Štruktúra všeobecného riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice. Štruktúra všeobecného riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice
Štruktúra všeobecného riešenia takejto rovnice je určená nasledujúcou vetou.
Veta 1. Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (1) je reprezentované ako súčet nejakého konkrétneho riešenia tejto rovnice y h a všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice
Dôkaz. Musíme dokázať, že súčet (3)
Existuje všeobecné riešenie rovnice (1).
Najprv dokážme, že funkcia (3) je riešením rovnice (1). Namiesto toho nahrádzanie pri súčet v rovnici (1) bude:
Keďže – je riešením rovnice (2), výraz v prvých zátvorkách rovnice (4) je zhodne rovný nule. Pretože y h je riešením rovnice (1), potom sa výraz v druhej zátvorke (4) rovná f(x). Preto je rovnosť (4) identita. Prvá časť vety je teda dokázaná.
Dokážme teraz, že výraz (3) je všeobecným riešením rovnice (1), t.j. Dokážme, že ľubovoľné konštanty v ňom obsiahnuté môžu byť zvolené tak, aby boli splnené počiatočné podmienky (5).
nech sú čísla akékoľvek x 0, y 0, a (ak len oblasti, kde funkcie a 1, a 2 A f(x) nepretržité).
Všímajúc si, že to môžeme reprezentovať ako 
, Kde y 1, y 2 lineárne nezávislé riešenia rovnice (2), a C 1 A C 2 sú ľubovoľné konštanty, môžeme rovnosť (3) prepísať do tvaru . Potom na základe podmienky (5) budeme mať systém
.
Z tejto sústavy rovníc je potrebné určiť C 1 A C 2. Prepíšme systém do formulára
(6)
Systémový determinant 
– pre riešenia existuje Wronského determinant o 1 A o 2 v bode . Keďže tieto funkcie sú lineárne nezávislé od podmienky, Wronského determinant sa nerovná nule, preto má systém (6) jedinečné riešenie C 1 A C 2, t.j. existujú také významy C 1 A C 2 pri ktorej vzorec (3) určuje riešenie rovnice (1) spĺňajúce dané počiatočné podmienky.
Ak je teda známe všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2), potom hlavnou úlohou pri integrácii nehomogénnej rovnice (1) je nájsť nejaké konkrétne riešenie. y h.
Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi so špeciálnou pravou stranou. Metóda neurčených koeficientov.
Niekedy je možné nájsť jednoduchšie riešenie bez uchyľovania sa k integrácii. K tomu dochádza v špeciálnych prípadoch, keď je funkcia f(x) má zvláštny vzhľad.
Dajme rovnicu (1)
Kde p A q reálne čísla a f(x) má zvláštny vzhľad. Uvažujme niekoľko takýchto možností pre rovnicu (1).
Nech je pravá strana rovnice (1) súčinom exponenciálnej funkcie a polynómu, t.j. vyzerá ako 
, (2)
kde je polynóm n-tého stupňa. Potom sú možné tieto prípady:
číslo - nie je koreň charakteristická rovnica 
.
V tomto prípade je potrebné hľadať konkrétne riešenie vo formulári (3)
tie. aj vo forme polynómu n- stupeň, kde A 0, A 1,…, A n koeficienty.
Aby sme ich mohli určiť, nájdeme deriváty a .
Nahrádzanie y h, a do rovnice (1) a zmenšením oboch strán koeficientom budeme mať:
Tu je polynóm n-tého stupňa, – polynóm (n-1)-tého stupňa a – polynóm (n-2)-tého stupňa.
Naľavo a napravo od znamienka rovnosti sú teda polynómy n- stupeň. Rovnaké koeficienty v rovnakých stupňoch X(počet neznámych koeficientov je rovný ), získame sústavu rovníc na určenie koeficientov A 0, A 1, ..., A n.
ak má pravá strana rovnice (1) tvar:
D U vyšších rádov
Ako sme už povedali, diferenciálne rovnice môžu obsahovať derivácie rôznych rádov.
Takéto diferenciálne rovnice majú riešenia, ktoré obsahujú toľko ľubovoľných integračných konštánt → aké je poradie diferenciálnej rovnice, t.j. pre diferenciálnu rovnicu 2. rádu budú dve ľubovoľné konštanty C1 a C2, pre 3. rád →C1, C2 a C3 atď.
Všeobecným riešením (všeobecným integrálom) takejto diferenciálnej rovnice bude teda funkcia
.
Na získanie konkrétneho riešenia takýchto diferenciálnych rovníc je potrebné nastaviť toľko počiatočných podmienok, koľko je rádu diferenciálnej rovnice, alebo koľko ľubovoľných konštánt sa získa vo všeobecnom riešení.
