Рухи тіла кинутого під кутом. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту! Кінематика – це просто
До кінця фінального матчу баскетбольного турніру Олімпіади в Мюнхені 1972 року залишалося 3 секунди. Американці – збірна США – вже на всю святкували перемогу! Наша команда – збірна СРСР – вигравала близько 10-ти очок у великої Dream Team...
За кілька хвилин до закінчення матчу. Але, розгубивши наприкінці всю перевагу, вже поступалася одним очком 49:50. Далі сталося неймовірне! Іван Єдешко кидає м'яч через лицьову лінію через весь майданчик під кільце американців, де наш центровий Олександр Бєлов приймає м'яч в оточенні двох суперників і вкладає його в кошик. 51:50 – ми олімпійські чемпіони!
Я, будучи тоді дитиною, відчув сильні емоції – спочатку розчарування та образу, потім божевільне захоплення! Емоційна пам'ять про цей епізод врізалася в мою свідомість на все життя! Перегляньте відео в Інтернеті на запит «золотий кидок Олександра Бєлова», не пошкодуєте.
Американці тоді не визнали поразки та відмовилися від отримання срібних медалей. Чи можливо за три секунди зробити те, що зробили наші гравці? Згадаймо фізику!
У цій статті ми розглянемо рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, складемо в Excel програму вирішення цієї задачі при різних поєднаннях вихідних даних і спробуємо відповісти на поставлене вище питання.
Це досить відоме завдання у фізиці. У нашому випадку тіло, кинуте під кутом до горизонту, – це баскетбольний м'яч. Ми розрахуємо початкову швидкість, час і траєкторію польоту м'яча, кинутого через весь майданчик Іваном Єдешком і Олександра Бєлова, що потрапив до рук.
Математика та фізика польоту баскетбольного м'яча.
Подані нижче формули та розрахунок уexcelє універсальними для широкого кола завдань про тіла, кинуті під кутом до горизонту і летять по параболічній траєкторії без урахування впливу тертя повітря.
Розрахункова схема представлена малюнку, розташованому нижче. Запускаємо програму MS Excel чи OOo Calc.
Вихідні дані:
1. Оскільки ми знаходимося на планеті Земля і розглядаємо балістичне завдання – рух тіл у полі тяжкості Землі, то насамперед запишемо основну характеристику гравітаційного поля – прискорення вільного падіння gу м/с 2
в комірку D3: 9,81
2. Розміри баскетбольного майданчика – 28 метрів довжина та 15 метрів ширина. Відстань польоту м'яча майже через весь майданчик до кільця від протилежної лінії по горизонталі xв метрах впишемо
в комірку D4: 27,000
3. Якщо прийняти, що кидок Єдешко зробив з висоти близько двох метрів, а Бєлов спіймав м'яч якраз десь на рівні кільця, то при висоті баскетбольного кільця 3,05 метра відстань між точками вильоту та прильоту м'яча становитиме по вертикалі 1 метр. Запишемо вертикальне переміщення yу метрах
в комірку D5: 1,000
4. За моїми вимірами на відеозаписі кут вильоту м'яча α 0 із рук Єдешко не перевищував 20°. Введемо це значення
в комірку D6: 20,000
Результати розрахунків:
Основні рівняння, що описують рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без урахування опору повітря:
x =v 0*cos α 0 *t
y =v 0*sin α 0 * t -g * t 2 /2
5. Висловимо час tз першого рівняння, підставимо у друге та обчислимо початкову швидкість польоту м'яча v 0 у м/с
в осередку D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДІАНИ(D6))^2/(D4*TAN (РАДІАНИ (D6)) -D5))^0,5 =21,418
v 0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y)) 0,5
6. Час польоту м'яча від рук Єдешка до рук Бєлова tв секундах розрахуємо, знаючи тепер v 0 , з першого рівняння
в осередку D9: =D4/D8/COS (РАДІАНИ(D6)) =1,342
t = x /(v 0 * cosα 0 )
7. Знайдемо кут напряму швидкості польоту м'яча α iв точці траєкторії, що цікавить нас. Для цього вихідну пару рівнянь запишемо в такому вигляді:
y =x *tgα 0 -g * x 2 / (2 *v 0 2*(cosα 0 ) 2)
Це рівняння параболи – траєкторії польоту.
Нам необхідно знайти кут нахилу дотичної до параболи в точці, що нас цікавить, - це і буде кут. α i. Для цього візьмемо похідну, яка є тангенсом кута нахилу дотичної:
y’ =tgα 0 -g *x /(v 0 2*(cosα 0 ) 2)
Розрахуємо кут прильоту м'яча до рук Бєлова α iу градусах
в осередку D10: =ATAN (TAN (РАДІАНИ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДІАНИ (D6))^2)/ПІ()*180 =-16,167
α i = arctgy ’ = arctg(tgα 0 — g * x /(v 0 2 *(cosα 0 ) 2))
Розрахунок у excel, в принципі, закінчено.
Інші варіанти розрахунків:
Використовуючи написану програму, можна швидко і просто при інших поєднаннях вихідних даних зробити обчислення.
Нехай дані горизонтальна x = 27 метрів , вертикальна y = 1 метр дальності польоту та початкова швидкість v 0 = 25 м/с.
