소수를 분수로 나누기. 아이에게 분수 나누는 방법을 설명해주세요.

이 기사에서는 나눗셈과 같은 소수를 사용하는 중요한 연산을 살펴보겠습니다. 먼저 일반 원리를 공식화한 다음 열의 소수를 다른 분수와 자연수로 올바르게 나누는 방법을 분석합니다. 다음으로 일반 분수를 소수로 나누는 방법과 그 반대로 나누는 방법을 분석하고 마지막에는 0, 1, 0, 01, 100, 10 등으로 끝나는 분수를 올바르게 나누는 방법을 살펴보겠습니다.

여기서는 양의 분수가 있는 경우만 살펴보겠습니다. 분수 앞에 마이너스가 있는 경우 이를 사용하려면 유리수와 실수를 나누는 방법에 대한 자료를 연구해야 합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

유한 분수와 주기 분수를 포함한 모든 소수 분수는 일반 분수를 작성하는 특별한 형태일 뿐입니다. 따라서 해당 일반 분수와 동일한 원리가 적용됩니다. 따라서 우리는 소수를 나누는 전체 과정을 일반 분수로 대체하고 이미 알려진 방법을 사용하여 계산합니다. 구체적인 예를 들어 보겠습니다.

실시예 1

1.2를 0.48로 나눕니다.

해결책

소수 분수를 일반 분수로 써 봅시다. 우리는 얻을 것이다:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

따라서 6 5 를 12 25 로 나누어야 합니다. 우리는 다음을 계산합니다:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

결과로 나온 가분수에서 전체 부분을 선택하여 대분수 2 1 2를 얻거나 원래 숫자인 5 2 = 2, 5에 해당하도록 소수로 표시할 수 있습니다. 이 작업을 수행하는 방법에 대해서는 이미 이전에 작성했습니다.

답변: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

실시예 2

0 , (504) 0 , 56 이 얼마나 될지 계산해 보세요.

해결책

먼저, 주기 소수를 공통 분수로 변환해야 합니다.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

그런 다음 마지막 소수를 다른 형식인 0, 56 = 56,100으로 변환합니다. 이제 필요한 계산을 쉽게 수행할 수 있는 두 개의 숫자가 있습니다.

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

십진수 형태로 변환할 수도 있다는 결과가 나왔습니다. 이렇게 하려면 열 방법을 사용하여 분자를 분모로 나눕니다.

답변: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

나누기 예에서 비주기적인 소수를 발견하면 조금 다르게 행동할 것입니다. 우리는 이를 일반적인 일반 분수로 줄일 수 없으므로 나눌 때 먼저 특정 숫자로 반올림해야 합니다. 이 작업은 피제수와 제수를 모두 사용하여 수행해야 합니다. 또한 정확성을 위해 기존 유한 또는 주기 분수를 반올림합니다.

실시예 3

0.779... / 1.5602가 얼마인지 찾아보세요.

해결책

먼저 두 분수를 가장 가까운 소수점 이하 자릿수로 반올림합니다. 이것이 무한 비주기 분수에서 유한 소수 분수로 이동하는 방법입니다.

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

계산을 계속하여 대략적인 결과를 얻을 수 있습니다. 0, 779 ...: 1, 5602 ≒ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5.

결과의 정확성은 반올림 정도에 따라 달라집니다.

답변: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

자연수를 소수로 나누거나 그 반대로 나누는 방법

이 경우 나눗셈에 대한 접근 방식은 거의 동일합니다. 유한 및 주기 분수를 일반 분수로 대체하고 무한 비주기 분수를 반올림합니다. 자연수와 소수로 나누는 예부터 시작해 보겠습니다.

실시예 4

2.5를 45로 나눕니다.

해결책

2, 5를 일반 분수의 형태로 줄여보겠습니다: 255 10 = 51 2. 다음으로 이를 자연수로 나누면 됩니다. 우리는 이미 이를 수행하는 방법을 알고 있습니다.

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

결과를 십진법으로 변환하면 0.5(6)이 됩니다.

답변: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

장제법은 자연수에만 좋은 것이 아닙니다. 비유하자면 분수에 사용할 수 있습니다. 아래에는 이를 위해 수행해야 하는 일련의 작업이 나와 있습니다.

정의 1

소수 분수 열을 자연수로 나누려면 다음이 필요합니다.

1. 오른쪽의 소수 부분에 0 몇 개를 추가합니다(나눗셈을 위해 필요한 만큼의 숫자를 추가할 수 있습니다).

2. 알고리즘을 사용하여 소수를 자연수로 나눕니다. 분수 전체 부분의 나눗셈이 끝나면 결과 몫에 쉼표를 넣고 더 세어 봅니다.

이러한 나눗셈의 결과는 유한 또는 무한 주기 소수가 될 수 있습니다. 나머지에 따라 다릅니다. 0이면 결과는 유한하고 나머지가 반복되기 시작하면 대답은 주기 분수가 됩니다.

몇 가지 문제를 예로 들어 특정 숫자로 이러한 단계를 수행해 보겠습니다.

실시예 5

65, 14 4가 얼마나 될지 계산해 보세요.

해결책

우리는 컬럼 방식을 사용합니다. 이렇게하려면 분수에 두 개의 0을 추가하고 소수 분수 65, 1400을 얻으십시오. 이는 원래 분수와 같습니다. 이제 4로 나누는 열을 작성합니다.

결과 숫자는 정수 부분을 나누어 필요한 결과가 됩니다. 쉼표를 넣어 구분하고 계속합니다.

나머지가 0에 도달했으므로 나누기 프로세스가 완료되었습니다.

답변: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

실시예 6

164.5를 27로 나눕니다.

해결책

먼저 분수 부분을 나누고 다음을 얻습니다.

결과 숫자를 쉼표로 구분하고 계속해서 나눕니다.

나머지 부분이 주기적으로 반복되기 시작했고 몫에서 숫자 9, 2, 5가 번갈아 시작되었음을 알 수 있습니다. 여기서 멈추고 주기분수 6, 0(925)의 형태로 답을 쓰겠습니다.

답변: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

이 나눗셈은 이미 위에서 설명한 소수와 자연수의 몫을 찾는 과정으로 축소될 수 있습니다. 이렇게 하려면 피제수와 제수에 10, 100 등을 곱하여 제수가 자연수로 바뀌도록 해야 합니다. 다음으로 위에서 설명한 일련의 작업을 수행합니다. 이 접근 방식은 나눗셈과 곱셈의 속성으로 인해 가능합니다. 우리는 이를 다음과 같이 기록했습니다.

a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) 등등.

규칙을 만들어 봅시다:

정의 2

하나의 마지막 소수 부분을 다른 분수로 나누려면:

1. 피제수와 제수의 쉼표를 제수를 자연수로 바꾸는 데 필요한 자릿수만큼 오른쪽으로 이동합니다. 배당금에 부호가 충분하지 않으면 오른쪽에 0을 추가합니다.

2. 그런 다음 분수를 결과 자연수로 열로 나눕니다.

구체적인 문제를 살펴보겠습니다.

실시예 7

7.287을 2.1로 나눕니다.

해결 방법: 제수를 자연수로 만들려면 소수점 이하 자릿수를 한 자리 오른쪽으로 이동해야 합니다. 그래서 우리는 소수 72, 87을 21로 나누는 작업을 진행했습니다. 결과 숫자를 열에 쓰고 계산해 봅시다

답변: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

실시예 8

16.30.021을 계산하세요.

해결책

쉼표를 세 자리 옮겨야 합니다. 이를 위해서는 제수에 숫자가 충분하지 않으므로 추가로 0을 사용해야 합니다. 우리는 결과가 다음과 같을 것이라고 생각합니다:

우리는 잔기 4, 19, 1, 10, 16, 13의 주기적 반복을 봅니다. 몫에는 1, 9, 0, 4, 7, 5가 반복됩니다. 그러면 우리의 결과는 주기적인 소수 분수 776(190476)입니다.

답변: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

우리가 설명한 방법을 사용하면 반대 작업을 수행할 수 있습니다. 즉, 자연수를 마지막 소수 부분으로 나누는 것입니다. 그것이 어떻게 완료되었는지 봅시다.

실시예 9

3 5, 4가 얼마인지 계산해 보세요.

해결책

당연히 쉼표를 올바른 한 곳으로 옮겨야 할 것입니다. 그런 다음 30, 0을 54로 나눌 수 있습니다. 열에 데이터를 쓰고 결과를 계산해 보겠습니다.

나머지를 반복하면 주기적인 소수인 최종 숫자 0, (5)가 나옵니다.

답변: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

소수를 1000, 100, 10 등으로 나누는 방법

이미 연구한 일반 분수 나누기 규칙에 따르면, 분수를 수십, 수백, 수천으로 나누는 것은 분수에 1/1000, 1/100, 1/10 등을 곱하는 것과 유사합니다. 이 경우 단순히 소수점을 필요한 금액 숫자로 옮기는 것으로 충분합니다. 전송할 숫자에 값이 충분하지 않은 경우 필요한 수의 0을 추가해야 합니다.

실시예 10

즉, 56, 21:10 = 5,621이고, 0, 32:100,000 = 0,0000032입니다.

무한 소수 분수의 경우에도 동일한 작업을 수행합니다.

실시예 11

예를 들어 3, (56): 1,000 = 0, 003 (56) 및 593, 374...: 100 = 5, 93374....

소수를 0.001, 0.01, 0.1 등으로 나누는 방법

동일한 규칙을 사용하여 분수를 표시된 값으로 나눌 수도 있습니다. 이 작업은 각각 1000, 100, 10을 곱하는 것과 유사합니다. 이를 위해 문제의 조건에 따라 쉼표를 한 자리, 두 자리 또는 세 자리로 이동하고 숫자에 자리가 충분하지 않으면 0을 추가합니다.

실시예 12

예를 들어 5.739: 0.1 = 57.39 및 0.21: 0.00001 = 21,000입니다.

이 규칙은 무한 소수에도 적용됩니다. 답에 나타나는 분수의 마침표에만 주의하는 것이 좋습니다.

따라서 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) 소수점 이하 7에서 쉼표를 이동한 후 5716716716... 오른쪽으로 두 자리 이동하면 757, 167167이 됩니다....

