अंकगणितातील फरक कसा शोधायचा. अंकगणित आणि भूमितीय प्रगती

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर.
अंकगणित प्रगती सोडवणे.
दिलेले: a n, d, n
शोधा: a 1

हा गणिती कार्यक्रम वापरकर्त्याने निर्दिष्ट केलेल्या संख्यांवर आधारित \(a_1\) अंकगणित प्रगती शोधतो \(a_n, d\) आणि \(n\).
संख्या \(a_n\) आणि \(d\) केवळ पूर्णांक म्हणून नव्हे तर अपूर्णांक म्हणून देखील निर्दिष्ट केल्या जाऊ शकतात. शिवाय, अपूर्णांक संख्या दशांश अपूर्णांक (\(2.5\)) आणि सामान्य अपूर्णांक (\(-5\frac(2)(7)\)) च्या स्वरूपात प्रविष्ट केली जाऊ शकते.

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही तर उपाय शोधण्याची प्रक्रिया देखील प्रदर्शित करतो.

हे ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर माध्यमिक शाळांमधील हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांना चाचण्या आणि परीक्षांची तयारी करताना, युनिफाइड स्टेट परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी करताना आणि पालकांसाठी गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकते. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा आपण फक्त आपले गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करू इच्छिता? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार उपायांसह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे प्रशिक्षण आणि/किंवा तुमच्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर समस्या सोडवण्याच्या क्षेत्रात शिक्षणाचा स्तर वाढतो.

आपण संख्या प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी परिचित व्हा.

संख्या प्रविष्ट करण्याचे नियम

संख्या \(a_n\) आणि \(d\) केवळ पूर्णांक म्हणून नव्हे तर अपूर्णांक म्हणून देखील निर्दिष्ट केल्या जाऊ शकतात.
संख्या \(n\) केवळ धन पूर्णांक असू शकते.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकांमधील पूर्णांक आणि अपूर्णांक भाग एकतर पूर्णविराम किंवा स्वल्पविरामाने वेगळे केले जाऊ शकतात.
उदाहरणार्थ, तुम्ही 2.5 किंवा 2.5 सारखे दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करू शकता

सामान्य अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
अपूर्णांकाचा अंश, भाजक आणि पूर्णांक भाग म्हणून केवळ पूर्ण संख्याच कार्य करू शकते.

भाजक ऋणात्मक असू शकत नाही.

संख्यात्मक अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, भागाकार चिन्हाद्वारे अंश विभक्त केला जातो: /
इनपुट:
परिणाम: \(-\frac(2)(3)\)

अँपरसँड चिन्हाद्वारे संपूर्ण भाग अपूर्णांकापासून विभक्त केला जातो: &
इनपुट:
परिणाम: \(-1\frac(2)(3)\)

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड केल्या गेल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही असे आढळून आले.
तुम्ही AdBlock सक्षम केले असावे.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण समस्या सोडवण्यासाठी खूप लोक इच्छुक आहेत, तुमची विनंती रांगेत आहे.
काही सेकंदात उपाय खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा काय फील्ड मध्ये प्रविष्ट करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

संख्या क्रम

दैनंदिन व्यवहारात, विविध वस्तूंची संख्या ही त्यांची मांडणी कोणत्या क्रमाने केली जाते हे दर्शविण्यासाठी केली जाते. उदाहरणार्थ, प्रत्येक रस्त्यावरील घरे क्रमांकित आहेत. लायब्ररीमध्ये, वाचकांची सदस्यता क्रमांकित केली जाते आणि नंतर विशेष कार्ड फायलींमध्ये नियुक्त केलेल्या क्रमांकाच्या क्रमाने व्यवस्था केली जाते.

बचत बँकेत, ठेवीदाराचा वैयक्तिक खाते क्रमांक वापरून, तुम्ही हे खाते सहजपणे शोधू शकता आणि त्यावर कोणती ठेव आहे ते पाहू शकता. खाते क्रमांक 1 मध्ये a1 रूबलची ठेव असू द्या, खाते क्रमांक 2 मध्ये a2 रूबलची ठेव असू द्या, इ. संख्या क्रम
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a N
जेथे N ही सर्व खात्यांची संख्या आहे. येथे, 1 पासून N पर्यंत प्रत्येक नैसर्गिक संख्या n ही संख्या a n शी संबंधित आहे.

गणिताचाही अभ्यास केला अनंत संख्या क्रम:
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .
क्रमांक a 1 म्हणतात अनुक्रमाची पहिली टर्म, क्रमांक a 2 - अनुक्रमाची दुसरी टर्म, क्रमांक a 3 - अनुक्रमाची तिसरी टर्मइ.
संख्या a n म्हणतात क्रमाचा nth (nवा) सदस्य, आणि नैसर्गिक संख्या n आहे संख्या.

उदाहरणार्थ, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... आणि 1 = 1 ही अनुक्रमांची पहिली संज्ञा आहे; आणि n = n 2 हे अनुक्रमाचे nवे पद आहे; a n+1 = (n + 1) 2 ही अनुक्रमाची (n + 1)वी (n अधिक प्रथम) संज्ञा आहे. अनेकदा एक क्रम त्याच्या न्व्या पदाच्या सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, सूत्र \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) अनुक्रम \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

अंकगणित प्रगती

वर्षाची लांबी अंदाजे 365 दिवस असते. अधिक अचूक मूल्य \(365\frac(1)(4)\) दिवस आहे, म्हणून दर चार वर्षांनी एका दिवसाची त्रुटी जमा होते.

