Розв'язання лінійних рівнянь із прикладами. Розв'язання рівнянь з двома змінними Розв'язати рівняння 2 4

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду

aх + b = 0, де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Сьогодні розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.

Наприклад, усі рівняння:

2х + 3 = 7 - 0,5 х; 0,3 х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння у правильну рівність, називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 = 13 замість невідомого х підставити число 2 то отримаємо правильну рівність 3 · 2 +7 = 13. Значить, значення х = 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х = 3 не перетворює рівняння 3х + 7 = 13 у правильну рівність, оскільки 3· 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х = 3 не є розв'язком або коренем рівняння.

Розв'язання будь-яких лінійних рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду

aх + b = 0.

Перенесемо вільний член із лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 =11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 протилежний, отримаємо
3х = 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х = 9.

Щоб знайти їх треба розділити твір на відомий множник, тобто
х = 9: 3.

Значить, значення х = 3 є розв'язком чи коренем рівняння.

Відповідь: х = 3.

Якщо а = 0 та b = 0, Отримаємо рівняння 0х = 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 = 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х = - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо такі члени:
0х = 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а = 0 та b ≠ 0, Отримаємо рівняння 0х = - b. Це рівняння рішень немає, оскільки з множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0 .

приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 = х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, які містять невідомі, а в правій – вільні члени:
х - х = 5 - 8.

Наведемо такі члени:
0х = ‒ 3.

Відповідь: немає рішень.

на малюнку 1 зображено схему вирішення лінійного рівняння

Складемо загальну схему розв'язання рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 = 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, які містять невідомі та вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 = 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо такі члени:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Розділимо на – 22 , Отримаємо
х = 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

Взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;

г) навести таких членів;

д) вирішити рівняння виду aх = b, яке одержали після приведення подібних членів.

Однак ця схема не є обов'язковою для будь-якого рівняння. При розв'язанні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( приклад. 2), третього ( приклад. 1, 3) і навіть із п'ятого етапу, як у прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х = 1/4.

Знаходимо невідоме х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Розглянемо розв'язання деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному екзамені.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) = 5 - 6х.

2х + 6 = 5 - 6х

2х + 6х = 5 - 6

Відповідь: ‒ 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

- 30 + 18х = 8х - 7

18х - 8х = - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) = 4 · 7х + 24

9х - 12 = 28х + 24

9х - 28х = 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f(6), якщо f(x + 2) = 3 7-х

Рішення

Тому що треба знайти f(6), а нам відомо f(x + 2),
то х + 2 = 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 = 6,
отримуємо х = 6 - 2, х = 4.

Якщо х = 4, тоді
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з розв'язанням рівнянь більш ґрунтовно, записуйтесь на мої уроки в РОЗКЛАДІ . Рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить переглянути новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

В курсі математики 7 класу вперше зустрічаються з рівняннями з двома змінними, але вивчаються вони лише контексті систем рівнянь із двома невідомими. Саме тому з поля зору випадає ціла низка завдань, у яких на коефіцієнти рівняння введені деякі умови, що їх обмежують. Крім того, залишаються поза увагою і методи розв'язання завдань типу «Вирішити рівняння в натуральних чи цілих числах», хоча в матеріалах ЄДІ та на вступних іспитах завдання такого роду зустрічаються дедалі частіше.

Яке рівняння називатиметься рівнянням із двома змінними?

Так, наприклад, рівняння 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 або xy = 12 є рівняннями з двома змінними.

Розглянемо рівняння 2x - y = 1. Воно звертається в правильну рівність при x = 2 і y = 3, тому ця пара значень змінних є рішенням рівняння, що розглядається.

Таким чином, рішенням будь-якого рівняння з двома змінними є безліч упорядкованих пар (x; y), значень змінних, які це рівняння перетворюють на правильну числову рівність.