Потрібно знайти час польоту tта кути вильоту α 0 та прильоту α i
Скористайтеся сервісом MS Excel «Підбір параметра». Я неодноразово у кількох статтях блогу докладно розповідав, як ним користуватися. Детальніше про використання цього сервісу можна почитати.
Встановлюємо в комірці D8 значення 25,000 за рахунок зміни підбором значення комірки D6. Результат малюнку внизу.
Вихідні дані у цьому варіанті розрахунку в excel (як, втім, і в попередньому) виділені синіми рамками, а результати обведені червоними прямокутними рамками!
Встановлюючи у таблиціExcelдеяке значення в одній з осередків зі світло-жовтою заливкою за рахунок підбору зміненого значення в одній з осередків зі світло-бірюзовою заливкою, можна отримати в загальному випадку десять різних варіантів вирішення задачі про рух тіла, кинутого під кутом до горизонту при десяти різних наборах вихідних даних!
Відповідь на запитання:
Відповімо на запитання, поставлене на початку статті. М'яч, надісланий Іваном Єдешком, долетів до Бєлова за нашими розрахунками за 1,342с. Олександр Бєлов упіймав м'яч, приземлився, підстрибнув і покинув. На все це він мав «море» часу – 1,658с! Це є дійсно достатня з запасом кількість часу! Детальний перегляд кадрів відеозапису підтверджує вищесказане. Нашим гравцям вистачило трьох секунд, щоб доставити м'яч від своєї лицьової лінії до щита суперників та закинути його у кільце, вписавши золотом свої імена в історію баскетболу!
Прошу поважають праця автора завантажувати файл після передплати на новини статей!
Кінематика – це просто!
Після кидка в польоті на тіло діють сила тяжіння Fтта сила опору повітря Fс.
Якщо рух тіла відбувається на малих швидкостях, то при розрахунку силу опору повітря зазвичай не враховують.
Отже, можна вважати, що на тіло діє тільки сила тяжіння, отже рух покинутого тіла є вільним падінням.
Якщо це вільне падіння, то прискорення покинутого тіла дорівнює прискоренню вільного падіння g.
На малих висотах щодо Землі сила тяжкості Fт мало змінюється, тому тіло рухається з постійним прискоренням.
Отже, рух тіла, кинутого під кутом до обрію є варіантом вільного падіння, тобто. рухом з постійним прискоренням та криволінійною траєкторією(т.к. вектори швидкості та прискорення не збігаються у напрямку).
Формули цього руху на векторному вигляді: Для розрахунку руху тіла вибирають прямокутну систему координат XOY, т.к. траєкторією руху тіла є парабола, що лежить у площині, що проходить через вектори Fт і Vo.
За початок координат зазвичай вибирають точку початку руху покинутого тіла.
У будь-який момент часу зміна швидкості руху тіла за напрямком збігається з прискоренням.
Вектор швидкості тіла у будь-якій точці траєкторії можна розкласти на 2 складові: вектор V x і вектор V y .
У будь-який момент часу швидкість тіла визначатиметься як геометрична сума цих векторів:
Згідно з малюнком, проекції вектора швидкості на координатні осі OX та OY виглядають так:
Розрахунок швидкості тіла у будь-який момент часу:
Розрахунок переміщення тіла у будь-який момент часу:
Кожній точці траєкторії руху тіла відповідають координати X та Y:
Розрахункові формули для координат кинутого тіла у будь-який момент часу:
З рівняння руху можна вивести формули для розрахунку максимальної дальності польоту L:
та максимальної висоти польоту Н:
P.S.
1. При рівних за величиною початкових швидкостях Vo дальність польоту:
- зростає, якщо початковий кут кидання збільшувати від 0 o до 45 o
- зменшується, якщо початковий кут кидання збільшувати від 45 o до 90 o .
2. При рівних початкових кутах кидання дальність польоту L зростає із збільшенням початкової швидкості Vo. 
3. Окремим випадком руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є рух тіла, кинутого горизонтальноПри цьому початковий кут кидання дорівнює нулю.
Що таке вільне падіння? Це падіння тіл на Землю за відсутності опору повітря. Інакше кажучи – падіння у порожнечі. Звичайно, відсутність опору повітря – це вакуум, який не можна зустріти на Землі у нормальних умовах. Тому ми не будемо брати силу опору повітря до уваги, вважаючи її настільки малою, що її можна знехтувати.
Прискорення вільного падіння
Проводячи свої знамениті досліди на Пізанській вежі Галілео Галілей з'ясував, що всі тіла, незалежно від їхньої маси, падають на Землю однаково. Тобто для всіх тіл прискорення вільного падіння однаково. За легендою, вчений тоді скидав із вежі кулі різної маси.
Прискорення вільного падіння
Прискорення вільного падіння - прискорення, з якою всі тіла падають Землю.
Прискорення вільного падіння приблизно дорівнює 9,81 м2 і позначається буквою g. Іноді, коли точність не є важливою, прискорення вільного падіння округляють до 10 м з 2 .
Земля - не ідеальна куля, і в різних точках земної поверхні, залежно від координат та висоти над рівнем моря, значення g варіюється. Так, найбільше прискорення вільного падіння - на полюсах (≈ 9,83 м з 2), а щонайменше - на екваторі (≈ 9,78 м з 2).
