So bestimmen Sie den geometrischen Verlauf. Geometrischer Verlauf

>>Mathe: Geometrische Progression

Zur Erleichterung des Lesers ist dieser Absatz genau nach dem gleichen Plan aufgebaut, dem wir im vorherigen Absatz gefolgt sind.

1. Grundkonzepte.

Definition. Eine Zahlenfolge, bei der alle Glieder von 0 verschieden sind und bei der sich jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Glied durch Multiplikation mit derselben Zahl ergibt, wird als geometrische Folge bezeichnet. In diesem Fall wird die Zahl 5 als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Somit ist eine geometrische Folge eine numerische Folge (b n), die durch die Beziehungen wiederkehrend definiert wird

Ist es möglich, eine Zahlenfolge zu betrachten und festzustellen, ob es sich um eine geometrische Folge handelt? Dürfen. Wenn Sie davon überzeugt sind, dass das Verhältnis eines beliebigen Mitglieds der Folge zum vorherigen Mitglied konstant ist, dann haben Sie eine geometrische Progression.
Beispiel 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Beispiel 2.

Dies ist eine geometrische Progression, die hat
Beispiel 3.

Dies ist eine geometrische Progression, die hat
Beispiel 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Dies ist eine geometrische Folge, bei der b 1 - 8, q = 1.

Beachten Sie, dass es sich bei dieser Folge ebenfalls um eine arithmetische Folge handelt (siehe Beispiel 3 aus § 15).

Beispiel 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Dies ist eine geometrische Folge, bei der b 1 = 2, q = -1.

Offensichtlich ist eine geometrische Folge eine steigende Folge, wenn b 1 > 0, q > 1 (siehe Beispiel 1), und eine abnehmende Folge, wenn b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Um anzuzeigen, dass die Folge (b n) eine geometrische Folge ist, ist die folgende Notation manchmal praktisch:

Das Symbol ersetzt den Ausdruck „geometrischer Verlauf“.
Beachten wir eine merkwürdige und zugleich ganz offensichtliche Eigenschaft der geometrischen Progression:
Wenn die Reihenfolge eine geometrische Folge ist, dann ist die Folge von Quadraten, d.h. ist eine geometrische Folge.
In der zweiten geometrischen Folge ist der erste Term gleich und gleich q 2.
Wenn wir in einer geometrischen Folge alle auf b n folgenden Terme verwerfen, erhalten wir eine endliche geometrische Folge
In weiteren Abschnitten dieses Abschnitts werden wir die wichtigsten Eigenschaften der geometrischen Progression betrachten.

2. Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge.

Betrachten Sie eine geometrische Folge Nenner q. Wir haben:

Es ist nicht schwer zu erraten, dass die Gleichheit für jede Zahl n gilt

Dies ist die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge.

Kommentar.

Wenn Sie die wichtige Bemerkung aus dem vorherigen Absatz gelesen und verstanden haben, versuchen Sie, Formel (1) mit der Methode der mathematischen Induktion zu beweisen, so wie es für die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge getan wurde.

Schreiben wir die Formel für den n-ten Term der geometrischen Folge neu

und führen Sie die Notation ein: Wir erhalten y = mq 2, oder genauer gesagt:
Das Argument x ist im Exponenten enthalten, daher wird diese Funktion Exponentialfunktion genannt. Dies bedeutet, dass eine geometrische Folge als Exponentialfunktion betrachtet werden kann, die auf der Menge N natürlicher Zahlen definiert ist. In Abb. 96a zeigt den Graphen der Funktion Abb. 966 - Funktionsgraph In beiden Fällen liegen isolierte Punkte (mit Abszissen x = 1, x = 2, x = 3 usw.) auf einer bestimmten Kurve (beide Abbildungen zeigen dieselbe Kurve, nur unterschiedlich angeordnet und in unterschiedlichen Maßstäben dargestellt). Diese Kurve wird als Exponentialkurve bezeichnet. Weitere Einzelheiten zur Exponentialfunktion und ihrem Graphen werden im Algebrakurs der 11. Klasse besprochen.

Kehren wir zu den Beispielen 1–5 aus dem vorherigen Absatz zurück.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Dies ist eine geometrische Folge, für die b 1 = 1, q = 3. Erstellen wir die Formel für den n-ten Term
2) Dies ist eine geometrische Folge, für die wir eine Formel für den n-ten Term erstellen

Dies ist eine geometrische Progression, die hat Lassen Sie uns die Formel für den n-ten Term erstellen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Dies ist eine geometrische Folge, für die b 1 = 8, q = 1. Erstellen wir die Formel für den n-ten Term
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Dies ist eine geometrische Folge, bei der b 1 = 2, q = -1. Lassen Sie uns die Formel für den n-ten Term erstellen

Beispiel 6.

Gegeben sei ein geometrischer Verlauf

In allen Fällen basiert die Lösung auf der Formel des n-ten Termes der geometrischen Folge

a) Wenn wir n = 6 in die Formel für den n-ten Term der geometrischen Folge einsetzen, erhalten wir:

b) Wir haben

Da 512 = 2 · 9, erhalten wir n - 1 = 9, n = 10.

d) Wir haben

Beispiel 7.

Die Differenz zwischen dem siebten und fünften Term der geometrischen Folge beträgt 48, die Summe des fünften und sechsten Termes der Folge beträgt ebenfalls 48. Finden Sie den zwölften Term dieser Folge.

Erste Stufe. Erstellen eines mathematischen Modells.

Die Bedingungen des Problems können kurz wie folgt geschrieben werden:

Mit der Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge erhalten wir:
Dann kann die zweite Bedingung des Problems (b 7 - b 5 = 48) geschrieben werden als

Die dritte Bedingung des Problems (b 5 + b 6 = 48) kann geschrieben werden als

Als Ergebnis erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen b 1 und q:

was in Kombination mit der oben beschriebenen Bedingung 1) ein mathematisches Modell des Problems darstellt.

Zweite Phase.

Arbeiten mit dem kompilierten Modell. Wenn wir die linken Seiten beider Gleichungen des Systems gleichsetzen, erhalten wir:

(Wir haben beide Seiten der Gleichung durch den von Null verschiedenen Ausdruck b 1 q 4 dividiert).

Aus der Gleichung q 2 - q - 2 = 0 finden wir q 1 = 2, q 2 = -1. Wenn wir den Wert q = 2 in die zweite Gleichung des Systems einsetzen, erhalten wir
Wenn wir den Wert q = -1 in die zweite Gleichung des Systems einsetzen, erhalten wir b 1 1 0 = 48; Diese Gleichung hat keine Lösungen.

Also, b 1 =1, q = 2 – dieses Paar ist die Lösung des kompilierten Gleichungssystems.

Jetzt können wir den im Problem besprochenen geometrischen Verlauf aufschreiben: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Dritter Abschnitt.

Beantworten Sie die Problemfrage. Sie müssen b 12 berechnen. Wir haben

Antwort: b 12 = 2048.

3. Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge.

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge

Bezeichnen wir mit S n die Summe seiner Terme, d.h.

Lassen Sie uns eine Formel zur Ermittlung dieses Betrags ableiten.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, wenn q = 1. Dann besteht die geometrische Folge b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn aus n Zahlen gleich b 1 , d.h. die Progression sieht aus wie b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Die Summe dieser Zahlen ist nb 1.

Sei nun q = 1. Um S n zu finden, wenden wir eine künstliche Technik an: Wir führen einige Transformationen des Ausdrucks S n q durch. Wir haben:

Bei der Durchführung von Transformationen haben wir zunächst die Definition einer geometrischen Folge verwendet, wonach (siehe dritte Argumentationslinie); zweitens addierten und subtrahierten sie, weshalb sich die Bedeutung des Ausdrucks natürlich nicht änderte (siehe vierte Argumentationslinie); Drittens haben wir die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge verwendet:

Aus Formel (1) finden wir:

Dies ist die Formel für die Summe von n Termen einer geometrischen Folge (für den Fall q = 1).

Beispiel 8.

Gegeben sei ein endlicher geometrischer Verlauf

a) die Summe der Progressionsbedingungen; b) die Summe der Quadrate seiner Terme.

b) Oben (siehe S. 132) haben wir bereits festgestellt, dass wenn alle Terme einer geometrischen Folge quadriert werden, wir eine geometrische Folge mit dem ersten Term b 2 und dem Nenner q 2 erhalten. Anschließend wird die Summe der sechs Terme der neuen Progression berechnet

Beispiel 9.

Finden Sie den 8. Term der geometrischen Folge, für die

Tatsächlich haben wir den folgenden Satz bewiesen.

Eine numerische Folge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Terme, mit Ausnahme des ersten Satzes (und des letzten im Fall einer endlichen Folge), gleich dem Produkt des vorhergehenden und des nachfolgenden Termes ist ( eine charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Progression).

Anweisungen

10, 30, 90, 270...

Sie müssen den Nenner einer geometrischen Folge finden.
Lösung:

Option 1. Nehmen wir einen beliebigen Term der Progression (zum Beispiel 90) und dividieren ihn durch den vorherigen (30): 90/30=3.

Wenn die Summe mehrerer Terme einer geometrischen Folge oder die Summe aller Terme einer abnehmenden geometrischen Folge bekannt ist, verwenden Sie die entsprechenden Formeln, um den Nenner der Folge zu ermitteln:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), wobei Sn die Summe der ersten n Terme der geometrischen Folge ist und
S = b1/(1-q), wobei S die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist (die Summe aller Terme der Progression mit einem Nenner kleiner als eins).
Beispiel.

Der erste Term einer abnehmenden geometrischen Folge ist gleich eins und die Summe aller ihrer Terme ist gleich zwei.

Es ist erforderlich, den Nenner dieser Progression zu bestimmen.
Lösung:

Setzen Sie die Daten aus dem Problem in die Formel ein. Es wird sich herausstellen:
2=1/(1-q), daher – q=1/2.

Eine Progression ist eine Folge von Zahlen. In einer geometrischen Folge wird jeder nachfolgende Term durch Multiplikation des vorherigen mit einer bestimmten Zahl q, dem Nenner der Folge, erhalten.

Anweisungen

Wenn zwei benachbarte geometrische Terme b(n+1) und b(n) bekannt sind, müssen Sie, um den Nenner zu erhalten, die Zahl mit der größeren Zahl durch die Zahl davor dividieren: q=b(n+1)/b (N). Dies ergibt sich aus der Definition der Progression und ihrem Nenner. Eine wichtige Bedingung ist, dass der erste Term und der Nenner der Progression ungleich Null sind, andernfalls gilt sie als undefiniert.

Somit werden die folgenden Beziehungen zwischen den Termen der Progression hergestellt: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Mit der Formel b(n)=b1 q^(n-1) kann jeder Term der geometrischen Folge berechnet werden, bei dem der Nenner q und der Term b1 bekannt sind. Außerdem ist jede der Progressionen im Modul gleich dem Durchschnitt ihrer benachbarten Mitglieder: |b(n)|=√, woher die Progression ihren Wert hat.

