유클리드 공간. 선형대수학

제4장
유클리드 스페이스

해석 기하학 과정을 통해 독자는 두 자유 벡터의 스칼라 곱 개념과 지정된 스칼라 곱의 네 가지 주요 속성에 익숙합니다. 이 장에서 우리는 임의의 두 요소에 이러한 요소의 스칼라 곱이라고 불리는 숫자를 할당하는 규칙이 어떤 방식으로 정의되는 요소에 대해 모든 성격의 선형 공간을 연구합니다. 이 경우, 이 규칙이 두 자유 벡터의 스칼라 곱을 구성하는 규칙과 동일한 네 가지 속성을 갖는 것이 중요합니다. 이 규칙이 정의된 선형 공간을 유클리드 공간이라고 합니다. 이 장에서는 임의의 유클리드 공간의 기본 속성을 설명합니다.

§ 1. 실제 유클리드 공간과 가장 간단한 속성

1. 실제 유클리드 공간의 정의.실제 선형 공간 R은 다음과 같습니다. 실제 유클리드 공간(또는 단순히 유클리드 공간) 다음 두 가지 요구 사항을 충족하는 경우.
I. 이 공간 x와 y의 임의의 두 요소가 다음과 같은 실수와 연관되는 규칙이 있습니다. 스칼라 곱이러한 요소 중 기호 (x, y)로 표시됩니다.
P. 이 규칙에는 다음 네 가지 원칙이 적용됩니다.
1°. (x, y) = (y, x) (교환 특성 또는 대칭);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (분포특성);
3°. (λ x, y) = 임의의 실수 λ에 대해 λ (x, y);
4°. (x, x) x가 0이 아닌 요소인 경우 > 0입니다. (x, x) = x가 0 요소인 경우 0입니다.
우리는 유클리드 공간의 개념을 도입할 때 연구 대상의 본질뿐만 아니라 요소의 합, 숫자에 의한 요소의 곱의 형성을 위한 특정 유형의 규칙에서도 추상화한다는 점을 강조합니다. 요소의 스칼라 곱(이러한 규칙이 선형 공간의 8개 공리와 스칼라 곱의 4개 공리를 충족하는 것이 중요합니다).
연구 중인 객체의 성격과 나열된 규칙의 유형이 표시되면 유클리드 공간이 호출됩니다. 특정한.
구체적인 유클리드 공간의 예를 들어보겠습니다.
예 1. 모든 자유 벡터의 선형 공간 B 3 을 고려하십시오. 우리는 분석 기하학에서 수행된 것처럼 두 벡터의 스칼라 곱을 정의합니다(즉, 이러한 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 코사인의 곱으로). 분석 기하학 과정에서 이렇게 정의된 공리 1° - 4°의 스칼라 곱의 타당성이 입증되었습니다(“해석 기하학” 문제, 2장, §2, 항목 3 참조). 따라서 이렇게 정의된 스칼라 곱을 갖는 공간 B 3 는 유클리드 공간입니다.
예제 2. 세그먼트 a ≤ t ≤ b에서 정의되고 연속적인 모든 함수 x(t)의 무한 차원 선형 공간 C [a, b]를 고려합니다. 우리는 두 함수 x(t)와 y(t)의 스칼라 곱을 이 함수 곱의 적분(a에서 b 범위)으로 정의합니다.

이렇게 정의된 공리 1°-4°의 스칼라 곱의 유효성은 기본적인 방법으로 확인됩니다. 실제로 공리 1°의 타당성은 명백합니다. 공리 2°와 3°의 타당성은 정적분의 선형 특성에서 비롯됩니다. 공리 4°의 타당성은 음이 아닌 연속 함수 x 2 (t)의 적분은 음이 아니며 이 함수가 세그먼트 a ≤ t ≤ b에서 0과 동일하게 같을 때만 사라진다는 사실에서 비롯됩니다(참조). 문제 "수학적 분석의 기초", 파트 I, 단락 1 §6 10장에서 속성 1° 및 2°)(즉, 고려 중인 공간의 0 요소입니다).
따라서 이렇게 정의된 스칼라 곱을 갖는 공간 C[a, b]는 다음과 같습니다. 무한차원 유클리드 공간.
예 3. 유클리드 공간의 다음 예는 n차원 선형 공간을 제공합니다. n개의 실수로 구성된 순서화된 모음 n, 임의의 두 요소 x = (x 1, x 2,..., x n) 및 y의 스칼라 곱 = (y 1, y 2 ,...,y n) 이는 등식으로 정의됩니다.

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

이렇게 정의된 스칼라 곱에 대한 공리 1°의 타당성은 명백합니다. 공리 2°와 3°의 타당성은 쉽게 확인할 수 있습니다. 요소를 추가하고 숫자를 곱하는 작업의 정의만 기억하세요.

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x1, x2,..., xn) = (λx1, λx2,..., λxn);

마지막으로, 공리 4°의 타당성은 (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2가 항상 음수가 아니며 x 1 = x 조건에서만 사라진다는 사실에서 비롯됩니다. 2 = .. . = xn = 0.
이 예에서 고려되는 유클리드 공간은 기호 En으로 표시되는 경우가 많습니다.
예 4. 동일한 선형 공간 An에서 두 요소 x = (x 1, x 2,..., x n)과 y = (y 1, y 2,..., y n의 스칼라 곱을 소개합니다. ) 관계 (4.2)가 아니라 다른 더 일반적인 방식입니다.
이를 수행하려면 n차 정사각 행렬을 고려하십시오.

행렬(4.3)을 사용하여 n 변수 x 1, x 2,..., x n에 대해 2차 동차 다항식을 구성해 보겠습니다.

