Pre tých, ktorým polia nevadia. Posledná Fermatova veta Význam a aplikácia Fermatovej vety

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchá a zrozumiteľná každému so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n = c na n nemá prirodzené (teda nie zlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá jednoduché a jasné, ale najlepší matematici aj obyčajní amatéri zápasili s hľadaním riešenia viac ako tri a pol storočia.

V 17. storočí žil vo Francúzsku právnik a na čiastočný úväzok matematik Pierre Fermat, ktorý svojej záľube venoval dlhé hodiny voľného času. Jedného zimného večera, keď sedel pri krbe, predniesol jedno veľmi kuriózne tvrdenie z oblasti teórie čísel – práve toto bolo neskôr nazvané Fermatova veľká veta. Možno by vzrušenie nebolo v matematických kruhoch také výrazné, keby sa nestala jedna udalosť. Matematik často trávil večery štúdiom svojej obľúbenej knihy „Aritmetika“ od Diofanta Alexandrijského (3. storočie), pričom si na jej okraje zapisoval dôležité myšlienky – túto raritu starostlivo uchoval jeho syn pre potomkov. Takže na širokých okrajoch tejto knihy Fermatova ruka zanechala nasledujúci nápis: „Mám dosť nápadný dôkaz, ale je príliš veľký na to, aby sa dal umiestniť na okraje. Bola to táto nahrávka, ktorá spôsobila ohromujúce vzrušenie okolo vety. Matematici nepochybovali, že veľký vedec vyhlásil, že dokázal svoju vlastnú vetu. Pravdepodobne si kladiete otázku: „Naozaj to dokázal, alebo to bola banálna lož, alebo možno existujú aj iné verzie, prečo táto poznámka, ktorá nedala pokojne spať matematikom nasledujúcich generácií, skončila na okraji kniha?"

Podstata Veľkej vety

Fermatova pomerne známa veta je vo svojej podstate jednoduchá a spočíva v tom, že za predpokladu, že n je väčšie ako dva, kladné číslo, rovnica X n + Y n = Z n nebude mať v rámci riešenia nulového typu. prirodzených čísel. Tento zdanlivo jednoduchý vzorec maskoval neuveriteľnú zložitosť a o jeho dôkaz sa bojovalo tri storočia. Je tu jedna zvláštna vec - veta bola neskoro vo svojom zrode, pretože jej špeciálny prípad s n = 2 sa objavil pred 2200 rokmi - to je nemenej slávna Pytagorova veta.

Treba poznamenať, že príbeh o známej Fermatovej vete je veľmi poučný a zábavný, a to nielen pre matematikov. Najzaujímavejšie je, že veda nebola pre vedca prácou, ale jednoduchým koníčkom, z čoho mal farmár veľkú radosť. Neustále tiež udržiaval kontakt s matematikom a tiež priateľom a zdieľal nápady, ale napodiv sa nesnažil publikovať svoje vlastné diela.

Diela matematika Farmera

Pokiaľ ide o samotné farmárske diela, boli objavené práve vo forme obyčajných listov. Na niektorých miestach chýbali celé strany a zachovali sa len útržky korešpondencie. Zaujímavejšia je skutočnosť, že vedci už tri storočia hľadali vetu, ktorá bola objavená v prácach Farmera.

Ale bez ohľadu na to, kto sa to odvážil dokázať, pokusy boli znížené na „nulu“. Slávny matematik Descartes dokonca obvinil vedca, že sa chváli, no všetko sa zvrhlo len na tú najbežnejšiu závisť. Farmár okrem jej vytvorenia dokázal aj vlastnú vetu. Pravda, riešenie sa našlo pre prípad, kde n=4. Pokiaľ ide o prípad n=3, objavil ho matematik Euler.

Ako sa snažili dokázať Farmárovu vetu

Na samom začiatku 19. storočia táto veta naďalej existovala. Matematici našli veľa dôkazov teorémov, ktoré boli obmedzené na prirodzené čísla do dvoch stoviek.

A v roku 1909 bola v stávke pomerne veľká suma, ktorá sa rovnala sto tisícom mariek nemeckého pôvodu - a to všetko len preto, aby sa vyriešil problém súvisiaci s touto vetou. Samotný cenový fond opustil bohatý milovník matematiky Paul Wolfskehl, mimochodom, bol to on, kto sa chcel „zabiť“, ale vďaka takémuto zapojeniu sa do Fermerovej vety chcel žiť. Výsledné vzrušenie dalo podnet na tony „dôkazov“, ktoré zaplavili nemecké univerzity, a medzi matematikmi sa zrodila prezývka „farmár“, ktorá sa napoly opovržlivo používala na označenie každého ambiciózneho povýšenia, ktorý nebol schopný poskytnúť jasné dôkazy.

Dohad japonského matematika Yutaka Taniyamu

Posuny v histórii Veľkej vety boli pozorované až v polovici 20. storočia, no jedna zaujímavá udalosť sa predsa len stala. V roku 1955 japonský matematik Yutaka Taniyama, ktorý mal 28 rokov, ukázal svetu výrok z úplne inej matematickej oblasti – jeho hypotéza na rozdiel od Fermatovej predbehla dobu. Hovorí: "Každá eliptická krivka zodpovedá určitému modulárnemu tvaru." Zdá sa to absurdné pre každého matematika, ako myšlienka, že strom pozostáva z určitého kovu! Paradoxná hypotéza, ako väčšina ostatných ohromujúcich a dômyselných objavov, nebola prijatá, pretože na ňu jednoducho ešte nedospeli. A Yutaka Taniyama o tri roky neskôr spáchal samovraždu – nevysvetliteľný čin, ale česť pre skutočného samurajského génia bola zrejme nadovšetko.

Na hypotézu sa nepamätalo celé desaťročie, ale v sedemdesiatych rokoch sa dostala na vrchol popularity - potvrdili ju všetci, ktorí ju pochopili, ale ako Fermatova veta zostala nedokázaná.

Ako súvisí Taniyamova domnienka a Fermatova veta?

O 15 rokov neskôr došlo v matematike ku kľúčovej udalosti, ktorá spojila hypotézu slávneho Japonca a Fermatovu vetu. Gerhard Gray uviedol, že keď sa preukáže Taniyama domnienka, potom budú dôkazy Fermatovej vety. To znamená, že to posledné je dôsledkom Taniyamovej domnienky a po roku a pol Fermatovu vetu dokázal profesor Kenneth Ribet z Kalifornskej univerzity.

