रोटेशनल मोशनची संभाव्य ऊर्जा. फिरणाऱ्या शरीराची गतिज ऊर्जा

कार्ये

1. चाकांचे वस्तुमान ट्रेनच्या वस्तुमानाच्या 15% असल्यास, 4000 टन वजनाच्या ट्रेनच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या वस्तुमानापेक्षा प्रभावी वस्तुमान किती पटीने जास्त आहे ते ठरवा. 1.02 मीटर व्यासाच्या चाकांना डिस्क मानू. चाकांचा व्यास अर्धा असेल तर उत्तर कसे बदलेल?

2. 1200 किलो वजनाची चाकाची जोडी 0.08 उतार असलेल्या टेकडीवरून कोणत्या प्रवेगने वळते ते ठरवा. चाकांना डिस्क समजा. रोलिंग प्रतिरोध गुणांक 0.004. चाके आणि रेलमधील आसंजन बल निश्चित करा.

3. 1400 किलो वजनाची चाकाची जोडी 0.05 उतार असलेल्या टेकडीवर कोणत्या प्रवेगने वळते ते ठरवा. प्रतिकार गुणांक 0.002. आसंजन गुणांक किती असावा जेणेकरून चाके घसरणार नाहीत? चाकांना डिस्क समजा.

4. 40 टन वजनाची कार 0.020 उतार असलेल्या टेकडीवरून कोणत्या प्रवेगने वळते ते ठरवा, जर तिला 1200 किलो वजनाची आणि 1.02 मीटर व्यासाची आठ चाके असतील तर. चाकांची रेलिंगला चिकटलेली शक्ती निश्चित करा. प्रतिकार गुणांक 0.003.

5. 4000 टन वजनाच्या ट्रेनने 0.3 m/s 2 च्या प्रवेगने ब्रेक लावल्यास टायरवरील ब्रेक पॅडचे दाब बल निश्चित करा. एका चाकाच्या जोडीचा जडत्वाचा क्षण 600 kg m 2 आहे, अक्षांची संख्या 400 आहे, पॅडचे स्लाइडिंग घर्षण गुणांक 0.18 आहे आणि रोलिंग प्रतिरोध गुणांक 0.004 आहे.

6. कुबड्याच्या ब्रेकिंग प्लॅटफॉर्मवर 60 टन वजनाच्या चार-एक्सल कारवर 30 मीटरच्या ट्रॅकवरील वेग 2 m/s वरून 1.5 m/s पर्यंत कमी झाल्यास ब्रेकिंग फोर्स निश्चित करा. एका चाक जोडीच्या जडत्वाचा क्षण 500 kg m 2 आहे.

7. लोकोमोटिव्हच्या स्पीड गेजने ट्रेनचा वेग एका मिनिटात 10 m/s वरून 60 m/s पर्यंत वाढवला आहे. ड्राईव्ह व्हील पेअर घसरले असण्याची शक्यता आहे. इलेक्ट्रिक मोटरच्या आर्मेचरवर कार्य करणाऱ्या शक्तींचा क्षण निश्चित करा. व्हीलसेटच्या जडत्वाचा क्षण 600 kg m 2 आहे, आर्मेचर 120 kg m 2 आहे. गियर प्रमाण 4.2 आहे. रेल्वेवरील दाब शक्ती 200 kN आहे, रेल्वेवरील चाकांचे सरकते घर्षण गुणांक 0.10 आहे.

11. रोटेशनलची गतिज ऊर्जा

हालचाली

घूर्णन गतीच्या गतिज उर्जेचे सूत्र काढू. शरीराला टोकदार गतीने फिरू द्या ω एका निश्चित अक्षाशी संबंधित. शरीराचा कोणताही लहान कण एका वर्तुळात गतीने अनुवादित हालचाली करतो मी -परिभ्रमणाच्या अक्षापर्यंतचे अंतर, कक्षाची त्रिज्या. कण गतिज ऊर्जा वस्तुमान मी मीच्या समान . कणांच्या प्रणालीची एकूण गतिज ऊर्जा त्यांच्या गतिज उर्जेच्या बेरजेइतकी असते. शरीरातील कणांच्या गतीज उर्जेची सूत्रे आपण एकत्र करू आणि कोनीय वेगाचा अर्धा वर्ग काढू, जो सर्व कणांसाठी समान आहे, बेरीज चिन्हाप्रमाणे, . परिभ्रमणाच्या अक्षापर्यंतच्या त्यांच्या अंतराच्या वर्गांद्वारे कणांच्या वस्तुमानाच्या उत्पादनांची बेरीज ही परिभ्रमणाच्या अक्षाच्या सापेक्ष शरीराच्या जडत्वाचा क्षण आहे. . तर, स्थिर अक्षाच्या सापेक्ष फिरणाऱ्या शरीराची गतिज उर्जा ही अक्षाच्या सापेक्ष शरीराच्या जडत्वाच्या क्षणाच्या आणि रोटेशनच्या कोनीय वेगाच्या चौरसाच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे असते:

फिरत्या शरीराच्या मदतीने यांत्रिक ऊर्जा साठवता येते. अशा शरीरांना फ्लायव्हील्स म्हणतात. सहसा ही क्रांतीची संस्था असते. कुंभाराच्या चाकामध्ये फ्लायव्हील्सचा वापर प्राचीन काळापासून ज्ञात आहे. अंतर्गत ज्वलन इंजिनमध्ये, पॉवर स्ट्रोक दरम्यान, पिस्टन फ्लायव्हीलला यांत्रिक ऊर्जा प्रदान करतो, जो त्यानंतरच्या तीन स्ट्रोकसाठी इंजिन शाफ्ट फिरवण्याचे काम करतो. डायज आणि प्रेसमध्ये, फ्लायव्हील तुलनेने कमी-पॉवर इलेक्ट्रिक मोटरद्वारे रोटेशनमध्ये चालविले जाते, जवळजवळ पूर्ण क्रांती दरम्यान यांत्रिक ऊर्जा जमा करते आणि प्रभावाच्या थोड्याच क्षणी, स्टॅम्पिंगच्या कामासाठी ते सोडते.

