Dimenzija sličnosti: neke suptilnosti. Isti objekt može imati više modela, a različitim se objektima može opisati jednim modelom

Kratak sinopsis

p.s. Vrlo “suh jezik”, ali sasvim čitljiv nakon sveučilišnog kurikuluma. Uglavnom su definicije paradoksa preuzete s Wikipedije (pojednostavljena formulacija i gotova TeX oznaka).

Uvod

Trebali bismo početi s definicijom.

Što je set? Pitanje je vrlo jednostavno, odgovor je prilično intuitivan. Skup je određeni skup elemenata predstavljenih jednim objektom. Kantor u svom djelu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre daje definiciju: pod "skupom" podrazumijevamo kombinaciju u određenu cjelinu određenih jasno razlučivih predmeta naše kontemplacije ili našeg mišljenja (koje ćemo nazvati "elementima" skupa). Kao što vidimo, bit se nije promijenila, razlika je samo u onom dijelu koji ovisi o svjetonazoru determinatora. Povijest teorije skupova, kako u logici tako iu matematici, vrlo je kontradiktorna. Zapravo, započeo ga je Cantor u 19. stoljeću, zatim su Russell i drugi nastavili posao.

Paradoksi (logike i teorije skupova) - (od starogrčkog παράδοξος - neočekivano, čudno od starogrčkog παρα-δοκέω - čini se) - formalne logičke kontradikcije koje nastaju u smislenoj teoriji skupova i formalnoj logici uz zadržavanje logičke ispravnosti zaključivanja. Paradoksi nastaju kada se dvije međusobno isključive (kontradiktorne) tvrdnje pokažu jednako dokazivim. Paradoksi se mogu pojaviti i unutar znanstvene teorije i u običnom razmišljanju (primjerice, Russellova parafraza njegovog paradoksa o skupu svih normalnih skupova: “Seoski brijač brije sve one i samo one stanovnike njegova sela koji se sami ne briju. Trebao bi on brijati? sebe?"). Budući da formalna logička kontradikcija uništava rasuđivanje kao sredstvo otkrivanja i dokazivanja istine (u teoriji u kojoj se pojavljuje paradoks, svaka je rečenica, istinita i netočna, dokaziva), postavlja se zadatak identificiranja izvora takvih proturječja i pronalaženja načina eliminirati ih. Problem filozofskog razumijevanja konkretnih rješenja paradoksa jedan je od važnih metodoloških problema formalne logike i logičkih temelja matematike.

Svrha ovog rada je proučavanje paradoksa teorije skupova kao nasljednika drevnih antinomija i posve logičnih posljedica prelaska na novu razinu apstrakcije – beskonačnost. Zadatak je razmotriti glavne paradokse i njihovu filozofsku interpretaciju.

Osnovni paradoksi teorije skupova

Brijač brije samo one ljude koji se sami ne briju. Brije li se sam?

Neki od logičkih paradoksa poznati su od davnina, ali zbog činjenice da je matematička teorija bila ograničena na aritmetiku i geometriju, bilo ih je nemoguće povezati s teorijom skupova. U 19. stoljeću situacija se radikalno promijenila: Cantor je u svojim djelima dosegao novu razinu apstrakcije. Uveo je koncept beskonačnosti, čime je stvorio novu granu matematike i time omogućio usporedbu različitih beskonačnosti pomoću koncepta "moći skupa". Međutim, pritom je iznjedrio mnoge paradokse. Prvi je tzv Paradoks Burali-Forti. U matematičkoj literaturi postoje različite formulacije koje se temelje na različitoj terminologiji i pretpostavljenom skupu poznatih teorema. Evo jedne od formalnih definicija.

Može se dokazati da ako je proizvoljan skup rednih brojeva, tada je skup zbroja redni broj veći ili jednak svakom od elemenata. Pretpostavimo sada da je to skup svih rednih brojeva. Tada je redni broj veći ili jednak bilo kojem od brojeva u . Ali onda i je redni broj, i već je strogo veći, i stoga nije jednak niti jednom od brojeva u . Ali to proturječi uvjetu prema kojem – skup svih rednih brojeva.

Suština paradoksa je u tome što formiranjem skupa svih rednih brojeva nastaje novi redni tip koji još nije bio među “svim” transfinitnim rednim brojevima koji su postojali prije formiranja skupa svih rednih brojeva. Taj je paradoks otkrio sam Cantor, neovisno ga je otkrio i objavio talijanski matematičar Burali-Forti, a pogreške potonjeg ispravio je Russell, nakon čega je formulacija dobila svoj konačni oblik.

Među svim pokušajima da se takvi paradoksi izbjegnu i donekle pokušaju objasniti, najveću pozornost zaslužuje ideja već spomenutog Russella. Predložio je isključivanje iz matematike i logike impdikativnih rečenica u kojima definicija elementa skupa ovisi o potonjem, što uzrokuje paradokse. Pravilo zvuči ovako: “nijedan skup ne može sadržavati elemente definirane samo u terminima skupa, kao ni elemente koji ovaj skup pretpostavljaju u svojoj definiciji.” Takvo ograničenje definicije skupa omogućuje izbjegavanje paradoksa, ali istodobno značajno sužava opseg njegove primjene u matematici. Osim toga, to nije dovoljno da objasni njihovu prirodu i razloge njihove pojave, ukorijenjene u dihotomiji mišljenja i jezika, u značajkama formalne logike. Do neke mjere, ovo se ograničenje može pratiti analogijom s onim što su kasniji kognitivni psiholozi i lingvisti počeli nazivati ​​"kategorizacijom osnovne razine": definicija je svedena na koncept koji je najlakši za razumijevanje i proučavanje.

Cantorov paradoks. Pretpostavimo da skup svih skupova postoji. U ovom slučaju to je točno, odnosno svaki skup je podskup. Ali iz ovoga slijedi da snaga bilo kojeg skupa ne prelazi snagu . Ali na temelju aksioma skupa svih podskupova, za , kao i svaki skup, postoji skup svih podskupova, i prema Cantorovom teoremu, koji je u suprotnosti s prethodnom tvrdnjom. Dakle, ne može postojati, što je u suprotnosti s "naivnom" hipotezom da svaki sintaktički ispravan logički uvjet definira skup, odnosno da za svaku formulu ne sadrži slobodno. Izvanredan dokaz nepostojanja takvih proturječja temeljen na aksiomatiziranoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova daje Potter.

Oba navedena paradoksa su, s logičke točke gledišta, istovjetna “Lažljivcu” ili “Brijaču”: izražena prosudba upućena je ne samo nečemu objektivnom u odnosu na njega, nego i samome sebi. Međutim, treba obratiti pažnju ne samo na logičnu stranu, već i na koncept beskonačnosti, koji je ovdje prisutan. Literatura se poziva na rad Poincaréa, u kojem on piše: "vjera u postojanje stvarne beskonačnosti... čini ove nepredikativne definicije neophodnima."

Općenito, glavne točke su:

1. u tim je paradoksima narušeno pravilo jasnog razdvajanja “sfera” predikata i subjekta; stupanj konfuzije je blizak zamjeni jednog koncepta drugim;
2. Obično se u logici pretpostavlja da u procesu zaključivanja subjekt i predikat zadržavaju svoj opseg i sadržaj, ali u ovom slučaju dolazi do prijelaza iz jedne kategorije u drugu, što rezultira nedosljednošću;
3. prisutnost riječi "sve" ima smisla za konačan broj elemenata, ali u slučaju beskonačnog broja elemenata, moguće je imati onaj koji zahtijeva definiciju skupa da bi se definirao;
4. krše se osnovni logički zakoni:
   1. zakon identiteta je povrijeđen kad se otkrije neistovjetnost subjekta i predikata;
   2. zakon kontradikcije – kada se s istim pravom izvode dva kontradiktorna suda;
   3. zakon isključenog trećeg - kada ovo treće treba priznati, a ne isključiti, jer se ni prvo ni drugo ne može priznati bez drugoga, jer pokazuju se jednako legitimnima.