या त्रुटीसाठी, प्रत्येक चौथ्या वर्षात एक दिवस जोडला जातो आणि वाढलेल्या वर्षाला लीप वर्ष म्हणतात.

उदाहरणार्थ, तिसऱ्या सहस्राब्दीमध्ये, लीप वर्षे म्हणजे 2004, 2008, 2012, 2016, ....

या क्रमामध्ये, प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्याच्या समान आहे, त्याच क्रमांक 4 मध्ये जोडला जातो. अशा अनुक्रमांना म्हणतात. अंकगणित प्रगती.

व्याख्या.
संख्या क्रम a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... म्हणतात अंकगणित प्रगती, जर सर्व नैसर्गिक आणि समानतेसाठी
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
जिथे d ही काही संख्या आहे.

या सूत्रावरून असे आढळते की a n+1 - a n = d. d या संख्येला फरक म्हणतात अंकगणित प्रगती.

अंकगणित प्रगतीच्या व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
कुठे
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \, कुठे \(n>1 \)

अशाप्रकारे, अंकगणिताच्या प्रगतीची प्रत्येक संज्ञा, दुसऱ्यापासून सुरू होणारी, त्याच्या दोन समीप पदांच्या अंकगणितीय माध्याइतकी असते. हे नाव "अंकगणित" प्रगती स्पष्ट करते.

लक्षात घ्या की 1 आणि d दिल्यास, अंकगणित प्रगतीच्या उर्वरित संज्ञा a n+1 = a n + d या आवर्ती सूत्राचा वापर करून मोजल्या जाऊ शकतात. अशाप्रकारे प्रगतीच्या पहिल्या काही अटींची गणना करणे कठीण नाही, तथापि, उदाहरणार्थ, 100 ला आधीपासूनच बर्याच गणनांची आवश्यकता असेल. सामान्यत: यासाठी nth संज्ञा सूत्र वापरला जातो. अंकगणित प्रगतीच्या व्याख्येनुसार
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
इ.
अजिबात,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
अंकगणित प्रगतीची nवी संज्ञा पहिल्या पदापासून (n-1) पट संख्या d जोडून प्राप्त केली जाते.
हे सूत्र म्हणतात अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्र.

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज

1 ते 100 पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांची बेरीज शोधा.
ही रक्कम दोन प्रकारे लिहूया:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
या समानता टर्म टर्मनुसार जोडूया:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
या बेरीजमध्ये 100 अटी आहेत
म्हणून, 2S = 101 * 100, म्हणून S = 101 * 50 = 5050.

आता आपण एका अनियंत्रित अंकगणिताच्या प्रगतीचा विचार करू या
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज S n असू द्या:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
मग अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज समान आहे
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\) पासून, नंतर या सूत्रात n बदलल्यास आपल्याला शोधण्यासाठी दुसरे सूत्र मिळेल अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

अंकगणित प्रगतीसंख्यांच्या क्रमाला नाव द्या (प्रगतीच्या अटी)

ज्यामध्ये प्रत्येक त्यानंतरची संज्ञा नवीन पदाद्वारे मागील एकापेक्षा वेगळी असते, ज्याला देखील म्हणतात पाऊल किंवा प्रगती फरक.

अशा प्रकारे, प्रगतीची पायरी आणि त्याची पहिली टर्म निर्दिष्ट करून, तुम्ही सूत्र वापरून त्यातील कोणतेही घटक शोधू शकता.

अंकगणित प्रगतीचे गुणधर्म

1) अंकगणित प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्या क्रमांकापासून सुरू होणारा, प्रगतीच्या मागील आणि पुढील सदस्यांचा अंकगणितीय सरासरी आहे.

संभाषण देखील खरे आहे. प्रगतीच्या समीप विषम (सम) पदांचा अंकगणितीय माध्य त्यांच्या दरम्यान उभ्या असलेल्या पदाच्या समान असेल, तर संख्यांचा हा क्रम अंकगणितीय प्रगती आहे. या विधानाचा वापर करून, कोणताही क्रम तपासणे खूप सोपे आहे.

तसेच, अंकगणिताच्या प्रगतीच्या गुणधर्मानुसार, वरील सूत्र खालीलप्रमाणे सामान्यीकृत केले जाऊ शकते

तुम्ही समान चिन्हाच्या उजवीकडे अटी लिहिल्यास हे सत्यापित करणे सोपे आहे

समस्यांमध्ये गणिते सोपी करण्यासाठी हे सहसा सरावात वापरले जाते.

2) अंकगणित प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज सूत्र वापरून काढली जाते

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या बेरजेचे सूत्र नीट लक्षात ठेवा; ते गणनेमध्ये अपरिहार्य आहे आणि बरेचदा साध्या जीवन परिस्थितीत आढळते.

३) जर तुम्हाला संपूर्ण बेरीज शोधायची नाही तर त्याच्या kth टर्मपासून सुरू होणाऱ्या क्रमाचा काही भाग शोधायचा असेल तर खालील बेरीज सूत्र तुमच्यासाठी उपयुक्त ठरेल.