Ein Analogon einer geometrischen Folge ist die einfachste Exponentialfunktion y=a^x, wobei x ein Exponent und a eine bestimmte Zahl ist. In diesem Fall stimmt der Nenner der Progression mit dem ersten Term überein und ist gleich der Zahl a. Der Wert der Funktion y kann als n-ter Term der Folge aufgefasst werden, wenn das Argument x als natürliche Zahl n (Zähler) angenommen wird.

Für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge gilt: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Diese Formel gilt für q≠1. Wenn q=1, dann wird die Summe der ersten n Terme nach der Formel S(n)=n b1 berechnet. Übrigens wird die Progression als ansteigend bezeichnet, wenn q größer als eins und b1 positiv ist. Wenn der Nenner der Progression im absoluten Wert eins nicht überschreitet, wird die Progression als absteigend bezeichnet.

Ein Sonderfall einer geometrischen Progression ist eine unendlich abnehmende geometrische Progression (unendlich abnehmende geometrische Progression). Tatsache ist, dass die Terme einer abnehmenden geometrischen Progression immer wieder abnehmen, aber niemals Null erreichen. Trotzdem ist es möglich, die Summe aller Terme einer solchen Progression zu ermitteln. Sie wird durch die Formel S=b1/(1-q) bestimmt. Die Gesamtzahl der Terme n ist unendlich.

Um zu veranschaulichen, wie man unendlich viele Zahlen addieren kann, ohne die Unendlichkeit zu erhalten, backen Sie einen Kuchen. Schneiden Sie die Hälfte davon ab. Dann die Hälfte abschneiden und so weiter. Die Stücke, die Sie erhalten, sind nichts anderes als Mitglieder einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit einem Nenner von 1/2. Wenn Sie alle diese Stücke zusammenzählen, erhalten Sie den Originalkuchen.

Geometrieaufgaben sind eine besondere Art von Übung, die räumliches Denken erfordert. Wenn Sie eine geometrische Aufgabe nicht lösen können Aufgabe Versuchen Sie, die folgenden Regeln zu befolgen.

Anweisungen

Lesen Sie die Bedingungen der Aufgabe sehr sorgfältig durch. Wenn Sie sich an etwas nicht erinnern oder es nicht verstehen, lesen Sie es noch einmal.

Versuchen Sie herauszufinden, um welche Art von geometrischen Problemen es sich handelt, zum Beispiel um rechnerische Probleme, bei denen Sie einen Wert ermitteln müssen, um Probleme, die eine logische Denkkette erfordern, und um Probleme, bei denen es um die Konstruktion mit Zirkel und Lineal geht. Weitere Aufgaben gemischter Art. Wenn Sie die Art des Problems herausgefunden haben, versuchen Sie, logisch zu denken.

Wenden Sie den erforderlichen Satz für eine bestimmte Aufgabe an. Wenn Sie jedoch Zweifel haben oder überhaupt keine Optionen haben, versuchen Sie, sich an die Theorie zu erinnern, die Sie zu dem entsprechenden Thema studiert haben.

Halten Sie außerdem die Lösung des Problems in einem Entwurf fest. Versuchen Sie, die Richtigkeit Ihrer Lösung mit bekannten Methoden zu überprüfen.

Tragen Sie die Lösung des Problems sorgfältig in Ihr Notizbuch ein, ohne zu löschen oder zu streichen, und am wichtigsten: Es kann Zeit und Mühe kosten, die ersten geometrischen Probleme zu lösen. Sobald Sie diesen Prozess jedoch beherrschen, werden Sie anfangen, Aufgaben wie verrückt anzuklicken und es zu genießen!

Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) mit b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Mit anderen Worten: Jeder Term der Progression wird aus dem vorherigen Term erhalten, indem man ihn mit einem von Null verschiedenen Nenner der Progression q multipliziert.

Anweisungen

Progressionsprobleme werden am häufigsten gelöst, indem ein System in Bezug auf den ersten Term der Progression b1 und den Nenner der Progression q erstellt und dann befolgt wird. Um Gleichungen zu erstellen, ist es hilfreich, sich einige Formeln zu merken.

Wie drückt man den n-ten Term der Progression durch den ersten Term der Progression und den Nenner der Progression aus: b(n)=b1*q^(n-1).

Betrachten wir separat den Fall |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Erste Ebene

Geometrischer Verlauf. Umfassender Leitfaden mit Beispielen (2019)

Zahlenfolge

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.

Die Zahl mit der Zahl wird als n-tes Glied der Folge bezeichnet.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Die gebräuchlichsten Progressionsarten sind Arithmetik und Geometrie. In diesem Thema werden wir über den zweiten Typ sprechen – geometrischer Verlauf.

Warum ist eine geometrische Progression erforderlich und welche Geschichte hat sie?

Schon in der Antike beschäftigte sich der italienische Mathematikermönch Leonardo von Pisa (besser bekannt als Fibonacci) mit den praktischen Bedürfnissen des Handels. Der Mönch stand vor der Aufgabe, die kleinste Anzahl an Gewichten zu bestimmen, mit der ein Produkt gewogen werden kann. Fibonacci beweist in seinen Werken, dass ein solches Gewichtungssystem optimal ist: Dies ist eine der ersten Situationen, in denen Menschen mit einer geometrischen Folge zu tun hatten, von der Sie wahrscheinlich bereits gehört haben und die Sie zumindest allgemein verstehen. Wenn Sie das Thema vollständig verstanden haben, überlegen Sie, warum ein solches System optimal ist.

Derzeit manifestiert sich in der Lebenspraxis die geometrische Progression bei der Anlage von Geld bei einer Bank, wenn der Zinsbetrag auf den auf dem Konto für die Vorperiode angesammelten Betrag angerechnet wird. Mit anderen Worten: Wenn Sie Geld auf ein Festgeld bei einer Sparkasse legen, erhöht sich die Einlage nach einem Jahr um den ursprünglichen Betrag, d. h. Der neue Betrag entspricht dem Beitrag multipliziert mit. In einem weiteren Jahr erhöht sich dieser Betrag um, d.h. Der zu diesem Zeitpunkt erhaltene Betrag wird erneut mit multipliziert und so weiter. Eine ähnliche Situation wird bei Problemen zur Berechnung des sogenannten beschrieben Zinseszins- Der Prozentsatz wird jedes Mal vom Betrag auf dem Konto abgezogen, unter Berücksichtigung früherer Zinsen. Wir werden etwas später über diese Aufgaben sprechen.

Es gibt viele weitere einfache Fälle, in denen geometrische Progression angewendet wird. Zum Beispiel die Ausbreitung der Grippe: Eine Person infizierte eine andere Person, diese infizierte wiederum eine andere Person, und so ist die zweite Infektionswelle eine Person, und sie infizierte wiederum eine andere Person ... und so weiter. .

Übrigens ist eine Finanzpyramide, das gleiche MMM, eine einfache und trockene Berechnung, die auf den Eigenschaften einer geometrischen Progression basiert. Interessant? Lass es uns herausfinden.

Geometrischer Verlauf.

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge:

Sie werden sofort antworten, dass dies einfach ist und der Name einer solchen Folge eine arithmetische Folge mit der Differenz ihrer Terme ist. Wie wäre es damit:

Wenn Sie die vorherige Zahl von der nächsten Zahl subtrahieren, werden Sie feststellen, dass Sie jedes Mal eine neue Differenz erhalten (und so weiter), aber die Folge existiert definitiv und ist leicht zu erkennen – jede nachfolgende Zahl ist um ein Vielfaches größer als die vorherige!

Diese Art von Zahlenfolge wird aufgerufen geometrischer Verlauf und ist bezeichnet.

Geometrische Progression () ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Die Einschränkungen, dass der erste Term ( ) nicht gleich ist und nicht zufällig sind. Nehmen wir an, dass es keine gibt und der erste Term immer noch gleich ist und q gleich ist, hmm.. lass es sein, dann stellt sich heraus:

Stimmen Sie zu, dass dies kein Fortschritt mehr ist.

Wie Sie wissen, erhalten wir die gleichen Ergebnisse, wenn es eine andere Zahl als Null gibt, a. In diesen Fällen gibt es einfach keine Progression, da die gesamte Zahlenreihe entweder nur aus Nullen oder aus einer Zahl besteht und der Rest aus Nullen besteht.

Lassen Sie uns nun ausführlicher über den Nenner der geometrischen Folge sprechen, also o.

Wiederholen wir: - Das ist die Nummer Wie oft ändert sich jeder nachfolgende Begriff? geometrischer Verlauf.

Was denkst du, könnte es sein? Das ist richtig, positiv und negativ, aber nicht Null (darüber haben wir etwas weiter oben gesprochen).

Nehmen wir an, dass unseres positiv ist. Sei in unserem Fall a. Welchen Wert hat der zweite Term und? Das können Sie ganz einfach beantworten:

Alles ist richtig. Wenn also, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv.

Was ist, wenn es negativ ist? Zum Beispiel ein. Welchen Wert hat der zweite Term und?

Das ist eine ganz andere Geschichte

Versuchen Sie, die Bedingungen dieser Progression zu zählen. Wie viel hast du bekommen? Bei mir. Wenn also, dann wechseln sich die Vorzeichen der Terme der geometrischen Folge ab. Das heißt, wenn Sie eine Progression mit wechselnden Vorzeichen für ihre Mitglieder sehen, dann ist ihr Nenner negativ. Dieses Wissen kann Ihnen helfen, sich bei der Lösung von Problemen zu diesem Thema zu testen.

Jetzt üben wir ein wenig: Versuchen wir herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine geometrische Folge und welche eine arithmetische Folge sind:

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:

• Geometrischer Verlauf - 3, 6.
• Arithmetische Folge - 2, 4.
• Es handelt sich weder um eine arithmetische noch um eine geometrische Folge – 1, 5, 7.

Kehren wir zu unserer letzten Folge zurück und versuchen, ihr Mitglied zu finden, genau wie in der arithmetischen Folge. Wie Sie vielleicht schon vermutet haben, gibt es zwei Möglichkeiten, es zu finden.

Wir multiplizieren nacheinander jeden Term mit.

Der te Term der beschriebenen geometrischen Folge ist also gleich.

Wie Sie bereits vermutet haben, werden Sie nun selbst eine Formel ableiten, die Ihnen hilft, jedes Mitglied der geometrischen Folge zu finden. Oder haben Sie es bereits selbst entwickelt und beschrieben, wie Sie Schritt für Schritt das richtige Mitglied finden? Wenn ja, dann überprüfen Sie die Richtigkeit Ihrer Argumentation.

Lassen Sie uns dies am Beispiel der Suche nach dem th-Term dieser Progression veranschaulichen:

Mit anderen Worten:

Finden Sie selbst den Wert des Termes der gegebenen geometrischen Folge.

Passiert? Vergleichen wir unsere Antworten:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir nacheinander mit jedem vorherigen Term der geometrischen Folge multipliziert haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Die abgeleitete Formel gilt für alle Werte – sowohl positive als auch negative. Überprüfen Sie dies selbst, indem Sie die Terme der geometrischen Folge mit den folgenden Bedingungen berechnen: , a.