Postupom času regresiu vystriedal pokrok a veda rýchlo napredovala, najmä v oblasti výpočtovej techniky. Hodnota n sa teda začala čoraz viac zvyšovať.

Na samom konci 20. storočia sa najvýkonnejšie počítače nachádzali vo vojenských laboratóriách. V dôsledku všetkých pokusov sa ukázalo, že táto veta je správna pre mnohé hodnoty n, x, y. Nanešťastie sa to však nestalo konečným dôkazom, pretože neexistovali žiadne špecifiká ako také.

John Wiles dokázal veľkú Fermatovu vetu

A nakoniec, až na konci roku 1994 matematik z Anglicka John Wiles našiel a predviedol presný dôkaz Fermerovej kontroverznej vety. Potom, po mnohých úpravách, diskusie o tejto problematike dospeli k svojmu logickému záveru.

Vyvrátenie vyšlo na viac ako sto stranách jedného časopisu! Navyše bola veta dokázaná pomocou modernejšieho aparátu vyššej matematiky. A prekvapujúce je, že v čase, keď Farmár písal svoje dielo, takéto zariadenie v prírode neexistovalo. Jedným slovom, muž bol uznávaný ako génius v tejto oblasti, s čím nikto nemohol argumentovať. Napriek všetkému, čo sa stalo, si dnes môžete byť istí, že prezentovaná veta veľkého vedca Farmera je opodstatnená a dokázaná a nejeden matematik so zdravým rozumom nezačne na túto tému debatu, na ktorej sa zhodnú aj tí najzarytejší skeptici celého ľudstva. s

Celé meno osoby, po ktorej bola veta prezentovaná, sa volalo Pierre de Fermer. Prispieval do rôznych oblastí matematiky. Ale, bohužiaľ, väčšina jeho diel vyšla až po jeho smrti.

Je nepravdepodobné, že by čo i len jeden rok v živote nášho redakčného tímu prešiel bez toho, aby dostal dobrý tucet dôkazov Fermatovej vety. Teraz, po „víťazstve“ nad ňou, tok ustúpil, ale nevyschol.

Samozrejme, tento článok neuverejňujeme preto, aby sme ho úplne vysušili. A nie na svoju obranu - hovoria, že preto sme mlčali, sami sme ešte neboli dostatočne zrelí na to, aby sme diskutovali o takýchto zložitých problémoch.

Ale ak sa vám článok naozaj zdá komplikovaný, pozrite sa rovno do konca. Budete musieť cítiť, že vášne dočasne opadli, veda sa neskončila a čoskoro budú do redakcie zaslané nové dôkazy nových teorémov.

Zdá sa, že dvadsiate storočie nebolo márne. Po prvé, ľudia na chvíľu vytvorili druhé Slnko výbuchom vodíkovej bomby. Potom kráčali po Mesiaci a nakoniec dokázali slávnu Fermatovu vetu. Z týchto troch zázrakov sú prvé dva na perách, pretože spôsobili obrovské sociálne dôsledky. Naopak, tretí zázrak vyzerá len ako ďalšia vedecká hračka – na rovnakej úrovni ako teória relativity, kvantová mechanika a Gödelova veta o neúplnosti aritmetiky. Relativita a kvantá však priviedli fyzikov k vodíkovej bombe a výskum matematikov zaplnil náš svet počítačmi. Bude táto séria zázrakov pokračovať aj v 21. storočí? Je možné vysledovať spojenie medzi najnovšími vedeckými hračkami a revolúciami v našom každodennom živote? Umožňuje nám tento vzťah robiť úspešné predpovede? Skúsme to pochopiť na príklade Fermatovej vety.

Najprv si všimnime, že sa narodila oveľa neskôr ako jej prirodzený termín. Koniec koncov, prvým špeciálnym prípadom Fermatovej vety je Pytagorova rovnica X 2 + Y 2 = Z 2, spájajúca dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Po dokázaní tohto vzorca pred dvadsiatimi piatimi storočiami si Pytagoras okamžite položil otázku: Je v prírode veľa trojuholníkov, ktorých obe strany a prepona majú celú dĺžku? Zdá sa, že Egypťania poznali iba jeden takýto trojuholník - so stranami (3, 4, 5). Nie je však ťažké nájsť ďalšie možnosti: napríklad (5, 12, 13), (7, 24, 25) alebo (8, 15, 17). Vo všetkých týchto prípadoch má dĺžka prepony tvar (A 2 + B 2), kde A a B sú relatívne prvočísla rôznych parít. V tomto prípade sa dĺžky nôh rovnajú (A 2 - B 2) a 2AB.

Keď si Pytagoras všimol tieto vzťahy, ľahko dokázal, že akákoľvek trojica čísel (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) je riešením rovnice X 2 + Y 2 = Z 2 a definuje a obdĺžnik so vzájomnými jednoduchými dĺžkami strán. Je tiež jasné, že počet rôznych trojíc tohto druhu je nekonečný. Ale majú všetky riešenia Pytagorovej rovnice tento tvar? Pytagoras takúto hypotézu nedokázal ani vyvrátiť a prenechal tento problém svojim potomkom bez toho, aby sa naň zameral. Kto chce poukázať na svoje zlyhania? Zdá sa, že potom bol problém celočíselných pravouhlých trojuholníkov sedem storočí v zabudnutí - kým sa v Alexandrii neobjavil nový matematický génius menom Diophantus.

Vieme o ňom málo, ale je jasné: vôbec nebol ako Pytagoras. Cítil sa ako kráľ v geometrii a dokonca aj mimo nej – či už v hudbe, astronómii alebo politike. Prvé aritmetické spojenie medzi dĺžkami strán eufónnej harfy, prvý model vesmíru zo sústredných sfér nesúcich planéty a hviezdy so Zemou v strede a napokon prvá republika vedcov v talianskom meste Crotone - to sú osobné úspechy Pytagora. Čo by mohol Diophantus, skromný výskumník vo veľkom múzeu, ktoré už dávno nebolo pýchou mestského davu, proti takýmto úspechom?

