Основна умова стійкості систем автоматичного керування. Вплив параметрів САУ на її стійкість

Слідкуюча система (рис. 1.14 а) знаходиться в стані рівноваги, коли її помилка Цей стан може бути стійким або нестійким. Якщо після деякої зміни впливу, що задає (повороту провідного валу на кут система в результаті загасаючого перехідного процесу (рис. 2.1, а, б) знову приходить в стан рівноваги то цей стан рівноваги є стійким і система називається стійкою. Коли після незначної зміни задає впливу ( відхилення системи від рівноважного стану) система не прагне початкового стану рівноваги, а в ній виникають незатухаючі коливання керованої величини (рис. 2.1, в, г) або зміна буде незалежним від того стан рівноваги в даній системі є нестійким і система називається нестійкою.

Наочне уявлення про стійке і нестійке рівноважні стани дає розгляд системи кулю - поверхню. Куля, поміщена у западині (рис. 3.1, а), знаходиться у стійкому рівноважному стані, тому що після його відхилення під впливом зовнішнього впливу він повернеться у свій первісний стан. Система куля – поверхня є стійкою. Куля, розташована на верхній точці височини (рис., знаходиться в нестійкому рівноважному положенні: досить незначного відхилення від

Мал. 3.1. До поняття стійкості рівноважних станів системи шар-поверхня: а – стійкий стан; б – нестійкий стан; в - стан, стійкий при малих і нестійкий при великих відхиленнях.

цього стану, і куля скотиться схилом поверхні і не повернеться у вихідне положення. Розглянута система нестійка.

Таким чином, під стійкістю розуміється властивість системи повертатися в колишній стан рівноваги після виведення її з цього стану і припинення зміни впливу, що задає або впливу обурює.

Тільки стійка система є працездатною. Тому одним із основних завдань теорії автоматичного управління є дослідження стійкості САУ. Основи суворої теорії стійкості динамічних систем розробили акад. А. М. Ляпуновим у роботі «Загальне завдання про стійкість руху» (1892). Поняття про стійкість, які з цієї роботи, полягають у наступному.

Якщо система описується лінійним диференціальним рівнянням, її стійкість залежить від величини обурення. Лінійна система, стійка при малих збуреннях, буде стійка і за великих. Нелінійні системи можуть бути стійкі при малих обуреннях і нестійкі при великих. Прикладом такої нелінійної системи є стінний годинник. Якщо нерухомому маятнику повідомити слабкий поштовх, то маятник, здійснивши кілька хитань, зупиниться, тобто система стійка при малих збуреннях. Якщо ж маятнику повідомити сильніший поштовх, то останній у заведеного годинника починає робити невгамовні коливання. Отже, система нестійка у разі великих обурень. Наочне уявлення про нелінійні системи, стійкі при малих і нестійких при великих обуреннях, дає розгляд кулі, вміщеної у западині, розташованої на вершині опуклого тіла (рис. 3.1, в). При малих відхиленнях, що не перевищують краю западини, куля повертається у вихідне положення, тобто система шар-поверхня стійка. При відхиленнях за край западини куля не повертається у вихідне положення – система нестійка. Тому для нелінійних систем стійкість досліджується окремо для випадку малих збурень, тобто стійкість у малому, та стійкість при великих збуреннях, тобто стійкість у великому.

Відповідно до теореми Ляпунова, про стійкість нелінійних систем при малих збуреннях можна судити з їх лінеаризованим рівнянням, що досить точно описує поведінку систем при малих відхиленнях від стану рівноваги. Для визначення стійкості нелінійних систем у разі великих збурень необхідно користуватися вихідними нелінійними рівняннями динаміки. У більшості практичних випадків системи, стійкі при малих відхиленнях, виявляються стійкими і при досить великих відхиленнях, можливих у процесі експлуатації, і тому питання стійкості цих систем може бути вирішене на підставі дослідження лінеаризованих рівнянь.

Проблема стійкості зазвичай виникає у замкнутих САУ через вплив зворотного зв'язку. Тому надалі стійкість досліджується з прикладів замкнутих систем, хоча методи дослідження стійкості універсальні.

Стійкість системи автоматичного управління одна із найважливіших показників системи, т.к. від неї залежить працездатність системи. Система, яка не має стійкості, не може якісно вирішувати завдання управління. Відсутність стійкості може призвести до руйнації самої системи у процесі управління чи руйнації об'єкта управління, тому використання нестійких систем недоцільно.

Стійкість системи автоматичного керування - це властивість системи воз-

обертатися у вихідний стан рівноваги після припинення дії, що вивела систему стану початкової рівноваги.

Прикладом стійких і нестійких систем можуть бути системи з кульки, розташованої на увігнутій і опуклій поверхні, представлені на малюнку 60.

Рис.60. Приклади систем: а) стійкою; б) нестійкою

На малюнку 60а кулька, розташована на увігнутій поверхні і зміщена у бік певним зусиллям, після закінчення зовнішнього впливу повернеться в положення початкової рівноваги. За відсутності тертя про поверхню або її мінімальному значенні кулька буде здійснювати нетривалі коливання близько положення рівноваги до повернення початкове положення рівноваги (крива 1- загасаючий коливальний процес). При великому терті кулька повернеться в положення початкової рівноваги без коливань (крива 2 - аперіодичний процес). При дуже великому значенні тертя кулька може повернутися в положення початкової рівноваги (крива 3), але повернеться в область, близьку до положення рівноваги. У розглянутому випадку є наявність стійкої системи. У стійких САУ виникають подібні перехідні процеси (загасні коливальні та аперіодичні).

На малюнку 60б кулька, розташована на опуклій поверхні і зміщена у бік певним зусиллям, не повернеться в положення початкової рівноваги (крива 4), тому система є нестійкою. У нестійких системах виникають перехідні процеси у вигляді розбіжних коливань (крива 5) або аперіодичні (крива 4).

Нестійкість САУ, як правило, виникає через дуже сильну дію зворотного зв'язку. Причинами динамічної нестійкості зазвичай є значні інерційні характеристики ланок замкнутої системи, через які сигнал зворотного зв'язку в режимі коливань відстає від вхідного сигналу, що виявляється з ним у фазі. Виходить, що характер дії негативного зворотного зв'язку набуває характеру.

позитивною.