Hast du gezählt? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Stimmen Sie zu, dass es möglich wäre, einen Term einer Progression auf die gleiche Weise wie einen Term zu finden, allerdings besteht die Möglichkeit einer falschen Berechnung. Und wenn wir den dritten Term der geometrischen Folge bereits gefunden haben, was könnte dann einfacher sein, als den „abgeschnittenen“ Teil der Formel zu verwenden?

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf.

Vor kurzem haben wir darüber gesprochen, dass er entweder größer oder kleiner als Null sein kann, es gibt jedoch spezielle Werte, für die der geometrische Verlauf aufgerufen wird unendlich abnehmend.

Warum wird Ihrer Meinung nach dieser Name vergeben?
Schreiben wir zunächst eine geometrische Folge auf, die aus Termen besteht.
Sagen wir dann:

Wir sehen, dass jeder nachfolgende Term um einen Faktor kleiner ist als der vorherige, aber wird es eine Zahl geben? Sie werden sofort mit „Nein“ antworten. Deshalb nimmt es unendlich ab – es nimmt immer weiter ab, wird aber nie Null.

Um klar zu verstehen, wie dies visuell aussieht, versuchen wir, eine Grafik unseres Fortschritts zu zeichnen. Für unseren Fall hat die Formel also die folgende Form:

In Diagrammen sind wir es gewohnt, Abhängigkeiten darzustellen, daher:

Das Wesen des Ausdrucks hat sich nicht geändert: Im ersten Eintrag haben wir die Abhängigkeit des Wertes eines Mitglieds einer geometrischen Folge von seiner Ordnungszahl gezeigt, und im zweiten Eintrag haben wir einfach den Wert eines Mitglieds einer geometrischen Folge angenommen als , und bezeichnete die Ordnungszahl nicht als, sondern als. Jetzt muss nur noch ein Diagramm erstellt werden.
Lass sehen was du bekommen hast. Hier ist die Grafik, die ich erstellt habe:

Siehst du? Die Funktion nimmt ab, strebt gegen Null, überschreitet sie jedoch nie, ist also unendlich fallend. Markieren wir unsere Punkte im Diagramm und geben gleichzeitig an, was die Koordinate und die Bedeutung sind:

Versuchen Sie, einen Graphen einer geometrischen Folge schematisch darzustellen, wenn auch ihr erster Term gleich ist. Analysieren Sie, was der Unterschied zu unserem vorherigen Diagramm ist.

Hast du es geschafft? Hier ist die Grafik, die ich erstellt habe:

Nachdem Sie nun die Grundlagen des Themas der geometrischen Progression vollständig verstanden haben: Sie wissen, was sie ist, Sie wissen, wie man ihren Begriff findet und Sie wissen auch, was eine unendlich abnehmende geometrische Progression ist, kommen wir zu ihrer Haupteigenschaft.

Eigenschaft der geometrischen Progression.

Erinnern Sie sich an die Eigenschaft der Terme einer arithmetischen Folge? Ja, ja, wie findet man den Wert einer bestimmten Zahl einer Progression, wenn es vorherige und nachfolgende Werte der Terme dieser Progression gibt? Erinnerst du dich? Das hier:

Jetzt stehen wir vor genau der gleichen Frage nach den Termen einer geometrischen Folge. Um eine solche Formel abzuleiten, beginnen wir mit dem Zeichnen und Denken. Sie werden sehen, es ist ganz einfach, und wenn Sie es vergessen, können Sie es selbst herausholen.

Nehmen wir eine weitere einfache geometrische Folge, in der wir wissen und. Wie findet man? Mit der arithmetischen Progression ist es einfach und unkompliziert, aber wie sieht es hier aus? Tatsächlich gibt es auch in der Geometrie nichts Kompliziertes – Sie müssen nur jeden uns gegebenen Wert gemäß der Formel aufschreiben.

Sie fragen sich vielleicht: Was sollen wir jetzt dagegen tun? Ja, ganz einfach. Lassen Sie uns zunächst diese Formeln in einem Bild darstellen und versuchen, verschiedene Manipulationen damit durchzuführen, um den Wert zu ermitteln.

Lassen Sie uns von den uns gegebenen Zahlen abstrahieren und uns nur auf ihren Ausdruck durch die Formel konzentrieren. Wir müssen den orange hervorgehobenen Wert finden und die daneben stehenden Begriffe kennen. Versuchen wir, mit ihnen verschiedene Aktionen auszuführen, die wir erreichen können.

Zusatz.
Versuchen wir, zwei Ausdrücke hinzuzufügen, und wir erhalten:

Wie Sie sehen, können wir diesen Ausdruck in keiner Weise ausdrücken, daher werden wir eine andere Option ausprobieren – die Subtraktion.

Subtraktion.

Wie Sie sehen, können wir dies auch nicht ausdrücken. Versuchen wir daher, diese Ausdrücke miteinander zu multiplizieren.

Multiplikation.

Schauen Sie sich nun genau an, was wir erhalten, indem wir die Terme der uns gegebenen geometrischen Progression mit dem vergleichen, was gefunden werden muss:

Ratet mal, wovon ich rede? Um das richtig zu finden, müssen wir die Quadratwurzel der geometrischen Folgezahlen ziehen, die an die gewünschte Zahl angrenzen und miteinander multipliziert werden:

Bitte schön. Sie haben selbst die Eigenschaft der geometrischen Progression abgeleitet. Versuchen Sie, diese Formel in allgemeiner Form zu schreiben. Passiert?

Bedingung für vergessen? Überlegen Sie, warum es wichtig ist, und versuchen Sie es beispielsweise selbst zu berechnen. Was wird in diesem Fall passieren? Das ist richtig, völliger Unsinn, denn die Formel sieht so aus:

Vergessen Sie daher diese Einschränkung nicht.

Berechnen wir nun, was es bedeutet

Korrekte Antwort - ! Wenn Sie bei der Berechnung den zweiten möglichen Wert nicht vergessen haben, sind Sie in Ordnung und können sofort mit dem Training fortfahren. Wenn Sie es vergessen haben, lesen Sie, was unten besprochen wird, und achten Sie darauf, warum es notwendig ist, beide Wurzeln aufzuschreiben in der Antwort.

Zeichnen wir unsere beiden geometrischen Verläufe – einen mit einem Wert und den anderen mit einem Wert – und prüfen wir, ob beide eine Daseinsberechtigung haben:

Um zu überprüfen, ob eine solche geometrische Folge existiert oder nicht, muss geprüft werden, ob alle ihre gegebenen Terme gleich sind. Berechnen Sie q für den ersten und zweiten Fall.

Sehen Sie, warum wir zwei Antworten schreiben müssen? Denn das Vorzeichen des gesuchten Begriffs hängt davon ab, ob es positiv oder negativ ist! Und da wir nicht wissen, was es ist, müssen wir beide Antworten mit einem Plus und einem Minus schreiben.

Nachdem Sie nun die Hauptpunkte gemeistert und die Formel für die Eigenschaft der geometrischen Progression abgeleitet haben, finden, kennen und

Vergleichen Sie Ihre Antworten mit den richtigen:

Was denken Sie, was wäre, wenn uns nicht die Werte der Terme der geometrischen Folge neben der gewünschten Zahl, sondern in gleichem Abstand davon gegeben würden? Zum Beispiel müssen wir finden, und gegeben und. Können wir die Formel, die wir in diesem Fall abgeleitet haben, verwenden? Versuchen Sie, diese Möglichkeit auf die gleiche Weise zu bestätigen oder zu widerlegen, indem Sie beschreiben, woraus jeder Wert besteht, wie Sie es bei der ursprünglichen Ableitung der Formel getan haben.
Was hast du bekommen?

Schauen Sie nun noch einmal genau hin.
und entsprechend:

Daraus können wir schließen, dass die Formel funktioniert nicht nur mit Nachbarn mit den gewünschten Termen des geometrischen Verlaufs, aber auch mit äquidistant von dem, was die Mitglieder suchen.

Somit hat unsere Ausgangsformel die Form:

Das heißt, wenn wir das im ersten Fall gesagt haben, sagen wir jetzt, dass es gleich jeder natürlichen Zahl sein kann, die kleiner ist. Die Hauptsache ist, dass es für beide angegebenen Zahlen gleich ist.

Üben Sie mit konkreten Beispielen, seien Sie nur äußerst vorsichtig!

1. , . Finden.
2. , . Finden.
3. , . Finden.

Entschieden? Ich hoffe, Sie waren äußerst aufmerksam und haben einen kleinen Haken bemerkt.

Vergleichen wir die Ergebnisse.

In den ersten beiden Fällen wenden wir ruhig die obige Formel an und erhalten folgende Werte:

Im dritten Fall stellen wir bei sorgfältiger Prüfung der Seriennummern der uns gegebenen Zahlen fest, dass sie nicht den gleichen Abstand von der gesuchten Zahl haben: Es handelt sich um die vorherige Zahl, die aber an einer Position entfernt ist, also ist sie es Es ist nicht möglich, die Formel anzuwenden.

Wie man es löst? Es ist eigentlich gar nicht so schwierig, wie es scheint! Schreiben wir auf, woraus jede uns gegebene Zahl und die Zahl, nach der wir suchen, besteht.

Also haben wir und. Mal sehen, was wir mit ihnen machen können? Ich schlage vor, durch zu dividieren. Wir bekommen:

Wir setzen unsere Daten in die Formel ein:

Der nächste Schritt, den wir finden können, ist: Dazu müssen wir die Kubikwurzel der resultierenden Zahl ziehen.

Schauen wir uns nun noch einmal an, was wir haben. Wir haben es, aber wir müssen es finden, und es ist wiederum gleich:

Wir haben alle notwendigen Daten für die Berechnung gefunden. Ersetzen Sie in die Formel:

Unsere Antwort: .

Versuchen Sie, ein anderes ähnliches Problem selbst zu lösen:
Gegeben: ,
Finden:

Wie viel hast du bekommen? Bei mir - .

Wie Sie sehen, brauchen Sie im Wesentlichen Merken Sie sich nur eine Formel- . Den Rest können Sie jederzeit problemlos selbst abheben. Schreiben Sie dazu einfach die einfachste geometrische Folge auf ein Blatt Papier und notieren Sie, was jede ihrer Zahlen gemäß der oben beschriebenen Formel bedeutet.

Die Summe der Terme einer geometrischen Folge.

Schauen wir uns nun Formeln an, mit denen wir schnell die Summe der Terme einer geometrischen Folge in einem bestimmten Intervall berechnen können:

Um die Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge abzuleiten, multiplizieren Sie alle Teile der obigen Gleichung mit. Wir bekommen:

Schauen Sie genau hin: Was haben die letzten beiden Formeln gemeinsam? Das ist richtig, zum Beispiel gemeinsame Mitglieder und so weiter, mit Ausnahme des ersten und letzten Mitglieds. Versuchen wir, die 1. von der 2. Gleichung zu subtrahieren. Was hast du bekommen?