Len jedna vec: lepšie pochopenie starovekého sveta čísel, ktorých zákony Pytagoras, Euklides a Archimedes sotva stihli pocítiť. Všimnite si, že Diophantus ešte nepoznal pozičný systém na písanie veľkých čísel, ale vedel, čo sú záporné čísla, a pravdepodobne strávil veľa hodín premýšľaním o tom, prečo je súčin dvoch záporných čísel kladný. Svet celých čísel bol prvýkrát odhalený Diophantusovi ako zvláštny vesmír, odlišný od sveta hviezd, segmentov alebo mnohostenov. Hlavným zamestnaním vedcov v tomto svete je riešenie rovníc, skutočný majster nájde všetky možné riešenia a dokáže, že iné riešenia neexistujú. To je to, čo urobil Diophantus s kvadratickou rovnicou Pytagoras, a potom sa čudoval: má podobná kubická rovnica X 3 + Y 3 = Z 3 aspoň jedno riešenie?

Diophantus nedokázal nájsť takéto riešenie a neúspešný bol aj jeho pokus dokázať, že riešenia neexistujú. Preto, dokumentujúc výsledky svojej práce v knihe „Aritmetika“ (toto bola prvá učebnica teórie čísel na svete), Diophantus podrobne analyzoval Pytagorovu rovnicu, ale nepovedal ani slovo o možných zovšeobecneniach tejto rovnice. Alebo by to mohlo byť: koniec koncov to bol Diophantus, ktorý ako prvý navrhol zápis mocniny celých čísel! Ale bohužiaľ: koncept „problémovej knihy“ bol helénskej vede a pedagogike cudzí a zverejňovanie zoznamov nevyriešených problémov sa považovalo za neslušnú činnosť (iba Sokrates konal inak). Ak nemôžete vyriešiť problém, buďte ticho! Diophantus sa odmlčal a toto mlčanie trvalo štrnásť storočí – až do príchodu New Age, kedy sa oživil záujem o proces ľudského myslenia.

Kto na prelome 16. - 17. storočia o ničom nefantazíroval! Neúnavný kalkulátor Kepler sa snažil uhádnuť vzťah medzi vzdialenosťami od Slnka k planétam. Pytagoras zlyhal. Kepler dosiahol úspech po tom, čo sa naučil integrovať polynómy a iné jednoduché funkcie. Naopak, vizionár Descartes nemal rád dlhé výpočty, no bol to on, kto ako prvý predstavil všetky body roviny či priestoru ako množiny čísel. Tento odvážny model redukuje akýkoľvek geometrický problém o tvaroch na nejaký algebraický problém o rovniciach – a naopak. Napríklad celočíselné riešenia Pytagorovej rovnice zodpovedajú celočíselným bodom na povrchu kužeľa. Povrch zodpovedajúci kubickej rovnici X 3 + Y 3 = Z 3 vyzerá komplikovanejšie, jeho geometrické vlastnosti Pierrovi Fermatovi nič nenaznačovali a musel si dláždiť nové cesty džungľou celých čísel.

V roku 1636 sa do rúk mladého právnika z Toulouse dostala Diofantova kniha, práve preložená do latinčiny z gréckeho originálu, ktorá sa náhodou zachovala v nejakom byzantskom archíve a do Itálie ju priniesol jeden z rímskych utečencov v čase r. turecká skaza. Pri čítaní elegantného argumentu o Pytagorovej rovnici Fermat uvažoval: je možné nájsť riešenie, ktoré pozostáva z troch štvorcových čísel? Nie sú žiadne malé počty tohto druhu: je ľahké ho skontrolovať hrubou silou. A čo veľké rozhodnutia? Bez počítača by Fermat nemohol uskutočniť numerický experiment. Všimol si však, že pre každé „veľké“ riešenie rovnice X 4 + Y 4 = Z 4 je možné zostrojiť menšie riešenie. To znamená, že súčet štvrtých mocnín dvoch celých čísel sa nikdy nerovná rovnakej mocnine tretieho čísla! A čo súčet dvoch kociek?

Inšpirovaný úspechom pre stupeň 4, Fermat sa pokúsil upraviť "spôsob zostupu" pre stupeň 3 - a uspel. Ukázalo sa, že z tých jednotlivých kociek, do ktorých bola rozsypaná veľká kocka s celou dĺžkou hrany, nebolo možné vyrobiť dve malé kocky. Víťazný Fermat urobil na okraj Diofantovej knihy krátku poznámku a poslal do Paríža list s podrobnou správou o svojom objave. Nedostal však odpoveď – hoci matematici hlavného mesta zvyčajne rýchlo zareagovali na najnovší úspech ich osamelého kolegu-súpera v Toulouse. Čo sa deje?

Je to veľmi jednoduché: v polovici 17. storočia aritmetika vyšla z módy. Veľké úspechy talianskych algebraistov 16. storočia (keď sa riešili polynomické rovnice 3. a 4. stupňa) sa nestali začiatkom všeobecnej vedeckej revolúcie, pretože neumožňovali riešiť nové svetlé problémy v susedných oblastiach vedy. Ak by sa Keplerovi podarilo uhádnuť obežné dráhy planét pomocou čistej aritmetiky... Ale bohužiaľ, toto si vyžadovalo matematickú analýzu. To znamená, že sa musí rozvíjať – až do úplného triumfu matematických metód v prírodných vedách! Analýza však vyrastá z geometrie, zatiaľ čo aritmetika zostáva oblasťou zábavy pre nečinných právnikov a iných milovníkov večnej vedy o číslach a číslach.

Takže Fermatove aritmetické úspechy sa ukázali ako predčasné a zostali nedocenené. Nerozrušilo ho to: na slávu matematika stačili fakty diferenciálneho počtu, analytickej geometrie a teórie pravdepodobnosti, ktoré mu boli odhalené po prvý raz. Všetky tieto Fermatove objavy okamžite vstúpili do zlatého fondu novej európskej vedy, zatiaľ čo teória čísel ustúpila na ďalších sto rokov do úzadia – kým ju Euler neobnovil.

Tento „kráľ matematikov“ z 18. storočia bol šampiónom vo všetkých aplikáciách analýzy, ale nezanedbával aritmetiku, pretože nové metódy analýzy viedli k neočakávaným skutočnostiam o číslach. Kto by si myslel, že nekonečný súčet inverzných štvorcov (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) sa rovná π 2 /6?

