???
1. Ako sa nazývajú siločiary elektrického poľa?
2. Zhoduje sa vo všetkých prípadoch trajektória nabitej častice so siločiarou?
3. Môžu sa siločiary pretínať?
4. Aká je intenzita poľa nabitej vodivej gule?

G.Ya.Myakishev, B.B.Bukhovtsev, N.N.Sotsky, fyzika 10. ročník

Ak máte opravy alebo návrhy k tejto lekcii,

Uvažujme teraz pomocou Gaussovej vety pole vytvorené rovnomerne nabitým tenkým guľovým obalom. Začnime znova uvažovaním o symetrii poľa. Je zrejmé, že pole, ako aj rozloženie nábojov, má sférickú symetriu. To znamená, že modul intenzity vektora závisí iba od vzdialenosti od stredu gule (alebo vo všetkých bodoch umiestnených v rovnakej vzdialenosti od stredu gule je modul intenzity konštantný) a smer je radiálne, od stredu gule k bodu pozorovania.
Zvoľme si ako uzavretú plochu, na ktorú aplikujeme Gaussovu vetu, guľu sústrednú s nabitým plášťom (obr. 251).

Ryža. 251
Nechajte polomer gule r väčší ako polomer plášťa. Potom vo všetkých bodoch tejto gule je vektor intenzity nasmerovaný pozdĺž normály k povrchu a jeho modul je konštantný. Preto sa tok vektora intenzity cez guľu rovná súčinu modulu intenzity a plochy gule. Ф E = E × 4πr 2. Podľa Gaussovej vety sa tento tok rovná náboju gule vydelenému elektrickou konštantou Ф E = Q/ε o. Z rovnosti týchto výrazov získame závislosť intenzity poľa od vzdialenosti

Výsledný vzorec zodpovedá vzorcu Coulombovho zákona pre bodový náboj, preto sa mimo gule pole rovnomerne nabitej gule zhoduje s poľom bodového náboja umiestneného v strede gule. Tak sme takmer automaticky získali výsledok, ktorý I. Newton niekoľko rokov dokazoval. Zdôrazňujeme, že na dokázanie vzorca (1) bolo potrebné okrem vety K. Gaussa zvážiť aj symetriu poľa.
Pole vo vnútri nabitého sférického obalu musí mať tiež sférickú symetriu. Preto tok vektora intenzity elektrického poľa cez guľu sústrednú s nabitou škrupinou a umiestnenú v nej (obr. 252)

ryža. 252
vyjadrené aj vzorcom Ф E = E × 4πr 2. Vo vnútri tejto gule však nie sú žiadne elektrické náboje, preto z vety K. Gaussa vyplýva, že intenzita poľa vo vnútri gule je nulová. Zdôrazňujeme, že ak by Gaussova veta neplatila, potom by vo vnútri rovnomerne nabitého obalu existovalo elektrické pole.
Teda funkcia popisujúca intenzitu poľa rovnomerne nabitej gule s polomerom r, má tvar (graf tejto funkcie je na obrázku 253)

ryža. 253

Nekonečná rovina nabitá hustotou povrchového náboja: na výpočet intenzity elektrického poľa vytvoreného nekonečnou rovinou vyberieme v priestore valec, ktorého os je kolmá na nabitú rovinu a základne sú s ňou rovnobežné, a jeden báz prechádza cez pre nás zaujímavé pole. Podľa Gaussovej vety sa tok vektora intenzity elektrického poľa cez uzavretý povrch rovná:

Ф=, na druhej strane je to tiež: Ф=E

Položme rovnítko medzi pravé strany rovníc:

Vyjadrime = - hustotou povrchového náboja a nájdime intenzitu elektrického poľa:

Nájdite intenzitu elektrického poľa medzi opačne nabitými doskami s rovnakou povrchovou hustotou:

(3)

Nájdite pole mimo platní:

; ; (4)

Sila poľa nabitej gule

(1)

Ф= (2) Gaussov bod

na r< R

; , pretože (vo vnútri gule nie sú žiadne náboje)

Pre r = R

( ; ; )

