Kut između dviju ravnih linija u ravnini. Kut između dviju ravnih linija
Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dviju linija koje se presijecaju. U prvom odlomku objasnit ćemo o čemu se radi i prikazati to ilustracijama. Zatim ćemo pogledati načine na koje možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dati ćemo potrebne formule i točno pokazati s primjerima kako se koriste u praksi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Da bismo razumjeli što je kut koji nastaje kada se dva pravca sijeku, moramo se sjetiti same definicije kuta, okomice i sjecišne točke.
Definicija 1
Dva pravca nazivamo sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku. Ta se točka naziva sjecištem dviju linija.
Svaka ravna linija je sjecišnom točkom podijeljena na zrake. Obje ravne crte tvore 4 kuta od kojih su dva okomita, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti preostale.
Recimo da znamo da je jedan od kutova jednak α. U tom slučaju, kut koji je okomit u odnosu na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale kutove, moramo izračunati razliku 180 ° - α. Ako je α jednako 90 stupnjeva, tada će svi kutovi biti pravi kutovi. Pravci koji se sijeku pod pravim kutom nazivaju se okomitima (konceptu okomitosti posvećen je poseban članak).
Pogledajte sliku:
Prijeđimo na formuliranje glavne definicije.
Definicija 2
Kut koji čine dvije crte koje se sijeku je mjera manjeg od 4 kuta koji tvore te dvije crte.
Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina kuta u ovom slučaju bit će izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90]. Ako su linije okomite, tada će kut između njih u svakom slučaju biti jednako 90 stupnjeva.
Sposobnost pronalaženja mjere kuta između dviju linija koje se sijeku korisna je za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.
Za početak možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o komplementarnim kutovima, onda ih možemo povezati s kutom koji nam treba koristeći svojstva jednakih ili sličnih likova. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati kut između pravaca na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem prikladan za naše rješenje. Ako u našem stanju imamo pravokutni trokut, tada ćemo za izračune također trebati znati sinus, kosinus i tangens kuta.
Metoda koordinata također je vrlo zgodna za rješavanje problema ove vrste. Objasnimo kako ga pravilno koristiti.
Imamo pravokutni (kartezijev) koordinatni sustav O x y, u kojem su zadane dvije ravne linije. Označimo ih slovima a i b. Ravne linije se mogu opisati pomoću nekih jednadžbi. Izvorne linije imaju sjecište M. Kako odrediti traženi kut (označimo ga α) između tih pravaca?
Počnimo s formuliranjem osnovnog načela pronalaženja kuta pod zadanim uvjetima.
Znamo da je koncept ravne linije usko povezan s konceptima kao što su vektor smjera i normalni vektor. Ako imamo jednadžbu određenog pravca, iz nje možemo uzeti koordinate tih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se sijeku odjednom.
Kut između dviju linija koje se sijeku može se pronaći pomoću:
- kut između vektora smjera;
- kut između normalnih vektora;
- kut između vektora normale jednog pravca i vektora smjera drugog.
Sada pogledajmo svaku metodu zasebno.
1. Pretpostavimo da imamo pravac a s vektorom smjera a → = (a x, a y) i pravac b s vektorom smjera b → (b x, b y). Sada nacrtajmo dva vektora a → i b → iz točke presjeka. Nakon toga ćemo vidjeti da će se svaki nalaziti na svojoj ravnoj liniji. Zatim imamo četiri opcije za njihov relativni raspored. Pogledajte ilustraciju:
Ako kut između dva vektora nije tup, tada će to biti kut koji nam treba između pravaca a i b koji se sijeku. Ako je tup, tada će željeni kut biti jednak kutu susjednom kutu a →, b → ^. Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .
Na temelju činjenice da su kosinusi jednakih kutova jednaki, možemo prepisati dobivene jednakosti na sljedeći način: cos α = cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ > 90 °.
U drugom slučaju korištene su redukcijske formule. Tako,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Napišimo posljednju formulu riječima:
Definicija 3
Kosinus kuta koji čine dvije ravne crte koje se sijeku bit će jednak modulu kosinusa kuta između njegovih vektora smjera.
Opći oblik formule za kosinus kuta između dva vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) izgleda ovako:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus kuta između dviju zadanih ravnih linija:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tada se sam kut može pronaći pomoću sljedeće formule:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera zadanih pravaca.
Navedimo primjer rješenja problema.