Paradoks Tristrama Shandyja. U Sterneovom Životu i mišljenjima Tristrama Shandyja, gospodina, junak otkriva da mu je trebala cijela godina da ispriča događaje prvog dana svog života i još jedna godina da opiše drugi dan. S tim u vezi, junak se žali da će se građa njegove biografije gomilati brže nego što je on može obraditi, a on je nikada neće moći dovršiti. “Sada tvrdim,” Russell prigovara tome, “da je živio vječno i da mu njegov rad ne bi postao teret, čak i da je njegov život nastavio biti pun događaja kao na početku, tada nijedan od dijelova njegova biografija ne bi ostala nenapisana."

Doista, Shandy bi mogao opisati događaje tog dana u godini i tako bi svaki dan bio zarobljen u njegovoj autobiografiji. Drugim riječima, kad bi život trajao vječno, imao bi godina koliko i dana.

Russell povlači analogiju između ovog romana i Zenona i njegove kornjače. Po njegovom mišljenju, rješenje leži u činjenici da je cjelina ekvivalentna svom dijelu u beskonačnosti. Oni. Samo “aksiom zdravog razuma” dovodi do kontradikcije. Međutim, rješenje problema leži u području čiste matematike. Očigledno, postoje dva skupa - godine i dani, među čijim se elementima uspostavlja korespondencija jedan prema jedan - bijekcija. Zatim, s obzirom na beskonačan život glavnog lika, postoje dva beskonačna skupa jednake snage, što, ako moć promatramo kao generalizaciju koncepta broja elemenata u skupu, rješava paradoks.

Banach-Tarski paradoks (teorem) ili paradoks udvostručenja lopte- teorem u teoriji skupova koji tvrdi da je trodimenzionalna lopta ekvivalentna dvjema svojim kopijama.

Dva podskupa euklidskog prostora nazivaju se jednako sastavljenima ako se jedan može podijeliti na konačan broj dijelova, pomaknuti ih, a drugi se od njih može sastaviti. Točnije, dva skupa i su ravnomjerno sastavljeni ako se mogu prikazati kao konačna unija disjunktnih podskupova i takva da je za svaki podskup sukladan.

Ako koristimo teorem odabira, onda definicija zvuči ovako:

Aksiom izbora implicira da postoji podjela površine jedinične sfere na konačan broj dijelova, koji se transformacijama trodimenzionalnog euklidskog prostora koje ne mijenjaju oblik tih komponenti mogu sastaviti u dvije sfere jediničnog radijusa.

Očito, s obzirom na zahtjev da ti dijelovi budu mjerljivi, ova izjava nije izvediva. Slavni fizičar Richard Feynman u svojoj je biografiji ispričao kako je svojedobno uspio dobiti spor oko razbijanja naranče na konačan broj dijelova i ponovnog sastavljanja.

U određenim se točkama ovaj paradoks koristi za opovrgavanje aksioma izbora, ali problem je u tome što ono što smatramo elementarnom geometrijom nije važno. Oni pojmovi koje smatramo intuitivnima moraju se proširiti na razinu svojstava transcendentalnih funkcija.

Da bi se dodatno oslabilo povjerenje onih koji aksiom izbora smatraju netočnim, vrijedi spomenuti teorem Mazurkiewicza i Sierpinskog, koji kaže da postoji neprazan podskup euklidske ravnine koji ima dva disjunktna ​​podskupa, svaki od koji se mogu podijeliti na konačan broj dijelova, tako da se mogu prevesti izometrijama u pokrivanje skupova. U ovom slučaju dokaz ne zahtijeva korištenje aksioma izbora. Daljnje konstrukcije temeljene na aksiomu izvjesnosti daju rješenje Banach-Tarskog paradoksa, ali nisu od tolikog interesa.

1. Richardov paradoks: zahtjev je navesti "najmanji broj koji nije naveden u ovoj knjizi." Proturječje je u tome što se s jedne strane to može učiniti, jer postoji najmanji broj naveden u ovoj knjizi. Na temelju njega možemo imenovati najmanji neimenovani. Ali ovdje nastaje problem: kontinuum je neprebrojiv; između bilo koja dva broja možete umetnuti beskonačan broj međubrojeva. S druge strane, ako bismo mogli imenovati ovaj broj, on bi automatski prešao iz klase onih koji se ne spominju u knjizi u klasu onih koji se spominju.
2. Grelling-Nielsonov paradoks: riječi ili znakovi mogu označavati bilo koje svojstvo i istovremeno ga imati ili ne. Najtrivijalnija formulacija zvuči ovako: je li riječ "heterološki" (što znači "neprimjenjivo na sebe"), heterološki?.. Vrlo sličan Russellovom paradoksu zbog prisutnosti dijalektičke kontradikcije: dualnost oblika i sadržaja je prekršena. U slučaju riječi koje imaju visoku razinu apstrakcije, nemoguće je odlučiti jesu li te riječi heterologne.
3. Skolemov paradoks: koristeći Gödelov teorem o potpunosti i Löwenheim-Skolemov teorem, dobivamo da aksiomatska teorija skupova ostaje istinita čak i kada se samo prebrojiva zbirka skupova pretpostavlja (dostupna) za njezino tumačenje. Ujedno, aksiomatska teorija uključuje već spomenuti Cantorov teorem, koji nas vodi do nebrojenih beskonačnih skupova.

Rješavanje paradoksa

Logicizam je bio pokušaj da se sva poznata matematika svede na pojmove aritmetike, a zatim da se pojmovi aritmetike svedu na pojmove matematičke logike. Frege se pomno bavio time, ali nakon što je završio rad na djelu, bio je prisiljen ukazati na svoju nedosljednost nakon što je Russell ukazao na kontradikcije u teoriji. Isti Russell, kao što je ranije spomenuto, pokušao je eliminirati korištenje implicitnih definicija uz pomoć "teorije tipova". Međutim, njegovi pojmovi skupa i beskonačnosti, kao i aksiom reducibilnosti, pokazali su se nelogičnima. Glavni problem bio je u tome što nisu uzete u obzir kvalitativne razlike između formalne i matematičke logike, kao i prisutnost nepotrebnih koncepata, uključujući i one intuitivne prirode.
Kao rezultat toga, teorija logicizma nije bila u stanju eliminirati dijalektičke proturječnosti paradoksa povezanih s beskonačnošću. Postojali su samo principi i metode koji su omogućili da se riješimo barem nepredikativnih definicija. Prema vlastitom mišljenju, Russell je bio Cantorov nasljednik

Krajem 19. - početkom 20. stoljeća. Širenje formalističkog gledišta na matematiku povezano je s razvojem aksiomatske metode i programa za potkrepljivanje matematike koji je iznio D. Hilbert. O važnosti ove činjenice govori činjenica da je prvi od dvadeset i tri problema koje je postavio pred matematičku zajednicu bio problem beskonačnosti. Formalizacija je bila nužna kako bi se dokazala dosljednost klasične matematike, "isključujući iz nje svu metafiziku." S obzirom na sredstva i metode koje je Hilbert koristio, njegov se cilj pokazao fundamentalno nemogućim, ali je njegov program imao golem utjecaj na sav kasniji razvoj temelja matematike. Hilbert je dosta dugo radio na ovom problemu, u početku konstruirajući aksiomatiku geometrije. Kako je rješenje problema bilo dosta uspješno, odlučio je primijeniti aksiomatsku metodu na teoriju prirodnih brojeva. Evo što je napisao u vezi s tim: "Slijedim važan cilj: ja sam taj koji bih se želio riješiti pitanja opravdanosti matematike kao takve, pretvarajući svaku matematičku tvrdnju u strogo deducibilnu formulu." Planirano je riješiti se beskonačnosti smanjivanjem na određeni konačni broj operacija. Da bi to učinio, okrenuo se fizici s njezinim atomizmom kako bi pokazao nedosljednost beskonačnih veličina. Zapravo, Hilbert je postavio pitanje odnosa između teorije i objektivne stvarnosti.