Складемо математичний опис стійкості та нестійкості. Так як стійкість системи залежить тільки від характеру її вільного руху, то цей вільний рух системи можна описати однорідним диференціальним рівнянням:

характеристичне рівняння, якого буде представлено таким виразом:

Загальне рішення однорідного диференціального рівняння (2.19) представимо в наступному вигляді:

де C k - Постійні, що залежать від початкових умов, p k - Коріння характеристичного рівняння.

Коріння характеристичного рівняння може бути комплексним ( p k = α k ± jβ k ), дійсними ( p k = α k ) або уявними ( p k = jβ k ). Комплексне коріння завжди попарно пов'язані між собою, тобто. якщо є корінь рівняння з позитивною уявною частиною, то обов'язково існуватиме корінь з такою ж по модулю, але негативною уявною частиною. y(t) при t → ∞ з (2.21.) прагнутиме до нуля лише тоді, коли кожен доданок С к е p k t → 0. Характер цієї функції залежатиме від виду кореня. Можливі випадки розташування коріння p k на комплексній площині та відповідні їм функції y(t) = С к е p k t представлені малюнку 61. Вид функцій показаний всередині еліпсів.

Рис.61. Вплив розташування коренів характеристичного рівняння на

складові вільного руху системи

На малюнку 61 видно, що якщо кожному дійсному кореню p k= α k для виразу (2.21.) буде відповідати доданок:

y до (t) = С к еα k t(2.22.)

тоді при α до< 0 (корінь p 1) функція при t→ ∞ буде прагнути до нуля, при α до > 0 (корінь p 3 ) функція буде необмежено зростати, а при α до = 0 (корінь p 2) функція залишатиметься постійною.

Якщо характеристичне рівняння матиме комплексне коріння, то кожній парі пов'язаних комплексних коренів p k, k+1 = α k ± jβ k , будуть відповідати два доданки, які можна об'єднати і подати у вигляді наступного виразу:

Ця функція являє собою синусоїду з амплітудою і частотою, що змінюється за експонентом. β k . При негативній дійсної частини двох комплексних коренів α до, до+1< 0 , (коріння p 4 і p 5 ) коливальна складова функції загасатиме, а при позитивній дійсної частини α до, до+1 > 0 , (коріння p 8 і p 9 ) амплітуда коливань збільшуватиметься необмежено. За відсутності дійсної частини комплексного коріння α до, до+1 = 0 (коріння p 6 і p 7 ), тобто. наявності тільки уявних коренів, функція буде незатухаючою синусоїдою з частотою β k .

Виходячи з визначення стійкості, якщо початкове положення рівноваги приймається за нуль, то у стійких систем величина вихідного параметра з часом повинна прагнути нуля, тобто. система сама повернеться у положення рівноваги. Необхідною і достатньою умовою цього є, щоб усі складові рішення диференціального рівняння (2.21.) з часом прагнули до нуля, що може бути досягнуто при негативних дійсних коренях рівняння, а комплексне коріння повинно мати негативну дійсну частину. Існування хоча б одного позитивного дійсного кореня або пари комплексного коріння з позитивною дійсною частиною призведе до того, що величина вихідного параметра системи не повернеться до первісного значення, тобто. система буде нестійкою.

Аналізуючи місце розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині, представлене на малюнку 62, можна помітити, що САУ є стійкою, якщо всі корені характеристичного рівняння знаходяться в лівій напівплощині і всі вони є дійсними негативними або комплексними з негативною дійсною частиною. Наявність хоча б одного кореня у правій напівплощині характеризуватиме нестійкість системи.

Стійкість системи є внутрішньою властивістю системи, що залежить тільки від виду коренів характеристичного рівняння, що описує властивості системи, і не залежить від зовнішнього впливу. Необхідною та достатньою умовою стійкості системи є положення всіх коренів рівняння у лівій (негативній) напівплощині.

Позитивну і негативну напівплощини, в яких знаходяться позитивне або негативне коріння характеристичного рівняння, що забезпечує стійкість або нестійкість системи, поділяє уявна вісь ± jβ . Ця вісь є межею стійкості, тому якщо у характеристичного рівняння є одна пара чисто уявних коренів p k, k+1 =± jβ k , а інше коріння знаходиться в негативній напівплощині, то система характеризується наявністю незагасаних коливань з частотою ω = β до. Вважають, що в такому випадку система знаходиться на коливальної межі стійкості .

Крапка β = 0 на уявній осі відповідає нульовому кореню. Вважається, що рівняння, що має один нульовий корінь, знаходиться на аперіодичному кордоні стійкості , а за наявності двох нульових коренів система нестійка.

Рис.62. Розташування коренів характеристичного рівняння стійкої системи

комплексної площини

Не варто забувати, що рівняння багатьох реальних САУ не є лінійними, а приведені до лінійних рівнянь за допомогою лінеаризації, тому припущення, зроблені при лінеаризації, можуть вплинути на правильність визначення стійкості системи.

А. М. Ляпунов у 1892 р. у своїй роботі «Загальне завдання про стійкість руху» навів доказ теореми, в якій було зроблено такі висновки для лінеаризованих рівнянь:

1. Якщо все дійсне коріння характеристичного рівняння системи є негативним, то система вважається стійкою.

2. Якщо хоча б один дійсний корінь характеристичного рівняння системи позитивний, система вважається нестійкою.

3. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має хоча б один нульовий корінь або одну пару уявного коріння, то не можна судити про стійкість реальної системи за лінеаризованим рівнянням.

Отже, висновок про стійкість реальних систем необхідно робити на основі аналізу вихідного нелінійного рівняння і для визначення нестійкості або стійкості системи достатньо виявити позитивність (негативність) дійсних коренів характеристичного рівняння.

Критеріями стійкості називають певні правила, якими теоретично автоматичного управління визначають знаки коренів характеристичного рівняння, не вирішуючи його. Розрізняють алгебраїчні та частотні критерії стійкості.

Алгебраїчними критеріями стійкості системи називають необхідну та достатню умову негативності коренів при певних значеннях коефіцієнтів у характеристичному рівнянні.

Частотними критеріями стійкості системи встановлена ​​залежність стійкості системи від форми частотних характеристик системи.

Стійкість це здатність системи повертатися до номінального режиму, якщо вона відхилилася з якихось причин від цього режиму.

Вимоги до стійкості є обов'язковими для всіх САУ.