D U v plných diferenciáloch. Integračný faktor
Diferenciálna rovnica tvaru sa nazýva diferenciálna rovnica v úplných diferenciáloch, ak jej ľavá strana je úplným diferenciálom nejakej hladkej funkcie, t.j. Ak 
, 
. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou existencie takejto funkcie je: 
Ak chcete vyriešiť diferenciálnu rovnicu v totálnych diferenciáloch, musíte nájsť funkciu. Potom je možné všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice zapísať v tvare pre ľubovoľnú konštantu C.
Integračný faktor pre diferenciálnu rovnicu
sa nazýva taká funkcia, ktorou sa diferenciálna rovnica po vynásobení zmení na rovnicu totálnych diferenciálov. Ak funkcie M a N v rovnici majú spojité parciálne derivácie a nezaniknú súčasne, potom existuje integračný faktor. Neexistuje však žiadna všeobecná metóda na jej nájdenie.
Štruktúra všeobecného riešenia LNDU
Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
− bez ohľadu na počiatočný bod (x0, y0, ), x0∈ , existujú hodnoty C1 =C10, ..., Cn = Cn0 také, že funkcia y = Φ(x, C10, ..., Cn0) vyhovuje počiatočné podmienky y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .
Nasledujúce tvrdenie je pravdivé (veta o štruktúre všeobecného riešenia lineárnej nehomogénnej rovnice).
Ak sú všetky koeficienty rovnice lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice spojité na intervale a funkcie y1(x), y2(x),..., yn(x) tvoria sústavu riešení zodpovedajúcej homogénnej rovnice , potom má všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice tvar
y(x,C1,...,Cn) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
kde C1,...,Cn sú ľubovoľné konštanty, y*(x) je partikulárne riešenie nehomogénnej rovnice.
LNDU 2. rádu
Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu.
Rovnica v tvare y" + py" + qy = f(x), kde p a q sú reálne čísla, f(x) je spojitá funkcia, sa nazýva lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Všeobecné riešenie rovnice je súčtom konkrétneho riešenia nehomogénnej rovnice a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice. Bolo študované nájdenie všeobecného riešenia homogénnej rovnice. Na nájdenie konkrétneho riešenia použijeme metódu neurčitých koeficientov, ktorá neobsahuje integračný proces.
Uvažujme rôzne typy pravých strán rovnice y" + py" + qy = f(x).
1) Pravá strana má tvar F(x) = Pn(x), kde Pn(x) je polynóm stupňa n. Potom konkrétne riešenie y možno hľadať v tvare, kde Qn (x) je polynóm rovnakého stupňa ako Pn (x) a r je počet koreňov charakteristickej rovnice rovný nule.
Príklad. Nájdite všeobecné riešenie rovnice y" – 2y" + y = x+1.
Riešenie: Všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice má tvar Y = ex (C1 + C2x). Keďže žiadny z koreňov charakteristickej rovnice k2 – 2k + 1 = 0 sa nerovná nule (k1 = k2 = 1), hľadáme konkrétne riešenie v tvare, kde A a B sú neznáme koeficienty. Dvojnásobným derivovaním a dosadením „a“ do tejto rovnice nájdeme –2A + Ax + B = x + 1.
Ak vyrovnáme koeficienty pre rovnaké mocniny x na oboch stranách rovnosti: A = 1, –2A + B = 1, nájdeme A = 1, B = 3. Konkrétne riešenie tejto rovnice má teda tvar = x + 3 a jeho všeobecné riešenie je y = ex (C1 + C2x) + x + Z.
2) Pravá strana má tvar f(x) = eax Pn(x), kde Рn (x) je polynóm stupňa n. Potom treba hľadať konkrétne riešenie v tvare, kde Qn(x) je polynóm rovnakého stupňa ako Pn (x) a r je počet koreňov charakteristickej rovnice rovný a. Ak a = 0, potom f(x) = Pn (x), t.j. nastáva prípad 1.
LOD s konštantnými koeficientmi.
Zvážte diferenciálnu rovnicu
kde sú skutočné konštanty.
Aby sme našli všeobecné riešenie rovnice (8), urobíme to. Zostavíme charakteristickú rovnicu pre rovnicu (8): (9)
Nech sú korene rovnice (9) a medzi nimi môžu byť násobky. Možné sú tieto prípady:
a) - skutočný a iný. Všeobecné riešenie homogénnej rovnice bude ;
b) korene charakteristickej rovnice sú reálne, ale sú medzi nimi násobky, t.j. , potom bude všeobecné riešenie
c) ak sú korene charakteristickej rovnice zložité (k=a±bi), potom má všeobecné riešenie tvar .