Ktorý Hellene mohol predvídať, že podobný rad umožní dokázať iracionalitu čísla π?

Nie tak! V Eulerových úvahách sa objavili komplexné čísla, ktoré sa Fermatovi podarilo prehliadnuť (to je obvyklý údel objaviteľov). Ale faktorizácia komplexných celých čísel je chúlostivá záležitosť. Ani Euler tomu úplne nerozumel a odložil „Fermatov problém“ a ponáhľal sa dokončiť svoje hlavné dielo - učebnicu „Základy analýzy“, ktorá mala pomôcť každému talentovanému mladému mužovi postaviť sa na rovnakú úroveň ako Leibniz a Euler. Vydanie učebnice bolo dokončené v Petrohrade v roku 1770. Ale Euler sa nikdy nevrátil k Fermatovej vete a bol si istý, že všetko, čoho sa dotkli jeho ruky a myseľ, nezabudne nová vedecká mládež.

A tak sa stalo: Eulerovým nástupcom v teórii čísel bol Francúz Adrien Legendre. Koncom 18. storočia dokončil dôkaz Fermatovej vety pre mocniny 5 – a hoci pre veľké prvočísla neuspel, zostavil ďalšiu učebnicu teórie čísel. Nech jeho mladí čitatelia predčia autora tak, ako čitatelia „Matematické princípy prírodnej filozofie“ prekonali veľkého Newtona! Legendre sa nevyrovnal Newtonovi ani Eulerovi, no medzi jeho čitateľmi boli dvaja géniovia: Carl Gauss a Evariste Galois.

Takúto vysokú koncentráciu géniov umožnila Francúzska revolúcia, ktorá vyhlásila štátny kult Rozumu. Potom sa každý talentovaný vedec cítil ako Kolumbus alebo Alexander Veľký, schopný objaviť alebo dobyť nový svet. Mnohým sa to podarilo, a preto sa v 19. storočí stal hlavným motorom ľudskej evolúcie vedecký a technický pokrok a všetci rozumní vládcovia (počnúc Napoleonom) si to uvedomovali.

Gauss bol povahovo blízky Kolumbovi. No on (podobne ako Newton) nevedel zaujať predstavivosť panovníkov či študentov krásnymi rečami, a preto svoje ambície obmedzil na sféru vedeckých konceptov. Tu si mohol robiť všetko, čo chcel. Napríklad z nejakého dôvodu nie je možné vyriešiť starodávny problém trisekcie uhla pomocou kompasu a pravítka. Pomocou komplexných čísel reprezentujúcich body roviny Gauss preloží tento problém do jazyka algebry – a získa všeobecnú teóriu uskutočniteľnosti určitých geometrických konštrukcií. Tak sa zároveň objavil rigorózny dôkaz nemožnosti zostrojiť pravidelný 7- alebo 9-uholník kružidlom a pravítkom a metóda na zostrojenie pravidelného 17-uholníka, ktorú mali najmúdrejší geometri z Hellasu. nikdy nesnívalo.

Samozrejme, takýto úspech neprichádza nazmar: musíme vymýšľať nové koncepty, ktoré odrážajú podstatu veci. Newton predstavil tri takéto koncepty: fluxion (derivát), fluent (integrál) a mocninový rad. Stačili na vytvorenie matematickej analýzy a prvého vedeckého modelu fyzikálneho sveta vrátane mechaniky a astronómie. Gauss tiež predstavil tri nové koncepty: vektorový priestor, pole a prstenec. Z nich vyrástla nová algebra, ktorá podriadila grécku aritmetiku a teóriu numerických funkcií vytvorenú Newtonom. Zostávalo už len podriadiť Aristotelom vytvorenú logiku algebre: potom by bolo možné pomocou výpočtov dokázať odvoditeľnosť alebo neodvoditeľnosť akýchkoľvek vedeckých tvrdení z daného súboru axióm! Je napríklad Fermatova veta odvodená z axióm aritmetiky alebo Euklidov postulát o rovnobežkách z iných axióm planimetrie?

Gauss nestihol zrealizovať tento odvážny sen – hoci postúpil ďaleko a uhádol možnosť existencie exotických (nekomutatívnych) algebier. Prvú neeuklidovskú geometriu sa podarilo zostrojiť len odvážnemu Rusovi Nikolajovi Lobačevskému a prvú nekomutatívnu algebru (Teória skupín) zostrojil Francúz Evariste Galois. A až dlho po Gaussovej smrti – v roku 1872 – si mladý Nemec Felix Klein uvedomil, že rozmanitosť možných geometrií možno spojiť s množstvom možných algebier. Jednoducho povedané, každá geometria je definovaná svojou grupou symetrie – zatiaľ čo všeobecná algebra študuje všetky možné grupy a ich vlastnosti.

Ale takéto pochopenie geometrie a algebry prišlo oveľa neskôr a útok na Fermatovu vetu sa obnovil počas Gaussovho života. Sám Fermatovu vetu z princípu zanedbal: riešiť jednotlivé problémy, ktoré nezapadajú do jasnej vedeckej teórie, nie je kráľovská záležitosť! Ale Gaussovi študenti, vyzbrojení jeho novou algebrou a klasickou analýzou Newtona a Eulera, uvažovali inak. Najprv Peter Dirichlet dokázal Fermatovu vetu pre mocninu 7 pomocou kruhu komplexných celých čísel generovaných koreňmi tejto mocniny jednotky. Potom Ernst Kummer rozšíril Dirichletovu metódu na VŠETKY prvočísla (!) – tak sa mu to v horúčave zdalo a triumfoval. Čoskoro však prišlo vytriezvenie: dôkaz funguje bezchybne iba vtedy, ak je možné každý prvok prsteňa jednoznačne rozložiť na hlavné faktory! V prípade obyčajných celých čísel bola táto skutočnosť Euklidovi známa, ale iba Gauss o tom dal prísny dôkaz. A čo komplexné celé čísla?