Primjer 1
U pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini zadane su dvije crte a i b koje se sijeku. Mogu se opisati parametarskim jednadžbama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte kut između ovih pravaca.
Riješenje
Imamo parametarsku jednadžbu u našem uvjetu, što znači da za ovaj pravac možemo odmah napisati koordinate njegovog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata za parametar, tj. pravac x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4, 1).
Drugi je redak opisan pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3. Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ovaj pravac ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .
Zatim prelazimo izravno na pronalaženje kuta. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite postojeće koordinate dvaju vektora u gornju formulu α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobivamo sljedeće:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Odgovor: Ove ravne linije tvore kut od 45 stupnjeva.
Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem kuta između normalnih vektora. Ako imamo pravac a s normalnim vektorom n a → = (n a x , n a y) i pravac b s normalnim vektorom n b → = (n b x , n b y), tada će kut između njih biti jednak kutu između n a → i n b → ili kut koji će biti susjedan n a →, n b → ^. Ova metoda je prikazana na slici:
Formule za izračunavanje kosinusa kuta između linija koje se sijeku i samog ovog kuta pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:
cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a a a a 2 n b x 2 + n b y 2 + n b y 2
Ovdje n a → i n b → označavaju normalne vektore dvaju zadanih pravaca.
Primjer 2
U pravokutnom koordinatnom sustavu dvije ravne crte dane su pomoću jednadžbi 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Nađite sinus i kosinus kuta između njih i veličinu samog kuta.
Riješenje
Izvorne linije specificirane su pomoću jednadžbi normalnih linija oblika A x + B y + C = 0. Vektor normale označavamo kao n → = (A, B). Nađimo koordinate prvog vektora normale za jedan pravac i zapišimo ih: n a → = (3, 5) . Za drugi pravac x + 4 y - 17 = 0 normalni vektor će imati koordinate n b → = (1, 4). Dodajmo sada dobivene vrijednosti formuli i izračunajmo ukupni iznos:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ako znamo kosinus kuta, tada možemo izračunati njegov sinus pomoću osnovne trigonometrijske identičnosti. Kako kut α koji čine ravne linije nije tup, tada je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
U ovom slučaju je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje kuta između ravnih linija ako znamo koordinate vektora smjera jedne prave i normale druge.
Pretpostavimo da pravac a ima vektor smjera a → = (a x , a y) , a pravac b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo ove vektore ostaviti po strani od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihove relativne položaje. Pogledajte na slici:
Ako kut između zadanih vektora nije veći od 90 stupnjeva, ispada da će on komplementirati kut između a i b na pravi kut.
a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ako je manji od 90 stupnjeva, tada dobivamo sljedeće:
a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α
Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih kutova, pišemo:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .
Tako,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulirajmo zaključak.
Definicija 4
Da biste pronašli sinus kuta između dviju linija koje se sijeku u ravnini, trebate izračunati modul kosinusa kuta između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.
Zapišimo potrebne formule. Određivanje sinusa kuta:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Pronalaženje samog kuta:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → vektor normale druge.
Primjer 3
Dvije crte koje se sijeku dane su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite kut presjeka.
Riješenje
Koordinate vektora vodilice i normale uzimamo iz zadanih jednadžbi. Ispada da je a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Uzimamo formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i izračunavamo:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Imajte na umu da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.
Odgovor:α = a r c sin 7 2 34
Predstavimo još jedan način za pronalaženje željenog kuta pomoću kutnih koeficijenata zadanih ravnih linija.
Imamo pravac a, koji je definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu pomoću jednadžbe y = k 1 x + b 1, i pravac b, definiran kao y = k 2 x + b 2. Ovo su jednadžbe pravaca s nagibima. Za pronalaženje kuta presjeka koristimo formulu:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdje su k 1 i k 2 nagibi zadanih pravaca. Za dobivanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje kuta kroz koordinate normalnih vektora.
Primjer 4
Postoje dvije linije koje se sijeku u ravnini, dane jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Izračunajte vrijednost kuta presjeka.
Riješenje
Kutni koeficijenti naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Odgovor:α = a r c cos 23 2 34
U zaključcima ovog odlomka treba napomenuti da se ovdje navedene formule za pronalaženje kuta ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili normalnih vektora zadanih pravaca i moći ih odrediti pomoću različitih vrsta jednadžbi. Ali bolje je zapamtiti ili zapisati formule za izračunavanje kosinusa kuta.