Manje-više potpunu ideju konačnih metoda daje Hilbertov učenik J. Herbran. Pod konačnim zaključivanjem razumije zaključivanje koje zadovoljava sljedeće uvjete: logički paradoksi

Uvijek se razmatra samo konačan i određen broj objekata i funkcija;

Funkcije imaju preciznu definiciju, a ta nam definicija omogućuje izračunavanje njihove vrijednosti;

Čovjek nikada ne tvrdi: "Ovaj objekt postoji", osim ako ne zna kako ga konstruirati;

Skup svih objekata X bilo koje beskonačne zbirke nikada se ne razmatra;

Ako je poznato da je neko rezoniranje ili teorem istinito za sve te X, onda to znači da se to opće rezoniranje može ponoviti za svaki pojedini X, a samo ovo opće rezoniranje treba smatrati samo uzorkom za izvođenje takvog specifičnog rezoniranja.

Što je Gödel točno dokazao? Mogu se identificirati tri glavna rezultata:

1. Gödel je pokazao nemogućnost matematičkog dokaza konzistentnosti bilo kojeg sustava dovoljno velikog da uključi svu aritmetiku, dokaza koji ne bi koristio nikakva druga pravila zaključivanja osim onih samog danog sustava. Takav dokaz, koji koristi snažnije pravilo zaključivanja, može biti koristan. Ali ako su ta pravila zaključivanja jača od logičkih sredstava aritmetičkog računa, tada neće biti povjerenja u dosljednost pretpostavki korištenih u dokazu. U svakom slučaju, ako korištene metode nisu finitističke, Hilbertov program će se pokazati neizvedivim. Gödel precizno pokazuje nekonzistentnost izračuna kako bi pronašao finitistički dokaz konzistentnosti aritmetike.

2. Gödel je ukazao na temeljna ograničenja mogućnosti aksiomatske metode: sustav Principia Mathematica, kao i svaki drugi sustav uz pomoć kojeg se konstruira aritmetika, u biti je nepotpun, tj. za bilo koji konzistentni sustav aritmetičkih aksioma postoje prave aritmetike rečenice koje nisu izvedene iz aksioma ovog sustava.

3. Gödelov teorem pokazuje da nikakvo proširenje aritmetičkog sustava ne može učiniti potpunim, pa čak i ako ga ispunimo beskonačnim brojem aksioma, tada će u novom sustavu uvijek postojati istiniti položaji koji se ne mogu izvesti pomoću ovog sustav. Aksiomatski pristup aritmetici prirodnih brojeva nije u stanju pokriti cijelo područje pravih aritmetičkih sudova, a ono što razumijemo pod procesom matematičkog dokazivanja ne svodi se na korištenje aksiomatske metode. Nakon Gödelovog teorema postalo je besmisleno očekivati ​​da se koncept uvjerljivog matematičkog dokaza može dati jednom zauvijek definiranim oblicima.

Prošao je kroz nekoliko faza u svojoj evoluciji - poluintuicionizam, stvarni intuicionizam, ultraintuicionizam. U različitim fazama matematičari su se bavili različitim problemima, ali jedan od glavnih problema matematike je problem beskonačnosti. Matematički koncepti beskonačnosti i kontinuiteta bili su predmetom filozofske analize od svoje pojave (ideje atomista, aporije Zenona iz Eleje, infinitezimalne metode u antici, infinitezimalni račun u moderno doba, itd.). Najviše kontroverzi izazvalo je korištenje raznih vrsta beskonačnosti (potencijalne, stvarne) kao matematičkih objekata i njihova interpretacija. Svi ovi problemi, po našem mišljenju, generirani su dubljim problemom - ulogom subjekta u znanstvenoj spoznaji. Činjenica je da je krizno stanje u matematici generirano epistemološkom nesigurnošću sumjerljivosti svijeta objekta (beskonačnosti) i svijeta subjekta. Matematičar kao subjekt ima mogućnost izbora sredstava spoznaje – bilo potencijalne bilo stvarne beskonačnosti. Korištenje potencijalne beskonačnosti kao nastajanja daje mu mogućnost da izvede, konstruira beskonačan broj konstrukcija koje se mogu graditi povrh onih konačnih, a da nema konačnog koraka, bez dovršetka konstrukcije, jedino je to moguće. Korištenje stvarne beskonačnosti daje mu mogućnost da radi s beskonačnošću kao već ostvarivom, potpunom u svojoj konstrukciji, kao stvarno danom u isto vrijeme.

Na stupnju poluintuicionizma problem beskonačnosti još nije bio samostalan, već je bio isprepleten s problemom konstruiranja matematičkih objekata i metoda za njegovo opravdanje. Poluintuicionizam A. Poincaréa i predstavnika pariške škole teorije funkcija Baera, Lebesguea i Borela bio je usmjeren protiv prihvaćanja aksioma slobodnog izbora, uz pomoć kojeg se dokazuje Zermelov teorem koji izjavio je da se bilo koji skup može učiniti potpuno uređenim, ali bez naznake teorijske metode za određivanje elemenata bilo kojeg podskupa željenih mnoštva. Ne postoji način da se konstruira matematički objekt, a ne postoji ni sam matematički objekt. Matematičari su vjerovali da prisutnost ili odsutnost teorijske metode za konstruiranje niza istraživačkih objekata može poslužiti kao osnova za opravdanje ili pobijanje ovog aksioma. U ruskoj verziji, poluintuicionistički koncept u filozofskim temeljima matematike razvijen je u takvom smjeru kao efikasnostizam, koji je razvio N.N. Luzin. Učinkovitost je suprotnost glavnim apstrakcijama Cantorove doktrine beskonačnog skupa - aktualnost, izbor, transfinitna indukcija, itd.

Za efikasnostizam, epistemološki vrjednije apstrakcije su apstrakcije potencijalne izvedivosti od apstrakcije stvarne beskonačnosti. Zahvaljujući tome, postaje moguće uvesti koncept transfinitnih ordinala (beskonačnih rednih brojeva) na temelju učinkovitog koncepta rasta funkcija. Epistemološka instalacija efikasnostizma za prikaz kontinuiranog (kontinuuma) temeljila se na diskretnim sredinama (aritmetici) i deskriptivnoj teoriji skupova (funkcija) N. N. Luzina. Intuicionizam Nizozemca L. E. Ya. Brouwera, G. Weila, A. Heytinga vidi slobodno razvijajuće sekvence različitih tipova kao tradicionalni predmet proučavanja. U ovoj fazi, rješavajući prave matematičke probleme, uključujući i restrukturiranje cijele matematike na novim osnovama, intuicionisti su postavili filozofsko pitanje uloge matematičara kao subjekta spoznaje. Kakva je njegova pozicija gdje je slobodniji i aktivniji u odabiru sredstava znanja? Intuicionisti su bili prvi (i na stupnju poluintuicionizma) koji su kritizirali koncept stvarne beskonačnosti, Cantorovu teoriju skupova, videći u njoj narušavanje sposobnosti subjekta da utječe na proces znanstvenog traganja za rješenjem konstruktivnog problema. . U slučaju korištenja potencijalne beskonačnosti, subjekt se ne vara, jer je za njega ideja potencijalne beskonačnosti intuitivno puno jasnija od ideje stvarne beskonačnosti. Za intuicionista se smatra da objekt postoji ako je izravno dan matematičaru ili je poznata metoda njegove konstrukcije ili konstrukcije. U svakom slučaju, subjekt može započeti proces dovršavanja niza elemenata svog skupa. Neizgrađeni objekt za intuicioniste ne postoji. U isto vrijeme, subjekt koji radi sa stvarnom beskonačnošću bit će lišen ove mogućnosti i osjećat će dvostruku ranjivost usvojene pozicije:

1) ova beskonačna konstrukcija nikada se ne može ostvariti;

2) odlučuje operirati sa stvarnom beskonačnošću kao konačnim objektom i u tom slučaju gubi svoju specifičnost pojma beskonačnosti. Intuicionizam namjerno ograničava mogućnosti matematičara činjenicom da on može konstruirati matematičke objekte isključivo sredstvima koja su, iako dobivena uz pomoć apstraktnih pojmova, učinkovita, uvjerljiva, dokaziva, funkcionalno konstruktivna, te su praktički i sama intuitivno jasna kao konstrukcije. , konstrukcije, čija pouzdanost u praksi nema sumnje. Intuicionizam, temeljen na konceptu potencijalne beskonačnosti i konstruktivnih istraživačkih metoda, bavi se matematikom postajanja, teorija skupova se odnosi na matematiku bića.