Podľa „princípu najväčšieho nešťastia“ môže a MAL by existovať nejednoznačná faktorizácia! Len čo sa Kummer naučil vypočítať mieru nejednoznačnosti pomocou metód matematickej analýzy, objavil tento špinavý trik v kruhu na mocninu 23. Gauss nemal čas spoznať túto verziu exotickej komutatívnej algebry, ale Gaussovi študenti vyrástla nová krásna teória ideálov namiesto iného špinavého triku. Je pravda, že to nepomohlo vyriešiť Fermatov problém: iba jeho prirodzená zložitosť sa stala jasnejšou.

Počas celého 19. storočia si tento antický idol od svojich obdivovateľov vyžiadal čoraz viac obetí v podobe nových zložitých teórií. Nie je prekvapujúce, že začiatkom dvadsiateho storočia boli veriaci skľúčení a búrili sa a odmietali svoj bývalý idol. Slovo „fermatista“ sa medzi profesionálnymi matematikmi stalo špinavou prezývkou. A hoci bola udelená značná cena za úplný dôkaz Fermatovej vety, jej žiadatelia boli väčšinou sebavedomí ignoranti. Najmocnejší matematici tej doby – Poincaré a Hilbert – sa tejto téme rázne vyhýbali.

V roku 1900 Hilbert nezaradil Fermatovu vetu do zoznamu dvadsiatich troch najdôležitejších problémov, ktorým čelila matematika v dvadsiatom storočí. Pravda, do ich série zaradil všeobecný problém riešiteľnosti diofantínskych rovníc. Nápoveda bola jasná: nasledujte príklad Gaussa a Galoisa a vytvorte všeobecné teórie nových matematických objektov! Potom jedného pekného (ale nie vopred predvídateľného) dňa starý tŕň sám vypadne.

Presne takto pôsobil veľký romantik Henri Poincaré. Zanedbávajúc mnoho „večných“ problémov, celý život študoval SYMETRIE určitých predmetov matematiky alebo fyziky: buď funkcie komplexnej premennej, alebo trajektórie pohybu nebeských telies, alebo algebraické krivky alebo hladké variácie (to sú viacrozmerné zovšeobecnenia zakrivených čiar ). Motív jeho konania bol jednoduchý: ak majú dva rôzne predmety podobnú symetriu, znamená to, že medzi nimi môže byť vnútorný vzťah, ktorý zatiaľ nie sme schopní pochopiť! Napríklad každá z dvojrozmerných geometrií (Euklidovská, Lobačevskij alebo Riemann) má svoju vlastnú skupinu symetrií, ktorá pôsobí v rovine. Ale body roviny sú komplexné čísla: týmto spôsobom sa pôsobenie akejkoľvek geometrickej skupiny prenáša do neobmedzeného sveta komplexných funkcií. Je možné a potrebné študovať najsymetrickejšie z týchto funkcií: AUTOMORFNÉ (ktoré podliehajú euklidovskej skupine) a MODULÁRNE (ktoré podliehajú Lobačevského skupine)!

Na rovine sú aj eliptické krivky. V žiadnom prípade nie sú spojené s elipsou, ale sú dané rovnicami v tvare Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, a preto sa pretínajú s ľubovoľnou priamkou v troch bodoch. Táto skutočnosť nám umožňuje zaviesť násobenie medzi body eliptickej krivky – premeniť ju na grupu. Algebraická štruktúra tejto skupiny odráža geometrické vlastnosti krivky, možno ju jednoznačne určuje jej skupina? Táto otázka stojí za preštudovanie, pretože pre niektoré krivky sa skupina, ktorá nás zaujíma, ukazuje ako modulárna, to znamená, že súvisí s Lobačevského geometriou...

Takto uvažoval Poincaré, zvádzajúc matematickú mládež Európy, ale na začiatku dvadsiateho storočia tieto pokušenia neviedli k jasným teorémom alebo hypotézam. S Hilbertovou výzvou to dopadlo inak: študovať všeobecné riešenia diofantických rovníc s celočíselnými koeficientmi! V roku 1922 mladý Američan Lewis Mordell spojil množinu riešení takejto rovnice (ide o vektorový priestor určitej dimenzie) s geometrickým rodom komplexnej krivky, ktorá je daná touto rovnicou. Mordell dospel k záveru, že ak je stupeň rovnice dostatočne veľký (viac ako dva), potom je rozmer priestoru riešenia vyjadrený v zmysle rodu krivky, a preto je tento rozmer KONEČNÝ. Naopak – s mocninou 2 má Pytagorova rovnica NEKONEČNE DIMENZIONÁLNU rodinu riešení!

Samozrejme, Mordell videl súvislosť medzi jeho hypotézou a Fermatovou vetou. Ak sa zistí, že pre každý stupeň n > 2 je priestor celočíselných riešení Fermatovej rovnice konečnorozmerný, pomôže to dokázať, že takéto riešenia vôbec neexistujú! Mordell však nevidel spôsob, ako svoju hypotézu dokázať – a hoci žil dlhý život, nečakal, kým sa táto hypotéza pretaví do Faltingsovej vety. Stalo sa tak v roku 1983 – v úplne inej dobe, po veľkých úspechoch algebraickej topológie odrôd.

Poincaré vytvoril túto vedu akoby náhodou: chcel vedieť, čo sú to trojrozmerné variety. Riemann predsa prišiel na štruktúru všetkých uzavretých plôch a dostal veľmi jednoduchú odpoveď! Ak v trojrozmernom alebo viacrozmernom prípade takáto odpoveď neexistuje, musíte prísť so systémom algebraických invariantov odrody, ktorá určuje jej geometrickú štruktúru. Najlepšie je, ak sú takéto invarianty prvkami niektorých skupín – komutatívne alebo nekomutatívne.

Napodiv, Poincarého odvážny plán bol úspešný: uskutočnil sa v rokoch 1950 až 1970 vďaka úsiliu mnohých geometrov a algebraistov. Do roku 1950 sa v tichosti hromadili rôzne metódy klasifikácie odrôd a po tomto dátume sa zdalo, že sa nahromadilo kritické množstvo ľudí a nápadov a vypukla explózia porovnateľná s vynálezom matematickej analýzy v 17. storočí. Ale analytická revolúcia trvala viac ako jeden a pol storočia a pokryla tvorivé biografie štyroch generácií matematikov - od Newtona a Leibniza po Fouriera a Cauchyho. Naopak, topologická revolúcia dvadsiateho storočia prebehla do dvadsiatich rokov – vďaka veľkému počtu jej účastníkov. Zároveň sa vytvorila početná generácia sebavedomých mladých matematikov, zrazu bez práce vo svojej historickej domovine.

