Mi az a konvex sokszög. Sokszög, konvex sokszög, négyszög
A nyolcadik osztályban az iskolai geometria órákon a diákok először ismerkednek meg a konvex sokszög fogalmával. Hamarosan megtudják, hogy ennek a figurának nagyon érdekes tulajdonsága van. Bármilyen összetett is, egy konvex sokszög összes belső és külső szögének összege szigorúan meghatározott értéket vesz fel. Ebben a cikkben egy matematika-fizika oktató beszél arról, hogy mi a konvex sokszög szögeinek összege.
Egy konvex sokszög belső szögeinek összege
Hogyan lehet igazolni ezt a képletet?
Mielőtt rátérnénk ennek az állításnak a bizonyítására, felidézzük, melyik sokszöget nevezzük konvexnek. Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha teljes egészében az egyik oldalát tartalmazó egyenes egyik oldalán fekszik. Például a képen látható:
Ha a sokszög nem teljesíti a jelzett feltételt, akkor nem konvexnek nevezzük. Például így:
A konvex sokszög belső szögeinek összege , ahol a sokszög oldalainak száma.
Ennek a ténynek a bizonyítása a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételen alapul, amely minden iskolás számára jól ismert. Biztos vagyok benne, hogy ismeri ezt a tételt. A háromszög belső szögeinek összege .
Az ötlet az, hogy egy konvex sokszöget több háromszögre osztunk fel. Ezt különböző módon lehet megtenni. Attól függően, hogy melyik módszert választjuk, a bizonyítékok kissé eltérőek lesznek.
1. Osszuk háromszögekre egy konvex sokszöget valamelyik csúcsból húzott összes lehetséges átlóval. Könnyű megérteni, hogy akkor az n-szögünket háromszögekre osztjuk:
Sőt, az összes kapott háromszög összes szögének összege egyenlő az n-szögünk szögeinek összegével. Végül is a kapott háromszögekben minden szög egy parciális szög a konvex sokszögünkben. Azaz a szükséges mennyiség egyenlő .
2. Kijelölhet egy pontot a konvex sokszögön belül is, és az összes csúcshoz csatlakoztathatja. Ekkor az n-szögünket háromszögekre osztjuk:
Sőt, a sokszögünk szögeinek összege ebben az esetben egyenlő lesz ezen háromszögek összes szögének összegével, mínusz a középponti szöggel, amely egyenlő . Vagyis a kívánt összeg ismét egyenlő a -val.
Egy konvex sokszög külső szögeinek összege
Tegyük fel most magunknak a kérdést: „Mekkora egy konvex sokszög külső szögeinek összege?” Ezt a kérdést a következő módon lehet megválaszolni. Minden külső sarok szomszédos a megfelelő belső sarokkal. Ezért egyenlő:
Ekkor az összes külső szög összege . Azaz egyenlő .
Ez egy nagyon vicces eredmény. Ha egy tetszőleges konvex n-szög minden külső sarkát egymás után egymás után félretesszük, akkor ennek eredményeként pontosan az egész sík lesz kitöltve.
Ezt az érdekes tényt a következőképpen szemléltethetjük. Csökkentsük arányosan egy konvex sokszög minden oldalát, amíg egy pontba nem olvad. Miután ez megtörténik, az összes külső sarok el lesz távolítva egymástól, és így kitölti az egész síkot.
Érdekes tény, nem? És nagyon sok ilyen tény létezik a geometriában. Tehát tanuljanak geometriát, kedves hallgatók!
Szergej Valerijevics készítette az anyagot arról, hogy mekkora egy konvex sokszög szögeinek összege
Sokszög domborúságának meghatározása.
A Kyrus-Back algoritmus egy konvex sokszöget feltételez ablakként.
A gyakorlatban azonban gyakran felmerül a sokszög általi levágás problémája, és kezdetben nincs megadva, hogy konvex-e vagy sem. Ebben az esetben a vágási eljárás megkezdése előtt meg kell határozni, hogy az adott sokszög konvex-e vagy sem.
Adjunk néhány definíciót egy sokszög konvexitására
Egy sokszög akkor tekinthető konvexnek, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) egy konvex sokszögben minden csúcs a tetszőleges élt hordozó egyenes egyik oldalán található (az adott él belsejében);
2) a sokszög minden belső szöge 180 o-nál kisebb;
3) a sokszög csúcsait összekötő összes átló ezen a sokszögön belül van;
4) a sokszög minden sarka ugyanabban az irányban kerül kikerülésre (3.3-1. ábra).
