teilchen entlang dieser Geraden mit einer Frequenz und Amplitude gleich .

Komplexe Amplitudenmethode

Die Position eines Punktes auf der Ebene kann durch eine komplexe Zahl eindeutig angegeben werden:

Wenn sich der Punkt ($A$) dreht, ändern sich die Koordinaten dieses Punktes gemäß dem Gesetz:

Schreiben wir $z$ in der Form:

wobei $Re(z)=x$, d. h. die physikalische Größe x ist gleich dem Realteil des komplexen Ausdrucks (4). In diesem Fall ist der Modul des komplexen Ausdrucks gleich der Schwingungsamplitude - $a$, sein Argument ist gleich der Phase ($(\omega )_0t+\delta $). Wenn man den Realteil von $z$ nimmt, wird manchmal das Vorzeichen der Operation Re weggelassen und man erhält einen symbolischen Ausdruck:

Ausdruck (5) sollte nicht wörtlich genommen werden. Oft formal vereinfacht (5):

wobei $A=ae^(i \delta)$ die komplexe Amplitude der Schwingung ist. Die komplexe Natur der Amplitude $A$ bedeutet, dass die Schwingung eine Anfangsphase hat, die nicht gleich Null ist.

Um die physikalische Bedeutung eines Ausdrucks wie (6) aufzudecken, nehmen wir an, dass die Schwingungsfrequenz ($(\omega )_0$) Real- und Imaginärteile hat und wie folgt dargestellt werden kann:

Dann kann Ausdruck (6) geschrieben werden als:

Wenn $(\omega )2>0,$, dann beschreibt Ausdruck (8) gedämpfte harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz $\omega1$ und dem Dämpfungsexponenten $(\omega )_2$. Wenn $(\omega )_2

Kommentar

Viele mathematische Operationen können auf komplexe Größen ausgeführt werden, als ob die Größen real wären. Operationen sind möglich, wenn sie selbst linear und reell sind (z. B. Addition, Multiplikation, Differentiation bezüglich einer reellen Variablen und andere, aber nicht alle). Wir müssen bedenken, dass komplexe Größen selbst keiner physikalischen Größe entsprechen.

Vektordiagramm-Methode

Lassen Sie den Punkt $A$ gleichmäßig entlang eines Kreises mit dem Radius $r$ rotieren (Abb. 1), seine Rotationsgeschwindigkeit $(\omega )_0$.

Bild 1.

Die Position des Punktes $A$ auf dem Kreis kann über den Winkel $\varphi $ angegeben werden. Dieser Winkel ist gleich:

wobei $\delta =\varphi (t=0)$ der Rotationswinkel des Radiusvektors $\overrightarrow(r)$ zum Anfangszeitpunkt ist. Wenn sich der Punkt $M$ dreht, dann bewegt sich seine Projektion auf die $Achse X$ entlang des Durchmessers des Kreises und erzeugt harmonische Schwingungen zwischen den Punkten $M$ $N$. Die Abszisse des Punktes $A$ kann wie folgt geschrieben werden:

Auf ähnliche Weise können Sie Schwankungen jeder Größenordnung darstellen.

Man muss nur das Bild einer Größe akzeptieren, die mit der Abszisse des Punktes $A$ schwingt, der sich gleichmäßig um den Kreis dreht. Sie können natürlich auch die Ordinate verwenden:

Anmerkung 1

Um gedämpfte Schwingungen darzustellen, muss man nicht einen Kreis, sondern eine logarithmische Spirale nehmen, die sich dem Fokus nähert. Wenn die Annäherungsgeschwindigkeit eines spiralförmig bewegten Punktes konstant ist und sich der Punkt auf den Fokus zubewegt, dann liefert die Projektion dieses Punktes auf die X-Achse Formeln für gedämpfte Schwingungen.

Anmerkung 2

Anstelle eines Punktes können Sie einen Radiusvektor verwenden, der sich gleichmäßig um den Ursprung dreht. Dann wird die Größe, die harmonische Schwingungen ausführt, als Projektion dieses Vektors auf die X-Achse dargestellt. In diesem Fall werden mathematische Operationen an der Größe $x$ durch Operationen an einem Vektor ersetzt.