Pre r > R

Sila poľa vytvorená loptou rovnomerne nabitou v celom svojom objeme

Objemová hustota náboja,

distribuované po lopte:

Pre r< R

( ; Ф= )

Pre r = R

Pre r > R

PRÁCA ELEKTROSTATICKÉHO POĽA NA PRESUNUTIE NÁPLNE

Elektrostatické pole- email poli stacionárneho náboja.
Fel, pôsobiaci na náboj, ho pohybuje a vykonáva prácu.
V rovnomernom elektrickom poli je Fel = qE konštantná hodnota

Pracovné pole (el. sila) nezávisí na tvare trajektórie a na uzavretej trajektórii = nula.

Ak sa v elektrostatickom poli bodového náboja Q pohybuje ďalší bodový náboj Q 0 z bodu 1 do bodu 2 po ľubovoľnej trajektórii (obr. 1), potom sila, ktorá pôsobí na náboj, vykoná určitú prácu. Práca vykonaná silou F pri elementárnom posunutí dl sa rovná Od d l/cosα=dr, teda Práca pri presune náboja Q 0 z bodu 1 do bodu 2 (1) nezávisí od trajektórie pohybu, ale je určená len polohami počiatočného 1 a konečných 2 bodov. To znamená, že elektrostatické pole bodového náboja je potenciálne a elektrostatické sily sú konzervatívne.Zo vzorca (1) je zrejmé, že práca, ktorá sa vykoná, keď sa elektrický náboj pohybuje vo vonkajšom elektrostatickom poli po ľubovoľnej uzavretej dráhe L sa rovná nule, t.j. (2) Ak berieme jednobodový kladný náboj ako náboj, ktorý sa pohybuje v elektrostatickom poli, potom sa elementárna práca síl poľa pozdĺž dráhy dl rovná Edl = E l d l, kde E l= Ecosα - projekcia vektora E do smeru elementárneho posunutia. Potom vzorec (2) môže byť reprezentovaný ako (3) Integrálna sa nazýva cirkulácia vektora napätia. To znamená, že cirkulácia vektora intenzity elektrostatického poľa pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu je nulová. Silové pole, ktoré má vlastnosť (3), sa nazýva potenciál. Zo skutočnosti, že cirkulácia vektora E sa rovná nule, vyplýva, že čiary intenzity elektrostatického poľa nemožno uzavrieť, nevyhnutne začínajú a končia na nábojoch (kladných alebo záporných) alebo idú do nekonečna. Vzorec (3) platí len pre elektrostatické pole. Následne sa ukáže, že v prípade poľa pohybujúcich sa nábojov podmienka (3) neplatí (preň je cirkulácia vektora intenzity nenulová).

Cirkulačná veta pre elektrostatické pole.

Keďže elektrostatické pole je centrálne, sily pôsobiace na náboj v takomto poli sú konzervatívne. Pretože predstavuje elementárnu prácu, ktorú poľné sily vytvárajú na jednotkový náboj, práca konzervatívnych síl v uzavretej slučke sa rovná

Potenciál

Systém "náboj - elektrostatické pole" alebo "náboj - náboj" má potenciálnu energiu, rovnako ako systém "gravitačné pole - telo" má potenciálnu energiu.

Fyzikálna skalárna veličina charakterizujúca energetický stav poľa sa nazýva potenciál daný bod v poli. Náboj q je umiestnený v poli, má potenciálnu energiu W. Potenciál je charakteristikou elektrostatického poľa.

Spomeňme si na potenciálnu energiu v mechanike. Potenciálna energia je nulová, keď je telo na zemi. A keď je telo zdvihnuté do určitej výšky, hovorí sa, že telo má potenciálnu energiu.

Pokiaľ ide o potenciálnu energiu v elektrine, neexistuje žiadna nulová úroveň potenciálnej energie. Vyberá sa náhodne. Potenciál je teda relatívna fyzikálna veličina.

Potenciálna energia poľa je práca vykonaná elektrostatickou silou pri presune náboja z daného bodu v poli do bodu s nulovým potenciálom.

