Dimension der Ähnlichkeit: einige Feinheiten. Das gleiche Objekt kann viele Modelle haben und verschiedene Objekte können durch ein Modell beschrieben werden

Kurze Zusammenfassung

P.S. Eine sehr „trockene Sprache“, aber nach einem universitären Lehrplan durchaus lesbar. Die Definitionen von Paradoxien wurden größtenteils aus Wikipedia übernommen (vereinfachte Formulierung und vorgefertigtes TeX-Markup).

Einführung

Wir sollten mit einer Definition beginnen.

Was ist ein Set? Die Frage ist ganz einfach, die Antwort ist ganz intuitiv. Eine Menge ist eine bestimmte Menge von Elementen, die durch ein einzelnes Objekt dargestellt werden. Kantor in seinem Werk Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre gibt eine Definition: Mit „Menge“ meinen wir die Zusammenfassung bestimmter klar unterscheidbarer Objekte unserer Betrachtung oder unseres Denkens (die wir „Elemente“ der Menge nennen) zu einem bestimmten Ganzen. Wie wir sehen, hat sich das Wesentliche nicht verändert, der Unterschied besteht nur in dem Teil, der von der Weltanschauung des Bestimmenden abhängt. Die Geschichte der Mengenlehre ist sowohl in der Logik als auch in der Mathematik sehr widersprüchlich. Tatsächlich wurde es im 19. Jahrhundert von Cantor begonnen, dann setzten Russell und andere die Arbeit fort.

Paradoxien (der Logik und der Mengenlehre) – (aus dem Altgriechischen παράδοξος – unerwartet, seltsam aus dem Altgriechischen παρα-δοκέω – es scheint) – formal-logische Widersprüche, die in sinnvoller Mengenlehre und formaler Logik entstehen, während die logische Korrektheit der Argumentation gewahrt bleibt. Paradoxe entstehen, wenn sich zwei sich gegenseitig ausschließende (widersprüchliche) Aussagen als gleichermaßen beweisbar erweisen. Paradoxien können sowohl innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie als auch in gewöhnlichen Überlegungen auftauchen (zum Beispiel Russells Paraphrase seines Paradoxons über die Menge aller Normalmengen: „Der Dorffriseur rasiert alle und nur die Bewohner seines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Sollte.“ Er rasiert sich? dich selbst? Da ein formal-logischer Widerspruch das Denken als Mittel zur Entdeckung und zum Beweis der Wahrheit zerstört (in einer Theorie, in der ein Paradoxon auftritt, ist jeder Satz, sowohl wahr als auch falsch, beweisbar), stellt sich die Aufgabe, die Quellen solcher Widersprüche zu identifizieren und Wege zu finden um sie zu beseitigen. Das Problem des philosophischen Verständnisses spezifischer Paradoxienlösungen ist eines der wichtigen methodischen Probleme der formalen Logik und der logischen Grundlagen der Mathematik.

Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, die Paradoxien der Mengenlehre als Erben antiker Antinomien und die völlig logischen Konsequenzen des Übergangs zu einer neuen Abstraktionsebene – der Unendlichkeit – zu untersuchen. Die Aufgabe besteht darin, die wichtigsten Paradoxien und ihre philosophische Interpretation zu betrachten.

Grundlegende Paradoxien der Mengenlehre

Der Friseur rasiert nur die Menschen, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich?

Einige der logischen Paradoxien sind seit der Antike bekannt, aber aufgrund der Tatsache, dass die mathematische Theorie auf Arithmetik und Geometrie beschränkt war, war es unmöglich, sie mit der Mengenlehre in Zusammenhang zu bringen. Im 19. Jahrhundert änderte sich die Situation radikal: Cantor erreichte in seinen Werken eine neue Ebene der Abstraktion. Er führte den Begriff der Unendlichkeit ein, schuf damit einen neuen Zweig der Mathematik und ermöglichte damit den Vergleich verschiedener Unendlichkeiten anhand des Begriffs „Potenz einer Menge“. Allerdings führte dies zu vielen Paradoxien. Das allererste ist das sogenannte Burali-Forti-Paradoxon. In der mathematischen Literatur gibt es verschiedene Formulierungen, die auf unterschiedlicher Terminologie und einem angenommenen Satz bekannter Theoreme basieren. Hier ist eine der formalen Definitionen.

Es kann bewiesen werden, dass, wenn es sich um eine beliebige Menge von Ordnungszahlen handelt, die Summenmenge eine Ordnungszahl ist, die größer oder gleich jedem der Elemente ist. Nehmen wir nun an, dass es sich um die Menge aller Ordnungszahlen handelt. Dann ist eine Ordnungszahl größer oder gleich einer der Zahlen in . Aber dann ist und eine Ordnungszahl, und sie ist bereits streng größer und daher keiner der Zahlen in gleich. Dies widerspricht jedoch der Bedingung, nach der - die Menge aller Ordnungszahlen.

Der Kern des Paradoxons besteht darin, dass mit der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen ein neuer Ordnungstyp gebildet wird, der noch nicht zu „allen“ transfiniten Ordnungszahlen gehörte, die vor der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen existierten. Dieses Paradoxon wurde von Cantor selbst entdeckt, unabhängig vom italienischen Mathematiker Burali-Forti entdeckt und veröffentlicht, dessen Fehler von Russell korrigiert wurden, woraufhin die Formulierung ihre endgültige Form erhielt.

Unter allen Versuchen, solche Paradoxien zu vermeiden und teilweise zu erklären, verdient die Idee des bereits erwähnten Russell die größte Aufmerksamkeit. Er schlug vor, imprädikative Sätze aus der Mathematik und Logik auszuschließen, in denen die Definition eines Elements einer Menge von diesem abhängt, was zu Paradoxien führt. Die Regel klingt so: „Keine Menge kann Elemente enthalten, die nur durch eine Menge definiert sind, sowie Elemente, die diese Menge in ihrer Definition voraussetzen.“ Eine solche Einschränkung der Definition einer Menge ermöglicht es uns, Paradoxien zu vermeiden, schränkt aber gleichzeitig den Anwendungsbereich in der Mathematik erheblich ein. Darüber hinaus reicht dies nicht aus, um ihre Natur und die Gründe für ihr Erscheinen zu erklären, die in der Dichotomie von Denken und Sprache, in den Merkmalen der formalen Logik verwurzelt sind. In gewisser Weise lässt sich diese Einschränkung auf eine Analogie zu dem zurückführen, was spätere Kognitionspsychologen und Linguisten als „Kategorisierung auf grundlegender Ebene“ bezeichneten: Die Definition wird auf das am einfachsten zu verstehende und zu studierende Konzept reduziert.

Cantors Paradoxon. Nehmen wir an, dass die Menge aller Mengen existiert. In diesem Fall gilt, dass jede Menge eine Teilmenge ist. Daraus folgt jedoch, dass die Potenz einer Menge die Potenz von nicht überschreitet. Aber aufgrund des Axioms der Menge aller Teilmengen, denn wie jede Menge gibt es eine Menge aller Teilmengen, und aufgrund des Satzes von Cantor, der der vorherigen Aussage widerspricht. Daher kann es nicht existieren, was der „naiven“ Hypothese widerspricht, dass jede syntaktisch korrekte logische Bedingung eine Menge definiert, also für jede Formel, die nicht frei enthält. Einen bemerkenswerten Beweis für das Fehlen solcher Widersprüche auf der Grundlage der axiomatisierten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre liefert Potter.

Beide oben genannten Paradoxien sind aus logischer Sicht identisch mit „Der Lügner“ oder „Der Barbier“: Das geäußerte Urteil richtet sich nicht nur an etwas Objektives in Bezug auf ihn, sondern auch an sich selbst. Allerdings sollte man nicht nur auf die logische Seite achten, sondern auch auf den hier vorhandenen Begriff der Unendlichkeit. Die Literatur bezieht sich auf das Werk von Poincaré, in dem er schreibt: „Der Glaube an die Existenz der tatsächlichen Unendlichkeit ... macht diese nicht-prädikativen Definitionen notwendig.“

Im Allgemeinen sind die Hauptpunkte:

1. in diesen Paradoxien wird die Regel der klaren Trennung der „Sphären“ von Prädikat und Subjekt verletzt; der Grad der Verwirrung kommt dem Ersetzen eines Begriffs durch einen anderen nahe;
2. Normalerweise wird in der Logik davon ausgegangen, dass Subjekt und Prädikat im Prozess des Denkens ihren Umfang und Inhalt behalten. In diesem Fall findet jedoch ein Übergang von einer Kategorie zur anderen statt, was zu Inkonsistenzen führt.
3. Das Vorhandensein des Wortes „alle“ macht für eine endliche Anzahl von Elementen Sinn, aber im Fall einer unendlichen Anzahl von Elementen ist es möglich, dass es eines gibt, das die Definition einer Menge erfordert, um sich selbst zu definieren;
4. grundlegende logische Gesetze werden verletzt:
   1. das Gesetz der Identität wird verletzt, wenn die Nichtidentität von Subjekt und Prädikat aufgedeckt wird;
   2. das Gesetz des Widerspruchs – wenn zwei widersprüchliche Urteile mit demselben Recht abgeleitet werden;
   3. das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten – wenn dieser Dritte anerkannt und nicht ausgeschlossen werden muss, da weder der Erste noch der Zweite ohne den Anderen anerkannt werden können, weil sie erweisen sich als gleichermaßen legitim.