Вільне падіння тіла
Розглянемо простий приклад вільного падіння. Нехай деяке тіло падає з висоти h з початковою нульовою швидкістю. Припустимо, ми підняли рояль на висоту h і спокійно відпустили його.
Вільне падіння – прямолінійний рух із постійним прискоренням. Направимо вісь координат від точки початкового положення тіла до Землі. Застосовуючи формули кінематики для прямолінійного рівноприскореного руху, можна записати.
h = v 0 + g t 2 2 .
Так як початкова швидкість дорівнює нулю, перепишемо:
Звідси вираз для часу падіння тіла з висоти h:
Беручи до уваги, що v = g t знайдемо швидкість тіла в момент падіння, тобто максимальну швидкість:
v = 2 h g · g = 2 h g.
Аналогічно можна розглянути рух тіла, кинутого вертикально нагору з певною початковою швидкістю. Наприклад, ми кидаємо вгору м'ячик.
Нехай вісь координат спрямована вертикально нагору з точки кидання тіла. Цього разу тіло рухається рівногайно, втрачаючи швидкість. У найвищій точці швидкість тіла дорівнює нулю. Застосовуючи формули кінематики, можна записати:
Підставивши v = 0 знайдемо час підйому тіла на максимальну висоту:
Час падіння збігається з часом підйому і тіло повернеться на Землю через t = 2 v 0 g .
Максимальна висота підйому тіла, кинутого вертикально:
Погляньмо на малюнок нижче. На ньому наведено графіки швидкостей тіл для трьох випадків руху з прискоренням a = -g. Розглянемо кожен із новачків, попередньо уточнивши, що у цьому прикладі все числа округлені, а прискорення вільного падіння прийнято рівним 10 м з 2 .
Перший графік – це падіння тіла з деякою висоти без початкової швидкості. Час падіння t п = 1 с. З формул і графіка легко отримати, що висота, з якої падало тіло, дорівнює h = 5 м.
Другий графік - рух тіла, кинутого вертикально нагору з початковою швидкістю v 0 = 10 м с. Максимальна висота підйому h = 5 м. Час підйому та час падіння t п = 1 с.
Третій графік є продовженням першого. Тіло, що падає, відскакує від поверхні і його швидкість різко змінює знак на протилежний. Подальший рух тіла можна розглядати за другим графіком.
Із завданням про вільне падіння тіла тісно пов'язана задача про рух тіла, кинутого під певним кутом до горизонту. Так, рух параболической траєкторії можна як суму двох незалежних рухів щодо вертикальної і горизонтальної осей.
Вздовж осі O Y тіло рухається рівноприскорено з прискоренням g початкова швидкість цього руху - v 0 y . Рух уздовж осі O X - рівномірний і прямолінійний, з початковою швидкістю v 0 x.
Умови для руху вздовж осі ПРО Х:
x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α; a x = 0.
Умови руху вздовж осі O Y:
y 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α; a y = - g.
Наведемо формули для руху тіла, кинутого під кутом до горизонту.
Час польоту тіла:
t = 2 v 0 sin α g .
Дальність польоту тіла:
L = v 0 2 sin 2 α g.
Максимальна дальність польоту досягається при вугіллі α = 45°.
L m a x = v 0 2 g.
Максимальна висота підйому:
h = v 0 2 sin 2 α 2 g.
Зазначимо, що в реальних умовах рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, може проходити траєкторією, відмінною від параболічної внаслідок опору повітря і вітру. Вивченням руху тіл, кинутих у просторі, займається спеціальна наука – балістика.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Якщо тіло кинути під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила - сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі ах = 0 ау = - g.
Малюнок 1. Кінематичні характеристики тіла, кинутого під кутом до горизонту
Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладення незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).
Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:
де $v_0$ - початкова швидкість, $(\mathbf \alpha) $ - Кут кидання.
За нашого вибору початку координат початкові координати (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тоді отримаємо:
(1)
Проаналізуємо формули (1). Визначимо час руху покинутого тіла. І тому покладемо координату y рівної нулю, т.к. у момент приземлення висота тіла дорівнює нулю. Звідси отримуємо для польоту:
Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення також має фізичне значення.
Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту - це значення координати наприкінці польоту, тобто. у момент часу, що дорівнює $t_0$. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:
З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.
Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна одержати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо
З рівнянь (1) можна здобути рівняння траєкторії тіла, тобто. рівняння, що зв'язує координати х та у тіла під час руху. Для цього потрібно з першого рівняння (1) виразити час:
і підставити його на друге рівняння. Тоді отримаємо:
Це рівняння є рівнянням траєкторії руху. Видно, що це рівняння параболи, розташованої гілками вниз, про що говорить знак «-» перед квадратичним доданком. Слід пам'ятати, що кут кидання $\alpha$ та її функції -- тут просто константи, тобто. постійні числа.
Тіло кинуте зі швидкістю v0 під кутом $(\mathbf \alpha)$ до горизонту. Час польоту $ t = 2 з $. Яку висоту Hmax підніметься тіло?
$$t_В = 2 з$$ $$H_max - ?$$
Закон руху тіла має вигляд:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Вектор початкової швидкості утворює з віссю ОХ кут $(\mathbf\alpha)$. Отже,
\ \ \
З вершини гори кидають під кутом = 30$()^\circ$ до горизонту камінь із початковою швидкістю $v_0 = 6 м/с$. Кут похилої площини = 30 $ () ^ \ circ $. На якій відстані від точки кидання впаде камінь?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Помістимо початок координат у точку кидання, ОХ - уздовж похилої площини вниз, OY - перпендикулярно похилій площині вгору. Кінематичні характеристики руху:
Закон руху:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
Підставивши отримане значення $t_В$, знайдемо $S$:
Нехай тіло кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю. Як і в попередніх випадках, нехтуватимемо опором повітря. Для опису руху необхідно вибрати дві осі координат - Ох та Оу (рис. 29).
