Що опуклий багатокутник. Багатокутник, опуклий багатокутник, чотирикутник

У 8 класі під час уроків геометрії у школі учні вперше знайомляться з поняттям опуклого багатокутника. Незабаром вони дізнаються, що ця фігура має дуже цікаву властивість. Якою б складною вона не була, сума всіх внутрішніх та зовнішніх кутів опуклого багатокутника набуває строго певного значення. У цій статті репетитор з математики та фізики розповідає про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника.

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника

Як довести цю формулу?

Перш ніж перейти до доказу цього твердження, пригадаємо, який багатокутник називається опуклим. Випуклим називається такий багатокутник, який повністю знаходиться по одну сторону від прямої, що містить будь-яку його сторону. Наприклад, такий, який зображений на цьому малюнку:

Якщо ж багатокутник не задовольняє зазначену умову, він називається неопуклим. Наприклад, такий:

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює , де кількість сторін багатокутника.

Доказ цього факту ґрунтується на добре відомій усім школярам теоремі про суму кутів у трикутнику. Впевнений, що й вам ця теорема знайома. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює.

Ідея полягає в тому, щоб розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників. Зробити це можна у різний спосіб. Залежно від того, який спосіб ми виберемо, докази трохи відрізнятимуться.

1. Розіб'ємо опуклий багатокутник на трикутники всіма можливими діагоналями, проведеними з якоїсь вершини. Легко зрозуміти, що тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутника:

Причому сума всіх кутів всіх трикутників, що вийшли, дорівнює сумі кутів нашого n-кутника. Адже кожен кут у трикутниках, що виходять, є частковою якогось кута в нашому опуклому багатокутнику. Тобто шукана сума дорівнює.

2. Можна також вибрати точку всередині опуклого багатокутника та з'єднати її з усіма вершинами. Тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутників:

Причому сума кутів нашого багатокутника в цьому випадку дорівнюватиме сумі всіх кутів усіх цих трикутників за вирахуванням центрального кута, який дорівнює . Тобто шукана сума знову ж таки дорівнює.

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника

Поставимо тепер питання: «Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника?» Відповісти це питання можна так. Кожен зовнішній кут є суміжним із відповідним внутрішнім. Тому він дорівнює:

Тоді сума всіх зовнішніх кутів дорівнює. Тобто вона дорівнює.

Тобто виходить дуже кумедний результат. Якщо відкласти послідовно один за одним усі зовнішні кути будь-якого опуклого n-кутника, то в результаті заповниться рівно вся площина.

Цей цікавий факт можна проілюструвати в такий спосіб. Давайте пропорційно зменшувати всі сторони якогось опуклого багатокутника доти, доки він не зіллється в крапку. Після того, як це станеться, всі зовнішні кути виявляться відкладеними один від одного і заповнять таким чином всю площину.

Цікавий факт, чи не так? І таких фактів у геометрії дуже багато. Тож навчайте геометрію, дорогі школярі!

Матеріал про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника, підготував , Сергій Валерійович

Визначення опуклості багатокутника.

Алгоритм Кіруса-Бека передбачає наявність опуклого багатокутника, що використовується як вікно.

Однак на практиці часто виникає завдання відсікання багатокутником, а інформація про те, є він опуклим чи ні спочатку не задається. У такому разі, перш ніж почати процедуру відсікання необхідно визначити, який заданий багатокутник – опуклий чи ні.

Дамо деякі визначення опуклості багатокутника

Випуклим вважається багатокутник, для якого виконується одна з нижчеперелічених умов:

1) у опуклому багатокутнику всі вершини розташовуються по одну сторону від лінії, що несе будь-яке ребро (з внутрішньої сторони щодо даного ребра);

2) всі внутрішні кути багатокутника менше 180 про;

3)всі діагоналі, що зв'язують вершини багатокутника, лежать усередині цього багатокутника;

4) всі кути багатокутника обходяться в одному напрямку (Рис. 3.3-1).

Для вироблення аналітичного подання останнього критерію опуклості використовуємо векторний твір.

Векторний витвір W двох векторів a і b (Рис. 3.3-2 а) визначається як:

A x ,a y ,a z та b x ,b y ,b z є проекціями на осі координат X ,Y ,Z , відповідно, векторів – співмножників aі b,

- i, j, k- Поодинокі вектори по координатних осях X, Y, Z.