V sedemdesiatych rokoch sa vrhli do priľahlých odborov matematiky a teoretickej fyziky. Mnohí si vytvorili vlastné vedecké školy na desiatkach univerzít v Európe a Amerike. Dnes medzi týmito centrami koluje veľa študentov rôzneho veku a národností, s rôznymi schopnosťami a sklonmi a každý sa chce presláviť nejakým objavom. Práve v tomto pandémoniu sa nakoniec podarilo dokázať Mordellovu domnienku a Fermatovu vetu.

Prvá lastovička, netušiaca o svojom osude, však vyrástla v Japonsku v hladných a nezamestnaných povojnových rokoch. Lastovička sa volala Yutaka Taniyama. V roku 1955 mal tento hrdina 28 rokov a rozhodol sa (spolu s priateľmi Gorom Shimurom a Takauji Tamagawom) oživiť matematický výskum v Japonsku. Kde začať? Samozrejme, s prekonanou izoláciou od zahraničných kolegov! V roku 1955 teda traja mladí Japonci zorganizovali v Tokiu prvú medzinárodnú konferenciu o algebre a teórii čísel. Bolo to zrejme jednoduchšie urobiť v Japonsku, prevychovanom Američanmi, ako v Rusku, zmrazenom Stalinom...

Medzi čestnými hosťami boli dvaja hrdinovia z Francúzska: Andre Weil a Jean-Pierre Serre. Tu mali Japonci veľké šťastie: Weyl bol uznávaným šéfom francúzskych algebraistov a členom Bourbakiho skupiny a mladý Serre zohral podobnú úlohu medzi topológmi. V búrlivých diskusiách s nimi pukali hlavy japonskej mládeže, roztápali sa im mozgy, no nakoniec sa vykryštalizovali také nápady a plány, ktoré sa v inom prostredí len ťažko mohli zrodiť.

Jedného dňa Taniyama oslovil Weila s otázkou o eliptických krivkách a modulárnych funkciách. Francúz najskôr ničomu nerozumel: Taniyama nebol majstrom vyjadrovania sa v angličtine. Potom sa podstata veci vyjasnila, ale Taniyama nedokázal dať svojim nádejam presnú formuláciu. Weil mohol mladému Japoncovi odpovedať len to, že ak bude mať veľké šťastie, čo sa týka inšpirácie, potom z jeho nejasných hypotéz vzíde niečo užitočné. Ale zatiaľ je na to malá nádej!

Weil si zjavne nevšimol nebeský oheň v Taniyamovom pohľade. A bol oheň: zdalo sa, že Japoncov na chvíľu pohltila neodbytná myšlienka zosnulého Poincarého! Taniyama sa presvedčil, že každá eliptická krivka je generovaná modulárnymi funkciami – presnejšie povedané, je „uniformovaná modulárnou formou“. Bohužiaľ, táto presná formulácia sa zrodila oveľa neskôr - v rozhovoroch medzi Taniyamom a jeho priateľom Shimurom. A potom Taniyama spáchal samovraždu v návale depresie... Jeho hypotéza zostala bez majiteľa: nebolo jasné, ako ju dokázať, ani kde ju otestovať, a preto ju dlho nikto nebral vážne. Prvá odpoveď prišla až o tridsať rokov neskôr – takmer ako za Fermatovej éry!

Ľady sa začali lámať v roku 1983, keď dvadsaťsedemročný Nemec Gerd Faltings celému svetu oznámil: Mordellova hypotéza bola dokázaná! Matematici boli opatrní, ale Faltings bol skutočný Nemec: v jeho dlhom a komplexnom dôkaze neboli žiadne medzery. Len prišiel čas, nahromadili sa fakty a koncepty – a teraz sa jednému talentovanému algebraistovi, spoliehajúcemu sa na výsledky desiatich ďalších algebraistov, podarilo vyriešiť problém, ktorý na svojho majiteľa čakal šesťdesiat rokov. V matematike dvadsiateho storočia to nie je nezvyčajné. Stojí za to pripomenúť si odveký problém kontinua v teórii množín, Burnsideove dve domnienky v teórii grúp alebo Poincarého domnienky v topológii. Nakoniec, v teórii čísel, nastal čas zožať úrodu dlhoročnej úrody... Ktorý vrchol bude ďalším v rade tých, ktoré dobyli matematici? Naozaj sa zrúti Eulerov problém, Riemannova hypotéza alebo Fermatova veta? To by bolo pekné!

A dva roky po Faltingsovom odhalení sa v Nemecku objavil ďalší inšpirovaný matematik. Volal sa Gerhard Frey a tvrdil niečo zvláštne: že Fermatova veta bola ODVODENÁ z dohadu Taniyama! Frey, žiaľ, štýlom prezentácie svojich myšlienok viac pripomínal smoliarskeho Taniyamu ako svojho jednoznačného krajana Faltingsa. V Nemecku Freyovi nikto nerozumel a odišiel do zámoria - do honosného mesta Princeton, kde boli po Einsteinovi zvyknutí na nie takých návštevníkov. Nie nadarmo si tam svoje hniezdo postavil Barry Mazur, všestranný topológ a jeden z hrdinov nedávneho útoku na hladké rozvody. A študent Ken Ribet vyrastal vedľa Mazura, rovnako skúsený v zložitosti topológie a algebry, ale ešte sa v ničom nepreslávil.

Keď prvýkrát počul Freyove prejavy, Ribet usúdil, že ide o nezmysel a pseudovedeckú fikciu (Weil pravdepodobne reagoval rovnakým spôsobom na Taniyamove odhalenia). Ribet však na túto „fantáziu“ nemohol zabudnúť a z času na čas sa k nej v mysli vracal. O šesť mesiacov neskôr Ribet veril, že vo Freyových fantáziách je niečo užitočné, a o rok neskôr sa rozhodol, že on sám takmer vedel, ako Freyovu podivnú hypotézu dokázať. Niektoré „diery“ však zostali a Ribet sa rozhodol priznať svojmu šéfovi Mazurovi. Pozorne počúval študenta a pokojne odpovedal: „Áno, všetko ste urobili! Tu musíte použiť transformáciu Ф, tu musíte použiť Lemmy B a K a všetko bude mať bezchybnú formu! Ribet teda urobil skok z temnoty do nesmrteľnosti pomocou katapultu v osobe Freya a Mazura. Spravodlivo, všetky z nich – spolu so zosnulým Taniyamom – by sa mali považovať za dôkaz Fermatovej poslednej vety.