Všeobecná štruktúra riešenia LDE 2. rádu
Uvažujme lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
Všeobecným riešením tejto rovnice na intervale je funkcia y = Φ(x, C1,..., Cn), v závislosti od n ľubovoľných konštánt C1,..., Cn a pri splnení nasledujúcich podmienok:
− pre ľubovoľné prípustné hodnoty konštánt C1,..., Cn je funkcia y = Φ(x, C1,..., Cn) riešením rovnice na ;
− bez ohľadu na počiatočný bod (x0, y0, ), x0∈ , existujú hodnoty C1 =C10, ..., Cn = Cn0 také, že funkcia y = Φ(x, C10, ..., Cn0) vyhovuje počiatočné podmienky y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
Znalosť základného systému riešení rovnice umožňuje zostaviť všeobecné riešenie tejto rovnice. Pripomeňme si definíciu všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice P- poradie
Funkcia 
, definované v nejakej doméne variácie premenných 
, v každom bode, v ktorom existuje existencia a jedinečnosť riešenia Cauchyho problému a ktorý má spojité parciálne derivácie vzhľadom na X až na objednávku P vrátane sa nazýva všeobecné riešenie rovnice (15) v uvedenej oblasti, ak:
sústava rovníc
riešiteľné v špecifikovanej oblasti vzhľadom na ľubovoľné konštanty 
, Takže
(16)
2. funkcia 
je riešením rovnice (15) pre všetky hodnoty ľubovoľných konštánt 
, vyjadrené vzorcami (16), keď bod 
patrí do posudzovanej oblasti.
Veta 1. (o štruktúre všeobecného riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice). Ak funkcie 
,
,
…,
tvoria základný systém riešení homogénnej lineárnej rovnice P- poradie 
v intervale 
, t.j. v intervale spojitosti koeficientov, potom funkcie 
je všeobecným riešením tejto rovnice v regióne D:
,
,
.
Dôkaz. V každom bode označenej oblasti existuje existencia a jedinečnosť riešenia Cauchyho problému. Teraz ukážme, že funkcia 
spĺňa definíciu všeobecného riešenia rovnice P- poradie.
sústava rovníc
riešiteľné v doméne D relatívne k ľubovoľným konštantám 
keďže determinant tohto systému je Wronského determinantom pre fundamentálny systém riešení (12), a preto je odlišný od nuly.
2. Funkcia 
vlastnosťou riešení homogénnej lineárnej rovnice je riešením rovnice 
pre všetky hodnoty ľubovoľných konštánt 
.
Preto funkcia 
je všeobecné riešenie rovnice 
v oblasti D. Veta bola dokázaná.
Príklad.
.
Riešením tejto rovnice sú samozrejme funkcie 
,
. Tieto rozhodnutia tvoria základný systém rozhodnutí, od r
.
Preto všeobecným riešením pôvodnej rovnice je funkcia.
Štruktúra všeobecného riešenia nehomogénnej lineárnej rovnice n-tého rádu.
Zvážte nehomogénnu lineárnu rovnicu P- poradie
Ukážme, že rovnako ako v prípade lineárnej nehomogénnej rovnice prvého rádu sa integrácia rovnice (1) redukuje na integráciu homogénnej rovnice, ak je známe jedno konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice (1).
Nechaj 
- konkrétne riešenie rovnice (1), t.j.
,
. (2)
Položme 
, Kde z– nová neznáma funkcia z X. Potom bude mať tvar rovnica (1).
alebo 
,
odkiaľ na základe identity (2) získame
. (3)
Ide o homogénnu lineárnu rovnicu, ktorej ľavá strana je rovnaká ako u posudzovanej nehomogénnej rovnice (1). Tie. dostali sme homogénnu rovnicu zodpovedajúcu tejto nehomogénnej rovnici (1).
,
,
…,
,
je fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice (3). Potom sú všetky riešenia tejto rovnice obsiahnuté vo vzorci pre jej všeobecné riešenie, t.j.
.
Nahradíme túto hodnotu z do vzorca 
, dostaneme
.
Výsledná funkcia je všeobecným riešením rovnice (1) v oblasti D.
Ukázali sme teda, že všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice (1) sa rovná súčtu nejakého konkrétneho riešenia tejto rovnice a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej lineárnej rovnice.
Príklad. Nájdite všeobecné riešenie rovnice
.
Riešenie. Máme, že konkrétne riešenie tejto nehomogénnej lineárnej rovnice má tvar
.
Všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice 
, ako sme už predtým ukázali, má podobu
Preto všeobecné riešenie pôvodnej rovnice je: 
.
V mnohých prípadoch je úloha nájsť konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice jednoduchšia, ak použijete nasledujúcu vlastnosť:
Veta. Ak v rovnici (1) má pravá strana tvar
a je to známe 
, A 
- partikulárne riešenie rovnice 
, potom súčet týchto konkrétnych riešení 
+
bude čiastočným riešením rovnice (1).