Drücken Sie nun den Term der geometrischen Progression durch die Formel aus und setzen Sie den resultierenden Ausdruck in unsere letzte Formel ein:

Gruppieren Sie den Ausdruck. Du solltest bekommen:

Jetzt bleibt nur noch Folgendes zu sagen:

Dementsprechend in diesem Fall.

Was ist, wenn? Welche Formel funktioniert dann? Stellen Sie sich eine geometrische Folge vor. Wie ist sie? Eine Reihe identischer Zahlen ist korrekt, daher sieht die Formel folgendermaßen aus:

Es gibt viele Legenden sowohl über die arithmetische als auch über die geometrische Progression. Eine davon ist die Legende von Set, dem Schöpfer des Schachs.

Viele Menschen wissen, dass das Schachspiel in Indien erfunden wurde. Als der Hindu-König sie traf, war er von ihrem Witz und den vielfältigen Stellungen, die ihr möglich waren, begeistert. Als der König erfuhr, dass es von einem seiner Untertanen erfunden worden war, beschloss er, ihn persönlich zu belohnen. Er rief den Erfinder zu sich und befahl ihm, ihn um alles zu bitten, was er wollte, und versprach, selbst den geschicktesten Wunsch zu erfüllen.

Seta bat um Zeit zum Nachdenken, und als Seta am nächsten Tag vor dem König erschien, überraschte er den König mit der beispiellosen Bescheidenheit seiner Bitte. Er bat darum, ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts zu geben, ein Weizenkorn für das zweite, ein Weizenkorn für das dritte, ein viertes usw.

Der König war wütend und vertrieb Seth mit der Begründung, dass die Bitte des Dieners der Großzügigkeit des Königs unwürdig sei, versprach aber, dass der Diener seine Körner für alle Quadrate des Bretts erhalten würde.

Und nun die Frage: Berechnen Sie anhand der Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge, wie viele Körner Seth erhalten sollte?

Beginnen wir mit der Überlegung. Da Seth gemäß der Bedingung ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts, für das zweite, für das dritte, für das vierte usw. verlangte, sehen wir, dass es sich bei dem Problem um eine geometrische Folge handelt. Was bedeutet es in diesem Fall?
Rechts.

Gesamtquadrate des Schachbretts. Jeweils, . Wir haben alle Daten, es bleibt nur noch, sie in die Formel einzubauen und zu berechnen.

Um uns die „Skala“ einer gegebenen Zahl zumindest annähernd vorzustellen, transformieren wir mithilfe der Gradeigenschaften:

Wenn Sie möchten, können Sie natürlich einen Taschenrechner nehmen und berechnen, welche Zahl am Ende herauskommt, und wenn nicht, müssen Sie sich auf mein Wort verlassen: Der Endwert des Ausdrucks wird sein.
Also:

Trillionen Billiarden Billionen Milliarden Millionen Tausend.

Puh) Wenn Sie sich vorstellen wollen, wie enorm diese Zahl ist, dann schätzen Sie ab, wie groß eine Scheune sein müsste, um die gesamte Getreidemenge unterzubringen.
Wenn die Scheune m hoch und m breit ist, müsste ihre Länge sich über km erstrecken, d. h. doppelt so weit wie von der Erde zur Sonne.

Wäre der König gut in Mathematik gewesen, hätte er den Wissenschaftler selbst einladen können, die Körner zu zählen, denn um eine Million Körner zu zählen, bräuchte er mindestens einen Tag unermüdlichen Zählens, und wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, Trillionen zu zählen, die Körner müsste sein ganzes Leben lang gezählt werden.

Lassen Sie uns nun ein einfaches Problem lösen, bei dem es um die Summe der Terme einer geometrischen Folge geht.
Ein Schüler der 5A-Klasse, Vasya, erkrankte an der Grippe, geht aber weiterhin zur Schule. Jeden Tag infiziert Vasya zwei Menschen, die wiederum zwei weitere Menschen infizieren und so weiter. Es gibt nur Leute in der Klasse. In wie vielen Tagen wird die ganze Klasse an Grippe erkranken?

Der erste Begriff der geometrischen Progression ist also Vasya, also eine Person. Der dritte Term der geometrischen Progression sind die beiden Menschen, die er am ersten Tag seiner Ankunft infizierte. Die Gesamtsumme der Progressionssemester entspricht der Anzahl der 5A-Studierenden. Dementsprechend sprechen wir von einem Verlauf, bei dem:

Setzen wir unsere Daten in die Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge ein:

Die ganze Klasse wird innerhalb weniger Tage krank. Glauben Sie nicht an Formeln und Zahlen? Versuchen Sie, die „Ansteckung“ der Studierenden selbst darzustellen. Passiert? Schauen Sie, wie es bei mir aussieht:

Berechnen Sie selbst, wie viele Tage es dauern würde, bis Schüler an Grippe erkranken, wenn jeder eine Person anstecken würde und nur eine Person in der Klasse wäre.

Welchen Wert hast du bekommen? Es stellte sich heraus, dass alle nach einem Tag krank wurden.

Wie Sie sehen, ähneln eine solche Aufgabe und die Zeichnung dafür einer Pyramide, in die jede weitere neue Leute „bringt“. Früher oder später kommt jedoch der Moment, in dem Letzteres niemanden anziehen kann. Wenn wir uns in unserem Fall vorstellen, dass die Klasse isoliert ist, schließt die Person aus die Kette (). Wenn also eine Person an einer Finanzpyramide beteiligt wäre, bei der Geld gespendet wird, wenn man zwei andere Teilnehmer mitbringt, dann würde die Person (oder im Allgemeinen) niemanden mitbringen und dementsprechend alles verlieren, was sie in diesen Finanzbetrug investiert hat.

Alles, was oben gesagt wurde, bezieht sich auf einen abnehmenden oder zunehmenden geometrischen Verlauf, aber wie Sie sich erinnern, haben wir einen besonderen Typ – einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf. Wie berechnet man die Summe seiner Mitglieder? Und warum weist diese Art der Progression bestimmte Merkmale auf? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden.

Schauen wir uns also zunächst noch einmal diese Zeichnung einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression aus unserem Beispiel an:

Schauen wir uns nun die etwas früher abgeleitete Formel für die Summe einer geometrischen Folge an:
oder

Was streben wir an? Das ist richtig, die Grafik zeigt, dass es gegen Null tendiert. Das heißt, at wird nahezu gleich sein bzw. wenn wir den Ausdruck berechnen, erhalten wir fast. In diesem Zusammenhang glauben wir, dass diese Klammer bei der Berechnung der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge vernachlässigt werden kann, da sie gleich ist.

- Formel ist die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge.

WICHTIG! Wir verwenden die Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge nur, wenn die Bedingung ausdrücklich besagt, dass wir die Summe finden müssen unendlich Anzahl der Mitglieder.

Wenn eine bestimmte Zahl n angegeben ist, verwenden wir die Formel für die Summe von n Termen, auch wenn oder.

Jetzt lasst uns üben.

1. Ermitteln Sie die Summe der ersten Terme der geometrischen Folge mit und.
2. Finden Sie die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit und.

Ich hoffe, Sie waren äußerst vorsichtig. Vergleichen wir unsere Antworten:

Jetzt wissen Sie alles über geometrische Progression und es ist Zeit, von der Theorie zur Praxis überzugehen. Die häufigsten geometrischen Progressionsprobleme, die in der Prüfung auftreten, sind Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses. Über diese werden wir sprechen.

Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses.

Sie haben wahrscheinlich schon von der sogenannten Zinseszinsformel gehört. Verstehen Sie, was es bedeutet? Wenn nicht, lassen Sie es uns herausfinden, denn sobald Sie den Prozess selbst verstanden haben, werden Sie sofort verstehen, was die geometrische Progression damit zu tun hat.

Wir alle gehen zur Bank und wissen, dass es für Einlagen unterschiedliche Konditionen gibt: Dazu gehören eine Laufzeit, Zusatzleistungen und Zinsen mit zwei unterschiedlichen Berechnungsarten – einfach und komplex.

MIT einfaches Interesse Alles ist mehr oder weniger klar: Die Zinsen fallen einmalig am Ende der Einlagenlaufzeit an. Das heißt, wenn wir sagen, dass wir 100 Rubel für ein Jahr einzahlen, werden diese erst am Ende des Jahres gutgeschrieben. Dementsprechend erhalten wir am Ende der Einzahlung Rubel.

Zinseszins- Dies ist eine Option, in der es auftritt Zinskapitalisierung, d.h. deren Addition zum Einzahlungsbetrag und anschließende Berechnung des Einkommens nicht aus dem ursprünglichen, sondern aus dem kumulierten Einzahlungsbetrag. Die Großschreibung erfolgt nicht ständig, sondern mit einer gewissen Häufigkeit. In der Regel sind diese Zeiträume gleich und am häufigsten verwenden Banken einen Monat, ein Quartal oder ein Jahr.

Nehmen wir an, dass wir jährlich die gleichen Rubel einzahlen, jedoch mit monatlicher Kapitalisierung der Einlage. Was machen wir?

Verstehst du hier alles? Wenn nicht, lassen Sie es uns Schritt für Schritt herausfinden.

Wir brachten Rubel zur Bank. Am Ende des Monats sollten wir auf unserem Konto einen Betrag haben, der sich aus unseren Rubel plus Zinsen zusammensetzt, das heißt:

Zustimmen?

Wir können es aus der Klammer nehmen und dann erhalten wir:

Stimmen Sie zu, diese Formel ähnelt bereits mehr dem, was wir am Anfang geschrieben haben. Jetzt müssen Sie nur noch die Prozentsätze ermitteln

In der Problemstellung werden wir über Jahresraten informiert. Wie Sie wissen, multiplizieren wir nicht mit, sondern wandeln Prozentsätze in Dezimalbrüche um, das heißt:

Rechts? Nun fragen Sie sich vielleicht: Woher kommt die Nummer? Sehr einfach!
Ich wiederhole: In der Problemstellung heißt es etwa JÄHRLICH Zinsen, die anfallen MONATLICH. Wie Sie wissen, berechnet uns die Bank in einem Jahr mit Monaten entsprechend einen Teil der Jahreszinsen pro Monat:

Haben Sie es erkannt? Versuchen Sie nun zu schreiben, wie dieser Teil der Formel aussehen würde, wenn ich sagen würde, dass die Zinsen täglich berechnet werden.
Hast du es geschafft? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Gut gemacht! Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Schreiben Sie, wie viel unserem Konto im zweiten Monat gutgeschrieben wird, und berücksichtigen Sie dabei, dass auf den angesammelten Einzahlungsbetrag Zinsen anfallen.
Folgendes habe ich bekommen:

Oder anders gesagt:

Ich denke, dass Sie in all dem bereits ein Muster und einen geometrischen Verlauf bemerkt haben. Schreiben Sie auf, wie hoch sein Mitglied sein wird, oder mit anderen Worten, wie viel Geld wir am Ende des Monats erhalten werden.
Tat? Lass uns das Prüfen!