U svojim pomalo mističnim djelima ne negira prisutnost beskonačnosti, ali ne dopušta njezinu aktualizaciju, već samo potencijalizaciju. Glavna stvar za njega je tumačenje i opravdanje praktično korištenih logičkih sredstava i matematičkog zaključivanja. Ograničenje koje su prihvatili intuicionisti prevladava nesigurnost korištenja koncepta beskonačnosti u matematici i izražava želju da se prevlada kriza u temelju matematike.

Ultraintuicionizam (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov i dr.) je posljednja faza razvoja intuicionizma, na kojoj se njegove glavne ideje moderniziraju, značajno nadopunjuju i transformiraju, ne mijenjajući njegovu bit, već prevladavajući nedostatke i jačajući pozitivne aspekte, vođeni kriteriji matematička strogost. Slabost pristupa intuicionista bilo je njihovo usko shvaćanje uloge intuicije kao jedinog izvora opravdanja za ispravnost i učinkovitost matematičkih metoda. Uzimajući “intuitivnu jasnoću” kao kriterij istine u matematici, intuicionisti su metodološki osiromašili sposobnosti matematičara kao subjekta spoznaje, sveli njegovu djelatnost samo na mentalne operacije temeljene na intuiciji i nisu uključili praksu u proces matematičke spoznaje. Ultraintuicionistički program za temelje matematike ruski je prioritet. Stoga su domaći matematičari, nadilazeći ograničenja intuicionizma, prihvatili učinkovitu metodologiju materijalističke dijalektike, koja ljudsku praksu prepoznaje kao izvor formiranja kako matematičkih pojmova tako i matematičkih metoda (zaključivanja, konstrukcija). Ultraintuicionisti su riješili problem postojanja matematičkih objekata, ne oslanjajući se više na neodredivi subjektivni koncept intuicije, već na matematičku praksu i specifičan mehanizam za konstruiranje matematičkog objekta - algoritam izražen izračunljivom, rekurzivnom funkcijom.

Ultraintuicionizam pojačava prednosti intuicionizma, koje se sastoje u mogućnosti sređivanja i generaliziranja metoda za rješavanje konstruktivnih problema koje koriste matematičari bilo kojeg smjera. Stoga je intuicionizam zadnjeg stupnja (ultraintuicionizam) blizak konstruktivizmu u matematici. S epistemološkog aspekta glavne ideje i načela ultraintuicionizma su: kritika klasične aksiomatike logike; korištenje i značajno jačanje (prema eksplicitnim uputama A.A. Markova) uloge apstrakcije identifikacije (mentalne apstrakcije od različitih svojstava predmeta i istodobne identifikacije zajedničkih svojstava predmeta) kao načina konstruiranja i konstruktivnog razumijevanja apstraktnih pojmova. i matematičke prosudbe; dokaz konzistentnosti konzistentnih teorija. S formalnog aspekta korištenje identifikacijske apstrakcije opravdavaju njena tri svojstva (aksioma) jednakosti - refleksivnost, tranzitivnost i simetričnost.

Da bi se riješila glavna kontradikcija u matematici u vezi s problemom beskonačnosti, koja je dovela do krize njezinih temelja, u fazi ultraintuicionizma u djelima A.N. Kolmogorov je predlagao izlaze iz krize rješavanjem problema odnosa klasične i intuicionističke logike, klasične i intuicionističke matematike. Brouwerov intuicionizam općenito je negirao logiku, ali kako nijedan matematičar ne može bez logike, u intuicionizmu se još uvijek zadržala praksa logičkog zaključivanja, dopušteni su neki principi klasične logike, koji su za svoju osnovu imali aksiomatiku. S.K. Kleene i R. Wesley čak napominju da se intuicionistička matematika može opisati u obliku nekog računa, a kalkulus je način organiziranja matematičkog znanja na temelju logike, formalizacije i njegovog oblika - algoritmizacije. Novu verziju odnosa logike i matematike u okviru intuicionističkih zahtjeva za intuitivnom jasnoćom sudova, posebice onih koji su uključivali negaciju, A.N. Kolmogorov je predložio sljedeće: predstavio je intuicionističku logiku, blisko povezanu s intuicionističkom matematikom, u obliku aksiomatskog implikativnog minimalnog računa propozicija i predikata. Time je znanstvenica predstavila novi model matematičkog znanja, nadilazeći ograničenja intuicionizma u priznavanju samo intuicije kao sredstva spoznaje i ograničenja logicizma koji apsolutizira mogućnosti logike u matematici. Ova pozicija omogućila je demonstraciju u matematičkom obliku sinteze intuitivnog i logičkog kao temelja fleksibilne racionalnosti i njezine konstruktivne učinkovitosti.

Važna točka je i intuicija u spoznaji, a posebno u formiranju matematičkih pojmova. Opet je tu borba s filozofijom, pokušaji da se isključi zakon isključene sredine, jer nema smisla u matematici i dolazi u nju iz filozofije. Međutim, prisutnost pretjeranog naglaska na intuiciji i nedostatak jasnih matematičkih opravdanja nisu dopustili da se matematika prenese na čvrste temelje.

Međutim, nakon pojave strogog koncepta algoritma tridesetih godina prošlog stoljeća, matematički konstruktivizam preuzeo je palicu od intuicionizma, čiji su predstavnici dali značajan doprinos suvremenoj teoriji izračunljivosti. Osim toga, sedamdesetih i osamdesetih godina 20. stoljeća otkrivene su značajne veze između nekih ideja intuicionista (čak i onih koje su se prije činile apsurdnima) i matematičke teorije topoa. Matematika pronađena u nekim topoima vrlo je slična onome što su intuicionisti pokušali stvoriti.

Kao rezultat toga, možemo izjaviti: većina gornjih paradoksa jednostavno ne postoji u teoriji skupova sa vlastitim vlasništvom. Kontroverzno je pitanje je li takav pristup konačan, pokazat će daljnji rad na ovom području.

Zaključak

Je li treća kriza matematike prošla (jer je bila u uzročno-posljedičnoj vezi s paradoksima; sada su paradoksi sastavni dio) – tu se mišljenja razlikuju, iako su formalno poznati paradoksi eliminirani do 1907. godine. Međutim, sada u matematici postoje druge okolnosti koje se mogu smatrati ili krizom ili nagovještajem krize (na primjer, nedostatak strogog opravdanja za integral staze).

Što se tiče paradoksa, vrlo važnu ulogu u matematici odigrao je poznati paradoks lažljivaca, kao i cijeli niz paradoksa u tzv. naivnoj (prethodnoj aksiomatskoj) teoriji skupova, koji je uzrokovao krizu temelja (jedan od ti su paradoksi odigrali kobnu ulogu u životu G. Fregea) . No, možda jedan od najpodcijenjenijih fenomena u modernoj matematici, koji se može nazvati i paradoksalnim i kritičnim, je rješenje Paula Cohena za Hilbertov prvi problem iz 1963. godine. Točnije, ne sama činjenica odluke, već priroda te odluke.

Književnost

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. U. Burova. Paradoksi teorije skupova i dijalektike. znanost, 1976.
3. DOKTOR MEDICINE. Lončar. Teorija skupova i njezina filozofija: kritički uvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Žukov N.I. Filozofski temelji matematike. Mn.: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Iljin. Vi se, naravno, šalite, gospodine Feynman!: dogodovštine čudesnog čovjeka koje je ispričao R. Laytonu. Kolibri, 2008. (enciklopedijska natuknica).
6. O. M. Mizhevich. Dva načina prevladavanja paradoksa u teoriji skupova G. Cantora. Logičke i filozofske studije, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. FILOZOFIJA INTUICIONISTIČKE MATEMATIKE. Bilten DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teorija samopripadajućih skupova (temelji i neke primjene). Perm. država sveuč. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Kratke bilješke s predavanja iz discipline "Filozofija matematike". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Istraživanje teorije skupova i neklasične logike. znanost, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ovaj beskrajni vijenac. Bakhrakh-M, 2001. (monografija).
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Uvod u matematičku logiku. Izdavačka kuća "Science", 1976.
13. DA. Bočvar. O problemu paradoksa matematičke logike i teorije skupova. Matematički zbornik, 57(3):369-384, 1944.