Dôkaz. Skutočne, keďže podľa podmienok 
existuje konkrétne riešenie rovnice 
, A 
- partikulárne riešenie rovnice 
, To
,
.
tie. 
+
je konkrétne riešenie rovnice (1).
Pre lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu n- prvá objednávka
r(n) + a 1(X)r(n- 1) + ... + an- 1 (X) r" + an(X)r = f(x),
Kde r = r(X) - neznáma funkcia, a 1(X),a 2(X), ..., an- 1(X), an(X), f(X) - známy, nepretržitý, fér:
1) ak r 1(X) A r 2(X) sú dve riešenia nehomogénnej rovnice, potom funkcia
r(X) = r 1(X) - r 2(X) - riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice;
2) ak r 1(X) riešenie nehomogénnej rovnice a r 2(X) je riešením zodpovedajúcej homogénnej rovnice, potom funkcie
r(X) = r 1(X) + r 2(X) - riešenie nehomogénnej rovnice;
3) ak r 1(X), r 2(X), ..., yn(X) - n lineárne nezávislé riešenia homogénnej rovnice, a ych(X) - ľubovoľné riešenie nehomogénnej rovnice,
potom pre akékoľvek počiatočné hodnoty
X 0, r 0, r 0,1, ..., r 0,n- 1
Výraz
r(X)=c 1 r 1(X) + c 2 r 2(X) + ... + cn yn(X) +ych(X)
volal všeobecné rozhodnutie lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n- poradie.
Ak chcete nájsť čiastočné riešenia nehomogénnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi s pravou stranou tvaru:
Pk(X)exp(a X)cos( bx) + Q m(X)exp(a X)hriech( bx),
Kde Pk(X), Q m(X) - polynómy stupňa k A m V súlade s tým existuje jednoduchý algoritmus na zostavenie konkrétneho riešenia, tzv spôsob výberu.
Metóda výberu alebo metóda neurčených koeficientov je nasledovná.
Požadované riešenie rovnice je napísané takto:
(Pr(X)exp(a X)cos( bx) + Qr(X)exp(a X)hriech( bx))xs,
Kde Pr(X), Qr(X) - polynómy stupňa r= max( k, m) S neznámy koeficienty
pr , pr- 1, ..., p 1, p 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
teda na nájdenie všeobecného riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi by sme mali
nájdite všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice (napíšte charakteristickú rovnicu, nájdite všetky korene charakteristickej rovnice l 1, l 2, ... , ln, napíšte základný systém riešení r 1(X), r 2(X), ..., yn(X));
nájsť nejaké konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice ych(X);
zapíšte výraz pre všeobecné riešenie
r(X)=c 1 r 1(X) + c 2 r 2(X) + ... + cn yn(X) + ych(X);
Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi so špeciálnou pravou stranou. Metóda neurčených koeficientov.
Diferenciálna rovnica tvaru (1)
kde , f je známa funkcia, nazývaná lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientmi. Ak , potom sa rovnica (1) nazýva homogénna, inak - nehomogénna.
Pre lineárne nehomogénne rovnice s konštantnými koeficientmi a s pravou stranou špeciálneho tvaru, konkrétne pozostávajúceho zo súčtov a súčinov funkcií, možno hľadať konkrétne riešenie metódou neurčitých koeficientov. Typ konkrétneho riešenia závisí od koreňov charakteristickej rovnice. Nižšie je uvedená tabuľka typov čiastočných riešení lineárnej nehomogénnej rovnice so špeciálnou pravou stranou.
Komplexná rovina. Modul a argument komplexného čísla. Hlavný význam argumentu. Geometrický význam
Komplexné čísla sa píšu v tvare: a+ bi. Tu a a b sú reálne čísla a i je imaginárna jednotka, t.j. i 2 = –1. Číslo a sa nazýva úsečka a b je ordináta komplexného čísla a + bi. Dve komplexné čísla a+ bi a a – bi sa nazývajú konjugované komplexné čísla.
Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:
Tu bod A predstavuje číslo –3, bod B predstavuje číslo 2 a O predstavuje nulu. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. Na tento účel volíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom bude komplexné číslo a+bi reprezentované bodom P s osou a a ordinátou b (pozri obrázok). Tento súradnicový systém sa nazýva komplexná rovina.
Modul komplexného čísla je dĺžka vektora OP reprezentujúceho komplexné číslo v súradnicovej (komplexnej) rovine. Modul komplexného čísla a+ bi označujeme | a+ bi | alebo písmeno r a rovná sa:
Konjugované komplexné čísla majú rovnaký modul. __
Argumentom komplexného čísla je uhol medzi osou OX a vektorom OP reprezentujúcim toto komplexné číslo. Z toho vyplýva, že tan = b/a.
