Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa (Moskalenko M.V.). Redukovanie zlomkov na najmenšieho spoločného menovateľa, pravidlo, príklady, riešenia

Pôvodne som chcel do časti Sčítanie a odčítanie zlomkov zahrnúť techniky spoločného menovateľa. Ukázalo sa však, že existuje toľko informácií a ich dôležitosť je taká veľká (napokon, nielen číselné zlomky majú spoločných menovateľov), že je lepšie študovať túto problematiku samostatne.

Povedzme teda, že máme dva zlomky s rôznymi menovateľmi. A chceme zabezpečiť, aby menovatelia boli rovnakí. Na pomoc prichádza základná vlastnosť zlomku, ktorá, dovoľte mi pripomenúť, znie takto:

Zlomok sa nezmení, ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom iným ako nula.

Ak teda vyberiete faktory správne, menovatelia zlomkov sa vyrovnajú - tento proces sa nazýva redukcia na spoločného menovateľa. A požadované čísla, „vyrovnanie“ menovateľov, sa nazývajú dodatočné faktory.

Prečo potrebujeme zlomky zredukovať na spoločného menovateľa? Tu je len niekoľko dôvodov:

Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Neexistuje žiadny iný spôsob vykonania tejto operácie;
Porovnávanie zlomkov. Niekedy redukcia na spoločného menovateľa značne zjednodušuje túto úlohu;
Riešenie problémov so zlomkami a percentami. Percentá sú v podstate bežné výrazy, ktoré obsahujú zlomky.

Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť čísla, ktoré po ich vynásobení spôsobia, že menovatelia zlomkov sa budú rovnať. Budeme zvažovať iba tri z nich - v poradí zvyšujúcej sa zložitosti a v istom zmysle účinnosti.

Krížové násobenie

Najjednoduchšia a najspoľahlivejšia metóda, ktorá zaručene vyrovnáva menovateľov. Budeme konať „bezhlavo“: prvý zlomok vynásobíme menovateľom druhého zlomku a druhý menovateľom prvého. V dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov stanú rovnými súčinu pôvodných menovateľov. Pozri sa:

Ako ďalšie faktory zvážte menovateľov susedných zlomkov. Dostaneme:

Áno, je to také jednoduché. Ak práve začínate študovať zlomky, je lepšie pracovať pomocou tejto metódy - týmto spôsobom sa poistíte proti mnohým chybám a zaručene dostanete výsledok.

Jedinou nevýhodou tejto metódy je, že musíte veľa počítať, pretože menovatele sa násobia „celkom“ a výsledkom môžu byť veľmi veľké čísla. Toto je cena, ktorú treba zaplatiť za spoľahlivosť.

Metóda spoločného deliteľa

Táto technika pomáha výrazne znížiť výpočty, ale bohužiaľ sa používa pomerne zriedka. Metóda je nasledovná:

Predtým, ako pôjdete rovno (t. j. pomocou krížovej metódy), pozrite sa na menovateľov. Možno je jedna z nich (tá, ktorá je väčšia) rozdelená na druhú.
Číslo vyplývajúce z tohto delenia bude dodatočným faktorom pre zlomok s menším menovateľom.
V tomto prípade zlomok s veľkým menovateľom nie je potrebné násobiť vôbec ničím – v tom spočíva úspora. Zároveň sa výrazne zníži pravdepodobnosť chyby.

Úloha. Nájdite význam výrazov:

Všimnite si, že 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Keďže v oboch prípadoch sa jeden menovateľ delí bezo zvyšku druhým, použijeme metódu spoločných faktorov. Máme:

Všimnite si, že druhý zlomok nebol vynásobený vôbec ničím. V skutočnosti sme znížili množstvo výpočtov na polovicu!

Mimochodom, zlomky v tomto príklade som nezobral náhodou. Ak máte záujem, skúste ich spočítať krížovou metódou. Po zmenšení budú odpovede rovnaké, ale bude s tým oveľa viac práce.

Toto je sila metódy spoločných deliteľov, ale opäť ju možno použiť len vtedy, keď je jeden z menovateľov bezo zvyšku deliteľný druhým. Čo sa stáva dosť zriedka.

Redukovanie zlomkov na najmenšieho spoločného menovateľa, pravidlá, príklady, riešenia.

Tento článok vysvetľuje ako nájsť najnižšieho spoločného menovateľa A ako zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa.

Najprv sú uvedené definície spoločného menovateľa zlomkov a najmenšieho spoločného menovateľa a ukazuje sa, ako nájsť spoločného menovateľa zlomkov. Nižšie je uvedené pravidlo na zníženie zlomkov na spoločného menovateľa a zvažujú sa príklady použitia tohto pravidla. Na záver sú diskutované príklady privedenia troch alebo viacerých zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Čo sa nazýva redukcia zlomkov na spoločného menovateľa?