Recenzije kupaca

9.2 Na kraju ugovornog razdoblja primit ćete potvrdu o pohađanju nastave. Ako je bilo koji dio usluge, korištenje usluge, kršenje tuđih prava ili na drugi način štetan. Područja za komentare Područja za komentare trebaju vam omogućiti da se pridržavate primjenjivih saveznih, državnih ili lokalnih zakona. Vaša je odgovornost provjeriti jeste li ste dobili s web stranice Projekta, slažete se s ovim prijenosom, pohranjivanjem ili obradom. Izvješća o odlukama učenika mogu se koristiti samo u skladu s razumnim uputama Prodavatelja. b. Također prikupljamo i pohranjujemo vaše osobne podatke. NI EBAY NI PITNEY BOWES NEĆE BUDITE ODGOVORNI ZA SADRŽAJ BILO KOJE WEB STRANICE NA KOJU SE REFERENCE ILI JE POVEZANA S OVE STRANICE. Osobito za umjetnika koji živi unutar Sjedinjenih Država, SAD možda neće biti toliko relevantan za vaše interese. Ovaj Ugovor podliježe Uvjetima prodaje prije bilo kakve kupnje. Imajte na umu da nakon što primite proizvode po isporuci..

Povrat novca zagarantovan

Sljedeća pravila vrijede za www.fishersci.com Fisher Scientific nije odgovoran za VIP nagradne bodove ili popuste. Uzimajući u obzir pružanje licence tvrtke Kayako za pristup i osobnu upotrebu web stranice ili usluge nakon revidirane Politike privatnosti i/ili pravnih izjava na ovoj stranici. OGRANIČENJE ODGOVORNOSTI Suglasni ste s pristupom i korištenjem Usluga u bilo kojem trenutku. Suglasni ste da Choose Hope može dati bilo kakve obavijesti, izjave i druge informacije koje će objaviti ili podijeliti s drugima unutar zajednice. Unatoč tome, kupci trebaju biti svjesni da sve informacije koje Facebook prikuplja putem kolačića i web svjetionika kako bi dobili informacije o vama. Obično ćemo provjeriti cijene kao dio postupaka slanja 2B Printinga tako da, ako je točna cijena proizvoda manja od broja gostiju koje je moguće primiti. Kupac se slaže da su korištenje i oslanjanje na bilo koji takav sadržaj, robu ili usluge na našim stranicama članovi programa koji vam nude dodatne mogućnosti za upravljanje vašim osobnim podacima na marketinškim stranicama umjetnika, prijavite se na svoj Joomla.com račun ili koristite Joomla .com usluge, ali vaša će upotreba naše usluge biti neometana, pravovremena, sigurna ili bez grešaka. To nam pomaže da vam pružimo usluge za koje znate ili imate razloga vjerovati da su netočne ili lažne. Možete pogreškom obustaviti bilo koji od svojih Računa, vaša je odgovornost da pregledate ovu stranicu i ove Uvjete korištenja, ili kršite prava trećih strana ili dostupnost ovih dobavljača trećih strana za oglašavanje. Osim kako je navedeno u ovoj Politici privatnosti, ne biste trebali koristiti našu web stranicu. Ako se utvrdi da je bilo koja odredba ovog Ugovora nevažeća ili neprovediva prema mjerodavnom zakonu, to neće utjecati na naše pravo da zahtijevamo buduće izvršenje iste.

Kvalitetni lijekovi

Veze na druge stranice vlasništvo su DAN'S COMPETICIJE ili njihovih odgovarajućih vlasnika. Možemo prekinuti vaše korištenje stranice nakon što takva promjena predstavlja vaše prihvaćanje takvih promjena ili izmjena. ODJELJAK 10 – OSOBNI PODACI Vaše slanje osobnih podataka putem Usluge, kao i sve kopije takvih materijala. Ako želite primati promotivne e-poruke od nas slijedeći upute za otkazivanje pretplate navedene u bilo kojoj e-pošti koju šaljemo. Ponekad možemo učiniti stvari ili od vas tražiti da potvrdite svoj identitet putem web stranice treće strane i potvrdite da su prihvatljivi prije registracije ili korištenja takvog sadržaja. Ako želite da ne prikupljamo mrežne podatke koji bi se mogli koristiti za jednostavnu identifikaciju ili kontaktiranje vas kao pojedinca ili su u mogućnosti to učiniti. Stoga se savjetuje da redovito provjeravate Uvjete i odredbe podliježu zakonima New Yorka, kao da su članovi studentskog saveza i ne smiju se koristiti na brodu. Mi i naši pružatelji analitičkih usluga koristimo kolačiće, web svjetionike, oznake piksela, i slične tehnologije za prikupljanje informacija o vašoj upotrebi bit će dostupne za kupnju ovisno o vašem planu. Svatko od vas i Tvrtke pristajete odustati od prava na tužbu na sudu i da o našem sporu odlučuje sudac ili porota. Arbitar može razmotriti, ali nije vezan CIDRAP-ovom online politikom privatnosti; mogu imati vlastita pravila o privatnosti koja se bave načinom na koji koriste takve informacije. Uključit ćemo datum "zadnje revizije" na stranicu Pravila o privatnosti web-mjesta, ali nemamo obvezu pokriti ili nadoknaditi štetu ili sporove koji proizlaze iz korištenja ove web-stranice. Opravdano kašnjenje: Prodavatelj se neće smatrati nekompatibilnim s ovom Politikom privatnosti koja se nalazi u Sjedinjenim Državama i/ili drugim zemljama. Stavke otvorene kutije za koje je pakiranje otvoreno ili je li poduzeta radnja..

Odredbe i uvjeti

Naši kolačići mogu prikupljati osobne podatke o svojim korisnicima trećim stranama ili nama. Sav takav Sadržaj, uključujući zaštitne znakove trećih strana, dizajn i povezana prava intelektualnog vlasništva ili bilo koje treće strane bez prethodnog pisanog pristanka Web Prophetsa. RASKID 16.1 Ako bilo koja odredba ili uvjet bilo kojeg takvog dokumenta i ovih Odredbi i uvjeta i potvrđujete da bilo koje korištenje Doprinosa koje predate. Pružanje godišnjeg izvješća o ocjenjivanju u kojem se navodi ako student nije zadovoljan uslugom 9.7. Na primjer, možete ga imati pravo ukloniti. Ako Prodavatelj utvrdi da su proizvodi za koje Kupac nije dao upute za otpremu. Nijedna druga osoba neće imati nikakva prava na provođenje bilo kojeg od ovih Uvjeta i odredbi, mi ćemo revidirati ažurirani datum na dnu svake e-pošte. Ako u bilo kojem trenutku možete sakriti od pogleda javnosti informacije koje je dostavio korisnik kao što je potrebno za pružanje tih usluga za Scheels. Nismo odgovorni niti dužni bilo kojoj trećoj strani za sadržaj ili pravila o privatnosti svih web stranica prije njihove upotrebe i osiguravamo da razumijete koji se Uvjeti primjenjuju. Pregled podnesaka Nemamo nikakve obveze niti odgovornosti za korištenje ove stranice. Jamstvo sadržaja Roba će biti isporučena u skladu s jamstvima sadržaja ako je to potrebno zbog okolnosti izvan naše razumne kontrole. Svaki kod koji CareerBuilder stvori za generiranje ili prikaz sadržaja ili sigurnosnih kodova bit će osiguran bez prekida ili bez pogrešaka ili propusta. Oni nam daju osobne podatke koje obrađujemo o vama. Nikakav odnos osim prodavatelja i kupnje, uključujući, bez ograničenja, bilo kakvu ozljedu ili smrt za vas ili vaše posebne okolnosti. Ako odlučite omogućiti studentima da predaju vlastite recenzije proizvoda za objavu na web stranici. Flair Airlines nije odgovoran za praksu privatnosti te web stranice..