Суворе визначення стійкості дано А.М. Ляпуновим у роботі «Загальне завдання про стійкість руху» (кінець 19 століття)

Нехай динаміка системи описується рівнянням

y - Вихідна величина

x- Вхідна величина

y ( i ) , x ( j ) - Похідні.

Припустимо, що у цій системі існує номінальний режим роботи у н (t), який однозначно визначається номінальним вхідним впливом х н (t) та номінальними початковими умовами.

(2)

Оскільки номінальні початкові умови (2) практично важко витримати, у системі існує «відхилені» початкові умови.

(3)

Для номінального режиму справедливе рівняння:

Відхиленим початковим умовам відповідає відхилений режим.

Для відхиленого режиму справедливе рівняння:

(6)

Віднімемо з рівняння (5) рівняння (4), отримаємо (7)

Введемо визначення.

Номінальний режим у н (t) стійкий за Ляпуновим, якщо за будь-яких відхилених початкових умов (3) , досить мало від номінальних номінальних початкових умов (2), за всіх t > 0 буде мало z(t).

Якщо номінальний режим стійкий за Ляпуновим і при цьому межа
, то номінальний режим називається асимптотично стійким.

Якщо знайдуться початкові умови (3), скільки завгодно мало від номінальних початкових умов (2), і при цьому
стане більше деякої малої, наперед заданої величини, то номінальний режим у н (t) називається нестійким.

З (7) випливає, що поведінка z(t) зовсім не залежить від виду вхідного впливу х н (t) .

Звідси випливає висновок: або в системі (1) асимптотично стійкі Усеномінальні режими, що відповідають різним вхідним х н (t), або всі вони нестійкі.

Тому можна говорити про стійкість чи нестійкість системи, а не будь-якого одного її режиму.

Це важливий висновок, який скорочує обсяг досліджень САУ.

На жаль, він справедливий лише для лінійних САУ.

Необхідні та достатні умови стійкості лінійних сау.

Для асимптотичної стійкості лінійних систем необхідно і достатньо щоб усі корені характеристичного рівняння.

мала б негативну речову частину.

Відомо, що розв'язання диференціального рівняння із постійними коефіцієнтами

1. Нехай коріння речове.

При

- А це відхилення від номінального режиму.

2. Якщо коріння комплексне.

Необхідна умова стійкості.

Для асимптотичної стійкості системи (1), (8) необхідно, щоб усі коефіцієнти характеристичного рівняння мали один знак.

Геометричне трактування умови стійкості

Для стійкості САУ необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння були розташовані в лівій напівплощині комплексної площини коренів.

Критерії сталості САУ.

Це штучні прийоми, які дозволяють, не знаходячи коренів характерного рівняння, відповісти питання стійкості САУ, тобто. визначати знаки речових частин коріння.

Два види критеріїв стійкості:

1). Алгебраїчний критерій стійкості (критерій стійкості Гурвіца).

Нехай задане характерне рівняння.

Для стійкості САУ необхідно та достатньо:

1). Щоб усі коефіцієнти характеристичного рівняння мали один знак -
(
система не стійка)

2). Головний визначник Гурвіца, складений за певним правилом, і всі його діагоналі мінори мали б знак коефіцієнтів - були б більшими за нуль.

Правила написання головного визначення Гурвіца.

1). По головній діагоналі визначника розташовуються всі коефіцієнти характеристичного рівняння в порядку зростання індексів, починаючи з a 1 .

2). Місця у визначнику над головною діагоналлю заповнюються коефіцієнтами характеристичного рівняння у порядку зростання індексів.

3). Місця у визначнику під головною діагоналлю заповнюються коефіцієнтами характерного рівняння в порядку зменшення індексів.

4). Місця у визначнику, де мають стояти коефіцієнти з індексами більше nі менше нуля,заповнюються нулями

Таким чином, головний визначник Гурвіца має вигляд:

A=
>0

САУ стійка, якщо

1). Усі коефіцієнти характеристичного рівняння більші за нуль ( 0!)

,
, ….

2). Головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори > 0.

,
,
, ….

Розглянемо приклади.

1.

1.

2.

Для стійкості САУ другого порядку необхідною та достатньою умовою стійкості є позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння.

1.
i=0…3

2.

Необхідною та достатньою умовою стійкості систем третього порядку є позитивність коефіцієнтів та добуток внутрішніх членів
має бути більше твору крайніх членів
характеристичного рівняння.

,

,
,

Є ще алгебраїчний критерій Рауса. Це той самий критерій Гурвіца, але організований таким чином, що по ньому зручно складати програми визначення стійкості.

Критерій стійкості Вишнеградського систем третього порядку.

Вишнеградський І.А. запропонував зображати межу стійкості так званої площині параметрів Вишнеградського.

Нехай маємо характеристичне рівняння третього ступеня.

Перетворимо його за допомогою підстановки:

Тоді воно набуде вигляду:

A 1 іA 2 називаються параметрами Вишнеградського (безрозмірні величини), у площині яких будується межа стійкості.

Застосуємо до перетвореного рівняння критерій стійкості Гурвіца

або A 1 A 2 > 1

На межі стійкості
.

Звідси
- Рівняння на межі стійкості

За коефіцієнтами характеристичного рівняння визначаються А 1 і А 2 . Якщо точка виявилася нижчою за гіперболу - САУ стійка, вище - нестійка.

PAGE \* MERGEFORMAT 14

Лекція №4

Стійкість САУ

Властивість системи приходити у вихідний стан після зняття обурення називається стійкістю.

Визначення.

Криві 1 і 2 характеризують стійку систему, криві 3 і 4 характеризують системи нестійкі.

Системи 5 та 6 на межі стійкості 5 - нейтральна система; 6 - коливальна межа стійкості.

Нехай диференційне рівняння САУ в операторній формі має вигляд

Тоді рішення диференціального рівняння (рух системи) складається із двох частин Вимушений рух того ж виду як і вхідний вплив.

За відсутності кратних коренів де i -постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов,

 1 ,  2 …,  n коріння характеристичного рівняння

Розташування коренів характеристичного

рівняння системи на комплексній площині

Коріння характеристичного рівняння не залежить ні від виду обурення, ні від

початкових умов, а визначаються лише коефіцієнтами а 0, а 1, а 2, ..., а n , тобто параметрами та структурою системи.