Ak majú bežné zlomky rovnakých menovateľov, potom sa tieto zlomky nazývajú zredukované na spoločného menovateľa.

Takto sa zlomky 45/76 a 143/76 zredukujú na spoločného menovateľa 76 a zlomky 1/3, 3/3, 17/3 a 1 000/3 sa zredukujú na spoločného menovateľa 3.

Ak sa menovatelia zlomkov nerovnajú, potom je možné takéto zlomky vždy zredukovať na spoločného menovateľa vynásobením ich čitateľa a menovateľa určitými dodatočnými faktormi.

Napríklad obyčajné zlomky 2/5 a 7/4 sa pomocou dodatočných faktorov 4 a 5 zredukujú na spoločného menovateľa 20. Skutočne, vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku 2/5 číslom 4 dostaneme zlomok 8/20 a vynásobením zlomkov čitateľa a menovateľa 7/4 číslom 5 sa dostaneme k zlomku 35/20 (pozri priraďovanie zlomkov k novému menovateľovi).

Teraz môžeme povedať, čo to znamená zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa- Ide o násobenie čitateľov a menovateľov daných zlomkov takými dodatočnými faktormi, že výsledkom sú zlomky s rovnakými menovateľmi.

Začiatok stránky

Spoločný menovateľ, definícia, príklady

Teraz je čas definovať spoločného menovateľa zlomkov.

Inými slovami, spoločným menovateľom určitej množiny obyčajných zlomkov je akékoľvek prirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými menovateľmi týchto zlomkov.

Z uvedenej definície vyplýva, že daná množina zlomkov má nekonečne veľa spoločných menovateľov, keďže spoločných násobkov všetkých menovateľov pôvodnej množiny zlomkov je nekonečne veľa.

Určenie spoločného menovateľa zlomkov umožňuje nájsť spoločných menovateľov daných zlomkov. Nech sú napríklad dané zlomky 1/4 a 5/6 ich menovateľmi 4 a 6.

Kladné spoločné násobky 4 a 6 sú 12, 24, 36, 48, ... Ktorékoľvek z týchto čísel je spoločným menovateľom zlomkov 1/4 a 5/6.

Na konsolidáciu materiálu zvážte riešenie nasledujúceho príkladu.

Dajú sa zlomky 2/3, 23/6 a 7/12 zredukovať na spoločného menovateľa 150?

Aby sme odpovedali na položenú otázku, musíme zistiť, či číslo 150 je spoločným násobkom menovateľov 3, 6 a 12. Aby sme to urobili, skontrolujeme, či je 150 deliteľné každým z týchto čísel (v prípade potreby pozri pravidlá a príklady delenia prirodzených čísel, ako aj pravidlá a príklady delenia prirodzených čísel so zvyškom: 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (zost.

Čiže 150 nie je rovnomerne deliteľné 12, preto 150 nie je spoločným násobkom 3, 6 a 12. Preto číslo 150 nemôže byť spoločným menovateľom pôvodných zlomkov.

Začiatok stránky

Najnižší spoločný menovateľ, ako ho nájsť?

V množine čísel, ktoré sú spoločnými menovateľmi daných zlomkov, je najmenšie prirodzené číslo, ktoré sa nazýva najmenší spoločný menovateľ.

Sformulujme definíciu najmenšieho spoločného menovateľa týchto zlomkov.

Zostáva sa zaoberať otázkou, ako nájsť najmenšieho spoločného deliteľa.

Keďže najmenší spoločný násobok je najmenší kladný spoločný deliteľ danej množiny čísel, LCM menovateľov daných zlomkov je najmenší spoločný menovateľ daných zlomkov.

Nájdenie najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov teda vedie k nájdeniu LCM menovateľov týchto zlomkov.

Pozrime sa na riešenie príkladu.

Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov 3/10 a 277/28.

Menovateľmi týchto zlomkov sú 10 a 28. Požadovaný najmenší spoločný menovateľ sa nachádza ako LCM čísel 10 a 28. V našom prípade je ľahké nájsť LCM rozdelením čísel na prvočiniteľa: keďže 10 = 2 5 a 28 = 227, potom LCM(15,28)=2,2,5,7=140.

Začiatok stránky

Ako zredukovať zlomky na spoločného menovateľa? Pravidlo, príklady, riešenia

Výsledkom spoločných zlomkov je zvyčajne najmenší spoločný menovateľ.

Teraz si zapíšeme pravidlo, ktoré vysvetľuje, ako zmenšiť zlomky na ich najnižšieho spoločného menovateľa.

Pravidlo pre redukciu zlomkov na najmenší spoločný menovateľ pozostáva z troch krokov:

Najprv nájdite najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov.
Po druhé, pre každý zlomok sa vypočíta dodatočný faktor vydelením najnižšieho spoločného menovateľa menovateľom každého zlomku.
Po tretie, čitateľ a menovateľ každého zlomku sa vynásobí jeho dodatočným faktorom.