Tristram Shandys Paradoxon. In Sternes „The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman“ entdeckt der Held, dass er ein ganzes Jahr brauchte, um die Ereignisse des ersten Tages seines Lebens zu erzählen, und ein weiteres Jahr, um den zweiten Tag zu beschreiben. In diesem Zusammenhang beklagt der Held, dass sich der Stoff seiner Biografie schneller ansammelt, als er ihn verarbeiten kann, und dass er ihn nie zu Ende bringen kann. „Jetzt behaupte ich“, wendet Russell dagegen ein, „dass, wenn er ewig gelebt hätte und seine Arbeit ihm nicht zur Last geworden wäre, selbst wenn sein Leben weiterhin so ereignisreich gewesen wäre wie am Anfang, dann keiner der Teile.“ Teil seiner Biographie wäre nicht ungeschrieben geblieben.

Tatsächlich konnte Shandy die Ereignisse des . Tages im . Jahr beschreiben und so würde jeder Tag in seiner Autobiografie festgehalten. Mit anderen Worten: Wenn das Leben ewig dauern würde, hätte es so viele Jahre wie Tage.

Russell zieht eine Analogie zwischen diesem Roman und Zeno und seiner Schildkröte. Seiner Meinung nach liegt die Lösung darin, dass das Ganze seinem Teil im Unendlichen entspricht. Diese. Nur das „Axiom des gesunden Menschenverstandes“ führt zum Widerspruch. Die Lösung des Problems liegt jedoch im Bereich der reinen Mathematik. Offensichtlich gibt es zwei Mengen – Jahre und Tage, zwischen deren Elementen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung hergestellt wird – eine Bijektion. Angesichts des unendlichen Lebens der Hauptfigur gibt es dann zwei unendliche Mengen gleicher Macht, was das Paradox auflöst, wenn wir Macht als Verallgemeinerung des Konzepts der Anzahl der Elemente in einer Menge betrachten.

Das Banach-Tarski-Paradoxon (Theorem) oder das Kugelverdopplungsparadoxon- ein Satz der Mengenlehre, der besagt, dass eine dreidimensionale Kugel zwei ihrer Kopien entspricht.

Zwei Teilmengen des euklidischen Raums werden als gleich zusammengesetzt bezeichnet, wenn die eine in endlich viele Teile zerlegt, verschoben und die zweite aus ihnen zusammengesetzt werden kann. Genauer gesagt sind zwei Mengen und gleichkomponiert, wenn sie als endliche Vereinigung disjunkter Teilmengen dargestellt werden können und so, dass für jede Teilmenge die Teilmenge kongruent ist.

Wenn wir den Auswahlsatz verwenden, dann klingt die Definition so:

Das Auswahlaxiom impliziert, dass die Oberfläche der Einheitskugel in eine endliche Anzahl von Teilen unterteilt ist, die durch Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die die Form dieser Komponenten nicht verändern, zu zwei Kugeln zusammengesetzt werden können des Einheitsradius.

Angesichts der Anforderung, dass diese Teile messbar sein müssen, ist diese Aussage natürlich nicht machbar. Der berühmte Physiker Richard Feynman erzählte in seiner Biografie, wie es ihm einmal gelang, einen Streit zu gewinnen, bei dem es darum ging, eine Orange in eine endliche Anzahl von Teilen zu zerlegen und sie wieder zusammenzusetzen.

An bestimmten Stellen wird dieses Paradoxon verwendet, um das Auswahlaxiom zu widerlegen, aber das Problem besteht darin, dass das, was wir als Elementargeometrie betrachten, unwichtig ist. Diejenigen Konzepte, die wir für intuitiv halten, müssen auf die Ebene der Eigenschaften transzendentaler Funktionen erweitert werden.

Um das Vertrauen derjenigen, die das Auswahlaxiom für falsch halten, weiter zu schwächen, ist es erwähnenswert, den Satz von Mazurkiewicz und Sierpinski zu erwähnen, der besagt, dass es eine nichtleere Teilmenge der euklidischen Ebene gibt, die jeweils zwei disjunkte Teilmengen hat die in endlich viele Teile zerlegt werden können, so dass sie durch Isometrien in eine Mengenüberdeckung übersetzt werden können. In diesem Fall erfordert der Beweis nicht die Verwendung des Auswahlaxioms. Weitere Konstruktionen, die auf dem Axiom der Gewissheit basieren, bieten eine Lösung für das Banach-Tarski-Paradoxon, sind jedoch nicht von derartigem Interesse.

1. Richards Paradoxon: Die Anforderung besteht darin, „die kleinste Zahl zu nennen, die in diesem Buch nicht genannt wird“. Der Widerspruch besteht darin, dass dies einerseits möglich ist, da in diesem Buch die kleinste Zahl genannt wird. Auf dieser Grundlage können wir die kleinsten Unbenannten benennen. Aber hier entsteht ein Problem: Das Kontinuum ist überabzählbar; zwischen zwei beliebigen Zahlen kann man unendlich viele Zwischenzahlen einfügen. Wenn wir diese Zahl hingegen benennen könnten, würde sie automatisch von der Klasse der im Buch nicht Erwähnten in die Klasse der Erwähnten übergehen.
2. Grelling-Nielson-Paradoxon: Wörter oder Zeichen können jede Eigenschaft bezeichnen und diese gleichzeitig haben oder nicht. Die trivialste Formulierung klingt so: Ist das Wort „heterologisch“ (was „nicht auf sich selbst anwendbar“ bedeutet) heterologisch?... Sehr ähnlich zu Russells Paradoxon aufgrund des Vorhandenseins eines dialektischen Widerspruchs: Die Dualität von Form und Inhalt ist verletzt. Bei Wörtern mit einem hohen Abstraktionsgrad kann nicht entschieden werden, ob diese Wörter heterolog sind.
3. Skolems Paradoxon: Unter Verwendung des Satzes von Gödel zur Vollständigkeit und des Satzes von Löwenheim-Skolem erhalten wir, dass die axiomatische Mengenlehre auch dann wahr bleibt, wenn für ihre Interpretation nur eine abzählbare Sammlung von Mengen angenommen (verfügbar) wird. Gleichzeitig beinhaltet die axiomatische Theorie den bereits erwähnten Satz von Cantor, der uns zu unzähligen unendlichen Mengen führt.

Paradoxien lösen

Der Logismus war ein Versuch, die gesamte bekannte Mathematik auf die Begriffe der Arithmetik und dann die Begriffe der Arithmetik auf die Konzepte der mathematischen Logik zu reduzieren. Frege ging intensiv darauf ein, aber nachdem er die Arbeit an der Arbeit beendet hatte, war er gezwungen, auf seine Inkonsistenz hinzuweisen, nachdem Russell auf die Widersprüche in der Theorie hingewiesen hatte. Derselbe Russell versuchte, wie bereits erwähnt, mit Hilfe der „Typentheorie“ die Verwendung imprädikativer Definitionen zu eliminieren. Seine Konzepte von Menge und Unendlichkeit sowie das Axiom der Reduzierbarkeit erwiesen sich jedoch als unlogisch. Das Hauptproblem bestand darin, dass die qualitativen Unterschiede zwischen formaler und mathematischer Logik nicht berücksichtigt wurden und unnötige Konzepte, auch intuitiver Natur, vorhanden waren.
Infolgedessen war die Theorie des Logizismus nicht in der Lage, die dialektischen Widersprüche der mit der Unendlichkeit verbundenen Paradoxien zu beseitigen. Es gab lediglich Prinzipien und Methoden, die es ermöglichten, zumindest nicht-prädikative Definitionen loszuwerden. Seiner eigenen Meinung nach war Russell Cantors Erbe

Ende des 19. – Anfang des 20. Jahrhunderts. Die Verbreitung der formalistischen Sichtweise auf die Mathematik war mit der Entwicklung der axiomatischen Methode und des von D. Hilbert vorgelegten Programms zur Begründung der Mathematik verbunden. Die Bedeutung dieser Tatsache wird durch die Tatsache deutlich, dass das erste der dreiundzwanzig Probleme, die er der mathematischen Gemeinschaft stellte, das Problem der Unendlichkeit war. Eine Formalisierung war notwendig, um die Konsistenz der klassischen Mathematik zu beweisen, „wobei jedoch jegliche Metaphysik von ihr ausgeschlossen wurde“. Angesichts der Mittel und Methoden, die Hilbert einsetzte, erwies sich sein Ziel als grundsätzlich unmöglich, aber sein Programm hatte großen Einfluss auf die gesamte weitere Entwicklung der Grundlagen der Mathematik. Hilbert beschäftigte sich lange mit diesem Problem und konstruierte zunächst die Axiomatik der Geometrie. Da die Lösung des Problems recht erfolgreich war, beschloss er, die axiomatische Methode auf die Theorie der natürlichen Zahlen anzuwenden. Dazu schrieb er: „Ich verfolge ein wichtiges Ziel: Ich möchte die Begründungsfragen der Mathematik als solcher loswerden und jede mathematische Aussage in eine streng ableitbare Formel verwandeln.“ Es war geplant, die Unendlichkeit loszuwerden, indem man sie auf eine bestimmte endliche Anzahl von Operationen reduziert. Dazu griff er auf die Physik mit ihrem Atomismus zurück, um die Inkonsistenz unendlicher Größen aufzuzeigen. Tatsächlich stellte Hilbert die Frage nach dem Verhältnis zwischen Theorie und objektiver Realität.