वाहने चालविण्यासाठी फिरणारे फ्लायव्हील्स वापरण्याचे असंख्य प्रयत्न आहेत: कार, बस. त्यांना माहोमोबाईल, गायरोमोबाईल म्हणतात. अशी अनेक प्रायोगिक यंत्रे तयार झाली. इलेक्ट्रिक ट्रेनच्या ब्रेकिंगच्या वेळी ऊर्जा जमा करण्यासाठी फ्लायव्हील्सचा वापर करून नंतरच्या प्रवेग दरम्यान जमा झालेल्या ऊर्जेचा वापर करणे आशादायक असेल. फ्लायव्हील एनर्जी स्टोरेज न्यू यॉर्क सिटी सबवे ट्रेन्सवर वापरल्या जाणाऱ्या ओळखल्या जातात.

फिरत्या शरीराच्या गतिज उर्जेची अभिव्यक्ती, रोटेशनच्या अक्षाच्या सापेक्ष शरीराची रचना करणाऱ्या अनियंत्रित भौतिक बिंदूची रेषीय गती समान आहे हे लक्षात घेऊन, त्याचे स्वरूप आहे

रोटेशनच्या निवडलेल्या अक्षाच्या सापेक्ष शरीराच्या जडत्वाचा क्षण कोठे आहे, या अक्षाशी संबंधित त्याचा कोनीय वेग आणि रोटेशनच्या अक्षाशी संबंधित शरीराचा कोनीय गती कुठे आहे.

जर एखाद्या शरीरात अनुवादात्मक रोटेशनल गती येत असेल, तर गतीज ऊर्जेची गणना शरीराच्या गतीचे वर्णन केलेल्या ध्रुवाच्या निवडीवर अवलंबून असते. अंतिम परिणाम समान असेल. तर, जर गोल शरीरासाठी त्रिज्या R आणि जडत्व k च्या गुणांकासह न घसरता v वेगाने फिरत असेल, तर ध्रुव त्याच्या CM वर, C बिंदूवर घेतला जातो, तर त्याचा जडत्वाचा क्षण , आणि अक्षाभोवती फिरण्याचा कोनीय वेग असतो. सी आहे. मग शरीराची गतिज ऊर्जा असते.

ध्रुव शरीर आणि पृष्ठभाग यांच्यातील संपर्काच्या बिंदूवर घेतल्यास शरीराच्या रोटेशनचा तात्कालिक अक्ष ज्या पृष्ठभागातून जातो, तर अक्ष O च्या सापेक्ष त्याच्या जडत्वाचा क्षण समान होईल. . मग शरीराची गतिज उर्जा, शरीराच्या रोटेशनचे कोनीय वेग हे समांतर अक्षांच्या सापेक्ष समान आहेत आणि शरीर O अक्षाभोवती शुद्ध परिभ्रमण करते हे लक्षात घेऊन, समान असेल. परिणाम समान आहे.

जटिल हालचाल करणाऱ्या शरीराच्या गतिज उर्जेवरील प्रमेय त्याच्या अनुवादित गतीप्रमाणेच असेल: .

उदाहरण १.त्रिज्या R आणि वस्तुमान M च्या दंडगोलाकार ब्लॉकभोवती थ्रेडच्या जखमेच्या शेवटी वस्तुमान m चे शरीर जोडलेले असते. शरीर h उंचीवर वाढविले जाते आणि सोडले जाते (चित्र 65). थ्रेडला लवचिक धक्का बसल्यानंतर, शरीर आणि ब्लॉक लगेच एकत्र हलण्यास सुरवात करतात. धक्का दरम्यान किती उष्णता सोडली जाईल? धक्का लागल्यानंतर शरीराचा प्रवेग आणि थ्रेडचा ताण काय असेल? वेळ t नंतर धाग्याला धक्का लागल्यावर शरीराचा वेग आणि त्याद्वारे प्रवास केलेले अंतर किती असेल?

दिले: म, आर, म, ह, जी, ट. शोधणे: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

उपाय: थ्रेड झटका येण्यापूर्वी शरीराची गती. थ्रेडला धक्का दिल्यानंतर, ब्लॉक आणि बॉडी ब्लॉक अक्ष O च्या सापेक्ष रोटेशनल मोशनमध्ये जातील आणि या अक्षाच्या सापेक्ष जडत्वाचे क्षण असलेल्या शरीरासारखे वागतील आणि . रोटेशनच्या अक्षाबद्दल त्यांच्या जडत्वाचा एकूण क्षण.

थ्रेड जर्किंग ही एक वेगवान प्रक्रिया आहे आणि धक्क्यादरम्यान, ब्लॉक-बॉडी सिस्टमच्या कोनीय संवेगाच्या संवर्धनाचा नियम घडतो, ज्यामुळे धक्का लागल्यानंतर लगेच शरीर आणि ब्लॉक एकत्र हलू लागतात या वस्तुस्थितीमुळे : . ब्लॉकच्या रोटेशनचा प्रारंभिक कोनीय वेग कोठून येतो? , आणि शरीराचा प्रारंभिक रेखीय वेग .

प्रणालीची गतिज ऊर्जा, तिच्या कोनीय संवेगाच्या संवर्धनामुळे, थ्रेड झटका लागल्यानंतर लगेच, बरोबर असते. ऊर्जेच्या संवर्धनाच्या कायद्यानुसार धक्का दरम्यान सोडलेली उष्णता

थ्रेडच्या एका झटक्यानंतर सिस्टमच्या शरीराच्या गतीची गतिशील समीकरणे त्यांच्या सुरुवातीच्या वेगावर अवलंबून नाहीत. ब्लॉकसाठी त्याचा फॉर्म आहे किंवा, आणि शरीरासाठी. ही दोन समीकरणे जोडल्यास आपल्याला मिळते . शरीराच्या गतीचा प्रवेग कोठून येतो? धाग्याचा ताण

धक्का लागल्यानंतर शरीराच्या गतीची किनेमॅटिक समीकरणे फॉर्म असतील , जेथे सर्व पॅरामीटर्स ज्ञात आहेत.

उत्तर: . .

उदाहरण २. जडत्व गुणांक (पोकळ सिलेंडर) आणि (बॉल) असलेली दोन गोल शरीरे झुकलेल्या विमानाच्या पायथ्याशी झुकण्याच्या कोनात असतात. α कलते विमानासह वरच्या दिशेने निर्देशित केलेल्या समान प्रारंभिक वेगांचा अहवाल द्या. या उंचीवर मृतदेह कोणत्या उंचीवर आणि कोणत्या वेळी वाढतील? वाढत्या शरीराचे प्रवेग काय आहेत? शरीराची उंची, वेळा आणि प्रवेग किती वेळा भिन्न आहेत? शरीरे न सरकता झुकलेल्या विमानात फिरतात.

