확률 이론의 간단한 문제. 기본 공식

확률이론과 수리통계

1. 확률 이론의 주제와 경제 및 기술 문제 해결에 대한 중요성. 확률과 정의

오랫동안 인류는 활동에 대해 소위 결정론적 패턴만을 연구하고 사용했습니다. 그러나 무작위적인 사건은 우리의 의지와 상관없이 우리 삶에 터져 나와 끊임없이 우리를 둘러싸고 있으며, 더욱이 거의 모든 자연 현상은 본질적으로 무작위적이기 때문에 이를 연구하는 방법을 배우고 이를 위한 연구 방법을 개발하는 것이 필요합니다.

인과 관계의 표현 형태에 따라 자연과 사회의 법칙은 결정론적 (미리 결정된) 법칙과 통계적 법칙의 두 가지 클래스로 나뉩니다.

예를 들어, 현재 알려진 태양계 행성의 위치를 ​​기반으로 하는 천체 역학의 법칙을 기반으로 특정 시점에서의 위치를 ​​거의 명확하게 예측할 수 있으며 일식과 월식을 매우 정확하게 예측할 수 있습니다. 이것은 결정론적 법칙의 예입니다.

그러나 모든 현상을 정확하게 예측할 수는 없습니다. 따라서 장기적인 기후 변화와 단기적인 기상 변화는 성공적인 예측의 대상이 아닙니다. 많은 법칙과 패턴은 결정론적 틀에 훨씬 덜 적합합니다. 이러한 종류의 법칙을 통계법칙이라고 합니다. 이러한 법칙에 따르면 시스템의 미래 상태는 명확하게 결정되지 않고 특정 확률로만 결정됩니다.

다른 수학 과학과 마찬가지로 확률 이론도 실천의 필요에 따라 부활하고 발전했습니다. 그녀는 대규모 무작위 사건에 내재된 패턴을 연구합니다.

확률 이론은 특정 조건이 재현될 때 여러 번 반복될 수 있는 대량 무작위 사건의 특성을 연구합니다. 임의의 사건의 주요 속성은 그 성격에 관계없이 그 사건의 발생 확률 또는 척도입니다.

우리가 관찰하는 사건(현상)은 신뢰할 수 있는 것, 불가능한 것, 무작위적인 것의 세 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.

일어날 것이 확실한 사건을 확실하다고 합니다. 불가능이란 일어나지 않을 것이라고 우리가 알고 있는 사건이다. 무작위 사건은 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건이다.

확률 이론은 무작위 사건에 대한 모든 원인의 영향을 고려하는 것이 불가능하기 때문에 단일 사건이 발생할지 여부를 예측하는 작업을 스스로 설정하지 않습니다. 반면, 충분히 많은 수의 동종 무작위 사건은 특정 성격에 관계없이 특정 패턴, 즉 확률 패턴의 영향을 받는 것으로 나타났습니다.

따라서 확률 이론의 주제는 대량의 균질한 무작위 사건의 확률적 패턴을 연구하는 것입니다.

질량 무작위 현상과 관련된 일부 문제는 17세기 초에 적절한 수학적 장치를 사용하여 해결하려고 시도되었습니다. B. Pascal, P. Fermat 및 H. Huygens는 다양한 우연 게임의 과정과 결과를 연구하여 17세기 중반에 고전 확률 이론의 토대를 마련했습니다. 그들의 작업에서 그들은 확률 변수의 수학적 기대와 확률의 개념을 암묵적으로 사용했습니다. 18세기 초에만 가능했습니다. J. Bernoulli는 확률의 개념을 공식화합니다.

확률 이론은 Moivre, Laplace, Gauss, Poisson 및 기타 사람들의 성공을 이어받았습니다.

P.L.과 같은 러시아와 소련의 수학자들은 확률 이론의 발전에 큰 공헌을 했습니다. 체비쇼프, A.A. 마르코프, 오전 리아푸노프, S.N. 번스타인, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov 등

확률 이론의 발전에서 특별한 위치는 우즈벡 학교에 속하며, 그 저명한 대표자는 학자 V.I입니다. Romanovsky, S.Kh. 시라즈디노프, T.A. 사림사코프, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, I.S. 바달바예프, M.U. 가푸로프, Sh.A. Khashimov 및 기타.