Eine mehr oder weniger vollständige Vorstellung von endlichen Methoden liefert Hilberts Schüler J. Herbran. Unter endlichem Denken versteht er ein Denken, das die folgenden Bedingungen erfüllt: logische Paradoxien

Es wird immer nur eine endliche und bestimmte Anzahl von Objekten und Funktionen betrachtet;

Funktionen haben eine genaue Definition, und diese Definition ermöglicht es uns, ihren Wert zu berechnen;

Man behauptet nie: „Dieses Objekt existiert“, es sei denn, man weiß, wie man es konstruiert;

Die Menge aller Objekte X einer unendlichen Sammlung wird niemals berücksichtigt;

Wenn bekannt ist, dass eine Argumentation oder ein Theorem für alle diese X gilt, bedeutet dies, dass diese allgemeine Argumentation für jedes spezifische

Was genau hat Gödel bewiesen? Drei Hauptergebnisse lassen sich identifizieren:

1. Gödel zeigte die Unmöglichkeit eines mathematischen Beweises für die Konsistenz eines Systems auf, das groß genug ist, um die gesamte Arithmetik einzuschließen, ein Beweis, der keine anderen Schlussregeln als die des gegebenen Systems selbst verwenden würde. Ein solcher Beweis, der eine leistungsfähigere Folgerungsregel verwendet, kann nützlich sein. Wenn diese Schlussfolgerungsregeln jedoch stärker sind als die logischen Mittel der arithmetischen Berechnung, besteht kein Vertrauen in die Konsistenz der im Beweis verwendeten Annahmen. In jedem Fall wird sich Hilberts Programm als undurchführbar erweisen, wenn die verwendeten Methoden nicht finitistisch sind. Gödel zeigt präzise die Inkonsistenz von Berechnungen auf, um einen finitistischen Beweis für die Konsistenz der Arithmetik zu finden.

2. Gödel wies auf die grundsätzlichen Grenzen der Möglichkeiten der axiomatischen Methode hin: Das Principia Mathematica-System ist wie jedes andere System, mit dessen Hilfe die Arithmetik konstruiert wird, im Wesentlichen unvollständig, d.h. für jedes konsistente System arithmetischer Axiome gibt es echte Arithmetik Sätze, die nicht aus den Axiomen dieses Systems abgeleitet werden.

3. Der Satz von Gödel zeigt, dass keine Erweiterung eines arithmetischen Systems es vervollständigen kann, und selbst wenn wir es mit unendlich vielen Axiomen füllen, wird es im neuen System immer wahre Positionen geben, die dadurch nicht abgeleitet werden können System. Der axiomatische Ansatz zur Arithmetik natürlicher Zahlen ist nicht in der Lage, das gesamte Feld echter arithmetischer Urteile abzudecken, und was wir unter dem Prozess des mathematischen Beweises verstehen, reduziert sich nicht auf die Verwendung der axiomatischen Methode. Nach Gödels Theorem wurde es sinnlos zu erwarten, dass das Konzept eines überzeugenden mathematischen Beweises ein für alle Mal definierte Formen liefern könnte.

Es durchlief in seiner Entwicklung eine Reihe von Phasen – Semi-Intuitionismus, tatsächlicher Intuitionismus, Ultra-Intuitionismus. In verschiedenen Phasen beschäftigten sich Mathematiker mit unterschiedlichen Problemen, aber eines der Hauptprobleme der Mathematik ist das Problem der Unendlichkeit. Die mathematischen Konzepte von Unendlichkeit und Kontinuität sind seit ihrem Erscheinen Gegenstand philosophischer Analysen (die Ideen der Atomisten, die Aporie des Zenon von Elea, Infinitesimalmethoden in der Antike, Infinitesimalrechnung in der Neuzeit usw.). Die größte Kontroverse wurde durch die Verwendung verschiedener Arten von Unendlichkeiten (potenzielle, tatsächliche) als mathematische Objekte und deren Interpretation ausgelöst. All diese Probleme wurden unserer Meinung nach durch ein tieferes Problem verursacht – die Rolle des Subjekts in der wissenschaftlichen Erkenntnis. Tatsache ist, dass der Krisenzustand in der Mathematik durch die erkenntnistheoretische Unsicherheit des Verhältnisses zwischen der Welt des Objekts (Unendlichkeit) und der Welt des Subjekts erzeugt wird. Der Mathematiker als Fach hat die Möglichkeit, die Mittel der Erkenntnis zu wählen – entweder die potentielle oder die tatsächliche Unendlichkeit. Die Nutzung der potenziellen Unendlichkeit als Werden gibt ihm die Möglichkeit, eine unendliche Anzahl von Konstruktionen auszuführen und zu konstruieren, die auf den endlichen Konstruktionen aufgebaut werden können, ohne dass ein letzter Schritt erforderlich ist, ohne dass die Konstruktion abgeschlossen werden muss. Dies ist nur möglich. Die Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit gibt ihm die Möglichkeit, mit der Unendlichkeit als bereits realisierbarem, in ihrer Konstruktion abgeschlossenem, gleichzeitig tatsächlich gegebenem Unendlichen zu arbeiten.

Auf der Stufe des Halbintuitionismus war das Problem der Unendlichkeit noch nicht unabhängig, sondern mit dem Problem der Konstruktion mathematischer Objekte und Methoden zu seiner Rechtfertigung verflochten. Der Halbintuitionismus von A. Poincaré und Vertretern der Pariser Schule der Funktionentheorie von Baer, ​​​​Lebesgue und Borel richtete sich gegen die Annahme des Axioms der freien Wahl, mit dessen Hilfe der Satz von Zermelo bewiesen wird, der erklärte, dass jede Menge vollständig geordnet werden kann, ohne jedoch eine theoretische Methode zur Bestimmung der Elemente einer Teilmenge der gewünschten Mengen anzugeben. Es gibt keine Möglichkeit, ein mathematisches Objekt zu konstruieren, und es gibt kein mathematisches Objekt selbst. Mathematiker glaubten, dass das Vorhandensein oder Fehlen einer theoretischen Methode zur Konstruktion einer Folge von Forschungsobjekten als Grundlage für die Rechtfertigung oder Widerlegung dieses Axioms dienen könnte. In der russischen Version wurde das semi-intuitionistische Konzept in den philosophischen Grundlagen der Mathematik in eine Richtung wie den von N.N. entwickelten Effizienzismus entwickelt. Luzin. Effizienz ist ein Gegensatz zu den Hauptabstraktionen von Cantors Lehre von der unendlichen Menge – Aktualität, Wahl, transfinite Induktion usw.

Für den Effizienzismus sind erkenntnistheoretisch wertvollere Abstraktionen die Abstraktion der potenziellen Machbarkeit als die Abstraktion der tatsächlichen Unendlichkeit. Dadurch wird es möglich, das Konzept der transfiniten Ordnungszahlen (unendlichen Ordnungszahlen) einzuführen, das auf dem effektiven Konzept des Wachstums von Funktionen basiert. Die erkenntnistheoretische Installation des Effizienzismus zur Darstellung des Kontinuums (Kontinuum) basierte auf diskreten Mitteln (Arithmetik) und der beschreibenden Mengentheorie (Funktionen) von N.N. Luzin. Der Intuitionismus der Niederländer L.E.Ya. Brouwer, G. Weil, A. Heyting sieht frei entfaltende Sequenzen unterschiedlicher Art als traditionellen Untersuchungsgegenstand. In dieser Phase der Lösung mathematischer Probleme, einschließlich der Neustrukturierung der gesamten Mathematik, stellten Intuitionisten die philosophische Frage nach der Rolle des Mathematikers als erkennendes Subjekt. In welcher Position ist er freier und aktiver bei der Wahl der Wissensmittel? Intuitionisten waren die ersten (und auf der Stufe des Halbintuitionismus), die das Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit, Cantors Mengenlehre, kritisierten und darin eine Beeinträchtigung der Fähigkeit des Subjekts sahen, den Prozess der wissenschaftlichen Suche nach einer Lösung für ein konstruktives Problem zu beeinflussen . Bei der Nutzung der potentiellen Unendlichkeit täuscht sich das Subjekt nicht selbst, da für ihn die Idee der potentiellen Unendlichkeit intuitiv viel klarer ist als die Idee der tatsächlichen Unendlichkeit. Für einen Intuitionisten gilt ein Objekt als existent, wenn es dem Mathematiker direkt gegeben wird oder die Methode seiner Konstruktion bzw. Konstruktion bekannt ist. In jedem Fall kann der Proband damit beginnen, eine Reihe von Elementen seines Sets zu vervollständigen. Für Intuitionisten gibt es kein ungebautes Objekt. Gleichzeitig wird das Subjekt, das mit der tatsächlichen Unendlichkeit arbeitet, dieser Möglichkeit beraubt und wird die doppelte Verletzlichkeit der eingenommenen Position spüren:

1) diese endlose Konstruktion kann niemals realisiert werden;

2) er beschließt, mit der tatsächlichen Unendlichkeit als einem endlichen Objekt zu operieren und verliert in diesem Fall seine Spezifität des Konzepts der Unendlichkeit. Der Intuitionismus schränkt die Fähigkeiten eines Mathematikers bewusst dadurch ein, dass er mathematische Objekte ausschließlich mit Mitteln konstruieren kann, die zwar mit Hilfe abstrakter Konzepte gewonnen, aber wirksam, überzeugend, beweisbar, funktional konstruktiv und als Konstruktionen praktisch und selbst intuitiv klar sind , Konstruktionen, an deren Zuverlässigkeit in der Praxis kein Zweifel besteht. Der Intuitionismus, der auf dem Konzept der potentiellen Unendlichkeit und konstruktiven Forschungsmethoden basiert, befasst sich mit der Mathematik des Werdens, die Mengenlehre bezieht sich auf die Mathematik des Seins.

In seinen etwas mystischen Werken leugnet er nicht die Präsenz der Unendlichkeit, lässt aber nicht deren Verwirklichung zu, sondern nur deren Potentialisierung. Im Vordergrund steht für ihn die Interpretation und Begründung praktisch eingesetzter logischer Mittel und mathematischer Überlegungen. Die von den Intuitionisten übernommene Einschränkung überwindet die Unsicherheit bei der Verwendung des Konzepts der Unendlichkeit in der Mathematik und drückt den Wunsch aus, die Krise in den Grundlagen der Mathematik zu überwinden.