Мал.3.3 ‑ 1

Мал.3.3 ‑ 2

Якщо розглядати двовимірне уявлення багатокутника як подання його в координатній площині XY тривимірної системи координат X, Y, Z (Рис. 3.3-2 b), то вираз для формування векторного твору векторів Uі Vде вектори Uі Vє сусідніми ребрами, що утворюють кут багатокутника, можна записати у вигляді визначника:

Вектор векторного твору перпендикулярний площині, в якій знаходяться вектори-множники. Напрямок вектора твору визначається за правилом буравчика або за правилом гвинта з правою нарізкою.

Для випадку, наведеного на Мал. 3.3-2 b), вектор W, що відповідає векторному твору векторів V, U, матиме ту саму спрямованість, що і спрямованість координатної осі Z .

Враховуючи те, що проекції на вісь Z векторів-множників у цьому випадку дорівнюють нулю, векторний твір можна представити у вигляді:

(3.3-1)

Одиничний вектор kзавжди позитивний, отже, знак вектора wвекторного твору визначатиметься лише знаком визначника D у наведеному вище виразі. Зазначимо, що на підставі властивості векторного твору при перестановці місцями векторів-множників Uі Vвектор знак wзмінюватиметься на протилежний.

Звідси випливає, що, як вектори Vі Uрозглядати два сусідні ребра багатокутника, то порядок перерахування векторів у векторному творі можна поставити у відповідність з обходом кута багатокутника, що розглядається, або ребер, що утворюють цей кут. Це дозволяє використовувати як критерій визначення опуклості багатокутника правило:

якщо для всіх пар ребер багатокутника виконується умова:

Якщо знаки векторних творів окремих кутів не збігаються, то багатокутник не опуклий.

Оскільки ребра багатокутник задаються як координат їх кінцевих точок, то визначення знака векторного твору зручніше використовувати визначник.

Випукла безліч точок на площині.

Безліч точок на площині або тривимірному просторі називається опуклим, якщо будь-які дві точки цієї множини можна з'єднати відрізком прямий, що повністю лежить у даній множині.

Теорема 1. Перетин кінцевого числа опуклих множин є опуклим множиною.

Слідство.Перетин кінцевого числа опуклих множин – опукла множина.

Кутові точки.

Гранична точка опуклої множини називається кутовий, якщо через неї можна провести відрізок, всі точки якого не належать цій множині.

Різні за формою множини можуть мати кінцеву або нескінченну кількість кутових точок.

Випуклий багатокутник.

Багатокутникназивається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що проходить через дві його сусідні вершини.

Теорема: Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180* (n-2)

6) Розв'язання систем m лінійних нерівностей із двома змінними

Дана система т лінійних нерівностей із двома змінними

Знаки деяких або всіх нерівностей можуть бути ≥.

Розглянемо першу нерівність у системі координат Х1ОХ2. Побудуємо пряму

яка є граничною прямою.

Ця пряма поділяє площину на дві напівплощини 1 і 2 (рис. 19.4).

Напівплощина 1 містить початок координат, напівплощина 2 не містить початку координат.

Для визначення, по який бік від граничної прямої розташована задана напівплощина, треба взяти довільну точку на площині (краще початок координат) і підставити координати цієї точки в нерівність. Якщо нерівність справедлива, то напівплощина звернена у бік цієї точки, а то й справедливо, то протилежну від точки бік.

Напрямок напівплощини на малюнках показуємо стрілкою.

Визначення 15. Рішенням кожної нерівності системи є напівплощина, що містить граничну пряму і розташована по одну сторону від неї.

Визначення 16. Перетин напівплощин, кожна з яких визначається відповідною нерівністю системи, називається областю розв'язання системи (ОР).

Визначення 17. Область розв'язання системи, що задовольняє умовам невід'ємності (xj ≥ 0, j =), називається областю невід'ємних або допустимих рішень (ОДР).

Якщо система нерівностей спільна, то ОР і ОДР може бути багатогранником, необмеженої багатогранною областю чи однією точкою.

Якщо система нерівностей несумісна, то ОР і ОДР - пусте безліч.

Приклад 1. Знайти ОР та ОДР системи нерівностей та визначити координати кутових точок ОДР

Рішення. Знайдемо ОР першої нерівності: х1 + 3x2 ≥ 3. Побудуємо граничну пряму х1 +3x2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Підставимо координати точки (0,0) у нерівність: 1∙0 + 3∙0 > 3; оскільки координати точки (0,0) не задовольняють йому, то розв'язуванням нерівності (19.1) є напівплощина, яка не містить точку (0,0).

Аналогічно знайдемо розв'язання інших нерівностей системи. Отримаємо, що ОР та ОДР системи нерівностей є опуклий багатогранник ABCD.

Знайдемо кутові точки багатогранника. Точку А визначимо як точку перетину прямих

Вирішуючи систему, отримаємо А(3/7, 6/7).