1-корінь дійсний, більший за нуль;

2-корінь дійсний, менший за нуль;

3-корінь дорівнює нулю;

4-два нульові корені;

5-два комплексних сполучених кореня, дійсна частина яких

Позитивна;

6-два комплексних сполучених кореня, дійсна частина яких негативна;

7-два уявних сполучених кореня.

Методи аналізу стійкості:

1. Прямі (засновані на розв'язанні диференціальних рівнянь);
2. Непрямі (критерії стійкості).

Теореми А.М. Ляпунова.

Теорема 1.

Теорема 2.

Примітки:

1. Якщо серед коренів характеристичного рівняння є два і більше нульових кореня, система нестійка.
2. Якщо один корінь нульовий, а решта перебувають у лівій напівплощині, то система нейтральна.
3. Якщо 2 кореня уявні сполучені, а всі інші в лівій напівплощині, то система на коливальній межі стійкості.

Критерії сталості САУ.

Критерій стійкості - це правило, що дозволяє з'ясувати стійкість системи без обчислення коренів характеристичного рівняння.

У 1877р. Раус встановив:

1. Критерій стійкості Гурвіца

Критерій розроблено 1895г.

Нехай визначено характеристичне рівняння замкнутої системи: рівняння приводимо до вигляду, щоб a 0 >0.

Складемо головний визначник Гурвіца за таким правилом:

по головній діагоналі записуються коефіцієнти рівняння, починаючи з другого до останнього, стовпці вгору від діагоналі заповнюються коефіцієнтами з зростаючими індексами, а стовпці вниз від діагоналі - коефіцієнтами з спадними індексами. У разі відсутності рівняння будь-якого коефіцієнта і замість коефіцієнтів з індексами менше 0 і більше n пишуть нуль.

Виділимо діагональні мінори або найпростіші визначники в головному визначнику Гурвіца:

Формулювання критерію.

Для систем вище за другий порядок крім позитивності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння необхідне виконання наступних нерівностей:

1. Для систем третього порядку:
2. Для систем четвертого порядку:
3. Для систем п'ятого порядку:

1. Для систем шостого порядку:

приклад. Дано характеристичне рівняння дослідити стійкість системи за Гурвіцем.

Для стійких систем необхідно і

2. Критерій Рауса

Критерій Рауса використовується щодо стійкості систем високого порядку.

Формулювання критерію:

Таблиця Рауса.

Алгоритм заповнення таблиці: у першому та другому рядках записуються коефіцієнти рівняння з парними та непарними індексами; елементи інших рядків обчислюються за таким правилом:

Гідність критерію: можна вивчити стійкість систем будь-якого порядку.

2. Критерій стійкості Найквіста

Принцип аргументу

В основі частотних методів є принцип аргументу.

Проведемо аналіз властивостей многочлена виду:

Де  i - коріння рівняння

На комплексній площині кожному кореню відповідає певна точка. Геометрично кожен корінь i можна зобразити у вигляді вектора, проведеного з початку координат до точки i: |  i | - Довжина вектора, arg i - Кут між вектором і позитивним напрямом осі абсцис. Відобразимо D(p) у простір Фур'є, тоді де j -  i - Елементарний вектор.

Кінці елементарних векторів знаходяться на уявній осі.

Модуль вектора, а аргумент (фаза)

Напрямок обертання вектора проти годинникової стрілки приймають за позитивний. Тоді при зміні від до кожен елементарний вектор ( j  -  i ) повернеться на кут + , якщо  i лежить у лівій напівплощині.

Нехай D ( )=0 має m коренів у правій напівплощині та n - m коріння в лівій, тоді при зростанні від до зміна аргументу вектора D(j ) (кут повороту D(j ), рівний сумі змін аргументів елементарних векторів) буде

Принцип аргументу:

Критерій Найквіста базується на частотних характеристиках розімкнутого ланцюга САУ, оскільки за видом частотних характеристик розімкнутого ланцюга можна судити про стійкість замкнутої системи.

Критерій Найквіста знайшов широке застосування в інженерній практиці з таких причин:

1. Стійкість системи в замкнутому стані досліджують за частотною передавальною функцією її розімкнутого ланцюга, а ця функція, найчастіше складається з простих співмножників. Коефіцієнтами є реальні параметри системи, що дозволяє вибирати їх із умов стійкості.
2. Для дослідження стійкості можна використовувати експериментально отримані частотні характеристики найскладніших елементів системи (об'єкт регулювання, виконавчий орган), що підвищує точність результатів.
3. Дослідити стійкість можна по ЛЧХ, побудова яких нескладна.
4. Зручно визначати запаси стійкості.

1. Система, стійка у розімкнутому стані

Нехай введемо допоміжну функцію замінимо p  j  , тоді

Відповідно до принципу аргументу зміна аргументу D(j ) та D з (j  ) при 0<  <  і тоді тобто рікограф W 1 (j  ) не повинен охоплювати початок координат.

Для спрощення аналізу та розрахунків змістимо початок радіусу-вектора з початку координат у точку (-1, j 0), а замість допоміжної функції W 1 (j  ) використовуємо АФХ розімкнутої системи W (j  ).

Формулювання критерію №1

приклади.

Зазначимо, що різницю числа позитивних і негативних переходів АФХ ліворуч від точки (-1, j 0) дорівнює нулю.

2. Система, що має полюси на уявній осі в розімкнутому стані

Для аналізу стійкості системи АФХ доповнюють колом нескінченно великого радіусу при 0 проти годинникової стрілки до позитивної речовинної півосі при нульових полюсах, а у разі чисто уявного коріння - півколо за годинниковою стрілкою в точці розриву безперервності АФХ.

Формулювання критерію №2

1. Система з нестійким розімкненим ланцюгом

Більш загальний випадок - знаменник передавальної функції розімкнутої системи містить коріння, що лежить у правій напівплощині. Поява нестійкості розімкнутої системи викликається двома причинами:

1. Наслідком наявності нестійких ланок;
2. Наслідком втрати стійкості ланок, охоплених позитивною чи негативною зворотними зв'язками.