Ultraintuitionismus (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov usw.) ist die letzte Entwicklungsstufe des Intuitionismus, in der seine Hauptideen modernisiert, erheblich ergänzt und transformiert werden, ohne sein Wesen zu verändern, aber Mängel zu überwinden und die positiven Aspekte zu stärken, geleitet von der Kriterien mathematische Genauigkeit. Die Schwäche des Ansatzes der Intuitionisten war ihr enges Verständnis der Rolle der Intuition als einzige Rechtfertigungsquelle für die Richtigkeit und Wirksamkeit mathematischer Methoden. Indem sie „intuitive Klarheit“ als Kriterium für die Wahrheit in der Mathematik betrachteten, verarmten Intuitionisten methodisch die Fähigkeiten des Mathematikers als Subjekt der Erkenntnis, reduzierten seine Tätigkeit nur auf mentale Operationen, die auf Intuition beruhten, und bezogen die Praxis nicht in den Prozess der mathematischen Erkenntnis ein. Das ultraintuitionistische Programm zur Grundlagenbildung der Mathematik ist eine russische Priorität. Daher akzeptierten einheimische Mathematiker, die Grenzen des Intuitionismus überwindend, die wirksame Methodik der materialistischen Dialektik, die die menschliche Praxis als Quelle der Bildung sowohl mathematischer Konzepte als auch mathematischer Methoden (Schlussfolgerungen, Konstruktionen) anerkennt. Ultra-Intuitionisten lösten das Problem der Existenz mathematischer Objekte, indem sie sich nicht mehr auf das undefinierbare subjektive Konzept der Intuition stützten, sondern auf mathematische Praxis und einen spezifischen Mechanismus zur Konstruktion eines mathematischen Objekts – einen Algorithmus, der durch eine berechenbare, rekursive Funktion ausgedrückt wird.

Der Ultraintuitionismus verstärkt die Vorteile des Intuitionismus, die in der Möglichkeit bestehen, Methoden zur Lösung konstruktiver Probleme, die von Mathematikern aller Richtungen verwendet werden, zu ordnen und zu verallgemeinern. Daher steht der Intuitionismus der letzten Stufe (Ultra-Intuitionismus) dem Konstruktivismus in der Mathematik nahe. Im erkenntnistheoretischen Aspekt sind die Hauptideen und Prinzipien des Ultra-Intuitionismus folgende: Kritik an der klassischen Axiomatik der Logik; die Nutzung und deutliche Stärkung (auf ausdrückliche Anweisung von A.A. Markov) der Rolle der Abstraktion der Identifikation (mentale Abstraktion von den unterschiedlichen Eigenschaften von Objekten und die gleichzeitige Identifizierung gemeinsamer Eigenschaften von Objekten) als eine Möglichkeit, abstrakte Konzepte zu konstruieren und konstruktiv zu verstehen und mathematische Urteile; Beweis der Konsistenz konsistenter Theorien. In formaler Hinsicht wird die Verwendung der Identifikationsabstraktion durch ihre drei Eigenschaften (Axiome) der Gleichheit – Reflexivität, Transitivität und Symmetrie – gerechtfertigt.

Um den Hauptwiderspruch in der Mathematik bezüglich des Unendlichkeitsproblems zu lösen, der zu einer Krise seiner Grundlagen führte, auf der Stufe des Ultra-Intuitionismus in den Werken von A.N. Kolmogorov schlug Auswege aus der Krise vor, indem er das Problem der Beziehung zwischen klassischer und intuitionistischer Logik, klassischer und intuitionistischer Mathematik löste. Brouwers Intuitionismus leugnete im Allgemeinen die Logik, aber da kein Mathematiker ohne Logik auskommen kann, blieb die Praxis des logischen Denkens im Intuitionismus erhalten; einige Prinzipien der klassischen Logik, die auf der Axiomatik beruhten, wurden zugelassen. S.K. Kleene und R. Wesley stellen sogar fest, dass intuitionistische Mathematik in Form einer Infinitesimalrechnung beschrieben werden kann und Infinitesimalrechnung eine Möglichkeit ist, mathematisches Wissen auf der Grundlage von Logik, Formalisierung und ihrer Form – der Algorithmisierung – zu organisieren. Eine neue Version der Beziehung zwischen Logik und Mathematik im Rahmen intuitionistischer Anforderungen an intuitive Klarheit von Urteilen, insbesondere solchen, die Negation beinhalteten, A.N. Kolmogorov schlug Folgendes vor: Er präsentierte die intuitionistische Logik, die eng mit der intuitionistischen Mathematik verwandt ist, in Form einer axiomatischen impliziten Minimalrechnung von Sätzen und Prädikaten. Damit präsentierte der Wissenschaftler ein neues Modell mathematischen Wissens, das die Grenzen des Intuitionismus, der nur die Intuition als Wissensmittel anerkennt, und die Grenzen des Logizismus, der die Möglichkeiten der Logik in der Mathematik verabsolutiert, überwindet. Diese Position ermöglichte es, die Synthese des Intuitiven und Logischen als Grundlage flexibler Rationalität und ihrer konstruktiven Wirksamkeit in mathematischer Form darzustellen.

Ein wichtiger Punkt ist auch die Intuition beim Erkennen und insbesondere bei der Bildung mathematischer Konzepte. Auch hier gibt es einen Kampf mit der Philosophie, Versuche, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte auszuschließen, da es in der Mathematik keine Bedeutung hat und aus der Philosophie kommt. Die übermäßige Betonung der Intuition und das Fehlen klarer mathematischer Begründungen ermöglichten es jedoch nicht, die Mathematik auf eine solide Grundlage zu übertragen.

Nach dem Aufkommen des strengen Algorithmusbegriffs in den 1930er Jahren löste jedoch der mathematische Konstruktivismus den Staffelstab vom Intuitionismus ab, dessen Vertreter einen wesentlichen Beitrag zur modernen Berechenbarkeitstheorie leisteten. Darüber hinaus wurden in den 1970er und 1980er Jahren bedeutende Verbindungen zwischen einigen Ideen der Intuitionisten (auch solchen, die zuvor absurd erschienen) und der mathematischen Theorie der Topoi entdeckt. Die in manchen Topoi enthaltene Mathematik ähnelt stark dem, was die Intuitionisten zu erschaffen versuchten.

Als Ergebnis können wir eine Aussage treffen: Die meisten der oben genannten Paradoxien existieren in der Theorie der Mengen mit Selbstbesitz einfach nicht. Ob ein solcher Ansatz endgültig ist, ist umstritten; weitere Arbeiten in diesem Bereich werden zeigen.

Abschluss

Ob die dritte Krise der Mathematik vorbei ist (weil sie in einem Ursache-Wirkungs-Zusammenhang mit Paradoxien stand; jetzt sind Paradoxien ein integraler Bestandteil) – hier gehen die Meinungen auseinander, obwohl die formal bekannten Paradoxien bereits 1907 beseitigt wurden. Allerdings gibt es in der Mathematik mittlerweile andere Umstände, die entweder als Krise oder als Vorbote einer Krise angesehen werden können (z. B. das Fehlen einer strengen Begründung für das Pfadintegral).

Was Paradoxien betrifft, so spielten in der Mathematik das bekannte Lügnerparadoxon sowie eine ganze Reihe von Paradoxien in der sogenannten naiven (vorhergehenden axiomatischen) Mengenlehre eine sehr wichtige Rolle, was zu einer Krise der Grundlagen führte (eines von Diese Paradoxien spielten im Leben von G. Frege eine fatale Rolle. Aber vielleicht eines der am meisten unterschätzten Phänomene in der modernen Mathematik, das durchaus als paradox und kritisch bezeichnet werden kann, ist Paul Cohens Lösung von Hilberts erstem Problem im Jahr 1963. Genauer gesagt, nicht die Tatsache der Entscheidung selbst, sondern die Art dieser Entscheidung.

Literatur

1. Georg Cantor. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. IN. Burova. Paradoxien der Mengenlehre und Dialektik. Wissenschaft, 1976.
3. M.D. Töpfer. Mengenlehre und ihre Philosophie: eine kritische Einführung. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Schukow N.I. Philosophische Grundlagen der Mathematik. Mn.: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Sie machen natürlich Witze, Herr Feynman!: die Abenteuer eines erstaunlichen Mannes, die er R. Layton erzählte. Kolibri, 2008.
6. O. M. Mischewitsch. Zwei Möglichkeiten zur Überwindung von Paradoxien in der Mengenlehre von G. Cantor. Logische und philosophische Studien, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. PHILOSOPHIE DER INTUITIONISTISCHEN MATHEMATIK. Bulletin der DSTU, (4), 2006.
8. Tschechulin V.L. Theorie der Mengen mit Selbstzugehörigkeit (Grundlagen und einige Anwendungen). Dauerwelle. Zustand univ. – Dauerwelle, 2012.
9. S. N. Tronin. Kurzes Vorlesungsskript zur Disziplin „Philosophie der Mathematik“. Kasan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Forschung zu Mengenlehre und nichtklassischer Logik. Wissenschaft, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: diese endlose Girlande. Bakhrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Einführung in die mathematische Logik. Verlag „Wissenschaft“, 1976.
13. JA. Bochvar. Zur Frage der Paradoxien der mathematischen Logik und Mengenlehre. Mathematische Sammlung, 57(3):369-384, 1944.