예에 비주기적인 분수가 있으면 모든 것이 더 간단합니다. 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83...

대분수나 분수를 소수로 나누거나 그 반대로 나누는 방법

또한 이 작업을 일반 분수를 사용한 작업으로 축소합니다. 이렇게 하려면 십진수를 해당 일반 분수로 바꾸고 대분수를 가분수로 써야 합니다.

비주기 분수를 일반수나 대분수로 나누는 경우, 반대로 일반 분수나 대분수를 해당 소수로 바꿔야 합니다.

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소수를 더하는 것은 정수를 더하는 것과 같습니다. 예제를 통해 이를 살펴보겠습니다.

1) 0.132 + 2.354. 용어 아래에 용어를 표시해 보겠습니다.

여기서 2천분의 1에 4천분의 1을 더하면 6천분의 1이 됩니다.
3/100에 5/100을 더하면 결과는 8/100이 됩니다.
1/10에 3/10 -4/10을 더하고
2개의 정수 - 2개의 정수로 0개의 정수를 추가하는 것부터.

2) 5,065 + 7,83.

두 번째 항에는 천분의 일이 없으므로 항을 차례로 표시할 때 실수하지 않는 것이 중요합니다.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

여기서 천분의 일을 더하면 결과는 21,000이 됩니다. 우리는 천분의 일 아래에 1을 쓰고 백분의 일에 2를 더했습니다. 따라서 백분의 일 자리에서는 다음과 같은 항을 얻었습니다. 2 + 3 + 6 + 8 + 0; 전체적으로 그들은 19/100을 제공하고 우리는 100분의 9 미만에 서명했고 1은 10분의 1로 계산되었습니다.

따라서 소수를 더할 때 다음 순서를 준수해야 합니다. 모든 용어에서 동일한 숫자가 서로 아래에 있고 모든 쉼표가 동일한 수직 열에 있도록 분수에 서명하십시오. 일부 용어의 소수점 오른쪽에는 적어도 정신적으로 그러한 수의 0이 추가되어 소수점 이하의 모든 용어가 동일한 자릿수를 갖습니다. 그런 다음 오른쪽부터 시작하여 숫자별로 덧셈을 수행하고 결과 합계에서 해당 용어에 있는 동일한 세로 열에 쉼표를 넣습니다.

§ 108. 소수점 이하 분수 빼기.

소수의 뺄셈은 정수의 뺄셈과 같은 방식으로 작동합니다. 이를 예시로 보여드리겠습니다.

1) 9.87~7.32. 같은 숫자의 단위가 서로 아래에 있도록 피감수 아래에 감수에 서명합시다.

2) 16.29~4.75. 첫 번째 예에서와 같이 피감수 아래에 감수에 서명해 보겠습니다.

10분의 1을 빼려면 6에서 하나의 전체 단위를 가져와서 10분의 1로 나누어야 했습니다.

3) 14.0213-5.350712. 피감수 아래에 감산에 서명합시다:

뺄셈은 다음과 같이 수행되었습니다. 0에서 200만분의 1을 뺄 수 없으므로 왼쪽에서 가장 가까운 숫자, 즉 십만분의 일로 바꿔야 하지만 십만분의 일 대신에도 0이 있으므로 0에서 1만분의 1을 취합니다. 3 만분의 일을 십만분의 일로 나누어서 100만을 얻습니다. 그 중 십만분의 일 범주에 9십만을 남기고, 10만을 백만분의 일로 나누면 천만분의 일을 얻습니다. 따라서 마지막 세 자리 숫자는 백만분의 10, 십만분의 9, 만분의 2입니다. 더 명확하고 편리하도록 (잊지 않도록) 이 숫자는 피감수의 해당 분수 위에 기록됩니다. 이제 빼기를 시작할 수 있습니다. 1000만분의 1에서 200만분의 1을 빼면 800만분의 1이 됩니다. 90만분의 1에서 10만분의 1을 빼면 80만분의 1이 됩니다.

따라서 소수를 뺄 때 다음 순서가 준수됩니다. 동일한 숫자가 서로 아래에 있고 모든 쉼표가 동일한 세로 열에 있도록 피감수 아래에 감산 기호를 표시합니다. 오른쪽에서는 적어도 정신적으로 피감수나 빼기에 너무 많은 0을 추가하여 동일한 자릿수가 되도록 한 다음 오른쪽에서 시작하여 숫자만큼 빼고 결과 차이에 쉼표를 넣습니다. 감소 및 뺄셈에 위치한 동일한 수직 열입니다.

§ 109. 소수의 곱셈.

소수의 곱셈의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

이 숫자의 곱을 찾기 위해 다음과 같이 추론할 수 있습니다. 인수가 10배 증가하면 두 인수는 모두 정수가 되며 정수 곱셈 규칙에 따라 곱할 수 있습니다. 그러나 우리는 요인 중 하나가 여러 번 증가하면 제품도 같은 양만큼 증가한다는 것을 알고 있습니다. 즉, 정수인수를 곱하여 구한 수, 즉 28×23이 실제 곱의 10배가 되며, 실제 곱을 얻기 위해서는 찾은 곱을 10배 줄여야 한다는 뜻이다. 따라서 여기서는 10을 한 번 곱하고 10으로 한 번 나누어야 하는데, 10을 곱하고 나누는 것은 소수점을 좌우로 한 자리씩 옮겨서 하는 것입니다. 따라서 다음을 수행해야 합니다. 요소에서 쉼표를 올바른 한 위치로 이동하면 23이 되고 결과 정수를 곱해야 합니다.

이 제품은 실제 제품보다 10배 더 큽니다. 따라서 10배로 줄여야 하며, 이를 위해 쉼표를 왼쪽으로 한 자리 이동합니다. 따라서 우리는 얻는다

28 2,3 = 64,4.

확인 목적으로 분모와 함께 소수를 쓰고 일반 분수의 곱셈 규칙에 따라 작업을 수행할 수 있습니다.

2) 12,27 0,021.

이 예와 이전 예의 차이점은 여기서 두 요소가 모두 소수로 표시된다는 것입니다. 그러나 여기에서는 곱셈 과정에서 쉼표에주의를 기울이지 않을 것입니다. 즉, 일시적으로 피승수를 100 배로 늘리고 승수를 1,000 배로 늘려 곱을 100,000 배로 늘립니다. 따라서 1,227에 21을 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

1 227 21 = 25 767.

결과 제품이 실제 제품보다 100,000배 더 크다는 점을 고려하면 이제 여기에 쉼표를 적절하게 배치하여 100,000배로 줄여야 합니다. 그러면 다음을 얻습니다.

32,27 0,021 = 0,25767.

점검 해보자:

따라서 두 개의 소수를 곱하려면 쉼표에주의를 기울이지 않고 정수로 곱하고 제품에서 피승수와 마찬가지로 오른쪽에 쉼표로 소수 자릿수를 구분하는 것으로 충분합니다. 승수에서 함께.

마지막 예에서는 소수점 이하 5자리의 제품이 생성되었습니다. 그렇게 큰 정밀도가 필요하지 않으면 소수 부분이 반올림됩니다. 반올림할 때 정수에 표시된 것과 동일한 규칙을 사용해야 합니다.

§ 110. 테이블을 사용한 곱셈.

소수의 곱셈은 때때로 표를 사용하여 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 이를 위해 앞서 설명한 두 자리 숫자의 곱셈표를 사용할 수 있습니다.

1) 53에 1.5를 곱합니다.

우리는 53에 15를 곱할 것입니다. 표에서 이 곱은 795입니다. 우리는 곱 53을 15로 찾았지만 두 번째 요소는 10배 더 작았습니다. 즉, 곱을 10배로 줄여야 함을 의미합니다.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3에 4.7을 곱합니다.

먼저 표에서 53 x 47의 곱은 2,491이 됩니다. 그러나 피승수와 승수를 총 100배 늘렸기 때문에 결과 곱은 원래보다 100배 더 큽니다. 따라서 우리는 이 제품을 100배로 줄여야 합니다.

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53에 7.4를 곱합니다.

먼저 표에서 53 x 74 제품을 찾습니다. 3,922가 됩니다. 그러나 피승수를 100배, 승수를 10배로 늘렸기 때문에 곱은 1,000배 증가했습니다. 이제 이를 1,000배 줄여야 합니다.

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. 소수의 나눗셈.

다음 순서로 소수를 나누는 방법을 살펴보겠습니다.

1. 소수를 정수로 나누면,

1. 소수를 정수로 나눕니다.

1) 2.46을 2로 나눕니다.

우리는 처음에는 2개의 정수로 나눈 다음에는 10분의 1, 마지막으로 100분의 1로 나누었습니다.

2) 32.46을 3으로 나눕니다.

32,46: 3 = 10,82.

우리는 3을 10으로 3으로 나눈 다음 2를 3으로 나누기 시작했습니다. 피제수(2)의 단위 수가 제수(3)보다 작으므로 몫에 0을 넣어야 했습니다. 또한 나머지는 10분의 4를 취하고 10분의 24를 3으로 나눴습니다. 몫에서 8/10을 받고 마침내 6/100을 나누었습니다.

3) 1.2345를 5로 나눕니다.

1,2345: 5 = 0,2469.

여기서 몫에서 첫 번째 자리는 0개의 정수입니다. 왜냐하면 하나의 정수는 5로 나누어지지 않기 때문입니다.

4) 13.58을 4로 나눕니다.

이 예의 특이한 점은 몫에서 9/100을 받았을 때 나머지가 2/100에 해당하는 것을 발견하고 이 나머지를 1000분의 1로 나누고 20/1000을 얻고 나누기를 완료했다는 것입니다.

규칙.소수를 정수로 나누는 것은 정수를 나누는 것과 같은 방식으로 수행되며 결과 나머지는 점점 더 작은 소수 분수로 변환됩니다. 나눗셈은 나머지가 0이 될 때까지 계속됩니다.

2. 소수를 소수로 나눕니다.

1) 2.46을 0.2로 나눕니다.