Also die Operation der Summierung zweier Größen:

es ist bequemer, durch Summieren zweier Vektoren zu ersetzen (unter Verwendung der Parallelogrammregel). Vektoren sollten so gewählt werden, dass ihre Projektionen auf die ausgewählte $Achse X$ die Ausdrücke $x_1\ und\ x_2$ sind. Dann ist das Ergebnis der Summierung der Vektoren in der Projektion auf die x-Achse gleich $x_1+\ x_2$.

Beispiel 1

Lassen Sie uns die Verwendung der Vektordiagrammmethode demonstrieren.

Stellen wir also komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Ebene dar. Eine Größe, die sich gemäß einem harmonischen Gesetz ändert, wird durch einen Vektor dargestellt, der sich mit einer Frequenz von $(\omega)0$ um seinen Ursprung gegen den Uhrzeigersinn dreht. Die Länge des Vektors ist gleich der Amplitude der Schwingungen.

Grafische Methode zum Lösen beispielsweise der Gleichung:

wobei $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ die Impedanz ist, dargestellt anhand von Abb. 2. Diese Abbildung zeigt ein Vektordiagramm der Spannungen in einem Wechselstromkreis.

Figur 2.

Bedenken wir, dass das Multiplizieren eines komplexen Werts mit einer komplexen Einheit bedeutet, ihn um einen Winkel von $90^0$ gegen den Uhrzeigersinn zu drehen und mit ($-i$) um denselben Winkel im Uhrzeigersinn zu multiplizieren. Aus Abb. 2 folgt Folgendes:

wobei $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Die Änderung des Winkels $\varphi $ hängt von der Beziehung zwischen den Impedanzen der Schaltungselemente und ab die Frequenzen. Die Phase der externen Spannung kann sich ändern, von einer Übereinstimmung mit der Spannung an der Induktivität bis hin zu einer Übereinstimmung mit der Spannung am Kondensator. Dies wird üblicherweise in Form einer Beziehung zwischen den Phasen der Spannungen an den Schaltungselementen und der Phase der externen Spannung ausgedrückt:

Die Phase der Spannung an der Induktivität $((U)L=i\omega LI)$ eilt der Phase der externen Spannung immer um einen Winkel von $0$ bis $\pi .$ voraus

Die Spannungsphase an der Kapazität $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) hinkt der externen Spannungsphase immer um einen Winkel zwischen $0$ und --$\ \pi .$ hinterher

In diesem Fall kann die Phase am Widerstand der Phase der externen Spannung um den Winkel zwischen $\frac(\pi )(2)$ und $\frac(\pi )(2)$ entweder voreilen oder nacheilen.

Das Vektordiagramm (Abb. 2) ermöglicht es uns, Folgendes zu formulieren:

Die Spannungsphase an der Induktivität eilt der Stromphase um $\frac(\pi )(2)$ voraus.

Die Spannungsphase an der Kapazität ist gegenüber der Stromphase um $\frac(\eth )(2)\ $ verzögert.

Die Phase der Spannung am Widerstand stimmt mit der Phase des Stroms überein.

Beispiel 2

Übung: Zeigen Sie, dass die Quadrierung nicht auf komplexe Größen als reelle Zahlen angewendet werden kann.

Lösung:

Nehmen wir an, wir müssen eine reelle Zahl $x$ quadrieren. Richtige Antwort: $x^2$. Formal wenden wir die komplexe Methode an. Machen wir einen Ersatz:

$x\zu x+iy$. Quadrieren wir den resultierenden Ausdruck und erhalten:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Der Realteil des Ausdrucks (2.1) ist gleich:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Der Grund für den Fehler liegt darin, dass die Quadrierungsoperation nicht linear ist.

Derselbe Körper kann gleichzeitig an zwei oder mehr Bewegungen teilnehmen. Ein einfaches Beispiel ist die Bewegung eines schräg zur Horizontalen geworfenen Balls. Wir können davon ausgehen, dass der Ball an zwei unabhängigen, zueinander senkrechten Bewegungen teilnimmt: gleichmäßig horizontal und gleichmäßig variabel vertikal. Derselbe Körper (materieller Punkt) kann an zwei (oder mehr) oszillierenden Bewegungen teilnehmen.