Az utolsó konvexitási feltétel analitikus reprezentációjának kidolgozásához a vektorszorzatot használjuk.
vektor termék W két vektor a És b (3.3-2. ábra a) ként meghatározott:
A x ,a y ,a z és b x ,b y ,b z aÉs b,
- én, j, k– egységvektorok az X , Y , Z koordinátatengelyek mentén.
 |
Rizs.3.3 ‑ 1
Rizs.3.3 ‑ 2
Ha egy sokszög kétdimenziós ábrázolását tekintjük az X ,Y ,Z háromdimenziós koordinátarendszer XY koordinátasíkjában való ábrázolásának (3.3-2. ábra b ), akkor a keresztszorzat képződésének kifejezése vektorok UÉs V, ahol a vektorok UÉs V szomszédos élek, amelyek a sokszög sarkát alkotják, determinánsként írhatók fel:
A keresztszorzatvektor merőleges arra a síkra, amelyben a faktorvektorok találhatók. A szorzatvektor irányát a kardánszabály vagy a jobbkezes csavar szabálya határozza meg.
ábrán látható esethez. 3,3-2 b ), vektor W, amely a vektorok vektorszorzatának felel meg V, U, ugyanaz lesz az irány, mint a Z koordináta tengely iránya.
Figyelembe véve azt a tényt, hogy a vektor-tényezők Z tengelyére vonatkozó vetületek ebben az esetben nullával egyenlőek, a vektorszorzat a következőképpen ábrázolható:
(3.3-1)
Egységvektor k mindig pozitív, ezért a vektor előjele w A vektorterméket csak a D determináns előjele határozza meg a fenti kifejezésben. Vegye figyelembe, hogy a vektorszorzat tulajdonsága alapján a faktorvektorok átrendezésekor UÉs V vektor jele w az ellenkezőjére fog változni.
Ebből következik, hogy ha mint vektorok VÉs U tekintsük a sokszög két szomszédos élét, akkor a vektorok számbavételének sorrendje a vektorszorzatban a sokszög figyelembe vett sarkának vagy az ezt a sarkot alkotó éleknek a megkerülésével összhangba tehető. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a szabályt kritériumként használjuk egy sokszög konvexitásának meghatározásához:
ha a sokszög összes élpárjára teljesül a következő feltétel:
 |
Ha az egyes szögek vektorszorzatainak előjele nem egyezik, akkor a sokszög nem konvex.
Mivel egy sokszög élei végpontjaik koordinátáiként vannak megadva, kényelmesebb a determináns használata a keresztszorzat előjelének meghatározásához.
Konvex ponthalmaz a síkon.
Egy síkban vagy háromdimenziós térben lévő pontok halmazát nevezzük konvex, ha ennek a halmaznak bármely két pontja összekapcsolható egy olyan szakaszsal, amely teljesen ebben a halmazban található.
1. tétel. Véges számú konvex halmaz metszéspontja egy konvex halmaz.
Következmény. Véges számú konvex halmaz metszéspontja egy konvex halmaz.
sarokpontok.
A konvex halmaz határpontját ún szögletes, ha lehet rajta olyan szakaszt rajzolni, amelynek minden pontja nem tartozik az adott halmazba.
A különféle alakú halmazoknak véges vagy végtelen számú sarokpontja lehet.
Konvex sokszög.
Poligon hívott konvex, ha a két szomszédos csúcsán áthaladó vonalak egyik oldalán fekszik.
Tétel: Egy konvex n-szög szögeinek összege 180˚ *(n-2)
6) M lineáris egyenlőtlenség rendszereinek megoldása két változóval
Adott egy m lineáris egyenlőtlenség rendszere két változóval
Az egyenlőtlenségek egy részének vagy mindegyikének előjele ≥ lehet.
Tekintsük az első egyenlőtlenséget az X1OX2 koordinátarendszerben. Építsünk egy egyenest
amely a határvonal.
Ez az egyenes a síkot két 1-es és 2-es félsíkra osztja (19.4. ábra).
Az 1. félsík tartalmazza az origót, a 2. félsík nem tartalmazza az origót.
Annak meghatározásához, hogy a határvonal melyik oldalán található egy adott félsík, ki kell venni egy tetszőleges pontot a síkon (jobb, az origó), és ennek a pontnak a koordinátáit be kell cserélni az egyenlőtlenségbe. Ha az egyenlőtlenség igaz, akkor a félsíkot e pont felé fordítjuk, ha nem igaz, akkor a ponttól ellenkező irányba.