4) kth क्रमांकापासून सुरू होणाऱ्या अंकगणिताच्या प्रगतीच्या n पदांची बेरीज शोधणे हे व्यावहारिक स्वारस्य आहे. हे करण्यासाठी, सूत्र वापरा

हे सैद्धांतिक साहित्याचा निष्कर्ष काढते आणि व्यवहारात सामान्य समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी पुढे जाते.

उदाहरण 1. अंकगणिताच्या प्रगतीचा चाळीसावा पद शोधा 4;7;...

उपाय:

आमच्याकडे असलेल्या अटीनुसार

चला प्रगतीची पायरी निश्चित करूया

एक सुप्रसिद्ध सूत्र वापरून, आपल्याला प्रगतीची चाळीसावी संज्ञा आढळते

उदाहरण २. अंकगणिताची प्रगती त्याच्या तिसऱ्या आणि सातव्या पदांद्वारे दिली जाते. प्रगतीची पहिली संज्ञा आणि दहाची बेरीज शोधा.

उपाय:

सूत्रांचा वापर करून प्रगतीचे दिलेले घटक लिहू

आम्ही दुसऱ्या समीकरणातून पहिले वजा करतो, परिणामी आम्हाला प्रगतीची पायरी सापडते

अंकगणिताच्या प्रगतीची पहिली संज्ञा शोधण्यासाठी आम्ही कोणत्याही समीकरणामध्ये सापडलेल्या मूल्याची जागा घेतो

आम्ही प्रगतीच्या पहिल्या दहा पदांच्या बेरजेची गणना करतो

जटिल गणना न वापरता, आम्हाला सर्व आवश्यक प्रमाणात आढळले.

उदाहरण 3. अंकगणितीय प्रगती भाजक आणि त्यातील एका पदाद्वारे दिली जाते. प्रगतीची पहिली संज्ञा, 50 पासून सुरू होणाऱ्या 50 पदांची बेरीज आणि पहिल्या 100 ची बेरीज शोधा.

उपाय:

प्रगतीच्या शंभरव्या घटकाचे सूत्र लिहू

आणि पहिला शोधा

पहिल्यावर आधारित, आम्हाला प्रगतीची 50 वी संज्ञा आढळते

प्रगतीच्या भागाची बेरीज शोधणे

आणि पहिल्या 100 ची बेरीज

प्रगती रक्कम 250 आहे.

उदाहरण ४.

अंकगणित प्रगतीच्या संज्ञांची संख्या शोधा जर:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

उपाय:

प्रथम पद आणि प्रगतीच्या पायरीच्या संदर्भात समीकरणे लिहू आणि ते निर्धारित करू

बेरीजमधील पदांची संख्या निश्चित करण्यासाठी आम्ही प्राप्त मूल्ये बेरीज सूत्रामध्ये बदलतो

आम्ही सरलीकरण करतो

आणि द्विघात समीकरण सोडवा

सापडलेल्या दोन मूल्यांपैकी, फक्त 8 संख्या समस्या परिस्थितीशी जुळते. अशा प्रकारे, प्रगतीच्या पहिल्या आठ पदांची बेरीज 111 आहे.

उदाहरण ५.

समीकरण सोडवा

१+३+५+...x=३०७.

उपाय: हे समीकरण म्हणजे अंकगणिताच्या प्रगतीची बेरीज आहे. चला त्याची पहिली संज्ञा लिहू आणि प्रगतीमधील फरक शोधू

बर्याच लोकांनी अंकगणित प्रगतीबद्दल ऐकले आहे, परंतु प्रत्येकाला ते काय आहे याची चांगली कल्पना नाही. या लेखात आम्ही संबंधित व्याख्या देऊ, आणि अंकगणित प्रगतीचा फरक कसा शोधायचा या प्रश्नावर देखील विचार करू आणि अनेक उदाहरणे देऊ.

गणितीय व्याख्या

म्हणून, जर आपण अंकगणित किंवा बीजगणितीय प्रगतीबद्दल बोलत आहोत (या संकल्पना समान गोष्ट परिभाषित करतात), तर याचा अर्थ असा आहे की खालील कायद्याचे समाधान करणारी एक विशिष्ट संख्या मालिका आहे: मालिकेतील प्रत्येक दोन समीप संख्या समान मूल्याने भिन्न आहेत. गणितीयदृष्ट्या हे असे लिहिले आहे:

येथे n म्हणजे अनुक्रमातील a n या घटकाची संख्या, आणि संख्या d हा प्रगतीचा फरक आहे (त्याचे नाव सादर केलेल्या सूत्रावरून आले आहे).

डी फरक जाणून घेणे म्हणजे काय? शेजारील संख्या एकमेकांपासून किती "दूर" आहेत याबद्दल. तथापि, संपूर्ण प्रगती निश्चित करण्यासाठी (पुनर्संचयित करण्यासाठी) d चे ज्ञान आवश्यक आहे परंतु पुरेशी अट नाही. आपल्याला आणखी एक संख्या माहित असणे आवश्यक आहे, जी विचाराधीन मालिकेतील पूर्णपणे कोणतेही घटक असू शकते, उदाहरणार्थ, 4, ए 10, परंतु, नियम म्हणून, ते प्रथम क्रमांक वापरतात, म्हणजे 1.