Uvažujme o špeciálnom prípade, keď je elektrostatické pole vytvorené elektrickým nábojom Q. Na štúdium potenciálu takéhoto poľa nie je potrebné doň vnášať náboj q. Môžete vypočítať potenciál akéhokoľvek bodu v takomto poli, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r od náboja Q.

Dielektrická konštanta média má známu hodnotu (tabuľkovú) a charakterizuje prostredie, v ktorom pole existuje. Pre vzduch sa rovná jednote.

Potenciálny rozdiel

Práca vykonaná poľom na presun náboja z jedného bodu do druhého sa nazýva potenciálny rozdiel

Tento vzorec môže byť prezentovaný v inej forme

Princíp superpozície

Potenciál poľa vytvoreného niekoľkými nábojmi sa rovná algebraickému (berúc do úvahy znamienko potenciálu) súčtu potenciálov polí každého poľa samostatne

Ide o energiu sústavy stacionárnych bodových nábojov, energiu osamoteného nabitého vodiča a energiu nabitého kondenzátora.

Ak existuje systém dvoch nabitých vodičov (kondenzátor), potom sa celková energia systému rovná súčtu vlastných potenciálnych energií vodičov a energie ich interakcie:

Energia elektrostatického poľa systém bodových poplatkov sa rovná:

Rovnomerne nabité lietadlo.
Intenzitu elektrického poľa vytvoreného nekonečnou rovinou nabitou povrchovou hustotou náboja možno vypočítať pomocou Gaussovej vety.

Z podmienok symetrie vyplýva, že vektor E všade kolmo na rovinu. Okrem toho v bodoch symetrických vzhľadom na rovinu, vektor E bude mať rovnakú veľkosť a opačný smer.
Ako uzavretý povrch zvolíme valec, ktorého os je kolmá na rovinu a ktorého základne sú umiestnené symetricky vzhľadom na rovinu, ako je znázornené na obrázku.
Pretože čiary napätia sú rovnobežné s tvoriacimi priamkami bočného povrchu valca, prietok cez bočný povrch je nulový. Preto vektorový tok E cez povrch valca

,

kde je plocha základne valca. Valec vyreže náboj z roviny. Ak je rovina v homogénnom izotropnom prostredí s relatívnou dielektrickou konštantou, potom

Keď intenzita poľa nezávisí od vzdialenosti medzi rovinami, takéto pole sa nazýva rovnomerné. Graf závislosti E (X) pre lietadlo.

Potenciálny rozdiel medzi dvoma bodmi umiestnenými vo vzdialenosti R 1 a R 2 od nabitej roviny sa rovná

Príklad 2. Dve rovnomerne nabité roviny.
Vypočítajme intenzitu elektrického poľa vytvorenú dvoma nekonečnými rovinami. Elektrický náboj je distribuovaný rovnomerne s povrchovými hustotami a . Intenzitu poľa nájdeme ako superpozíciu intenzity poľa každej z rovín. Elektrické pole je nenulové iba v priestore medzi rovinami a rovná sa .

Potenciálny rozdiel medzi rovinami , Kde d- vzdialenosť medzi rovinami.
Získané výsledky možno použiť na približný výpočet polí vytvorených plochými doskami konečných rozmerov, ak sú vzdialenosti medzi nimi oveľa menšie ako ich lineárne rozmery. Znateľné chyby v takýchto výpočtoch sa objavujú pri zvažovaní polí blízko okrajov dosiek. Graf závislosti E (X) pre dve lietadlá.

Príklad 3. Tenká nabitá tyč.
Na výpočet intenzity elektrického poľa vytvoreného veľmi dlhou tyčou nabitou lineárnou hustotou náboja použijeme Gaussovu vetu.
V dostatočne veľkých vzdialenostiach od koncov tyče sú čiary intenzity elektrického poľa smerované radiálne od osi tyče a ležia v rovinách kolmých na túto os. Vo všetkých bodoch rovnako vzdialených od osi tyče sú číselné hodnoty napätia rovnaké, ak je tyč v homogénnom izotropnom prostredí s relatívnym dielektrikom
priepustnosť