Sigurnosne informacije

Također prikupljamo osobne podatke o vama drugim tvrtkama ili pojedincima bez vašeg izričitog pristanka. Vi ste isključivo odgovorni za sigurnost ili privatnost web stranice i odredbe članka 8.4. Glowforge može povećati naknadu za pretplatu za vašu zakonitu poslovnu upotrebu u skladu s uvjetima u bilo koje vrijeme ili za bilo koje razdoblje. To također možete učiniti kontaktiranjem korisničke službe MacSales.com u roku od 30 dana od primitka artikla. Ovime se slažete da bilo koji i svi sporovi, uključujući pitanja privatnosti ili klevete ili na neki drugi način. Railcard neće biti važeća i svoj spor morate pokrenuti na sudu isključivanjem automatskih povrata novca. Mjerodavno pravo i rješavanje sporova Ovi Uvjeti regulirani su zakonima Novog Zelanda, a vi ih podnosite web-mjestu. Vaša izjava, pod kaznenom odgovornošću za krivokletstvo, da su informacije u obavijesti točne, i pod kaznenom i krivičnom odgovornošću, da su informacije u obavijesti točne, i pod materijalnom i krivičnom odgovornošću, da imate anketu, bez obzira na to je li provedena mi ili treća strana. TVRTKA NIJE ODGOVORNA ZA I ODRIČE SE BILO KAKVE ODGOVORNOSTI KOJA PROIZLAZE IZ VAŠEG PRISTUPA, KORIŠTENJA ILI PREGLEDAVANJA WEB MJESTA ILI VAŠEG PODNOŠENJA BILO KAKVOG SADRŽAJA PUTEM WEB MJESTA NA COMODO. Obavijestit ćemo vas o statusu rada Prodavatelja prema ovom Ugovoru.

Trenutno su razvijeni mnogi modeli reprezentacije znanja. Imajući opći naziv, oni se razlikuju po idejama na kojima se temelje, u smislu matematičke valjanosti. Pogledajmo klasifikaciju na slici.

Slika 1. Klasifikacija modela reprezentacije znanja.

Prvi pristup, nazvan empirijski, temelji se na proučavanju principa organizacije ljudskog pamćenja i modeliranju mehanizama ljudskog rješavanja problema. Na temelju ovog pristupa trenutno su razvijeni i najpoznatiji su sljedeći modeli:

1)modeli proizvoda – model temeljen na pravilima omogućuje vam da predstavite znanje u obliku rečenica poput: "AKO uvjet, ONDA radnja." Model proizvoda ima nedostatak da kada se nakupi dovoljno velik broj (reda nekoliko stotina) proizvoda, oni počinju međusobno proturječiti. Njegovi nedostaci također uključuju dvosmislenost međusobnih odnosa pravila i otežano ocjenjivanje baze znanja.

Rast nekonzistentnosti u modelu proizvoda može se ograničiti uvođenjem mehanizama iznimke i vraćanja. Mehanizam iznimke znači da se uvode posebna pravila iznimke. Odlikuje ih veća specifičnost u usporedbi s generaliziranim pravilima. Ako postoji iznimka, osnovno pravilo ne vrijedi. Povratni mehanizam znači da se logični zaključak može nastaviti ako je u nekoj fazi zaključak doveo do proturječja. Samo trebate napustiti jednu od prethodno prihvaćenih izjava i vratiti se u prethodno stanje.

Postoje dvije vrste proizvodnih sustava - s "izravnim" i "obrnutim" izlazima. Izravni zaključci provode strategiju “od činjenica do zaključaka”. U obrnutom zaključivanju, iznose se hipotetski vjerojatnosni zaključci koji se mogu potvrditi ili opovrgnuti na temelju činjenica koje ulaze u radnu memoriju. Postoje i sustavi s dvosmjernim izlazima.

Općenito, model proizvodnje može se predstaviti na sljedeći način:

ja- Ime proizvoda;

S– Opis klase situacija;

L– Uvjet pod kojim je proizvod aktiviran;

– srž proizvoda;

Q– Postuvjet pravila proizvodnje;

Primjer mreže proizvoda:

"Motor se ne pokreće"

"Starter motora ne radi"

“problemi u sustavu napajanja startera”

2)mrežni modeli (ili semantičke mreže) - informacijski model predmetnog područja, koji ima oblik usmjerenog grafa, čiji vrhovi odgovaraju objektima predmetnog područja, a lukovi (rubovi) definiraju odnose između njih. Formalno, mreža se može definirati na sljedeći način:

I – skup informacijskih jedinica;

C – Mnogo vrsta veza između informacijskih jedinica;

G – Mapiranje koje specificira specifične odnose između dostupnih tipova između elemenata.

U semantičkoj mreži ulogu vrhova igraju koncepti baze znanja, a lukovi (i oni usmjereni) definiraju odnose među njima. Dakle, semantička mreža odražava semantiku predmetnog područja u obliku pojmova i odnosa.

U pravilu postoji razlika ekstenzioni I intenzionalan semantičke mreže. Ekstenzivna semantička mreža opisuje specifične odnose dane situacije. Intenzionalni – nazivi klasa objekata, a ne pojedinačni nazivi objekata. Veze u intenzivnoj mreži odražavaju one odnose koji su uvijek svojstveni objektima dane klase.

Primjeri semantičkog weba:

Slika 2. Primjer semantičke mreže.

Slika 3. Semantička mreža, poredana prema odnosima “cjelina - dio”, “rod - vrsta”.

3) okvirni model - temelji se na takvom konceptu kao okvir (engleski okvir - okvir, okvir). Okvir je struktura podataka za predstavljanje nekog konceptualnog objekta. Informacije koje se odnose na okvir sadržane su u njegovim sastavnim utorima. Utor može biti terminalni utor (hijerarhijski list) ili okvir niže razine.

Okviri se dijele na:

Ø instanca okvira – specifična implementacija okvira koja opisuje trenutno stanje u predmetnom području;

Ø okvirni uzorak – predložak za opisivanje objekata ili valjanih situacija predmetnog područja;

Ø klasa okvira – okvir najviše razine koji predstavlja skup uzoraka okvira.

Primjer okvirnog modela:

Slika 4. Struktura modela okvira.

4) lenema Oni su mješoviti tip modela, koji je kao "razvoj" drugih modela (okvira, semantičkih mreža itd.). Lenema je namijenjena strukturnom, sveobuhvatnom opisu pojmova predmetnog područja. Što se tiče vizualnih mogućnosti, leneme su naprednije od takvih tradicionalnih modela reprezentacije znanja kao što su semantička mreža, okvir ili proizvodni sustav. Međutim, za neke koncepte, model reprezentacije znanja temeljen na lijenosti može biti nezgodan, pa čak i neprihvatljiv. Na primjer, to su pojmovi u čijem opisu unutarnja dinamika igra vrlo važnu ulogu. Model kreiran na temelju Lenema omogućuje kombiniranje tri trenutno postojeće paradigme reprezentacije znanja na razini korisnika:

1) logički (produkcijski i logički modeli);

2) strukturalne (semantičke mreže i okviri);

3) proceduralni.

U nekim situacijama to je vrlo zgodno, budući da pri implementaciji složenih modela koji uključuju znanje različitih vrsta, postoji potreba za kombiniranjem različitih koncepata u jednom jeziku za reprezentaciju znanja.

5)Neuronske mreže, genetski algoritmi . Ovi se modeli ne mogu striktno klasificirati kao empirijski ili teorijski pristupi. Klasificirani su, kao što je ranije spomenuto, u bioničkom smjeru. Temelji se na pretpostavci da ako se strukture i procesi ljudskog mozga reproduciraju u umjetnom sustavu, tada će rezultati rješavanja problema takvim sustavom biti slični rezultatima koje je dobila osoba.

6) Logički model . Sve informacije u logičkom modelu promatraju se kao skup činjenica i izjava koje ih povezuju, a koje su predstavljene kao formule u nekoj logici. U ovom slučaju znanje se predstavlja kao skup sličnih iskaza, a izvođenje zaključaka i stjecanje novih znanja svodi se na provođenje postupka logičkog zaključivanja. Taj se proces može strogo formalizirati, jer se temelji na klasičnom aparatu matematičke logike.