Unter Addition von Schwingungen die Definition des Gesetzes der resultierenden Schwingung verstehen, wenn das Schwingungssystem gleichzeitig an mehreren Schwingungsprozessen teilnimmt. Es gibt zwei Grenzfälle: die Addition von Schwingungen in einer Richtung und die Addition von zueinander senkrechten Schwingungen.

2.1. Addition harmonischer Schwingungen einer Richtung

1. Addition zweier gleichsinniger Schwingungen(gleichgerichtete Schwingungen)

kann mit der Vektordiagrammmethode (Abbildung 9) durchgeführt werden, anstatt zwei Gleichungen hinzuzufügen.

Abbildung 2.1 zeigt die Amplitudenvektoren A 1(t) und A 2 (t) addierte Schwingungen zu einem beliebigen Zeitpunkt t, wenn die Phasen dieser Schwingungen jeweils gleich sind Und . Die Addition von Schwingungen kommt auf die Definition an . Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass in einem Vektordiagramm die Summe der Projektionen der hinzugefügten Vektoren gleich der Projektion der Vektorsumme dieser Vektoren ist.

Die resultierende Schwingung entspricht im Zeigerdiagramm dem Amplitudenvektor und der Phase.

Abbildung 2.1 – Addition gleichgerichteter Schwingungen.

Vektorgröße A(t) kann mit dem Kosinussatz ermittelt werden:

Die Phase der resultierenden Schwingung ergibt sich aus der Formel:

.

Wenn die Frequenzen der addierten Schwingungen ω 1 und ω 2 nicht gleich sind, gilt sowohl die Phase φ(t) als auch die Amplitude A(t) Die daraus resultierenden Schwankungen werden sich im Laufe der Zeit ändern. Addierte Schwingungen werden aufgerufen inkohärent in diesem Fall.

2. Zwei harmonische Schwingungen x 1 und x 2 werden aufgerufen kohärent, wenn ihre Phasendifferenz nicht von der Zeit abhängt:

Denn um die Kohärenzbedingung dieser beiden Schwingungen zu erfüllen, müssen ihre zyklischen Frequenzen gleich sein.

Die Amplitude der resultierenden Schwingung, die durch Addition gleichgerichteter Schwingungen mit gleichen Frequenzen (kohärente Schwingungen) erhalten wird, ist gleich:

Die Anfangsphase der resultierenden Schwingung lässt sich leicht ermitteln, wenn man die Vektoren projiziert A 1 und A 2 auf den Koordinatenachsen OX und OU (siehe Abbildung 9):

.

Also, Die resultierende Schwingung, die durch Addition zweier harmonischer gleichgerichteter Schwingungen mit gleichen Frequenzen entsteht, ist ebenfalls eine harmonische Schwingung.

3. Untersuchen wir die Abhängigkeit der Amplitude der resultierenden Schwingung vom Unterschied in den Anfangsphasen der hinzugefügten Schwingungen.

Wenn , wobei n eine beliebige nicht negative ganze Zahl ist

(n = 0, 1, 2…), dann Minimum. Die hinzugefügten Schwingungen im Moment der Zugabe waren in Gegenphase. Wenn die resultierende Amplitude Null ist.

Wenn , Das , d.h. die resultierende Amplitude wird sein maximal. Im Moment der Zugabe waren die hinzugefügten Schwingungen in einer Phase, d.h. waren in Phase. Wenn die Amplituden der addierten Schwingungen gleich sind , Das .

4. Addition gleichgerichteter Schwingungen mit ungleichen, aber ähnlichen Frequenzen.

Die Frequenzen der addierten Schwingungen sind nicht gleich, sondern der Frequenzunterschied viel kleiner als sowohl ω 1 als auch ω 2. Die Bedingung für die Nähe der addierten Frequenzen wird durch die Beziehungen geschrieben.

Ein Beispiel für die Addition gleichgerichteter Schwingungen mit nahe beieinander liegenden Frequenzen ist die Bewegung eines horizontalen Federpendels, dessen Federsteifigkeit geringfügig unterschiedlich ist k 1 und k 2.