Ale tu je problém: odvodili svoje tvrdenie z hypotézy Taniyama, ktorá sama osebe nebola dokázaná! Čo ak je neverná? Matematici už dávno vedia, že „všetko vyplýva z lži“. Naliehavo potrebujeme dokázať (alebo vyvrátiť) Taniyamovu domnienku – inak niekto ako Faltings dokáže Fermatovu vetu iným spôsobom. Stane sa hrdinom!

Je nepravdepodobné, že sa niekedy dozvieme, koľko mladých alebo skúsených algebraistov napadlo Fermatovu vetu po úspechu Faltingsa alebo po Ribetovom víťazstve v roku 1986. Všetci sa snažili pracovať v tajnosti, aby v prípade neúspechu neboli započítaní do komunity „atrapaí“-farmákov. Je známe, že najšťastnejší zo všetkých, Andrew Wiles z Cambridge, okúsil víťazstvo len začiatkom roku 1993. To Wilesa ani tak nepotešilo, ako skôr vystrašilo: čo ak sa v jeho dôkaze o Taniyamovej domnienke objavila chyba alebo medzera? Potom jeho vedecká povesť zanikla! Dôkaz si treba pozorne zapísať (bude to však veľa desiatok strán!) a odložiť na pol roka či rok, aby ste si ho potom mohli pokojne a pedantne prečítať... Ale čo ak počas tohto kedy niekto zverejní svoj dôkaz? Ach, problémy...

Wiles však prišiel s dvojitým spôsobom, ako rýchlo skontrolovať svoj dôkaz. Najprv musíte dôverovať jednému zo svojich spoľahlivých kolegov priateľov a povedať mu celú líniu úvah. Zvonku sú všetky chyby jasnejšie! Po druhé, šikovní študenti a postgraduálni študenti si musia prečítať špeciálny kurz na túto tému: týmto šikovným chlapom neunikne ani jedna chyba od lektora! Len im do poslednej chvíle nehovorte o konečnom cieli kurzu – inak sa o ňom dozvie celý svet! A samozrejme, také publikum treba hľadať ďalej od Cambridge – radšej ani nie v Anglicku, ale v Amerike... Čo môže byť lepšie ako vzdialený Princeton?

Wiles tam zamieril na jar 1993. Jeho trpezlivý priateľ Niklas Katz po vypočutí dlhej Wilesovej správy v nej objavil množstvo medzier, no všetky sa dali ľahko opraviť. Postgraduálni študenti z Princetonu však čoskoro utiekli z Wilesovho špeciálneho kurzu, pretože nechceli nasledovať rozmarné myšlienky lektora, ktorý ich viedol bohvie kam. Po takomto (nie zvlášť hlbokom) skúmaní jeho diela sa Wiles rozhodol, že je čas odhaliť svetu veľký zázrak.

V júni 1993 sa v Cambridge konala ďalšia konferencia venovaná „teórii Iwasawa“, populárnej vetve teórie čísel. Wiles sa ho rozhodol použiť na predloženie dôkazu o Taniyamovej domnienke bez toho, aby až do úplného konca oznámil hlavný výsledok. Správa trvala dlho, ale bola úspešná, postupne sa začali hrnúť novinári, ktorí niečo tušili. Nakoniec udrel hrom: Fermatova veta bola dokázaná! Všeobecnú radosť nezatienili žiadne pochybnosti: všetko sa zdalo byť jasné... Ale o dva mesiace neskôr si Katz po prečítaní Wilesovho posledného textu všimol ďalšiu dieru. Istý prechod v uvažovaní bol založený na „Eulerovom systéme“ – ale to, čo Wiles vybudoval, taký systém nebol!

Wiles skontroloval úzke hrdlo a uvedomil si, že urobil chybu. Ešte horšie: nie je jasné, ako nahradiť chybné uvažovanie! Potom sa začali najtemnejšie mesiace Wilesovho života. Predtým voľne syntetizoval bezprecedentný dôkaz z dostupného materiálu. Teraz je viazaný na úzku a jasnú úlohu – bez dôvery, že má riešenie a že ho v dohľadnom čase dokáže nájsť. Nedávno Frey neodolal rovnakému boju - a teraz bolo jeho meno zakryté menom úspešného Ribeta, hoci sa Freyov odhad ukázal ako správny. Čo sa stane s MOJIM hádam a MOJIM menom?

Táto tvrdá práca trvala presne rok. V septembri 1994 bol Wiles pripravený priznať porážku a prenechať hypotézu Taniyama úspešnejším nástupcom. Po tomto rozhodnutí začal pomaly znovu čítať svoj dôkaz - od začiatku do konca, počúval rytmus uvažovania, znovu prežíval potešenie z úspešných nálezov. Po dosiahnutí „prekliateho“ miesta však Wiles v duchu nepočul falošnú poznámku. Bola jeho línia uvažovania skutočne bezchybná a chyba vznikla až pri SLOVnom opise mentálneho obrazu? Ak tu nie je „eulerovský systém“, čo sa tu skrýva?

Zrazu mi napadla jednoduchá myšlienka: „Eulerovský systém“ nefunguje tam, kde je použiteľná Iwasawova teória. Prečo túto teóriu neaplikovať priamo – našťastie, sám Wiles je s ňou blízko a pozná ju? A prečo neskúsil tento prístup od samého začiatku, ale nechal sa uniesť pohľadom niekoho iného na problém? Wiles si už na tieto detaily nepamätal – a bolo to zbytočné. Vykonal potrebné úvahy v rámci Iwasawovej teórie a všetko fungovalo za pol hodiny! S oneskorením jedného roka sa tak uzavrela posledná medzera v dôkaze dohadu Taniyama. Konečný text nechala skupina recenzentov zo slávneho matematického časopisu roztrhať a o rok neskôr vyhlásili, že už tam nie sú žiadne chyby. V roku 1995 teda posledná Fermatova hypotéza zomrela v tristo šesťdesiatom roku jeho života a zmenila sa na osvedčenú vetu, ktorá bude nevyhnutne zahrnutá do učebníc teórie čísel.