이미 언급했듯이 확률 이론의 출현에 기여한 실천의 필요성은 과학으로서의 발전을 촉진하여 점점 더 많은 분야와 섹션의 출현으로 이어졌습니다. 수학적 통계는 확률 이론을 기반으로 하며, 그 임무는 표본으로부터 어느 정도의 신뢰성을 가지고 일반 인구에 내재된 특성을 재구성하는 것입니다. 무작위 과정 이론, 큐잉 이론, 정보 이론, 신뢰성 이론, 계량 경제학 모델링 등과 같은 과학 분야는 확률 이론에서 분리되었습니다.

확률 이론의 가장 중요한 적용 분야에는 경제 및 기술 과학이 포함됩니다. 현재 확률 이론을 기반으로 한 모델링, 상관 관계 및 회귀 분석 모델, 적절성 및 "민감한" 적응 모델 없이 경제 및 기술 현상에 대한 연구를 상상하기 어렵습니다.

교통 흐름에서 발생하는 사건, 자동차 부품의 신뢰성 정도, 도로에서의 자동차 사고, 비결정성으로 인한 도로 설계 과정의 다양한 상황 등이 확률론 방법을 사용하여 연구되는 문제 범위에 포함됩니다.

확률론의 기본 개념은 경험이나 실험, 사건이다. 우리는 특정 조건과 상황에서 수행되는 행위를 실험이라고 부릅니다. 실험의 각 특정 구현을 테스트라고 합니다.

실험에서 생각할 수 있는 모든 결과를 기본 사건이라고 하며 로 표시합니다. 무작위 사건은 특정 수의 기본 사건으로 구성되며 A, B, C, D,...로 표시됩니다.

다음과 같은 기본 이벤트 세트

1) 실험 결과 기본 이벤트 중 하나가 항상 발생합니다.

2) 한 번의 시행 동안에는 하나의 기본 이벤트만 발생하며 이를 기본 이벤트 공간이라고 하며 으로 표시합니다.

따라서 임의의 사건은 기본 사건 공간의 부분 집합입니다. 기본 사건의 공간을 정의함으로써 신뢰할 수 있는 사건은 다음과 같이 표시될 수 있습니다. 불가능한 사건은 으로 표시됩니다.

예시 1: 주사위를 던졌습니다. 본 실험에 해당하는 기본사건의 공간은 다음과 같은 형태를 갖는다.

예 2. 항아리에 빨간색 2개, 파란색 3개, 흰색 1개가 들어 있어 총 6개의 공이 있다고 가정합니다. 실험은 항아리에서 무작위로 공을 꺼내는 것으로 구성됩니다. 본 실험에 해당하는 기본사건의 공간은 다음과 같은 형태를 갖는다.

여기서 기본 이벤트는 다음과 같은 의미를 갖습니다. - 흰색 공이 나타납니다. - 빨간 공이 나타났습니다. - 파란 공이 나타났습니다. 다음 이벤트를 고려하십시오.

A - 흰 공의 모습.

B - 빨간 공의 모습;

C - 파란 공의 모습.

D - 유색(흰색이 아닌) 공의 모양입니다.

여기서 우리는 이러한 각 사건이 하나 또는 다른 정도의 가능성을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 일부는 더 크고 다른 일부는 더 적습니다. 분명히 사건 B의 가능성은 사건 A의 가능성보다 더 큽니다. 이벤트 C - 이벤트 B보다; 이벤트 D - 이벤트 C보다. 이벤트의 가능성 정도에 따라 이벤트를 서로 정량적으로 비교하려면 분명히 각 이벤트에 특정 숫자를 연관시키는 것이 필요하며, 숫자가 클수록 이벤트 가능성이 높아집니다.

우리는 이 숫자를 사건 A의 확률로 표시하고 이를 사건 A의 확률이라고 부릅니다. 이제 확률의 정의를 설명하겠습니다.

