극한은 다음과 같습니다. 1. 함수 극한의 보편적인 정의

몇 가지 예시를 살펴보겠습니다.

x를 수치 변수로, X를 변화 영역으로 설정합니다. X에 속하는 각 숫자 x가 특정 숫자 y와 연관되어 있으면 함수가 집합 X에 정의되어 있다고 말하고 y = f(x)라고 씁니다.
이 경우 X 세트는 두 개의 좌표축(0X와 0Y)으로 구성된 평면입니다. 예를 들어, y = x 2 함수를 묘사해 보겠습니다. 0X 및 0Y 축은 변경 영역인 X를 형성합니다. 그림은 함수가 어떻게 작동하는지 명확하게 보여줍니다. 이 경우 그들은 함수 y = x 2가 집합 X에 정의되어 있다고 말합니다.

함수의 모든 부분 값의 집합 Y를 값 집합 f(x)라고 합니다. 즉, 값의 집합은 함수가 정의된 0Y축의 간격입니다. 묘사된 포물선은 f(x) > 0임을 명확하게 보여줍니다. 왜냐하면 x2 > 0. 따라서 값의 범위는 . 0Y별로 여러 값을 살펴봅니다.

모든 x의 집합을 f(x)의 정의역이라고 합니다. 0X에 의한 많은 정의를 살펴보면, 우리의 경우 허용되는 값의 범위는 [-; +].

점 a(a가 속함 또는 X)는 점 a의 이웃에 집합 X의 점이 a와 다른 경우 집합 X의 극한점이라고 합니다.

이제 함수의 한계가 무엇인지 이해할 때가 왔습니다.

x가 숫자 a를 향할 때 함수가 향하는 순수한 b를 호출합니다. 기능의 한계. 이는 다음과 같이 작성됩니다.

예를 들어, f(x) = x 2입니다. 우리는 함수가 x 2에서 어떤 경향이 있는지(같지 않은지) 알아내야 합니다. 먼저 극한을 ​​기록합니다.

그래프를 살펴보겠습니다.

0X축의 점 2를 통해 0Y축에 평행한 선을 그려보겠습니다. 이는 (2;4) 지점에서 그래프와 교차합니다. 이 점에서 0Y 축으로 수직을 떨어뜨리고 점 4에 도달하겠습니다. 이것이 우리 함수가 x 2에서 추구하는 것입니다. 이제 값 2를 함수 f(x)에 대체하면 대답은 동일합니다. .

이제 다음으로 넘어가기 전에 한도 계산, 기본 정의를 소개하겠습니다.

19세기 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시가 소개했습니다.

함수 f(x)가 점 x = A를 포함하는 특정 구간에서 정의되지만 f(A)의 값을 정의할 필요가 전혀 없다고 가정합니다.

그렇다면 Cauchy의 정의에 따르면, 기능의 한계 f(x)는 모든 C > 0에 대해 숫자 D > 0이 있는 경우 x가 A에 경향이 있는 특정 숫자 B가 될 것입니다.

저것들. x A에서 함수 f(x)가 극한 B에 의해 제한되는 경우 이는 다음 형식으로 작성됩니다.

시퀀스 제한임의의 작은 양수 B > 0에 대해 n > N의 경우 모든 값이 부등식을 충족하는 숫자 N이 있는 경우 특정 숫자 A가 호출됩니다.

이 한도는 다음과 같습니다.

극한이 있는 수열을 수렴이라고 하고, 그렇지 않으면 발산이라고 합니다.

이미 알고 있듯이 한계는 변수에 대한 일부 조건이 작성된 다음 함수 자체가 작성되는 lim 아이콘으로 표시됩니다. 이러한 집합은 "...에 따른 기능의 한계"로 읽혀집니다. 예를 들어:

- x가 1로 경향이 있을 때 함수의 극한입니다.

'1에 접근한다'는 표현은 x가 무한히 가까워지는 1에 접근하는 값을 연속적으로 취한다는 뜻이다.

이제 이 극한을 계산하려면 x를 값 1로 대체하는 것으로 충분하다는 것이 분명해졌습니다.

특정 숫자 값 외에도 x는 무한대에 가까워질 수도 있습니다. 예를 들어:

x라는 표현은 x가 지속적으로 증가하여 한계 없이 무한대에 접근한다는 의미입니다. 따라서 x 대신 무한대를 대입하면 함수 1-x는 가 되는 경향이 있지만 반대 부호를 사용하는 것이 분명해집니다.