Wie Sie sehen, erhalten Sie Rubel, wenn Sie ein Jahr lang Geld zu einem einfachen Zinssatz bei einer Bank anlegen, und wenn Sie zu einem Zinseszinssatz Geld erhalten, erhalten Sie Rubel. Der Nutzen ist gering, aber das passiert nur im Laufe des Jahres, aber über einen längeren Zeitraum ist die Kapitalisierung viel rentabler:

Schauen wir uns eine andere Art von Problem an, bei dem es um Zinseszinsen geht. Nach dem, was Sie herausgefunden haben, wird es für Sie elementar sein. Also die Aufgabe:

Das Unternehmen Zvezda begann im Jahr 2000 mit Kapital in Dollar in die Branche zu investieren. Seit 2001 erhält sie jedes Jahr einen Gewinn in Höhe des Vorjahreskapitals. Wie viel Gewinn wird das Unternehmen Zvezda Ende 2003 erzielen, wenn die Gewinne nicht aus dem Verkehr gezogen würden?

Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2000.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2001.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2002.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2003.

Oder wir schreiben kurz:

Für unseren Fall:

2000, 2001, 2002 und 2003.

Jeweils:
Rubel
Bitte beachten Sie, dass wir in diesem Problem weder durch noch durch dividieren, da der Prozentsatz JÄHRLICH angegeben und JÄHRLICH berechnet wird. Das heißt, achten Sie beim Lesen einer Aufgabe zum Zinseszins darauf, welcher Prozentsatz angegeben ist und in welchem ​​Zeitraum er berechnet wird, und fahren Sie erst dann mit den Berechnungen fort.
Jetzt wissen Sie alles über den geometrischen Verlauf.

Ausbildung.

1. Finden Sie den Term der geometrischen Progression, wenn bekannt ist, dass und
2. Finden Sie die Summe der ersten Terme der geometrischen Folge, wenn bekannt ist, dass und
3. Das Unternehmen MDM Capital begann im Jahr 2003 mit Kapital in Dollar in die Branche zu investieren. Seit 2004 erhält sie jedes Jahr einen Gewinn in Höhe des Vorjahreskapitals. Das Unternehmen MSK Cash Flows begann im Jahr 2005 mit Investitionen in Höhe von 10.000 US-Dollar in der Branche und erwirtschaftete ab 2006 einen Gewinn in Höhe von 10.000 US-Dollar. Um wie viel Dollar wäre das Kapital eines Unternehmens Ende 2007 größer als das des anderen, wenn die Gewinne nicht aus dem Verkehr gezogen würden?

Antworten:

1. Da die Problemstellung nicht besagt, dass die Progression unendlich ist und es erforderlich ist, die Summe einer bestimmten Anzahl ihrer Terme zu ermitteln, erfolgt die Berechnung nach der Formel:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - erhöht sich um 100 %, also um das Zweifache.
   Jeweils:
   Rubel
   MSK Cash Flows Unternehmen:

   2005, 2006, 2007.
   - erhöht sich um, das heißt um ein Vielfaches.
   Jeweils:
   Rubel
   Rubel

Fassen wir zusammen.

1) Geometrische Progression ( ) ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

2) Die Gleichung der Terme der geometrischen Progression lautet .

3) kann beliebige Werte außer und annehmen.

• Wenn, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv;
• Wenn, dann alle nachfolgenden Terme der Progression alternative Zeichen;
• wenn - die Progression wird als unendlich abnehmend bezeichnet.

4) , mit - Eigenschaft der geometrischen Progression (benachbarte Begriffe)

oder
, bei (äquidistante Terme)

Wenn Sie es finden, vergessen Sie das nicht Es sollte zwei Antworten geben.

Zum Beispiel,

5) Die Summe der Terme der geometrischen Progression wird nach der Formel berechnet:
oder

Wenn die Progression unendlich abnimmt, dann gilt:
oder

WICHTIG! Wir verwenden die Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge nur dann, wenn die Bedingung ausdrücklich besagt, dass wir die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen ermitteln müssen.

6) Zinseszinsprobleme werden ebenfalls mit der Formel des ten Termes einer geometrischen Progression berechnet, sofern keine Mittel aus dem Verkehr gezogen wurden:

GEOMETRISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Geometrischer Verlauf( ) ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Nummer wird angerufen Nenner einer geometrischen Folge.

Nenner der geometrischen Progression kann jeden Wert außer und annehmen.

• Wenn ja, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv;
• wenn, dann wechseln alle nachfolgenden Mitglieder der Progression die Vorzeichen;
• wenn - die Progression wird als unendlich abnehmend bezeichnet.

Gleichung der Terme der geometrischen Progression - .

Summe der Terme einer geometrischen Folge berechnet nach der Formel:
oder

Betrachten wir eine bestimmte Serie.

7 28 112 448 1792...

Es ist absolut klar, dass der Wert eines seiner Elemente genau viermal größer ist als der vorherige. Dies bedeutet, dass diese Serie eine Weiterentwicklung ist.

Eine geometrische Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, deren Hauptmerkmal darin besteht, dass die nächste Zahl aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl erhalten wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

a z +1 =a z ·q, wobei z die Nummer des ausgewählten Elements ist.

Dementsprechend ist z ∈ N.

Der Zeitraum, in dem geometrische Progression in der Schule gelernt wird, ist die 9. Klasse. Beispiele helfen Ihnen, das Konzept zu verstehen:

0.25 0.125 0.0625...

Basierend auf dieser Formel lässt sich der Nenner der Progression wie folgt ermitteln:

Weder q noch b z können Null sein. Außerdem sollte jedes der Elemente der Progression nicht gleich Null sein.

Um die nächste Zahl in einer Reihe herauszufinden, müssen Sie dementsprechend die letzte Zahl mit q multiplizieren.

Um diese Progression festzulegen, müssen Sie ihr erstes Element und ihren Nenner angeben. Danach ist es möglich, alle nachfolgenden Terme und deren Summe zu finden.

Sorten

Abhängig von q und a 1 wird dieser Verlauf in mehrere Typen unterteilt:

• Wenn sowohl a 1 als auch q größer als eins sind, dann ist eine solche Folge eine geometrische Folge, die mit jedem nachfolgenden Element zunimmt. Nachfolgend wird ein Beispiel hierfür vorgestellt.

Beispiel: a 1 =3, q=2 – beide Parameter sind größer als eins.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

3 6 12 24 48 ...

• Wenn |q| kleiner als eins ist, das heißt, die Multiplikation damit entspricht der Division, dann ist eine Folge mit ähnlichen Bedingungen eine abnehmende geometrische Folge. Nachfolgend wird ein Beispiel hierfür vorgestellt.

Beispiel: a 1 =6, q=1/3 – a 1 ist größer als eins, q ist kleiner.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

6 2 2/3 ... – jedes Element ist dreimal größer als das darauf folgende Element.

• Wechselzeichen. Wenn q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Beispiel: a 1 = -3, q = -2 – beide Parameter sind kleiner als Null.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

3, 6, -12, 24,...

Formeln

Es gibt viele Formeln zur bequemen Verwendung geometrischer Verläufe:

• Z-Term-Formel. Ermöglicht die Berechnung eines Elements unter einer bestimmten Zahl, ohne vorherige Zahlen zu berechnen.

Beispiel:Q = 3, A 1 = 4. Es ist erforderlich, das vierte Element der Progression zu zählen.

Lösung:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Menge gleich ist z. Ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente einer Sequenz bisein zinklusive.

Seit (1-Q) im Nenner steht, dann ist (1 - q)≠ 0, daher ist q ungleich 1.

Hinweis: Wenn q=1, dann wäre die Folge eine Reihe sich unendlich wiederholender Zahlen.

Summe der geometrischen Progression, Beispiele:A 1 = 2, Q= -2. Berechnen Sie S5.

Lösung:S 5 = 22 - Berechnung nach der Formel.

• Betrag, wenn |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Beispiel:A 1 = 2 , Q= 0,5. Finden Sie den Betrag.

Lösung:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Einige Eigenschaften:

• Charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung vorliegt Funktioniert für jedenz, dann ist die gegebene Zahlenreihe eine geometrische Folge:

ein z 2 = ein z -1 · Az+1

• Außerdem wird das Quadrat einer beliebigen Zahl in einer geometrischen Folge durch Addition der Quadrate zweier beliebiger anderer Zahlen in einer bestimmten Reihe ermittelt, sofern diese den gleichen Abstand von diesem Element haben.

ein z 2 = ein z - T 2 + ein z + T 2 , WoT- der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Elementeunterscheiden sich in qeinmal.
• Auch die Logarithmen der Elemente einer Progression bilden eine Progression, allerdings eine arithmetische, das heißt, jeder von ihnen ist um eine bestimmte Zahl größer als der vorherige.

Beispiele für einige klassische Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Folge ist, können Beispiele mit Lösungen für Klasse 9 hilfreich sein.

• Bedingungen:A 1 = 3, A 3 = 48. FindenQ.

Lösung: Jedes nachfolgende Element ist größer als das vorherige inQ einmal.Es ist notwendig, einige Elemente mithilfe eines Nenners durch andere auszudrücken.

Somit,A 3 = Q 2 · A 1

Beim AuswechselnQ= 4

• Bedingungen:A 2 = 6, A 3 = 12. Berechnen Sie S 6.

Lösung:Suchen Sie dazu einfach q, das erste Element, und setzen Sie es in die Formel ein.

A 3 = Q· A 2 , somit,Q= 2

a 2 = q · a 1 ,Deshalb a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Dazu genügt es, das vierte Element durch das erste und durch den Nenner auszudrücken.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Anwendungsbeispiel:

• Ein Bankkunde hat eine Einzahlung in Höhe von 10.000 Rubel getätigt, wobei dem Kunden jedes Jahr 6 % davon zum Kapitalbetrag hinzugerechnet werden. Wie viel Geld wird nach 4 Jahren auf dem Konto sein?

Lösung: Der Anfangsbetrag beträgt 10.000 Rubel. Dies bedeutet, dass das Konto ein Jahr nach der Investition einen Betrag von 10.000 + 10.000 aufweist · 0,06 = 10000 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto nach einem weiteren Jahr wie folgt ausgedrückt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Das heißt, jedes Jahr erhöht sich der Betrag um das 1,06-fache. Das bedeutet, dass es ausreicht, das vierte Element der Progression zu ermitteln, das aus dem ersten Element gleich 10.000 und dem Nenner gleich 1,06 besteht, um den Betrag auf dem Konto nach 4 Jahren zu ermitteln.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Beispiele für Summenberechnungsprobleme:

Geometrische Progression wird bei verschiedenen Problemen verwendet. Ein Beispiel zur Ermittlung der Summe kann wie folgt gegeben werden:

A 1 = 4, Q= 2, berechnenS 5.

Lösung: Alle für die Berechnung notwendigen Daten sind bekannt, Sie müssen sie nur noch in die Formel einsetzen.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Berechnen Sie die Summe der ersten sechs Elemente.

Lösung:

In Geom. In der Progression ist jedes nächste Element q-mal größer als das vorherige. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie das Element kennenA 1 und NennerQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Ebenso müssen Sie findenA 1 , wissendA 2 UndQ.