Kako izračunati kut između linija koje se sijeku u prostoru
Izračun takvog kuta može se svesti na izračunavanje koordinata vektora smjera i određivanje veličine kuta koji tvore ti vektori. Za takve primjere koristi se isto razmišljanje koje smo dali prije.
Pretpostavimo da imamo pravokutni koordinatni sustav smješten u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b s sjecištem M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednadžbe tih pravaca. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kuta između njih koristimo formulu:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Da bismo pronašli sam kut, potrebna nam je ova formula:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Primjer 5
Imamo liniju definiranu u trodimenzionalnom prostoru pomoću jednadžbe x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Poznato je da se siječe s osi O z. Izračunaj presječni kut i kosinus tog kuta.
Riješenje
Označimo kut koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora smjera za prvi pravac – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikacionu os, možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati željenoj formuli:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Kao rezultat toga, otkrili smo da će kut koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.
Odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Definicija. Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će šiljasti kut između ovih linija biti definiran kao
Dva pravca su paralelna ako je k 1 = k 2. Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/ k 2.
Teorema. Pravci Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je također C 1 = λC, tada se pravci podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku
Okomito na zadanu liniju
Definicija. Ravnica koja prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomita na ravnu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:
Udaljenost od točke do linije
Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do pravca Ax + Bu + C = 0 određuje kao
.
Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnicu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:
(1)
Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:
Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada rješavanjem dobivamo:
Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:
Teorem je dokazan.
Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.
Riješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, linije su okomite.
Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.
Riješenje. Nalazimo jednadžbu stranice AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: 
odakle je b = 17. Ukupno: . 
Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dviju ravnih linija. Uvjet paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija. Određivanje točke presjeka dviju linija
1. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku A(x 1 , g 1) u zadanom smjeru, određenom nagibom k,
g - g 1 = k(x - x 1). (1)
Ova jednadžba definira niz linija koje prolaze kroz točku A(x 1 , g 1), koji se naziva centar grede.
2. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke: A(x 1 , g 1) i B(x 2 , g 2), napisano ovako:
Kutni koeficijent pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke određuje se formulom
3. Kut između ravnih linija A I B je kut za koji se mora zakrenuti prva pravac A oko točke sjecišta ovih linija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi s drugom linijom B. Ako su dvije ravne crte zadane jednadžbama s nagibom
g = k 1 x + B 1 ,
g = k 2 x + B 2 , (4)
tada je kut između njih određen formulom
Treba primijetiti da se u brojniku razlomka nagib prve crte oduzima od nagiba druge crte.
Ako su jednadžbe pravca dane u općem obliku
A 1 x + B 1 g + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 g + C 2 = 0, (6)
kut između njih određuje se formulom
4. Uvjeti za paralelnost dviju linija:
a) Ako su pravci zadani jednadžbama (4) s kutnim koeficijentom, tada je nužan i dovoljan uvjet njihove paralelnosti jednakost njihovih kutnih koeficijenata:
k 1 = k 2 . (8)
b) Za slučaj kada su pravci zadani jednadžbama u općem obliku (6), nužan i dovoljan uvjet za njihovu paralelnost je da su koeficijenti za odgovarajuće trenutne koordinate u njihovim jednadžbama proporcionalni, tj.
5. Uvjeti za okomitost dviju ravnih linija:
a) U slučaju kada su pravci zadani jednadžbama (4) s kutnim koeficijentom, nužan i dovoljan uvjet za njihovu okomitost je da su im kutni koeficijenti inverzne veličine i suprotnog predznaka, tj.
Ovaj uvjet se također može napisati u obrascu
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ako su jednadžbe pravaca zadane u općem obliku (6), tada je uvjet njihove okomitosti (potreban i dovoljan) da se zadovolji jednakost
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Rješavanjem sustava jednadžbi (6) nalaze se koordinate sjecišta dviju pravaca. Pravci (6) se sijeku ako i samo ako
1. Napišite jednadžbe pravaca koji prolaze točkom M, od kojih je jedan usporedan, a drugi okomit na zadani pravac l.
A. Neka su zadane dvije ravne crte. Te ravne crte, kao što je naznačeno u poglavlju 1, tvore različite pozitivne i negativne kutove, koji mogu biti šiljasti ili tupi. Poznavajući jedan od ovih kutova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.