앞으로 우리는 그러한 다항식을 다음과 같이 부릅니다. 이차 형태(행렬(4.3)에 의해 생성됨) (이차 형태는 이 책의 7장에서 체계적으로 연구됩니다).
이차 형태(4.4)는 다음과 같습니다. 긍정적인 확실성, 동시에 0이 아닌 변수 x 1, x 2,..., x n의 모든 값에 대해 엄격하게 양수 값을 취하는 경우(이 책의 7장에서 필요하고 충분한 이차 형식의 양의 명확성에 대한 조건이 표시됩니다.
x 1 = x 2 = ... = x n = 0에 대해 이차 형식(4.4)은 분명히 0과 동일하므로 다음과 같이 말할 수 있습니다. 긍정적인 확실성
이차 형식은 조건 x에서만 사라집니다. 1 = x 2 = ... = 엑스 N = 0.
우리는 행렬(4.3)이 두 가지 조건을 만족하도록 요구합니다.
1°. 양의 정부호 2차 형식(4.4)을 생성했습니다.
2°. 이는 (주대각선을 기준으로) 대칭이었습니다. 모든 i = 1, 2,..., n 및 k = I, 2,..., n에 대해 a ik = a ki 조건을 충족했습니다.
1° 및 2° 조건을 만족하는 행렬(4.3)을 사용하여 두 요소 x = (x 1, x 2,..., x n) 및 y = (y 1, y 2,..의 스칼라 곱을 정의합니다. . ,y n) 관계에 의해 공간 A n

이렇게 정의된 모든 공리 1°-4°의 스칼라 곱의 유효성을 확인하는 것은 쉽습니다. 실제로 공리 2°와 3°는 완전히 임의의 행렬(4.3)에 대해 분명히 유효합니다. 공리 1°의 타당성은 행렬의 대칭 조건(4.3)에서 나오고, 공리 4°의 타당성은 스칼라 곱(x, x)인 이차 형태(4.4)가 양수라는 사실에서 나옵니다. 명확한.
따라서 행렬(4.3)이 대칭이고 이에 의해 생성된 2차 형식이 양의 정부호인 경우 등식(4.5)으로 정의된 스칼라 곱을 갖는 공간 An은 유클리드 공간입니다.
단위 행렬을 행렬 (4.3)으로 취하면 관계 (4.4)는 (4.2)로 바뀌고 예제 3에서 고려한 유클리드 공간 En을 얻습니다.
2. 임의의 유클리드 공간의 가장 간단한 속성.이 단락에서 설정된 속성은 유한 차원과 무한 차원 모두의 완전히 임의적인 유클리드 공간에 유효합니다.
정리 4.1.임의의 유클리드 공간의 임의의 두 요소 x와 y에 대해 다음 부등식이 성립합니다.

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

Cauchy-Bunyakovsky 부등식이라고 합니다.
증거.임의의 실수 λ에 대해, 스칼라 곱의 공리 4°에 의해 부등식(λ x - y, λ x - y) > 0이 참입니다. 공리 1°-3°에 의해 마지막 부등식은 다음과 같습니다. 다음과 같이 다시 작성됨

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

마지막 제곱 삼항식의 비음성에 대한 필요 충분 조건은 판별식의 비양성, 즉 부등식입니다((x, x) = 0의 경우 제곱 삼항식은 선형 함수로 퇴화되지만 이 경우 요소 x는 0이므로 (x, y) = 0이고 부등식 (4.7)도 참입니다.

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

불평등 (4.6)은 (4.7) 바로 뒤에 나옵니다. 정리가 입증되었습니다.
다음 작업은 개념을 소개하는 것입니다. 규범(또는 길이) 각 요소의. 이를 위해 선형 노름 공간(Linear Normed Space)의 개념을 도입합니다.
정의.선형 공간 R은 다음과 같습니다. 표준화된, 다음 두 가지 요구 사항이 충족되는 경우.
I. 공간 R의 각 요소 x가 실수와 연관되는 규칙이 있습니다. 표준(또는 길이) 지정된 요소의 ||x|| 기호로 표시됩니다.
P. 이 규칙에는 다음 세 가지 원칙이 적용됩니다.
1°. ||x|| > x가 0이 아닌 요소이면 0입니다. ||x|| = x가 0 요소인 경우 0입니다.
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| 임의의 요소 x 및 임의의 실수 λ에 대해;
3°. 임의의 두 요소 x와 y에 대해 다음 부등식은 참입니다.

||x + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

삼각형 부등식(또는 Minkowski 부등식)이라고 함.
정리 4.2. 모든 유클리드 공간은 그 안에 있는 임의의 요소 x의 노름이 등식으로 정의되는 경우 노름됩니다.

증거.관계식 (4.9)에 의해 정의된 노름에 대해 노름 공간 정의의 공리 1°-3°가 유효하다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.
공리 1°의 노름의 타당성은 스칼라 곱의 공리 4°에서 바로 나옵니다. 공리 2°의 노름의 타당성은 스칼라 곱의 공리 1°와 3°에서 거의 직접적으로 따릅니다.
규범, 즉 불평등(4.8)에 대한 공리 3°의 타당성을 검증하는 것이 남아 있습니다. 우리는 Cauchy-Bunyakovsky 부등식(4.6)에 의존할 것이며, 이를 다음 형식으로 다시 작성할 것입니다.

마지막 부등식, 스칼라 곱의 공리 1°-4° 및 노름의 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.

정리가 입증되었습니다.
결과.관계식 (4.9)에 의해 결정된 요소의 노름을 갖는 모든 유클리드 공간에서 임의의 두 요소 x와 y에 대해 삼각형 부등식(4.8)이 유지됩니다.