Keď zhrnieme tristoročné rozruch okolo Fermatovej vety, musíme vyvodiť zvláštny záver: tento hrdinský epos sa nemusel stať! V skutočnosti Pytagorova veta vyjadruje jednoduché a dôležité spojenie medzi vizuálnymi prírodnými objektmi – dĺžkami segmentov. To isté sa však nedá povedať o Fermatovej vete. Vyzerá to skôr ako kultúrna nadstavba na vedeckom substráte – ako dosiahnutie severného pólu Zeme alebo let na Mesiac. Pripomeňme si, že oba tieto výkony spievali spisovatelia dávno pred ich dosiahnutím - dokonca aj v staroveku, po objavení sa Euklidových prvkov, ale pred objavením sa Diofantovej aritmetiky. To znamená, že potom vznikla spoločenská potreba intelektuálnych vykorisťovaní tohto druhu – aspoň imaginárnych! Predtým mali Heléni dosť Homérových básní, tak ako mali Francúzi dosť náboženských záľub sto rokov pred Fermatom. Potom však náboženské vášne opadli – a vedľa nich stála veda.

V Rusku sa takéto procesy začali pred jeden a pol sto rokmi, keď Turgenev postavil Jevgenija Bazarova na roveň Jevgenija Onegina. Je pravda, že spisovateľ Turgenev zle pochopil motívy konania vedca Bazarova a neodvážil sa ich spievať, ale čoskoro to urobili vedec Ivan Sechenov a osvietený novinár Jules Verne. Spontánna vedecká a technologická revolúcia potrebuje kultúrnu škrupinu, aby prenikla do myslí väčšiny ľudí, a preto sa najprv objavuje sci-fi, po ktorej nasleduje populárno-vedecká literatúra (vrátane časopisu „Knowledge is Power“).

Konkrétna vedecká téma zároveň nie je pre širokú verejnosť vôbec dôležitá a nie je veľmi dôležitá ani pre účinkujúcich hrdinov. Keď Amundsen počul o dosiahnutí severného pólu Pearym a Cookom, okamžite zmenil cieľ svojej už pripravenej expedície - a čoskoro dosiahol južný pól pred Scottom o mesiac. Neskôr úspešný let Jurija Gagarina okolo Zeme prinútil prezidenta Kennedyho zmeniť predchádzajúci cieľ amerického vesmírneho programu na drahší, no oveľa pôsobivejší: pristátie ľudí na Mesiaci.

Už skôr bystrý Hilbert odpovedal na naivnú otázku študentov: „Riešenie ktorého vedeckého problému by bolo teraz najužitočnejšie“? - odpovedal vtipom: "Chyťte muchu na odvrátenej strane Mesiaca!" Na zmätenú otázku: "Prečo je to potrebné?" - znela jasná odpoveď: „TOTO nikto nepotrebuje! Zamyslite sa však nad vedeckými metódami a technickými prostriedkami, ktoré budeme musieť vyvinúť, aby sme takýto problém vyriešili – a koľko ďalších krásnych problémov po ceste vyriešime!

Presne to sa stalo s Fermatovou vetou. Euler to mohol minúť.

V tomto prípade by sa modlou matematikov stal nejaký iný problém – možno aj z teórie čísel. Napríklad Eratosthenov problém: existuje konečný alebo nekonečný počet dvojčiat prvočísel (napríklad 11 a 13, 17 a 19 atď.)? Alebo Eulerov problém: je každé párne číslo súčtom dvoch prvočísel? Alebo: existuje algebraický vzťah medzi číslami π a e? Tieto tri problémy stále neboli vyriešené, hoci v dvadsiatom storočí sa matematici výrazne priblížili k pochopeniu ich podstaty. Ale toto storočie prinieslo aj mnohé nové, nemenej zaujímavé problémy, najmä na priesečníkoch matematiky s fyzikou a inými odvetviami prírodných vied.

V roku 1900 Hilbert identifikoval jednu z nich: vytvoriť úplný systém axióm matematickej fyziky! O sto rokov neskôr nie je tento problém ani zďaleka vyriešený, už len preto, že arzenál matematických nástrojov vo fyzike neustále rastie a nie všetky majú striktné opodstatnenie. Ale po roku 1970 sa teoretická fyzika rozdelila na dve vetvy. Jeden (klasický) už od čias Newtona modeluje a predpovedá UDRŽATEĽNÉ procesy, druhý (nový) sa snaží formalizovať interakciu NESTABNÝCH procesov a spôsobov ich riadenia. Je jasné, že tieto dve odvetvia fyziky musia byť axiomatizované oddelene.

Prvým z nich sa zrejme bude zaoberať o dvadsať či päťdesiat rokov...

A čo chýba druhej vetve fyziky - tej, ktorá má na starosti všetky druhy evolúcie (vrátane podivných fraktálov a podivných atraktorov, ekológie biocenóz a Gumilyovovej teórie vášne)? Je nepravdepodobné, že to čoskoro pochopíme. Ale uctievanie vedcov k novej modle sa už stalo masovým fenoménom. Pravdepodobne sa tu rozvinie epos, porovnateľný s trojstoročnou biografiou Fermatovej vety. Na priesečníkoch rôznych vied sa tak rodia nové idoly – podobné náboženským, ale zložitejšie a dynamickejšie...

Človek zrejme nemôže zostať človekom bez toho, aby z času na čas nezvrhol staré idoly a nevytvoril nové – v bolestiach i s radosťou! Pierre Fermat mal to šťastie, že bol v osudnej chvíli blízko horúceho miesta zrodu nového idola – a podarilo sa mu zanechať na novorodencovi odtlačok svojej osobnosti. Takýto osud možno závidieť a nie je hriechom ho napodobňovať.

Sergej Smirnov
"Vedomosti sú sila"

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchá a zrozumiteľná každému so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n = c na n nemá prirodzené (teda nie zlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá jednoduché a jasné, ale najlepší matematici aj obyčajní amatéri zápasili s hľadaním riešenia viac ako tri a pol storočia.