प्रगती घटक निश्चित करण्यासाठी सूत्रे

सर्वसाधारणपणे, विशिष्ट समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी वरील माहिती आधीच पुरेशी आहे. तरीसुद्धा, अंकगणिताची प्रगती देण्यापूर्वी, आणि त्यातील फरक शोधणे आवश्यक असेल, आम्ही काही उपयुक्त सूत्रे सादर करू, ज्यामुळे समस्यांचे निराकरण करण्याची पुढील प्रक्रिया सुलभ होईल.

हे दर्शविणे सोपे आहे की क्रमांक n सह अनुक्रमातील कोणताही घटक खालीलप्रमाणे आढळू शकतो:

a n = a 1 + (n - 1) * d

खरंच, कोणीही साध्या शोधाद्वारे हे सूत्र तपासू शकतो: जर तुम्ही n = 1 ची जागा घेतली, तर तुम्हाला पहिला घटक मिळेल, जर तुम्ही n = 2 बदललात, तर अभिव्यक्ती पहिल्या संख्येची बेरीज आणि फरक देते आणि असेच.

बऱ्याच समस्यांच्या परिस्थिती अशा प्रकारे बनविल्या जातात की, ज्ञात संख्यांची जोडी दिल्यास, त्यातील संख्या देखील अनुक्रमात दिल्या आहेत, संपूर्ण संख्या मालिका (फरक आणि पहिला घटक शोधा) पुनर्रचना करणे आवश्यक आहे. आता आपण ही समस्या सामान्य स्वरूपात सोडवू.

तर, n आणि m संख्या असलेले दोन घटक देऊ. वरील प्राप्त सूत्र वापरून, आपण दोन समीकरणांची प्रणाली तयार करू शकता:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

अज्ञात प्रमाण शोधण्यासाठी, आम्ही अशा प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी एक सुप्रसिद्ध सोप्या तंत्राचा वापर करू: डाव्या आणि उजव्या बाजू जोड्यांमध्ये वजा करा, समानता वैध राहील. आमच्याकडे आहे:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

अशा प्रकारे, आम्ही एक अज्ञात (a 1) वगळला आहे. आता आपण d निश्चित करण्यासाठी अंतिम अभिव्यक्ती लिहू शकतो:

d = (a n - a m) / (n - m), जेथे n > m

आम्हाला एक अतिशय साधे सूत्र प्राप्त झाले: समस्येच्या परिस्थितीनुसार फरक d ची गणना करण्यासाठी, केवळ घटक आणि त्यांच्या अनुक्रमांकांमधील फरकांचे गुणोत्तर घेणे आवश्यक आहे. एका महत्त्वाच्या मुद्द्याकडे लक्ष दिले पाहिजे: "वरिष्ठ" आणि "कनिष्ठ" सदस्यांमधील फरक घेतला जातो, म्हणजे, n > m ("वरिष्ठ" म्हणजे अनुक्रमाच्या सुरुवातीपासून पुढे उभे राहणे, त्याचे परिपूर्ण मूल्य एकतर असू शकते. अधिक किंवा कमी अधिक "कनिष्ठ" घटक).

पहिल्या टर्मचे मूल्य प्राप्त करण्यासाठी समस्या सोडवण्याच्या सुरूवातीस कोणत्याही समीकरणांमध्ये फरक d प्रगतीसाठी अभिव्यक्ती बदलली पाहिजे.

आमच्या संगणक तंत्रज्ञानाच्या विकासाच्या युगात, अनेक शाळकरी मुले त्यांच्या असाइनमेंटसाठी इंटरनेटवर उपाय शोधण्याचा प्रयत्न करतात, म्हणून या प्रकारचे प्रश्न वारंवार उद्भवतात: ऑनलाइन अंकगणित प्रगतीचा फरक शोधा. अशा विनंतीसाठी, शोध इंजिन अनेक वेब पृष्ठे परत करेल, ज्यावर जाऊन तुम्हाला स्थितीवरून ज्ञात डेटा प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे (हे एकतर प्रगतीच्या दोन अटी असू शकतात किंवा त्यापैकी काही विशिष्ट संख्येची बेरीज असू शकतात. ) आणि त्वरित उत्तर प्राप्त करा. तथापि, समस्येचे निराकरण करण्याचा हा दृष्टीकोन विद्यार्थ्याच्या विकासाच्या आणि त्याला नियुक्त केलेल्या कार्याचे सार समजून घेण्याच्या दृष्टीने अनुत्पादक आहे.

सूत्रे न वापरता उपाय

दिलेले कोणतेही सूत्र न वापरता पहिली समस्या सोडवू. मालिकेतील घटक द्या: a6 = 3, a9 = 18. अंकगणित प्रगतीचा फरक शोधा.