따라서, 한도 계산한계에 의해 제한된 기능이 속하는 특정 값이나 특정 영역을 찾는 것으로 귀결됩니다.

위의 내용을 바탕으로 한도를 계산할 때 몇 가지 규칙을 사용하는 것이 중요합니다.

이해 한계의 본질그리고 기본 규칙 한계 계산, 문제 해결 방법에 대한 핵심 통찰력을 얻을 수 있습니다. 제한으로 인해 어려움이 발생할 경우 댓글을 작성해 주시면 확실히 도움을 드리겠습니다.

참고: 법학은 갈등과 기타 삶의 어려움을 해결하는 데 도움이 되는 법률 과학입니다.

주제 4.6 한계 계산

함수의 한계는 한계점에서 정의되었는지 여부에 따라 달라지지 않습니다. 그러나 기본 기능의 한계를 계산하는 경우 이러한 상황은 매우 중요합니다.

1. 함수가 기본이고 인수의 극한 값이 해당 정의 영역에 속하면 함수의 극한 계산은 인수의 극한 값을 간단히 대체하는 것으로 축소됩니다. 기본 함수 f(x)의 극한 x 노력하고 있다ㅏ 정의 영역에 포함되는 는 x =에서 함수의 부분 값과 같습니다. ㅏ, 즉. 임 f(x)=f( ㅏ) .

2. 만일 x는 무한대를 향하는 경향이 있다또는 인수가 함수 정의 영역에 속하지 않는 숫자로 향하는 경향이 있는 경우, 그러한 각 경우에 함수의 극한을 찾는 데는 특별한 연구가 필요합니다.

다음은 수식으로 사용할 수 있는 한계의 속성을 기반으로 하는 가장 간단한 한계입니다.

함수의 극한을 찾는 더 복잡한 경우:

각각은 별도로 고려됩니다.

이 섹션에서는 불확실성을 공개하는 주요 방법을 간략하게 설명합니다.

1. 다음의 경우 x 노력하고 있다ㅏ 함수 f(x)는 두 극미량의 비율을 나타냅니다.

a) 먼저 함수의 극한을 직접 치환으로 찾을 수 없는지 확인해야 하며, 인수에 표시된 변경 사항이 두 극소량의 비율을 나타냅니다. 0이 되는 인수만큼 분수를 줄이기 위해 변환이 이루어집니다. 함수의 극한 정의에 따르면 인수 x는 극한 값에 가까워지는 경향이 있으며 절대 일치하지 않습니다.

일반적으로 함수의 극한을 찾고 있다면 x 노력하고 있다ㅏ , 그러면 x가 값을 취하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. ㅏ, 즉. x는 a와 같지 않습니다.

b) 베주의 정리가 적용됩니다. 분자와 분모가 극한점 x =에서 사라지는 다항식인 분수의 극한을 찾고 있다면 ㅏ, 그러면 위의 정리에 따라 두 다항식은 x-로 나누어질 수 있습니다. ㅏ.

c) 분자 또는 분모에 무리수 표현의 공액을 곱하여 분자 또는 분모의 무리성을 제거한 다음 단순화한 후 분수를 줄입니다.

d) 첫 번째 주목할 만한 한계(4.1)가 사용됩니다.

e) 무한소의 동등성에 관한 정리와 다음 원리가 사용됩니다.

2. 다음의 경우 x 노력하고 있다ㅏ 함수 f(x)는 무한히 큰 두 양의 비율을 나타냅니다.

a) 분수의 분자와 분모를 미지수의 최고 거듭제곱으로 나눕니다.

b) 일반적으로 다음 규칙을 사용할 수 있습니다.

3. 다음의 경우 x 노력하고 있다ㅏ 함수 f(x)는 무한한 양과 무한한 양의 곱을 나타냅니다.

분수는 분자와 분모가 동시에 0 또는 무한대가 되는 형태로 변환됩니다. 사례 3은 사례 1 또는 사례 2로 축소됩니다.

4. 다음의 경우 x 노력하고 있다ㅏ 함수 f (x)는 양의 무한히 큰 두 양의 차이를 나타냅니다.