दिले: . शोधणे:

उपाय: शरीरावर कार्य केले जाते: गुरुत्वाकर्षण m g, कलते विमान प्रतिक्रिया एन, आणि क्लच घर्षण बल (चित्र 67). सामान्य प्रतिक्रिया आणि आसंजन घर्षण शक्तीचे कार्य (शरीर आणि विमानाच्या आसंजनाच्या बिंदूवर कोणतेही घसरणे नाही आणि उष्णता सोडली जात नाही.) शून्य समान आहेत: , म्हणून, शरीराच्या हालचालीचे वर्णन करण्यासाठी ऊर्जा संवर्धनाचा नियम वापरणे शक्य आहे: . कुठे .

आपण किनेमॅटिक समीकरणांवरून शरीराच्या गतीची वेळ आणि प्रवेग शोधू . कुठे , . बॉडी उचलण्याची उंची, वेळा आणि प्रवेग यांचे गुणोत्तर:

उत्तर द्या: , , , .

उदाहरण ३. वस्तुमानाची गोळी, वेगाने उडणारी, वस्तुमान M आणि त्रिज्या R च्या बॉलच्या मध्यभागी आदळते, वस्तुमान m आणि लांबी l च्या रॉडच्या शेवटी जोडलेली असते, त्याच्या दुसऱ्या टोकाने O बिंदूवर लटकते आणि त्यातून उडते. वेगाने (चित्र 68). आघातानंतर लगेच रॉड-बॉल सिस्टीमच्या रोटेशनचा कोनीय वेग आणि बुलेट आघातानंतर रॉडच्या विक्षेपणाचा कोन शोधा.

दिले: . शोधणे:

उपाय:स्टाइनरच्या प्रमेयानुसार रॉडच्या सस्पेंशन पॉइंट O च्या सापेक्ष रॉड आणि बॉलच्या जडत्वाचे क्षण: आणि . रॉड-बॉल सिस्टमच्या जडत्वाचा एकूण क्षण . बुलेटचा प्रभाव ही एक वेगवान प्रक्रिया आहे आणि बुलेट-रॉड-बॉल सिस्टीमच्या कोनीय संवेगाच्या संवर्धनाचा नियम घडतो (टक्कर झाल्यानंतर शरीर फिरवण्याच्या हालचालीत प्रवेश करतात): . आघातानंतर लगेच रॉड-बॉल सिस्टीमच्या गतीचा कोनीय वेग कोठून येतो?

निलंबन बिंदू O च्या सापेक्ष रॉड-बॉल सिस्टमच्या सीएमची स्थिती: . आघातानंतर प्रणालीच्या कोनीय संवेगाच्या संवर्धनाचा नियम लक्षात घेऊन, प्रभावानंतर प्रणालीच्या मुख्यमंत्र्यांसाठी उर्जा संवर्धनाचा नियम फॉर्म आहे. प्रभावानंतर सिस्टमच्या सीएमची उंची कोठून वाढते? . आघातानंतर रॉडच्या विक्षेपणाचा कोन स्थितीनुसार निर्धारित केला जातो .

उत्तर: , , .

उदाहरण ४. कोनीय वेगासह फिरत असलेल्या जडत्व k च्या गुणांकासह, द्रव्यमान m आणि त्रिज्या R च्या गोल शरीरावर N शक्तीने ब्लॉक दाबला जातो. सिलिंडर थांबायला किती वेळ लागेल आणि या वेळी पॅड सिलेंडरला घासल्यावर किती उष्णता बाहेर पडेल? ब्लॉक आणि सिलेंडरमधील घर्षण गुणांक आहे.

दिले: शोधणे:

उपाय: गतीज उर्जेवरील प्रमेयानुसार शरीर थांबण्यापूर्वी घर्षण शक्तीने केलेले कार्य . रोटेशन दरम्यान उष्णता सोडली .

शरीराच्या रोटेशनल मोशनच्या समीकरणाचे स्वरूप आहे. त्याच्या मंद रोटेशनचा कोनीय प्रवेग कोठून येतो? . शरीर थांबेपर्यंत त्याला फिरण्यासाठी लागणारा वेळ.

उत्तर द्या: , .

उदाहरण ५. जडत्व k च्या गुणांकासह वस्तुमान m आणि त्रिज्या R चे गोल शरीर घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने कोनीय वेगावर फिरवले जाते आणि उभ्या भिंतीला लागून असलेल्या क्षैतिज पृष्ठभागावर ठेवले जाते (चित्र 70). शरीर थांबायला किती वेळ लागेल आणि थांबण्यापूर्वी किती आवर्तने होतील? या वेळी शरीर पृष्ठभागावर घासल्यावर किती उष्णता सोडली जाईल? पृष्ठभागावरील शरीराच्या घर्षणाचे गुणांक समान आहे.

दिले: . शोधणे:

उपाय: शरीराच्या रोटेशन दरम्यान बाहेर पडणारी उष्णता ती थांबेपर्यंत घर्षण शक्तींच्या कार्यासारखी असते, जी शरीराच्या गतिज उर्जेवर प्रमेय वापरून शोधली जाऊ शकते. आमच्याकडे आहे.

क्षैतिज विमान प्रतिक्रिया. क्षैतिज आणि उभ्या पृष्ठभागावरून शरीरावर कार्य करणारी घर्षण शक्ती समान आहेत: आणि .या दोन समीकरणांच्या प्रणालीतून आपल्याला प्राप्त होते आणि .

हे संबंध विचारात घेतल्यास, शरीराच्या रोटेशनल गतीचे समीकरण असे स्वरूप आहे (. जेथून शरीराच्या रोटेशनचा कोनीय प्रवेग समान असतो. नंतर शरीराच्या रोटेशनची वेळ थांबण्यापूर्वी आणि त्याच्या परिभ्रमणांची संख्या करते

उत्तर द्या: , , , .

उदाहरण 6. क्षैतिज पृष्ठभागावर (चित्र 71) उभ्या असलेल्या त्रिज्या R च्या गोलार्धाच्या वरच्या भागातून न सरकता जडत्व k रोलसह एक गोल शरीर. ते गोलार्धापासून कोणत्या उंचीवर आणि कोणत्या वेगाने दूर जाईल आणि किती वेगाने ते आडव्या पृष्ठभागावर पडेल?