A 1 · Q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge ist sehr einfach. Sowohl in der Bedeutung als auch im allgemeinen Erscheinungsbild. Aber es gibt alle möglichen Probleme bei der Formel des n-ten Termes – von sehr primitiv bis ziemlich ernst. Und im Laufe unserer Bekanntschaft werden wir auf jeden Fall beides in Betracht ziehen. Na, lernen wir uns kennen?)

Eigentlich also zunächst einmal FormelN

Da ist sie:

b n = B 1 · qn -1

Die Formel ist nur eine Formel, nichts Übernatürliches. Es sieht noch einfacher und kompakter aus als eine ähnliche Formel. Auch die Bedeutung der Formel ist so einfach wie bei Filzstiefeln.

Mit dieser Formel können Sie JEDES Mitglied einer geometrischen Folge NACH SEINER NUMMER finden. N".

Wie Sie sehen können, ist die Bedeutung eine vollständige Analogie zu einer arithmetischen Folge. Wir kennen die Zahl n – unter dieser Zahl können wir auch den Begriff zählen. Was auch immer wir wollen. Ohne viele, viele Male wiederholt mit „q“ zu multiplizieren. Das ist der springende Punkt.)

Ich verstehe, dass Ihnen auf dieser Ebene der Arbeit mit Progressionen alle in der Formel enthaltenen Größen bereits klar sein sollten, aber ich halte es dennoch für meine Pflicht, jede einzelne zu entschlüsseln. Nur für den Fall.

Auf geht's:

B 1 – Erste Begriff der geometrischen Progression;

Q – ;

N- Mitgliedsnummer;

b n – nth (NTh) Begriff einer geometrischen Folge.

Diese Formel verbindet die vier Hauptparameter jeder geometrischen Progression – BN, B 1 , Q Und N. Und alle Fortschrittsprobleme drehen sich um diese vier Schlüsselfiguren.

„Wie wird es entfernt?“– Ich höre eine seltsame Frage... Elementar! Sehen!

Was ist gleich zweite Mitglied der Progression? Kein Problem! Wir schreiben direkt:

b 2 = b 1 ·q

Was ist mit dem dritten Mitglied? Auch kein Problem! Wir multiplizieren den zweiten Term noch einmal weiterQ.

So:

B 3 = b 2 q

Erinnern wir uns nun daran, dass der zweite Term wiederum gleich b 1 ·q ist, und setzen wir diesen Ausdruck in unsere Gleichung ein:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Wir bekommen:

B 3 = b 1 ·q 2

Lesen wir nun unseren Eintrag auf Russisch: dritte Term ist gleich dem ersten Term multipliziert mit q in zweite Grad. Verstehst du es? Noch nicht? Okay, noch ein Schritt.

Was ist der vierte Begriff? Alles das selbe! Multiplizieren vorherige(d. h. der dritte Term) auf q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Gesamt:

B 4 = b 1 ·q 3

Und wieder übersetzen wir ins Russische: vierte Term ist gleich dem ersten Term multipliziert mit q in dritte Grad.

Usw. Und wie? Haben Sie das Muster erkannt? Ja! Für jeden Term mit beliebiger Zahl ist die Anzahl der identischen Faktoren q (d. h. der Grad des Nenners) immer gleich eins weniger als die Nummer des gewünschten MitgliedsN.

Daher lautet unsere Formel ohne Abweichungen:

b n =B 1 · qn -1

Das ist alles.)

Nun, lasst uns die Probleme lösen, denke ich?)

Formelprobleme lösenNtes Glied einer geometrischen Progression.

Beginnen wir wie gewohnt mit der direkten Anwendung der Formel. Hier ist ein typisches Problem:

Im geometrischen Verlauf ist das bekannt B 1 = 512 und Q = -1/2. Finden Sie das zehnte Glied der Progression.

Natürlich kann dieses Problem ganz ohne Formeln gelöst werden. Direkt im Sinne einer geometrischen Progression. Aber mit der Formel für den n-ten Term müssen wir uns erst mal anfreunden, oder? Hier wärmen wir uns auf.

Unsere Daten zur Anwendung der Formel lauten wie folgt.

Das erste Mitglied ist bekannt. Das ist 512.

B 1 = 512.

Auch der Nenner der Progression ist bekannt: Q = -1/2.

Es bleibt nur noch herauszufinden, wie viele Mitglieder n es gibt. Kein Problem! Interessieren wir uns für das zehnte Semester? Deshalb setzen wir zehn statt n in die allgemeine Formel ein.

Und berechnen Sie sorgfältig die Arithmetik:

Antwort 1

Wie Sie sehen, war der zehnte Term der Progression negativ. Kein Wunder: Unser Progressionsnenner ist -1/2, d.h. Negativ Nummer. Und das sagt uns, dass sich die Zeichen unseres Fortschritts abwechseln, ja.)

Hier ist alles einfach. Hier ist ein ähnliches Problem, aber hinsichtlich der Berechnungen etwas komplizierter.

Im geometrischen Verlauf ist bekannt, dass:

B 1 = 3

Finden Sie das dreizehnte Glied der Progression.

Alles ist beim Alten, nur ist es diesmal der Nenner der Progression irrational. Wurzel aus zwei. Nun, das ist okay. Die Formel ist eine universelle Sache; sie kann mit beliebigen Zahlen umgehen.

Wir arbeiten direkt nach der Formel:

Die Formel hat natürlich so funktioniert, wie sie sollte, aber ... hier bleiben einige Leute stecken. Was tun als nächstes mit der Wurzel? Wie erhebt man eine Wurzel in die zwölfte Potenz?

Wie-wie... Sie müssen verstehen, dass jede Formel natürlich eine gute Sache ist, aber Kenntnisse aller bisherigen Mathematik werden nicht aufgehoben! Wie zu bauen? Ja, denken Sie an die Eigenschaften von Graden! Lassen Sie uns die Wurzel in verwandeln gebrochener Grad und – nach der Formel zur Erhöhung eines Abschlusses zu einem Abschluss.

So:

Antwort: 192

Und das ist alles.)

Was ist die Hauptschwierigkeit bei der direkten Anwendung der n-ten Termformel? Ja! Die Hauptschwierigkeit besteht darin Arbeiten mit Abschlüssen! Nämlich die Potenzierung negativer Zahlen, Brüche, Wurzeln und ähnlicher Konstruktionen. Wer also damit Probleme hat, bitte die Abschlüsse und deren Eigenschaften wiederholen! Sonst bremst man auch dieses Thema aus, ja...)

Lassen Sie uns nun typische Suchprobleme lösen eines der Elemente der Formel, wenn alle anderen gegeben sind. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, ist das Rezept einheitlich und furchtbar einfach – Schreiben Sie die FormelN-tes Mitglied im Allgemeinen! Direkt im Notizbuch neben dem Zustand. Und dann finden wir anhand der Bedingung heraus, was uns gegeben ist und was fehlt. Und wir drücken den gewünschten Wert aus der Formel aus. Alle!

Zum Beispiel so ein harmloses Problem.

Der fünfte Term einer geometrischen Folge mit Nenner 3 ist 567. Finden Sie den ersten Term dieser Folge.

Nichts Kompliziertes. Wir arbeiten direkt nach dem Zauberspruch.

Schreiben wir die Formel für den n-ten Term!

b n = B 1 · qn -1

Was wurde uns gegeben? Zunächst wird der Nenner der Progression angegeben: Q = 3.

Darüber hinaus sind wir gegeben fünftes Mitglied: B 5 = 567 .

Alle? Nein! Wir haben auch die Nummer n bekommen! Das sind fünf: n = 5.

Ich hoffe, Sie verstehen bereits, was in der Aufnahme enthalten ist B 5 = 567 zwei Parameter werden gleichzeitig ausgeblendet – das ist der fünfte Term selbst (567) und seine Nummer (5). Darüber habe ich bereits in einer ähnlichen Lektion gesprochen, aber ich denke, es ist auch hier erwähnenswert.)

Jetzt setzen wir unsere Daten in die Formel ein:

567 = B 1 ·3 5-1

Wir rechnen, vereinfachen und erhalten eine einfache lineare Gleichung:

81 B 1 = 567

Wir lösen und erhalten:

B 1 = 7

Wie Sie sehen, gibt es keine Probleme, den ersten Begriff zu finden. Aber bei der Suche nach dem Nenner Q und Zahlen N Es kann auch Überraschungen geben. Und man muss auch auf sie (Überraschungen) vorbereitet sein, ja.)

Zum Beispiel dieses Problem:

Der fünfte Term einer geometrischen Folge mit positivem Nenner ist 162, und der erste Term dieser Folge ist 2. Finden Sie den Nenner der Folge.

Dieses Mal erhalten wir den ersten und fünften Term und werden gebeten, den Nenner der Progression zu finden. Auf geht's.

Wir schreiben die FormelNMitglied!

b n = B 1 · qn -1

Unsere Ausgangsdaten lauten wie folgt:

B 5 = 162

B 1 = 2

N = 5

Fehlender Wert Q. Kein Problem! Finden wir es jetzt.) Wir setzen alles, was wir wissen, in die Formel ein.

Wir bekommen:

162 = 2Q 5-1

2 Q 4 = 162

Q 4 = 81

Eine einfache Gleichung vierten Grades. Und nun - sorgfältig! In diesem Stadium der Lösung extrahieren viele Schüler sofort freudig die Wurzel (des vierten Grades) und erhalten die Antwort Q=3 .

So:

q4 = 81

Q = 3

Aber eigentlich ist dies eine unvollendete Antwort. Genauer gesagt unvollständig. Warum? Der Punkt ist, dass die Antwort Q = -3 auch passend: (-3) 4 wird auch 81 sein!

Dies liegt an der Leistungsgleichung x n = A schon immer zwei entgegengesetzte Wurzeln bei sogarN . Mit Plus und Minus:

Beide sind geeignet.

Zum Beispiel bei der Entscheidung (d. h. zweite Grad)

x 2 = 9

Aus irgendeinem Grund überrascht Sie das Aussehen nicht zwei Wurzeln x=±3? Hier ist es das Gleiche. Und mit jedem anderen sogar Grad (vierter, sechster, zehnter usw.) wird derselbe sein. Details finden Sie im Thema über

Daher wäre die richtige Lösung:

Q 4 = 81

Q= ±3

Okay, wir haben die Zeichen geklärt. Welches ist richtig – Plus oder Minus? Nun, lesen wir die Problemstellung noch einmal auf der Suche nach Weitere Informationen. Natürlich kann es sein, dass es sie nicht gibt, aber bei diesem Problem handelt es sich um solche Informationen verfügbar. Unsere Bedingung besagt im Klartext, dass eine Progression mit gegeben ist positiver Nenner.

Daher liegt die Antwort auf der Hand:

Q = 3

Hier ist alles einfach. Was würde Ihrer Meinung nach passieren, wenn die Problemstellung so wäre:

Der fünfte Term einer geometrischen Folge ist 162, und der erste Term dieser Folge ist 2. Finden Sie den Nenner der Folge.

Was ist der Unterschied? Ja! Im Zustand Nichts Das Vorzeichen des Nenners wird nicht erwähnt. Weder direkt noch indirekt. Und hier wäre das Problem schon zwei Lösungen!