우리는 이미 소수를 정수로 나누는 방법을 알고 있습니다. 이 새로운 분할 사례를 이전 분할 사례로 줄이는 것이 가능할까요? 한때 우리는 피제수와 제수가 동시에 같은 횟수만큼 증가하거나 감소해도 변하지 않는다는 사실로 구성된 몫의 놀라운 특성을 고려했습니다. 제수가 정수라면 주어진 숫자를 쉽게 나눌 수 있습니다. 이렇게 하려면 10배로 늘리면 충분하고, 올바른 몫을 얻으려면 배당금을 같은 금액, 즉 10배로 늘려야 합니다. 그런 다음 이 숫자의 나눗셈은 다음 숫자의 나눗셈으로 대체됩니다.

또한 더 이상 세부 사항을 수정할 필요가 없습니다.

이렇게 나누어 봅시다:

따라서 2.46: 0.2 = 12.3입니다.

2) 1.25를 1.6으로 나눕니다.

제수(1.6)를 10배 늘립니다. 몫이 변하지 않도록 배당금을 10배 늘립니다. 12개의 정수는 16으로 나눌 수 없으므로 몫 0에 쓰고 125를 16으로 나누면 몫에서 7이 되고 나머지는 13이 됩니다. 0을 할당하여 10분의 13을 100분의 130으로 나누고 130을 16으로 나눕니다. , 등 다음 사항에 유의하시기 바랍니다.

a) 특정 정수가 없으면 그 자리에 0개의 정수가 기록됩니다.

b) 나머지에 피제수 숫자를 더한 후 제수로 나눌 수 없는 숫자를 얻으면 몫에 0이 기록됩니다.

c) 피제수의 마지막 숫자를 제거한 후에도 나누기가 끝나지 않으면 나머지에 0을 추가하여 나누기가 계속됩니다.

d) 배당금이 정수인 경우 소수점 이하 자릿수로 나눌 때 0을 추가하여 증가합니다.

따라서 숫자를 소수로 나누려면 제수에 있는 쉼표를 버리고, 그 안에 있는 쉼표를 버릴 때 제수가 증가한 만큼 배당을 늘린 다음 규칙에 따라 나누기를 수행해야 합니다. 소수를 정수로 나누기 위한 것입니다.

§ 112. 대략적인 몫.

이전 단락에서 우리는 소수의 나눗셈을 살펴보았는데, 우리가 풀었던 모든 예에서 나눗셈이 완료되었습니다. 즉, 정확한 몫이 얻어졌습니다. 그러나 대부분의 경우 나눗셈을 아무리 계속해도 정확한 몫을 얻을 수 없습니다. 다음은 그러한 경우 중 하나입니다. 53을 101로 나눕니다.

우리는 이미 몫에서 다섯 자리 숫자를 받았지만 나눗셈은 아직 끝나지 않았고 끝날 희망도 없습니다. 나머지 부분에서는 이전에 이미 접했던 숫자를 갖기 시작하기 때문입니다. 몫에서는 숫자도 반복됩니다. 숫자 7 뒤에 숫자 5가 나타나고 그 다음에는 2 등이 끝없이 나타날 것임이 분명합니다. 이러한 경우 나눗셈은 중단되고 몫의 처음 몇 자리 숫자로 제한됩니다. 이 몫은 가까운 사람들.나눗셈을 수행하는 방법을 예제와 함께 보여 드리겠습니다.

25를 3으로 나누어야 한다고 가정합니다. 분명히 그러한 나누기에서는 정수나 소수로 표현되는 정확한 몫을 얻을 수 없습니다. 따라서 우리는 대략적인 몫을 찾을 것입니다.

25: 3 = 8이고 나머지 1

대략적인 몫은 8입니다. 물론 나머지 1이 있기 때문에 정확한 몫보다 작습니다. 정확한 몫을 얻으려면 나머지를 1과 3으로 나누어 얻은 분수를 찾은 대략적인 몫에 더해야 합니다. 즉, , 8까지; 이것은 분수 1/3이 될 것입니다. 즉, 정확한 몫은 대분수 8 1/3으로 표현됩니다. 1/3은 진분수, 즉 분수이므로, 1개 미만, 그런 다음 삭제하면 허용됩니다. 오류, 어느 1개 미만. 몫 8은 다음과 같습니다. 단점이 있는 1까지의 대략적인 몫.몫에 8 대신 9를 취하면 전체 단위가 아닌 2/3을 더하므로 1보다 작은 오류도 허용됩니다. 그러한 개인적인 의지 초과분에 대한 대략적인 몫.

이제 또 다른 예를 들어보겠습니다. 27을 8로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다. 여기서는 정수로 표현된 정확한 몫을 얻을 수 없으므로 대략적인 몫을 찾습니다.

27: 8 = 3이고 나머지는 3입니다.

여기서 오류는 3/8과 같고 1보다 작습니다. 이는 대략적인 몫(3)이 단점이 있는 것으로 정확하게 발견되었음을 의미합니다. 나눗셈을 계속해 봅시다. 나머지 3을 10분의 1로 나누면 10분의 30이 됩니다. 8로 나눕니다.

우리는 몫에 10분의 1 대신 3을, 나머지에는 6을 얻었습니다. 3.3이라는 수로 제한하고 나머지 6개를 버린다면, 10분의 1 미만의 오류를 허용하게 될 것입니다. 왜? 왜냐하면 6을 8로 나눈 결과를 3.3에 더하면 정확한 몫을 얻을 수 있기 때문입니다. 이 나눗셈은 6/80을 산출하며 이는 10분의 1 미만입니다. (확인!) 따라서 몫에서 우리 자신을 10분의 1로 제한하면 몫을 찾았다고 말할 수 있습니다. 10분의 1까지 정확하다(단점이 있음).

또 다른 소수점 자리를 찾기 위해 나눗셈을 계속해 봅시다. 이를 위해 우리는 6/10을 1/100로 나누고 60/100을 얻습니다. 8로 나눕니다.

세 번째 몫은 7이고 나머지는 4/100으로 밝혀졌습니다. 만약 우리가 그것들을 버린다면, 우리는 100분의 1 미만의 오류를 허용할 것입니다. 왜냐하면 4/100을 8로 나눈 값은 100분의 1보다 작기 때문입니다. 그런 경우에는 몫이 발견되었다고 말합니다. 100분의 1까지 정확하다(단점이 있음).

지금 보고 있는 예에서는 소수로 표현된 정확한 몫을 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 마지막 남은 4/100을 천분의 일로 나누고 8로 나누면 충분합니다.

그러나 대부분의 경우 정확한 몫을 얻는 것은 불가능하며 대략적인 값으로 제한해야 합니다. 이제 다음 예를 살펴보겠습니다.

40: 7 = 5,71428571...

숫자 끝에 있는 점은 나눗셈이 완료되지 않았음을 나타냅니다. 즉, 동등함은 근사치입니다. 일반적으로 대략적인 평등은 다음과 같이 작성됩니다.

40: 7 = 5,71428571.

우리는 소수점 이하 8자리의 몫을 취했습니다. 그러나 그러한 높은 정확성이 요구되지 않는 경우에는 몫의 전체 부분, 즉 숫자 5(보다 정확하게는 6)로만 제한할 수 있습니다. 정확성을 높이기 위해 10분의 1을 고려하고 5.7과 같은 몫을 취할 수 있습니다. 어떤 이유로 이 정확도가 불충분하다면 백분의 일에서 멈추고 5.71 등을 취할 수 있습니다. 개별 몫을 적어서 이름을 지정해 보겠습니다.

첫 번째 대략적인 몫은 1 6으로 정확합니다.

둘째 » » » 10분의 1까지 5.7.

세 번째 » » » 1/100 5.71.

넷째 » » » 1/1000 5.714.

따라서 예를 들어 소수점 세 번째 자리(즉, 최대 1000분의 1)에 정확한 대략적인 몫을 찾으려면 이 기호가 발견되자마자 나누기를 중지하세요. 이 경우 § 40에 명시된 규칙을 기억해야 합니다.

§ 113. 백분율과 관련된 가장 간단한 문제.

소수에 대해 배운 후 몇 가지 퍼센트 문제를 더 풀어보겠습니다.

이러한 문제는 분수 부서에서 해결한 문제와 유사합니다. 그러나 이제 우리는 명시적으로 지정된 분모 없이 십진 분수의 형태로 100분의 1을 쓸 것입니다.

우선, 일반 분수에서 분모가 100인 소수로 쉽게 이동할 수 있어야 합니다. 이렇게 하려면 분자를 분모로 나누어야 합니다.

아래 표는 %(백분율) 기호가 있는 숫자가 분모가 100인 소수로 대체되는 방식을 보여줍니다.

이제 몇 가지 문제를 고려해 보겠습니다.

1. 주어진 숫자의 백분율을 구합니다.

작업 1.한 마을에는 1,600명만이 살고 있습니다. 학령기 아동의 수는 전체 인구의 25%를 차지합니다. 이 마을에는 학령기 아동이 몇 명 있습니까?

이 문제에서는 1,600의 25%, 즉 0.25를 구해야 합니다. 문제는 다음을 곱하여 해결됩니다.

1,600 0.25 = 400(어린이).

따라서 1,600의 25%는 400입니다.

이 작업을 명확하게 이해하려면 인구 100명당 학령기 아동이 25명이라는 사실을 기억하는 것이 유용합니다. 따라서 전체 학령기 아동의 수를 구하려면 먼저 1,600(16)에 백이 몇인지 알아낸 다음, 25에 백의 수를 곱하면 됩니다(25 x 16 = 400). 이렇게 하면 솔루션의 유효성을 확인할 수 있습니다.

작업 2.저축은행은 예금자에게 연 2%의 수익률을 제공합니다. 예금자가 금전등록기에 넣으면 1년에 얼마의 수입을 얻게 됩니까? a) 200루블? b) 500루블? c) 750 루블? d) 1000 문지름.?

네 가지 경우 모두 문제를 해결하려면 표시된 금액의 0.02를 계산해야 합니다. 즉, 이 숫자 각각에 0.02를 곱해야 합니다. 해보자:

a) 200 0.02 = 4 (문지름),

b) 500 0.02 = 10 (문지름),

c) 750 0.02 = 15 (문지름),

d) 1,000 0.02 = 20 (문지름).