X Теоретично вся система в замкнутому стані може бути стійкою за наявності нестійкості по ланцюгу місцевого зворотного зв'язку, практично такий випадок є небажаним і його треба уникати, прагнучи використовувати тільки стійкі місцеві зворотні зв'язки. Це пояснюється наявністю небажаних властивостей, зокрема появою умовної стійкості, яка за наявних зазвичай у системі нелінійності може в деяких режимах призвести до втрати стійкості та появи автоколивань. Тому, як правило, при розрахунку системи вибирають такі місцеві зворотні зв'язки, які були б стійкими при розімкнутому головному зворотному зв'язку..

Нехай характеристичний багаточлен D (p ) розімкнутої системи має m коріння з позитивною речовою частиною.

Тоді

Допоміжна функція при заміні p  j  згідно з принципом аргументу для стійких замкнутих систем повинна мати наступну зміну аргументу при

Формулювання критерію №3

Формулювання Я.З. Ципкіна

Критерій Найквіста для ЛЧХ

Примітка: фазова характеристика ЛЧХ астатичних систем доповнюється монотонною ділянкою. /2 при  0.

Абсолютно-стійкоюназивають систему, яка зберігає стійкість за будь-якого зменшення коефіцієнта посилення розімкнутої ланцюга, інакше система умовно- стійка.

Системи, які можна зробити стійкими шляхом зміни параметрів, називаютьсяструктурно-стійкими, інакше структурно-нестійкими.

Запаси стійкості

Для нормального функціонування будь-яка САР повинна бути віддалена від межі стійкості та мати достатній запас стійкості. Необхідність цього обумовлена ​​такими причинами:

1. Рівняння елементів САР, зазвичай, ідеалізовані, за її складанні не враховують другорядні чинники;
2. При лінеаризації рівнянь похибки наближення додатково зростають;
3. Параметри елементів визначають із деякою похибкою;
4. Параметри однотипних елементів мають технологічний розкид;
5. У разі експлуатації параметри елементів змінюються внаслідок старіння.

У практиці інженерних розрахунків найбільш широко використовують визначення запасу стійкості на основі критерію НАЙКВІСТА по видаленню АФХ розімкнутої системи від критичної точки з координатами (-1, j 0), що оцінюють двома показниками: запасом стійкості по фазі та запасом стійкості за модулем (за амплітудою) H.

Щоб САР мала запаси стійкості щонайменше та H АФХ її розімкнутого ланцюга при задоволенні критерію стійкості не повинна заходити в частину кільця, заштрихованого на рис. 1, де H визначається співвідношенням

Якщо стійкість визначається по ЛЧХ умовно-стійких систем, то для забезпечення запасів стійкості не менше і h необхідно, щоб:

а) при h  L  - h фазо-частотна характеристика задовольняла нерівностіθ > -180  +  або θ< -180  -  , тобто. не заходила до заштрихованої області 1 на рис. 2;

б) при -180  +   θ  -180  -  амплітудно-частотна характеристика задовольняла нерівності L< - h или L >h , тобто. не заходила у заштриховані області 2" та 2"" на рис. 2.

Для абсолютно стійкої системи запаси стійкості h визначають так, як показано на рис. 3:

1. Запас по фазі

1. Запас за модулем h = - L (ω -π), де ω -π частота, при якій θ=-180˚ .

Необхідні значення запасів стійкості залежить від класу САР та вимог до якості регулювання. Орієнтовно має бути =30  60  і h =6  20дБ.

Мінімально допустимі запаси стійкості по амплітуді повинні бути не менше 6дБ (тобто передавальний коефіцієнт розімкнутої системи вдвічі менший за критичний), а по фазі не менше 25 30  .

Стійкість системи зі ланкою чистого запізнення

Якщо АФХ розімкнутої системи проходить через точку (-1, j 0), то система на межі стійкості.

Систему з чистим запізненням можна зробити стійкою, якщо в схему включити безінерційну ланку з передатним коефіцієнтом, меншим 1. Можливі інші види коригуючих пристроїв.

Структурно-стійкі та структурно-нестійкі системи

Один із способів зміни якості системи (в сенсі стійкості) – це змінити передавальний коефіцієнт розімкнутої системи.

При зміні k L ( ) Підніметься або опускається. Якщо k збільшувати, L ( ) піднімається і  ср зростатиме, а система залишиться нестійкою. Якщо k зменшувати, то систему можна зробити стійкою. Це один із способів корекції системи.

Системи, які можна зробити стійкими шляхом зміни параметрів системи, називаються структурно-стійкими.

Для цих систем є критичний передавальний коефіцієнт розімкнутої системи. K критий. Це такий передавальний коефіцієнт, коли система на межі стійкості.

Існують системи СТРУКТУРНО-НЕСТОЙКІ Це такі системи, які неможливо зробити стійкими зміною параметрів системи, а потрібно для стійкості змінювати структуру системи.

приклад.

Розглянемо три випадки:

1. Нехай

Тоді

Перевіримо роботу системи на стійкість.

Δ = а 3 Δ 2 >0.

Для визначення k рс.кр. прирівняємо нулю 2 .

Тоді

При при

Розглянута система СТРУКТУРНО-СТІЙКОВА, оскільки її можна стабілізувати шляхом зміни параметрів ланок.

1. Нехай і ті, що в першому випадку.

Наразі Статичної помилки по каналу управління немає.

Умови стійкості за Гурвіцем:

Нехай  2 =0, тоді якщо система нестійка.

Ця система з астатизмом 1-го порядку СТРУКТУРНО-СТІЙКОВА.

1. Нехай

Завжди система нестійка. Ця система СТРУКТУРНО-НЕСТІЙКА.

Стійкість САУ

Нулі та полюси передавальної функції

Коріння полінома в чисельнику передавальної функції називаються нулями, а коріння полінома у знаменнику – полюсамипередавальної функції. Полюси одночасно коріння характеристичного рівняння, або характеристичні числа.

Якщо коріння чисельника та знаменника передавальної функції лежить у лівій напівплощині (при цьому коріння чисельника та знаменника лежить у верхній напівплощині), то ланка називається мінімально-фазовим.

Відповідність лівої напівплощини коренів рверхньої напівплощини коренів (рис.2.2.1) пояснюється тим, що , або , тобто. вектор виходить із вектора поворотом на кут за годинниковою стрілкою. В результаті всі вектори з лівої напівплощини приходять у вектори у верхній напівплощині.

Немінімально-фазові та нестійкі ланки

Розглянуті вище ланки позиційного і дифферинцирующего типів ставляться до стійким ланкам, чи ланкам із самовирівнюванням.