दिले: k, g, R. शोधणे:

उपाय: शक्ती शरीरावर कार्य करतात . कार्य आणि 0, (गोलार्ध आणि बॉलच्या आसंजनाच्या बिंदूवर कोणतीही घसरण नाही आणि उष्णता सोडली जात नाही) म्हणून, शरीराच्या हालचालीचे वर्णन करण्यासाठी उर्जेच्या संरक्षणाचा नियम वापरणे शक्य आहे. गोलार्धापासून वेगळे होण्याच्या बिंदूवर शरीराच्या सीएमसाठी न्यूटनचा दुसरा नियम, या बिंदूवर त्याचे स्वरूप आहे हे लक्षात घेऊन, कोठून . प्रारंभिक बिंदू आणि शरीराच्या पृथक्करण बिंदूसाठी उर्जेच्या संवर्धनाच्या नियमाचे स्वरूप आहे. गोलार्धापासून शरीराच्या विभक्त होण्याची उंची आणि गती समान असते, .

शरीर गोलार्धापासून विभक्त झाल्यानंतर, केवळ तिची अनुवादित गतिज ऊर्जा बदलते, म्हणून शरीराचे विभक्त होण्याच्या आणि जमिनीवर पडण्याच्या बिंदूंसाठी उर्जेच्या संवर्धनाच्या नियमाचे स्वरूप आहे. कोठे, खात्यात घेऊन, आम्हाला मिळते . गोलार्धाच्या पृष्ठभागावर घर्षणाशिवाय सरकणाऱ्या शरीरासाठी, k=0 आणि , , .

उत्तर: , , .

यांत्रिकी.

प्रश्न क्रमांक १

संदर्भ प्रणाली. जडत्व संदर्भ प्रणाली. गॅलिलिओचा सापेक्षतेचा सिद्धांत - आईन्स्टाईन.

संदर्भ चौकट- हा शरीराचा एक संच आहे ज्याच्या संबंधात दिलेल्या शरीराच्या हालचाली आणि त्याच्याशी संबंधित समन्वय प्रणालीचे वर्णन केले आहे.

जडत्व संदर्भ प्रणाली (IRS)ही एक अशी प्रणाली आहे ज्यामध्ये मुक्तपणे हलणारे शरीर विश्रांतीच्या स्थितीत किंवा एकसमान रेक्टलाइनर गतीमध्ये असते.

गॅलिलिओ-आईनस्टाईन सापेक्षतेचा सिद्धांत- संदर्भाच्या कोणत्याही जडत्वाच्या चौकटीतील सर्व नैसर्गिक घटना सारख्याच प्रकारे घडतात आणि त्यांचे गणितीय स्वरूप समान असते. दुसऱ्या शब्दांत, सर्व ISO समान आहेत.

प्रश्न क्रमांक 2

गतीचे समीकरण. कठोर शरीराच्या हालचालीचे प्रकार. किनेमॅटिक्सचे मुख्य कार्य.

भौतिक बिंदूच्या गतीची समीकरणे:

- गतीचे किनेमॅटिक समीकरण

शरीराच्या कडक हालचालीचे प्रकार:

1) ट्रान्सलेशनल मोशन - शरीरात काढलेली कोणतीही सरळ रेषा स्वतःला समांतर हलते.

२) रोटेशनल हालचाल - शरीराचा कोणताही बिंदू वर्तुळात फिरतो.

φ = φ(t)

किनेमॅटिक्सचे मुख्य कार्य- हे वेग V = V(t) आणि भौतिक बिंदूचे निर्देशांक (किंवा त्रिज्या वेक्टर) r = r(t) त्याच्या प्रवेग a = a(t) आणि ज्ञात प्रारंभिक परिस्थिती V 0 आणि r 0.

प्रश्न क्र. 7

नाडी (हालचालींचे प्रमाण) हे शरीराच्या यांत्रिक गतीचे मोजमाप दर्शविणारी सदिश भौतिक मात्रा आहे. शास्त्रीय यांत्रिकीमध्ये, शरीराची गती वस्तुमानाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीची असते मीहा बिंदू त्याच्या गतीने v, आवेगाची दिशा वेग वेक्टरच्या दिशेशी जुळते:

सैद्धांतिक यांत्रिकी मध्ये सामान्यीकृत आवेगसामान्यीकृत वेगाच्या संदर्भात प्रणालीच्या Lagrangian चे आंशिक व्युत्पन्न आहे

जर सिस्टीमचे लॅग्रेंगियन काहींवर अवलंबून नसेल सामान्यीकृत समन्वय, नंतर मुळे Lagrange समीकरणे .

मुक्त कणासाठी, Lagrange फंक्शनचे स्वरूप आहे: , म्हणून:

बंदिस्त प्रणालीच्या लॅग्रॅन्गियनचे अंतराळातील त्याच्या स्थानावरून स्वातंत्र्य मालमत्तेचे अनुसरण करते जागेची एकसंधता: एका चांगल्या-विलग प्रणालीसाठी, तिचे वर्तन आपण ते कोठे ठेवतो यावर अवलंबून नाही. द्वारे नोथेरचे प्रमेयया एकसंधतेतून काही भौतिक प्रमाणांचे संवर्धन होते. या प्रमाणाला आवेग म्हणतात (सामान्य, सामान्यीकृत नाही).

शास्त्रीय यांत्रिकी मध्ये, पूर्ण आवेगभौतिक बिंदूंच्या प्रणालीला भौतिक बिंदूंच्या वस्तुमानाच्या उत्पादनांच्या बेरीज आणि त्यांच्या गतीच्या समान वेक्टर प्रमाण म्हणतात:

त्यानुसार, प्रमाणाला एका भौतिक बिंदूचा संवेग म्हणतात. हे एक वेक्टर प्रमाण आहे जे कण वेगाच्या दिशेने निर्देशित केले जाते. इंटरनॅशनल सिस्टम ऑफ युनिट्स (SI) आवेग एकक आहे किलोग्राम-मीटर प्रति सेकंद(किलो मी/से)

जर आपण मर्यादित आकाराच्या शरीराशी व्यवहार करत असाल, तर त्याची गती निश्चित करण्यासाठी शरीराचे लहान भागांमध्ये विभाजन करणे आवश्यक आहे, जे भौतिक बिंदू मानले जाऊ शकतात आणि त्यावर बेरीज केले जाऊ शकतात, परिणामी आम्हाला मिळते:

प्रणालीचा आवेग ज्यावर कोणत्याही बाह्य शक्तींचा परिणाम होत नाही (किंवा त्यांना भरपाई दिली जाते) जतनवेळेत:

या प्रकरणात गतीचे संरक्षण न्यूटनच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या नियमांनुसार होते: सिस्टम तयार करणाऱ्या प्रत्येक भौतिक बिंदूंसाठी न्यूटनचा दुसरा नियम लिहून आणि सिस्टम तयार करणाऱ्या सर्व भौतिक बिंदूंचा सारांश देऊन, न्यूटनच्या तिसऱ्या नियमामुळे आम्हाला समानता मिळते (* ).