Kundenbewertungen

9.2 Am Ende der Vertragslaufzeit erhalten Sie eine Teilnahmebescheinigung. Wenn ein Teil des Dienstes, die Nutzung des Dienstes, die Rechte anderer verletzt oder anderweitig schädlich ist. Kommentarbereiche Die Kommentarbereiche dienen dazu, Ihnen die Einhaltung geltender Bundes-, Landes- oder lokaler Gesetze zu ermöglichen. Es liegt in Ihrer Verantwortung, dies zu überprüfen von einer Projektwebsite erhalten haben, stimmen Sie dieser Übertragung, Speicherung oder Verarbeitung zu. Die Studentenentscheidungsberichte können nur in Übereinstimmung mit den angemessenen Anweisungen des Verkäufers verwendet werden. b. Wir sammeln und speichern auch Ihre persönlichen Daten. WEDER EBAY NOCH PITNEY BOWES WERDEN DARF HABEN SIE DIE VERANTWORTUNG FÜR DEN INHALT JEGLICHER WEBSITES, AUF DIE VON DIESER WEBSITE VERWEIST ODER VERLINKT WIRD. Insbesondere für einen Künstler, der in den Vereinigten Staaten lebt, sind die USA für Ihre Interessen möglicherweise nicht so relevant. Diese Vereinbarung unterliegt den Verkaufsbedingungen vor jedem Kauf. Beachten Sie, dass, sobald Sie die Produkte bei der Lieferung erhalten haben.

Geld-Zurück-Garantie

Die folgenden Richtlinien gelten für www.fishersci.com. Fisher Scientific ist nicht verantwortlich für VIP-Rewards-Punkte oder Rabatte. In Anbetracht der Bereitstellung einer Lizenz durch Kayako für den Zugriff auf die Website oder den Dienst und deren persönliche Nutzung nach der überarbeiteten Datenschutzrichtlinie und/oder den rechtlichen Erklärungen auf dieser Website. HAFTUNGSBESCHRÄNKUNG Sie erklären sich damit einverstanden, dass Sie jederzeit auf die Dienste zugreifen und diese nutzen können. Sie erklären sich damit einverstanden, dass Choose Hope Mitteilungen, Erklärungen und andere Informationen zur Veröffentlichung oder zum Austausch mit anderen innerhalb der Community bereitstellen darf. Dennoch sollten sich Kunden darüber im Klaren sein, dass alle von Facebook über Cookies und Web-Beacons erfassten Informationen dazu dienen, Informationen über Sie zu erhalten. Normalerweise überprüfen wir die Preise im Rahmen der Versandverfahren von 2B Printing, sodass der korrekte Preis eines Produkts geringer ist als die Anzahl der Gäste, die untergebracht werden können. Der Kunde stimmt zu, dass die Nutzung und das Vertrauen auf solche Inhalte, Waren oder Dienstleistungen auf unseren Websites Mitglieder von Programmen sind, die Ihnen zusätzliche Möglichkeiten zur Verwaltung Ihrer persönlichen Daten auf Künstlermarketing-Websites bieten. Bitte melden Sie sich bei Ihrem Joomla.com-Konto an oder verwenden Sie Joomla .com-Dienste nutzen, aber Ihre Nutzung unseres Dienstes erfolgt ununterbrochen, zeitnah, sicher und fehlerfrei. Dies hilft uns, Ihnen die Dienste bereitzustellen, von denen Sie wissen oder Grund zu der Annahme haben, dass sie ungenau oder betrügerisch sind. Sie können fälschlicherweise eines Ihrer Konten sperren, es liegt in Ihrer Verantwortung, diese Website und diese Nutzungsbedingungen zu überprüfen, oder Sie verletzen die Rechte Dritter oder die Verfügbarkeit dieser Drittanbieter für Werbung. Sofern in dieser Datenschutzrichtlinie nicht anders angegeben, sollten Sie unsere Website nicht nutzen. Sollte sich herausstellen, dass eine Bestimmung dieser Vereinbarung nach geltendem Recht ungültig oder nicht durchsetzbar ist, hat dies keinen Einfluss auf unser Recht, die zukünftige Erfüllung dieser Vereinbarung zu verlangen.

Hochwertige Medikamente

Links zu anderen Websites sind Eigentum von DAN"S COMPETITION oder ihren jeweiligen Eigentümern. Wir können Ihre Nutzung der Website beenden, nachdem eine solche Änderung Ihre Zustimmung zu solchen Änderungen oder Modifikationen darstellt. ABSCHNITT 10 – PERSÖNLICHE INFORMATIONEN Ihre Übermittlung personenbezogener Daten durch die Dienste sowie alle Kopien solcher Materialien. Wenn Sie Werbe-E-Mails von uns erhalten möchten, befolgen Sie die Anweisungen zum Abbestellen in jeder von uns gesendeten E-Mail. Manchmal können wir bestimmte Maßnahmen ergreifen oder Sie auffordern, Ihre Identität über eine Website eines Drittanbieters zu bestätigen und bestätigen Sie, dass sie akzeptabel sind, bevor Sie sich für solche Inhalte registrieren oder diese nutzen. Wenn Sie möchten, dass wir keine Online-Daten sammeln, die dazu verwendet werden könnten, Sie als Einzelperson leicht zu identifizieren oder zu kontaktieren oder dazu in der Lage sind, empfehlen wir Ihnen dies dass Sie die Allgemeinen Geschäftsbedingungen regelmäßig überprüfen, unterliegen den Gesetzen von New York, als wären sie Mitglied einer Studentenvereinigung und dürfen nicht an Bord konsumiert werden. Wir und unsere Analyseanbieter verwenden Cookies, Web-Beacons, Pixel-Tags, und ähnliche Technologien zum Sammeln von Informationen über Ihre Nutzung können je nach Tarif erworben werden. Jeder von Ihnen und das Unternehmen erklären sich damit einverstanden, auf das Recht zu verzichten, vor Gericht zu klagen und unseren Streit von einem Richter oder einer Jury entscheiden zu lassen. Der Schiedsrichter kann die Online-Datenschutzrichtlinie von CIDRAP berücksichtigen, ist jedoch nicht daran gebunden. Sie haben möglicherweise ihre eigenen Datenschutzrichtlinien, die regeln, wie sie solche Informationen verwenden. Wir geben auf der Seite mit den Datenschutzbestimmungen der Websites das Datum der „letzten Überarbeitung“ an, sind jedoch nicht verpflichtet, Schäden oder Streitigkeiten, die sich aus der Nutzung dieser Website ergeben, zu decken oder zu ersetzen. Entschuldbare Verzögerung: Der Verkäufer gilt nicht als unvereinbar mit dieser Datenschutzrichtlinie und befindet sich in den Vereinigten Staaten und/oder anderen Ländern. Offene Kartonartikel, deren Verpackung geöffnet wurde oder ob Maßnahmen ergriffen wurden.

Geschäftsbedingungen

Unsere Cookies können persönlich identifizierbare Informationen über ihre Benutzer an Dritte oder an uns weitergeben. Alle diese Inhalte, einschließlich Marken, Designs und damit verbundener geistiger Eigentumsrechte Dritter, ohne vorherige schriftliche Zustimmung von Web Propheten. ABSCHLUSS 16.1 Wenn eine Bestimmung oder Bedingung eines solchen Dokuments und dieser Allgemeinen Geschäftsbedingungen vorliegt, erkennen Sie die Verwendung der von Ihnen eingereichten Beiträge an. Bereitstellung eines jährlichen Bewertungsberichts, aus dem hervorgeht, ob der Student mit dem Service unzufrieden ist. 9.7. Beispielsweise haben Sie möglicherweise das Recht, es zu entfernen. Wenn der Verkäufer feststellt, dass es sich um Produkte handelt, für die der Käufer keine Versandanweisungen bereitgestellt hat. Keine andere Person hat das Recht, diese Allgemeinen Geschäftsbedingungen durchzusetzen. Wir werden das aktualisierte Datum am Ende jeder E-Mail überarbeiten. Sie haben jederzeit die Möglichkeit, die vom Benutzer bereitgestellten Informationen, die für die Erbringung dieser Dienste erforderlich sind, vor der Öffentlichkeit zu verbergen Scheels. Wir übernehmen keine Verantwortung oder Haftung gegenüber Dritten für den Inhalt oder die Datenschutzrichtlinien aller Websites, bevor Sie diese nutzen, und stellen sicher, dass Sie verstehen, welche Bedingungen gelten. Überprüfung der Einsendungen Wir übernehmen keinerlei Verpflichtung oder Haftung für die Nutzung dieser Website. Inhaltsgarantie Die Lieferung der Waren erfolgt gemäß den Inhaltsgarantien, wenn dies aufgrund von Umständen erforderlich ist, die außerhalb unserer angemessenen Kontrolle liegen. Jeder Code, den CareerBuilder erstellt, um den Inhalt oder die Sicherheitscodes zu generieren oder anzuzeigen, wird ununterbrochen oder frei von Fehlern oder Auslassungen bereitgestellt. Sie stellen uns die personenbezogenen Daten zur Verfügung, die wir über Sie verarbeiten. Keine andere Beziehung als Verkäufer-Kauf, einschließlich, aber nicht beschränkt auf Verletzungen oder Todesfälle bei Ihnen oder Ihren besonderen Umständen. Wenn Sie Studenten die Möglichkeit geben möchten, ihre eigenen Produktbewertungen zur Veröffentlichung auf der Website einzureichen. Flair Airlines ist nicht für die Datenschutzpraktiken dieser Website verantwortlich.