Na výpočet intenzity poľa v ľubovoľnom bode umiestnenom vo vzdialenosti r od osi tyče nakreslite cez tento bod valcovú plochu
(pozri obrázok). Polomer tohto valca je r a jeho výška h.
Toky vektora napätia cez hornú a dolnú základňu valca sa budú rovnať nule, pretože siločiary nemajú zložky kolmé na povrchy týchto základov. Vo všetkých bodoch na bočnom povrchu valca
E= konšt.
Preto celkový tok vektora E cez povrch valca sa bude rovnať

,

Podľa Gaussovej vety tok vektora E rovná algebraickému súčtu elektrických nábojov umiestnených vo vnútri povrchu (v tomto prípade valca) vydelenému súčinom elektrickej konštanty a relatívnej dielektrickej konštanty média

kde je náboj tej časti tyče, ktorá je vo vnútri valca. Preto sila elektrického poľa

Rozdiel potenciálu elektrického poľa medzi dvoma bodmi umiestnenými vo vzdialenosti R 1 a R 2 od osi tyče zistíme pomocou vzťahu medzi intenzitou a potenciálom elektrického poľa. Keďže intenzita poľa sa mení iba v radiálnom smere, potom

Príklad 4. Nabitý sférický povrch.
Elektrické pole vytvorené guľovou plochou, na ktorej je rovnomerne rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou, má stredovo symetrický charakter.

Napínacie čiary sú nasmerované pozdĺž polomerov od stredu gule a veľkosti vektora E záleží len na vzdialenosti r od stredu gule. Na výpočet poľa vyberieme uzavretú guľovú plochu s polomerom r.
Keď r o E = 0.
Intenzita poľa je nulová, pretože vo vnútri gule nie je žiadny náboj.
Pre r > R (mimo gule), podľa Gaussovej vety

,

kde je relatívna dielektrická konštanta prostredia obklopujúceho guľu.

.

Intenzita klesá podľa rovnakého zákona ako intenzita poľa bodového náboja, teda podľa zákona.
Keď r o .
Pre r > R (mimo gule) .
Graf závislosti E (r) pre guľu.

Príklad 5. Objemovo nabitá dielektrická guľa.
Ak má lopta polomer R vyrobený z homogénneho izotropného dielektrika s relatívnou permeabilitou je rovnomerne nabitý v celom objeme s hustotou , potom je elektrické pole, ktoré vytvára, tiež centrálne symetrické.
Rovnako ako v predchádzajúcom prípade zvolíme na výpočet vektorového toku uzavretú plochu E vo forme sústrednej gule, ktorej polomer r sa môže meniť od 0 do .
O r < R vektorový tok E cez tento povrch bude určený nábojom

Takže

O r < R(vo vnútri lopty) .
Vo vnútri lopty sa napätie zvyšuje priamo úmerne so vzdialenosťou od stredu lopty. Mimo lopty (at r > R) v médiu s dielektrickou konštantou, vektor toku E cez povrch bude určený nábojom.
Keď r o > R o (mimo lopty) .
Na hranici „guľa – prostredie“ sa prudko mení intenzita elektrického poľa, ktorej veľkosť závisí od pomeru dielektrických konštánt lopty a prostredia. Graf závislosti E (r) pre loptu ().

Mimo lopty ( r > R) potenciál elektrického poľa sa mení podľa zákona

.

Vo vnútri lopty ( r < R) potenciál je opísaný výrazom

Na záver uvádzame výrazy na výpočet intenzity poľa nabitých telies rôznych tvarov

Potenciálny rozdiel
Napätie- rozdiel v potenciálnych hodnotách v počiatočných a konečných bodoch trajektórie. Napätie sa číselne rovná práci elektrostatického poľa, keď sa jednotkový kladný náboj pohybuje pozdĺž siločiar tohto poľa. Potenciálny rozdiel (napätie) je nezávislý od výberu súradnicové systémy!
Jednotka potenciálneho rozdielu Napätie je 1 V, ak pri pohybe kladného náboja 1 C pozdĺž siločiar pole vykoná prácu 1 J.

Dirigent- je to pevné teleso, v ktorom sa v tele pohybujú „voľné elektróny“.

