Властивості функції корінь із х. "Функція "корінь із х", її властивості та графіки"

8 клас

Вчитель: Мельникова Т.В.

Цілі уроку:

Обладнання:

Комп'ютер, інтерактивна дошка, матеріал роздатковий.

Презентація до уроку

ХІД УРОКУ

План уроку.

Вступне слово вчителя.

Повторення раніше вивченого матеріалу.

Вивчення нового матеріалу (групова робота).

Дослідження функції. Властивості графіка.

Обговорення графіка (фронтальна робота).

Гра в математичні карти.

Підсумки уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

Вітання вчителя.

Вчитель :

Залежність однієї змінної з іншого називається функцією. Досі Ви вивчили функції y = kx + b; y = до/х, у = х 2 . Сьогодні ми продовжимо вивчення функцій. На сьогоднішньому уроці ви дізнаєтеся, як виглядає графік функції квадратного кореня, навчитеся будувати графіки функцій квадратного кореня.

Запишіть тему уроку (слайд1).

2. Повторення вивченого матеріалу.

1. Як називаються функції, що задаються формулами:

а) у = 2х +3; б) у = 5/х; в) у = -1/2х +4; г) у = 2х; д) у = -6/х е) у = х 2?

2. Що являє собою їхній графік? Як воно розташоване? Вкажіть область визначення та область значення кожної з цих функцій ( на рис. зображено графіки функцій, задані даними формулами, для кожної функції вкажіть її вигляд) (слайд2).

3. Що таке графік кожної функції, як ці графіки будуються?

(слайд3, будуються схематично графіки функцій).

3. Вивчення нового матеріалу.

Вчитель:

Отже, сьогодні ми вивчаємо функцію
та її графік.

Ми знаємо, що графіком функції у = х 2 є парабола. Що буде графіком функції у = х 2 якщо взяти тільки х ≥ 0? Є частина параболи – її права гілка. Побудуємо тепер графік функції
.

Повторимо алгоритм побудови графіків функцій ( слайд 4, з алгоритмом)

Питання : Як ви вважаєте, дивлячись на аналітичний запис функції, можна сказати про те, які значення хдопустимі? (Так, х≥0). Бо вираз
має сенс при всіх великих або рівних 0.

Вчитель: У явищах природи, у людській діяльності часто трапляються залежності між двома величинами. Яким графіком можна уявити цю залежність? ( групова робота)

Клас розбивається на групи. Кожна група отримує завдання: побудувати графік функції
на міліметровому папері, виконуючи всі елементи алгоритму. Потім від кожної групи виходить представник та показує роботу групи. (відкривається солод 5, йде перевірка, потім графік будується в зошитах)

4. Дослідження функції. (продовжується робота в групах)

Вчитель:

знайдіть область визначення функції;

знайдіть область значення функції;

визначте проміжки зменшення (зростання) функції;

у>0, у<0.

Записуємо в результати (слайд6).

Вчитель: Проведемо аналіз графіка. Графіком функції є гілка параболи.

Питання : Скажіть, ви зустрічали десь цей графік раніше?

Подивіться на графік і скажіть, чи він перетинає пряму ОХ? (Ні)ОУ? (Ні). Подивіться на графік та скажіть, чи має графік центр симетрії? Вісь симетрії?

Підведемо підсумки:

А тепер повіримо, як засвоїли нову тему та повторили пройдений матеріал. Гра в математичні карти.(правила гри: кожній групі з 5 осіб пропонується комплект карток (25 карт). Якщо учень відповідає на запитання, то карта бита, якщо ні, то учень забирає карту собі і зраджує хід і т. д. всього 5 ходів. 2 карти - оцінка 3, 3 карти - оцінка-2)

5. Підсумки уроку.(виставляються оцінки учням по контрольним листам)

Завдання додому.

Вивчити п.8.

Вирішити №172, №179, №183.

Підготувати повідомлення на тему “Застосування функції у різних галузях науки та у літературі”.