Під самовирівнюваннямрозуміється здатність ланки спонтанно приходити до нового встановленого значення при обмеженій зміні вхідної величини або впливу, що обурює. Зазвичай термін самовирівнювання застосовується для ланок, які є об'єктами регулювання.

Існують ланки, у яких обмежена зміна вхідної величини не викликає приходу ланки до нового стану, а вихідна величина має тенденцію необмеженого зростання в часі. До них, наприклад, відносяться ланки типу, що інтегрує.

Існують ланки, які мають цей процес виражений ще помітніше. Це пояснюється наявністю позитивного речового або комплексного коріння з позитивною речовою частиною в характеристичному рівнянні (знаменнику передавальної функції, прирівняному нулю), внаслідок чого ланка ставитиметься до категорії нестійких ланок.

Наприклад, у разі диференціального рівняння , маємо передатну функцію і характеристичне рівняння з позитивним речовим коренем. Ця ланка має однакову амплітудно-частотну характеристику з інерційною ланкою з функцією передачі. Але фазочастотні характеристики цих ланок збігаються. Для інерційної ланки маємо . Для ланки з передавальною функцією маємо

тобто. більше за абсолютною величиною значення.

У зв'язку з цим нестійкі ланки відносяться до групи не мінімально-фазових ланок.

До не мінімально-фазових ланок відносяться також стійкі ланки, що мають у чисельнику передавальної функції (відповідному правій частині диференціального рівняння) речові позитивні корені або комплексні корені з позитивною речовою частиною.

Наприклад, ланка з передавальною функцією відноситься до групи не мінімально-фазових ланок. Модуль частотної передавальної функції збігається з модулем частотної передавальної функції ланки, що має передатну функцію . Але фазове зрушення першої ланки за абсолютною величиною більше:

Мінімально-фазові ланки мають менші фазові зрушення порівняно з відповідними ланками, що мають такі ж амплітудні частотні характеристики.

Говорять, що система стійкаабо має самовирівнювання, якщо після зняття зовнішнього обурення вона повертається у вихідний стан.

Так як рух системи у вільному стані описується однорідним диференціальним рівнянням, то математичне визначення стійкої системи можна сформулювати наступним чином:

Система називається асимптотично стійкою, якщо виконується умова (2.9.1)

З аналізу загального рішення (1.2.10) випливає необхідна та достатня умова стійкості:

Для стійкості системи потрібно й достатньо, щоб усі коріння характеристичного рівняння мали суворо негативні речові частини, тобто. Rep i , I = 1…n. (2.9.2)

Для наочності коріння характеристичного рівняння прийнято зображати комплексної площині рис.2.9.1а. При виконанні необхідного і достатньо

8.12. Площина коренів

характеристичного

рівняння A(p) = 0

ОУ-область стійкості

Ого умови (2.9.2) все коріння лежить ліворуч від уявної осі, тобто. у сфері стійкості.

Тому умову (2.9.2) можна сформулювати в такий спосіб.

Для стійкості необхідно і достатньо, щоб усі корені характеристичного рівняння розташовувалися в лівій напівплощині.

Суворе загальне визначення стійкості, методи дослідження стійкості нелінійних систем та можливість поширення висновку про стійкість лінеаризованої системи на вихідну нелінійну систему надано російським ученим А.М. Ляпуновим.

Насправді стійкість часто визначається непрямим шляхом, з допомогою про критеріїв стійкості без безпосереднього знаходження коренів характеристичного рівняння. До них відносяться критерії алгебри: умова Стодоли, критерії Гурвіца, Михайлова, а також частотний критерій Найквіста. При цьому критерій Найквіста дозволяє визначати стійкість замкнутої системи АФХ або за логарифмічними характеристиками розімкнутої системи.

Умова Стодоли

Умову отримано словацьким математиком Стодолою наприкінці 19 століття. Воно цікаве у методичному плані розуміння умов стійкості системи.

Запишемо характеристичне рівняння системи як

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

По Стодолі для стійкості необхідно, але недостатньо, щоб при a 0 > 0 інші коефіцієнти були суворо позитивні, тобто.

a 1 > 0 ,..., a n > 0.

Необхідністьможна сформувати так:

Якщо система стійка, всі коріння характеристичного рівняння мають , тобто. є лівими.

Доказ необхідності є елементарним. По теоремі Безу характеристичний поліном можна представити у вигляді

Нехай , тобто дійсне число, а - Комплексно-сполучене коріння. Тоді

Звідси видно, що у разі полінома з дійсними коефіцієнтами комплексне коріння попарно-сполучене. У цьому, якщо , , маємо твір многочленів з позитивними коефіцієнтами, яке дає многочлен лише з позитивними коефіцієнтами.

НедостатністьУмови Стодоли полягає в тому, що умова не гарантує, що все . У цьому вся можна переконатися на конкретному прикладі, розглянувши поліном ступеня .

Зауважимо, що у разі умова Стодоли одночасно необхідна і достатньо. З випливає. Якщо, то й, щоб.

Для аналізу формули коренів квадратного рівняння також випливає достатність умови.

З умови Стодоли випливає два важливі наслідки.

1. Якщо умова виконується, а система нестійка, то перехідний процес має коливальний характер. Це випливає з того, що рівняння з позитивними коефіцієнтами не може мати дійсних позитивних коренів. За визначенням корінь – це число, що обертає характеристичний поліном нанівець. Жодне позитивне число не може звернути в нуль багаточлен з позитивними коефіцієнтами, тобто бути його коренем.

2. Позитивність коефіцієнтів характеристичного полінома (відповідно до виконання умови Стодоли) забезпечується у разі негативного зворотного зв'язку, тобто. у разі непарного числа інверсій сигналу по замкнутому контуру. І тут характеристичний поліном. В іншому випадку мали і після приведення подібних деякі коефіцієнти могли бути негативними.

Зауважимо, що негативний зворотний зв'язок не виключає можливості невиконання умови Стодоли. Наприклад, якщо , а , то у разі одиничного негативного зворотного зв'язку . У даному поліномі коефіцієнт дорівнює нулю. Негативних коефіцієнтів немає, проте умова не виконується, оскільки вона вимагає суворо виконання нерівностей.

Це підтверджує наступний приклад.

приклад 2.9.1. Застосувати умову Стодоли до схеми рис. 2.9.2.