ज्ञात घटक एका ओळीत एकमेकांच्या जवळ उभे असतात. सर्वात मोठा मिळविण्यासाठी सर्वात लहान मध्ये फरक d किती वेळा जोडला पाहिजे? तीन वेळा (पहिल्यांदा d जोडल्यावर, आपल्याला 7 वा घटक मिळतो, दुसऱ्यांदा - आठव्या, शेवटी, तिसऱ्यांदा - नववा). 18 मिळविण्यासाठी कोणती संख्या तीन तीन वेळा जोडली पाहिजे? हा क्रमांक पाच आहे. खरोखर:

अशा प्रकारे, अज्ञात फरक d = 5.

अर्थात, योग्य सूत्र वापरून तोडगा काढता आला असता, परंतु हे हेतुपुरस्सर केले गेले नाही. समस्येच्या निराकरणाचे तपशीलवार स्पष्टीकरण अंकगणित प्रगती म्हणजे काय याचे स्पष्ट आणि स्पष्ट उदाहरण बनले पाहिजे.

मागील एक समान कार्य

आता एक समान समस्या सोडवू, परंतु इनपुट डेटा बदलू. तर, तुम्हाला a3 = 2, a9 = 19 आढळले पाहिजे.

अर्थात, तुम्ही पुन्हा “हेड-ऑन” सोल्यूशन पद्धतीचा अवलंब करू शकता. परंतु मालिकेतील घटक दिलेले आहेत, जे एकमेकांपासून तुलनेने दूर आहेत, ही पद्धत पूर्णपणे सोयीस्कर होणार नाही. परंतु परिणामी सूत्र वापरल्याने आम्हाला त्वरीत उत्तर मिळेल:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

येथे आपण अंतिम संख्या पूर्ण केली आहे. या राउंडिंगमुळे किती प्रमाणात त्रुटी आली हे निकाल तपासून ठरवता येईल:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

हा परिणाम स्थितीत दिलेल्या मूल्यापेक्षा फक्त 0.1% ने भिन्न आहे. म्हणून, जवळच्या शंभरावा भागासाठी वापरलेली गोलाकार यशस्वी निवड मानली जाऊ शकते.

पदासाठी सूत्र लागू करण्यात समस्या

अज्ञात d निश्चित करण्यासाठी समस्येचे उत्कृष्ट उदाहरण पाहू: a1 = 12, a5 = 40 असल्यास अंकगणित प्रगतीचा फरक शोधा.

जेव्हा अज्ञात बीजगणितीय क्रमाच्या दोन संख्या दिल्या जातात आणि त्यापैकी एक घटक a 1 असतो, तेव्हा तुम्हाला दीर्घ विचार करण्याची गरज नाही, परंतु ताबडतोब a n पदासाठी सूत्र लागू केले पाहिजे. या प्रकरणात आमच्याकडे आहे:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

विभाजित करताना आम्हाला अचूक संख्या प्राप्त झाली, म्हणून मागील परिच्छेदात केल्याप्रमाणे गणना केलेल्या निकालाची अचूकता तपासण्यात काही अर्थ नाही.

चला आणखी एक समान समस्या सोडवू: a1 = 16, a8 = 37 असल्यास अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक शोधणे आवश्यक आहे.

आम्ही मागील प्रमाणेच एक दृष्टीकोन वापरतो आणि मिळवतो:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

अंकगणिताच्या प्रगतीबद्दल तुम्हाला आणखी काय माहित असावे?

अज्ञात फरक किंवा वैयक्तिक घटक शोधण्याच्या समस्यांव्यतिरिक्त, अनुक्रमाच्या पहिल्या पदांच्या बेरजेच्या समस्या सोडवणे देखील आवश्यक असते. या समस्यांचा विचार लेखाच्या व्याप्तीच्या पलीकडे आहे, तथापि, माहितीच्या पूर्णतेसाठी, आम्ही मालिकेतील n संख्यांच्या बेरजेसाठी एक सामान्य सूत्र सादर करतो:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

संख्या क्रमाची संकल्पना सूचित करते की प्रत्येक नैसर्गिक संख्या काही वास्तविक मूल्याशी संबंधित आहे. संख्यांची अशी मालिका एकतर अनियंत्रित असू शकते किंवा विशिष्ट गुणधर्म असू शकतात - एक प्रगती. नंतरच्या प्रकरणात, अनुक्रमाचा प्रत्येक त्यानंतरचा घटक (सदस्य) मागील घटक वापरून मोजला जाऊ शकतो.

अंकगणित प्रगती हा संख्यात्मक मूल्यांचा एक क्रम आहे ज्यामध्ये त्याचे शेजारी सदस्य समान संख्येने एकमेकांपासून भिन्न असतात (2 रा पासून सुरू होणाऱ्या मालिकेतील सर्व घटक समान गुणधर्म आहेत). ही संख्या - मागील आणि त्यानंतरच्या संज्ञांमधील फरक - स्थिर आहे आणि त्याला प्रगती फरक म्हणतात.

प्रगती फरक: व्याख्या

j मूल्यांचा विचार करा A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j नैसर्गिक संख्या N च्या संचाशी संबंधित आहे. एक अंकगणित प्रगती, त्याच्या व्याख्येनुसार, एक क्रम आहे, ज्यामध्ये a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. मूल्य d हा या प्रगतीचा इच्छित फरक आहे.

d = a(j) – a(j-1).