सापेक्षतावादी यांत्रिकीमध्ये, परस्परसंवाद न करणाऱ्या भौतिक बिंदूंच्या प्रणालीचा त्रिमितीय संवेग हे प्रमाण आहे

,

कुठे मी मी- वजन iवा भौतिक बिंदू.

नॉन-इंटरॅक्टिंग मटेरियल पॉइंट्सच्या बंद प्रणालीसाठी, हे मूल्य संरक्षित केले आहे. तथापि, त्रिमितीय संवेग हे सापेक्षदृष्ट्या अपरिवर्तनीय प्रमाण नाही, कारण ते संदर्भ फ्रेमवर अवलंबून असते. अधिक अर्थपूर्ण प्रमाण हे चार-आयामी संवेग असेल, जे एका भौतिक बिंदूसाठी म्हणून परिभाषित केले जाते.

सराव मध्ये, कणाचे वस्तुमान, गती आणि उर्जा यांच्यातील खालील संबंध अनेकदा वापरले जातात:

तत्वतः, परस्परसंवाद नसलेल्या भौतिक बिंदूंच्या प्रणालीसाठी, त्यांचे 4-क्षण बेरीज केले जातात. तथापि, सापेक्षतावादी मेकॅनिक्समधील कणांच्या परस्परसंवादासाठी, केवळ प्रणाली बनविणाऱ्या कणांची गतीच नव्हे तर त्यांच्यातील परस्परसंवाद क्षेत्राची गती देखील विचारात घेणे आवश्यक आहे. म्हणून, सापेक्षतावादी यांत्रिकीमध्ये अधिक अर्थपूर्ण प्रमाण म्हणजे ऊर्जा-गती टेन्सर, जे संवर्धन कायद्यांचे पूर्णपणे समाधान करते.

प्रश्न #8

जडत्वाचा क्षण- एक स्केलर भौतिक प्रमाण, अक्षाभोवती घूर्णन गतीमध्ये शरीराच्या जडत्वाचे मोजमाप, ज्याप्रमाणे शरीराचे वस्तुमान भाषांतरित गतीमध्ये त्याच्या जडत्वाचे मोजमाप असते. शरीरातील वस्तुमानांच्या वितरणाद्वारे वैशिष्ट्यीकृत: जडत्वाचा क्षण हा प्राथमिक वस्तुमानांच्या उत्पादनांच्या बेरीजच्या त्यांच्या अंतराच्या वर्गाने बेस सेटच्या समान असतो.

जडत्वाचा अक्षीय क्षण

काही शरीराच्या जडत्वाचे अक्षीय क्षण.

यांत्रिक प्रणालीच्या जडत्वाचा क्षणएका निश्चित अक्षाच्या सापेक्ष ("जडत्वाचा अक्षीय क्षण") हे प्रमाण आहे जे ए, सर्वांच्या वस्तुमानांच्या उत्पादनांच्या बेरजेइतके nसिस्टीमचे भौतिक बिंदू त्यांच्या अक्षापर्यंतच्या अंतराच्या वर्गांद्वारे:

,

• मी मी- वजन iवा मुद्दा,
• r i- पासून अंतर iअक्षाकडे th बिंदू.

अक्षीय जडत्वाचा क्षणशरीर जे एअक्षाभोवती फिरत असलेल्या शरीराच्या जडत्वाचे मोजमाप आहे, ज्याप्रमाणे शरीराचे वस्तुमान हे अनुवादात्मक गतीमध्ये त्याच्या जडत्वाचे मोजमाप आहे.

,

• dm = ρ dV- शरीराच्या आकारमानाच्या एका लहान घटकाचे वस्तुमान dV,
• ρ - घनता,
• आर- घटकापासून अंतर dVअक्ष करण्यासाठी

जर शरीर एकसंध असेल, म्हणजेच त्याची घनता सर्वत्र सारखीच असेल तर

सूत्राची व्युत्पत्ती

dmआणि जडत्वाचे क्षण डीजे आय. मग

पातळ-भिंती असलेला सिलेंडर (रिंग, हुप)

सूत्राची व्युत्पत्ती

शरीराच्या जडत्वाचा क्षण त्याच्या घटक भागांच्या जडत्वाच्या क्षणांच्या बेरजेइतका असतो. पातळ-भिंतीच्या सिलेंडरला वस्तुमान असलेल्या घटकांमध्ये विभाजित करा dmआणि जडत्वाचे क्षण डीजे आय. मग

पातळ-भिंतीच्या सिलेंडरचे सर्व घटक रोटेशनच्या अक्षापासून समान अंतरावर असल्याने, सूत्र (1) चे रूपांतर फॉर्ममध्ये होते.

स्टेनरचे प्रमेय

जडत्वाचा क्षणकोणत्याही अक्षाशी संबंधित घन शरीर केवळ शरीराच्या वस्तुमान, आकार आणि आकारावर अवलंबून नाही तर या अक्षाशी संबंधित शरीराच्या स्थितीवर देखील अवलंबून असते. स्टेनरच्या प्रमेयानुसार (ह्युजेन्स-स्टेनर प्रमेय), जडत्वाचा क्षणशरीर जेअनियंत्रित अक्षाच्या सापेक्ष बेरीज समान आहे जडत्वाचा क्षणहे शरीर जे.सीविचाराधीन अक्षाच्या समांतर शरीराच्या वस्तुमानाच्या मध्यभागी जाणारा अक्ष आणि शरीराच्या वस्तुमानाच्या उत्पादनाशी संबंधित मीप्रति चौरस अंतर dअक्षांच्या दरम्यान:

जर शरीराच्या वस्तुमानाच्या केंद्रातून जाणाऱ्या अक्षाच्या सापेक्ष शरीराच्या जडत्वाचा क्षण असेल, तर त्याच्यापासून काही अंतरावर असलेल्या समांतर अक्षाच्या सापेक्ष जडत्वाचा क्षण

,

एकूण शरीर वस्तुमान कुठे आहे.