이러한 각 경우는 다음 고려 사항을 통해 확인할 수 있습니다. 저축은행은 투자자에게 2%의 수익, 즉 저축예금 금액의 0.02를 제공합니다. 금액이 100루블이면 그 중 0.02는 2루블이 됩니다. 이는 100개마다 투자자에게 2루블을 가져온다는 것을 의미합니다. 소득. 따라서 고려되는 각 경우에서 주어진 숫자에 몇 백이 있는지 파악하고 2 루블에이 수백을 곱하는 것으로 충분합니다. 예 a)에는 200이 있습니다. 즉,

2 2 = 4 (문지름).

예 d)에는 1000이 있습니다. 이는 다음을 의미합니다.

2 10 = 20 (문지름).

2. 백분율로 숫자 찾기.

작업 1.이 학교는 봄에 전체 등록자의 6%에 해당하는 54명의 학생을 졸업했습니다. 지난 학년도에 그 학교에는 몇 명의 학생이 있었습니까?

먼저 이 작업의 의미를 명확히 해보겠습니다. 이 학교는 전체 학생 수의 6%, 즉 전체 학생의 6/100(0.06)에 해당하는 54명의 학생을 졸업했습니다. 이는 우리가 숫자(54)와 분수(0.06)로 표현된 학생의 일부를 알고 있으며, 이 분수에서 전체 숫자를 찾아야 함을 의미합니다. 따라서 우리 앞에는 분수에서 숫자를 찾는 일반적인 작업이 있습니다(§90, 단락 6). 이 유형의 문제는 분할로 해결됩니다.

즉, 이 학교의 학생 수는 900명에 불과했습니다.

역 문제를 해결하여 이러한 문제를 확인하는 것이 유용합니다. 즉, 문제를 해결한 후에는 적어도 머리 속에서 첫 번째 유형의 문제(주어진 숫자의 백분율 찾기)를 해결해야 합니다. 찾은 숫자( 900)을 주어진 대로 풀고 문제에서 표시된 비율을 구합니다. 즉:

900 0,06 = 54.

작업 2.가족은 한 달 동안 식비로 780루블을 지출하는데, 이는 아버지 월 수입의 65%에 해당합니다. 그의 월 소득을 결정하십시오.

이 작업은 이전 작업과 동일한 의미를 갖습니다. 이는 월 수입의 일부를 루블(780 루블)로 표시하며 이 부분이 총 수입의 65% 또는 0.65임을 나타냅니다. 그리고 당신이 찾고 있는 것은 모든 수입입니다:

780: 0,65 = 1 200.

따라서 필요한 수입은 1200 루블입니다.

3. 숫자의 백분율 찾기.

작업 1.학교 도서관에는 단 6,000권의 책이 있습니다. 그 중에는 수학에 관한 책이 1,200권 있습니다. 도서관에 있는 전체 도서 수에서 수학 도서가 차지하는 비율은 몇 퍼센트입니까?

우리는 이미 이런 종류의 문제를 고려했으며(§97) 두 숫자의 백분율을 계산하려면 이 숫자의 비율을 찾아 100을 곱해야 한다는 결론에 도달했습니다.

우리 문제에서는 숫자 1,200과 6,000의 백분율을 찾아야 합니다.

먼저 비율을 구한 다음 100을 곱해 보겠습니다.

따라서 1,200과 6,000이라는 숫자의 비율은 20이 됩니다. 즉, 전체 책의 20%가 수학책이라는 뜻입니다.

확인하려면 역 문제를 풀어보겠습니다. 6,000의 20%를 찾으세요.

6 000 0,2 = 1 200.

작업 2.발전소에는 200톤의 석탄이 공급되어야 합니다. 이미 80톤이 납품되었는데, 공장에 석탄이 납품된 비율은 몇 퍼센트입니까?

이 문제는 한 숫자(80)가 다른 숫자(200)에 대해 몇 퍼센트인지 묻는 문제입니다. 이 숫자의 비율은 80/200입니다. 100을 곱해 봅시다:

이는 석탄의 40%가 인도되었음을 의미한다.

이 튜토리얼에서는 이러한 각 작업을 개별적으로 살펴보겠습니다.

소수 추가하기

우리가 알고 있듯이 소수에는 정수 부분과 분수 부분이 있습니다. 소수를 더할 때 전체 부분과 분수 부분이 별도로 추가됩니다.

예를 들어 소수 3.2와 5.3을 더해보자. 열에 소수점 이하 자릿수를 추가하는 것이 더 편리합니다.

먼저 이 두 분수를 열에 쓰겠습니다. 정수 부분은 반드시 정수 아래에 있어야 하고 분수는 분수 아래에 있어야 합니다. 학교에서는 이 요구 사항을 다음과 같이 부릅니다. "쉼표 아래에 쉼표".

쉼표가 쉼표 아래에 오도록 열에 분수를 써 보겠습니다.

우리는 분수 부분을 더하기 시작합니다: 2 + 3 = 5. 답의 분수 부분에 5를 씁니다:

이제 전체 부분을 더합니다: 3 + 5 = 8. 답의 전체 부분에 8을 씁니다.

이제 쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다. 이를 위해 우리는 다시 규칙을 따릅니다. "쉼표 아래에 쉼표":

8.5라는 답변을 받았습니다. 따라서 3.2 + 5.3이라는 표현은 8.5와 같습니다.

사실, 언뜻 보이는 것처럼 모든 것이 단순하지는 않습니다. 여기에도 함정이 있는데, 이제 이에 대해 이야기하겠습니다.

소수점 이하 자릿수

소수는 일반 숫자와 마찬가지로 고유한 숫자를 갖습니다. 이것은 10분의 1의 장소, 100의 장소, 1000의 장소입니다. 이 경우 숫자는 소수점 이하부터 시작됩니다.

소수점 이하 첫 번째 자리는 십분의 일 자리를, 소수점 이하 둘째 자리는 백 분의 일 자리를, 소수점 이하 세 번째 자리는 천분의 일 자리를 담당합니다.

소수점 이하 자릿수에는 유용한 정보가 포함되어 있습니다. 구체적으로 소수점 이하 자릿수가 몇 분의 1, 100분의 1, 1000분의 1인지 알려줍니다.

예를 들어 소수 0.345를 생각해 보세요.

3개가 있는 위치를 이라고 합니다. 10위

4개가 있는 위치를 이라고 합니다. 백분의 일 자리

5가 있는 위치를 이라고 한다. 천 번째 장소

이 그림을 살펴보겠습니다. 10의 자리에는 3이 있는 것을 볼 수 있습니다. 이는 소수점 이하 자릿수가 0.345라는 것을 의미합니다.

분수를 더하면 원래 소수는 0.345가 됩니다.

처음에는 답을 받았지만 이를 소수점 이하 자릿수로 변환하여 0.345를 얻은 것을 볼 수 있습니다.

소수를 더할 때 일반 숫자를 더할 때와 동일한 원칙과 규칙을 따릅니다. 소수점 이하 자릿수의 추가는 숫자로 이루어집니다. 즉, 10분의 1에 10분의 1, 100분의 1, 1000분의 1에 더해집니다.

따라서 소수를 더할 때는 다음 규칙을 따라야 합니다. "쉼표 아래에 쉼표". 쉼표 아래의 쉼표는 십분의 일에 십분의 일, 백분의 일에서 백분의 일, 천분의 일에서 천분의 일까지 더해지는 순서를 제공합니다.

예시 1.표현식 1.5 + 3.4의 값을 구합니다.

우선, 분수 부분 5 + 4 = 9를 더합니다. 답의 분수 부분에 9를 씁니다.

이제 정수 부분 1 + 3 = 4를 추가합니다. 답의 정수 부분에 4를 씁니다.

이제 쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다. 이를 위해 다시 "쉼표 아래에 쉼표" 규칙을 따릅니다.

4.9라는 답변을 받았습니다. 이는 1.5 + 3.4 표현식의 값이 4.9라는 의미입니다.

예시 2.표현식의 값을 구합니다: 3.51 + 1.22

우리는 "쉼표 아래에 쉼표" 규칙을 준수하면서 이 표현을 열에 작성합니다.

우선, 분수 부분, 즉 1+2=3의 1/100 부분을 더합니다. 우리는 답변의 100분의 1 부분에 트리플을 씁니다.

이제 5+2=7의 10분의 1을 더합니다. 우리는 대답의 10분의 1 부분에 7을 씁니다.

이제 전체 부분 3+1=4를 추가합니다. 우리는 답변의 전체 부분에 네 가지를 적습니다.

"쉼표 아래에 쉼표" 규칙을 준수하여 전체 부분과 분수 부분을 쉼표로 구분합니다.

우리가 받은 답은 4.73이었습니다. 이는 3.51 + 1.22 표현식의 값이 4.73과 같음을 의미합니다.

3,51 + 1,22 = 4,73

일반 숫자와 마찬가지로 소수를 더할 때 . 이 경우 답에는 한 숫자가 기록되고 나머지 숫자는 다음 숫자로 전송됩니다.

예시 3.표현식 2.65 + 3.27의 값을 구합니다.

열에 다음 표현식을 작성합니다.

100분의 1 부분 5+7=12를 더합니다. 숫자 12는 우리 대답의 100분의 1 부분에 맞지 않습니다. 따라서 100번째 부분에서는 숫자 2를 쓰고 단위를 다음 숫자로 이동합니다.

이제 6+2=8의 10분의 1에 이전 연산에서 얻은 단위를 더하면 9가 됩니다. 답의 10분의 1에 숫자 9를 씁니다.

이제 전체 부분 2+3=5를 추가합니다. 답의 정수 부분에 숫자 5를 씁니다.

우리가 받은 답은 5.92였습니다. 이는 2.65 + 3.27 표현식의 값이 5.92와 같음을 의미합니다.

2,65 + 3,27 = 5,92

예시 4.표현식 9.5 + 2.8의 값을 구합니다.

우리는 열에 이 표현을 씁니다.

분수 부분 5 + 8 = 13을 추가합니다. 숫자 13은 답의 분수 부분에 맞지 않으므로 먼저 숫자 3을 적고 단위를 다음 숫자로 이동하거나 오히려 정수 부분:

이제 정수 부분 9+2=11에 이전 작업에서 얻은 단위를 더하면 12가 됩니다. 답의 정수 부분에 숫자 12를 씁니다.

쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다.

12.3. 답변을 받았습니다. 이는 9.5 + 2.8이라는 표현의 값이 12.3이라는 것을 의미합니다.

9,5 + 2,8 = 12,3

소수를 더할 때 두 분수의 소수점 이하 자릿수가 동일해야 합니다. 숫자가 충분하지 않으면 분수 부분의 해당 자리는 0으로 채워집니다.

실시예 5. 표현식의 값을 구합니다: 12.725 + 1.7

이 식을 열에 쓰기 전에 두 분수의 소수점 이하 자릿수를 동일하게 만들어 보겠습니다. 소수점 이하 자릿수 12.725는 소수점 이하 세 자리를 가지지만, 분수 1.7은 소수점 이하 자릿수를 하나만 갖습니다. 이는 분수 1.7에서 끝에 두 개의 0을 추가해야 함을 의미합니다. 그런 다음 분수 1.700을 얻습니다. 이제 이 표현식을 열에 작성하고 계산을 시작할 수 있습니다.

천분의 일 부분 5+0=5를 더합니다. 우리는 대답의 천분의 일 부분에 숫자 5를 씁니다.

2+0=2의 100분의 1 부분을 더합니다. 우리는 대답의 100분의 1 부분에 숫자 2를 씁니다.

7+7=14의 십분의 일을 더합니다. 숫자 14는 우리 대답의 10분의 1에 맞지 않습니다. 따라서 먼저 숫자 4를 적고 단위를 다음 숫자로 이동합니다.

이제 정수 부분 12+1=13에 이전 작업에서 얻은 단위를 더하면 14가 됩니다. 답의 정수 부분에 숫자 14를 씁니다.

쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다.

우리는 14,425의 응답을 받았습니다. 이는 12.725+1.700 표현식의 값이 14.425임을 의미합니다.

12,725+ 1,700 = 14,425

소수 빼기

소수점 이하를 뺄 때에는 더할 때와 마찬가지로 '소수점 아래 쉼표', '소수점 이하 자릿수 동일' 규칙을 따라야 합니다.

예시 1.표현식 2.5 − 2.2의 값을 구합니다.

우리는 "쉼표 아래에 쉼표" 규칙을 준수하면서 다음 표현식을 열에 작성합니다.

분수 부분 5−2=3을 계산합니다. 답변의 열 번째 부분에 숫자 3을 씁니다.

정수 부분 2−2=0을 계산합니다. 답의 정수 부분에 0을 씁니다.

쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다.

0.3이라는 답변을 받았습니다. 이는 2.5 − 2.2 표현식의 값이 0.3과 같음을 의미합니다.

2,5 − 2,2 = 0,3

예시 2.표현식 7.353 - 3.1의 값을 구합니다.

이 표현은 소수점 이하 자릿수가 다릅니다. 분수 7.353에는 소수점 이하 세 자리가 있지만 분수 3.1에는 소수점 이하 자릿수가 하나뿐입니다. 이는 분수 3.1에서 두 분수의 자릿수를 동일하게 만들려면 끝에 두 개의 0을 추가해야 함을 의미합니다. 그러면 3,100을 얻습니다.

이제 다음 표현식을 열에 작성하고 계산할 수 있습니다.

우리는 4,253의 응답을 받았습니다. 이는 표현식 7.353 − 3.1의 값이 4.253과 같음을 의미합니다.

7,353 — 3,1 = 4,253

일반 숫자와 마찬가지로 뺄셈이 불가능해지면 인접한 숫자에서 하나를 빌려야 하는 경우도 있습니다.

예시 3.표현식 3.46 − 2.39의 값을 구합니다.

6−9의 100분의 1을 뺍니다. 숫자 6에서 숫자 9를 뺄 수는 없습니다. 따라서 인접한 숫자에서 하나를 빌려야 합니다. 인접한 숫자에서 하나를 빌리면 숫자 6은 숫자 16이 됩니다. 이제 16−9=7의 100분의 1을 계산할 수 있습니다. 우리는 답의 백분의 일 부분에 7을 씁니다.

이제 10분의 1을 뺍니다. 10위 자리에서 한 단위를 차지했기 때문에 거기에 있던 수치가 한 단위 감소했습니다. 즉, 10의 자리에는 이제 4가 아니라 3이 있습니다. 3−3=0의 10의 자리를 계산해 보겠습니다. 답변의 열 번째 부분에 0을 씁니다.

이제 전체 부분 3−2=1을 뺍니다. 우리는 답의 정수 부분에 하나를 씁니다.

쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다.

1.07이라는 답변을 받았습니다. 이는 3.46−2.39 표현식의 값이 1.07과 같음을 의미합니다.

3,46−2,39=1,07

실시예 4. 표현식 3−1.2의 값을 구합니다.

이 예에서는 정수에서 소수를 뺍니다. 소수점 이하 1.23의 전체 부분이 숫자 3 아래에 들어가도록 이 식을 열에 써보겠습니다.

이제 소수점 이하 자릿수를 동일하게 만들어 보겠습니다. 이를 위해 숫자 3 뒤에 쉼표를 넣고 0을 하나 추가합니다.

이제 10분의 1을 뺍니다: 0−2. 숫자 2는 0에서 뺄 수 없으므로 인접한 숫자에서 1을 빌려야 합니다. 인접한 숫자에서 하나를 빌려 0은 숫자 10이 됩니다. 이제 10−2=8의 10분의 1을 계산할 수 있습니다. 우리는 대답의 10분의 1 부분에 8을 씁니다.

이제 전체 부분을 뺍니다. 이전에는 3번이 전체에 위치해 있었는데, 그 중 한 단위를 가져왔습니다. 결과적으로 숫자 2로 바뀌었습니다. 따라서 2에서 1을 뺍니다. 2−1=1. 우리는 답의 정수 부분에 하나를 씁니다.

쉼표를 사용하여 전체 부분과 분수 부분을 구분합니다.

우리가 받은 답변은 1.8이었습니다. 이는 식 3−1.2의 값이 1.8임을 의미합니다.

소수 곱하기

소수의 곱셈은 간단하고 재미있습니다. 소수를 곱하려면 쉼표를 무시하고 일반 숫자처럼 곱하면 됩니다.

답변을 받은 후에는 전체 부분과 소수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 두 분수에서 소수점 이하 자릿수를 센 다음 답의 오른쪽에서 동일한 자릿수를 세고 쉼표를 넣어야합니다.

예시 1. 2.5 × 1.5 표현식의 값을 구합니다.

이 소수를 쉼표를 무시하고 일반 숫자처럼 곱해 봅시다. 쉼표를 무시하려면 일시적으로 쉼표가 전혀 없다고 가정하면 됩니다.

375를 얻었습니다. 이 숫자에서는 정수 부분과 분수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 분수 2.5와 1.5에서 소수점 이하 자릿수를 계산해야합니다. 첫 번째 분수에는 소수점 이하 한 자리가 있고, 두 번째 분수에도 한 자리가 있습니다. 총 2개의 숫자입니다.

우리는 숫자 375로 돌아가 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하기 시작합니다. 오른쪽의 두 자리 숫자를 세고 쉼표를 넣어야 합니다.

3.75라는 답변을 받았습니다. 따라서 2.5 × 1.5 표현식의 값은 3.75입니다.

2.5 × 1.5 = 3.75

예시 2. 12.85 × 2.7 표현식의 값을 구합니다.

쉼표를 무시하고 소수를 곱해 보겠습니다.

34695를 얻었습니다. 이 숫자에서는 정수 부분과 분수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 분수 12.85와 2.7에서 소수점 이하 자릿수를 계산해야합니다. 분수 12.85는 소수점 이하 두 자리이고, 분수 2.7은 한 자리로 총 세 자리입니다.

숫자 34695로 돌아가 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하기 시작합니다. 오른쪽부터 세 자리 숫자를 세고 쉼표를 넣어야 합니다.

우리는 34,695의 응답을 받았습니다. 따라서 12.85 × 2.7 표현식의 값은 34.695입니다.

12.85 × 2.7 = 34.695

소수와 일반 숫자의 곱하기

때로는 소수에 일반 숫자를 곱해야 하는 상황이 발생합니다.

소수와 숫자를 곱하려면 소수점의 쉼표에 주의하지 않고 곱하면 됩니다. 답변을 받은 후에는 전체 부분과 소수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 소수점 이하 자릿수를 센 다음 답의 오른쪽에서 같은 자릿수를 세고 쉼표를 넣어야합니다.

예를 들어 2.54에 2를 곱합니다.

쉼표를 무시하고 소수 2.54에 일반적인 숫자 2를 곱합니다.

우리는 숫자 508을 얻었습니다. 이 숫자에서는 정수 부분과 분수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 분수 2.54에서 소수점 이하 자릿수를 계산해야합니다. 분수 2.54는 소수점 이하 두 자리입니다.

우리는 508 번으로 돌아가 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하기 시작합니다. 오른쪽의 두 자리 숫자를 세고 쉼표를 넣어야 합니다.

5.08이라는 답변을 받았습니다. 따라서 2.54 × 2 표현식의 값은 5.08입니다.

2.54 × 2 = 5.08

소수에 10, 100, 1000을 곱하기

소수에 10, 100, 1000을 곱하는 것은 소수에 일반 숫자를 곱하는 것과 같은 방식으로 수행됩니다. 소수 부분의 쉼표에주의를 기울이지 않고 곱셈을 수행 한 다음 답에서 전체 부분을 분수 부분과 분리하여 소수점 뒤의 자릿수와 동일한 자릿수를 오른쪽에서 세어 야합니다.

예를 들어 2.88에 10을 곱합니다.

소수 부분의 쉼표를 무시하고 소수 부분 2.88에 10을 곱합니다.

우리는 2880을 얻었습니다. 이 숫자에서는 정수 부분과 분수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 분수 2.88에서 소수점 이하 자릿수를 계산해야합니다. 분수 2.88의 소수점 이하 두 자릿수가 있음을 알 수 있습니다.

우리는 숫자 2880으로 돌아가 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하기 시작합니다. 오른쪽의 두 자리 숫자를 세고 쉼표를 넣어야 합니다.