또한 실제 유클리드 공간에서는 이 공간의 임의의 두 요소 x와 y 사이의 각도 개념을 도입할 수 있습니다. 벡터 대수와 완전히 유사하게 다음과 같이 호출합니다. 각도요소 간 ψ 엑스그리고 ~에코사인이 관계에 의해 결정되는 각도(0에서 π까지)

Cauchy-Bunyakovsky 부등식(4.7")으로 인해 마지막 등식의 오른쪽 부분이 모듈러스에서 1을 초과하지 않기 때문에 각도에 대한 우리의 정의는 정확합니다.
다음으로, 유클리드 공간 E의 임의의 두 요소 x와 y를 이러한 요소(x, y)의 스칼라 곱이 0과 같으면(이 경우 요소 사이의 각도(ψ)의 코사인)을 직교라고 부르는 데 동의합니다. x와 y는 0과 같습니다.)
다시 벡터 대수학에 호소하여, 두 개의 직교 요소 x와 y의 합 x + y를 요소 x와 y 위에 구축된 직각삼각형의 빗변이라고 부르겠습니다.
모든 유클리드 공간에서는 피타고라스 정리가 유효합니다. 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다. 실제로 x와 y는 직교하고 (x, y) = 0이므로 공리와 노름 정의 덕분에

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

이 결과는 n 쌍의 직교 요소 x 1, x 2,..., x n으로 일반화됩니다. z = x 1 + x 2 + ...+ x n인 경우

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( xn,xn) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

결론적으로 우리는 이전 단락에서 고려한 각 특정 유클리드 공간의 표준, Cauchy-Bunyakovsky 부등식 및 삼각형 부등식을 작성합니다.
스칼라 곱의 일반적인 정의를 사용하는 모든 자유 벡터의 유클리드 공간에서 벡터 a의 노름은 길이 |a|와 일치하고 Cauchy-Bunyakovsky 부등식은 다음 형식으로 감소됩니다. a| 2 |b | 2 및 삼각형 부등식 - |a + b| ≤ |a| + |b | 형식(삼각형 규칙에 따라 벡터 a와 b를 추가하면 이 불평등은 다음과 같이 간단하게 감소합니다. 삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합을 초과하지 않는다는 사실입니다.
스칼라 곱(4.1)을 사용하여 세그먼트 a ≤ t ≤ b에서 연속인 모든 함수 x = x(t)의 유클리드 공간 C [a, b]에서 요소 x = x(t)의 노름은 다음과 같습니다. Cauchy-Bunyakovsky와 삼각형 부등식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이러한 불평등은 모두 수학적 분석의 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다.
스칼라 곱(4.2)을 갖는 n 실수 집합의 유클리드 공간 E n에서 모든 요소 x = (x 1 , x 2 ,..., x n)의 노름은 같습니다.

마지막으로, 스칼라 곱(4.5)을 갖는 n개의 실수 집합으로 구성된 유클리드 공간에서 모든 요소 x = (x 1, x 2,..., x n)의 노름은 0과 같습니다. 이 경우 행렬(4.3)은 대칭이며 양의 정부호 2차 형식(4.4)을 생성합니다.

Cauchy-Bunyakovsky와 삼각형 부등식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이러한 벡터 공간에 해당합니다. 이 글에서는 첫 번째 정의를 출발점으로 삼을 것입니다.

$N$-차원 유클리드 공간은 다음과 같이 표시됩니다. $\backslash mathbb\; E^n,$표기법도 자주 사용됩니다 $\backslash mathbb\; R^n$(문맥상 공간이 유클리드 구조를 가지고 있다는 것이 분명한 경우)

공식적인 정의

유클리드 공간을 정의하는 가장 쉬운 방법은 스칼라 곱을 주요 개념으로 삼는 것입니다. 유클리드 벡터 공간은 실수 값이 지정된 벡터에 대해 실수 필드에 대한 유한 차원 벡터 공간으로 정의됩니다. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$다음 세 가지 속성을 가집니다.

• 이중선형성: 모든 벡터에 대해 $너,\; 브,\; w$그리고 실수의 경우 $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$그리고 $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• 대칭: 모든 벡터에 대해 $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• 긍정적인 확실성: 누구에게나 $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$그리고 $(u,u)\; =\; 0\backslash 오른쪽\; 화살표\; u=0.$

유클리드 공간의 예 - 좌표 공간 $\backslash mathbbR^n,$가능한 모든 실수 튜플로 구성됨 $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$공식에 의해 결정되는 스칼라 곱 $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

길이와 각도

유클리드 공간에서 정의된 스칼라 곱은 길이와 각도의 기하학적 개념을 도입하기에 충분합니다. 벡터 길이 $유$~로써 정의 된 $\backslash sqrt((u,u))$지정되어 있으며 $|유|.$스칼라 곱의 양의 명확성은 0이 아닌 벡터의 길이가 0이 아님을 보장하며, 이중선형성으로부터 다음이 따릅니다. $|au|=|a||u|,$즉, 비례 벡터의 길이는 비례합니다.

벡터 사이의 각도 $유$그리고 $V$공식에 의해 결정됨 $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right).$코사인 정리로부터 2차원 유클리드 공간( 유클리드 평면) 이 각도 정의는 일반적인 정의와 일치합니다. 3차원 공간에서와 같이 직교 벡터는 사이의 각도가 다음과 같은 벡터로 정의될 수 있습니다. $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz 부등식과 삼각형 부등식

위에 주어진 각도의 정의에는 하나의 공백이 남아 있습니다. $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$정의되었으므로 불평등이 필요합니다. $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$이 불평등은 임의의 유클리드 공간에서 유지되며 Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz 부등식이라고 합니다. 이 부등식으로부터 차례로 삼각형 부등식을 따릅니다. $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$위에 나열된 길이 속성과 함께 삼각형 부등식은 벡터의 길이가 유클리드 벡터 공간의 표준이며 다음 함수를 의미합니다. $d(x,y)=|x-y|$유클리드 공간에서 메트릭 공간의 구조를 정의합니다(이 함수를 유클리드 메트릭이라고 함). 특히, 요소(점) 사이의 거리 $엑스$그리고 $와이$좌표 공간 $\backslash mathbb\; R^n$공식에 의해 주어진다 $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

대수적 속성

직교법 베이스

켤레 공간과 연산자

모든 벡터 $엑스$유클리드 공간은 선형 함수를 정의합니다. $x^*$이 공간에서 다음과 같이 정의됩니다. $x^*(y)=(x,y).$이 비교는 유클리드 공간과 이중 공간 간의 동형이며 계산을 손상시키지 않고 식별할 수 있습니다. 특히, 켤레 연산자는 쌍대 공간이 아닌 원래 공간에 작용하는 것으로 간주할 수 있으며, 자기 수반 연산자는 켤레와 일치하는 연산자로 정의할 수 있습니다. 정규 직교 기반에서는 수반 연산자의 행렬이 원래 연산자의 행렬로 전치되고 자기 수반 연산자의 행렬은 대칭입니다.