Usput, za sve ove kutove brojčana vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku
Jednadžbe pravaca. Brojevi su projekcije vektora smjera prvog i drugog pravca.Kut između tih vektora jednak je jednom od kutova koje čine pravci. Stoga se problem svodi na određivanje kuta između vektora Dobivamo
Radi jednostavnosti, možemo se složiti da je kut između dviju ravnih linija oštar pozitivan kut (kao npr. na sl. 53).
Tada će tangens ovog kuta uvijek biti pozitivan. Dakle, ako postoji znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. sačuvati samo apsolutnu vrijednost.
Primjer. Odredite kut između ravnih linija
Prema formuli (1) imamo
S. Ako je naznačeno koja je od stranica kuta njegov početak, a koja kraj, tada, računajući uvijek smjer kuta suprotno od kazaljke na satu, možemo iz formule (1) izvući nešto više. Kao što je lako vidjeti sa Sl. 53, znak dobiven na desnoj strani formule (1) pokazat će kakav kut - oštar ili tup - druga ravna crta tvori s prvom.
(Doista, iz slike 53 vidimo da je kut između prvog i drugog vektora smjera ili jednak željenom kutu između ravnih linija ili se od njega razlikuje za ±180°.)
d. Ako su pravci paralelni onda su i njihovi vektori smjera paralelni.Primjenom uvjeta paralelnosti dvaju vektora dobivamo!
To je nužan i dovoljan uvjet za paralelnost dvaju pravaca.
Primjer. Direktno
su paralelni jer
e. Ako su pravci okomiti onda su i njihovi vektori smjera okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dvaju vektora dobivamo uvjet okomitosti dviju ravnih linija, tj.
Primjer. Direktno
su okomiti zbog činjenice da
U vezi s uvjetima paralelnosti i okomitosti, riješit ćemo sljedeća dva problema.
f. Kroz točku nacrtaj pravac paralelan sa zadanim pravcem
Rješenje se izvodi ovako. Kako je traženi pravac paralelan s ovim, tada za njegov vektor smjera možemo uzeti isti onaj kao i zadani pravac, tj. vektor s projekcijama A i B. I tada će jednadžba traženog pravca biti zapisana u obrazac (§ 1)
Primjer. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (1; 3) paralelno s pravcem
bit će sljedeće!
g. Nacrtaj pravac kroz točku okomito na zadani pravac
Ovdje više nije prikladno uzeti vektor s projekcijama A i kao vodeći vektor, već je potrebno uzeti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora stoga moraju biti odabrane prema uvjetu okomitosti oba vektora, tj. prema uvjetu
Ovaj uvjet se može ispuniti na bezbroj načina, budući da je ovdje jedna jednadžba s dvije nepoznanice, ali najlakše je uzeti ili Tada će jednadžba željenog pravca biti zapisana u obliku
Primjer. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (-7; 2) u okomitom pravcu
bit će sljedeće (prema drugoj formuli)!
h. U slučaju kada su pravci zadani jednadžbama oblika
Kut između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.
Neka su u prostoru zadane dvije linije:
Očito, kut φ između ravnih pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda pomoću formule za kosinus kuta između vektora dobivamo
Uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija ekvivalentni su uvjetima paralelnosti i okomitosti njihovih vektora smjera i:
Dva ravno paralelno ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralelno l 2 ako i samo ako je paralelan 
.
Dva ravno okomito ako i samo ako je zbroj umnožaka odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .
U cilj između pravca i ravnine
Neka bude ravno d- nije okomito na ravninu θ;
d′− projekcija pravca d na θ ravninu;
Najmanji kut između ravnih linija d I d'nazvat ćemo kut između pravca i ravnine.
Označimo to kao φ=( d,θ)
Ako d⊥θ, tada ( d,θ)=π/2
oi→j→k→− pravokutni koordinatni sustav.
Jednadžba ravnine:
θ: Sjekira+Po+Cz+D=0
Pretpostavljamo da je pravac definiran točkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati kut između vektora n→ i str→, označimo to kao γ=( n→,str→).
Ako je kut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ako je kut γ>π/2, tada je željeni kut φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Zatim, kut između pravca i ravnine može se izračunati pomoću formule:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23
Pitanje29. Pojam kvadratne forme. Predznak određenosti kvadratnih oblika.
Kvadratni oblik j (x 1, x 2, …, x n) n realnih varijabli x 1, x 2, …, x n naziva se suma oblika 
, (1)
Gdje a ij – neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da a ij = a ji.