Передатна функція розімкнутої по ланцюгу одиничної негативної зворотний зв'язок системи дорівнює і характеристичне рівняння замкнутої системи є сума чисельника і знаменника, тобто.

D(p) = p 2 + k 1 k 2 = 0.

Оскільки відсутній член з ру першому ступені ( a 1 = 0), то умова Стодоли не виконується і система нестійка. Дана система структурно нестійка, тому що ні за яких значень параметрів k 1 і k 2 не може бути стійкою.

Щоб зробити систему стійкою, необхідно запровадити додатковий зв'язок чи коригуюча ланка, тобто. змінити структуру системи. Покажемо на прикладах. На рис. 2.9.3. ланка прямого ланцюга представлена ​​послідовно включеними ланками з передатними функціями та . Паралельно до першого введення додатковий зв'язок.

П
редаточна функція розімкнутої по одиничному негативному зв'язку системи та характеристичне рівняння замкнутої системи відповідно дорівнює

,

Тепер умова Стодоли виконується за будь-яких . Так як у разі рівняння другого ступеня воно не тільки необхідне, а й достатньо, то система стійка за будь-яких позитивних коефіцієнтів посилення.

На рис.2.9.4 у схему введено послідовно форсуючу ланку. Передатна функція розімкнутої по ланцюгу одиничного негативного зв'язку системи в цьому випадку дорівнює і характеристичне рівняння замкнутої системи одно

Аналогічно попередньому система стійка за будь-яких позитивних.

Критерій стійкості Раусса-Гурвіца

Математики Раусс (Англія) та Гурвіц (Швейцарія) розробили цей критерій приблизно одночасно. Відмінність полягала у алгоритмі обчислень. Ми познайомимося з критерієм у формулюванні Гурвіца.

За Гурвіцем для стійкості необхідно і достатньо, щоб при a 0 > 0 визначник Гурвіца  =  nі всі його головні мінори  1 ,  2 ,...,  n -1 були суворо позитивні, тобто.

(2.9.4)

Структура визначника Гурвіца легко запам'ятовується, якщо врахувати, що по головній діагоналі розташовані коефіцієнти а 1 ,… ,а n, У рядках розташовані коефіцієнти через один, якщо вони вичерпані, то вільні місця заповнюються нулями.

Приклад 2.9.2. Дослідити на стійкість по Гурвіцу систему з одиничним негативним зворотним зв'язком, у прямий ланцюг якого включені три інерційні ланки і, отже, передатна функція розімкнутої системи має вигляд (2.9.5)

Запишемо характеристичне рівняння замкнутої системи як суму чисельника та знаменника (2.9.5):

Отже,

Визначник Гурвіца та його мінори мають вигляд

з урахуванням a 0 > 0 із суворої позитивності визначника Гурвіца та мінорів (2.9.6) випливає умова Стодоли і, крім того, умова a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, що після підстановки значень коефіцієнтів дає

(Т 1 Т 2 + Т 1 Т 3 +Т 2 Т 3 ) (Т 1 +Т 2 +Т 3 ) > Т 1 Т 2 Т 3 (1+ k) . (2.9.7)

Звідси видно, що зі збільшенням kсистема із стійкої може перетворитися на нестійку, оскільки нерівність (2.9.7) перестане виконуватись.

Передатна функція системи помилково дорівнює

Відповідно до теореми про кінцеве значення оригіналу встановилася помилка відпрацювання одиничного ступінчастого сигналу дорівнюватиме 1/(1+ k). Отже, виявляється суперечність між стійкістю та точністю. Для зменшення помилки треба збільшувати kАле це призводить до втрати стійкості.

Принцип аргументу та критерій стійкості Михайлова

Критерій Михайлова ґрунтується на так званому принципі аргументу.

Розглянемо характеристичний поліном замкнутої системи, який за теоремою Безу можна подати у вигляді

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…+ a n = a 0 (p - p 1 ) ... (p - p n ).

Зробимо підстановку p = j

D(j ) = a 0 (j ) n + a 1 (j ) n- 1 +…+ a n = a 0 (j - p 1 ) ... (j - p n ) = X ( )+jY( ).

Для конкретного значення  має точку на комплексній площині, що задається параметричними рівняннями

Е
якщо змінювати  у діапазоні від - до , то буде прокреслена крива Михайлова, тобто годограф. Вивчимо поворот вектора D(j ) при зміні  від - до , тобто знайдемо збільшення аргументу вектора (аргумент дорівнює сумі для створення векторів): .

При  = -  різницевий вектор, початок якого в точці р i , а кінець на уявній осі, спрямований вертикально вниз. У міру зростання  кінець вектора ковзає вздовж уявної осі, а при  =  вектор спрямований вертикально догори. Якщо корінь лівий (рис. 2.9.19а), то  arg = + , а якщо корінь правий, то  arg = - .

Якщо характеристичне рівняння має mправого коріння (відповідно n - mлівих), то .

Це і є принципом аргументу. При виділенні дійсної частини Х( ) і уявний Y( ) ми віднесли до Х( ) всі доданки, що містять j парною мірою, а до Y( ) - Непарною мірою. Тому крива Михайлова симетрична щодо дійсної осі. Х( ) - парна, Y( ) - Непарна функція). В результаті, якщо змінювати  від 0 до +, то збільшення аргументу буде вдвічі менше. У зв'язку з цим остаточно принцип аргументуформулюється так . (2.9.29)

Якщо система стійка, тобто. m= 0, то отримуємо критерій стійкості Михайлова.

За Михайловим для стійкості необхідно і достатньо, щоб

, (2.9.30)

тобто крива Михайлова повинна послідовно проходити через n

Очевидно, що для застосування критерію Михайлова не потрібно точної та детальної побудови кривої. Важливо встановити, яким чином вона огинає початок координат і чи не порушується послідовність проходження nчвертей проти годинникової стрілки.

приклад 2.9.6. Застосувати критерій Михайлова перевірки стійкості системи, показаної на рис.2.9.20.

Характеристичний поліном замкнутої системи при k 1 k 2 > 0 відповідає стійкій системі, так умова Стодоли виконується, а для n = 1 воно достатньо. Можна безпосередньо знайти корінь р 1 = - k 1 k 2 і переконатися, що необхідну та достатню умову стійкості виконано. Тому застосування критерію Михайлова має ілюстративний характер. Вважаючи p= j , отримаємо

D(j ) = X( )+ jY( ),

де Х( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

За параметричними рівняннями (2.9.31) побудовано годограф Михайлова на рис.2.9.21, з якого видно, що при зміні  від 0 до  вектор D(j ) повертається проти годинникової стрілки на +  /2, тобто. система стійка.