유클리드 공간의 움직임

예

유클리드 공간의 예시적인 예는 다음 공간입니다.

• $\backslash mathbb\; E^1$치수 $1$ (실제 라인)
• $\backslash mathbb\; E^2$치수 $2$ (유클리드 평면)
• $\backslash mathbb\; E^3$치수 $3$ (유클리드 3차원 공간)

좀 더 추상적인 예:

• 실수 다항식의 공간 $피(x)$학위를 초과하지 $N$, 스칼라 곱은 유한 세그먼트(또는 전체 라인에 대한 곱의 적분으로 정의되지만 예를 들어 빠르게 감소하는 가중치 함수를 사용함) $e^(-x^2)$).

다차원 유클리드 공간의 기하학적 모양의 예

• 정다차원 다면체(구체적으로 N차원 정육면체, N차원 팔면체, N차원 사면체)

관련 정의

• 아래에 유클리드 미터법는 위에서 설명한 메트릭과 해당 리만 메트릭으로 이해될 수 있습니다.

• 국소적 유클리드성(Local Euclideanity)이란 일반적으로 리만 다양체의 각 접선 공간이 모든 후속 특성을 갖는 유클리드 공간이라는 것을 의미합니다. 거리는 위에서 설명한 대로 (최대 몇 배까지) 표현됩니다.

• 미터법이 모든 곳에서(또는 적어도 유한 도메인에서) 유클리드(두 번째 정의의 의미에서)가 되는 좌표를 도입할 수 있는 경우 미터법 공간은 로컬 유클리드라고도 합니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 곡률이 0인 리만 다양체.

변형 및 일반화

• 기본 필드를 실수 필드에서 복소수 필드로 대체하면 단일(또는 에르미트) 공간의 정의가 제공됩니다.
• 유한 차원 요구 사항을 거부하면 힐베르트 이전 공간의 정의가 제공됩니다.
• 스칼라 곱의 양의 명확성 요구 사항을 거부하면 유사 유클리드 공간이 정의됩니다.

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노트

문학

• 겔판트 I.M.선형대수학 강의. - 5번째. -M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I.선형대수학과 기하학. -M .: Nauka, 1986. - 304 p.