हायलाइट:

• वाढती प्रगती, ज्या बाबतीत d > 0. उदाहरण: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• कमी होत जाणारी प्रगती, नंतर डी< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

फरक प्रगती आणि त्याचे अनियंत्रित घटक

जर प्रगतीच्या 2 अनियंत्रित अटी ज्ञात असतील (i-th, k-th), तर दिलेल्या अनुक्रमासाठी फरक संबंधांच्या आधारे निर्धारित केला जाऊ शकतो:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, म्हणजे d = (a(i) – a(k))/(i-k).

प्रगतीचा फरक आणि त्याची पहिली टर्म

ही अभिव्यक्ती केवळ अनुक्रम घटकाची संख्या ज्ञात असलेल्या प्रकरणांमध्ये अज्ञात मूल्य निर्धारित करण्यात मदत करेल.

प्रगती फरक आणि त्याची बेरीज

प्रगतीची बेरीज ही त्याच्या पदांची बेरीज असते. त्याच्या पहिल्या j घटकांच्या एकूण मूल्याची गणना करण्यासाठी, योग्य सूत्र वापरा:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, पण पासून a(j) = a(1) + d(j – 1), नंतर S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

जर प्रत्येक नैसर्गिक संख्येसाठी n वास्तविक संख्या जुळवा एक एन , नंतर ते म्हणतात की ते दिले आहे संख्या क्रम :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , एक एन , . . . .

तर, संख्या क्रम हे नैसर्गिक वितर्काचे कार्य आहे.

क्रमांक a 1 म्हणतात अनुक्रमाची पहिली टर्म , संख्या a 2 — अनुक्रमाची दुसरी टर्म , संख्या a 3 — तिसऱ्या आणि असेच. क्रमांक एक एन म्हणतात क्रमाचा nवा सदस्य , आणि नैसर्गिक संख्या n — त्याचा नंबर .

जवळच्या दोन सदस्यांकडून एक एन आणि एक एन +1 अनुक्रम सदस्य एक एन +1 म्हणतात त्यानंतरचे (कडे एक एन ), ए एक एन — मागील (कडे एक एन +1 ).

अनुक्रम परिभाषित करण्यासाठी, तुम्हाला अशी पद्धत निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे जी तुम्हाला कोणत्याही संख्येसह अनुक्रमाचा सदस्य शोधण्याची परवानगी देते.

अनेकदा वापरून क्रम निर्दिष्ट केला जातो nवी टर्म सूत्रे , म्हणजे, एक सूत्र जो तुम्हाला अनुक्रमाचा सदस्य त्याच्या संख्येनुसार निर्धारित करण्यास अनुमती देतो.

उदाहरणार्थ,

सूत्राद्वारे सकारात्मक विषम संख्यांचा क्रम दिला जाऊ शकतो

एक एन= 2n- 1,

आणि पर्यायी क्रम 1 आणि -1 - सुत्र

b n = (-1)n +1 . ◄

क्रम ठरवता येतो आवर्ती सूत्र, म्हणजे, एक सूत्र जे मागील (एक किंवा अधिक) सदस्यांद्वारे, काही पासून सुरू होणाऱ्या, अनुक्रमातील कोणताही सदस्य व्यक्त करतो.

उदाहरणार्थ,

तर a 1 = 1 , ए एक एन +1 = एक एन + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

तर a 1= 1, a 2 = 1, एक एन +2 = एक एन + एक एन +1 , मग संख्यात्मक क्रमाच्या पहिल्या सात संज्ञा खालीलप्रमाणे स्थापित केल्या आहेत:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम असू शकतात अंतिम आणि अंतहीन .

क्रम म्हणतात अंतिम , त्यात सदस्यांची मर्यादित संख्या असल्यास. क्रम म्हणतात अंतहीन , त्यात अमर्यादपणे अनेक सदस्य असल्यास.

उदाहरणार्थ,

दोन-अंकी नैसर्गिक संख्यांचा क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम

मूळ संख्यांचा क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अंतहीन ◄

क्रम म्हणतात वाढत आहे , जर त्याचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्यापेक्षा मोठा असेल.

क्रम म्हणतात कमी होत आहे , जर त्याचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्यापेक्षा कमी असेल.

उदाहरणार्थ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - वाढणारा क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - क्रम कमी होत आहे. ◄

ज्या क्रमाने घटक संख्या वाढते तसे कमी होत नाहीत किंवा उलट वाढत नाहीत, अशा क्रमाला म्हणतात. नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेषतः, अनुक्रम वाढवत आहेत आणि अनुक्रम कमी होत आहेत.

अंकगणित प्रगती

अंकगणित प्रगती हा एक असा क्रम आहे ज्यामध्ये प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील सदस्याच्या समान असतो, ज्यामध्ये समान संख्या जोडली जाते.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , एक एन, . . .

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी एक अंकगणित प्रगती आहे n अट पूर्ण केली आहे:

एक एन +1 = एक एन + d,

कुठे d - एक विशिष्ट संख्या.

अशा प्रकारे, दिलेल्या अंकगणितीय प्रगतीच्या नंतरच्या आणि मागील अटींमधील फरक नेहमी स्थिर असतो:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = एक एन +1 - एक एन = d.

क्रमांक d म्हणतात अंकगणित प्रगतीचा फरक.