A félsík irányát az ábrákon nyíl mutatja.
15. definíció. A rendszer minden egyenlőtlenségének megoldása egy félsík, amely a határvonalat tartalmazza és annak egyik oldalán helyezkedik el.
Definíció 16. A félsíkok metszéspontját, amelyek mindegyikét a rendszer megfelelő egyenlőtlensége határozza meg, a rendszer megoldási területének (SR) nevezzük.
Definíció 17. A nem-negativitás feltételeit (xj ≥ 0, j =) kielégítő rendszer megoldási területét nemnegatív vagy megengedhető megoldások területének (ODS) nevezzük.
Ha az egyenlőtlenségek rendszere konzisztens, akkor az OP és az ODE lehet poliéder, korlátlan poliéder régió vagy egyetlen pont.
Ha az egyenlőtlenségek rendszere inkonzisztens, akkor az OR és az ODR egy üres halmaz.
1. példa
Megoldás. Határozzuk meg az első egyenlőtlenség VAGY értékét: x1 + 3x2 ≥ 3. Szerkesszük meg az x1 + 3x2 - 3 = 0 határvonalat (19.5. ábra). Helyettesítsük be a (0,0) pont koordinátáit az egyenlőtlenségbe: 1∙0 + 3∙0 > 3; mivel a (0,0) pont koordinátái nem elégítik ki, így a (19.1) egyenlőtlenség megoldása egy olyan félsík, amely nem tartalmazza a (0,0) pontot.
Hasonlóan megoldást találunk a rendszer fennmaradó egyenlőtlenségeire is. Azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenségrendszer OP és ODE egy konvex ABCD poliéder.
Keresse meg a poliéder sarokpontjait! Az A pont az egyenesek metszéspontja
A rendszert megoldva A(3/7, 6/7) kapjuk.
A B pontot az egyenesek metszéspontjaként találjuk
A rendszerből B(5/3, 10/3) kapjuk. Hasonlóképpen megtaláljuk a C és D pont koordinátáit: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
2. példa Határozza meg az egyenlőtlenségrendszer OR és ODR értékét!
Megoldás. Építsünk egyeneseket és határozzuk meg a (19.5)-(19.7) egyenlőtlenségek megoldásait. Az OR és az ODR határtalan poliéderes ACFM és ABDEKM területek (19.6. ábra).
3. példa Határozza meg az egyenlőtlenségrendszer OR és ODR értékét!
Megoldás. Megoldásokat találunk a (19.8)-(19.10) egyenlőtlenségekre (19.7. ábra). OP a korlátlan poliéder ABC régiót jelenti; ODR – B pont.
4. példa Határozza meg az egyenlőtlenségrendszer OP és ODS értékét!
Megoldás. Az egyenesek megszerkesztése után megoldást találunk a rendszer egyenlőtlenségeire. Az OR és az ODR nem kompatibilis (19.8. ábra).
FELADATOK
Keresse meg az egyenlőtlenségek rendszereinek VAGY és ODR-jét
Tétel. Ha xn ® a, akkor .
Bizonyíték. Az xn ® a-ból következik, hogy . Eközben:
Azok. , azaz . A tétel bizonyítást nyert.
Tétel. Ha xn ® a, akkor az (xn) sorozat korlátos.
Megjegyzendő, hogy a fordított állítás nem igaz, i.e. egy sorozat korlátossága nem jelenti a konvergenciáját.
Például a sorozatnak nincs korlátja, bár
A függvények hatványsorokká bővítése.
A függvények hatványsorokban való bővítése nagy jelentőséggel bír a függvénytanulmányozás, a differenciálás, az integráció, a differenciálegyenletek megoldása, a határértékek kiszámítása, a függvény közelítő értékeinek kiszámítása különböző problémáinak megoldásában.
Összességében a következőket kapjuk:
Tekintsünk egy módot egy függvény sorozattá bővítésére az integráció segítségével.
Az integráció segítségével sorba lehet bővíteni olyan függvényt, amelynek deriváltjának sorozatában ismert vagy könnyen megtalálható a bővítés.
Megkeressük a függvény differenciálját, és integráljuk a 0 és x közötti tartományba.
A sokszög fogalma
1. definíció
poligon egy síkban lévő geometriai alakzatnak nevezzük, amely páronként összefüggő szakaszokból áll, amelyek szomszédos nem egy egyenesen fekszenek.