Kovové vodiče sú vo všeobecnosti neutrálne: obsahujú rovnaké množstvo záporných a kladných nábojov. Kladne nabité sú ióny v uzloch kryštálovej mriežky, záporné sú elektróny voľne sa pohybujúce po vodiči. Keď vodič dostane nadmerné množstvo elektrónov, nabije sa záporne, ale ak sa z vodiča „vezme“ určitý počet elektrónov, nabije sa kladne.

Prebytočný náboj je distribuovaný iba po vonkajšom povrchu vodiča.

1 . Intenzita poľa v ktoromkoľvek bode vo vnútri vodiča je nulová.

2 . Vektor na povrchu vodiča smeruje kolmo na každý bod na povrchu vodiča.

Zo skutočnosti, že povrch vodiča je ekvipotenciálny, vyplýva, že priamo na tomto povrchu pole smeruje kolmo k nemu v každom bode (podmienka 2 ). Ak by to tak nebolo, potom by sa pôsobením tangenciálnej zložky náboje začali pohybovať po povrchu vodiča. tie. rovnováha nábojov na vodiči by bola nemožná.

Od 1 z toho vyplýva, že od

Vo vnútri vodiča nie sú žiadne nadmerné náboje.

Náboje sú rozložené len na povrchu vodiča s určitou hustotou s a sú umiestnené vo veľmi tenkej povrchovej vrstve (jej hrúbka je asi jedna alebo dve medziatómové vzdialenosti).

Hustota náboja- je to množstvo náboja na jednotku dĺžky, plochy alebo objemu, čím sa určujú lineárne, povrchové a objemové hustoty náboja, ktoré sa merajú v systéme SI: v coulombách na meter [C/m], v coulombách na meter štvorcový [ C/m² ] a v coulombách na meter kubický [C/m³]. Na rozdiel od hustoty hmoty môže mať hustota náboja kladné aj záporné hodnoty, je to spôsobené tým, že existujú kladné a záporné náboje.

Všeobecný problém elektrostatiky

Vektor napätia,

podľa Gaussovej vety

- Poissonova rovnica.

V prípade, že medzi vodičmi nie sú žiadne náboje, dostaneme

- Laplaceova rovnica.

Nech sú známe okrajové podmienky na povrchoch vodičov: hodnoty ; potom má tento problém jedinečné riešenie podľa teorém jedinečnosti.

Pri riešení úlohy sa určí hodnota a následne sa pole medzi vodičmi určí rozložením nábojov na vodičoch (podľa vektora napätia na povrchu).

Pozrime sa na príklad. Nájdite napätie v prázdnej dutine vodiča.

Potenciál v dutine spĺňa Laplaceovu rovnicu;

potenciál na stenách vodiča.

Riešenie Laplaceovej rovnice je v tomto prípade triviálne a podľa teorému jedinečnosti neexistujú žiadne iné riešenia

, t.j. v dutine vodiča nie je žiadne pole.

Poissonova rovnica je eliptická parciálna diferenciálna rovnica, ktorá okrem iného opisuje

· elektrostatické pole,

· stacionárne teplotné pole,

· tlakové pole,

· rýchlostné potenciálne pole v hydrodynamike.

Je pomenovaný po slávnom francúzskom fyzikovi a matematikovi Simeonovi Denisovi Poissonovi.

Táto rovnica vyzerá takto:

kde je Laplaceov operátor alebo Laplacián, a je to skutočná alebo komplexná funkcia na nejakej variete.

V trojrozmernom karteziánskom súradnicovom systéme má rovnica tvar:

V karteziánskom súradnicovom systéme je Laplaceov operátor zapísaný v tvare a Poissonova rovnica má tvar:

Ak f má tendenciu k nule, potom sa Poissonova rovnica zmení na Laplaceovu rovnicu (Laplaceova rovnica je špeciálny prípad Poissonovej rovnice):

Poissonovu rovnicu je možné vyriešiť pomocou Greenovej funkcie; pozri napríklad článok Screened Poissonova rovnica. Existujú rôzne metódy na získanie numerických riešení. Napríklad sa používa iteračný algoritmus - „relaxačná metóda“.