이 경우는 다음 방법 중 하나로 유형 1 또는 2로 축소됩니다.

a) 분수를 공통 분모로 가져오는 것;

b) 함수를 분수로 변환하는 것;

c) 비합리성을 제거합니다.

5. 다음의 경우 x 노력하고 있다ㅏ 함수 f(x)는 밑이 1이 되고 지수가 무한대가 되는 거듭제곱을 나타냅니다.

함수는 두 번째 주목할 만한 극한(4.2)을 사용하는 방식으로 변형됩니다.

예.찾다 .

왜냐하면 x는 3이 되는 경향이 있다이면 분수의 분자는 3 2 +3 *3+4=22가 되고, 분모는 3+8=11이 됩니다. 따라서,

예

여기서 분수의 분자와 분모는 다음과 같습니다. x 2를 돌보고 있다 0(유형의 불확실성)이 되는 경향이 있으므로 분자와 분모를 인수분해하여 lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)를 얻습니다.

예

분자와 분모에 분자에 대한 켤레 표현식을 곱하면 다음과 같습니다.

분자 안의 괄호를 열면,

예

2 단계. 예. 경제 계산에서 함수의 한계 개념을 적용한 예를 들어 보겠습니다. 일반적인 금융 거래를 생각해 봅시다: 금액을 대출하는 것 에스 0 일정 시간이 지나면 티해당 금액은 환불됩니다 성. 값을 결정해보자 아르 자형 상대적인 성장공식

r=(ST -S 0)/S 0 (1)

상대 성장은 결과 값을 곱하여 백분율로 표시할 수 있습니다. 아르 자형 100으로.

공식 (1)에서 값을 결정하는 것은 쉽습니다. 성:

성= 에스 0 (1 + 아르 자형)

수년 동안의 장기 대출을 계산할 때 복리 이율 체계가 사용됩니다. 1년차 금액이라면 에스 0은 (1 + 아르 자형) 번, 그 다음에는 (1 + 아르 자형) 곱하면 합계가 증가합니다. 에스 1 = 에스 0 (1 + 아르 자형), 그건 에스 2 = 에스 0 (1 + 아르 자형) 2 . 비슷하게 나오네요 에스 3 = 에스 0 (1 + 아르 자형) 삼 . 위의 예에서 금액의 증가를 계산하는 일반적인 공식을 도출할 수 있습니다. N복리 방식을 사용하여 계산한 연도:

Sn= 에스 0 (1 + 아르 자형) N.

재무 계산에서는 복리 이자가 일년에 여러 번 계산되는 방식이 사용됩니다. 이 경우에는 다음과 같이 규정된다. 연율 아르 자형그리고 연간 발생 횟수 케이. 원칙적으로 발생액은 동일한 간격, 즉 각 간격의 길이로 이루어집니다. Tk올해의 일부를 구성합니다. 그런 다음 해당 기간 동안 티년(여기서 티정수일 필요는 없음) 금액 성공식으로 계산

(2)

예를 들어, 숫자 자체와 일치하는 숫자의 정수 부분은 어디에 있습니까? 티? 정수.

연간 이율을 아르 자형그리고 생산된다 N매년 일정한 간격으로 발생합니다. 그러면 해당 연도의 금액은 에스 0은 공식에 의해 결정된 값으로 증가됩니다.

(3)

이론적 분석과 금융 활동 실제에서 "지속적으로 발생하는 이자"라는 개념이 자주 접하게 됩니다. 지속적으로 발생하는 이자로 이동하려면 공식 (2)와 (3)에서 각각 숫자를 무한정 늘려야 합니다. 케이그리고 N(즉, 지시하다 케이그리고 N무한대로) 함수가 어떤 한계까지 경향이 있는지 계산합니다. 성그리고 에스 1 . 이 절차를 공식 (3)에 적용해 보겠습니다.

중괄호 안의 한계는 두 번째 주목할만한 한계와 일치합니다. 연간 비율로 따지면 다음과 같습니다. 아르 자형지속적으로 발생한 이자가 포함된 금액 에스 1년에 0의 값이 증가합니다. 에스 1 *, 이는 공식에 의해 결정됩니다

에스 1 * = 에스 0 어 (4)

이제 합계를 내자 에스 0은 이자가 발생한 대출로 제공됩니다. N 1년에 한 번씩 일정한 간격으로. 나타내자 답장연말에 금액이 적용되는 연간 이율 에스 0은 값으로 증가 에스 1 * 공식 (4)에서. 이 경우에 우리는 이렇게 말할 것입니다 답장- 이것 연 이자율 N 1년에 한 번, 연이자에 해당 아르 자형지속적인 적립으로.공식 (3)으로부터 우리는 다음을 얻습니다.