28.80이라는 답변을 받았습니다. 마지막 0을 삭제하고 28.8을 얻습니다. 이는 2.88×10이라는 수식의 값이 28.8임을 의미합니다.

2.88 × 10 = 28.8

소수에 10, 100, 1000을 곱하는 두 번째 방법이 있습니다. 이 방법은 훨씬 간단하고 편리합니다. 이는 인수에 0이 있는 자릿수만큼 소수점을 오른쪽으로 이동하는 것으로 구성됩니다.

예를 들어 이전 예제 2.88×10을 이런 식으로 풀어보겠습니다. 계산을 하지 않고 즉시 요소 10을 살펴봅니다. 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 그 안에 0이 하나 있다는 것을 알 수 있습니다. 이제 분수 2.88에서 소수점을 오른쪽으로 한 자리 이동하면 28.8이 됩니다.

2.88 × 10 = 28.8

2.88에 100을 곱해 보겠습니다. 즉시 계수 100을 살펴보겠습니다. 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 거기에 두 개의 0이 있음을 알 수 있습니다. 이제 분수 2.88에서 소수점을 오른쪽 두 자리로 옮기면 288이 됩니다.

2.88 × 100 = 288

2.88에 1000을 곱해 보겠습니다. 즉시 계수 1000을 살펴보겠습니다. 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 그 안에 0이 3개 있는 것을 볼 수 있습니다. 이제 분수 2.88에서는 소수점을 오른쪽으로 세 자리 이동합니다. 거기에는 세 번째 숫자가 없으므로 또 다른 0을 추가합니다. 결과적으로 2880이 나옵니다.

2.88 × 1000 = 2880

소수에 0.1, 0.01, 0.001 곱하기

소수에 0.1, 0.01, 0.001을 곱하는 것은 소수에 소수를 곱하는 것과 같은 방식으로 작동합니다. 일반 숫자처럼 분수를 곱하고 답에 쉼표를 넣어 두 분수의 소수점 이하 자릿수만큼 오른쪽의 자릿수를 계산해야합니다.

예를 들어 3.25에 0.1을 곱합니다.

쉼표를 무시하고 이러한 분수를 일반 숫자처럼 곱합니다.

325를 얻었습니다. 이 숫자에서는 정수 부분과 분수 부분을 쉼표로 구분해야 합니다. 이렇게하려면 분수 3.25와 0.1에서 소수점 이하 자릿수를 계산해야합니다. 분수 3.25는 소수점 이하 두 자리이고, 분수 0.1은 한 자리입니다. 총 3개의 숫자입니다.

우리는 숫자 325로 돌아가 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하기 시작합니다. 오른쪽부터 세 자리 숫자를 세어 쉼표를 찍어야 합니다. 세 자리 숫자를 세어보니 숫자가 다 떨어진 것을 알 수 있습니다. 이 경우 0 하나를 추가하고 쉼표를 추가해야 합니다.

우리는 0.325라는 답을 받았습니다. 이는 3.25×0.1이라는 수식의 값이 0.325라는 뜻이다.

3.25 × 0.1 = 0.325

소수에 0.1, 0.01, 0.001을 곱하는 두 번째 방법이 있습니다. 이 방법이 훨씬 간단하고 편리합니다. 이는 인수에 0이 있는 자릿수만큼 소수점을 왼쪽으로 이동하는 것으로 구성됩니다.

예를 들어 이전 예제 3.25 × 0.1을 이런 식으로 풀어보겠습니다. 계산을 하지 않고 즉시 0.1의 승수를 살펴봅니다. 우리는 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 그 안에 0이 하나 있다는 것을 알 수 있습니다. 이제 분수 3.25에서는 소수점을 한 자리 왼쪽으로 이동합니다. 쉼표를 왼쪽으로 한 자리 이동하면 세 자리 앞에 더 이상 자리가 없음을 알 수 있습니다. 이 경우에는 0을 하나 더하고 쉼표를 넣으세요. 결과는 0.325입니다.

3.25 × 0.1 = 0.325

3.25에 0.01을 곱해 봅시다. 우리는 즉시 0.01의 승수를 살펴봅니다. 우리는 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 거기에 두 개의 0이 있음을 알 수 있습니다. 이제 분수 3.25에서 소수점을 왼쪽 두 자리로 이동하면 0.0325가 됩니다.

3.25 × 0.01 = 0.0325

3.25에 0.001을 곱해 봅시다. 우리는 즉시 0.001의 승수를 살펴봅니다. 우리는 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 그 안에 0이 3개 있는 것을 볼 수 있습니다. 이제 분수 3.25에서 소수점을 왼쪽으로 세 자리 이동하면 0.00325가 됩니다.

3.25 × 0.001 = 0.00325

소수 부분에 0.1, 0.001, 0.001을 곱하는 것과 10, 100, 1000을 곱하는 것을 혼동하지 마십시오. 대부분의 사람들이 흔히 저지르는 실수입니다.

10, 100, 1000을 곱할 때 승수에 0이 있는 것과 같은 자릿수만큼 소수점이 오른쪽으로 이동합니다.

그리고 0.1, 0.01, 0.001을 곱하면 승수에 0이 있는 것과 같은 자릿수만큼 소수점이 왼쪽으로 이동합니다.

처음에 기억하기 어렵다면 일반 숫자와 마찬가지로 곱셈을 수행하는 첫 번째 방법을 사용할 수 있습니다. 답에서는 두 분수의 소수점 이하 자릿수가 있으므로 오른쪽의 동일한 자릿수를 세어 전체 부분과 분수 부분을 분리해야 합니다.

더 작은 숫자를 더 큰 숫자로 나누기. 고급 수준.

이전 수업 중 하나에서 우리는 더 작은 숫자를 더 큰 숫자로 나누면 분수가 얻어지며 그 분자는 피제수이고 분모는 제수라고 말했습니다.

예를 들어, 사과 하나를 둘로 나누려면 분자에 1(사과 하나)을 쓰고, 분모에 2(친구 두 명)를 쓰면 됩니다. 결과적으로 우리는 분수를 얻습니다. 이는 각 친구가 사과를 받게 된다는 의미입니다. 즉, 사과 반 개입니다. 분수는 문제의 답이다 "사과 하나를 둘로 나누는 방법"

1을 2로 나누면 이 문제를 더 해결할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 결국 모든 분수의 분수선은 나누기를 의미하므로 분수에서 이 나누기가 허용됩니다. 하지만 어떻게? 우리는 배당금이 항상 제수보다 크다는 사실에 익숙합니다. 그러나 여기서는 반대로 배당금이 제수보다 적습니다.

분수는 분쇄, 분할, 분할을 의미한다는 것을 기억하면 모든 것이 명확해질 것입니다. 이는 장치를 단지 두 부분으로 나누는 것이 아니라 원하는 만큼 많은 부분으로 나눌 수 있음을 의미합니다.

작은 수를 큰 수로 나누면 정수 부분이 0인 소수가 나옵니다. 분수 부분은 무엇이든 될 수 있습니다.

이제 1을 2로 나누어 보겠습니다. 이 예제를 모서리로 풀어보겠습니다.

하나는 완전히 둘로 나눌 수 없습니다. 질문을 하면 “하나에 두 개가 몇 개 있어요?” , 그러면 답은 0이 됩니다. 따라서 몫에 0을 쓰고 쉼표를 넣습니다.

이제 평소와 같이 몫에 제수를 곱하여 나머지를 얻습니다.

유닛을 두 부분으로 나눌 수 있는 순간이 왔습니다. 이렇게 하려면 결과 오른쪽에 또 다른 0을 추가합니다.

10을 얻었습니다. 10을 2로 나누면 5가 됩니다. 답의 분수 부분에 5를 씁니다.

이제 마지막 나머지를 꺼내서 계산을 완료합니다. 5에 2를 곱하여 10을 얻습니다.

0.5라는 답변을 받았습니다. 따라서 분수는 0.5입니다.

사과 반 개는 소수점 이하 0.5를 사용하여 쓸 수도 있습니다. 이 두 개의 반쪽(0.5와 0.5)을 더하면 다시 원래 사과 한 개를 얻게 됩니다.

이 점은 1cm가 어떻게 두 부분으로 나뉘는지 상상해 보면 이해할 수 있습니다. 1cm를 두 부분으로 나누면 0.5cm가 됩니다.

예시 2. 4:5라는 표현의 가치를 찾아보세요

4에는 5가 몇 개 있나요? 별말씀을요. 몫에 0을 쓰고 쉼표를 넣습니다.

0에 5를 곱하면 0이 됩니다. 4 아래에 0을 씁니다. 즉시 배당금에서 이 0을 뺍니다.

이제 4개를 5개 부분으로 나누기(나누기) 시작해 보겠습니다. 이렇게 하려면 4의 오른쪽에 0을 추가하고 40을 5로 나누면 8이 됩니다. 몫에 8을 씁니다.

8에 5를 곱하여 40을 얻는 예제를 완성합니다.

0.8이라는 답변을 받았습니다. 이는 4:5라는 표현의 값이 0.8이라는 뜻입니다.

예시 3.수식 5의 값 찾기: 125

5개 중 125는 몇 개인가요? 별말씀을요. 몫에 0을 쓰고 쉼표를 넣습니다.

0에 5를 곱하면 0이 됩니다. 5 아래에 0을 씁니다. 즉시 5에서 0을 뺍니다.

이제 5개를 125개 부분으로 나누기(나눔)를 시작하겠습니다. 이를 위해 이 5개의 오른쪽에 0을 씁니다.

50을 125로 나누세요. 50에는 125가 몇 개 들어있나요? 별말씀을요. 그래서 몫에 다시 0을 씁니다.

0에 125를 곱하면 0이 됩니다. 이 0을 50 아래에 씁니다. 즉시 50에서 0을 뺍니다.

이제 숫자 50을 125개의 부분으로 나눕니다. 이를 위해 50 오른쪽에 또 다른 0을 씁니다.

500을 125로 나누세요. 500에는 125가 몇 개 있나요? 500에는 125라는 숫자가 4개 있습니다. 몫에 4개를 쓰세요.

4에 125를 곱하여 500을 얻는 예제를 완성합니다.

우리는 0.04라는 답을 받았습니다. 이는 표현식 5: 125의 값이 0.04임을 의미합니다.