Kvadratni oblik se zove vrijedi, Ako a ij
Î GR. Matrica kvadratnog oblika naziva se matrica sastavljena od svojih koeficijenata. Kvadratni oblik (1) odgovara jedinoj simetričnoj matrici 
To je A T = A. Prema tome, kvadratni oblik (1) može se napisati u matričnom obliku j ( x) = x T Ah, Gdje x T = (x 1 x 2 … x n). (2)
I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do zapisa varijabli.
Rang kvadratnog oblika naziva se rang njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegeneriran, ako je njegova matrica nesingularna A. (podsjetimo se da je matrica A naziva se nedegeneriranim ako mu determinanta nije jednaka nuli). U suprotnom, kvadratna forma je degenerirana.
pozitivno određen(ili strogo pozitivno) ako
j ( x) > 0 , za bilo koga x = (x 1 , x 2 , …, x n), osim x = (0, 0, …, 0).
Matrica A pozitivno određeni kvadratni oblik j ( x) naziva se i pozitivno određeno. Prema tome, pozitivno određena kvadratna forma odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.
Kvadratni oblik (1) naziva se negativno definiran(ili strogo negativno) ako
j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), osim x = (0, 0, …, 0).
Slično kao gore, matrica negativno određenog kvadratnog oblika također se naziva negativno određena.
Prema tome, pozitivna (negativno) određena kvadratna forma j ( x) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Imajte na umu da većina kvadratnih oblika nije predznačno određena, to jest, nisu ni pozitivne ni negativne. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u ishodištu koordinatnog sustava, već iu drugim točkama.
Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznaka kvadratnog oblika. Pogledajmo ih.
Glavni maloljetnici kvadratni oblik nazivamo minorima:
odnosno radi se o minorima reda 1, 2, ..., n matrice A, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih podudara se s determinantom matrice A.
Kriterij pozitivne određenosti (Sylvesterov kriterij)
x) = x T Ah bio pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice A bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( x) = x T Ah bio negativno određen, potrebno je i dovoljno da njegovi glavni minori parnog reda budu pozitivni, a neparnog reda negativni, tj. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
upute
Bilješka
Period tangente trigonometrijske funkcije jednak je 180 stupnjeva, što znači da kutovi nagiba ravnih linija u apsolutnoj vrijednosti ne mogu biti veći od te vrijednosti.
Koristan savjet
Ako su kutni koeficijenti međusobno jednaki, tada je kut između takvih pravaca 0, budući da se takvi pravci ili podudaraju ili su paralelni.
Za određivanje vrijednosti kuta između pravaca koji se sijeku potrebno je pomaknuti oba pravca (ili jedan od njih) na novu poziciju metodom paralelnog prevođenja dok se ne sijeku. Nakon toga, trebali biste pronaći kut između rezultirajućih linija koje se sijeku.
Trebat će vam
- Ravnalo, pravokutni trokut, olovka, kutomjer.
upute
Dakle, neka je zadan vektor V = (a, b, c) i ravnina A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus kuta α između vektora V i N jednak je: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Da biste izračunali kut u stupnjevima ili radijanima, trebate izračunati inverznu kosinusnu funkciju iz dobivenog izraza, tj. arkosinus:α = arsso ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Primjer: pronaći kutak između vektor(5, -3, 8) i avion, dana općom jednadžbom 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapišite koordinate vektora normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamijenite sve poznate vrijednosti u danu formulu: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video na temu
Pravac koji s kružnicom ima jednu zajedničku točku tangenta je na kružnicu. Druga značajka tangente je da je uvijek okomita na radijus povučen na točku dodira, odnosno da tangenta i radijus čine ravnu liniju kutak. Ako su iz jedne točke A povučene dvije tangente na kružnicu AB i AC, tada su one uvijek međusobno jednake. Određivanje kuta između tangenti ( kutak ABC) je napravljen pomoću Pitagorinog teorema.
upute
Za određivanje kuta potrebno je znati polumjer kružnice OB i OS i udaljenost početne točke tangente od središta kružnice - O. Dakle, kutovi ABO i ACO su jednaki, polumjer OB je, na primjer 10 cm, a udaljenost do središta kružnice AO je 15 cm Duljinu tangente odredite pomoću formule u skladu s Pitagorinim poučkom: AB = kvadratni korijen iz AO2 – OB2 ili 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