Критерій стійкості Найквіста

До Як було зазначено, критерій Найквіста займає особливе становище серед критеріїв стійкості. Це частотний критерій, що дозволяє визначити стійкість замкнутої системи частотних характеристик розімкнутої. При цьому передбачається, що система розімкнена ланцюгом одиничного негативного зворотного зв'язку (рис.2.9.22).

Однією з переваг критерію Найквіста є те, що частотні характеристики розімкнутої системи можуть бути отримані експериментально.

Висновок критерію ґрунтується на використанні принципу аргументу. Передатна функція розімкнутої системи (по ланцюгу одиничного негативного зворотного зв'язку на рис.2.9.22) дорівнює

Розглянемо. (2.9.32)

У разі реальної системи з обмеженою смугою пропускання ступінь знаменника передавальної функції розімкнутої системи пбільше ступеня чисельника, тобто. n>. Тому ступеня характеристичних поліномів розімкнутої системи та замкнутої системи однакові та рівні n. Перехід від АФХ розімкнутої системи до АФХ (2.9.32) означає збільшення речовинної частини на 1, тобто. перенесення початку координат у точку (-1, 0), як показано на рис.2.9.23.

Припустимо тепер, що замкнута система стійка, а характеристичне рівняння розімкнутої системи А(р) = 0 має mправого коріння. Тоді відповідно до принципу аргументу (2.9.29) отримаємо необхідну та достатню умову стійкості замкнутої системи за Найквістом

Тобто. для стійкості замкнутої системи вектор W 1 (j ) повинен робити m/2 повних обертів проти годинникової стрілки, що рівносильно повороту вектора W pa з (j ) щодо критичної точки (-1,0).

Насправді, зазвичай, розімкнена система стійка, тобто. m= 0. І тут збільшення аргументу дорівнює нулю, тобто. АФХ розімкнутої системи має охоплювати критичну точку (-1,0).

Критерій Найквіста для ЛАХ та ЛФГ

Насправді частіше використовуються логарифмічні характеристики розімкнутої системи. Тому доцільно сформулювати критерій Найквіста визначення стійкості замкнутої системи з них. Кількість оборотів АФХ щодо критичної точки (-1,0) і охоплення чи не охоплення її

залежать від кількості позитивних та негативних перетинів інтервалу (-,-1) дійсної осі та відповідно перетинів фазовою характеристикою лінії -180° в області L( )  0 . На рис.2.9.24 зображено АФХ та показано знаки перетинів відрізка (-,-1) дійсної осі.

Справедливе правило

де - число позитивних та негативних перетинів.

По АФХ рис.2.9.24в побудовані ЛАХ і ЛФГ, зображені на рис.2.9.25, причому на ЛФХ відзначені позитивні та негативні перетину. На відрізку (-,-1) модуль більше одиниці, чому відповідає L( ) > 0. Тому Критерій Найквіста:

Д ля стійкості замкнутої системи ЛФГ розімкнутої системи в області, де L( ) > 0 повинна мати позитивних перетинів лінії -180° на більше, ніж негативних.

Якщо розімкнена система стійка, то число позитивних і негативних перетинів фазовою характеристикою лінії -180 ° в області L( ) > 0 для стійкості замкнутої системи має бути однаковим або перетинів не повинно бути.

Критерій Найквіста для астатичної системи

Особливо слід розглянути випадок астатичної системи порядку rз передавальною функцією розімкнутої системи, що дорівнює

.

В цьому випадку при 0, т. Е. Амплітудно-фазова характеристика (АФХ) розімкнутої системи йде в нескінченність. Раніше ми будували АФХ за зміни  від - до  і це була безперервна крива, замкнута при  =  0. Тепер вона також замикається при  = 0, але на нескінченності і при цьому не ясно, з якого боку дійсної осі (на нескінченності ліворуч чи праворуч?).

Рис.2.9.19в ілюструє, що у цьому випадку виникає невизначеність у підрахунку збільшення аргументу різницевого вектора. Він тепер весь час розташований уздовж уявної осі (збігається з j ). Тільки при переході через нуль змінюється напрямок (при цьому поворот вектора проти годинникової стрілки на  або за годинниковою стрілкою на -?), для визначеності вважаємо умовно, що корінь лівий і обгинання початку координат відбувається по дузі нескінченно малого радіусу проти годинникової стрілки (поворот на +  ). Відповідно в околиці  = 0 подаємо у вигляді

,

де  = +  при зміні  від - 0 до + 0. Останній вираз показує, що при такому розкритті невизначеності АФХ повертається при зміні  від - 0 до + 0 на кут - за годинниковою стрілкою. Відповідно побудовану АФХ треба при  = 0 доповнити дугою нескінченності радіусу на кут, тобто проти годинникової стрілки до позитивної дійсної півосі.

Запаси стійкості по модулю та фазі

Щоб гарантувати стійкість при змінах параметрів системи, вводяться запаси стійкості по модулю і фазі, що визначаються наступним чином.

Запас стійкості за модулемпоказує у скільки разів чи скільки децибел допустимо збільшувати чи зменшувати коефіцієнт посилення, щоб система залишалася стійкою (виявлялася межі стійкості). Він визначається як min( L 3 , L 4) на рис.2.9.25. Дійсно, якщо не змінювати ЛФГ, то при підйомі ЛАХ на L 4 частота зрізу  ср переміститься в крапку  4 і система опиниться на межі стійкості. Якщо опустити ЛАХ на L 3 , то частота зрізу зміститься вліво в крапку  3 та система також опиниться на межі стійкості. Якщо опустити ЛАХ ще нижче, то в області L( ) > 0 залишиться лише негативне перетин ЛФГ лінії -180°, тобто. за критерієм Найквіста система стане нестійкою.

Запас стійкості по фазіпоказує, наскільки допустимо збільшити фазовий зсув при постійному коефіцієнті посилення, щоб система залишалася стійкою (виявилася межі стійкості). Він визначається як доповнення  ( ср) до -180 °.

На практиці L  12-20 дБ,   20-30 °.