Рефлексія.

Покажіть свій настрій за допомогою картинок на столі.

Сьогодні урок

Мені сподобалося.

Мені не сподобалося.

Матеріал уроку я ( зрозумів, не зрозумів).

Квадратне коріння як елементарна функція.

Квадратний корінь- це елементарна функція та окремий випадок статечної функції при . Арифметичний квадратний корінь є гладким при , а нулі він безперервний праворуч, але не диференціюється.

Як функція комплексний змінний корінь – двозначна функція, у якої листи сходяться на нулі.

Побудова графіка функції квадратного кореня.

1. Заповнюємо таблицю даних:

2. Наносимо крапки, які ми отримали на координатну площину.

3. З'єднуємо ці точки та отримуємо графік функції квадратного кореня:

Перетворення графіка функції квадратного кореня.

Визначимо, які перетворення функції необхідно зробити, щоб побудувати графіки функций. Визначимо види перетворень.

Найчастіше перетворення функцій виявляються комбінованими.

Наприклад, потрібно побудувати графік функції . Це графік квадратного кореня, який потрібно перенести на одну одиницю вниз по осі OYі на одиницю праворуч по осі ОХі одночасно розтягнувши в 3 рази його по осі OY.

Буває безпосередньо перед побудовою графіка функції, необхідні попередні тотожні перетворення чи спрощення функций.

Муніципальний загальноосвітній заклад

середня загальноосвітня школа №1

ст. Брюховецькій

муніципальної освіти Брюховецький район

Вчитель математики

Гученко Анжела Вікторівна

2014

Функція у =
, її властивості та графік

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Цілі уроку:

Завдання, які вирішуються на уроці:

навчити учнів самостійно працювати;

висловлювати припущення та припущення;

вміти робити узагальнення факторів, що вивчаються.

Обладнання: дошка, крейда, мультимедійний проектор, роздатковий матеріал

Хронометраж уроку.

Визначення теми уроку разом із учнями –1 хв.

Визначення цілей та завдань уроку спільно з учнями1 хв.

Актуалізація знань (фронтальне опитування) –3хв.

Усна робота -3хв.

Пояснення нового матеріалу, побудоване на створенні проблемних ситуацій.7хв.

Фізхвилинка –2 хв.

Побудова графіка разом із класом з оформленням побудови у зошитах та визначенням властивостей функції, робота з підручником –10 хв.

Закріплення отриманих знань та відпрацювання навичок перетворень графіків –9хв .

Підбиття підсумків уроку, встановлення зворотного зв'язку –3хв.

Завдання додому –1 хв.

Разом 40 хвилин.

Хід уроку.

Визначення теми уроку разом із учнями (1мин).

Тема уроку визначається учнями за допомогою навідних питань:

функція- робота, яку виконує орган, організм в цілому.

функція- Можливість, опція, вміння програми чи приладу.

функція- Обов'язок, коло діяльності.

функціяперсонажа у літературному творі.

функція- вид підпрограми в інформатиці

функціяу математиці - закон залежності однієї величини від іншого.

Визначення цілей та завдань уроку спільно з учнями (1хв).

Вчитель за допомогою учнів формулює та промовляє цілі та завдання даного уроку.

Актуалізація знань (фронтальне опитування – 3хв).

Усна робота – 3 хв.

Фронтальна робота

(А та В належать, С немає)

Пояснення нового матеріалу (побудовано створення проблемних ситуацій – 7мин).

Проблемна ситуація: описати властивості невідомої функції.

Розбити клас на команди по 4-5 осіб, роздати бланки для відповідей на поставлені запитання

Бланк №1

у = 0, при х =?

Область визначення функції.

Безліч значень функції.

На кожне запитання відповідає один із представників команди, решта команд голосує «за» або «проти» сигнальними картками і, якщо потрібно, доповнюють відповіді однокласників.

Разом з класом дійти невтішного висновку про область визначення, безлічі значень, нулях функції у=.