유클리드 공간을 특징짓는 발췌문

Natasha는 소파에 앉았을 때 오빠에게 이렇게 말했습니다. “아무 일도 일어나지 않을 것 같은 일이 일어납니다. 그게 다 뭐 좋았어? 지루할 뿐만 아니라 슬프기도 하죠?
- 그리고 어떻게! -그가 말했다. "모든 것이 괜찮았고 모두가 쾌활했지만, 나는 이미 이 모든 것에 지쳤고 모두가 죽어야 한다는 생각이 들었습니다." 한번은 연대에 산책하러 가지 않았는데 거기에서 음악이 흘러나와서... 갑자기 심심해졌는데...
- 아, 나도 알아요. 알아요, 알아요.” 나타샤가 전화를 받았습니다. – 나는 아직 어려서 이런 일이 일어났습니다. 제가 자두 때문에 벌을 받고 여러분 모두가 춤을 추고 교실에 앉아 흐느끼던 때를 기억하십니까? 나는 슬펐고 모든 사람과 나 자신에 대해 미안했고 모든 사람에 대해 미안함을 느꼈습니다. 그리고 가장 중요한 것은 내 잘못이 아니었다는 거예요.” 나타샤가 말했습니다. “기억하시나요?
"기억해요." 니콜라이가 말했다. “나중에 찾아와서 위로해주고 싶었는데 부끄러웠던 기억이 나네요. 우리는 정말 재미있었습니다. 그때 나한테 버블헤드 장난감이 있었는데 그걸 너한테 주고 싶었어. 기억 나니?
나타샤는 생각에 잠긴 미소를 지으며 말했습니다. "기억하시나요? 오래 전, 오래 전에 우리는 아직 아주 어렸어요. 삼촌이 우리를 사무실로 부르고 낡은 집으로 돌아왔는데 어두워졌습니다. 우리가 왔고 갑자기 거기에 왔어요." 거기 서 있었어...
"Arap"Nikolai는 즐거운 미소로 끝냈습니다. "내가 어떻게 기억하지 못합니까?" 지금도 나는 그것이 블랙무어인지, 꿈에서 보았는지, 아니면 들었다는 것을 모릅니다.
- 그 사람은 백발이었는데 기억하시나요? 그리고 하얀 치아를 갖고 있었습니다. 그는 서서 우리를 바라보았습니다...
– 기억나세요, 소냐? - 니콜라이가 물었다...
"네, 네, 저도 기억나는 게 있어요." 소냐가 소심하게 대답했습니다...
나타샤는 "나는 아버지와 어머니에게 이 블랙무어에 대해 물었습니다"라고 말했습니다. - 블랙무어가 없었다고 하네요. 하지만 당신은 기억합니다!
-아, 지금 그의 이빨을 어떻게 기억하는지.
- 참 이상하네요, 꿈만 같았어요. 좋아요.
- 우리가 복도에서 계란을 굴리고 있었는데 갑자기 두 명의 노파가 카펫 위에서 돌기 시작했던 것을 기억하십니까? 그랬나요, 아니었나요? 얼마나 좋았는지 기억하시나요?
- 예. 파란색 모피 코트를 입은 아빠가 현관에서 총을 쏜 방법을 기억하십니까? “그들은 슬프고 오래된 추억이 아닌 시적인 젊음의 추억, 꿈이 현실과 합쳐지는 가장 먼 과거의 인상, 기쁨, 추억으로 웃으며 조용히 웃으며 무언가를 기뻐했습니다.
소냐는 늘 그렇듯이 그들보다 뒤처졌지만 그들의 기억은 흔했습니다.
소냐는 그들이 기억하는 것을 많이 기억하지 못했고, 그녀가 기억한 것은 그들이 경험했던 시적인 느낌을 그녀에게 불러일으키지 못했습니다. 그녀는 그들의 기쁨을 즐겼고 그것을 모방하려고 노력했습니다.
그녀는 소냐의 첫 방문을 기억할 때만 참여했습니다. 소냐는 니콜라이의 재킷에 끈이 있었기 때문에 그를 두려워했다고 말했고 유모는 그녀에게도 끈을 꿰매겠다고 말했습니다.
"그리고 나는 기억합니다. 그들은 당신이 양배추 아래에서 태어났다는 말을 들었습니다. "라고 Natasha는 말했습니다. "그때 나는 그것을 감히 믿지 못했지만 그것이 사실이 아니라는 것을 알고 너무 당황했습니다. ”
이 대화 중에 메이드의 머리가 소파방 뒷문 밖으로 삐져나왔다. “아씨, 수탉을 가져왔어요.” 소녀가 속삭였다.
"필요 없어요, 폴리아. 나한테 그걸 들고 가라고 말해주세요." 나타샤가 말했습니다.
소파에서 대화가 진행되는 가운데 Dimmler가 방으로 들어와 구석에 서 있는 하프에게 다가갔습니다. 그가 천을 벗자 수금이 잘못된 소리를 냈습니다.
"에두아르드 카를리치 씨, 제가 사랑하는 Monsieur Field의 Nocturiene을 연주해 주세요." 거실에서 늙은 백작부인의 목소리가 들렸습니다.
Dimmler는 화음을 치고 나타샤, 니콜라이, 소냐를 돌아보며 이렇게 말했습니다. "젊은이들이여, 얼마나 조용히 앉아 있는지!"
"예, 우리는 철학적으로 생각하고 있습니다." 나타샤가 잠시 주위를 둘러보며 대화를 계속하며 말했습니다. 이제 대화는 꿈에 관한 것이었습니다.
디머가 연주를 시작했습니다. 나타샤는 조용히 발끝으로 테이블로 다가가 촛불을 꺼내서 돌아와 조용히 자리에 앉았습니다. 방 안은 어두웠고, 특히 그들이 앉아 있던 소파는 어두웠지만, 큰 창문을 통해 보름달의 은빛 빛이 바닥에 떨어졌습니다.
"내 생각엔," 나타샤가 니콜라이와 소냐에게 더 가까이 다가가며 속삭이듯 말했습니다. 그 때 Dimmler는 이미 작업을 마치고 여전히 앉아 약하게 줄을 당기고 있었고 떠나거나 새로운 일을 시작하는 데 우유부단한 모습이었습니다. 그렇게 기억해, 다 기억해.” , 내가 세상에 태어나기 전에 무슨 일이 있었는지 기억할 정도로 기억이 많이 난다...
항상 공부를 잘하고 모든 것을 기억하는 소냐는 “이게 바로 Metampsic이다”라고 말했다. – 이집트인들은 우리의 영혼이 동물 안에 있으며 동물로 돌아갈 것이라고 믿었습니다.
나타샤는 음악이 끝났음에도 불구하고 같은 속삭임으로 말했습니다. 우리는 모든 것을 기억합니다.” ...
-난 당신을 가입 할 수 있습니다? -조용히 다가가 옆에 앉은 Dimmler가 말했습니다.
- 우리가 천사라면 왜 더 낮아졌을까요? -니콜라이가 말했습니다. - 아니, 그럴 리가 없어!
"더 낮은 게 아니라, 누가 당신에게 더 낮은 것을 말했습니까?... 내가 이전에 어떤 사람인지 아는 이유는 무엇입니까?" 나타샤는 확신에 차 반대했습니다. -결국 영혼은 불멸입니다. 그러므로 영원히 산다면 이전에도 그렇게 살았고 영원히 살았습니다.
“그렇습니다. 하지만 우리가 영원을 상상하는 것은 어렵습니다.” 온유하고 경멸적인 미소로 젊은이들에게 다가갔지만 이제는 그들처럼 조용하고 진지하게 말하는 Dimmler가 말했습니다.
– 영원을 상상하기 어려운 이유는 무엇입니까? - 나타샤가 말했습니다. - 오늘도 그럴 것이고, 내일도 그럴 것이고, 앞으로도 그럴 것이고, 어제도 그랬고, 어제도 그랬을 것입니다.
- 나타샤! 이제 당신 차례입니다. “나에게 노래를 불러주세요.”백작 부인의 목소리가 들렸습니다. - 당신이 공모자처럼 앉았다고요.
- 어머니! "난 그러고 싶지 않아요." 나타샤가 말하면서도 동시에 자리에서 일어났습니다.
그들 모두, 심지어 중년의 Dimmler조차도 대화를 중단하고 소파 구석을 떠나고 싶지 않았지만 Natasha는 일어 섰고 Nikolai는 클라비코드에 앉았습니다. 언제나 그렇듯이 나타샤는 홀 중앙에 서서 공명하기에 가장 유리한 장소를 선택하여 어머니가 가장 좋아하는 곡을 부르기 시작했습니다.
그녀는 노래하고 싶지 않다고 말했지만, 그전부터 오랫동안 그 날 저녁에 불렀던 방식으로 노래를 부르지 않았다고 말했습니다. Mitinka와 이야기를 나누던 사무실의 Ilya Andreich 백작은 그녀의 노래를 듣고 학생처럼 서둘러 놀러 가서 수업을 마치고 말에 혼란스러워 매니저에게 명령을 내리고 마침내 침묵했습니다. , 그리고 Mitinka도 조용히 미소를 지으며 듣고 있던 백작 앞에 섰습니다. 니콜라이는 여동생에게서 눈을 떼지 않고 그녀와 함께 숨을 쉬었습니다. 소냐는 들으면서 자신과 친구 사이에 얼마나 큰 차이가 있는지, 그리고 자신이 사촌만큼 매력적이지는 않을 것이라는 생각을 했습니다. 늙은 백작 부인은 행복하게 슬픈 미소를 지으며 눈물을 흘리며 앉아 가끔 고개를 저었습니다. 그녀는 나타샤와 그녀의 젊음에 대해, 그리고 다가오는 나타샤와 안드레이 왕자의 결혼에 어떻게 부자연스럽고 끔찍한 일이 있었는지에 대해 생각했습니다.
Dimmler는 백작 부인 옆에 앉아 눈을 감고 귀를 기울였습니다.
"아니요, 백작님. 이것은 유럽의 재능입니다. 그녀는 배울 것이 없습니다. 이 부드러움, 부드러움, 강인함..."
- 아! “내가 그녀를 얼마나 두려워하는지, 내가 얼마나 두려운지.” 백작부인은 자신이 누구와 이야기하고 있는지 기억하지 못한 채 말했다. 그녀의 모성 본능은 나타샤에게 뭔가가 너무 많아서 이것이 그녀를 행복하게 만들지 않을 것이라고 말했습니다. 나타샤가 아직 노래를 마치지 않았을 때 열정적인 14세 페트야가 머머들이 도착했다는 소식을 가지고 방으로 뛰어 들어왔습니다.
나타샤가 갑자기 말을 멈췄다.
- 바보! -그녀는 오빠에게 비명을 지르고 의자로 달려가 그 위에 넘어져 너무 오랫동안 멈출 수 없을 정도로 흐느껴 울었습니다.
"아무것도 아니에요, 엄마, 정말 아무것도 아니에요. 페트야가 저를 겁주었어요." 그녀는 미소를 지으려고 노력했지만 눈물이 계속 흐르고 흐느낌이 목을 막았습니다.
옷을 입은 하인, 곰, 터키인, 여관 주인, 숙녀, 무섭고 우스꽝스럽고 차가움과 재미를 가져다 주면서 처음에는 소심하게 복도에 모여 들었습니다. 그런 다음 그들은 서로 뒤에 숨어 강제로 복도로 들어갔습니다. 처음에는 수줍게, 그러다가 점점 더 유쾌하고 우호적으로 노래, 춤, 합창, 크리스마스 게임이 시작되었습니다. 백작 부인은 얼굴을 알아보고 옷을 입은 사람들을 비웃으며 거실로 들어갔습니다. Ilya Andreich 백작은 환한 미소를 지으며 홀에 앉아 선수들을 칭찬했습니다. 청년은 어디론가 사라졌다.