Aplikujme uvedené pravidlo na vyriešenie nasledujúceho príkladu.

Zlomky 5/14 a 7/18 zredukujte na ich najmenšieho spoločného menovateľa.

Vykonajte všetky kroky algoritmu na redukciu zlomkov na najmenší spoločný menovateľ.

Najprv nájdeme najmenší spoločný menovateľ, ktorý sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 14 a 18. Pretože 14=2·7 a 18=2·3·3, potom LCM(14, 18)=2·3 ·3·7=126.

Teraz vypočítame dodatočné faktory, pomocou ktorých sa zlomky 5/14 a 7/18 zredukujú na menovateľ 126. Pre zlomok 5/14 je dodatočný faktor 126:14=9 a pre zlomok 7/ 18 je dodatočný faktor 126:18=7.

Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov 5/14 a 7/18 ďalšími faktormi 9 a 7.

Máme A .

Takže redukcia zlomkov 5/14 a 7/18 na najnižšieho spoločného menovateľa je dokončená.

Výsledné frakcie boli 45/126 a 49/126.

Začiatok stránky

Zníženie troch alebo viacerých zlomkov na najnižšieho spoločného menovateľa

Pravidlo z predchádzajúceho odseku umožňuje zredukovať nielen dva zlomky, ale aj tri zlomky a viac z nich na najnižšieho spoločného menovateľa.

Pozrime sa na príklad riešenia.

Znížte štyri spoločné zlomky 3/2, 5/6, 3/8 a 17/18 na ich najnižšieho spoločného menovateľa.

Najmenší spoločný menovateľ týchto zlomkov sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 2, 6, 8 a 18. Na nájdenie LCM(2, 6, 8, 18) použijeme informácie z časti Hľadanie LCM troch alebo viac čísel.

Získame LCM(2,6)=6, LCM(6,8)=24, nakoniec LCM(24,18)=72, teda LCM(2,6,8,18)=72. Takže najmenší spoločný menovateľ je 72.

Teraz vypočítame ďalšie faktory. Pre zlomok 3/2 je dodatočný faktor 72:2=36, pre zlomok 5/6 je 72:6=12, pre zlomok 3/8 je dodatočný faktor 72:8=9 a pre zlomok 17/18 je to 72:18=4.

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Zostáva posledný krok pri redukcii pôvodných zlomkov na najmenší spoločný menovateľ: .

Začiatok stránky

Spoločný menovateľ je akýkoľvek kladný spoločný násobok všetkých menovateľov týchto zlomkov.

Najnižší spoločný menovateľ je najmenší počet všetkých spoločných menovateľov týchto zlomkov.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika: učebnica pre 5. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
Vilenkin N.Ya. a iné.Matematika. 6. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie.

Spoločný menovateľ spoločných zlomkov

Ak majú bežné zlomky rovnakých menovateľov, potom tieto zlomky majú spoločného menovateľa. napr.

majú spoločného menovateľa.

Spoločný menovateľ Toto je číslo, ktoré je menovateľom dvoch alebo viacerých pravidelných zlomkov.

Zlomky s rôznymi menovateľmi možno zredukovať na spoločného menovateľa.

Poskytovanie zlomkov so spoločným menovateľom

Poskytovanie zlomkov so spoločným menovateľom Je nahradenie týchto zlomkov rôznymi menovateľmi rovnakými zlomkami rovnakými menovateľmi?

Zlomky možno jednoducho zredukovať na spoločného menovateľa alebo najnižšieho spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ Toto je najmenší spoločný menovateľ týchto zlomkov.

Spoločný menovateľ frakcií na internete

Ak chcete zlomkom priradiť najnižšieho spoločného menovateľa, potrebujete:

Ak je to možné, vykonajte redukciu frakcií.
Nájdite najmenšie spoločné katalógy týchto zlomkov. NOC bude ich najmenším spoločným menovateľom.
Vydeľte LCM menovateľmi týchto zlomkov. Toto opatrenie nájde ďalší faktor pre každú z týchto frakcií. Dodatočný koeficient Je to číslo, ktoré vyžaduje, aby sa členovia zlomku vynásobili, aby sa dostali k spoločnému menovateľovi?
Vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku ďalším faktorom.

Príklad.

1) Nájdite názvy NOC týchto frakcií:

NOC(8,12) = 24

2) Boli zistené ďalšie faktory:

24: 8 = 3 (pre ) a 24: 12 = 2 (pre )

3) Vynásobte členov každej frakcie ďalším faktorom:

Zníženie spoločného menovateľa je možné zapísať v kratšej forme tak, že okrem počítadla každého zlomku (vpravo alebo vľavo hore) uvediete ďalší faktor a nezapíšete medzivýpočty:

Spoločného menovateľa možno ľahšie zmenšiť vynásobením členov prvého zlomku s druhým imanentným podielom a členov druhého zlomku menovateľom prvého.