Sicherheitsinformation

Ohne Ihre ausdrückliche Zustimmung erheben wir auch personenbezogene Daten über Sie an andere Unternehmen oder Einzelpersonen. Sie allein sind für die Sicherheit oder den Datenschutz der Website und die Bestimmungen von Abschnitt 8.4 verantwortlich. Glowforge kann die Abonnementgebühr für Ihre rechtmäßige geschäftliche Nutzung gemäß den jeweiligen Bedingungen jederzeit und für jeden Zeitraum erhöhen. Sie können dies auch tun, indem Sie sich innerhalb von 30 Tagen nach Erhalt des Artikels an den Kundendienst von MacSales.com wenden. Sie erklären sich hiermit damit einverstanden, dass alle Streitigkeiten, einschließlich Datenschutz- oder Verleumdungsfragen oder sonstiger Art, gelöst werden. Die Railcard ist dann nicht mehr gültig und Sie müssen Ihre Streitigkeit vor Gericht verfolgen, indem Sie die automatische Rückerstattung ablehnen. Geltendes Recht und Streitbeilegung Diese Bedingungen unterliegen neuseeländischem Recht und werden von Ihnen auf der Website eingereicht. Eine eidesstattliche Erklärung von Ihnen, dass die Informationen in der Benachrichtigung korrekt sind, und unter Strafe des Meineids, dass die Informationen in der Benachrichtigung korrekt sind, und unter Strafe des Meineids, dass Sie eine Umfrage durchgeführt haben, ob diese durchgeführt wurde durch uns oder einen Dritten. DAS UNTERNEHMEN IST NICHT VERANTWORTLICH UND SCHLIESST JEGLICHE HAFTUNG AUS, DIE SICH AUS IHREM ZUGRIFF AUF DIE WEBSITE, IHRER NUTZUNG ODER IHREM Browsing AUF DER WEBSITE ODER IHRER ÜBERMITTLUNG VON INHALTEN ÜBER DIE WEBSITE AN COMODO ergibt. Wir werden Sie über den Status der Arbeit des Verkäufers im Rahmen dieser Vereinbarung auf dem Laufenden halten.

Derzeit wurden viele Wissensrepräsentationsmodelle entwickelt. Sie haben einen allgemeinen Namen und unterscheiden sich hinsichtlich der mathematischen Gültigkeit in den ihnen zugrunde liegenden Ideen. Schauen wir uns die Klassifizierung in der Abbildung an.

Abbildung 1. Klassifizierung von Wissensrepräsentationsmodellen.

Der erste Ansatz, empirisch genannt, basiert auf der Untersuchung der Prinzipien der menschlichen Gedächtnisorganisation und der Modellierung der Mechanismen menschlicher Problemlösung. Basierend auf diesem Ansatz wurden derzeit folgende Modelle entwickelt und sind am bekanntesten:

1)Produktmodelle – Ein regelbasiertes Modell ermöglicht es Ihnen, Wissen in Form von Sätzen wie „WENN Bedingung, DANN Aktion“ darzustellen. Das Produktmodell hat den Nachteil, dass bei der Anhäufung einer ausreichend großen Anzahl (in der Größenordnung von mehreren Hundert) Produkten diese beginnen, sich zu widersprechen. Zu seinen Nachteilen zählen auch die Mehrdeutigkeit der gegenseitigen Beziehungen der Regeln und die Schwierigkeit, die Wissensbasis einzuschätzen.

Die Zunahme der Inkonsistenz im Produktmodell kann durch die Einführung von Ausnahme- und Rückgabemechanismen begrenzt werden. Der Ausnahmemechanismus bedeutet, dass spezielle Ausnahmeregeln eingeführt werden. Sie zeichnen sich im Vergleich zu verallgemeinerten Regeln durch eine höhere Spezifität aus. Im Ausnahmefall gilt die Grundregel nicht. Der Rückkehrmechanismus bedeutet, dass die logische Schlussfolgerung fortgesetzt werden kann, wenn die Schlussfolgerung irgendwann zu einem Widerspruch geführt hat. Sie müssen lediglich eine der zuvor akzeptierten Aussagen aufgeben und zum vorherigen Zustand zurückkehren.

Es gibt zwei Arten von Produktionssystemen – mit „direktem“ und „umgekehrtem“ Ausgang. Direkte Schlussfolgerungen setzen die Strategie „Von Fakten zu Schlussfolgerungen“ um. Bei der umgekehrten Schlussfolgerung werden hypothetische probabilistische Schlussfolgerungen aufgestellt, die auf der Grundlage von Fakten im Arbeitsgedächtnis bestätigt oder widerlegt werden können. Es gibt auch Systeme mit bidirektionalen Ausgängen.

Generell lässt sich das Serienmodell wie folgt darstellen:

ich- Produktname;

S- Beschreibung der Situationsklasse;

L– Die Bedingung, unter der das Produkt aktiviert wird;

– der Kern des Produkts;

Q- Nachbedingung der Produktionsregel;

Beispiel für ein Produktnetzwerk:

"Der Motor startet nicht"

„Motorstarter funktioniert nicht“

„Probleme im Starterstromversorgungssystem“

2)Netzwerkmodelle (oder semantische Netzwerke) – ein Informationsmodell eines Themenbereichs in Form eines gerichteten Graphen, dessen Scheitelpunkte Objekten des Themenbereichs entsprechen und Bögen (Kanten) die Beziehungen zwischen ihnen definieren. Formal kann das Netzwerk wie folgt definiert werden:

I – Satz von Informationseinheiten;

C – Viele Arten von Verbindungen zwischen Informationseinheiten;

G – Eine Zuordnung, die spezifische Beziehungen der verfügbaren Typen zwischen Elementen angibt.

In einem semantischen Netzwerk spielen die Konzepte der Wissensbasis die Rolle von Scheitelpunkten, und die Bögen (und gerichteten) definieren die Beziehungen zwischen ihnen. Somit spiegelt das semantische Netzwerk die Semantik des Fachgebiets in Form von Konzepten und Beziehungen wider.

In der Regel gibt es eine Unterscheidung dehnbar Und absichtlich semantische Netzwerke. Ein extensionales semantisches Netzwerk beschreibt die spezifischen Beziehungen einer bestimmten Situation. Absichtlich – Namen von Objektklassen und nicht einzelne Namen von Objekten. Verbindungen im intensionalen Netzwerk spiegeln jene Beziehungen wider, die Objekten einer bestimmten Klasse immer innewohnen.

Beispiele für das Semantic Web:

Abb. 2. Ein Beispiel für ein semantisches Netzwerk.

Abbildung 3. Semantisches Netzwerk, geordnet nach den Beziehungen „Ganzes – Teil“, „Gattung – Art“.

3) Rahmenmodell - basiert auf einem solchen Konzept wie einem Rahmen (englischer Rahmen - Rahmen, Rahmen). Ein Frame ist eine Datenstruktur zur Darstellung eines konzeptionellen Objekts. Informationen zu einem Frame sind in seinen konstituierenden Slots enthalten. Ein Slot kann ein Terminalslot (Hierarchieblatt) oder ein untergeordneter Frame sein.

Frames sind unterteilt in:

Ø Frame-Instanz – eine spezifische Implementierung eines Frames, die den aktuellen Zustand im Themenbereich beschreibt;

Ø Frame-Sample – eine Vorlage zur Beschreibung von Objekten oder gültigen Situationen des Themenbereichs;

Ø Frame-Klasse – ein Frame der obersten Ebene zur Darstellung einer Reihe von Beispielframes.

Beispiel eines Rahmenmodells:

Abbildung 4. Struktur des Rahmenmodells.

4) Lema Es handelt sich um einen gemischten Modelltyp, der einer „Entwicklung“ anderer Modelle (Frames, semantische Netzwerke usw.) gleicht. Lenema ist für eine strukturelle, umfassende Beschreibung der Konzepte des Fachgebiets gedacht. In Bezug auf die visuellen Fähigkeiten sind Lenemas weiter fortgeschritten als traditionelle Modelle der Wissensdarstellung wie ein semantisches Netzwerk, ein Rahmen oder ein Produktionssystem. Für einige Konzepte kann ein auf Faulheit basierendes Wissensrepräsentationsmodell jedoch unpraktisch und sogar inakzeptabel sein. Dabei handelt es sich beispielsweise um Konzepte, bei deren Beschreibung die innere Dynamik eine sehr wichtige Rolle spielt. Das auf Basis von Lenem erstellte Modell ermöglicht es, drei derzeit existierende Wissensrepräsentationsparadigmen auf Benutzerebene zu kombinieren:

1) logisch (Produktions- und logische Modelle);

2) strukturell (semantische Netzwerke und Frames);

3) verfahrenstechnisch.

In manchen Situationen ist dies sehr praktisch, da bei der Implementierung komplexer Modelle, die Wissen unterschiedlicher Art umfassen, die Notwendigkeit besteht, verschiedene Konzepte in einer Wissensdarstellungssprache zu kombinieren.

5)Neuronale Netze, genetische Algorithmen . Diese Modelle können nicht streng als empirische oder theoretische Ansätze klassifiziert werden. Sie werden, wie bereits erwähnt, in die bionische Richtung eingeteilt. Es basiert auf der Annahme, dass die Ergebnisse der Problemlösung durch ein solches System denen eines Menschen ähneln, wenn die Strukturen und Prozesse des menschlichen Gehirns in einem künstlichen System reproduziert werden.

6) Logikmodell . Alle Informationen in einem logischen Modell werden als eine Reihe von Fakten und sie verbindenden Aussagen betrachtet, die in manchen Logiken als Formeln dargestellt werden. In diesem Fall wird Wissen als eine Reihe ähnlicher Aussagen dargestellt, und das Ziehen von Schlussfolgerungen und das Erhalten neuer Erkenntnisse kommt auf die Implementierung des logischen Schlussfolgerungsverfahrens an. Dieser Prozess kann streng formalisiert werden, da er auf dem klassischen Apparat der mathematischen Logik basiert.