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

후자를 가정하여 마지막 공식과 공식 (4)의 우변을 동일시합니다. 티= 1이면 수량 간의 관계를 도출할 수 있습니다. 아르 자형그리고 답장:

이 공식은 재무 계산에 널리 사용됩니다.

기능와이 = 에프 (엑스)는 집합 X의 각 요소 x가 집합 Y의 단 하나의 요소 y와 연관되어 있다는 법칙(규칙)입니다.

요소 x ∈ 엑스~라고 불리는 함수 인수또는 독립 변수.
요소 y ∈ 와이~라고 불리는 함수값또는 종속변수.

집합 X라고 불린다. 함수의 영역.
요소 집합 y ∈ 와이세트 X에 사전 이미지가 있는 를 이라고 합니다. 영역 또는 함수 값 세트.

실제 함수가 호출됩니다. 위에서부터(아래에서) 제한됨, 불평등이 모든 사람에게 적용되는 숫자 M이 있는 경우:
.
숫자 함수가 호출됩니다. 제한된, 모든 사람에 대해 다음과 같은 숫자 M이 있는 경우:
.

상단 가장자리또는 정확한 상한실제 함수는 위에서부터 값의 범위를 제한하는 가장 작은 숫자라고 합니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 s′: 를 초과하는 인수가 있는 숫자 s입니다.
함수의 상한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다.
.

각기 하단 가장자리또는 정확한 하한실제 함수는 아래에서 값의 범위를 제한하는 가장 큰 숫자라고 합니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 i′:보다 작은 인수가 있는 숫자 i입니다.
함수의 극한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다:
.

함수의 한계 결정

Cauchy에 따른 함수의 극한 결정

끝점에서 기능의 유한한 한계

지점 자체를 제외하고 끝점 근처에서 함수를 정의하도록 합니다. 어느 시점에서 에 따라 에 대한 모든 x에 대해 불평등이 유지되는 것과 같은 것이 있다면
.
함수의 극한은 다음과 같이 표시됩니다.
.
또는 .

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 함수의 극한 정의는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
.

일방적인 한계.
한 점의 왼쪽 극한(왼쪽 극한):
.
한 점의 오른쪽 극한(오른쪽 극한):
.
왼쪽 및 오른쪽 한계는 종종 다음과 같이 표시됩니다.
; .

무한대의 점에서 함수의 유한한계

무한대 지점의 극한도 비슷한 방식으로 결정됩니다.
.
.
.
그들은 종종 다음과 같이 불립니다:
; ; .

점 근방의 개념을 이용

점의 구멍이 뚫린 이웃 개념을 도입하면 유한하고 무한히 먼 점에서 함수의 유한 극한에 대한 통일된 정의를 제공할 수 있습니다.
.
엔드포인트는 여기
; ;
.
무한대에 있는 모든 점 근처에는 구멍이 뚫립니다.
; ; .

무한한 기능 제한

정의
함수가 한 점(유한 또는 무한대)의 구멍이 뚫린 근처에서 정의되도록 합니다. 함수 f의 한계 (엑스) x → x로 0 무한대와 같음, 임의의 큰 숫자 M의 경우 > 0 , 숫자 δ M이 있습니다 > 0 , M에 따라 구멍이 뚫린 δ M - 점 근처에 속하는 모든 x에 대해 다음과 같은 불평등이 유지됩니다.
.
무한한계는 다음과 같이 표시됩니다.
.
또는 .

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 함수의 무한한 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
.

또한 다음과 같은 특정 부호의 무한 극한 정의를 도입할 수도 있습니다.
.
.

함수 극한의 보편적인 정의

점의 이웃 개념을 사용하여 유한(양면 및 단면) 및 무한히 먼 점 모두에 적용할 수 있는 함수의 유한 및 무한 극한에 대한 보편적인 정의를 제공할 수 있습니다.
.

하이네에 따른 기능의 한계 결정

함수가 X: 집합에 정의되도록 하세요.
숫자 a를 함수의 극한이라고 합니다.시점:
,
x로 수렴하는 시퀀스의 경우 0 :
,
그 요소는 X: 세트에 속합니다.
.