Рис.29
Початок відліку сумісний із початковим положенням тіла. Проекції початкової швидкості осі Оу і Ох: , . Проекції прискорення:
Тоді рух тіла описуватиметься рівняннями:
(8)
(9)
З цих формул випливає, що у горизонтальному напрямі тіло рухається рівномірно, а вертикальному - рівноприскорено.
Траєкторією руху тіла буде парабола. Враховуючи, що у верхній точці параболи можна знайти час підйому тіла до верхньої точки параболи:
Підставивши значення t 1 рівняння (8), знайдемо максимальну висоту підйому тіла:
Максимальна висота підйому тіла.
Час польоту тіла знаходимо з умови, що з t=t 2 координата у 2 =0. Отже, 
. Звідси - час польоту тіла. Порівнюючи цю формулу з формулою (10), бачимо, що t2 = 2t1.
Час руху тіла з максимальною висоти t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 = t 1 . Отже, скільки часу тіло піднімається на максимальну висоту, стільки часу воно опускається з цієї висоти. Підставляючи в рівняння координати х (6) значення часу t 2 знайдемо:
- Дальність польоту тіла.
Миттєва швидкість у будь-якій точці траєкторії спрямована по дотичній до траєкторії (див. рис. 29), модуль швидкості визначається за формулою
Таким чином, рух тіла, кинутого під кутом до горизонту або горизонтальному напрямку, можна розглядати як результат двох незалежних рухів - горизонтального рівномірного і вертикального рівноприскореного (вільного падіння без початкової швидкості або руху тіла, кинутого вертикально вгору).
Розглянемо, що може бути метою кінематичних завдань.
1. Нас може цікавити зміна кінематичних величин процесі руху, тобто. одержання відомостей про зміну координат, швидкості, прискорення, а також відповідних кутових величин.
2. У ряді завдань, наприклад, у задачі про рух тіла під кутом до горизонту, потрібно дізнатися про значення фізичних величин конкретних станах: дальності польоту, найбільшої величини підйому тощо.
3. У випадках, коли тіло одночасно бере участь у кількох рухах (наприклад, кочення кулі) або розглядається відносний рух кількох тіл, виникає необхідність встановити співвідношення між переміщеннями, швидкостями та прискореннями (лінійними та кутовими), тобто. знайти рівняння кінематичного зв'язку.
Незважаючи на велику різноманітність завдань із кінематики, можна запропонувати наступний алгоритм їх вирішення:
1. Зробити схематичний малюнок, зобразивши початкове становище тіл та його початковий стан, тобто. та .
2. Вибрати систему відліку виходячи з аналізу умови завдання. Для цього потрібно вибрати тіло відліку та зв'язати з ним систему координат, вказавши початок відліку координат, напрямок осей координат, момент початку відліку часу. При виборі позитивних напрямів керуються напрямом руху (швидкості) чи напрямом прискорення.
3. Скласти на підставі законів руху систему рівнянь у векторному вигляді для всіх тіл, а потім у скалярній формі, спроектувавши на координатні осі ці векторні рівняння руху. При записі цих рівнянь слід звернути увагу на знаки "+" і "-" проекцій векторних величин, що входять до них.
4. Відповідь необхідно отримати у вигляді аналітичної формули (загалом), а наприкінці зробити числові розрахунки.
приклад 4.Скільки часу пасажир, що сидить біля вікна поїзда, що йде зі швидкістю 54 км/год, бачитиме зустрічний поїзд, що проходить повз нього, швидкість якого 36 км/год, а довжина 250 м?
Рішення.Нерухому систему відліку зв'яжемо із Землею, рухливу – з поїздом, у якому перебуває пасажир. Відповідно до закону складання швидкостей , де - швидкість зустрічного поїзда щодо першого. У проекціях на вісь Ох:
Оскільки шлях, пройдений зустрічним поїздом щодо першого, дорівнює довжині поїзда, то час
Приклад 5.Пароплав йде від Нижнього Новгорода до Астрахані 5,0 діб, а назад – 7,0 діб. Як довго пливтиме пліт від Нижнього Новгорода до Астрахані? Парковки та затримки у русі виключити.
Дано: t 1 = 5 діб, t 2 = 7 діб.
Рішення.Нерухому систему відліку зв'яжемо з берегом, рухливу – з водою. Вважатимемо, що швидкість води на всьому шляху однакова і швидкість пароплава щодо води постійна і дорівнює модулю миттєвої швидкості пароплава щодо води.
Так як пліт рухається щодо берега зі швидкістю течії річки, той час його руху, де s – відстань між містами. При русі пароплава за течією його швидкість відповідно до закону складання швидкостей або в проекціях на вісь Ох:
де – швидкість пароплава щодо берега, – швидкість пароплава щодо річки.