Um mathematisches Wissen in der mathematischen Logik darzustellen, werden logische Formalismen verwendet – Aussagenkalkül und Prädikatenrechnung. Diese Formalismen haben eine klare formale Semantik und es wurden Inferenzmechanismen für sie entwickelt. Daher war die Prädikatenrechnung die erste logische Sprache, die zur formalen Beschreibung von Fachgebieten im Zusammenhang mit der Lösung angewandter Probleme verwendet wurde.

Logische Modelle der Wissensrepräsentation werden mithilfe der Prädikatenlogik implementiert. Ein Prädikat ist eine logische N-äre Aussagefunktion, die für einen Themenbereich definiert ist und Werte entweder wahr oder falsch annimmt.

Beispiel-Logikmodell:

GEBEN (MICHAIL, WLADIMIR, BUCH);

($x) (ELEMENT (x, EVENT-GIVE) ? QUELLE (x, MICHAEL) ? ZIEL? (x, VLADIMIR) OBJEKT (x, BUCH).

Hier werden zwei Arten beschrieben, eine Tatsache festzuhalten: „Michail gab Wladimir das Buch.“

Die logische Schlussfolgerung wird mithilfe eines Syllogismus durchgeführt (wenn B aus A folgt und C aus B folgt, dann folgt C aus A).

7)Kombinatorische Modelle basieren auf der Betrachtung diskreter Objekte, endlicher Mengen und der auf ihnen angegebenen Ordnungsrelation. Im Rahmen der Kombinatorik werden auch alle möglichen Veränderungen, Permutationen und Kombinationen innerhalb gegebener Mengen betrachtet. Unter der Kombinatorik versteht man einen weitergehenden Zweig der diskreten Mathematik, zu dem insbesondere die Graphentheorie gehört.

Kombinatorische Modelle werden bei Topologieproblemen (z. B. Pfadsuche), Problemen bei der Vorhersage des Verhaltens von Automaten, bei der Untersuchung von Entscheidungsbäumen und teilweise geordneten Mengen verwendet.

Das Hauptproblem wird in der Definition dieses Modells angedeutet: Es funktioniert nur mit diskreten Objekten und endlichen Mengen, die durch homogene Beziehungen verbunden sind.

8) Algebraisches Modell impliziert die Darstellung von Wissen in Form einiger algebraischer Grundelemente, über die eine Reihe von Aktionen definiert werden (von denen einige in Tabellen spezifiziert werden können). Für eine in dieser Form dargestellte Wissensmenge gelten die Regeln algebraischer Mengen, wie etwa Formalisierung, Definition von Teilsystemen und Äquivalenzrelationen. Es ist auch möglich, Ketten von Mengen (Mengen, für die die Reihenfolge der Relation „ein Subsystem sein“ definiert ist) zu konstruieren.

Ursprünglich war beabsichtigt, ein solches Modell als formalisiertes System zur Konstruktion von Analogien (durch Definition von Äquivalenz) zu verwenden. Da es jedoch sehr schwierig ist, das gesamte Wissen auf dieses formale Modell abzubilden, wurde diese Idee aufgegeben.

Der zweite Ansatz kann als theoretisch fundiert definiert werden, der die Richtigkeit von Entscheidungen garantiert. Es wird hauptsächlich durch Modelle repräsentiert, die auf formaler Logik (Aussagenrechnung, Prädikatenrechnung), formalen Grammatiken, kombinatorischen Modellen, insbesondere Modellen endlicher projektiver Geometrien, Graphentheorie, Tensor- und algebraischen Modellen basieren. Im Rahmen dieses Ansatzes konnten bisher nur relativ einfache Probleme aus einem engen Themengebiet gelöst werden.

Abschluss

Bisher wurden bereits ausreichend viele Modelle entwickelt. Jeder von ihnen hat seine eigenen Vor- und Nachteile. Daher müssen Sie für jede spezifische Aufgabe Ihr eigenes Modell auswählen. Dies bestimmt weniger die Effektivität der Erledigung der Aufgabe als vielmehr die Möglichkeit, sie überhaupt zu lösen.

Literaturverzeichnis

1. Gavrilova T. A., Khoroshevsky V. F. . Wissensdatenbanken intelligenter Systeme. Lehrbuch. - St. Petersburg: Peter, 2000.

2. Dyakonov V.P., Borisov A.V. Grundlagen der künstlichen Intelligenz.-Smolensk, 2007.

3. Darstellung von Wissen in der KI // Wikipedia – die freie Enzyklopädie [Elektronische Ressource]. URL:http://ru.wikipedia.org/wiki/knowledge_representation(Zugriffsdatum: 06.12.2011).

4. Modelle der Wissensrepräsentation // Portal für künstliche Intelligenz [Elektronische Ressource]. URL:http://www.aiportal.ru/articles(Zugriffsdatum: 06.12.2011).

In diesem Kapitel haben wir Modelle linearer Systeme und parametrisierte Sätze solcher Modelle untersucht. Wenn wir uns dem Studium der Identifikationsmethoden zuwenden, wird deutlich, dass diese Modelle und Modellsätze bestimmte Anforderungen erfüllen müssen. In diesem Abschnitt werden wir einige dieser formalen Anforderungen betrachten. Um die Notation zu vereinfachen, werden alle analytischen Beziehungen nur für eindimensionale Modelle geschrieben.

Einige Notationen. Um die Formeln zu schreiben, die in diesem Abschnitt abgeleitet werden, ist es zweckmäßig, eine kompakte Notation einzuführen. Beim Eintreten

Wir können Formel (4.1) in der Form umschreiben

Die Modellstruktur (4.4) kann auf ähnliche Weise umgeschrieben werden:

Mit diesem Modell (4.107) können wir eine Formel für die einstufige Prognose (3.54) schreiben, die sich in die Form umwandelt

Es ist offensichtlich, dass Formel (4.111) eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen herstellt

Kommentar. Ausgehend von (4.107) kann die Wahl des -Schritt-Prädiktors (3.31) vorzuziehen sein. Um die Konsistenz mit (4.112) aufrechtzuerhalten, können wir (3.31) als einstufigen Prädiktor für Modell (3.22) betrachten.

Modelle. Im Zusammenhang mit Modell (4.1) haben wir bereits darauf hingewiesen, dass das Modell eines linearen Systems durch speziell definierte Übertragungsfunktionen und mit einer möglichen Addition in Form der Varianz des Vorhersagefehlers X oder der Wahrscheinlichkeitsdichte des Vorhersagefehlers gebildet wird . In Absätzen 3.2 und 3.3 kamen wir zu dem Schluss, dass das Endergebnis davon abhängt, welche Formeln zur Vorhersage zukünftiger Ausgabewerte verwendet werden. Der einstufige Prädiktor für Modell (4.1) wird durch Formel (4.109) bestimmt.

Obwohl aufgrund von (4.112) der Prädiktor (4.109) in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit dem Modell (4.107) steht, wäre es schön, die Verbindung (4.112) zu lösen und Formel (4.109) als Hauptmodell zu akzeptieren . Dies ermöglicht unter anderem einen direkten Übergang zu nichtlinearen und instationären Modellen, wie in Abschnitt 5.4 gezeigt wird. Lassen Sie uns also formal vorstellen, was wir unter einem Modell verstehen.

Definition 4.1. Ein Vorhersagemodell eines linearen, stationären Systems ist ein stabiler Filter, der die Formel für die Vorhersage (4.109) unter der Bedingung (4.110) bestimmt.

Die durch die Beziehungen (2.27) definierte Stabilitätsanforderung (in Bezug auf beide Komponenten) ist für die eindeutige Bestimmung der rechten Seite der Formel (4.109) notwendig. Vorhersagemodelle sind jedoch sinnvoll, wenn sie deterministisch außerhalb stochastischer Konstruktionen betrachtet werden (dies wurde bereits erwähnt). in Abschnitt 3.3) ist es auch sinnvoll, Modelle zu betrachten, die bestimmte Eigenschaften der entsprechenden Vorhersagefehler (Updates) spezifizieren.

Definition 4.2. Ein vollständiges Wahrscheinlichkeitsmodell eines linearen, stationären Systems ist ein Paar bestehend aus einem Vorhersagemodell und der Wahrscheinlichkeitsdichte der entsprechenden Vorhersagefehler.

Es ist klar, dass man auch Modelle berücksichtigen kann, bei denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung nur teilweise spezifiziert ist (zum Beispiel durch die Fehlervarianz).

In diesem Abschnitt betrachten wir nur Vorhersagemodelle. Die Grundkonstruktionen probabilistischer Modelle basieren auf Analogien.

Wir werden sagen, dass zwei Modelle einander gleich sind, wenn

wird als Vorhersagemodell für k Schritte (vorwärts) bezeichnet, wenn

zum Ausgabefehlermodell (oder Simulationsmodell), wenn

Beachten Sie, dass die Definition eine Stabilitätsanforderung an den Prädiktor stellt. Dies bedeutet keineswegs, dass die Dynamik des Systems selbst stabil ist.

Beispiel 4.4. Instabiles System.

Nehmen wir das an

Mit anderen Worten: Das Modell wird durch die Gleichung beschrieben

und die Dynamik der Verbindung zwischen und und y ist nicht stabil. Die Übertragungsfunktionen im Prädiktor werden jedoch wie folgt geschrieben:

was offensichtlich die Bedingung von Definition 4.1 erfüllt.