기본 사건의 공간을 유한한 집합으로 두고 그 요소도 유한한 집합으로 두십시오. 우리는 그것들이 똑같이 가능한 기본 사건이라고 가정할 것입니다. 각 기본 이벤트는 다른 이벤트보다 발생할 확률이 더 높지 않습니다. 알려진 바와 같이, 각각의 무작위 사건 A는 하위 집합으로서의 기본 사건으로 구성됩니다. 이러한 기본 이벤트를 A에 유리한 이벤트라고 합니다.

사건 A의 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

여기서 m은 A에 유리한 기본 사건의 수이고, n은 포함된 모든 기본 사건의 수입니다.

예 1 A에서 짝수 개의 점이 나타나는 이벤트를 나타내는 경우

예제 2에서 사건의 확률은 다음과 같은 값을 갖습니다.

확률의 정의는 다음과 같은 속성을 따릅니다.

1. 신뢰할 수 있는 사건의 확률은 1과 같습니다.

실제로 어떤 사건이 신뢰할 수 있다면 모든 기본 사건은 그것을 선호합니다. 이 경우 m=n이므로

2. 불가능한 사건이 일어날 확률은 0이다.

실제로 어떤 사건이 불가능하다면 단 하나의 기본 사건도 그것을 선호하지 않습니다. 이 경우 m=0이므로

3. 무작위 사건의 확률은 0과 1 사이의 양수입니다.

실제로 전체 기본 사건 수 중 일부만이 무작위 사건을 선호합니다. 이 경우에는, 그러므로, 그러므로,

따라서 모든 사건의 확률은 부등식을 만족합니다.

사건의 상대빈도는 실제로 수행된 총 시행 횟수에 대한 사건이 발생한 시행 횟수의 비율입니다.

따라서 사건 A의 상대 빈도는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

여기서 m은 사건 발생 횟수이고, n은 총 시행 횟수입니다.

확률과 상대 빈도의 정의를 비교하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 확률의 정의에서는 테스트가 실제로 수행될 것을 요구하지 않습니다. 상대 빈도의 결정은 테스트가 실제로 수행되었다고 가정합니다.

예 3. 무작위로 선택된 80개의 동일한 부품 중 3개의 결함이 있는 부품이 식별되었습니다. 불량 부품의 상대 빈도는 다음과 같습니다.

사례 4. 해당 연도 중 한 시설에서 24건의 검사가 실시되었으며, 19건의 법률 위반 사항이 등록되었습니다. 법 위반의 상대적 빈도는 다음과 같습니다.

장기간 관찰에 따르면 테스트 수가 상당히 많은 동일한 조건에서 실험을 수행하면 상대 빈도가 거의 변하지 않고(적을수록 더 많은 테스트가 수행됨) 특정 상수를 중심으로 변동하는 것으로 나타났습니다. 숫자. 이 상수는 사건이 발생할 확률이라는 것이 밝혀졌습니다.

따라서 상대 빈도가 실험적으로 설정되면 결과 숫자를 대략적인 확률 값으로 사용할 수 있습니다. 이것이 확률의 통계적 정의입니다.

결론적으로 확률의 기하학적 정의를 살펴보겠습니다.

기본 사건의 공간이 평면이나 공간의 특정 영역으로 간주되고 A가 그 부분 집합으로 간주되면 사건 A의 확률은 A의 면적 또는 부피의 비율로 간주되어 구됩니다. 다음 공식에 따르면:

반복과 통제에 관한 질문:

1. 자연법칙과 사회법칙은 인과관계의 발현형태에 따라 어떤 부류로 나누어지나요?

2. 어떤 종류의 이벤트로 나눌 수 있나요?

3. 확률론의 주제는 무엇입니까?

4. 확률론 발전의 역사에 대해 무엇을 알고 있습니까?

5. 경제 및 기술 문제에 대한 확률 이론의 중요성은 무엇입니까?

6. 실험, 시험, 기초행사, 행사란 무엇이며 어떻게 지정되나요?

7. 초등행사공간이란 무엇인가?

8. 사건의 확률은 어떻게 결정됩니까?

9. 확률의 어떤 속성을 알고 있나요?

10. 사건의 상대적 빈도에 대해 무엇을 알고 있습니까?

11. 확률의 통계적 정의의 본질은 무엇입니까?

12. 확률의 기하학적 정의는 무엇입니까?

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