Знаючи час руху, можна знайти швидкість:
З формул (1) та (2) маємо:
При русі пароплава проти течії , чи проекціях на вісь Ох , де - швидкість пароплава щодо берега.
З іншого боку, . Тоді
Вирішуючи систему рівнянь (3) і (4) щодо , отримаємо:
Знайдемо час руху плоту:
Приклад 6.При рівноприскореному русі тіло проходить за два перших рівних послідовних проміжку часу по 4,0 з кожного шляху s 1 = 24 м і s 2 = 64 м відповідно. Визначте початкову швидкість та прискорення тіла.
Дано: t 1 = t 2 = 4,0 с, s 1 = 24 м, s 2 = 64 м.
Рішення.Запишемо рівняння шляху для s 1 та (s 1 +s 2) відповідно. Оскільки початкова швидкість у разі однакова, то
Оскільки t1=t2, то
Виразивши з (1) і підставивши її (2), отримаємо:
Тоді початкова швидкість 
Приклад 7.Автомобіль, рухаючись прямолінійною траєкторією рівноприскорено з початковою швидкістю 5,0 м/с, пройшов за першу секунду шлях, рівний 6,0 м. Знайдіть прискорення автомобіля, миттєву швидкість в кінці другої секунди і переміщення за 2,0 с.
Рішення.Знаючи шлях, пройдений тілом за першу секунду, можна знайти прискорення:
Швидкість наприкінці другої секунди знайдемо за формулою
Приклад 8. х) має вигляд x = A + Bt + Ct 3 де А = 4 м, В = 2м / с, С = -0,5 м / с 3 .
Для часу t 1 =2 c визначити: 1) координату точки х 1 точки; 2) миттєву швидкість v 1; 3) миттєве прискорення а 1.
Дано: x = A + Bt + Ct 3 А = 4 м, В = 2 м / с, С = -0,5 м / с 3 , t 1 = 2 c.
Знайти: х 1; v 1; а 1 .
Рішення. 1.Підставимо в рівняння руху замість t задане значення часу t 1: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3 . Підставимо в цей вираз значення А, В, С, t 1 і зробимо обчислення: х 1 = 4 м.
2. Миттєва швидкість: 
Тоді на момент часу t 1 миттєва швидкість v 1 = B + 3Ct 1 2 . Підставимо сюди значення, С, t 1: v 1 = – 4 м/с. Знак мінус свідчить про те, що у момент часу t 1 =2 c точка рухається у негативному напрямі координатної осі.
3. Миттєве прискорення: 
Миттєве прискорення на момент часу t 1 дорівнює а 1 = 6Сt 1 . Підставимо значення, t 1: а 1 = –6 м/с 2 . Знак мінус вказує на те, що напрям вектора прискорення збігається з негативним напрямом координатної осі, причому в умовах даного завдання це має місце для будь-якого моменту часу.
Приклад 9.Кінематичне рівняння руху матеріальної точки прямою (вісь х) має вигляд х = A + Bt + Ct 2 де А = 5 м, В = 4м / с, С = -1м / с 2 . Визначити середню швидкість v хср за інтервал часу від t1 = 1c до t2 = 6c.
Дано: х = A + Bt + Ct 2, А = 5м, В = 4м / с, С = - 1м / с 2, t1 = 1c, t2 = 6c.
Знайти: v хср -? а ХСР -?
Рішення.Середня швидкість за інтервал часу t 2 -t 1 визначається виразом v ср = (х 2 - х 1) / (t 2 - t 1).
х 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 м, х 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = -7 м.
Підставимо значення х 1 х 2 t 1 t 2 і зробимо обчислення: v хср = -3 м/с.
приклад 10.З вертольота, що на висоті h = 300 м, скинули вантаж. Через який час вантаж досягне землі, якщо: а) вертоліт нерухомий; б) гелікоптер опускається зі швидкістю v 0 =5 м/с; 3) гелікоптер піднімається зі швидкістю v 0 =5 м/с. Описати графічно відповідні рухи вантажу в осях s(t), v(t) та a(t).
Рішення.а) Вантаж, який залишив нерухомий вертоліт, вільно падає, тобто. рухається рівноприскорено із прискоренням вільного падіння g. Час руху знайдемо із співвідношення Звідки 
Графіки рух об'єкта позначені 1 малюнку.
б) Рух вантажу, що залишив вертоліт, що опускається з постійною швидкістю v 0 =5 м/с, є рівноприскореним рухом з постійним прискоренням g і описується рівнянням
Підстановка чисельних значень дає рівняння 9,8t2+10t-600=0.
Негативний результат немає фізичного сенсу, тому час руху t=7,57 з.
Графіки руху об'єкта позначені 2 малюнку.
3) Рух вантажу, що залишив гелікоптер, який піднімається з постійною швидкістю v 0 =5 м/с, складається з двох етапів. На першому етапі – вантаж рухається рівногайно з постійним прискоренням g, спрямованим протилежно швидкості, та описується рівняннями
У верхній точці траєкторії швидкість дорівнює нулю, тому
Підставляючи друге рівняння системи до першого, отримаємо
З другого краю етапі – вільне падіння з висоти h 0 =h+h 1 =300+1,28=301,28 м.
Оскільки
Графіки руху об'єкта позначені 3 малюнку.