अंकगणिताच्या प्रगतीची व्याख्या करण्यासाठी, त्याची पहिली संज्ञा आणि फरक दर्शवणे पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ,

तर a 1 = 3, d = 4 , नंतर आपल्याला खालीलप्रमाणे क्रमाची पहिली पाच संज्ञा सापडतात:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

पहिल्या पदासह अंकगणित प्रगतीसाठी a 1 आणि फरक d तिला n

एक एन = a 1 + (n- 1)d

उदाहरणार्थ,

अंकगणिताच्या प्रगतीची तीसवी संज्ञा शोधा

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

एक 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक n-1 = a 1 + (n- 2)ड,

एक एन= a 1 + (n- 1)ड,

एक एन +1 = a 1 + एनडी,

मग स्पष्टपणे

दुसऱ्यापासून सुरू होणाऱ्या अंकगणिताच्या प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य हा आधीच्या आणि त्यानंतरच्या सदस्यांच्या अंकगणितीय सरासरीइतका असतो.

संख्या a, b आणि c या काही अंकगणितीय प्रगतीच्या क्रमिक संज्ञा आहेत जर आणि फक्त जर त्यांपैकी एक इतर दोनच्या अंकगणितीय मध्याशी समान असेल.

उदाहरणार्थ,

एक एन = 2n- 7 , एक अंकगणित प्रगती आहे.

वरील विधान वापरू. आमच्याकडे आहे:

एक एन = 2n- 7,

एक n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

एक n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

त्यामुळे,

◄

लक्षात ठेवा की n अंकगणित प्रगतीची व्या संज्ञा केवळ द्वारेच आढळू शकत नाही a 1 , पण कोणत्याही मागील a k

एक एन = a k + (n- k)d.

उदाहरणार्थ,

च्या साठी a 5 लिहून ठेवता येईल

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

एक एन = एक n-k + kd,

एक एन = a n+k - kd,

मग स्पष्टपणे

अंकगणित प्रगतीचा कोणताही सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, या अंकगणित प्रगतीच्या समान अंतर असलेल्या सदस्यांच्या अर्ध्या बेरजेइतका असतो.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही अंकगणित प्रगतीसाठी खालील समानता आहे:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगती मध्ये

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, कारण

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ एक एन,

पहिला n अंकगणित प्रगतीच्या अटी अत्यंत अटींच्या निम्म्या बेरीज आणि पदांच्या संख्येच्या गुणाकाराच्या समान असतात:

येथून, विशेषतः, जर तुम्हाला अटींची बेरीज करायची असेल तर ते खालीलप्रमाणे आहे

a k, a k +1 , . . . , एक एन,

नंतर मागील सूत्र त्याची रचना राखून ठेवते:

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगती मध्ये 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

जर अंकगणित प्रगती दिली असेल, तर परिमाण a 1 , एक एन, d, nआणिएस n दोन सूत्रांनी जोडलेले:

म्हणून, यापैकी तीन प्रमाणांची मूल्ये दिल्यास, दोन अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये एकत्रित करून, या सूत्रांवरून इतर दोन प्रमाणांची संबंधित मूल्ये निर्धारित केली जातात.

एक अंकगणित प्रगती एक मोनोटोनिक क्रम आहे. ज्यामध्ये:

• तर d > 0 , नंतर ते वाढत आहे;
• तर d < 0 , नंतर ते कमी होत आहे;
• तर d = 0 , नंतर क्रम स्थिर असेल.

भौमितिक प्रगती

भौमितिक प्रगती हा एक असा क्रम आहे ज्यामध्ये प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, त्याच संख्येने गुणाकार केलेल्या मागील सदस्याच्या समान असतो.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी भौमितीय प्रगती आहे n अट पूर्ण केली आहे:

b n +1 = b n · q,

कुठे q ≠ 0 - एक विशिष्ट संख्या.

अशा प्रकारे, दिलेल्या भौमितिक प्रगतीच्या पुढील पदाचे मागील एकाशी गुणोत्तर ही स्थिर संख्या आहे:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

क्रमांक q म्हणतात भौमितिक प्रगतीचा भाजक.

भौमितिक प्रगती परिभाषित करण्यासाठी, त्याचे प्रथम पद आणि भाजक दर्शविणे पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ,

तर b 1 = 1, q = -3 , नंतर आपल्याला खालीलप्रमाणे क्रमाची पहिली पाच संज्ञा सापडतात:

ब १ = 1,

b 2 = ब १ · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 आणि भाजक q तिला n सूत्र वापरून व्या पद शोधले जाऊ शकते:

b n = b 1 · qn -1 .

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगतीची सातवी संज्ञा शोधा 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = १ २ ६ = ६४. ◄

b n-1 = ब १ · qn -2 ,

b n = ब १ · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

मग स्पष्टपणे

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

भौमितिक प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, आधीच्या आणि त्यानंतरच्या सदस्यांच्या भौमितिक माध्य (प्रमाणात) समान असतो.

संभाषण देखील सत्य असल्याने, खालील विधान धारण करते:

संख्या a, b आणि c या काही भौमितीय प्रगतीच्या क्रमिक संज्ञा आहेत जर आणि फक्त जर त्यांपैकी एकाचा वर्ग इतर दोनच्या गुणाकाराच्या समान असेल, म्हणजे, संख्यांपैकी एक हा इतर दोनचा भौमितीय मध्य असेल.