Точку В знайдемо як точку перетину прямих

Із системи отримаємо B(5/3, 10/3). Аналогічно знайдемо координати точок З і D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Приклад 2. Знайти ОР та ОДР системи нерівностей

Рішення. Побудуємо прямі та визначимо розв'язання нерівностей (19.5)-(19.7). ОР та ОДР є необмежені багатогранні області ACFM та ABDEKM відповідно (рис. 19.6).

Приклад 3. Знайти ОР та ОДР системи нерівностей

Рішення. Знайдемо розв'язання нерівностей (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ВР представляє необмежену багатогранну область ABC; ОДР – точка В.

Приклад 4. Знайти OP та ОДР системи нерівностей

Рішення. Побудувавши прямі, знайдемо розв'язання нерівностей системи. ОР та ОДР несумісні (рис. 19.8).

ВПРАВИ

Знайти ОР та ОДР систем нерівностей

Теорема. Якщо xn ® a, то .

Доведення. З xn ® a випливає, що . В той же час:

Тобто. , тобто. . Теорему доведено.

Теорема. Якщо xn ® a, то послідовність (xn) обмежена.

Слід зазначити, що зворотне твердження не так, тобто. з обмеженості послідовності не випливає її збіжність.

Наприклад, послідовність не має межі, хоча

Розкладання функцій у статечні ряди.

Розкладання функцій в статечний ряд має велике значення для вирішення різних завдань дослідження функцій, диференціювання, інтегрування, розв'язання диференціальних рівнянь, обчислення меж, обчислення наближених значень функції.

Отже, отримуємо:

Розглянемо метод розкладання функції ряд за допомогою інтегрування.

За допомогою інтегрування можна розкладати в ряд таку функцію, для якої відомо або може бути знайдено легко розкладання в ряд її похідної.

Знаходимо диференціал функції та інтегруємо його в межах від 0 до х.

Поняття багатокутника

Визначення 1

Багатокутникомназивається геометрична фігура в площині, яка складається з попарно з'єднаних між собою відрізків, сусідні з яких не лежать на одній прямій.

При цьому відрізки називаються сторонами багатокутника, а їх кінці - вершинами багатокутника.

Визначення 2

$n$-кутником називається багатокутник, у якого $n$ вершин.

Види багатокутників

Визначення 3

Якщо багатокутник завжди лежатиме по одну сторону від будь-якої прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається опуклим(Рис. 1).

Малюнок 1. Випуклий багатокутник

Визначення 4

Якщо багатокутник лежить по різні боки хоча б однієї прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається неопуклим (рис. 2).

Малюнок 2. Неопуклий багатокутник

Сума кутів багатокутника

Введемо теорему про суму кутів-кутника.

Теорема 1

Сума кутів опуклого -кутника визначається наступним чином

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доведення.

Нехай нам дано опуклий багатокутник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. З'єднаємо його вершину $A_1$ з іншими вершинами даного багатокутника (рис. 3).

Малюнок 3.

За такого з'єднання ми отримаємо $n-2$ трикутника. Просумувавши їх кути ми отримаємо суму кутів даного -кутника. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $(180)^0,$ отримаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теорему доведено.

Поняття чотирикутника

Використовуючи визначення $2$, легко ввести визначення чотирикутника.

Визначення 5

Чотирьохкутником називається багатокутник, у якого $4$ вершини (рис. 4).

Малюнок 4. Чотирьохкутник

Для чотирикутника аналогічно визначено поняття опуклого чотирикутника та неопуклого чотирикутника. Класичними прикладами опуклих чотирикутників є квадрат, прямокутник, трапеція, ромб, паралелограм (рис. 5).

Рисунок 5. Випуклі чотирикутники

Теорема 2

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює $(360)^0$

Доведення.

За теоремою $1$, ми знаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Отже, сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теорему доведено.

Випуклий чотирикутник - це фігура, що складається з чотирьох сторін, з'єднаних між собою у вершинах, що утворюють разом із сторонами чотири кути, при цьому сам чотирикутник завжди знаходиться в одній площині щодо прямої, на якій лежить одна з його сторін. Іншими словами, вся фігура знаходиться по одну сторону від будь-якої сторони.

Вконтакте

Як видно, визначення досить легко запам'ятовується.

Основні властивості та види

До опуклих чотирикутників можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Можна виділити такі:

1. паралелограм;
2. квадрат;
3. прямокутник;
4. трапеція;
5. ромб.