Приклад 11.З повітряної кулі, що опускається вниз із постійною швидкістю 2 м/с, кинули вертикально вгору вантаж зі швидкістю 18 м/c щодо землі. Визначити відстань між кулею та вантажем у момент, коли вантаж досягає найвищої точки свого підйому. Через який час вантаж пролетить повз кулю, падаючи вниз.
Дано: v 01 = 2 м/с, v 02 = 18 м/c
Знайти: s-? τ -?
Рішення.Направимо вісь 0Y вертикально вгору, початок сумісний з точкою 0, в якій знаходилася куля в момент кидання вантажу.
Тоді рівняння руху вантажу та повітряної кулі:
Швидкість руху вантажу змінюється згідно із законом v 2 =v 02 – gt.
У найвищій точці підйому вантажу v 2 =0. Тоді час підйому до цієї точки Координата вантажу у точці В
За цей час повітряна куля опустилася до точки А; його координата
Відстань між точками А та В:
Через проміжок часу τ, коли камінь пролетить повз кулю, координати тіл будуть однакові: 1С = 2С;
приклад 12.З якою швидкістю та за яким курсом повинен летіти літак, щоб за дві години пролетіти на північ 300 км, якщо під час польоту дме північно-західний вітер під кутом 30° до меридіана зі швидкістю 27 км/год?
Дано: t=7,2∙10 3 c; l=3∙10 5 м; α=30° ≈ 0,52 рад; v 2 ≈7,2 м/с.
Знайти: v 2 -? φ -?
Рішення.Розглянемо рух літака у системі відліку, що з землею.
Проведемо вісь ОХ у напрямку Схід, а вісь OY - північ. Тоді швидкість руху літака у вибраній системі відліку
де v = l/t (2)
Рівняння (1) у проекції на осі
ОХ: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;
OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, або v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)
Розділивши ці рівняння почленно, отримаємо tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),
або з урахуванням (2)
tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t);
φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t) ≈0,078 рад.
Зводячи в квадрат праві та ліві частини рівнянь (3) і складаючи отримані рівняння, знаходимо
v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,
звідки , або з урахуванням (2)
приклад 13.Тіло, кинуте вертикально нагору, повернулося на землю через t=3 с. Знайти висоту підйому тіла та його початкову швидкість.
Рішення.Рух тіла вгору є рівноповільним із прискоренням. gі відбувається протягом часу t 1 , а рух вниз – рівноприскореним із прискоренням g і відбувається протягом часу t 2 . Рівняння, що описують рух на ділянках АВ та ВА, утворюють систему:
Оскільки v B =0, то v0 = gt1. Підставивши v 0 у перше рівняння системи, отримаємо . Якщо порівняти цей вираз із третім рівнянням системи, можна зробити висновок у тому, що час підйому дорівнює часу спуску t 1 =t 2 =t/2=1,5с. Початкова швидкість і швидкість при приземленні дорівнюють один одному і становлять v 0 = v A = gt 1 = 9,8 1,5 = 14,7 м / с.
Висота підйому тіла
приклад 14.Тіло, що вільно падає, в останню секунду руху пройшло половину шляху. Знайти висоту, з якої воно кинуте і час руху.
Рішення.Залежність пройденого шляху від часу для вільно падаючого тіла. Оскільки ділянка ВС, що становлять половину всього шляху, пройдено за час, що дорівнює 1 с, то перша половина шляху АВ пройдено за час (t-1) с. Тоді рух на ділянці ПС може бути описаний як .
Вирішуючи систему
отримаємо t2-4t+2=0. Коріння цього рівняння t 1 = 3,41 і t 2 = 0,59 с. Другий корінь не підходить, т.к. час руху, виходячи з умови завдання, має перевищувати одну секунду. Отже, тіло падало протягом 3,41 с і пройшло цей час шлях 
приклад 15.З вежі заввишки 25 м горизонтально кинуто камінь зі швидкістю 15 м/с.
Знайти: 1) скільки часу камінь буде в русі, 2) на якій відстані впаде на землю, 3) з якою швидкістю він впаде на землю, 4) який кут складе траєкторія каменю з горизонтом у точці його падіння на землю. Опір повітря не враховувати.
Дано: Н = 25 м, v o = 15 м / с
Знайти: t-? s x -? v -? φ-?
Рішення.Переміщення кинутого горизонтально каменю можна розкласти на два: горизонтальне s xта вертикальне s y:
де t – час руху.
2) s x = v o t = 33,9 м;
3) v y = gt = 22,1 м / с;
4) sin? = v y / v = 0,827;
Приклад 16З вежі заввишки 25 м горизонтально зі швидкістю v x =10 м/c кинуто тіло.
Знайти: 1) час t падіння тіла; 2) на якій відстані lвід основи вежі воно впаде, 3) швидкість v кінці падіння, 4) кут, який складе траєкторія тіла із землею в точці його приземлення.
Рішення.Рух тіла є складним. Воно бере участь у рівномірному русі по горизонталі і прискореному з прискоренням g по вертикалі. Тому ділянка АВ описується рівняннями:
Для точки А ці рівняння набувають вигляду:
Тоді l=10∙2,26=22,6 м, а v y =9,8∙2,26=22,15 м/с.
Оскільки , то
Кут, який траєкторія складає із землею, дорівнює куту φ у трикутнику швидкостей у т. А, тангенс якого 
тому φ=68,7°.