Q = 3 Und Q = -3

Ja Ja! Sowohl mit einem Plus als auch mit einem Minus.) Mathematisch würde diese Tatsache bedeuten, dass es sie gibt zwei Fortschritte, die den Bedingungen des Problems entsprechen. Und jeder hat seinen eigenen Nenner. Üben Sie einfach zum Spaß und schreiben Sie jeweils die ersten fünf Begriffe auf.)

Lassen Sie uns nun üben, die Mitgliedsnummer zu finden. Dieses Problem ist das schwierigste, ja. Aber auch kreativer.)

Gegeben eine geometrische Progression:

3; 6; 12; 24; …

Welche Zahl in dieser Folge ist die Zahl 768?

Der erste Schritt ist immer noch derselbe: Schreiben Sie die FormelNMitglied!

b n = B 1 · qn -1

Und jetzt ersetzen wir wie üblich die uns bekannten Daten darin. Hm... es funktioniert nicht! Wo ist der erste Term, wo ist der Nenner, wo ist alles andere?!

Wo, wo... Warum brauchen wir Augen? Flattern Sie mit den Wimpern? Diesmal wird uns der Verlauf direkt im Formular mitgeteilt Sequenzen. Können wir das erste Mitglied sehen? Wir sehen! Dies ist ein Tripel (b 1 = 3). Was ist mit dem Nenner? Wir sehen es noch nicht, aber es ist sehr einfach zu zählen. Wenn Sie das natürlich verstehen...

Also zählen wir. Direkt entsprechend der Bedeutung einer geometrischen Folge: Wir nehmen einen ihrer Terme (außer dem ersten) und dividieren durch den vorherigen.

Zumindest so:

Q = 24/12 = 2

Was wissen wir sonst noch? Wir kennen auch einen Term dieser Folge, der 768 entspricht. Unter einer bestimmten Zahl n:

b n = 768

Wir kennen seine Nummer nicht, aber unsere Aufgabe besteht genau darin, ihn zu finden.) Also suchen wir. Wir haben bereits alle notwendigen Daten zur Substitution in die Formel heruntergeladen. Ohne Ihr Wissen.)

Hier ersetzen wir:

768 = 3 2N -1

Machen wir die elementaren: Teilen Sie beide Seiten durch drei und schreiben Sie die Gleichung in der üblichen Form um: Das Unbekannte steht links, das Bekannte rechts.

Wir bekommen:

2 N -1 = 256

Das ist eine interessante Gleichung. Wir müssen „n“ finden. Was, ungewöhnlich? Ja, ich widerspreche nicht. Eigentlich ist das die einfachste Sache. Es wird so genannt, weil das Unbekannte (in diesem Fall ist es die Zahl) ist N) Kosten in Indikator Grad.

In der Phase, in der man etwas über geometrische Progression lernt (das ist die neunte Klasse), bringt man einem nicht bei, wie man Exponentialgleichungen löst, ja ... Das ist ein Thema für die Oberstufe. Aber es gibt nichts Beängstigendes. Auch wenn Sie nicht wissen, wie solche Gleichungen gelöst werden, versuchen wir, unsere zu finden N, geleitet von einfacher Logik und gesundem Menschenverstand.

Lasst uns anfangen zu reden. Auf der linken Seite haben wir eine Zwei bis zu einem gewissen Grad. Wir wissen noch nicht genau, was dieser Abschluss ist, aber das ist nicht beängstigend. Aber wir wissen mit Sicherheit, dass dieser Grad 256 entspricht! Wir erinnern uns also daran, inwieweit uns eine Zwei 256 ergibt. Erinnern Sie sich? Ja! IN achte Grad!

256 = 2 8

Wenn Sie sich nicht erinnern oder Probleme damit haben, die Grade zu erkennen, dann ist das auch in Ordnung: einfach nacheinander Quadrat zwei, Kubik, Quarte, Quinte und so weiter. Auswahl zwar, aber auf dieser Ebene wird es ganz gut funktionieren.

Auf die eine oder andere Weise erhalten wir:

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

Also 768 ist neunte Mitglied unserer Weiterentwicklung. Das war's, Problem gelöst.)

Antwort: 9

Was? Langweilig? Haben Sie genug von einfachen Dingen? Zustimmen. Und mir auch. Gehen wir zum nächsten Level.)

Komplexere Aufgaben.

Lassen Sie uns nun anspruchsvollere Probleme lösen. Nicht gerade supercool, aber solche, die ein wenig Arbeit erfordern, um die Antwort zu finden.

Zum Beispiel dieses hier.

Finden Sie den zweiten Term einer geometrischen Folge, wenn ihr vierter Term -24 und ihr siebter Term 192 ist.

Dies ist ein Klassiker des Genres. Es sind zwei unterschiedliche Begriffe der Progression bekannt, es muss jedoch ein anderer Begriff gefunden werden. Darüber hinaus sind NICHT alle Mitglieder benachbart. Was zunächst verwirrend ist, ja...

Um solche Probleme zu lösen, werden wir zwei Methoden in Betracht ziehen. Die erste Methode ist universell. Algebraisch. Funktioniert einwandfrei mit allen Quelldaten. Hier fangen wir also an.)

Wir beschreiben jeden Begriff gemäß der Formel NMitglied!

Alles ist genauso wie bei einer arithmetischen Folge. Nur dieses Mal arbeiten wir mit ein anderer allgemeine Formel. Das ist alles.) Aber das Wesentliche ist dasselbe: Wir nehmen und Einer nach dem anderen Wir setzen unsere Anfangsdaten in die Formel für den n-ten Term ein. Für jedes Mitglied - sein eigenes.

Für das vierte Semester schreiben wir:

B 4 = B 1 · Q 3

-24 = B 1 · Q 3

Essen. Eine Gleichung ist fertig.

Für das siebte Semester schreiben wir:

B 7 = B 1 · Q 6

192 = B 1 · Q 6

Insgesamt haben wir zwei Gleichungen für der gleiche Verlauf .

Wir stellen daraus ein System zusammen:

Trotz seines bedrohlichen Aussehens ist das System recht einfach. Die naheliegendste Lösung ist die einfache Substitution. Wir drücken aus B 1 aus der oberen Gleichung und setze sie in die untere ein:

Nachdem wir ein wenig mit der unteren Gleichung herumgespielt haben (die Potenzen reduzieren und durch -24 dividieren), erhalten wir:

Q 3 = -8

Die gleiche Gleichung kann übrigens auch auf einfachere Weise ermittelt werden! Welcher? Jetzt zeige ich Ihnen einen weiteren geheimen, aber sehr schönen, leistungsstarken und nützlichen Weg, solche Systeme zu lösen. Solche Systeme, deren Gleichungen umfassen Funktioniert nur. Zumindest in einem. Angerufen Teilungsmethode eine Gleichung zur anderen.

Wir haben also ein System vor uns:

In beiden Gleichungen links - arbeiten, und rechts ist nur eine Zahl. Das ist ein sehr gutes Zeichen.) Nehmen wir es und ... dividieren wir beispielsweise die untere Gleichung durch die obere! Was heißt, Teilen wir eine Gleichung durch eine andere? Sehr einfach. Lass es uns nehmen linke Seite eine Gleichung (unten) und teilen sie an linke Seite eine weitere Gleichung (oben). Die rechte Seite ist ähnlich: rechte Seite eine Gleichung teilen An rechte Seite ein anderer.

Der gesamte Teilungsprozess sieht folgendermaßen aus:

Wenn wir nun alles reduzieren, was reduziert werden kann, erhalten wir:

Q 3 = -8

Was ist das Gute an dieser Methode? Ja, denn bei einer solchen Aufteilung kann alles Schlechte und Unbequeme sicher reduziert werden und es bleibt eine völlig harmlose Gleichung übrig! Deshalb ist es so wichtig, es zu haben Nur Multiplikation in mindestens einer der Gleichungen des Systems. Es gibt keine Multiplikation – es gibt nichts zu reduzieren, ja ...

Im Allgemeinen verdient diese Methode (wie viele andere nicht triviale Methoden zur Lösung von Systemen) sogar eine gesonderte Lektion. Ich werde mir das auf jeden Fall genauer ansehen. Irgendwann mal…

Es spielt jedoch keine Rolle, wie genau Sie das System lösen. Jetzt müssen wir auf jeden Fall die resultierende Gleichung lösen:

Q 3 = -8

Kein Problem: Extrahieren Sie die Kubikwurzel und fertig!

Bitte beachten Sie, dass beim Extrahieren hier kein Plus/Minus eingegeben werden muss. Unsere Wurzel hat einen ungeraden (dritten) Grad. Und die Antwort ist auch dieselbe, ja.)

Damit ist der Nenner der Progression gefunden. Minus zwei. Großartig! Der Prozess ist noch nicht abgeschlossen.)

Für den ersten Term (z. B. aus der oberen Gleichung) erhalten wir:

Großartig! Wir kennen den ersten Term, wir kennen den Nenner. Und jetzt haben wir die Möglichkeit, jedes Mitglied der Progression zu finden. Einschließlich des zweiten.)

Für das zweite Semester ist alles ganz einfach:

B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6

Antwort: -6

Wir haben also die algebraische Methode zur Lösung des Problems aufgeschlüsselt. Schwierig? Nicht wirklich, da stimme ich zu. Lang und mühsam? Ja auf jeden Fall. Aber manchmal kann man den Arbeitsaufwand deutlich reduzieren. Dafür gibt es grafische Methode. Gut alt und uns vertraut.)

Lasst uns ein Problem zeichnen!

Ja! Genau so. Auch hier stellen wir unseren Fortschritt auf der Zahlenachse dar. Es ist nicht notwendig, einem Lineal zu folgen, es ist nicht notwendig, gleiche Abstände zwischen den Begriffen einzuhalten (die übrigens nicht gleich sein werden, da die Progression geometrisch ist!), sondern ganz einfach schematisch Zeichnen wir unsere Reihenfolge.

Ich habe es so hinbekommen:

Schauen Sie sich nun das Bild an und finden Sie es heraus. Wie viele identische Faktoren „q“ trennen vierte Und siebte Mitglieder? Genau, drei!

Deshalb haben wir jedes Recht zu schreiben:

-24·Q 3 = 192

Von hier aus ist es nun leicht, q zu finden:

Q 3 = -8

Q = -2

Das ist großartig, wir haben den Nenner bereits in der Tasche. Schauen wir uns nun noch einmal das Bild an: Wie viele solcher Nenner liegen dazwischen? zweite Und vierte Mitglieder? Zwei! Um den Zusammenhang zwischen diesen Begriffen aufzuzeichnen, konstruieren wir daher den Nenner kariert.

Also schreiben wir:

B 2 · Q 2 = -24 , Wo B 2 = -24/ Q 2

Wir setzen unseren gefundenen Nenner in den Ausdruck für b 2 ein, zählen und erhalten:

Antwort: -6

Wie Sie sehen, geht alles viel einfacher und schneller als über das System. Außerdem mussten wir hier den ersten Term überhaupt nicht mitzählen! Überhaupt.)