उदाहरणार्थ, रॉडच्या जडत्वाचा क्षण त्याच्या टोकातून जाणाऱ्या अक्षाशी संबंधित आहे:

रोटेशनल एनर्जी

रोटेशनल मोशनची गतिज ऊर्जा- त्याच्या रोटेशनशी संबंधित शरीराची ऊर्जा.

शरीराच्या रोटेशनल मोशनची मुख्य किनेमॅटिक वैशिष्ट्ये म्हणजे त्याचा कोनीय वेग (ω) आणि कोनीय प्रवेग. रोटेशनल मोशनची मुख्य डायनॅमिक वैशिष्ट्ये - रोटेशन z च्या अक्षाशी संबंधित कोनीय संवेग:

के z = Izω

आणि गतिज ऊर्जा

जेथे I z हा परिभ्रमणाच्या अक्षाशी संबंधित शरीराच्या जडत्वाचा क्षण आहे.

जडत्वाच्या प्रमुख अक्षांसह फिरणाऱ्या रेणूचा विचार करताना असेच उदाहरण आढळू शकते मी १, मी २आणि मी ३. अशा रेणूची परिभ्रमण ऊर्जा अभिव्यक्तीद्वारे दिली जाते

कुठे ω १, ω २, आणि ω ३- कोनीय वेगाचे मुख्य घटक.

सर्वसाधारणपणे, कोनीय वेगासह रोटेशन दरम्यान ऊर्जा सूत्राद्वारे आढळते:

, कुठे आय- जडत्व टेन्सर.

प्रश्न क्रमांक ९

आवेगाचा क्षण (कोणीय संवेग, कोणीय संवेग, कक्षीय संवेग, कोणीय संवेग) रोटेशनल गतीचे प्रमाण दर्शवते. परिमाण जे किती वस्तुमान फिरत आहे, रोटेशनच्या अक्षाशी संबंधित कसे वितरित केले जाते आणि रोटेशन कोणत्या वेगाने होते यावर अवलंबून असते.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की येथे रोटेशन हे एका अक्षाभोवती नियमित फिरणे इतकेच नव्हे तर व्यापक अर्थाने समजले जाते. उदाहरणार्थ, जेव्हा एखादे शरीर एका अनियंत्रित काल्पनिक बिंदूच्या मागे सरळ रेषेत फिरते जे गतीच्या रेषेवर नसते, त्याला देखील कोनीय गती असते. वास्तविक रोटेशनल गतीचे वर्णन करताना कदाचित सर्वात मोठी भूमिका कोनीय संवेगाद्वारे खेळली जाते. तथापि, समस्यांच्या विस्तृत वर्गासाठी हे अत्यंत महत्वाचे आहे (विशेषत: जर समस्येची मध्यवर्ती किंवा अक्षीय सममिती असेल, परंतु केवळ या प्रकरणांमध्येच नाही).

कोनीय संवेगाच्या संरक्षणाचा नियम(कोनीय संवेगाच्या संरक्षणाचा नियम) - बंद प्रणालीच्या कोणत्याही अक्षाशी संबंधित सर्व कोनीय संवेगांची वेक्टर बेरीज प्रणालीच्या समतोलाच्या बाबतीत स्थिर राहते. याच्या अनुषंगाने, वेळेच्या संदर्भात कोनीय संवेगाच्या कोणत्याही नॉन-डेरिव्हेटिव्हशी संबंधित बंद प्रणालीचा कोनीय संवेग हा बलाचा क्षण आहे:

अशा प्रकारे, बाह्य शक्तींचा मुख्य (एकूण) क्षण शून्याच्या बरोबरीच्या आवश्यकतेनुसार सिस्टम बंद करण्याची आवश्यकता कमकुवत केली जाऊ शकते:

कणांच्या प्रणालीवर लागू केलेल्या शक्तींपैकी एकाचा क्षण कोठे आहे. (परंतु अर्थातच, जर बाह्य शक्ती अजिबात नसतील तर, ही आवश्यकता देखील समाधानी आहे).

गणितीयदृष्ट्या, कोनीय संवेगाच्या संवर्धनाचा नियम अवकाशाच्या समस्थानिकेपासून म्हणजेच अनियंत्रित कोनातून रोटेशनच्या संदर्भात स्पेसच्या इनव्हेरिअन्समधून येतो. अनियंत्रित असीम कोनातून फिरवल्यावर, संख्या असलेल्या कणाची त्रिज्या वेक्टर , आणि गती - ने बदलेल. अशा रोटेशनसह प्रणालीचे लॅग्रेंज फंक्शन स्पेसच्या आयसोट्रॉपीमुळे बदलणार नाही. म्हणून

1. शरीराच्या सभोवतालच्या परिभ्रमणाचा विचार करा गतिहीन axis Z. आपण संपूर्ण शरीराला प्राथमिक वस्तुमानाच्या संचामध्ये विभागूया m i. प्राथमिक वस्तुमानाची रेषीय गती m i– v i = w R i, जिथे आर i- वस्तुमान अंतर मी iरोटेशनच्या अक्षातून. त्यामुळे गतीज ऊर्जा i th प्राथमिक वस्तुमान समान असेल . शरीराची एकूण गतीज ऊर्जा: , रोटेशनच्या अक्षाशी संबंधित शरीराच्या जडत्वाचा क्षण येथे आहे.

अशा प्रकारे, स्थिर अक्षाभोवती फिरणाऱ्या शरीराची गतिज उर्जा समान असते:

2. आता शरीर द्या फिरतेकाही अक्षांशी संबंधित, आणि स्वतः अक्ष हलतेउत्तरोत्तर, स्वतःशी समांतर राहते.

उदाहरणादाखल: सरकता न फिरता बॉल फिरवतो आणि त्याचे केंद्र गुरुत्वाकर्षण बनते, ज्यातून रोटेशनचा अक्ष जातो (बिंदू “O”) अनुवादितपणे फिरतो (चित्र 4.17).

गती i- की प्राथमिक शरीर वस्तुमान समान आहे , शरीराच्या काही बिंदू "O" ची गती कुठे आहे; – त्रिज्या वेक्टर जो बिंदू “O” च्या सापेक्ष प्राथमिक वस्तुमानाची स्थिती निर्धारित करतो.

प्राथमिक वस्तुमानाची गतीज उर्जा समान असते:

टीप: वेक्टर उत्पादन सदिशाच्या दिशेने एकरूप आहे आणि त्याचे मॉड्यूलस (चित्र 4.18) सारखे आहे.