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 이 정의를 작성해 보겠습니다.
.

점 x의 왼쪽 이웃을 집합 X로 취하면 0 , 그러면 우리는 왼쪽 극한의 정의를 얻습니다. 오른 손잡이라면 올바른 극한의 정의를 얻습니다. 무한대에 있는 점의 근방을 집합 X로 취하면 함수의 무한대 극한에 대한 정의를 얻을 수 있습니다.

정리
함수의 극한에 대한 Cauchy 정의와 Heine 정의는 동일합니다.
증거

함수 극한의 속성과 정리

또한, 고려중인 함수가 유한수 또는 기호 중 하나인 점의 해당 이웃에 정의되어 있다고 가정합니다. 또한 일측 한계점이 될 수도 있습니다. 즉, 또는 형식을 갖습니다. 이웃은 양면 한계의 경우 양면이고 일방적 한계의 경우 단면입니다.

기본 속성

함수 f의 값이 (엑스)유한한 수의 점 x를 변경(또는 정의하지 않음) 1, x 2, x 3, ... x n, 이 변경은 임의의 점 x에서 함수 극한의 존재와 값에 영향을 미치지 않습니다. 0 .

유한한 한계가 있는 경우 점 x에 구멍이 뚫린 이웃이 있습니다. 0 , 함수 f (엑스)제한된:
.

함수가 x 지점을 가지도록 하세요. 0 0이 아닌 유한 한계:
.
그런 다음 간격 의 임의의 숫자 c에 대해 점 x에 구멍이 뚫린 이웃이 있습니다. 0 , 무엇 때문에 ,
, 만약에 ;
, 만약에 .

만약 구멍이 뚫린 지점 근처에서 가 상수이면 .

유한한 한계가 있고 점 x의 구멍이 뚫린 근처에 있는 경우 0
,
저것 .

만약 , 그리고 그 지점의 일부 근처에
,
저것 .
특히, 어떤 지점 근처에 있는 경우
,
그러면 , 그러면 그리고 ;
만약 , 그때 그리고 .

x 지점의 구멍이 뚫린 근처에 있는 경우 0 :
,
유한한(또는 특정 부호의 무한한) 등호 한계가 있습니다.
, 저것
.

주요 속성에 대한 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"함수 극한의 기본 속성."

함수 극한의 산술 속성

함수와 포인트의 구멍이 뚫린 근처에서 정의되도록 하세요. 그리고 유한한 한계를 두십시오:
그리고 .
그리고 C를 상수, 즉 주어진 숫자로 둡니다. 그 다음에
;
;
;
, 만약에 .

그렇다면.

산술 속성의 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"함수의 한계에 대한 산술적 속성".

함수의 극한 존재에 대한 코시 기준

정리
유한의 구멍이 뚫린 이웃이나 무한점 x에서 정의된 함수의 경우 0 , 이 시점에서 유한한 한계를 가지므로 모든 ε에 대해 필요하고 충분합니다. > 0 x 지점 근처에 구멍이 뚫린 곳이 있었어요 0 , 모든 점과 이 이웃에서 다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.

복잡한 함수의 한계

복소함수의 극한에 관한 정리
함수에 한계가 있고 구멍이 뚫린 점 근처를 구멍이 난 점 근처에 매핑합니다. 이 근처에 함수를 정의하고 이에 대한 제한을 두십시오.
최종 또는 무한히 먼 지점은 다음과 같습니다. 네이버후드와 그에 상응하는 한계는 양면일 수도 있고 일방일 수도 있습니다.
그런 다음 복잡한 함수의 한계가 있으며 다음과 같습니다.
.

복소함수의 극한 정리는 함수가 한 점에서 정의되지 않거나 극한과 다른 값을 가질 때 적용됩니다. 이 정리를 적용하려면 함수 값 집합에 점이 포함되지 않은 점 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있어야 합니다.
.

함수가 점에서 연속인 경우 연속 함수의 인수에 극한 기호를 적용할 수 있습니다.
.
다음은 이 경우에 해당하는 정리이다.