Die Amplituden der hinzugefügten Schwingungen seien gleich , und die Anfangsphasen sind gleich Null. Dann haben die Gleichungen der addierten Schwingungen die Form:

, .

Die resultierende Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben:

Die resultierende Schwingungsgleichung hängt vom Produkt zweier harmonischer Funktionen ab: einer mit der Frequenz , das andere – mit Frequenz , wobei ω nahe an den Frequenzen der addierten Schwingungen liegt (ω 1 oder ω 2). Die resultierende Schwingung kann als betrachtet werden harmonische Schwingung, deren Amplitude sich nach einem harmonischen Gesetz ändert. Dieser oszillierende Vorgang wird aufgerufen schlägt. Streng genommen handelt es sich bei der resultierenden Schwingung im allgemeinen Fall nicht um eine harmonische Schwingung.

Der Absolutwert des Kosinus wird genommen, da die Amplitude eine positive Größe ist. Die Art der Abhängigkeit x res. während des Schlagens ist in Abbildung 2.2 dargestellt.

Abbildung 2.2 – Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit während des Schlagens.

Die Amplitude der Schläge ändert sich langsam mit der Frequenz. Der Absolutwert des Kosinus wiederholt sich, wenn sich sein Argument um π ändert, was bedeutet, dass der Wert der resultierenden Amplitude nach einem Zeitintervall τ b, genannt, wiederholt wird Schlagperiode(Siehe Abbildung 12). Der Wert der Schwebungsperiode lässt sich aus folgender Beziehung ermitteln:

Der Wert ist die Schlagperiode.

Größe ist die Periode der resultierenden Schwingung (Abbildung 2.4).

2.2. Addition zueinander senkrechter Schwingungen

1. Ein Modell, an dem die Addition zueinander senkrechter Schwingungen demonstriert werden kann, ist in Abbildung 2.3 dargestellt. Ein Pendel (ein materieller Punkt der Masse m) kann unter der Wirkung zweier senkrecht zueinander gerichteter elastischer Kräfte entlang der OX- und OU-Achse schwingen.

Abbildung 2.3

Die gefalteten Schwingungen haben die Form:

Die Schwingungsfrequenzen sind definiert als , , wobei , die Federsteifigkeitskoeffizienten sind.

2. Betrachten Sie den Fall der Addition von zwei zueinander senkrechte Schwingungen mit gleichen Frequenzen , was der Bedingung (identische Federn) entspricht. Dann nehmen die Gleichungen der addierten Schwingungen die Form an:

Wenn ein Punkt gleichzeitig an zwei Bewegungen beteiligt ist, kann seine Flugbahn unterschiedlich und recht komplex sein. Die Gleichung für die Trajektorie der resultierenden Schwingungen auf der OXY-Ebene bei Addition zweier zueinander senkrechter Schwingungen mit gleichen Frequenzen lässt sich ermitteln, indem man die Zeit t aus den ursprünglichen Gleichungen für x und y ausschließt:

Die Art der Flugbahn wird durch den Unterschied in den Anfangsphasen der hinzugefügten Schwingungen bestimmt, die von den Anfangsbedingungen abhängen (siehe § 1.1.2). Betrachten wir die möglichen Optionen.

und wenn , wobei n = 0, 1, 2…, d.h. die addierten Schwingungen in Phase sind, dann nimmt die Trajektoriengleichung die Form an:

(Abbildung 2.3 a).

b) Wenn (n = 0, 1, 2...), d.h. die addierten Schwingungen sind gegenphasig, dann lautet die Trajektoriengleichung wie folgt:

(Abbildung 2.3b).

In beiden Fällen (a, b) ist die resultierende Bewegung des Punktes eine Schwingung entlang einer geraden Linie, die durch den Punkt O verläuft. Die Frequenz der resultierenden Schwingung ist gleich der Frequenz der addierten Schwingungen ω 0, die Amplitude wird bestimmt durch die Relation.

Es kann vorkommen, dass der Oszillator an zwei gleichgerichteten Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden, Frequenzen und Anfangsphasen teilnimmt. Betrachten wir die Addition solcher Schwingungen.