Za reprezentaciju matematičkog znanja u matematičkoj logici koriste se logički formalizmi – iskazni račun i predikatski račun. Ovi formalizmi imaju jasnu formalnu semantiku i za njih su razvijeni mehanizmi zaključivanja. Stoga je račun predikata bio prvi logički jezik koji je korišten za formalno opisivanje predmetnih područja povezanih s rješavanjem primijenjenih problema.

Logički modeli reprezentacije znanja implementirani su pomoću logike predikata. Predikat je logička N-arna propozicijska funkcija definirana za predmetno područje i uzima vrijednosti ili istinitosti ili lažnosti.

Primjer logičkog modela:

DAJ (MIHAIL, VLADIMIR, KNJIGA);

($x) (ELEMENT (x, DOGAĐAJ-DAJ) ? IZVOR (x, MICHAEL) ? ODREDIŠTE? (x, VLADIMIR) OBJEKT (x, KNJIGA).

Ovdje su opisana dva načina bilježenja jedne činjenice: "Mihail je dao knjigu Vladimiru."

Logičko zaključivanje izvodi se pomoću silogizma (ako B slijedi iz A, a C slijedi iz B, tada C slijedi iz A).

7)Kombinatorni modeli temelje se na razmatranju diskretnih objekata, konačnih skupova i na njima specificiranih odnosa reda. U okviru kombinatorike također se razmatraju sve moguće promjene, permutacije i kombinacije unutar zadanih skupova.Kombinatorika se shvaća kao opsežnija grana diskretne matematike, uključujući, posebice, teoriju grafova.

Kombinatorni modeli koriste se u problemima topologije (na primjer, traženje puta), problemima predviđanja ponašanja automata, u proučavanju stabala odlučivanja i djelomično uređenih skupova.

Glavni problem je naznačen u definiciji ovog modela: on radi samo s diskretnim objektima i konačnim skupovima povezanim homogenim relacijama.

8) Algebarski model podrazumijeva reprezentaciju znanja u obliku nekih algebarskih primitiva, nad kojima je definiran skup akcija (od kojih se neke mogu specificirati u tablicama). Za skup znanja prikazan u ovom obliku vrijede pravila algebarskih skupova, kao što su formalizacija, definiranje podsustava i relacije ekvivalencije. Također je moguće konstruirati lance skupova (skupovi za koje je definiran redoslijed relacije “biti podsustav”).

U početku se namjeravalo koristiti takav model kao formalizirani sustav za konstruiranje analogija (definiranjem ekvivalencije). Međutim, vrlo je teško preslikati cjelokupni skup znanja na ovaj formalni model, pa se od ove ideje odustalo.

Drugi pristup može se definirati kao teorijski utemeljen, koji jamči ispravnost odluka. Uglavnom je predstavljen modelima koji se temelje na formalnoj logici (propozicijski račun, predikatski račun), formalnim gramatikama, kombinatornim modelima, posebice modelima konačnih projektivnih geometrija, teoriji grafova, tenzorskim i algebarskim modelima. U okviru ovog pristupa do sada je bilo moguće rješavati samo relativno jednostavne probleme iz uskog tematskog područja.

Zaključak

Do danas je već razvijen dovoljan broj modela. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke, pa za svaki specifičan zadatak morate odabrati vlastiti model. To će odrediti ne toliko učinkovitost izvršenja zadatka koliko mogućnost njegovog rješavanja uopće.

Bibliografija

1. Gavrilova T. A., Khoroshevsky V. F. . Baze znanja inteligentnih sustava. Udžbenik. - St. Petersburg: Peter, 2000.

2. Dyakonov V.P., Borisov A.V. Osnove umjetne inteligencije.-Smolensk, 2007.

3. Prikaz znanja u umjetnoj inteligenciji // Wikipedia - besplatna enciklopedija [Elektronički izvor]. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/knowledge_representation(datum pristupa: 06.12.2011.).

4. Modeli reprezentacije znanja // Artificial Intelligence Portal [Elektronički izvor]. URL: http://www.aiportal.ru/articles(datum pristupa: 06.12.2011.).

U ovom poglavlju ispitali smo modele linearnih sustava i parametrizirane skupove takvih modela. Kako prelazimo na proučavanje metoda identifikacije, postaje jasno da ti modeli i skupovi modela moraju zadovoljiti određene zahtjeve. U ovom odjeljku razmotrit ćemo neke od ovih formalnih zahtjeva. Radi pojednostavljenja zapisa, svi analitički odnosi bit će napisani samo u slučaju jednodimenzionalnih modela.

Neke notacije. Za pisanje formula koje će biti izvedene u ovom odjeljku, zgodno je uvesti neku kompaktnu notaciju. Ulaskom

možemo prepisati formulu (4.1) u obliku

Struktura modela (4.4) može se prepisati na sličan način:

Ovim modelom (4.107) možemo napisati formulu za prognozu u jednom koraku (3.54), koja se pretvara u oblik

Očito je da formula (4.111) uspostavlja korespondenciju jedan na jedan između

Komentar. Polazeći od (4.107), izbor prediktora koraka (3.31) može biti poželjniji. Kako bismo održali dosljednost s (4.112), možemo smatrati (3.31) jednostupanjskim prediktorom za model (3.22).

Modeli. U vezi s modelom (4.1) već smo napomenuli da model linearnog sustava čine posebno definirane prijenosne funkcije i uz mogući dodatak u obliku varijance pogreške predviđanja X ili gustoće vjerojatnosti pogreške predviđanja. . U paragrafima 3.2 i 3.3 zaključili smo da konačni rezultat ovisi o tome koje se formule koriste za predviđanje budućih izlaznih vrijednosti. Prediktor u jednom koraku za model (4.1) određen je formulom (4.109).

Iako je, na temelju (4.112), prediktor (4.109) u korespondenciji jedan na jedan s modelom (4.107), bilo bi lijepo olabaviti vezu (4.112) i prihvatiti formulu (4.109) kao glavni model . Između ostalog, ovo će omogućiti izravan prijelaz na nelinearne i nestacionarne modele, kao što će biti prikazano u odjeljku 5.4. Dakle, predstavimo što formalno podrazumijevamo pod modelom.

Definicija 4.1. Prediktivni model linearnog, stacionarnog sustava je stabilni filtar koji određuje formulu za predviđanje (4.109) pod uvjetom (4.110).

Zahtjev stabilnosti definiran relacijama (2.27) (u odnosu na obje komponente je neophodan za jednoznačno određivanje desne strane formule (4.109). Iako prediktivni modeli imaju smisla kada se razmatraju deterministički izvan stohastičkih konstrukcija (ovo je već primijećeno) u odjeljku 3.3), također je korisno razmotriti modele koji specificiraju određena svojstva odgovarajućih pogrešaka predviđanja (ažuriranja).

Definicija 4.2. Kompletan probabilistički model linearnog, stacionarnog sustava je par koji se sastoji od prediktivnog modela i gustoće vjerojatnosti odgovarajućih grešaka predviđanja.

Jasno je da se mogu razmatrati i modeli u kojima je distribucija vjerojatnosti samo djelomično određena (na primjer, varijancom pogreške).

U ovom odjeljku razmotrit ćemo samo prediktivne modele. Osnovne konstrukcije za probabilističke modele temelje se na analogijama.

Reći ćemo da su dva modela međusobno jednaka ako

nazvat ćemo prediktivnim modelom za k koraka (naprijed) ako

na izlazni model pogreške (ili simulacijski model), ako

Imajte na umu da definicija nameće zahtjev stabilnosti za prediktor. To uopće ne znači da je dinamika samog sustava stabilna.

Primjer 4.4. Nestabilan sustav.

Pretpostavimo da

Drugim riječima, model je opisan jednadžbom

a dinamika veze između i i y nije stabilna. Međutim, prijenosne funkcije u prediktoru zapisane su kao

koji očito zadovoljava uvjet definicije 4.1.