학교에서도 모든 학생들에게 '유클리드 기하학'이라는 개념을 소개하는데, 그 주요 내용은 점, 평면, 직선, 운동 등의 기하학적 요소를 바탕으로 한 여러 공리에 초점을 맞추고 있습니다. 이들 모두는 오랫동안 "유클리드 공간"으로 알려진 공간을 형성합니다.

벡터의 스칼라 곱셈 원리를 기반으로 하는 유클리드(Euclidean)는 여러 가지 요구 사항을 충족하는 선형(아핀) 공간의 특수한 경우입니다. 첫째, 벡터의 스칼라 곱은 완전히 대칭입니다. 즉, 좌표(x;y)가 있는 벡터는 좌표(y;x)가 있는 벡터와 정량적으로 동일하지만 방향이 반대입니다.

둘째, 벡터의 스칼라 곱이 자체적으로 수행되면 이 작업의 결과는 긍정적일 것입니다. 유일한 예외는 이 벡터의 초기 좌표와 최종 좌표가 0인 경우입니다. 이 경우 벡터 자체의 곱도 0과 같습니다.

셋째, 스칼라 곱은 분포적입니다. 즉, 좌표 중 하나를 두 값의 합으로 분해할 수 있으며, 이는 벡터의 스칼라 곱셈의 최종 결과에 어떠한 변화도 수반하지 않습니다. 마지막으로, 넷째, 벡터에 같은 것을 곱하면 스칼라 곱도 같은 양만큼 증가합니다.

이 네 가지 조건을 모두 만족한다면 이것이 유클리드 공간이라고 자신있게 말할 수 있다.

실용적인 관점에서 유클리드 공간은 다음과 같은 구체적인 예를 통해 특징지어질 수 있습니다.

1. 가장 간단한 경우는 기하학의 기본 법칙에 따라 정의된 스칼라 곱을 갖는 벡터 세트가 존재하는 경우입니다.
2. 유클리드 공간은 벡터를 통해 스칼라 합 또는 곱을 설명하는 주어진 공식을 사용하여 특정 유한 실수 집합을 이해하는 경우에도 얻을 수 있습니다.
3. 유클리드 공간의 특별한 경우는 두 벡터의 스칼라 길이가 0인 경우에 얻어지는 소위 영 공간(null space)으로 인식되어야 합니다.

유클리드 공간에는 여러 가지 특정 속성이 있습니다. 첫째, 스칼라 곱의 첫 번째 및 두 번째 요소 모두에서 스칼라 요소를 괄호에서 꺼낼 수 있으며 결과는 변경되지 않습니다. 둘째, 스칼라곱의 첫 번째 원소의 분포성과 함께 두 번째 원소의 분포성도 작용한다. 또한, 벡터의 스칼라 합 외에도 벡터의 뺄셈의 경우에도 분포성이 발생합니다. 마지막으로, 스칼라에 벡터를 0으로 곱하면 결과도 0이 됩니다.

따라서 유클리드 공간은 스칼라 곱과 같은 개념이 사용되는 것을 특성화하기 위해 벡터의 서로에 대한 상대 위치 문제를 해결하는 데 사용되는 가장 중요한 기하학적 개념입니다.

유클리드 공간

고마워. 볼코바, T.P. 크니쉬.

그리고 정사각형 모양

유클리드 공간

상트 페테르부르크

검토자: 기술 과학 후보자, 부교수 Shkadova A.R.