Проблемна ситуація : спробувати побудувати графік невідомої функції (обговорення в командах, пошук рішення).

З учителем згадується алгоритм побудови графіків функцій. Учні командами намагаються зобразити графік функції у = на бланках, потім обмінюються бланками друг з одним для само- і взаємоперевірки.

Фізмінутка (Клоунада)

Побудова графіка разом із класом з оформленням побудови у зошитах – 10хв.

Після загального обговорення виконується завдання побудови графіка функції індивідуально кожним учнем у зошити. Вчитель тим часом надає диференційовану допомогу учням. Після виконання завдання учнями на дошці показується графік функції та учням пропонується відповісти на такі питання:

Висновок: разом з учнями зробити ще раз висновок про властивості функції та прочитати їх за підручником:

Закріплення отриманих знань та відпрацювання навичок перетворення графіка – 9хв.

Учні працюють за своєю карткою (за варіантами), потім змінюються та перевіряють один одного. Після цього на дошці показуються графіки, і учні оцінюють свою роботу, порівнюючи з дошкою.

Картка №1

Картка №2

Висновок: про перетворення графіка

1) паралельне перенесення вздовж осі ОУ

2) зрушення вздовж осі ОХ.

9. Підбиття підсумків уроку, встановлення зворотний зв'язок – 3мин.

СЛАЙДИ – вставити пропущені слова

Область визначення даної функції, усі числа, крім …(Негативних).

Графік функції розташований у … (I)чверті.

При значенні аргументу х = 0 значення… (функції)у = … (0).

Найбільше значення функції… (не існує),найменше значення - …(рівно 0)

10. Завдання додому (з коментарями – 1 хв).

За підручником- §13

За задачником– №13.3, №74 (повторення неповних квадратних рівнянь)

Головні цілі:

1) сформувати уявлення про доцільність узагальненого дослідження залежностей реальних величин на прикладі величин, пов'язаних ставленням у=

2) формувати здатність до побудови графіка у = та його властивості;

3) повторити та закріпити прийоми усних та письмових обчислень, зведення у квадрат, вилучення квадратного кореня.

Устаткування демонстраційний матеріал: роздатковий матеріал.

1. Алгоритм:

2. Зразок для виконання завдання у групах:

3. Зразок для самоперевірки самостійної роботи:

4. Картка для етапу рефлексії:

1) Я зрозумів, як побудувати графік функції у =.

2) Я можу за графіком перерахувати його властивості.

3) Я не припустився помилок у самостійній роботі.

4) Я припустився помилок у самостійній роботі (перерахувати ці помилки та вказати їх причину).

Хід уроку

1. Самовизначення до навчальної діяльності

Мета етапу:

1) включити учнів до навчальної діяльності;

2) визначити змістовні рамки уроку: продовжуємо працювати з дійсними числами.

Організація навчального процесу на етапі 1:

– Що ми вивчали на минулому уроці? (Ми вивчали безліч дійсних чисел, дії з ними, побудували алгоритм для опису властивостей функції, повторювали функції, вивчені в 7 класі).

– Сьогодні ми продовжимо працювати з безліччю дійсних чисел, функцією.

2. Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності

Мета етапу:

1) актуалізувати навчальний зміст, необхідний та достатній для сприйняття нового матеріалу: функція, незалежна змінна, залежна змінна, графіки

y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2 , y = - x 2

2) актуалізувати розумові операції, необхідні та достатні для сприйняття нового матеріалу: порівняння, аналіз, узагальнення;

3) зафіксувати всі повторювані поняття та алгоритми у вигляді схем та символів;

4) зафіксувати індивідуальне складне становище у діяльності, демонструє на особистісно значному рівні недостатність наявних знаний.

Організація навчального процесу на етапі 2:

1. Давайте пригадаємо, як можна задати залежності між величинами? (за допомогою тексту, формули, таблиці, графіка)

2. Що називається функцією? (Залежність між двома величинами, де кожному значенню однієї змінної відповідає єдине значення іншої змінної y = f(x)).

