Формули площ усіх геометричних фігур. Як обчислити площу фігури

Формула площінеобхідна для визначення площа фігури, яка є речовиннозначною функцією, визначеною на деякому класі фігур евклідової площини і задовольняє 4м умовам:

1. Позитивність — Площа не може бути меншою за нуль;
2. Нормування - квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
3. Конгруентність - конгруентні фігури мають рівну площу;
4. Адитивність - площа об'єднання 2х фігур без загальних внутрішніх точок дорівнює сумі площ цих фігур.

Знання про те, як виміряти Землю, з'явилися ще в давнину та поступово оформилися в науку геометрію. З грецької мови це слово так і перекладається – «землемірство».

Мірою протяжності плоскої ділянки Землі за довжиною та шириною є площа. У математиці вона зазвичай позначається латинською літерою S (від англ. "square" - "площа", "квадрат") або грецькою літерою σ (сигма). S позначає площу фігури на площині або площу поверхні тіла, а σ — площа поперечного перерізу дроту у фізиці. Це основні символи, хоча можуть бути інші, наприклад, у сфері опору матеріалів, А - площа перерізу профілю.

Вконтакте

Формули розрахунку

Знаючи площі простих фігур, можна знаходити параметри складніших. Античними математиками було виведено формули, якими можна легко їх обчислювати. Такими фігурами є трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло.

Щоб знайти площу складної плоскої фігури, її розбивають на безліч простих фігур, таких як трикутники, трапеції чи прямокутники. Потім математичними методами виводять формулу площі цієї постаті. Такий метод використовують у геометрії, а й у математичному аналізі для обчислення площ постатей, обмежених кривими .

Трикутник

Почнемо з найпростішої фігури – трикутника. Вони бувають прямокутні, рівнобедрені та рівносторонні. Візьмемо будь-який трикутник ABC зі сторонами AB=a, BC=b та AC=c (∆ABC). Щоб знайти його площу, згадаємо відомі зі шкільного курсу математики теореми синусів та косінусів. Відпускаючи всі викладки, прийдемо до наступних формул:

• S=√ - відома всім формула Герона, де p=(a+b+c)/2 - напівпериметр трикутника;
• S=a h/2 де h - висота, опущена на бік a;
• S=a b (sin γ)/2, де γ - кут між сторонами a та b;
• S=a b/2, якщо ∆ ABC - прямокутний (тут a і b - катети);
• S=b² (sin (2 β))/2, якщо ∆ ABC - рівнобедрений (тут b - одне з «стегон», β - кут між «стегнами» трикутника);
• S=a² √¾, якщо ∆ ABC - рівносторонній (тут a - сторона трикутника).

Чотирикутник

Нехай є чотирикутник ABCD, який має AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Щоб знайти площу S довільного 4-кутника, потрібно розділити його діагоналлю на два трикутники, площі яких S1 та S2 у загальному випадку не рівні.

Потім за формулами обчислити їх і скласти, тобто S = S1 + S2. Однак, якщо 4-кутник належить до певного класу, його площа можна знайти за заздалегідь відомими формулами:

• S=(a+c) h/2=e h, якщо 4-кутник - трапеція (тут a і c - основи, e - середня лінія трапеції, h - висота, опущена на одну з основ трапеції;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, якщо ABCD - паралелограм (тут φ - кут між сторонами a та b, h - висота, опущена на бік a, d1 та d2 - діагоналі);
• S=a b=d²/2, якщо ABCD - прямокутник (d - діагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, якщо ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один із його кутів, P - периметр);
• S=a²=P²/16=d²/2, якщо ABCD – квадрат.

Багатокутник

Щоб знайти площу n-кутника, математики розбивають його на найпростіші рівні фігури трикутники, знаходять площу кожного з них і потім складають. Але якщо багатокутник належить до класу правильних, використовують формулу:

S=a n h/2=a² n/=P²/, де n – кількість вершин (або сторін) багатокутника, a – сторона n-кутника, P – його периметр, h – апофема, тобто відрізок, проведений з центру багатокутника до однієї з сторін під кутом 90°.

Коло

Коло - це досконалий багатокутник, що має нескінченну кількість сторін. Нам необхідно обчислити межу виразу праворуч у формулі площі багатокутника при числі сторін n, що прагне нескінченності. У цьому випадку периметр багатокутника перетвориться на довжину кола радіуса R, яка буде межею нашого кола, і дорівнюватиме P=2 π R. Підставимо цей вираз у вказану вище формулу. Ми отримаємо:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Знайдемо межу цього виразу при n→∞. Щоб це зробити, врахуємо, що lim (cos (180°/n)) при n→∞ дорівнює cos 0°=1 (lim - знак межі), а lim = lim при n→∞ дорівнює 1/π (ми переклали градусну міру в радіанну, використовуючи співвідношення π рад = 180 °, і застосували перша чудова межа lim (sin x) / x = 1 при x→∞). Підставивши останній вираз для S отримані значення, прийдемо до відомої формули:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Одиниці виміру

Застосовуються системні та позасистемні одиниці виміру. Системні одиниці відносяться до СІ (Система Міжнародна). Це квадратний метр (кв. метр, м²) та одиниці, похідні від нього: мм², см², км².

У квадратних міліметрах (мм²), наприклад, вимірюють площу перерізу проводів в електротехніці, у квадратних сантиметрах (см²) – перерізи балки у будівельній механіці, у квадратних метрах (м²) – квартири або будинки, у квадратних кілометрах (км²) – території в географії .

Однак іноді використовуються і позасистемні одиниці вимірювання, такі як: сотка, ар(а), гектар(га) та акр(ас). Наведемо такі співвідношення:

• 1 сотка = 1 а = 100 м ² = 0,01 га;
• 1 га = 100 а = 100 соток = 10000 м ² = 0,01 км ² = 2,471 ас;
• 1 ас = 4046.856 м ² = 40,47 а = 40,47 соток = 0,405 га.

Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,