유클리드 공간과 이차 형태: 강의 노트. – 상트페테르부르크: SPGUVK, 2012 – p.

강의 노트는 학사 학위 010400.62 "응용 수학 및 컴퓨터 과학"의 2학년 학생과 학사 학위 090900.62 "정보 보안"의 1학년 학생을 대상으로 작성되었습니다.

매뉴얼에는 방향 010400.62의 "기하 및 대수" 분야 중 하나와 방향 090900.62의 "대수 및 기하학" 분야 중 하나에 대한 전체 강의 노트가 포함되어 있습니다. 교과서는 분야의 작업 프로그램, 이러한 표준에 해당합니다. 전문 분야이며 학생과 교사가 시험을 준비하는 데 사용할 수 있습니다.

©상트페테르부르크 주

2012년 수상통신대학교

기하학에서 발견되는 물체의 많은 속성은 선분의 길이와 직선 사이의 각도를 측정하는 능력과 밀접한 관련이 있습니다. 선형 공간에서는 아직 그러한 측정을 할 수 없으며 그 결과 선형 공간의 일반 이론을 기하학 및 기타 여러 수학적 분야에 적용하는 범위가 상당히 좁아졌습니다. 그러나 이러한 어려움은 두 벡터의 스칼라 곱 개념을 도입함으로써 제거될 수 있습니다. 즉, 선형차원의 실제 공간이라고 하자. 각 벡터 쌍을 실수와 연관시키고 이 숫자를 호출하겠습니다. 스칼라 곱벡터이고 다음 요구 사항이 충족되는 경우:

1. (교환법칙).

3. 진짜로.

4. 0이 아닌 벡터의 경우.

스칼라 곱은 개념의 특별한 경우입니다. 두 벡터 인수의 숫자 함수, 즉 값이 숫자인 함수입니다. 따라서 스칼라 곱을 벡터 인수의 수치 함수라고 부를 수 있습니다. 이 값은 요구 사항 1~4를 충족하는 인수의 모든 값에 대해 유효합니다.

스칼라 곱이 정의되는 실제 선형 공간은 다음과 같습니다. 유클리드으로 표시됩니다.

유클리드 공간에서 0 벡터와 모든 벡터의 스칼라 곱은 0과 같습니다. 실제로 요구 사항 3으로 인해. 가정하면, 우리는 그것을 얻습니다. 따라서 특히 .

1. 점 에서 공통 원점을 갖는 기하학적 벡터의 일반적인 3차원 공간이라고 하자. 분석 기하학에서 이러한 두 벡터의 스칼라 곱은 와 같은 실수입니다. 여기서 와 는 벡터의 길이이고 는 벡터 사이의 각도입니다 , , 이 숫자에 대해 모든 요구 사항은 1 − 4입니다. 만족합니다.

따라서 우리가 소개하는 스칼라 곱의 개념은 기하학적 벡터의 스칼라 곱 개념을 일반화한 것입니다.

2. 실제 좌표가 있는 차원 행의 공간을 고려하고 이러한 행 벡터의 각 쌍에 실수를 할당합니다.

이 숫자에 대해 모든 요구 사항 1 - 4가 충족되는지 쉽게 확인할 수 있습니다.

그리고 마찬가지로. 마지막으로,

의 숫자 중 적어도 하나가 0이 아니기 때문입니다.

여기서 우리는 이 숫자가 문자열 벡터와 의 스칼라 곱이고, 그러한 스칼라 곱을 도입한 후 공간이 유클리드가 된다는 것을 알 수 있습니다.

3. 선형의 실제 차원 공간을 만들고 그 기초의 일부가 되도록 하세요. 벡터의 각 쌍을 실수와 연관시켜 보겠습니다. 그러면 공간은 유클리드(Euclidean)로 바뀔 것입니다. 즉, 숫자는 벡터와 의 스칼라 곱이 됩니다. 물론:

다른 방법으로 공간을 유클리드 공간으로 바꿀 수도 있습니다. 예를 들어 벡터 쌍, 즉 실수를 할당할 수 있습니다.

그리고 그러한 숫자에 대해 스칼라 곱을 특징짓는 모든 요구 사항 1 - 4가 충족되는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 여기에서 (동일한 기초로) 다른 수치 함수를 정의했기 때문에 다른 "측정 정의"를 가진 다른 유클리드 공간을 얻습니다.

4. 마지막으로, 같은 공간으로 돌아가서, 에 대해 동등성 으로 정의되는 수치 함수를 고려하십시오. 요구 사항 4가 위반되었으므로 이 함수는 더 이상 스칼라 곱이 아닙니다. , 경우 벡터는 , a 와 같습니다. 따라서 여기서는 유클리드 공간을 얻을 수 없습니다.

스칼라 곱의 정의에 포함된 요구 사항 2와 3을 사용하면 다음 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다.

여기서 는 두 개의 임의 벡터 시스템입니다. 특히 여기에서 임의의 기준과 벡터 쌍에 대해 다음이 성립합니다.

어디 . 등식(1)의 우변의 표현식은 과 의 다항식이며 다음과 같이 불립니다. 이중선형에서 및 (각 항은 선형입니다. 즉, 와 관련하여 모두 1차입니다). 이중선형 형식이 호출됩니다. 대칭, 각 계수에 대해 대칭 조건이 충족되면. 따라서, 스칼라 곱 임의로 벡터 좌표의 쌍선형 대칭 형태로 표현됩니다. , 진짜 확률로. 그러나 이것으로는 아직 충분하지 않습니다. 즉, 설정 , 우리는 평등 (1)으로부터 다음을 얻습니다.