Hier ist so ein einfaches und visuelles Wegelicht. Aber es hat auch einen gravierenden Nachteil. Hast du es erraten? Ja! Es eignet sich nur für sehr kurze Abschnitte des Fortschritts. Diejenigen, bei denen die Abstände zwischen den für uns interessanten Mitgliedern nicht sehr groß sind. Aber in allen anderen Fällen ist es schon schwierig, ein Bild zu zeichnen, ja... Dann lösen wir das Problem analytisch, durch das System.) Und Systeme sind universelle Dinge. Sie können mit beliebigen Zahlen umgehen.

Eine weitere epische Herausforderung:

Der zweite Term der geometrischen Folge ist 10 mehr als der erste und der dritte Term ist 30 mehr als der zweite. Finden Sie den Nenner der Progression.

Was, cool? Gar nicht! Alles das selbe. Wieder übersetzen wir die Problemstellung in reine Algebra.

1) Wir beschreiben jeden Begriff gemäß der Formel NMitglied!

Zweiter Term: b 2 = b 1 q

Dritter Term: b 3 = b 1 q 2

2) Wir schreiben den Zusammenhang zwischen den Mitgliedern aus der Problemstellung auf.

Wir lesen die Bedingung: „Der zweite Term der geometrischen Folge ist 10 größer als der erste.“ Hör auf, das ist wertvoll!

Also schreiben wir:

B 2 = B 1 +10

Und wir übersetzen diesen Satz in reine Mathematik:

B 3 = B 2 +30

Wir haben zwei Gleichungen. Kombinieren wir sie zu einem System:

Das System sieht einfach aus. Aber es gibt zu viele verschiedene Indizes für die Buchstaben. Ersetzen wir statt des zweiten und dritten Termes ihre Ausdrücke durch den ersten Term und den Nenner! War es umsonst, dass wir sie gemalt haben?

Wir bekommen:

Aber ein solches System ist kein Geschenk mehr, ja ... Wie kann man das lösen? Leider gibt es keinen universellen Geheimzauber zur Lösung komplexer Probleme nichtlinear In der Mathematik gibt es keine Systeme und kann es auch nicht geben. Das ist fantastisch! Aber das erste, woran Sie denken sollten, wenn Sie versuchen, eine so harte Nuss zu knacken, ist, es herauszufinden Aber ist eine der Gleichungen des Systems nicht auf eine schöne Form reduziert, die es beispielsweise ermöglicht, eine der Variablen einfach durch eine andere auszudrücken?

Lass es uns herausfinden. Die erste Gleichung des Systems ist deutlich einfacher als die zweite. Wir werden ihn foltern.) Sollten wir es nicht gleich mit der ersten Gleichung versuchen? etwas durch ausdrücken etwas? Da wir den Nenner finden wollen Q, dann wäre es für uns am vorteilhaftesten, es auszudrücken B 1 durch Q.

Versuchen wir also, dieses Verfahren mit der ersten Gleichung durchzuführen und dabei die guten alten zu verwenden:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Alle! Also haben wir es ausgedrückt unnötig Gib uns die Variable (b 1) durch notwendig(Q). Ja, es ist nicht der einfachste Ausdruck, den wir haben. Eine Art Bruchteil... Aber unser System ist auf einem anständigen Niveau, ja.)

Typisch. Wir wissen, was zu tun ist.

Wir schreiben ODZ (Notwendig!) :

q ≠ 1

Wir multiplizieren alles mit dem Nenner (q-1) und streichen alle Brüche:

10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)

Wir teilen alles durch zehn, öffnen die Klammern und sammeln alles von links:

Q 2 – 4 Q + 3 = 0

Wir lösen das Ergebnis und erhalten zwei Wurzeln:

Q 1 = 1

Q 2 = 3

Es gibt nur eine abschließende Antwort: Q = 3 .

Antwort: 3

Wie Sie sehen, ist der Weg zur Lösung der meisten Probleme, die die Formel des n-ten Termes einer geometrischen Folge betreffen, immer derselbe: lesen aufmerksam Zustand des Problems und unter Verwendung der Formel des n-ten Termes übersetzen wir alle nützlichen Informationen in reine Algebra.

Nämlich:

1) Wir beschreiben jeden im Problem angegebenen Term separat gemäß der FormelNMitglied.

2) Aus den Bedingungen des Problems übersetzen wir den Zusammenhang zwischen den Mitgliedern in mathematische Form. Wir stellen eine Gleichung oder ein Gleichungssystem auf.

3) Wir lösen die resultierende Gleichung oder das Gleichungssystem und finden die unbekannten Parameter der Progression.

4) Im Falle einer mehrdeutigen Antwort lesen Sie die Problemstellung sorgfältig durch und suchen Sie nach zusätzlichen Informationen (falls vorhanden). Wir überprüfen auch die erhaltene Antwort anhand der Bedingungen des DL (falls vorhanden).

Lassen Sie uns nun die Hauptprobleme auflisten, die am häufigsten zu Fehlern bei der Lösung geometrischer Progressionsprobleme führen.

1. Grundrechenarten. Operationen mit Brüchen und negativen Zahlen.

2. Wenn es bei mindestens einem dieser drei Punkte Probleme gibt, dann werden Sie in diesem Thema zwangsläufig Fehler machen. Leider... Seien Sie also nicht faul und wiederholen Sie das oben Gesagte. Und folgen Sie den Links – los. Manchmal hilft es.)

Modifizierte und wiederkehrende Formeln.

Schauen wir uns nun einige typische Prüfungsprobleme mit einer weniger vertrauten Darstellung des Zustands an. Ja, ja, Sie haben es erraten! Das geändert Und wiederkehrend n-te Termformeln. Wir sind bereits auf solche Formeln gestoßen und haben uns mit der arithmetischen Progression beschäftigt. Hier ist alles ähnlich. Das Wesentliche ist dasselbe.

Zum Beispiel dieses Problem von der OGE:

Der geometrische Verlauf ergibt sich aus der Formel b n = 3 2 N . Finden Sie die Summe seines ersten und vierten Termes.

Diesmal ist der Verlauf für uns nicht ganz wie gewohnt. In Form einer Art Formel. Na und? Diese Formel ist auch eine FormelNMitglied! Sie und ich wissen, dass die Formel für den n-ten Term sowohl in allgemeiner Form mit Buchstaben als auch für geschrieben werden kann spezifischer Verlauf. MIT Spezifisch erster Term und Nenner.

In unserem Fall erhalten wir tatsächlich eine allgemeine Termformel für eine geometrische Folge mit den folgenden Parametern:

B 1 = 6

Q = 2

Schauen wir mal nach?) Schreiben wir die Formel für den n-ten Term in allgemeiner Form auf und setzen sie ein B 1 Und Q. Wir bekommen:

b n = B 1 · qn -1

b n= 6 2N -1

Wir vereinfachen die Verwendung von Faktorisierung und Eigenschaften von Potenzen und erhalten:

b n= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

Wie Sie sehen, ist alles fair. Unser Ziel ist es jedoch nicht, die Ableitung einer bestimmten Formel zu demonstrieren. Das ist so, ein lyrischer Exkurs. Rein zum Verständnis.) Unser Ziel ist es, das Problem gemäß der uns in der Bedingung gegebenen Formel zu lösen. Verstehen Sie das?) Also arbeiten wir direkt mit der modifizierten Formel.

Wir zählen den ersten Term. Lasst uns ersetzen N=1 in die allgemeine Formel:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

So. Ich werde übrigens nicht faul sein und Sie noch einmal auf einen typischen Fehler bei der Berechnung des ersten Termes aufmerksam machen. Schauen Sie sich die Formel NICHT an b n= 3 2N, beeilen Sie sich sofort zu schreiben, dass der erste Term eine Drei ist! Das ist ein grober Fehler, ja...)

Lass uns weitermachen. Lasst uns ersetzen N=4 und zähle den vierten Term:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Und schließlich berechnen wir die benötigte Menge:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Antwort: 54

Ein weiteres Problem.

Der geometrische Verlauf wird durch die Bedingungen vorgegeben:

B 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Finden Sie den vierten Term der Progression.

Hier wird der Verlauf durch eine wiederkehrende Formel angegeben. Na ja, okay.) So arbeiten Sie mit dieser Formel – wir wissen es auch.

Also handeln wir. Schritt für Schritt.

1) Zähle zwei aufeinanderfolgenden Mitglied der Progression.

Die erste Amtszeit wurde uns bereits gegeben. Minus sieben. Aber der nächste, zweite Term lässt sich leicht mit der Wiederholungsformel berechnen. Wenn Sie das Funktionsprinzip verstehen, natürlich.)

Also zählen wir den zweiten Term nach dem bekannten ersten:

B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21

2) Berechnen Sie den Nenner der Progression

Auch kein Problem. Gerade, lasst uns teilen zweite Schwanz an Erste.

Wir bekommen:

Q = -21/(-7) = 3

3) Schreiben Sie die FormelNGeben Sie das Glied in der üblichen Form ein und berechnen Sie das benötigte Glied.

Wir kennen also den ersten Term und auch den Nenner. Also schreiben wir:

b n= -7·3N -1

B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Antwort: -189

Wie Sie sehen, unterscheidet sich die Arbeit mit solchen Formeln für eine geometrische Folge im Wesentlichen nicht von der für eine arithmetische Folge. Es ist nur wichtig, das allgemeine Wesen und die Bedeutung dieser Formeln zu verstehen. Nun, Sie müssen auch die Bedeutung der geometrischen Progression verstehen, ja.) Und dann wird es keine dummen Fehler geben.

Nun, lasst uns selbst entscheiden?)

Ganz grundlegende Aufgaben zum Aufwärmen:

1. Gegeben eine geometrische Progression, in der B 1 = 243, a Q = -2/3. Finden Sie das sechste Glied der Progression.

2. Der allgemeine Term der geometrischen Progression ist durch die Formel gegeben b n = 5∙2 N +1 . Finden Sie die Nummer des letzten dreistelligen Termes dieser Folge.

3. Der geometrische Verlauf ist durch die Bedingungen gegeben:

B 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Finden Sie das fünfte Glied der Progression.

Etwas komplizierter:

4. Gegeben eine geometrische Progression:

B 1 =2048; Q =-0,5

Was ist der sechste negative Term?

Was scheint super schwierig zu sein? Gar nicht. Logik und Verständnis für die Bedeutung der geometrischen Progression werden Sie retten. Nun, natürlich die Formel für den n-ten Term.

5. Der dritte Term der geometrischen Folge ist -14 und der achte Term ist 112. Ermitteln Sie den Nenner der Folge.

6. Die Summe des ersten und zweiten Glieds der geometrischen Folge beträgt 75, und die Summe des zweiten und dritten Glieds beträgt 150. Finden Sie das sechste Glied der Folge.

Antworten (in Unordnung): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Das ist fast alles. Alles, was wir tun müssen, ist zu zählen die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge ja entdecken unendlich abnehmender geometrischer Verlauf und seine Menge. Übrigens eine sehr interessante und ungewöhnliche Sache! Mehr dazu in den nächsten Lektionen.)