Addition von Schwingungen mit gleichen Frequenzen

Betrachten wir der Einfachheit halber zunächst den Fall, dass die Frequenzen der addierten Schwingungen gleich sind. Allgemeine Lösungen addierter harmonischer Schwingungen haben die Form:

Wo x 1 , x 2- Variablen, die Schwankungen beschreiben, A 1 , A 2 sind ihre Amplituden und , sind die Anfangsphasen. Resultierender Schwung

leicht zu finden Vektordiagramm. Diese Methode nutzt die Analogie zwischen Rotation und Oszillationsprozess.

Nehmen wir die allgemeine Lösung (1.23) für harmonische Schwingungen. Wählen wir eine Achse aus 0x. Von diesem Punkt 0 Lassen Sie uns einen Längenvektor zeichnen A mit der Achse bilden 0x Ecke . Bringen wir diesen Vektor mit Winkelgeschwindigkeit in Rotation, dann bewegt sich die Projektion des Endes dieses Vektors entlang der Achse 0x aus +A Vor -A, und die Größe der Projektion ändert sich entsprechend dem Gesetz

Somit ist die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse 0x führt harmonische Schwingungen mit einer Amplitude aus, die der Länge des Vektors entspricht, mit einer Kreisfrequenz, die der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors entspricht, und mit einer Anfangsphase, die dem Winkel entspricht, den der Vektor im Anfangsmoment mit der Achse bildet der Zeit (Abb. 1.12).

Reis. 1.12. Vektordiagramm für die allgemeine Lösung (1.23)

Wenden wir diese Technik nun auf die Addition von Schwingungen (1.34) an. Stellen wir beide Schwingungen durch Vektoren dar A 1 Und A 2 Nehmen wir ihre Vektorsumme (Abb. 1.13)

Reis. 1.13. Vektordiagramm zur Addition gleich gerichteter Schwingungen gleicher Frequenz

Vektorprojektion A 1 pro Achse 0x gleich der Summe der Projektionen der entsprechenden Vektoren

Also der Vektor A stellt die resultierende Schwingung dar. Dieser Vektor dreht sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, sodass die resultierende Bewegung eine harmonische Schwingung mit der Frequenz ist , Amplitude A und Anfangsphase A. Nach dem Kosinussatz:

Insbesondere wenn die Phasen der addierten Schwingungen gleich sind oder sich um ein Vielfaches unterscheiden (d. h. ), dann ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich der Summe der Amplituden

Wenn die addierten Schwingungen gegenphasig sind (d. h. ), Das

Schläge

In diesem Abschnitt betrachten wir den Fall der Addition gleichgerichteter harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen. In der Praxis ist der Fall von besonderem Interesse, wenn sich die addierten Schwingungen in der Frequenz kaum unterscheiden. Wie wir sehen werden, erhält man durch die Addition dieser Schwingungen Schwingungen mit periodisch wechselnder Amplitude, genannt schlägt.

Der Einfachheit halber betrachten wir den Fall, dass die Amplituden der addierten Schwingungen gleich sind A und die Anfangsphasen beider Schwingungen sind Null. Die Frequenzen der addierten Schwingungen sind jeweils gleich und . Also,

Wir addieren diese Ausdrücke und berücksichtigen die bekannte Trigonometrieformel:

Wenn wir dann im Argument des zweiten Kosinus die Frequenzverschiebung vernachlässigen können:

Außerdem ändert sich der Multiplikator in Klammern langsam im Vergleich zu . Daher die resultierende Schwingung X kann gesehen werden als moduliert harmonische Schwingung mit Frequenz w, deren effektive Amplitude sich mit der Zeit nach dem Gesetz (1.40) ändert (Abb. 1.14):

Wir betonen, dass eine solche Schwingung im strengen Sinne nicht harmonisch ist, und erinnern uns noch einmal daran, dass eine Schwingung laut Definition dann harmonisch ist, wenn sie gesetzeskonform abläuft , und alle drei seiner Parameter sind zeitlich streng konstant.

Reis. 1.14. Schläge beim Hinzufügen von Schwingungen mit nahe beieinander liegenden Frequenzen

Amplitude der Pulsationsfrequenz (sogenannte Schwebungsfrequenz) ist gleich der Differenz der Frequenzen der addierten Schwingungen. Die Schlagperiode ist