Як називається х? (Незалежна змінна – аргумент)

Як називається у? (Залежна змінна).

3. У 7-му класі ми вивчили функції? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).

Індивідуальне завдання:

Що є графіком функцій y = kx + m, y = x 2, y =?

3. Виявлення причин труднощів та постановка мети діяльності

Мета етапу:

1) організувати комунікативну взаємодію, під час якої виявляється і фіксується відмінна властивість завдання, що спричинило складне становище у навчальній діяльності;

2) узгодити мету та тему уроку.

Організація навчального процесу на етапі 3:

– Що особливого у цьому завданні? (Залежність задана формулою y = з якою ми ще зустрічалися).

- Яка мета уроку? (Познайомитися з функцією y = , її властивостями та графіком. Функцією у таблиці визначати вид залежності, будувати формулу та графік.)

– Чи можна сформулювати тему уроку? (Функція у=, її властивості та графік).

– Запишіть тему у зошиті.

4. Побудова проекту виходу із скрути

Мета етапу:

1) організувати комунікативну взаємодію для побудови нового способу дії, що усуває причину виявленої скрути;

2) зафіксувати новий спосіб дії у знаковій, вербальній формі та за допомогою еталона.

Організація навчального процесу на етапі 4:

Роботу на етапі можна організувати за групами, запропонувавши групам побудувати графік y = , потім проаналізувати результати. Також групам можна запропонувати алгоритмом описати властивості цієї функції.

5. Первинне закріплення у зовнішній мові

Мета етапу: зафіксувати вивчений навчальний зміст у зовнішній мові.

Організація навчального процесу на етапі 5:

Побудуйте графік у = - та опишіть його властивості.

Властивості у = -.

1.Область визначення функції.

2.Область значень функції.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y = 0, якщо x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Зростання, зменшення функції.

Функція зменшується при х.

Побудуємо графік у =.

Виділимо його частину на відрізку. Зауважимо, що у найм. = 1 при х = 1, а в найб. =3 при x = 9.

Відповідь: у найм. = 1, у найб. =3

6. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком

Мета етапу: перевірити своє вміння застосовувати новий навчальний зміст у типових умовах на основі зіставлення свого рішення з еталоном для самоперевірки.

Організація навчального процесу на етапі 6:

Учні виконують завдання самостійно, проводять самоперевірку за зразком, аналізують, виправляють помилки.

Побудуємо графік у =.

За допомогою графіка знайдіть найменше та найбільше значення функції на відрізку.

7. Включення в систему знань та повторення

Мета етапу: тренувати навички використання нового змісту разом із раніше вивченим: 2) повторити навчальний зміст, який буде потрібно наступних уроках.

Організація навчального процесу на етапі 7:

Розв'яжіть графічно рівняння: = х – 6.

Один учень біля дошки решта у зошитах.

8. Рефлексія діяльності

Мета етапу:

1) зафіксувати новий зміст, вивчений на уроці;

2) оцінити свою діяльність на уроці;

3) подякувати однокласникам, які допомогли отримати результат уроку;

4) зафіксувати невирішені труднощі як напрями майбутньої навчальної діяльності;

5) обговорити та записати домашнє завдання.

Організація навчального процесу на етапі 8:

- Хлопці, яка ціль стояла сьогодні перед нами? (Вивчити функцію у=, її властивості та графік).

– Які знання нам допомогли досягти мети? (Уміння шукати закономірності, вміння читати графіки.)

– Проаналізуйте свою діяльність на уроці. (Картки з рефлексією)

Домашнє завдання

п. 13 (приклад 2) № 13.3, 13.4

Розв'яжіть графічно рівняння.

Графік та властивості функції у = │ах│ (модуль)

Розглянемо функцію у = │ах│, де а- Дещо.