Рівняння із двома невідомими може:

а) мати одне рішення.Наприклад, рівняння x 2 + 5y 2 = 0 має єдине рішення (0; 0);

б) мати кілька рішень.Наприклад, (5 -|x|) 2 + (|y| - 2) 2 = 0 має 4 рішення: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

в) не мати рішень.Наприклад, рівняння x 2 + y 2 + 1 = 0 немає рішень;

г) мати нескінченно багато рішень.Наприклад, x + y = 3. Розв'язаннями цього рівняння будуть числа, сума яких дорівнює 3. Безліч рішень даного рівняння можна записати у вигляді (k; 3 – k), де k – будь-яке дійсне число.

Основними методами розв'язання рівнянь із двома змінними є методи, що ґрунтуються на розкладанні виразів на множники, виділення повного квадрата, використання властивостей квадратного рівняння, обмеженості виразів, оціночні методи. Рівняння, як правило, перетворюють на вид, з якого можна отримати систему для знаходження невідомих.

Розкладання на множники

приклад 1.

Розв'язати рівняння: xy – 2 = 2x – y.

Рішення.

Групуємо складові для розкладання на множники:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. З кожної дужки винесемо загальний множник:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Маємо:

y = 2, x - будь-яке дійсне число або x = -1, y - будь-яке дійсне число.

Таким чином, відповіддю є всі пари виду (x; 2), x € R та (-1; y), y € R.

Рівність нулю невід'ємних чисел

приклад 2.

Розв'язати рівняння: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Рішення.

Групуємо:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Тепер кожну дужку можна згорнути за формулою квадрата різниці.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю, тільки якщо 3x – 2 = 0 та 2y – 3 = 0.

Отже, x = 2/3 і y = 3/2.

Відповідь: (2/3; 3/2).

Оцінний метод

приклад 3.

Розв'язати рівняння: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Рішення.

У кожній дужці виділимо повний квадрат:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. Оцінимо значення виразів, що стоять у дужках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 і (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тоді ліва частина рівняння завжди не менше 2. Рівність можлива, якщо:

(x + 1) 2 + 1 = 1 та (y - 2) 2 + 2 = 2, а значить x = -1, y = 2.

Відповідь: (-1; 2).

Познайомимося з ще одним методом розв'язання рівнянь із двома змінними другого ступеня. Цей метод у тому, що рівняння сприймається як квадратне щодо будь-якої змінної.

приклад 4.

Розв'язати рівняння: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Рішення.

Розв'яжемо рівняння як квадратне щодо x. Знайдемо дискримінант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Рівняння матиме рішення лише за D = 0, т. е. у разі, якщо y = 4. Підставляємо значення y у вихідне рівняння і бачимо, що x = 3.

Відповідь: (3; 4).

Часто в рівняннях із двома невідомими вказують обмеження на змінні.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння у цілих числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Рішення.

Перепишемо рівняння у вигляді x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Права частина отриманого рівняння при розподілі на 5 дає в залишку 2. Отже, x 2 не ділиться на 5. Але квадрат числа, що не ділиться на 5, дає в залишку 1 або 4. Таким чином, рівність неможлива і рішень немає.

Відповідь: немає коріння.

Приклад 6.

Розв'язати рівняння: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Рішення.

Виділимо повні квадрати у кожній дужці:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ліва частина рівняння завжди більша або дорівнює 3. Рівність можлива за умови |x| – 2 = 0 та y + 3 = 0. Таким чином, x = ± 2, y = -3.

Відповідь: (2; -3) та (-2; -3).

Приклад 7.

Для кожної пари цілих негативних чисел (x; y), що задовольняють рівняння
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, обчислити суму (x + y). У відповіді вказати найменшу із сум.

Рішення.

Виділимо повні квадрати:

(x 2 - 2xy + y 2) + (Y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Оскільки x і y – цілі числа, їх квадрати також цілі числа. Суму квадратів двох цілих чисел, що дорівнює 37, отримаємо, якщо складаємо 1 + 36. Отже:

(x – y) 2 = 36 та (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 та (y + 2) 2 = 36.

Вирішуючи ці системи та враховуючи, що x та y – негативні, знаходимо рішення: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Відповідь: -17.

Не варто впадати у відчай, якщо при вирішенні рівнянь з двома невідомими у вас виникають труднощі. Небагато практики, і ви зможете впоратися з будь-якими рівняннями.

Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.