उदाहरणार्थ,

सूत्राने दिलेला क्रम सिद्ध करू b n= -3 2 n , ही एक भौमितिक प्रगती आहे. वरील विधान वापरू. आमच्याकडे आहे:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

त्यामुळे,

b n 2 = (-3 2 n) २ = (-३ २ n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

जे इच्छित विधान सिद्ध करते. ◄

लक्षात ठेवा की n भौमितिक प्रगतीची व्या संज्ञा केवळ द्वारेच आढळू शकत नाही b 1 , पण पूर्वीचे सदस्य b k , ज्यासाठी सूत्र वापरणे पुरेसे आहे

b n = b k · qn - k.

उदाहरणार्थ,

च्या साठी b 5 लिहून ठेवता येईल

b 5 = ब १ · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

मग स्पष्टपणे

b n 2 = b n - k· b n + k

दुसऱ्यापासून सुरू होणाऱ्या भौमितीय प्रगतीच्या कोणत्याही पदाचा वर्ग, या प्रगतीच्या पदांच्या गुणाकाराच्या समान आहे.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही भूमितीय प्रगतीसाठी समानता सत्य आहे:

b m· b n= b k· b l,

मी+ n= k+ l.

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगतीमध्ये

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , कारण

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

पहिला n भाजकासह भौमितिक प्रगतीचे सदस्य q ≠ 0 सूत्रानुसार गणना:

आणि कधी q = 1 - सूत्रानुसार

एस एन= nb 1

लक्षात ठेवा की जर तुम्हाला अटींची बेरीज करायची असेल

b k, b k +1 , . . . , b n,

नंतर सूत्र वापरले जाते:

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगतीमध्ये 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

जर भौमितीय प्रगती दिली असेल, तर प्रमाण b 1 , b n, q, nआणि एस एन दोन सूत्रांनी जोडलेले:

म्हणून, यापैकी कोणत्याही तीन प्रमाणांची मूल्ये दिली असल्यास, दोन अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये एकत्रित करून, या सूत्रांवरून इतर दोन प्रमाणांची संबंधित मूल्ये निर्धारित केली जातात.

पहिल्या पदासह भौमितिक प्रगतीसाठी b 1 आणि भाजक q खालील घडतात मोनोटोनिसिटीचे गुणधर्म :

• पुढीलपैकी एक अटी पूर्ण झाल्यास प्रगती वाढत आहे:

b 1 > 0 आणि q> 1;

b 1 < 0 आणि 0 < q< 1;

• पुढीलपैकी एक अटी पूर्ण झाल्यास प्रगती कमी होत आहे:

b 1 > 0 आणि 0 < q< 1;

b 1 < 0 आणि q> 1.

तर q< 0 , नंतर भौमितिक प्रगती पर्यायी आहे: विषम संख्या असलेल्या त्याच्या संज्ञांचे चिन्ह त्याच्या पहिल्या पदासारखेच असते आणि सम संख्या असलेल्या संज्ञांचे विरुद्ध चिन्ह असते. हे स्पष्ट आहे की पर्यायी भूमितीय प्रगती नीरस नाही.

पहिल्याचे उत्पादन n सूत्र वापरून भौमितिक प्रगतीच्या अटी मोजल्या जाऊ शकतात:

पी एन= ब १ · b 2 · b 3 · . . . · b n = (ब १ · b n) n / 2 .

उदाहरणार्थ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

भौमितिक प्रगती असीमपणे कमी होत आहे

भौमितिक प्रगती असीमपणे कमी होत आहे अनंत भौमितिक प्रगती म्हणतात ज्याचा भाजक मापांक कमी आहे 1 , ते आहे

|q| < 1 .

लक्षात घ्या की अमर्यादपणे कमी होणारी भौमितिक प्रगती हा कमी होणारा क्रम असू शकत नाही. प्रसंगाला साजेसा

1 < q< 0 .

अशा भाजकासह, क्रम पर्यायी आहे. उदाहरणार्थ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

असीमपणे कमी होत असलेल्या भौमितिक प्रगतीची बेरीज पहिल्या क्रमांकाची बेरीज मर्यादेशिवाय ज्या संख्येपर्यंत पोहोचते त्याला नाव द्या n संख्येत अमर्यादित वाढीसह प्रगतीचे सदस्य n . ही संख्या नेहमी मर्यादित असते आणि सूत्राद्वारे व्यक्त केली जाते

उदाहरणार्थ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित आणि भौमितिक प्रगती यांच्यातील संबंध

अंकगणित आणि भौमितिक प्रगती यांचा जवळचा संबंध आहे. फक्त दोन उदाहरणे पाहू.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , ते

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

उदाहरणार्थ,

1, 3, 5, . . . - फरकासह अंकगणित प्रगती 2 आणि

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - भाजकासह भौमितिक प्रगती 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - भाजकासह भौमितिक प्रगती q , ते

लॉग a b 1, लॉग a b 2, लॉग a b 3, . . . - फरकासह अंकगणित प्रगती लॉग aq .

उदाहरणार्थ,

2, 12, 72, . . . - भाजकासह भौमितिक प्रगती 6 आणि

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - फरकासह अंकगणित प्रगती lg 6 . ◄