나머지 없이 숫자 나누기

따라서 몫의 단위 뒤에 쉼표를 넣어 정수 부분의 나누기가 끝났고 분수 부분으로 진행됨을 나타냅니다.

나머지 4에 0을 더해보자

이제 40을 5로 나누면 8이 됩니다. 몫에 8을 씁니다.

40−40=0. 0이 남았습니다. 이는 분할이 완전히 완료되었음을 의미합니다. 9를 5로 나누면 소수 1.8이 됩니다.

9: 5 = 1,8

실시예 2. 84를 나머지 없이 5로 나누기

먼저, 평소와 같이 84를 5로 나누고 나머지를 계산합니다.

비공개로 16개가 남았고 4개가 더 남았습니다. 이제 이 나머지를 5로 나누어 보겠습니다. 몫에 쉼표를 넣고 나머지 4에 0을 더합니다.

이제 40을 5로 나누면 8이 됩니다. 소수점 이하 몫에 8을 씁니다.

그리고 아직 남은 부분이 있는지 확인하여 예제를 완성합니다.

소수를 일반 숫자로 나누기

우리가 알고 있듯이 소수는 정수와 분수 부분으로 구성됩니다. 소수를 일반 숫자로 나눌 때 먼저 다음을 수행해야 합니다.

• 소수 부분의 전체 부분을 이 숫자로 나눕니다.
• 전체 부분을 나눈 후에는 일반 나눗셈과 마찬가지로 즉시 몫에 쉼표를 넣고 계산을 계속해야 합니다.

예를 들어 4.8을 2로 나눕니다.

한 모퉁이에서 다음 예제를 작성해 보겠습니다.

이제 전체 부분을 2로 나누겠습니다. 4를 2로 나누면 2가 됩니다. 몫에 2를 쓰고 즉시 쉼표를 넣습니다.

이제 몫에 제수를 곱하고 나눗셈의 나머지가 있는지 확인합니다.

4−4=0. 나머지는 0입니다. 솔루션이 완료되지 않았으므로 아직 0을 기록하지 않습니다. 다음으로 일반 나눗셈과 동일하게 계산을 계속합니다. 8을 빼서 2로 나누세요

8: 2 = 4. 몫에 4를 쓰고 즉시 제수를 곱합니다.

2.4라는 답변을 받았습니다. 4.8:2라는 표현의 값은 2.4입니다.

예시 2.표현식 8.43:3의 값을 구합니다.

8을 3으로 나누면 2가 됩니다. 2 뒤에 즉시 쉼표를 넣으세요.

이제 몫에 제수 2 × 3 = 6을 곱합니다. 8 아래에 6을 쓰고 나머지를 찾습니다.

24를 3으로 나누면 8이 됩니다. 몫에 8을 씁니다. 즉시 제수를 곱하여 나눗셈의 나머지를 구합니다.

24−24=0. 나머지는 0입니다. 아직 0을 적지 않았습니다. 피제수에서 마지막 3개를 빼고 3으로 나누면 1이 됩니다. 즉시 1에 3을 곱하여 이 예를 완성합니다.

우리가 받은 답은 2.81이었습니다. 이는 표현식 8.43:3의 값이 2.81임을 의미합니다.

소수를 소수로 나누기

소수를 소수로 나누려면 피제수와 제수의 소수점을 제수의 소수점 뒤의 자릿수만큼 오른쪽으로 이동한 다음 일반적인 숫자로 나누어야 합니다.

예를 들어 5.95를 1.7로 나눕니다.

이 표현을 모퉁이로 써보자

이제 피제수와 제수에서 제수의 소수점 뒤에 있는 것과 동일한 자릿수만큼 소수점을 오른쪽으로 이동합니다. 제수는 소수점 이하 한 자리입니다. 이는 피제수와 제수에서 소수점을 한 자리 오른쪽으로 이동해야 함을 의미합니다. 우리는 환승한다:

소수점을 오른쪽으로 한 자리 이동하면 소수점 이하 5.95가 분수 59.5가 됩니다. 그리고 소수점 1.7은 소수점을 한 자리 오른쪽으로 이동한 후 일반적인 숫자 17로 바뀌었습니다. 그리고 우리는 이미 소수점을 일반 숫자로 나누는 방법을 알고 있습니다. 추가 계산은 어렵지 않습니다.

나누기 쉽도록 쉼표를 오른쪽으로 이동했습니다. 이는 피제수와 제수를 같은 수로 곱하거나 나누어도 몫이 변하지 않기 때문에 허용됩니다. 무슨 뜻이에요?

이것은 분할의 흥미로운 특징 중 하나입니다. 이를 몫의 속성이라고 합니다. 표현식 9를 생각해 보세요: 3 = 3. 이 표현식에서 피제수와 제수를 동일한 숫자로 곱하거나 나누면 몫 3은 변경되지 않습니다.

피제수와 제수에 2를 곱하고 그 결과가 무엇인지 살펴보겠습니다.

(9×2) : (3×2) = 18: 6 = 3

예에서 볼 수 있듯이 몫은 변경되지 않았습니다.

피제수와 제수에서 쉼표를 이동할 때도 같은 일이 발생합니다. 5.91을 1.7로 나눈 이전 예에서는 피제수와 제수에서 쉼표를 한 자리 오른쪽으로 이동했습니다. 소수점을 이동한 후 분수 5.91은 분수 59.1로 변환되고 분수 1.7은 일반적인 숫자 17로 변환되었습니다.

실제로 이 프로세스 내부에는 10을 곱하는 작업이 있었습니다. 그 모습은 다음과 같습니다.

5.91 × 10 = 59.1

따라서 제수의 소수점 이하 자릿수에 따라 피제수와 제수에 곱할 값이 결정됩니다. 즉, 제수에서 소수점 이하 자릿수에 따라 피제수에서 소수점이 몇 자리로 이동하는지가 결정되고 제수에서는 소수점이 오른쪽으로 이동됩니다.

소수를 10, 100, 1000으로 나누기

소수를 10, 100, 1000으로 나누는 것도 와 같은 방식으로 수행됩니다. 예를 들어, 2.1을 10으로 나눕니다. 모서리를 사용하여 다음 예를 해결합니다.

그러나 두 번째 방법이 있습니다. 더 가볍습니다. 이 방법의 핵심은 피제수의 쉼표가 제수에 0이 있는 자릿수만큼 왼쪽으로 이동한다는 것입니다.

이전 예제를 이런 식으로 해결해 보겠습니다. 2.1: 10. 우리는 제수를 봅니다. 우리는 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 우리는 0이 하나 있다는 것을 알 수 있습니다. 이는 2.1의 배당에서는 소수점을 한 자리 왼쪽으로 이동해야 함을 의미합니다. 쉼표를 왼쪽 한 자리로 이동하면 더 이상 숫자가 남지 않은 것을 확인할 수 있습니다. 이 경우 숫자 앞에 0을 하나 더 추가하세요. 결과적으로 0.21을 얻습니다.

2.1을 100으로 나누어 보겠습니다. 100에는 0이 두 개 있습니다. 이는 배당금 2.1에서 쉼표를 두 자리 왼쪽으로 이동해야 함을 의미합니다.

2,1: 100 = 0,021

2.1을 1000으로 나누어 보겠습니다. 1000에는 0이 3개 있습니다. 이는 배당금 2.1에서 쉼표를 왼쪽으로 세 자리 이동해야 함을 의미합니다.

2,1: 1000 = 0,0021

소수를 0.1, 0.01, 0.001로 나누기

소수를 0.1, 0.01, 0.001로 나누는 것도 와 같은 방식으로 이루어집니다. 피제수와 제수에서는 제수의 소수점 뒤에 있는 자릿수만큼 소수점을 오른쪽으로 옮겨야 합니다.

예를 들어 6.3을 0.1로 나누자. 우선 피제수와 제수에 있는 쉼표를 제수의 소수점 뒤에 있는 자릿수만큼 오른쪽으로 옮겨보겠습니다. 제수는 소수점 이하 한 자리입니다. 이는 피제수와 제수의 쉼표를 한 자리 오른쪽으로 이동한다는 의미입니다.

소수점을 오른쪽으로 한 자리 이동하면 소수점 6.3은 보통 숫자 63이 되고, 소수점을 오른쪽으로 한 자리 이동하면 소수점 0.1은 1이 됩니다. 63을 1로 나누는 것은 매우 간단합니다.

이는 표현식 6.3의 값을 의미합니다. 0.1은 63입니다.

그러나 두 번째 방법이 있습니다. 더 가볍습니다. 이 방법의 핵심은 피제수에 있는 쉼표가 제수에 있는 0의 자릿수만큼 오른쪽으로 이동한다는 것입니다.

이전 예제를 이런 식으로 해결해 보겠습니다. 6.3: 0.1. 제수를 살펴보겠습니다. 우리는 그 안에 0이 몇 개 있는지 관심이 있습니다. 우리는 0이 하나 있다는 것을 알 수 있습니다. 이는 6.3의 배당에서는 소수점을 한 자리 오른쪽으로 이동해야 함을 의미합니다. 쉼표를 오른쪽 한 자리로 이동하면 63이 나옵니다.

6.3을 0.01로 나누어 보겠습니다. 0.01의 제수에는 0이 두 개 있습니다. 이는 배당금 6.3에서 소수점을 오른쪽으로 두 자리 이동해야 함을 의미합니다. 하지만 배당금에는 소수점 이하 한 자리만 있습니다. 이 경우 끝에 0을 하나 더 추가해야 합니다. 결과적으로 630을 얻습니다.

6.3을 0.001로 나누어 보겠습니다. 0.001의 제수에는 0이 3개 있습니다. 이는 배당금 6.3에서 소수점을 오른쪽으로 세 자리 이동해야 함을 의미합니다.

6,3: 0,001 = 6300

독립적인 솔루션을 위한 과제

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지난 수업에서 우리는 소수를 더하고 빼는 방법을 배웠습니다(“소수 더하기와 빼기” 강의 참조). 동시에 우리는 일반적인 "2층" 분수에 비해 계산이 얼마나 단순화되었는지 평가했습니다.