Приклад 17Для тіла, кинутого з горизонтальною швидкістю v x =10 м/с, через час t=2 після початку руху знайти: нормальне, тангенціальне і повне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії в цій точці.
Рішення.Вертикальна складова швидкості v y = gt = 9,8 ∙ 2 = 19,6 м/с
Швидкість у точці А:
Вектори утворюють трикутник швидкостей, а вектори трикутник прискорень. Як видно з малюнка, ці трикутники подібні, а це означає, що їхні сторони є пропорційними: .
Нормальне прискорення, тому радіус кривизни траєкторії
приклад 18.М'яч кинули зі швидкістю 10 м/с під кутом 40° до горизонту.
Знайти: 1) яку висоту підніметься м'яч; 2) на якій відстані від місця кидання м'яч впаде на землю; 3) скільки часу він буде в русі.
Дано: v o =10 м/с, =40 о.
Знайти: s y -? s x -? t -?
Рішення. 1) Знайдемо найбільшу висоту s y max , на яку піднімається тіло, кинуте зі швидкістю v o під кутом α до горизонту. Маємо (див. рис.):
v y = v o sin - gt; (1)
s y = v o t sinα – gt 2 /2. (2)
У верхній точці v y = 0 та з (1) отримаємо v o ∙sin𝛼 = gt 1 , звідси час підйому м'яча t 1 =v o ∙sinα/g. Підставляючи t 1 (2), отримаємо
s y max = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2,1 м.
2) Знайдемо дальність польоту s x max тіла, кинутого під кутом до горизонту.
Маємо: v x =v o∙cosα , (3)
s x = v x t = v o t · cosα. (4)
Тіло впаде на горизонтальну площину через час t2 = 2t1 = 2v o sinα/g.
Підставляючи t 2 (4), отримаємо s xmax = v про 2 sin2α/ g= 10 м.
3) t 2 = 2t 1 = 2v o sinα/g = 1,3 с.
Приклад 19.Тіло кинуте зі швидкістю v 0 =10 м/с 2 під кутом =30° до горизонту. На яку висоту тіло підніметься. На якій відстані від місця кидання воно впаде на землю? Який час він буде у русі?
Рішення.Горизонтальна та вертикальна складові початкової швидкості
Рух на ділянці ОА можна розкласти на два простих рухи: рівномірний по горизонталі та рівносповільнений по вертикалі:
У точці А
Тоді 
і
Якщо тіло бере участь одночасно у кількох рухах, то кожному з них воно бере участь незалежно від іншого, отже, час руху дільниці АВ визначається часом руху вниз – t 2 . Час руху вгору дорівнює часу руху вниз, а значить,
При рівномірному русі по горизонталі за рівні проміжки часу тіло проходить рівні ділянки шляху, отже,
Дальність польоту
Висота підйому тіла
Приклад 20Крапка рухається прямолінійно на площині за законом x = 4 (t-2) 2 . Які початкова швидкість v 0 та прискорення точки a? Знайти миттєву швидкість точки vt = 5 на початку п'ятої секунди руху.
Рішення.
1) Т.к. v=x', то v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16
при t = 0 v 0 = -16 м / с.
2) Т.к. a= , a=(8t-16)'=8 м/с.
3) При t=4, т.к. на початок 5 з минуло 4 з.
v t = 5 = 8t-16 = 8 ∙ 4-16 = 32 м / с.
Відповідь:Початкова швидкість точки v 0 = -16 м / с, прискорення a = 8 м / с, швидкість точки на початку п'ятої секунди руху v t = 5 = 32 м / с.
Приклад 21.Рух матеріальної точки описується рівняннями: а) s = t 3 ; б) s = αt 2 +βt. Порівняйте середню швидкість та середньоарифметичну початкової та кінцевої швидкостей vср в інтервалі часу 0 - t. Тут α та β – позитивні постійні.
Рішення.Згадаймо визначення середньої та миттєвої швидкості:
Вирази для миттєвої швидкості утворюються шляхом диференціювання рівняння руху.
Вирази для середньої швидкості перебувають як відношення зміни криволінійної координати до часу:
Отримаємо вирази для середньоарифметичної швидкості:
Відповімо на запитання умови завдання. Видно, що у випадку "а" середня та середньоарифметична швидкості не збігаються, а у випадку "б" - збігаються.
Приклад 22.Матеріальна точка рухається рівномірно по криволінійній траєкторії. У якій точці траєкторії прискорення максимальне?
Рішення.При русі по криволінійній траєкторії прискорення складається з тангенціального та нормального. Тангенційне прискорення характеризує швидкість зміни величини (модуля) швидкості. Якщо величина швидкості не змінюється, тангенціальне прискорення дорівнює нулю. Нормальне прискорення залежить від радіусу кривизни траєкторії a n = v 2/R. Прискорення максимально у точці із найменшим радіусом кривизни, тобто. у точці С.
Приклад 23.Матеріальна точка рухається згідно із законом: 
1) Визначити початкову координату, початкову швидкість та прискорення шляхом порівняння із законом руху з постійним прискоренням. Записати рівняння для проекції швидкості.
Рішення.Закон руху з постійним прискоренням має вигляд
Порівнюючи це рівняння з рівнянням умови завдання, отримуємо
x 0 = - 1 м,
v 0 x = 1 м/с,
a x = - 0,25 м/с2.