Областю визначенняфункції у = │ах│ є безліч всіх дійсних чисел. На малюнку зображено відповідно графіки функцій у = │х│, у = │ 2х │, у = │х/2│.

Можна помітити, що графік функції у = | ах| виходить із графіка функції у = ах, якщо негативну частину графіка функції у = ах(Вона знаходиться нижче осі О х), відобразити симетричноцієї осі.

За графіком легко побачити властивостіфункції у = │ ах │.

При х= 0, отримуємо у= 0, тобто графік функції належить початок координат; при х= 0, отримуємо у> 0, тобто інші точки графіка лежать вище осі О х.

Для протилежних значень х, значення убудуть однаковими; вісь Про уце вісь симетрії графіка.

Наприклад, можна побудувати графік функції у = │х 3 │. Щоб порівняти функції у = │х 3 │і у = х 3 складемо таблицю їх значень при однакових значеннях аргументів.

З таблиці бачимо, що для того, щоб побудувати графік функції у = │х 3 │, можна почати з побудови графіка функції у = х 3 . Після цього стоїть симетрично осі хвідобразити ту частину, яка знаходиться нижче цієї осі. У результаті отримаємо графік, зображений малюнку.

Графік та властивості функції у = x 1/2 (корінь)

Розглянемо функцію у = x 1/2 .

Областю визначенняцією функцією є безліч невід'ємних дійсних чисел, так як вираз x 1/2 має значення тільки за х > 0.

Побудуємо графік. Для складання таблиці її значень використовуємо мікрокалькулятор, округляючи значення функції до десятих.

Після нанесення на координатну площину точок, та плавного їх з'єднання, отримуємо графік функції у = x 1/2 .

Побудований графік дозволяє сформулювати деякі властивостіфункції у = x 1/2 .

При х= 0, отримуємо у= 0; при х> 0, отримуємо у> 0; графік проходить через початок координат; інші точки графіка розташовані у першій координатній чверті.

Теорема. Графік функції у = x 1/2 симетричний графік функції у = х 2 , де х> 0, щодо прямої у = х.

Доведення. Графіком функції у = х 2 , де х> 0 є гілка параболи, розташована в першій координатній чверті. Нехай крапка Р (а; b) - довільна точка цього графіка. Тоді істинна рівність b = а 2 . Оскільки за умовою число аневід'ємне, то істинно також і рівність а= b 1/2. А це означає, що координати точки Q (b; а) перетворюють формулу у = x 1/2 у справжню рівність, чи інакше, точка Q (b; а у= x 1/2 .

Так само доводиться, що якщо точка М (з; d) належить графіку функції у = x 1/2, то точка N (d; з) належить графіку у = х 2 , де х > 0.

Виходить, що кожній точці Р(а; b) графіка функції у = х 2 , де х> 0, відповідає єдина точка Q (b; а) графіка функції у = x 1/2 і навпаки.

Залишається довести, що точки Р (а; b) та Q (b; а) симетричні щодо прямої у = х. Опустивши перпендикуляри на координатні осі з точок. Рі Q, отримуємо на цих осях точки Е(а; 0), D (0; b), F (b; 0), З (0; а). Крапка Rперетину перпендикулярів РЕі QCмає координати ( а; а) і тому належить прямий у = х. Трикутник PRQє рівностегновим, тому що його сторони RPі RQрівні │ b – а│ кожна. Пряма у = хділить навпіл як кут DOF, так і кут PRQі перетинає відрізок PQу певній точці S. Тому відрізок RSє бісектрисою трикутника PRQ. Оскільки бісектриса рівнобедреного трикутника є його висотою та медіаною, то PQ ┴ RSі PS = QS. А це означає, що точки Р (а; b) та Q (b; а) симетричні щодо прямої у = х.

Оскільки графік функції у = x 1/2 симетричний графік функції у = х 2 , де х> 0, щодо прямої у= х, то графіком функції у = x 1/2 є гілка параболи.