불행하게도 소수의 곱셈과 나눗셈에서는 이 효과가 발생하지 않습니다. 어떤 경우에는 10진수 표기법이 이러한 작업을 복잡하게 만들기도 합니다.

먼저, 새로운 정의를 소개하겠습니다. 우리는 이번 수업뿐만 아니라 그를 꽤 자주 보게 될 것입니다.

숫자의 유효 부분은 끝을 포함하여 0이 아닌 첫 번째 숫자와 마지막 숫자 사이의 모든 것입니다. 우리는 숫자에 대해서만 이야기하고 있으며 소수점은 고려되지 않습니다.

숫자의 유효 부분에 포함된 숫자를 유효 숫자라고 합니다. 반복될 수 있으며 심지어 0과 같을 수도 있습니다.

예를 들어, 여러 소수 부분을 고려하고 해당하는 중요한 부분을 적어보세요.

1. 91.25 → 9125(유효 숫자: 9, 1, 2, 5);
2. 0.008241 → 8241(유효 숫자: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075(유효 숫자: 1, 5, 0, 0, 7, 5)
4. 0.0304 → 304(유효 숫자: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3(유효 숫자는 단 하나뿐입니다: 3).

참고: 숫자의 유효 부분 안의 0은 아무데도 가지 않습니다. 우리는 소수를 일반 분수로 변환하는 방법을 배웠을 때 비슷한 것을 이미 접했습니다(“소수” 레슨 참조).

이 점은 매우 중요하고 여기서 실수가 너무 자주 발생하므로 가까운 시일 내에 이 주제에 대한 테스트를 게시할 것입니다. 꼭 연습하세요! 그리고 중요한 부분의 개념으로 무장한 우리는 실제로 수업의 주제로 진행할 것입니다.

소수 곱하기

곱셈 연산은 세 가지 연속 단계로 구성됩니다.

1. 각 분수에 대해 중요한 부분을 적어보세요. 분모와 소수점이 없는 두 개의 일반 정수를 얻게 됩니다.
2. 편리한 방법으로 이 숫자를 곱하세요. 숫자가 작거나 열에 있는 경우 직접. 우리는 원하는 분수의 상당 부분을 얻습니다.
3. 해당 유효 부분을 얻기 위해 원래 분수의 소수점이 이동된 위치와 자릿수를 알아보세요. 이전 단계에서 얻은 중요한 부분에 대해 역방향 이동을 수행합니다.

중요한 부분의 측면에 있는 0은 고려되지 않는다는 점을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 이 규칙을 무시하면 오류가 발생합니다.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10,000.

우리는 첫 번째 표현인 0.28 · 12.5로 작업합니다.

1. 이 표현에서 숫자의 중요한 부분을 적어 봅시다: 28과 125;
2. 해당 제품: 28 · 125 = 3500;
3. 첫 번째 요소에서는 소수점이 오른쪽으로 2자리 이동되고(0.28 → 28), 두 번째 요소에서는 소수점이 1자리 더 이동됩니다. 전체적으로 왼쪽으로 세 자리 이동해야 합니다: 3500 → 3,500 = 3.5.

이제 6.3 · 1.08이라는 표현을 살펴보겠습니다.

1. 중요한 부분인 63과 108을 적어 보겠습니다.
2. 해당 제품: 63 · 108 = 6804;
3. 다시 한 번 오른쪽으로 2개씩 이동합니다. 즉, 각각 2자리와 1자리씩 이동합니다. 합계 - 다시 오른쪽으로 3자리이므로 역방향 이동은 왼쪽으로 3자리가 됩니다: 6804 → 6.804. 이번에는 뒤에 오는 0이 없습니다.

우리는 세 번째 표현인 132.5 · 0.0034에 도달했습니다.

1. 중요한 부분: 1325 및 34;
2. 해당 제품: 1325 · 34 = 45,050;
3. 첫 번째 분수에서는 소수점이 오른쪽으로 1자리 이동하고 두 번째 분수에서는 4만큼 이동합니다. 총계: 오른쪽으로 5개입니다. 왼쪽으로 5만큼 이동합니다: 45,050 → .45050 = 0.4505. 끝에서 0을 제거하고 소수점 "맨손"을 남기지 않도록 앞에 추가했습니다.

다음 표현식은 0.0108 · 1600.5입니다.

1. 중요한 부분은 108과 16 005입니다.
2. 우리는 그것들을 곱합니다: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. 소수점 이하의 숫자를 계산합니다. 첫 번째 숫자에는 4가 있고 두 번째 숫자에는 1이 있습니다. 총합은 다시 5입니다. 결과는 다음과 같습니다: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. 결국 "추가" 0이 제거되었습니다.

마지막으로 마지막 표현은 5.25 10,000입니다.

1. 중요한 부분: 525 및 1;
2. 우리는 그것들을 곱합니다: 525 · 1 = 525;
3. 첫 번째 분수는 오른쪽으로 2자리 이동하고, 두 번째 분수는 왼쪽으로 4자리 이동합니다(10,000 → 1.0000 = 1). 합계 4 − 2 = 왼쪽으로 2자리. 오른쪽으로 2자리씩 역방향 이동을 수행합니다: 525, → 52,500(0을 추가해야 함).

마지막 예를 참고하세요. 소수점이 서로 다른 방향으로 움직이기 때문에 총 이동량은 차이를 통해 알 수 있습니다. 이것은 매우 중요한 포인트입니다! 또 다른 예는 다음과 같습니다.

숫자 1.5와 12,500을 생각해 보면 1.5 → 15(오른쪽으로 1만큼 이동)입니다. 12,500 → 125(왼쪽으로 2 이동). 오른쪽으로 한 자리 이동한 다음 왼쪽으로 두 자리 이동합니다. 결과적으로 왼쪽으로 2 − 1 = 1 자리 이동했습니다.

소수 나눗셈

나눗셈은 아마도 가장 어려운 작업일 것이다. 물론 여기서는 곱셈을 통해 유추할 수 있습니다. 중요한 부분을 나눈 다음 소수점을 "이동"합니다. 그러나 이 경우에는 잠재적인 절감 효과를 무효화하는 미묘한 문제가 많이 있습니다.

따라서 조금 더 길지만 훨씬 더 안정적인 범용 알고리즘을 살펴보겠습니다.

1. 모든 소수를 일반 분수로 변환합니다. 조금만 연습하면 이 단계에 몇 초밖에 걸리지 않습니다.
2. 결과 분수를 고전적인 방식으로 나눕니다. 즉, 첫 번째 분수에 "역전된" 두 번째 분수를 곱합니다("수치 분수 곱하기 및 나누기" 레슨 참조).
3. 가능하다면 결과를 다시 소수점 이하 자릿수로 표시하세요. 분모가 이미 10의 거듭제곱인 경우가 많기 때문에 이 단계도 빠릅니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

첫 번째 표현을 살펴보겠습니다. 먼저 분수를 소수로 변환해 보겠습니다.

두 번째 표현에도 똑같이 해보겠습니다. 첫 번째 분수의 분자는 다시 인수분해됩니다.

세 번째와 네 번째 예에는 중요한 점이 있습니다. 소수 표기법을 없애면 약분수가 나타납니다. 그러나 우리는 이러한 감소를 수행하지 않을 것입니다.

마지막 예는 두 번째 분수의 분자에 소수가 포함되어 있다는 점에서 흥미롭습니다. 여기서는 인수분해할 내용이 없으므로 바로 고려하겠습니다.

때로는 나누기가 정수가 되는 경우도 있습니다(마지막 예에 대해 이야기하고 있습니다). 이 경우 세 번째 단계는 전혀 수행되지 않습니다.

또한 나눌 때 소수로 변환할 수 없는 "못생긴" 분수가 종종 발생합니다. 이는 결과가 항상 소수 형식으로 표시되는 곱셈과 나눗셈을 구별합니다. 물론 이 경우 마지막 단계는 다시 수행되지 않습니다.

3번째와 4번째 예도 주목하세요. 그 안에서 우리는 소수에서 얻은 일반 분수를 의도적으로 줄이지 않습니다. 그렇지 않으면 최종 답을 십진수 형식으로 다시 나타내는 역 작업이 복잡해집니다.

기억하세요: 분수의 기본 속성(수학의 다른 규칙과 마찬가지로) 자체가 그것이 모든 기회에 언제 어디서나 적용되어야 한다는 것을 의미하지는 않습니다.

소수로 나누는 것은 자연수로 나누는 것으로 축소됩니다.

숫자를 소수로 나누는 규칙

숫자를 소수로 나누려면 피제수와 제수 모두에서 소수점 뒤의 제수에 있는 숫자만큼 오른쪽으로 소수점을 이동해야 합니다. 그 후 자연수로 나눕니다.

예.

소수로 나누기:

소수로 나누려면 피제수와 제수 모두에서 소수점을 제수의 소수점 뒤의 자릿수, 즉 한 자리만큼 오른쪽으로 이동해야 합니다. 35.1:1.8 = 351:18을 얻습니다. 이제 코너를 사용하여 나누기를 수행합니다. 결과적으로 35.1:1.8 = 19.5를 얻습니다.

2) 14,76: 3,6

소수를 나누기 위해 피제수와 제수 모두에서 소수점을 오른쪽 한 자리로 이동합니다: 14.76: 3.6 = 147.6: 36. 이제 자연수를 수행합니다. 결과: 14.76: 3.6 = 4.1.

자연수를 소수로 나누려면 피제수와 제수를 소수점 뒤의 제수만큼 오른쪽으로 이동해야 합니다. 이 경우 제수에 쉼표가 기록되지 않으므로 누락된 문자 수를 0으로 채웁니다: 70: 1.75 = 7000: 175. 결과 자연수를 모서리로 나눕니다: 70: 1.75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

하나의 소수를 다른 소수로 나누기 위해서는 소수점 이하의 제수에 있는 자릿수, 즉 소수점 세 자리만큼 피제수와 제수 모두에서 소수점을 오른쪽으로 이동합니다. 따라서 0.1218:0.058 = 121.8:58입니다. 소수로 나누는 것이 자연수로 나누는 것으로 대체되었습니다. 우리는 코너를 공유합니다. 0.1218: 0.058 = 121.8: 58 = 2.1입니다.

5) 0,0456: 3,8