Всі ці постаті поєднує не лише те, що вони чотирикутні, а й те, що вони ще й опуклі. Достатньо просто розглянути схему:

На малюнку зображена опукла трапеція. Тут видно, що трапеція знаходиться на одній площині або з одного боку від відрізка . Якщо провести аналогічні дії, можна з'ясувати, що і у випадку з усіма іншими сторонами трапеція опукла.

Чи є паралелограм опуклим чотирикутником?

Вище показано зображення паралелограма. Як видно з малюнка, паралелограм також є опуклим. Якщо подивитися на фігуру щодо прямих, на яких лежать відрізки AB, BC, CD і AD, стає зрозуміло, що вона завжди знаходиться на одній площині від цих прямих. Основними ознаками паралелограма і те, що його сторони попарно паралельні і рівні як і, як і протилежні кути рівні між собою.

Тепер, уявіть квадрат або прямокутник. За своїми основними властивостями є ще й паралелограмами, тобто всі їхні сторони розташовані попарно паралельно. Тільки у разі прямокутника довжина сторін може бути різною, а кути прямі (рівні 90 градусам), квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні і кути також прямі, а у паралелограма довжини сторін і кути можуть бути різними.

У підсумку сума всіх чотирьох кутів чотирикутника має дорівнювати 360 градусам. Найлегше це визначити по прямокутнику: всі чотири кути прямокутника прямі, тобто дорівнюють 90 градусам. Сума цих 90-градусних кутів дає 360 градусів, тобто, якщо скласти 90 градусів 4 рази, вийде необхідний результат.

Властивість діагоналей опуклого чотирикутника

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, досить поглянути на малюнок:

На малюнку зліва зображено неопуклий чотирикутник або чотиристоронник. Як завгодно. Як видно, діагоналі не перетинаються, принаймні не всі. Праворуч зображено опуклий чотирикутник. Тут вже спостерігається якість діагоналей перетинатися. Це властивість вважатимуться ознакою опуклості чотирикутника.

Інші властивості та ознаки опуклості чотирикутника

Саме з цього терміну дуже складно назвати певні властивості і ознаки. Легше відокремити за різними видами чотирикутників такого типу. Почати можна з паралелограма. Ми вже знаємо, що це чотирикутна постать, сторони якої попарно паралельні та рівні. При цьому, сюди включається властивість діагоналей паралелограма перетинатися між собою, а також сама по собі ознака опуклості фігури: паралелограм знаходиться завжди в одній площині і по один бік щодо будь-якої зі своїх сторін.

Отже, відомі основні ознаки та властивості:

1. сума кутів чотирикутника дорівнює 360 градусів;
2. діагоналі фігур перетинаються в одній точці.

Прямокутник. Ця фігура має ті самі властивості й ознаки, як і паралелограм, та заодно всі кути його дорівнюють 90 градусам. Звідси й назва прямокутник.

Квадрат, той же паралелограмале кути його прямі як у прямокутника. Через це квадрат у поодиноких випадках називають прямокутником. Але головним відмітним ознакою квадрата крім перелічених вище, і те, що це чотири його боку рівні.

Трапеція – дуже цікава фігура. Це також чотирикутник і теж опуклий. У цій статті трапеція розглядалася на прикладі малюнка. Зрозуміло, що вона також опукла. Головною відмінністю, а відповідно ознакою трапеції є те, що її сторони можуть бути абсолютно не рівними один одному за довжиною, а також її кути за значенням. При цьому фігура завжди залишається на одній площині відносно будь-якої з прямих, яка з'єднує будь-які дві її вершини по відрізкам, що утворюють фігуру.

Ромб - не менш цікава фігура. Частково ромбом можна вважати квадрат. Ознакою ромба є те що, що його діагоналі як перетинаються, а й ділять кути ромба навпіл, самі діагоналі перетинаються під прямим кутом, тобто, вони перпендикулярні. Якщо довжини сторін ромба рівні, то діагоналі теж діляться навпіл при перетині.

Дельтоїди або опуклі ромбоїди (ромби)можуть мати різну довжину сторін. Але при цьому все одно зберігаються як основні властивості та ознаки самого ромба, так і ознаки та властивості опуклості. Тобто ми можемо спостерігати, що діагоналі ділять кути навпіл і перетинаються під прямим кутом.

Сьогоднішнім завданням було розглянути і зрозуміти, що таке опуклі чотирикутники, які вони бувають та їх основні ознаки та властивості. Увага! Ще раз нагадає, що сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусам. Периметр фігур, наприклад, дорівнює сумі довжин всіх відрізків, що утворюють фігуру. Формули розрахунку периметра та площі чотирикутників будуть розглянуті у наступних статтях.

Види опуклих чотирикутників