Виникає питання: який сенс має знак мінус? Коли проекція вектора є негативною? Тільки тоді, коли вектор спрямований проти осі координат.
Зобразимо на малюнку початкову координату, вектори швидкості та прискорення.
Запишемо рівняння для швидкості у вигляді
і підставимо до нього отримані дані (початкові умови)
2) Знайти залежність швидкості та прискорення від часу, застосовуючи визначення цих величин.
Рішення.Застосуємо визначення для миттєвих значень швидкості та прискорення:
Виробляючи диференціювання, отримаємо v x = 1-0,25t, a x = - 0,25 м / с2.
Видно, що прискорення залежить від часу.
3) Побудувати графіки v x (t) та a x (t). Охарактеризувати рух кожному ділянці графіка.
Рішення.Залежність швидкості від часу - лінійна, графік є пряму лінію.
При t = 0 v x = 1 м/с. При t = 4 з v x = 0.
З графіка видно, що у ділянці “а” проекція швидкості позитивна, та її величина зменшується, тобто. точка рухається повільно у напрямку осі х. На ділянці “b” проекція швидкості негативна, та її модуль зростає. Крапка рухається прискорено у напрямку, протилежному осі х. Отже, у точці перетину графіка з віссю абсцис відбувається поворот, зміна напрямку руху.
4) Визначити координату точки повороту та шлях до повороту.
Рішення.Ще раз відзначимо, що у точці повороту швидкість дорівнює нулю. Для цього стану з рівнянь руху отримуємо:
З другого рівняння отримуємо tпов = 4 с. (Видно, щоб отримати це значення не обов'язково будувати та аналізувати графік). Підставимо це значення перше рівняння: x пов =-1+4-4 2 /8 = 1 м. Зобразимо, як рухалася точка.
Шлях до повороту, як видно з малюнка, дорівнює зміні координати: s пов =x пов -x 0 =1-(-1)=2 м.
5) У який час точка проходить через початок координат?
Рішення.У рівнянні руху слід покласти х = 0. Отримуємо квадратне рівняння 0=-1+t-t2/8 або t2-8t+8=0. У цього рівняння два корені: 
. t 1 = 1,17 с, t 2 = 6,83 с. Справді, точка проходить через початок координат двічі: під час руху “туди” і “назад”.
6) Знайти шлях, пройдений точкою за 5 секунд після початку руху, та переміщення за цей час, а також середню дорожню швидкість на цій ділянці шляху.
Рішення.Насамперед знайдемо координату, в якій опинилася точка після 5 секунд руху та відзначимо її на малюнку.
x (5) = -1 +5-5 2 / 8 = 0,875 м.
Оскільки в даному стані точка знаходиться після повороту, то пройдений шлях вже не дорівнює зміні координати (переміщенню), а складається з двох доданків: шляхи до повороту
s 1 = x пов - x 0 = 1 - (-1) = 2 м
та після повороту
s 2 = x пов - x(5) = 1 - 0,875 = 0,125 м,
s=s1+s2=2,125 м.
Переміщення точки одно
s х = x(5) - x 0 = 0,875 - (-1) = 1,875 м
Середня дорожня швидкість обчислюється за формулою
У розглянутій задачі описаний один із найпростіших видів руху - рух з постійним прискоренням. Проте цей підхід до аналізу характеру руху є універсальним.
Приклад 24При одномірному русі з постійним прискоренням залежності координати та швидкості частки від часу описуються співвідношеннями:
Встановити зв'язок між координатою частинки та її швидкістю.
Рішення.З цих рівнянь виключаємо час t. Для цього використовуємо метод підстановки. З другого рівняння висловлюємо час і підставляємо на перше рівняння:
Якщо рух починається з початку координат ( х 0 =0) зі стану спокою ( v 0 x =0), то отримана залежність набуває вигляду
добре знайомий із шкільного курсу фізики.
Приклад 25.Рух матеріальної точки описується рівнянням: де і і j - орти осей х і у, α і β - позитивні постійні. У початковий момент часу частка знаходилася в точці х 0 = 0 = 0. Знайти рівняння траєкторії частки у(х).
Рішення.Умова задачі сформульована із застосуванням векторного способу опису руху. Перейдемо до координатного способу. Коефіцієнти при одиничних векторах є проекції вектора швидкості, а саме:
Спочатку отримаємо залежності x(t) та y(t), вирішуючи завдання першого класу.
Приклад 28.З вежі заввишки hкинули камінь зі швидкістю v 0 під кутом до горизонту. Знайти:
1) який час камінь буде у русі;
2) на якій відстані він впаде на землю;
3) з якою швидкістю він впаде на землю;
4) який кут β складе траєкторія каменю з горизонтом у точці його падіння;
5) нормальне та тангенціальне прискорення каменю в цій точці, а також радіус кривизни траєкторії;
6) найбільшу висоту підйому каменю.
Опір повітря знехтувати.
Рішення.На прикладі цього завдання покажемо, як у узагальненому вигляді можна встановити наведений алгоритм розв'язання будь-якого завдання даного класу.
1. У задачі розглядається рух матеріальної точки (каменю) у полі сили тяжіння Землі. Отже, це рух із постійним прискоренням вільного падіння g, спрямованим вертикально донизу.