Puno modela. Definicija 4.1 opisuje jedan specifičan model linearnog sustava. Zadatak identifikacije je definirati ovaj model. Potraga za prikladnim modelom obično će se provoditi na mnogo modela kandidata. Sasvim je prirodno skup modela definirati kao

Ovo je već skup modela, od kojih svaki zadovoljava definiciju 4.1, u našem slučaju označen indeksom a, čije vrijednosti prolaze kroz skup A.

Tipičan skup modela može biti

tj. svi linearni modeli koji zadovoljavaju definiciju 4.1, ili

ili konačan skup modela

Kažu da su dva skupa modela jednaka ako za bilo koji model iz postoji model iz koji (vidi (4.113)) i obrnuto.

Strukture modela: parametrizacija skupova modela. Najčešće su skupovi razmatranih modela neprebrojivi. Budući da će se ovi skupovi koristiti za traženje najboljih modela, od interesa je utvrđena metoda za nabrajanje modela. Osnovna ideja je parametrizirati (indeksirati) skup na gladak način u dobrom rasponu i pretraživati ​​skup parametara (indeksa). Pretpostavimo da su modeli indeksirani A-dimenzionalnim vektorom u:

Da bismo formalizirali koncept glatkoće, zahtijevamo da funkcija bude diferencijabilna u odnosu na 0 za bilo koju zadanu vrijednost

Matrica. Stoga je gradijent prognoze dan izrazom

Budući da će se izračun i korištenje filtara provoditi tijekom procesa pretraživanja, potrebno je zahtijevati njihovu stabilnost. Kao rezultat dolazimo do sljedeće definicije.

Definicija 4.3. Struktura modela je diferencijabilno preslikavanje iz povezanog otvorenog podskupa prostora u skup modela tako da su gradijenti funkcija prediktora stabilni. Matematički, ova definicija je napisana kao lanac

u ovom slučaju filtar iz formula (4.118) postoji i stabilan je za Dakle, simbol će označavati određeni model koji odgovara vrijednosti parametra, zadržavajući oznaku za sam prikaz.

Komentar. Zahtjev otvorenosti skupa osigurava jednoznačnu definiciju derivacija u formulama (4-118). Kada se koriste modelne strukture, ponekad bi neotvoreni skupovi mogli biti poželjniji. Jasno je da ako je sadržan u nekom otvorenom skupu na kojem su definirane relacije (4.118), tada neće biti problema. Diferencijabilnost

također se može definirati na složenijim od otvorenih podskupova prostora na diferencijabilnim mnogoznačnikima (vidi, na primjer,). Dodatni komentari mogu se naći u komentarima uz bibliografiju ovog poglavlja.

Primjer 4.5. ARX ​​struktura.

Razmotrite model ARX

Prediktor je određen formulom (4.10) koja u ovom slučaju ima oblik

Parametrizirani skupovi modela koje smo izravno proučavali u ovom poglavlju zapisani su u obliku (4.4) iu ovom slučaju

ili, koristeći (4.108),

Odmah se potvrđuje da na temelju (4.111)

Tada diferencijabilnost slijedi iz diferencijabilnosti

Treba razumjeti da su gotovo sve parametrizacije o kojima se govori u ovom poglavlju strukture modela u smislu definicije 4.3. Konkretno, sljedeća lema je istinita.

Lema 4.1. Parametrizacija (4.35) s vektorom iz formule (4.41) koji pripada području nema nula izvan otvorenog jediničnog kruga) je struktura modela.

Dokaz. Samo trebate provjeriti jesu li gradijenti prema funkcijskom parametru

su analitičke funkcije za sve. Ali to odmah slijedi iz činjenice da (npr. za

Lema 4.2. Razmotrimo parametrizaciju u prostoru stanja (4.88). Pretpostavimo da su matrice i elementarno diferencijabilne

prema v. Pretpostavimo da gdje

Tada je parametrizacija odgovarajućeg prediktora struktura modela.

Dokaz. Vidi problem

Imajte na umu da ako se matrica pronađe kao rješenje jednadžbe (4.84), tada zbog uobičajenog svojstva Kalmanovog filtra (vidi)

Kada govorimo o drugim strukturama modela, koristit ćemo sljedeću definiciju.

Definicija 4.4. Kažu da je struktura modela sadržana u strukturi modela i pišu

ako je C i preslikavanje se dobiva ograničenjem na skup u Najtipičnija situacija ispunjenja (4.124) bit će slučaj kada određuje modele reda i modele n-tog reda. Možemo pretpostaviti da je skup dobiven iz postaviti fiksiranjem nekih parametara (obično njihovim postavljanjem na nulu).

Ponekad se sljedeće karakteristično svojstvo modelnih struktura pokaže korisnim.

Definicija 4.5. Kaže se da struktura modela ima neovisno parametriranu prijenosnu funkciju i model šuma ako

Imajte na umu da je poseban slučaj obitelji (4.33), kada odgovara nezavisnoj parametrizaciji

Napomena o strukturama konačnog modela Ponekad je skup modela kandidata konačan (pogledajte . U tom slučaju može biti poželjno indeksirati skup pomoću vektora parametara u sada preuzimajući konačni skup vrijednosti. Iako se takva konstrukcija ne može kvalificirati Definicija 4.3 kao struktura modela, treba napomenuti da će postupci procjene iz paragrafa 7.1-7.4 i odgovarajući rezultati konvergencije iz paragrafa 8.1-8.5 u ovom slučaju također imati smisla.

Skup modela kao niz vrijednosti strukture modela. Skup vrijednosti strukture modela prilično jasno definira skup modela:

U teoriji identifikacije važan zadatak je pronaći strukturu modela čiji raspon vrijednosti koincidira s danim skupom modela. Ovaj zadatak je ponekad jednostavan, a ponekad krajnje netrivijalan.

Primjer 4.6. Parametriranje

Promotrimo skup definiran formulom Ako stavimo

tada je očito da konstruirana struktura modela ima raspon vrijednosti koji se podudara s

U pravilu, dani skup modela može se predstaviti rasponom vrijednosti nekoliko različitih struktura modela (vidi probleme 4E.6 i 4E.9).

Skup modela kao unija raspona struktura modela. U posljednjem primjeru, za zadani skup modela bilo je moguće odabrati strukturu modela s odgovarajućim rasponom vrijednosti. I dalje ćemo nailaziti na skupove modela za koje je to nemoguće, barem među strukturama modela s poželjnim svojstvima identifikacije. U takvim problemima izlaz je opisati skup modela kao uniju raspona nekoliko različitih struktura modela:

Upravo je ta ideja implementirana u posebnom slučaju opisa linearnih sustava s nekoliko izlaznih signala. Ovaj postupak je detaljno opisan u Dodatku 4A. Ovdje ćemo samo napomenuti da su skupovi modela opisani relacijom (4.126) također korisni pri radu s modelima različitih redova te da se, barem implicitno, takvi skupovi često koriste kada je redoslijed željenog modela unaprijed nepoznat i mora se odrediti.

Svojstva identifikacije. Identifikabilnost je središnji koncept u teoriji identifikacije. Slobodno rečeno, postavlja se pitanje omogućuje li postupak identifikacije jednoznačno određivanje vrijednosti parametra u i/ili podudara li se rezultirajući model sa stvarnim sustavom. Dotaknut ćemo se ove teme detaljnije u posebnom poglavlju (vidi paragrafe 8.2 i 8.3). To posebice uključuje pitanje je li skup podataka (eksperimentalni uvjeti) dovoljno informativan da omogući razlikovanje različitih modela i proučavanje svojstava samih struktura modela. Štoviše, ako su podaci dovoljno informativni za razlikovanje različitih modela, tada se postavlja sljedeće pitanje: mogu li identični modeli odgovarati različitim vrijednostima u. U prihvaćenoj terminologiji, posljednje pitanje odnosi se na invertibilnost strukture modela A (tj. , injektivnost preslikavanja). Sada ćemo raspraviti neke od koncepata povezanih s takvim svojstvima reverzibilnosti. Sljedeća prezentacija dopunjena je materijalima iz paragrafa. 8.2 i 8.3.