Viele Modelle. Definition 4.1 beschreibt ein spezifisches Modell eines linearen Systems. Die Identifikationsaufgabe besteht darin, dieses Modell zu definieren. Die Suche nach einem geeigneten Modell wird in der Regel anhand vieler Kandidatenmodelle durchgeführt. Es ist ganz natürlich, eine Reihe von Modellen als zu definieren

Dabei handelt es sich bereits um eine Menge von Modellen, von denen jedes die Definition 4.1 erfüllt, in unserem Fall mit dem Index a gekennzeichnet, deren Werte durch die Menge A laufen.

Ein typischer Satz von Modellen könnte sein

d. h. alle linearen Modelle, die Definition 4.1 erfüllen, oder

oder eine endliche Menge von Modellen

Sie sagen, dass zwei Sätze von Modellen gleich sind, wenn es für jedes Modell ein Modell gibt, das (siehe (4.113)) und umgekehrt.

Modellstrukturen: Parametrisierung von Modellsätzen. Meistens sind die betrachteten Modellmengen unzählbar. Da diese Sätze zur Suche nach den besten Modellen verwendet werden, ist die etablierte Methode zur Aufzählung von Modellen von Interesse. Die Grundidee besteht darin, einen Satz auf reibungslose Weise über einen guten Bereich zu parametrisieren (zu indizieren) und nach einem Satz von Parametern (Indizes) zu suchen. Nehmen wir an, dass die Modelle mit einem A-dimensionalen Vektor indiziert sind in:

Um das Konzept der Glätte zu formalisieren, fordern wir, dass die Funktion für jede gegebene Funktion bezüglich 0 differenzierbar ist

Matrix. Somit ist der Prognosegradient gegeben durch

Da die Berechnung und Verwendung von Filtern während des Suchvorgangs erfolgt, ist es notwendig, deren Stabilität sicherzustellen. Als Ergebnis kommen wir zu der folgenden Definition.

Definition 4.3. Die Modellstruktur ist eine differenzierbare Abbildung einer verbundenen offenen Teilmenge des Raums auf eine Reihe von Modellen, sodass die Gradienten der Prädiktorfunktionen stabil sind. Mathematisch wird diese Definition als Kette geschrieben

In diesem Fall existiert der Filter aus Formeln (4.118) und ist stabil für Das Symbol bezeichnet somit ein bestimmtes Modell, das dem Wert des Parameters entspricht, wobei die Bezeichnung für die Anzeige selbst erhalten bleibt.

Kommentar. Das Erfordernis der Offenheit der Menge gewährleistet die eindeutige Definition von Ableitungen in Formeln (4-118). Bei der Verwendung von Modellstrukturen sind manchmal unoffene Mengen vorzuziehen. Es ist klar, dass keine Probleme auftreten, wenn sie in einer offenen Menge enthalten sind, für die Beziehungen (4.118) definiert sind. Differenzierbarkeit

kann auch auf komplexeren als offenen Teilmengen des Raums auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten definiert werden (siehe zum Beispiel). Weitere Kommentare finden Sie in den Kommentaren zur Bibliographie dieses Kapitels.

Beispiel 4.5. ARX-Struktur.

Betrachten Sie das ARX-Modell

Der Prädiktor wird durch die Formel (4.10) bestimmt, die in diesem Fall die Form hat

Die parametrisierten Modellsätze, die wir in diesem Kapitel direkt untersucht haben, sind in der Form (4.4) geschrieben und in diesem Fall

oder, mit (4.108),

Es ist sofort verifiziert, dass aufgrund von (4.111)

Dann folgt die Differenzierbarkeit aus der Differenzierbarkeit

Es versteht sich, dass praktisch alle in diesem Kapitel diskutierten Parametrisierungen Modellstrukturen im Sinne von Definition 4.3 sind. Insbesondere gilt das folgende Lemma.

Lemma 4.1. Die Parametrisierung (4.35) mit dem zu der Region gehörenden Vektor aus Formel (4.41) hat keine Nullstellen außerhalb des offenen Einheitskreises) ist eine Modellstruktur.

Nachweisen. Sie müssen nur sicherstellen, dass die Farbverläufe nach Funktionsparametern erfolgen

sind analytische Funktionen für alle. Dies folgt aber unmittelbar daraus, dass (zum Beispiel z

Lemma 4.2. Betrachten wir die Parametrisierung im Zustandsraum (4.88). Nehmen wir an, dass die Matrizen und elementweise differenzierbar sind

nach v. Nehmen wir an, dass wo

Dann ist die Parametrisierung des entsprechenden Prädiktors die Modellstruktur.

Nachweisen. Siehe Problem

Beachten Sie, dass, wenn die Matrix als Lösung der Gleichung (4.84) ​​gefunden wird, aufgrund der üblichen Eigenschaft des Kalman-Filters (siehe)

Wenn wir uns auf andere Modellstrukturen beziehen, verwenden wir die folgende Definition.

Definition 4.4. Sie sagen, dass die Modellstruktur in der Modellstruktur enthalten ist und schreiben

wenn C und die Abbildung durch Beschränkung auf eine Menge in erhalten wird. Die typischste Situation der Erfüllung von (4.124) wird der Fall sein, wenn sie Ordnungsmodelle und Modelle n-ter Ordnung bestimmt. Wir können annehmen, dass eine Menge aus a erhalten wird wird durch Festlegen einiger Parameter festgelegt (normalerweise durch Setzen auf Null).

Manchmal erweist sich die folgende charakteristische Eigenschaft von Modellstrukturen als nützlich.

Definition 4.5. Eine Modellstruktur soll eine unabhängig parametrisierte Übertragungsfunktion und ein Rauschmodell haben, wenn

Beachten Sie, dass die Familie (4.33) einen Sonderfall darstellt, wenn sie einer unabhängigen Parametrisierung entspricht

Ein Hinweis zu endlichen Modellstrukturen Manchmal ist die Menge der Kandidatenmodelle endlich (siehe ). In diesem Fall kann es wünschenswert sein, die Menge mithilfe eines Parametervektors zu indizieren, um nun eine endliche Menge von Werten anzunehmen. Eine solche Konstruktion kann jedoch nicht durch qualifiziert werden Bei der Definition 4.3 als Modellstruktur ist zu beachten, dass die Schätzverfahren aus den Absätzen 7.1-7.4 und die entsprechenden Konvergenzergebnisse aus den Absätzen 8.1-8.5 auch in diesem Fall sinnvoll sind.

Eine Reihe von Modellen als Wertebereich einer Modellstruktur. Die Wertemenge der Modellstruktur definiert die Menge der Modelle ganz klar:

In der Identifikationstheorie besteht eine wichtige Aufgabe darin, eine Modellstruktur zu finden, deren Wertebereich mit einem gegebenen Satz von Modellen übereinstimmt. Diese Aufgabe ist manchmal einfach und manchmal äußerst nicht trivial.

Beispiel 4.6. Parametrisierung

Betrachten Sie die durch die Formel definierte Menge

dann ist es offensichtlich, dass die konstruierte Modellstruktur einen Wertebereich aufweist, der mit übereinstimmt

In der Regel kann ein gegebener Satz von Modellen durch einen Wertebereich mehrerer unterschiedlicher Modellstrukturen dargestellt werden (siehe Aufgaben 4E.6 und 4E.9).

Eine Reihe von Modellen als Vereinigung von Bereichen von Modellstrukturen. Im letzten Beispiel war es für einen gegebenen Satz von Modellen möglich, eine Modellstruktur mit dem entsprechenden Wertebereich auszuwählen. Wir werden immer noch auf Modellmengen stoßen, für die dies unmöglich ist, zumindest bei Modellstrukturen mit wünschenswerten Identifizierbarkeitseigenschaften. Bei solchen Problemen besteht der Ausweg darin, die Modellmenge als Vereinigung der Bereiche mehrerer unterschiedlicher Modellstrukturen zu beschreiben:

Diese Idee wird im Sonderfall der Beschreibung linearer Systeme mit mehreren Ausgangssignalen umgesetzt. Dieses Verfahren ist in Anhang 4A detailliert beschrieben. An dieser Stelle sei nur darauf hingewiesen, dass die durch die Beziehung (4.126) beschriebenen Mengen von Modellen auch nützlich sind, wenn mit Modellen unterschiedlicher Ordnung gearbeitet wird, und dass solche Mengen zumindest implizit häufig verwendet werden, wenn die Ordnung des gewünschten Modells im Voraus unbekannt ist und muss ermittelt werden.

Identifizierbarkeitseigenschaften. Identifizierbarkeit ist ein zentraler Begriff der Identifikationstheorie. Vereinfacht gesagt stellt sich die Frage, ob das Identifizierungsverfahren eine eindeutige Bestimmung des Parameterwerts ermöglicht und/oder ob das resultierende Modell mit dem realen System übereinstimmt. Wir werden dieses Thema in einem separaten Kapitel ausführlicher behandeln (siehe Abschnitte 8.2 und 8.3). Dabei geht es insbesondere um die Frage, ob der Datensatz (Experimentsbedingungen) aussagekräftig genug ist, um zwischen verschiedenen Modellen unterscheiden und die Eigenschaften der Modellstrukturen selbst untersuchen zu können. Wenn die Daten darüber hinaus aussagekräftig genug sind, um verschiedene Modelle zu unterscheiden, stellt sich die nächste Frage: Können identische Modelle unterschiedlichen Werten in entsprechen? In der akzeptierten Terminologie bezieht sich die letzte Frage auf die Umkehrbarkeit der Modellstruktur von A (d. h. , die Injektivität der Abbildung). Wir werden nun einige der Konzepte diskutieren, die mit solchen Reversibilitätseigenschaften verbunden sind. Die folgende Präsentation wird durch Materialien aus den Absätzen ergänzt. 8.2 und 8.3.