Kondenzátor(z lat. kondenzát- „kompaktný“, „hustý“) - dvojkoncová sieť s určitou hodnotou kapacity a nízkou ohmickou vodivosťou; zariadenie na akumuláciu náboja a energie elektrického poľa. Kondenzátor je pasívna elektronická súčiastka. Zvyčajne pozostáva z dvoch elektród v tvare dosky (tzv obklady), oddelené dielektrikom, ktorého hrúbka je malá v porovnaní s veľkosťou dosiek.

Kapacita

Hlavnou charakteristikou kondenzátora je jeho kapacita charakterizujúce schopnosť kondenzátora akumulovať elektrický náboj. Označenie kondenzátora udáva hodnotu nominálnej kapacity, pričom skutočná kapacita sa môže výrazne líšiť v závislosti od mnohých faktorov. Skutočná kapacita kondenzátora určuje jeho elektrické vlastnosti. Podľa definície kapacity je teda náboj na platni úmerný napätiu medzi platňami ( q = CU). Typické hodnoty kapacity sa pohybujú od jednotiek pikofaradov až po tisíce mikrofaradov. Existujú však kondenzátory (ionistory) s kapacitou až desiatok farad.

Kapacita paralelného doskového kondenzátora pozostávajúceho z dvoch rovnobežných kovových dosiek s plochou S každý sa nachádza v určitej vzdialenosti d od seba navzájom, v sústave SI je vyjadrená vzorcom: , kde je relatívna dielektrická konštanta média vyplňujúceho priestor medzi doskami (vo vákuu rovná jednotke), je elektrická konštanta, číselne rovná 8,854187817·10 -12 F/m. Tento vzorec je platný len vtedy d oveľa menšie ako lineárne rozmery dosiek.

Na získanie veľkých kapacít sú kondenzátory zapojené paralelne. V tomto prípade je napätie medzi doskami všetkých kondenzátorov rovnaké. Celková kapacita batérie paralelný pripojených kondenzátorov sa rovná súčtu kapacít všetkých kondenzátorov zahrnutých v batérii.

Ak majú všetky paralelne zapojené kondenzátory rovnakú vzdialenosť medzi doskami a rovnaké dielektrické vlastnosti, potom tieto kondenzátory môžu byť reprezentované ako jeden veľký kondenzátor, rozdelený na fragmenty menšej plochy.

Keď sú kondenzátory zapojené do série, náboje všetkých kondenzátorov sú rovnaké, pretože sú dodávané zo zdroja energie iba na vonkajšie elektródy a na vnútorných elektródach sa získavajú iba v dôsledku oddelenia nábojov, ktoré sa predtým navzájom neutralizovali. . Celková kapacita batérie postupne pripojených kondenzátorov sa rovná

Alebo

Táto kapacita je vždy menšia ako minimálna kapacita kondenzátora v batérii. Pri sériovom zapojení sa však znižuje možnosť rozpadu kondenzátorov, pretože každý kondenzátor predstavuje iba časť rozdielu potenciálov zdroja napätia.

Ak je plocha dosiek všetkých sériovo zapojených kondenzátorov rovnaká, potom môžu byť tieto kondenzátory reprezentované ako jeden veľký kondenzátor, medzi doskami ktorého je hromada dielektrických dosiek všetkých kondenzátorov, ktoré ho tvoria.

[upraviť] Špecifická kapacita

Kondenzátory sú tiež charakterizované špecifickou kapacitou - pomerom kapacity k objemu (alebo hmotnosti) dielektrika. Maximálna hodnota mernej kapacity sa dosiahne pri minimálnej hrúbke dielektrika, ale zároveň sa zníži jeho prierazné napätie.

Používajú sa rôzne typy elektrických obvodov Spôsoby pripojenia kondenzátorov. Zapojenie kondenzátorov možno vyrobiť: postupne, paralelný A sériovo-paralelné(druhý sa niekedy nazýva zmiešané zapojenie kondenzátorov). Existujúce typy pripojení kondenzátorov sú znázornené na obrázku 1.

Obrázok 1. Spôsoby pripojenia kondenzátorov.