Ebben az esetben a szegmenseket ún sokszög oldalai, és a végeik sokszög csúcsai.
2. definíció
A $n$-szög egy sokszög $n$ csúcsokkal.
A sokszögek típusai
3. definíció
Ha egy sokszög mindig az oldalain átmenő egyenes egyik oldalán fekszik, akkor a sokszöget hívjuk konvex(1. ábra).
1. ábra Konvex sokszög
4. definíció
Ha a sokszög legalább egy, az oldalain áthaladó egyenes ellentétes oldalain fekszik, akkor a sokszöget nem konvexnek nevezzük (2. ábra).
2. ábra Nem konvex sokszög
Egy sokszög szögeinek összege
Bevezetjük a -gon szögösszegére vonatkozó tételt.
1. tétel
Egy konvex -gon szögeinek összegét a következőképpen határozzuk meg
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Bizonyíték.
Adjunk egy $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ konvex sokszöget. Kössük össze a $A_1$ csúcsát az adott sokszög összes többi csúcsával (3. ábra).
3. ábra
Ilyen kapcsolattal $n-2$ háromszöget kapunk. Szögeiket összeadva az adott -gon szögeinek összegét kapjuk. Mivel egy háromszög szögeinek összege $(180)^0,$ azt kapjuk, hogy egy konvex -gon szögeinek összegét a képlet határozza meg
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
A tétel bizonyítást nyert.
A négyszög fogalma
A $2$ definíciójával könnyen bevezethető a négyszög definíciója.
5. definíció
A négyszög egy sokszög $4$ csúcsokkal (4. ábra).
4. ábra Négyszög
Négyszög esetén a konvex négyszög és a nem konvex négyszög fogalma hasonlóképpen definiált. A konvex négyszögek klasszikus példái a négyzet, a téglalap, a trapéz, a rombusz, a paralelogramma (5. ábra).
5. ábra Konvex négyszögek
2. tétel
Egy konvex négyszög szögeinek összege $(360)^0$
Bizonyíték.
A $1$ tétel alapján tudjuk, hogy egy konvex -gon szögeinek összegét a képlet határozza meg
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Ezért egy konvex négyszög szögeinek összege az
\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]
A tétel bizonyítást nyert.
Konvex négyszögnek nevezzük azt az alakzatot, amely négy, a csúcsokban egymáshoz kapcsolódó oldalból áll, amelyek az oldalakkal együtt négy szöget alkotnak, miközben maga a négyszög mindig ugyanabban a síkban van ahhoz az egyeneshez képest, amelyen az egyik oldala fekszik. Más szóval, az egész alak bármelyik oldalának egyik oldalán van.
Kapcsolatban áll
Amint látja, a meghatározást nagyon könnyű megjegyezni.
Alaptulajdonságok és típusok
Szinte minden általunk ismert, négy sarokból és oldalból álló figura konvex négyszögnek tulajdonítható. A következőket lehet megkülönböztetni:
- paralelogramma;
- négyzet;
- téglalap;
- trapéz alakú;
- rombusz.
Mindezeket az ábrákat nemcsak az egyesíti, hogy négyszögletesek, hanem az is, hogy domborúak is. Csak nézd meg a diagramot:
Az ábrán egy domború trapéz látható. Itt látható, hogy a trapéz ugyanazon a síkon vagy a szakasz egyik oldalán van. Ha hasonló műveleteket hajt végre, megtudhatja, hogy az összes többi oldal esetében a trapéz konvex.
A paralelogramma konvex négyszög?
Fent egy paralelogramma képe látható. Amint az ábrán látható, paralelogramma is konvex. Ha megnézzük az ábrát azon egyenesek tekintetében, amelyeken az AB, BC, CD és AD szakaszok fekszenek, világossá válik, hogy ezektől az egyenesektől mindig ugyanazon a síkon van. A paralelogramma fő jellemzője, hogy oldalai páronként párhuzamosak és egyenlőek, ugyanúgy, ahogy a szemközti szögek egyenlőek egymással.
Most képzeljünk el egy négyzetet vagy téglalapot. Fő tulajdonságaik szerint egyben paralelogrammák is, vagyis minden oldaluk párhuzamosan párokba rendeződik. Csak egy téglalap esetén lehet különböző az oldalak hossza, és a szögek derékszögűek (egyenlőek 90 fokkal), a négyzet olyan téglalap, amelyben minden oldal egyenlő és a szögek is derékszögűek, míg a hosszúságok egy paralelogramma oldalai és szögei eltérőek lehetnek.