ही टिप्पणी लक्षात घेऊन आपण ते लिहू शकतो , रोटेशनच्या अक्षापासून वस्तुमानाचे अंतर कोठे आहे. दुसऱ्या टर्ममध्ये आम्ही घटकांची चक्रीय पुनर्रचना करतो, त्यानंतर आम्हाला मिळते

शरीराची एकूण गतीज ऊर्जा प्राप्त करण्यासाठी, आम्ही बेरीजच्या चिन्हाच्या पलीकडे स्थिर घटक घेऊन सर्व प्राथमिक वस्तुमानांवर या अभिव्यक्तीची बेरीज करतो. आम्हाला मिळते

प्राथमिक वस्तुमानांची बेरीज म्हणजे शरीराचे वस्तुमान “m”. अभिव्यक्ती शरीराच्या जडत्वाच्या केंद्राच्या त्रिज्या वेक्टरद्वारे (जडत्वाच्या केंद्राच्या व्याख्येनुसार) शरीराच्या वस्तुमानाच्या उत्पादनाप्रमाणे असते. शेवटी, "O" बिंदूमधून जाणाऱ्या अक्षाशी संबंधित शरीराच्या जडत्वाचा क्षण. त्यामुळे आपण लिहू शकतो

.

जर आपण शरीराच्या जडत्वाचे केंद्र “C” बिंदू “O” म्हणून घेतले, तर त्रिज्या वेक्टर शून्याच्या बरोबरीने होईल आणि दुसरी संज्ञा अदृश्य होईल. मग, बिंदू "C" मधून जाणाऱ्या अक्षाच्या सापेक्ष शरीराच्या जडत्वाच्या केंद्राचा वेग आणि त्याद्वारे - दर्शवितो, आम्हाला मिळते:

(4.6)

अशाप्रकारे, समतल गतीतील शरीराची गतिज उर्जा ही जडत्वाच्या केंद्राच्या गतीइतकी गतीने अनुवादित गतीची उर्जा आणि शरीराच्या जडत्वाच्या केंद्रातून जाणाऱ्या अक्षाभोवती फिरण्याची उर्जा बनलेली असते.

कठोर शरीराच्या रोटेशनल मोशन दरम्यान बाह्य शक्तींचे कार्य.

जेव्हा शरीर स्थिर Z अक्षाभोवती फिरते तेव्हा शक्तींनी केलेले कार्य शोधूया.

अंतर्गत बल आणि बाह्य शक्ती वस्तुमानावर कार्य करू द्या (परिणामी बल रोटेशनच्या अक्षाच्या लंब असलेल्या विमानात असते) (चित्र 4.19). या शक्ती वेळेत कामगिरी करतात दिनोकरी:

वेक्टरच्या मिश्रित उत्पादनांमध्ये घटकांची चक्रीय पुनर्रचना केल्यावर, आम्हाला आढळते:

जेथे , अनुक्रमे, "O" बिंदूशी संबंधित अंतर्गत आणि बाह्य शक्तींचे क्षण आहेत.

सर्व प्राथमिक वस्तुमानांचा सारांश, आम्ही शरीरावर केलेले प्राथमिक कार्य वेळेत प्राप्त करतो दि:

अंतर्गत शक्तींच्या क्षणांची बेरीज शून्य आहे. मग, द्वारे बाह्य शक्तींचा एकूण क्षण दर्शवत, आपण अभिव्यक्तीवर पोहोचतो:

.

हे ज्ञात आहे की दोन सदिशांचे स्केलर उत्पादन हे एका सदिशाच्या मॉड्यूलसच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या समान स्केलर आहे, जे पहिल्याच्या दिशेला दुसऱ्याच्या प्रक्षेपणाने गुणाकारले जाते, हे लक्षात घेऊन, (दिशानिर्देश) Z अक्ष जुळतात), आम्ही प्राप्त करतो

,

पण w दि=d j, i.e. कोन ज्याद्वारे शरीर वेळेत वळते दि. म्हणून

.

कामाचे चिन्ह M z च्या चिन्हावर अवलंबून असते, म्हणजे. वेक्टरच्या प्रक्षेपणाच्या चिन्हापासून वेक्टरच्या दिशेने.

तर, जेव्हा शरीर फिरते तेव्हा अंतर्गत शक्ती कार्य करत नाहीत आणि बाह्य शक्तींचे कार्य सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते. .

मर्यादित कालावधीत केलेले कार्य एकत्रीकरणाद्वारे आढळते

.

दिशेवर बाह्य शक्तींच्या परिणामी क्षणाचा प्रक्षेपण स्थिर राहिल्यास, ते अविभाज्य चिन्हातून बाहेर काढले जाऊ शकते:

, म्हणजे .

त्या. शरीराच्या रोटेशनल मोशन दरम्यान बाह्य शक्तीने केलेले कार्य हे रोटेशनच्या दिशा आणि कोनावरील बाह्य बलाच्या क्षणाच्या प्रोजेक्शनच्या गुणानुरूप असते.

दुसरीकडे, शरीरावर कार्य करणाऱ्या बाह्य शक्तीचे कार्य शरीराची गतिज उर्जा वाढवते (किंवा फिरणाऱ्या शरीराच्या गतिज उर्जेच्या बदलासारखे असते). चला हे दाखवूया:

;

त्यामुळे,

. (4.7)

स्वतःहून:

लवचिक शक्ती;

हुकचा कायदा.

हायड्रोडायनामिक्स

वर्तमान रेषा आणि नळ्या.

हायड्रोडायनामिक्स द्रवपदार्थांच्या हालचालींचा अभ्यास करते, परंतु त्याचे नियम वायूंच्या हालचालींवर देखील लागू होतात. स्थिर द्रव प्रवाहामध्ये, अंतराळातील प्रत्येक बिंदूवर त्याच्या कणांचा वेग हे वेळेपेक्षा स्वतंत्र प्रमाण असते आणि ते समन्वयांचे कार्य असते. स्थिर प्रवाहात, द्रव कणांचे मार्ग एक सुव्यवस्थित बनतात. वर्तमान रेषांच्या संयोगाने वर्तमान ट्यूब तयार होते (चित्र 5.1). आम्ही असे गृहीत धरतो की द्रव संकुचित करण्यायोग्य नाही, तर विभागांमधून वाहणार्या द्रवाचे प्रमाण एस 1 आणि एस 2 समान असेल. एका सेकंदात, द्रवाचा एक खंड या विभागांमधून जाईल

, (5.1)

विभागांमध्ये द्रव वेग कुठे आणि आहेत एस 1 आणि एस 2 , आणि सदिश आणि विभागांना सामान्य कुठे आणि कुठे आहेत म्हणून परिभाषित केले आहेत एस 1 आणि एस 2. समीकरण (5.1) याला जेट सातत्य समीकरण म्हणतात. यावरून असे दिसून येते की द्रव गती वर्तमान ट्यूबच्या क्रॉस-सेक्शनच्या व्यस्त प्रमाणात आहे.