§삼. 벡터 공간의 차원과 기초

벡터의 선형 조합

사소하고 사소하지 않은 선형 조합

선형 종속 및 선형 독립 벡터

벡터의 선형 의존성과 관련된 벡터 공간의 속성

피-차원 벡터 공간

벡터 공간의 차원

벡터를 기저로 분해

§4. 새로운 기반으로의 전환

이전 기반에서 새 기반으로의 전환 매트릭스

새로운 기초의 벡터 좌표

§5. 유클리드 공간

스칼라 곱

유클리드 공간

벡터의 길이(표준)

벡터 길이의 속성

벡터 사이의 각도

직교 벡터

직교기저

§ 삼. 벡터 공간의 차원과 기초

필드에 대한 일부 벡터 공간(V, Å, Ø)을 고려하십시오. 아르 자형. 집합 V의 일부 요소를 보자. 벡터.

선형 조합벡터는 필드의 임의 요소에 대한 이러한 벡터의 곱의 합과 같은 벡터입니다. 아르 자형(즉, 스칼라에서):

모든 스칼라가 0이면 이러한 선형 조합을 호출합니다. 하찮은(가장 간단함) 및 .

적어도 하나의 스칼라가 0이 아닌 경우 선형 조합이 호출됩니다. 사소하지 않은.

벡터는 다음과 같습니다. 선형독립, 이들 벡터의 간단한 선형 조합만이 다음과 같은 경우:

벡터는 다음과 같습니다. 선형 종속, 이 벡터의 적어도 하나의 중요하지 않은 선형 조합이 있는 경우 .

예. 실수 4배의 순서 집합 집합을 생각해 보세요. 이것은 실수 필드에 대한 벡터 공간입니다. 작업: 벡터가 다음과 같은지 확인하세요. , 그리고 선형 의존적입니다.

해결책.

다음 벡터의 선형 조합을 만들어 보겠습니다. , 여기서 는 알 수 없는 숫자입니다. 이 선형 조합은 0 벡터와 같아야 합니다.

이 동등성에서는 벡터를 숫자 열로 작성합니다.

이 등식이 성립하는 숫자가 있고 숫자 중 적어도 하나가 0이 아닌 경우 이는 중요한 선형 결합이며 벡터는 선형 종속입니다.

다음을 수행해 보겠습니다.

따라서 문제는 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됩니다.

이를 해결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

시스템의 확장 행렬과 주 행렬의 순위는 동일하고 미지수의 수보다 작으므로 시스템에는 무한한 수의 해가 있습니다.

, 그리고 .

따라서 이러한 벡터의 경우 중요한 선형 조합이 있습니다(예: at ). 이는 0 벡터와 동일하며, 이는 이러한 벡터가 선형 종속적임을 의미합니다.

몇 가지 참고하자 벡터의 선형 의존성과 관련된 벡터 공간의 속성:

1. 벡터가 선형 종속이면 그 중 적어도 하나는 다른 벡터의 선형 결합입니다.

2. 벡터 중에 0 벡터가 있으면 이러한 벡터는 선형 종속입니다.

3. 일부 벡터가 선형 종속이면 이러한 벡터도 모두 선형 종속입니다.

벡터 공간 V는 다음과 같습니다. 피-차원 벡터 공간, 포함된 경우 피선형독립 벡터와 ( 피+ 1) 벡터는 선형 종속적입니다.

숫자 피~라고 불리는 벡터 공간의 차원, 그리고 다음과 같이 표시된다. 희미한(V)영어 "치수"에서 - 치수(측정, 크기, 치수, 크기, 길이 등).

전체 피일차독립 벡터 피-차원 벡터 공간이 호출됩니다. 기초.

수식(*)은 다음과 같습니다. 벡터 분해 기준으로, 그리고 숫자 – 벡터 좌표이를 바탕으로 .

벡터 공간은 하나 이상의 염기를 가질 수 있으며 심지어 무한히 많은 염기를 가질 수도 있습니다. 각각의 새로운 기초에서 동일한 벡터는 다른 좌표를 갖습니다.

§ 4. 새로운 기반으로의 전환

선형 대수학에서는 이전 기저의 좌표가 알려진 경우 새 기저에서 벡터의 좌표를 찾는 문제가 자주 발생합니다.

몇 가지를 살펴보자 피-필드 위의 차원 벡터 공간(V, +, ·) 아르 자형. 이 공간에는 오래된 것과 새로운 것, 두 가지 기반이 있게 해주세요. .

작업: 새 기초에서 벡터의 좌표를 찾습니다.

기존 기저의 새 기저 벡터가 확장되도록 합니다.

,

벡터의 좌표를 시스템에 기록된 것처럼 행이 아닌 열에 행렬에 기록해 보겠습니다.

결과 행렬은 다음과 같습니다. 전이 행렬오래된 기초에서 새로운 기초로.

전이 행렬은 다음 관계를 통해 이전 기반과 새 기반의 벡터 좌표를 연결합니다.

,

새로운 기저에서 벡터의 원하는 좌표는 어디에 있습니까?

따라서 새로운 기초에서 벡터 좌표를 찾는 작업은 행렬 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. 엑스– 이전 기준의 벡터 좌표의 행렬 열, ㅏ– 이전 기반에서 새 기반으로의 전환 매트릭스, 엑스* – 새로운 기준에서 필요한 벡터 좌표의 행렬 열입니다. 행렬 방정식으로부터 우리는 다음을 얻습니다:

그래서, 벡터 좌표 새로운 기반으로평등에서 발견됩니다.

.

예.특정 기준에서 벡터 분해는 다음과 같이 제공됩니다.

기저에서 벡터의 좌표를 찾으십시오.

해결책.

1. 전환 행렬을 새로운 기반으로 작성해 보겠습니다. 이전 기준의 벡터 좌표를 열에 씁니다.

2. 행렬 찾기 ㅏ –1:

3. 곱셈을 수행합니다. 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

답변: .

§ 5. 유클리드 공간

몇 가지를 살펴보자 피-실수장 위의 차원 벡터 공간(V, +, ·) 아르 자형. 이 공간의 기반이 되기를 바랍니다.

이 벡터 공간을 소개하겠습니다. 미터법, 즉. 길이와 각도를 측정하는 방법을 결정합시다. 이를 위해 스칼라 곱의 개념을 정의합니다.