함수의 연속 함수의 한계에 관한 정리
함수 g의 한계를 두자 (티) t → t 0 , 그리고 그것은 x와 같습니다 0 :
.
여기 포인트 t가 있습니다 0 유한하거나 무한히 멀 수 있습니다.
그리고 함수 f를 보자 (엑스)점 x에서 연속이다 0 .
그런 다음 복소 함수 f의 한계가 있습니다. (g(t)), 그리고 그것은 f와 같습니다 (x0):
.

정리의 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"복잡한 함수의 한계와 연속성".

무한소 및 무한대 기능

극미량의 기능

정의
다음과 같은 경우 함수를 무한소라고 합니다.
.

합계, 차이 및 곱유한한 수의 무한소 함수 중 는 에서 무한함수입니다.

제한된 함수의 곱점의 일부 구멍이 뚫린 근처에서 무한소에 대한 무한소 함수는 에 있습니다.

함수가 유한한 한계를 갖기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다.
,
에서 무한함수는 어디에 있습니까?

"무한 함수의 속성".

무한히 큰 기능

정의
다음과 같은 경우 함수가 무한히 크다고 합니다.
.

점 의 일부 구멍이 뚫린 이웃에 있는 경계 함수의 합 또는 차이와 무한히 큰 함수는 에서 무한히 큰 함수입니다.

함수가 에 대해 무한히 크고 함수가 점의 일부 구멍이 뚫린 이웃에 국한된 경우
.

점 의 일부 구멍이 뚫린 근처에서 함수 가 부등식을 만족하는 경우:
,
함수는 다음과 같이 극미량입니다.
, 그리고 (점의 구멍이 뚫린 부분에서), 그런 다음
.

속성 증명은 섹션에 나와 있습니다.
"무한히 큰 함수의 속성".

무한히 큰 함수와 무한한 함수의 관계

이전의 두 속성에서 무한히 큰 함수와 무한한 함수 사이의 연결이 이어집니다.

함수가 에서 무한히 크면 함수는 에서 무한히 작습니다.

, 및 에 대해 함수가 무한소인 경우 함수는 에 대해 무한히 큽니다.

무한소 함수와 무한히 큰 함수 사이의 관계는 기호로 표현될 수 있습니다.
, .

무한소 함수가 에서 특정 부호를 갖는 경우, 즉 점의 구멍이 뚫린 근처에서 양수(또는 음수)인 경우 이 사실은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
.
같은 방식으로 무한히 큰 함수가 에 특정 부호를 가지면 다음과 같이 씁니다.
.

그러면 무한히 작은 함수와 무한히 큰 함수 사이의 상징적 연결은 다음 관계로 보완될 수 있습니다.
, ,
, .

무한대 기호와 관련된 추가 공식은 페이지에서 찾을 수 있습니다.
"무한점과 그 속성."

단조 함수의 한계

정의
어떤 실수 X 집합에 정의된 함수가 호출됩니다. 엄격하게 증가, 다음과 같은 부등식이 성립하는 경우:
.
따라서 엄격하게 감소다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.
을 위한 비감소:
.
을 위한 비증가:
.

따라서 엄격하게 증가하는 함수는 감소하지 않는 함수이기도 합니다. 엄격하게 감소하는 함수도 증가하지 않습니다.

함수가 호출됩니다. 단조로운, 감소하지 않거나 증가하지 않는 경우.

정리
가 있는 간격에서 함수가 감소하지 않도록 하십시오.
위의 숫자 M:으로 제한되면 유한한 한계가 있습니다. 위에서 제한되지 않으면 .
아래에서 숫자 m으로 제한되면 유한한 한계가 있습니다. 아래에서 제한되지 않으면 .

점 a와 b가 무한대에 있는 경우 표현식에서 극한 기호는 다음을 의미합니다.
이 정리는 더 간결하게 공식화될 수 있습니다.

가 있는 간격에서 함수가 감소하지 않도록 하십시오. 그런 다음 지점 a와 b에 단방향 극한이 있습니다.
;
.

비증가 함수에 대한 유사한 정리입니다.

가 있는 간격에서 함수가 증가하지 않도록 하십시오. 그런 다음 일방적인 한계가 있습니다.
;
.

정리의 증거가 페이지에 표시됩니다.
"단조 함수의 한계".

참고자료:
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 1983년.

기능 제한- 숫자 ㅏ변화 과정에서 이 가변량이 무한정 접근하는 경우 일부 가변량의 한계가 될 것입니다. ㅏ.