Ennek eredményeként a négyszög mind a négy sarkának összege egyenlőnek kell lennie 360 fokkal. Ezt legegyszerűbben egy téglalap segítségével határozhatjuk meg: a téglalap mind a négy sarka derékszögű, azaz 90 fokkal egyenlő. Ezeknek a 90 fokos szögeknek az összege 360 fokot ad, vagyis ha 4-szer összeadja a 90 fokot, akkor a kívánt eredményt kapja.
Konvex négyszög átlóinak tulajdonsága
Egy konvex négyszög átlói metszik egymást. Valójában ez a jelenség vizuálisan is megfigyelhető, csak nézze meg az ábrát:
A bal oldali ábra egy nem konvex négyszöget vagy négyszöget mutat. Ahogy szeretné. Mint látható, az átlók nem metszik egymást, legalábbis nem mindegyik. A jobb oldalon egy konvex négyszög látható. Itt már megfigyelhető az átlók metszésképessége. Ugyanez a tulajdonság tekinthető a négyszög domborúságának jelének.
A négyszög domborúságának egyéb tulajdonságai és jelei
Konkrétan e kifejezés szerint nagyon nehéz konkrét tulajdonságokat és jellemzőket megnevezni. Az ilyen típusú négyszögek különböző fajtái alapján könnyebb elkülöníteni. Kezdheti egy paralelogrammával. Azt már tudjuk, hogy ez egy négyszögletű alakzat, amelynek oldalai páronként párhuzamosak és egyenlőek. Ugyanakkor ez magában foglalja a paralelogramma átlóinak azt a tulajdonságát is, hogy metszik egymást, valamint magának az alakzatnak a domborúságának előjele: a paralelogramma mindig ugyanabban a síkban és egy oldalon van bármelyhez képest. az oldalairól.
Így, a főbb jellemzők és tulajdonságok ismertek:
- egy négyszög szögeinek összege 360 fok;
- az ábrák átlói egy pontban metszik egymást.
Téglalap. Ez az ábra ugyanazokkal a tulajdonságokkal és jellemzőkkel rendelkezik, mint a paralelogramma, de minden szöge 90 fokkal egyenlő. Innen a név, téglalap.
Négyzet, ugyanaz a paralelogramma, de a sarkai megfelelőek, mint egy téglalap. Emiatt a négyzetet ritkán nevezik téglalapnak. De a négyzet fő megkülönböztető jegye a fent felsoroltakon kívül az, hogy mind a négy oldala egyenlő.
A trapéz nagyon érdekes figura.. Ez is egy négyszög és egyben konvex is. Ebben a cikkben a trapézt már figyelembe vettük egy rajz példáján. Nyilvánvaló, hogy ő is domború. A fő különbség, és ennek megfelelően a trapéz jele, hogy oldalai hosszában és szögeiben sem lehetnek egyenlőek egymással. Ebben az esetben az ábra mindig ugyanazon a síkon marad bármely olyan egyeneshez képest, amely bármely két csúcsát összeköti az ábrát alkotó szakaszok mentén.
A rombusz ugyanilyen érdekes figura. Részben egy rombusz tekinthető négyzetnek. A rombusz jele, hogy átlói nemcsak metszik egymást, hanem ketté is osztják a rombusz sarkait, maguk az átlók pedig derékszögben metszik egymást, azaz merőlegesek. Ha a rombusz oldalainak hossza egyenlő, akkor az átlókat is kettéosztjuk a metszéspontban.
Deltoidok vagy konvex rombuszok (rombuszok) eltérő oldalhosszúak lehetnek. Ugyanakkor a rombusz fő tulajdonságai és jellemzői, valamint a konvexitás jellemzői és tulajdonságai továbbra is megmaradnak. Vagyis megfigyelhetjük, hogy az átlók felezik a sarkokat és derékszögben metszik egymást.
A mai feladat az volt, hogy megvizsgáljuk és megértsük, mik is azok a konvex négyszögek, mik azok és főbb jellemzőik, tulajdonságaik. Figyelem! Érdemes még egyszer felidézni, hogy egy konvex négyszög szögeinek összege 360 fok. Az ábrák kerülete például egyenlő az ábrát alkotó összes szegmens hosszának összegével. A négyszögek kerületének és területének kiszámítására szolgáló képleteket a következő cikkekben tárgyaljuk.
A konvex négyszögek típusai