बर्नौलीचे समीकरण.

आम्ही एक आदर्श असंकुचनीय द्रवपदार्थ विचारात घेऊ ज्यामध्ये कोणतेही अंतर्गत घर्षण (चिकटपणा) नाही. स्थिर वाहणाऱ्या द्रवामध्ये (चित्र 5.2) विभाग असलेली पातळ विद्युत नलिका निवडू या. एस १आणि S 2, स्ट्रीमलाइनला लंब. क्रॉस विभागात 1 थोड्याच वेळात टकण दूर जातील l १, आणि विभागात 2 - अंतरावर l 2. वेळेत दोन्ही विभागांद्वारे टद्रव समान लहान खंड माध्यमातून जाईल व्ही= व्ही १ = V 2आणि भरपूर द्रव हस्तांतरित करा m=rV, कुठे आर- द्रव घनता. सर्वसाधारणपणे, विभागांमधील प्रवाह ट्यूबमध्ये संपूर्ण द्रवपदार्थाच्या यांत्रिक उर्जेमध्ये बदल एस १आणि S 2दरम्यान घडले ट, व्हॉल्यूम ऊर्जा बदलून बदलले जाऊ शकते व्हीजेव्हा ते सेक्शन 1 मधून सेक्शन 2 कडे गेले तेव्हा घडले. अशा हालचालीमुळे, या व्हॉल्यूमची गतिज आणि संभाव्य ऊर्जा बदलेल आणि त्याच्या उर्जेमध्ये एकूण बदल होईल

, (5.2)

जेथे v 1 आणि v 2 - विभागांमध्ये द्रव कणांचा वेग एस १आणि S 2अनुक्रमे; g- गुरुत्वाकर्षण प्रवेग; h 1आणि h 2- विभागांच्या मध्यभागी उंची.

आदर्श द्रवपदार्थात घर्षणाचे नुकसान होत नाही, त्यामुळे ऊर्जा वाढते DEवाटप केलेल्या व्हॉल्यूमवर दबाव शक्तींनी केलेल्या कामाच्या समान असणे आवश्यक आहे. घर्षण शक्तींच्या अनुपस्थितीत, हे कार्य करते:

समानता (5.2) आणि (5.3) च्या उजव्या बाजूचे समीकरण करणे आणि समान निर्देशांकांसह संज्ञा समानतेच्या एका बाजूला हस्तांतरित केल्याने, आम्ही प्राप्त करतो

. (5.4)

ट्यूब विभाग एस १आणि S 2अनियंत्रितपणे घेतले होते, म्हणून असा युक्तिवाद केला जाऊ शकतो की वर्तमान ट्यूबच्या कोणत्याही विभागात अभिव्यक्ती वैध आहे

. (5.5)

समीकरण (5.5) याला बर्नौलीचे समीकरण म्हणतात. क्षैतिज स्ट्रीमलाइनसाठी h = constआणि समानता (5.4) फॉर्म घेते

आर /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

त्या ज्या ठिकाणी वेग जास्त आहे त्या ठिकाणी दाब कमी असतो.

अंतर्गत घर्षण शक्ती.

वास्तविक द्रव हे स्निग्धता द्वारे दर्शविले जाते, जे स्वतःला या वस्तुस्थितीमध्ये प्रकट करते की द्रव आणि वायूची कोणतीही हालचाल कारणीभूत नसतानाही उत्स्फूर्तपणे थांबते. आपण एका प्रयोगाचा विचार करूया ज्यामध्ये द्रवाचा एक थर स्थिर पृष्ठभागाच्या वर स्थित असतो आणि त्याच्या वरच्या वेगाने फिरतो, त्यावर पृष्ठभाग असलेली प्लेट तरंगते. एस(अंजीर 5.3). अनुभव दर्शवितो की प्लेटला स्थिर गतीने हलविण्यासाठी, त्यावर शक्तीने कार्य करणे आवश्यक आहे. प्लेटला प्रवेग प्राप्त होत नसल्यामुळे, याचा अर्थ असा होतो की या बलाची क्रिया दुसऱ्या, परिमाणात समान आणि विरुद्ध दिशेने निर्देशित बलाद्वारे संतुलित केली जाते, जे घर्षण बल आहे. . न्यूटनने घर्षणाचे बल दाखवले

, (5.7)

कुठे d- द्रव थराची जाडी, h - स्निग्धता गुणांक किंवा द्रव घर्षण गुणांक, वजा चिन्ह सदिशांच्या भिन्न दिशा लक्षात घेते F trआणि v o जर तुम्ही थराच्या वेगवेगळ्या ठिकाणी द्रव कणांच्या गतीचे परीक्षण केले तर असे दिसून येते की ते एका रेखीय नियमानुसार बदलते (चित्र 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

या समानतेला वेगळे करणे, आम्हाला मिळते dv/dz= v 0 /d. हे लक्षात घेऊन

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

कुठे h- डायनॅमिक व्हिस्कोसिटी गुणांक. विशालता dv/dzवेग ग्रेडियंट म्हणतात. अक्षाच्या दिशेने वेग किती वेगाने बदलतो ते दर्शविते z. येथे dv/dz= const velocity gradient हा संख्यात्मकदृष्ट्या वेगातील बदलासारखा असतो vजेव्हा ते बदलते zप्रति युनिट. सूत्रानुसार संख्यात्मकपणे मांडू (5.8) dv/dz =-1 आणि एस= 1, आम्हाला मिळते h = एफ. हे सुचवते भौतिक अर्थ h: स्निग्धता गुणांक संख्यात्मकदृष्ट्या एकक क्षेत्राच्या द्रवपदार्थाच्या थरावर क्रिया करणाऱ्या बलाच्या समान असतो ज्याचा वेग ग्रेडियंट एकतेच्या समान असतो. स्निग्धतेच्या SI युनिटला पास्कल सेकंद (Pa s दर्शविले जाते) म्हणतात. CGS प्रणालीमध्ये, 1 Pa s = 10P सह, स्निग्धतेचे एकक 1 पॉइस (P) आहे.