혹은 다른 말로 숫자 ㅏ함수의 한계입니다 y = f(x)그 시점에 x 0, 함수 정의 영역의 일련의 점에 대해 같지 않은 경우 x 0, 그리고 이는 점으로 수렴됩니다. x 0 (극한 x n = x0), 해당 함수 값의 순서는 숫자로 수렴됩니다. ㅏ.

무한대에 가까워지는 인수가 주어지면 그 극한이 다음과 같은 함수의 그래프 엘:

의미 ㅏ~이다 기능의 한계(한계값) 에프엑스(f(x))그 시점에 x 0일련의 포인트가 있는 경우 , 이는 다음과 같이 수렴됩니다. x 0, 그러나 다음을 포함하지 않습니다. x 0그 요소 중 하나로 (즉, 구멍이 난 근처에) x 0), 함수 값의 시퀀스 수렴 ㅏ.

코시 함수의 한계.

의미 ㅏ될거야 기능의 한계 에프엑스(f(x))그 시점에 x 0미리 취해진 음수가 아닌 숫자의 경우 ε 음수가 아닌 해당 숫자가 발견됩니다 δ = δ(ε) 각 인수에 대해 엑스, 조건을 만족함 0 < | x - x0 | < δ , 부등식은 만족될 것이다 | 에프엑스(f(x)A) |< ε .

한계의 본질과 이를 찾는 기본 규칙을 이해하면 매우 간단할 것입니다. 기능의 한계는 무엇입니까 에프 (엑스)~에 엑스위해 노력하다 ㅏ같음 ㅏ, 다음과 같이 작성됩니다.

또한, 변수가 경향이 있는 값은 엑스는 숫자일 뿐만 아니라 무한대(무한대)일 수도 있고 때로는 +무한대 또는 -무한대일 수도 있고 전혀 제한이 없을 수도 있습니다.

방법을 이해하려면 함수의 한계를 찾아라, 솔루션의 예를 살펴보는 것이 가장 좋습니다.

함수의 한계를 찾는 것이 필요하다 에프 (x) = 1/엑스에:

엑스→ 2, 엑스→ 0, 엑스→ ∞.

첫 번째 한계에 대한 해결책을 찾아보겠습니다. 이렇게 하려면 간단히 대체할 수 있습니다. 엑스경향이 있는 숫자, 즉 2, 우리는 다음을 얻습니다:

함수의 두 번째 극한을 찾아봅시다. 여기서는 대신 순수 0으로 대체하세요. 엑스그것은 불가능하다. 왜냐하면 0으로 나눌 수는 없습니다. 그러나 0.01과 같이 0에 가까운 값을 취할 수 있습니다. 0.001; 0.0001; 0.00001 등, 그리고 함수의 값 에프 (엑스)증가합니다: 100; 1000; 10000; 100,000 등등. 따라서 다음과 같은 경우가 이해될 수 있습니다. 엑스→ 0 제한 기호 아래에 있는 함수의 값은 제한 없이 증가합니다. 즉, 무한을 향해 노력하라. 이는 다음을 의미합니다.

세 번째 한계에 관해서. 이전 사례와 동일한 상황으로 대체가 불가능합니다. ∞ 가장 순수한 형태로. 무한증액의 경우도 생각해볼 필요가 있다 엑스. 우리는 1000을 하나씩 대체합니다. 10000; 100000 등등, 우리는 함수의 값을 가지고 있습니다 에프 (x) = 1/엑스감소합니다: 0.001; 0.0001; 0.00001; 등등, 0이 되는 경향이 있습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

함수의 한계를 계산해야 합니다.

두 번째 예를 풀기 시작하면 불확실성이 보입니다. 여기에서 우리는 분자와 분모의 가장 높은 차수를 찾습니다. x 3, 분자와 분모의 괄호에서 꺼내어 다음과 같이 줄입니다.

답변

첫 번째 단계 이 한계를 찾아, 대신 값 1을 대체하십시오. 엑스, 결과적으로 불확실성이 발생합니다. 이를 해결하기 위해 분자를 인수분해하고 이차 방정식의 근을 찾는 방법을 사용하여 이를 수행해 보겠습니다. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ 디=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

따라서 분자는 다음과 같습니다.

답변

이는 특정 값 또는 기능이 속하는 특정 영역에 대한 정의이며 한계에 의해 제한됩니다.

한계를 해결하려면 다음 규칙을 따르십시오.

본질과 핵심을 이해한 후 한계를 해결하기 위한 규칙, 문제를 해결하는 방법에 대한 기본적인 이해를 얻을 수 있습니다.

이 글에는 오랫동안 '마이너스 무한대'의 유령이 맴돌고 있었습니다. 다항식의 극한을 고려해 보겠습니다. 해결의 원리와 방법은 여러 가지 뉘앙스를 제외하고 수업의 첫 번째 부분과 정확히 동일합니다.

실제 작업을 해결하는 데 필요한 4가지 요령을 살펴보겠습니다.

1) 한도 계산

한도의 값은 성장 순서가 가장 높기 때문에 항에만 의존합니다. 그렇다면 모듈러스가 무한히 크다 EVEN 거듭제곱에 대한 음수, 이 경우 – 네 번째에서는 "플러스 무한대"와 같습니다. . 상수(“2”) 긍정적인, 그 이유는 다음과 같습니다.

2) 한도 계산

여기 다시 고위 학위가 있습니다 심지어, 그 이유는 다음과 같습니다. 하지만 그 앞에는 "마이너스"( 부정적인상수 –1) 따라서:

3) 한도 계산

한계값은 에만 의존합니다. 학교에서 기억했듯이 홀수 학위 아래에서 "마이너스"가 "뛰어나와" 있으므로 모듈러스가 무한히 크다 ODD 거듭제곱에 대한 음수이 경우에는 "마이너스 무한대"와 같습니다.
상수(“4”) 긍정적인, 수단:

4) 한도 계산

마을의 첫 번째 남자가 또 이상한학위, 게다가, 가슴에 부정적인상수는 다음을 의미합니다.
.

실시예 5

한계를 찾아보세요

위의 요점을 사용하여 여기에는 불확실성이 있다는 결론에 도달했습니다. 분자와 분모의 증가 순서는 동일합니다. 즉, 한계 내에서 결과는 유한한 숫자가 됩니다. 치어를 모두 버려서 답을 알아봅시다.

해결책은 간단합니다.

실시예 6

한계를 찾아보세요

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

그리고 아마도 가장 미묘한 경우는 다음과 같습니다.

실시예 7

한계를 찾아보세요

주요 용어를 고려하면 여기에는 불확실성이 있다는 결론에 도달합니다. 분자는 분모보다 성장 수준이 높으므로 극한이 무한대와 같다고 즉시 말할 수 있습니다. 그러나 "플러스" 또는 "마이너스"는 어떤 종류의 무한대입니까? 기법은 동일합니다. 분자와 분모에 있는 작은 것들을 제거해 보겠습니다.

우리는 다음을 결정합니다:

분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다.

분석해보자 극소의 분모 용어:

이면 다음과 같은 조건이 적용됩니다. 심지어학위는 노력할 것입니다 극소의양수 (로 표시) 및 다음과 같은 용어 이상한학위는 노력할 것입니다 극소의음수( 로 표시).

이제 이 네 가지 항 중 어떤 항이 0이 되는 경향이 있는지 자문해 봅시다(부호가 무엇이든 관계 없음). 가장 느린? 순진한 기법을 기억해 봅시다. 첫 번째 "x"는 -10, 그 다음에는 -100, 그 다음에는 -1000 등과 같습니다. 항은 가장 느리게 0에 접근합니다. 비유적으로 말하면, 이것은 다른 모든 0을 "흡수"하는 "가장 뚱뚱한" 0입니다. 이로 인해 최종 단계에 해당 항목이 등장하게 되었습니다.

주의할 점은 표지판이 극소의우리는 분자의 용어에 관심이 없습니다. 왜냐하면 실체적이고 좋은 품질의 단위가 거기에 그려져 있기 때문입니다. 이것이 제가 분자에 "그냥 0"을 넣은 이유입니다. 그런데 0의 부호는 한계에서 유한한 숫자가 얻어지는 모든 예에서 중요하지 않습니다(예 5, 6).

변화 없음, 그것이 바로 수학적 분석의 목적입니다. =)

하지만, 아 극소 함수나중에 그렇지 않으면 오른쪽 상단에 있는 작은 십자가를 클릭하게 됩니다 =)

실시예 8

한계를 찾아보세요

이것은 스스로 해결하는 예입니다.