Príklad. Získajte spoločného menovateľa zlomkov a:

Súčin ich menovateľov možno považovať za spoločného menovateľa zlomkov.

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa sa používa na sčítanie, odčítanie a porovnanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Redukcia na kalkulačku spoločného menovateľa

Táto kalkulačka vám pomôže zredukovať bežné zlomky na najmenší spoločný menovateľ.

Stačí zadať dva zlomky a kliknúť.

5.4.5. Príklady prevodu zlomkov na najmenšieho spoločného menovateľa

Najnižší spoločný menovateľ reťazových zlomkov je najmenší spoločný menovateľ týchto zlomkov. ( pozri časť „Hľadanie najmenšieho spoločného násobku“: 5.3.5. Nájdite najmenší počet násobkov (NOC) daných čísel).

Ak chcete zlomok zmenšiť o najmenší spoločný menovateľ, musíte: 1) nájsť najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov, a to bude najmenší spoločný menovateľ.

2) nájde pre každý zlomok dodatočný koeficient, pre ktorý je distribuovaný nový menovateľ s názvom každého zlomku. 3) vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku ďalším faktorom.

Príklady. Zredukovať nasledujúce zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa.

Nájdeme najmenej spoločného viacciferného menovateľa: LCM (5; 4) = 20, keďže 20 je najmenšie číslo delené 5 a 4.

Pre prvú časť sa použije dodatočný koeficient 4 (20 : 5 = 4). Pre druhú frakciu existuje dodatočný koeficient 5 (20 : 4 = 5). Vynásobte číslo a menovateľ prvého zlomku 4 a počítadlo a menovateľ druhého zlomku 5.

20 ).

Najnižším spoločným menovateľom týchto zlomkov je číslo 8, pretože je deliteľné 4 a vnútorne.

Pre prvý zlomok neexistuje žiadny dodatočný faktor (alebo môžeme povedať, že sa rovná jednej), druhý faktor je dodatočný faktor 2 (8 : 4 = 2). Vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku číslom 2.

Online kalkulačka. Poskytovanie zlomkov so spoločným menovateľom

Tieto zlomky sme zredukovali na najnižšieho spoločného menovateľa ( 8. miesto).

Tieto frakcie nie sú neznesiteľné.

Prvá frakcia bola znížená o 4 a druhá frakcia bola znížená o 2. (Pozrite si príklady zníženia bežných frakcií: Mapa stránok → 5.4.2.

Príklady redukcie bežných zlomkov). Nájde NOC (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Ďalší faktor pre 1. zlomok je 5 (80 : 16 = 5). Ďalší faktor pre druhý zlomok je 4 (80 : 20 = 4).

Čitateľ a menovateľ prvého zlomku vynásobíme číslom 5 a počítadlo a menovateľ druhého zlomku číslom 4. Zlomková informácia bola zadaná najnižšiemu spoločnému menovateľovi ( 80 ).

Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa NOx (5 ; 6 a 15) = NOK (5 ; 6 a 15) = 30. Ďalším faktorom pre prvý zlomok je 6 (30 : 5 = 6), je dodatočný faktor v druhej časti 5 (30 : 6 = 5), je dodatočný faktor pre tretiu frakciu 2 (30 : 15 = 2).

Počet a menovateľ prvého zlomku sa vynásobia 6, počet a menovateľ druhého zlomku 5 a počet a menovateľ tretieho zlomku 2. Čiastkové údaje dostali najmenší spoločný menovateľ 30 ).

Strana 1 z 11

Najnižší spoločný menovateľ.

Aký je najmenší spoločný menovateľ?

Definícia:
Najnižší spoločný menovateľ je najmenšie kladné číslo, ktoré je násobkom menovateľov týchto zlomkov.

Ako znížiť na najnižšieho spoločného menovateľa? Ak chcete odpovedať na túto otázku, zvážte príklad:

Zmenšiť zlomky s rozdielnymi menovateľmi na ich najnižšieho spoločného menovateľa.

Riešenie:
Ak chcete nájsť najnižšieho spoločného menovateľa, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov týchto zlomkov.

Prvý zlomok má menovateľa 20; prepočítajme ho na prvočísla.
20=2⋅5⋅2

Rozložme aj druhého menovateľa zlomku 14 na prvočiniteľa.
14=7⋅2

NOC(14;20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Odpoveď: Najnižší spoločný menovateľ by bol 140.

Ako zmenšiť zlomok na spoločného menovateľa?

Musíte vynásobiť prvý zlomok \(\frac(1)(20)\) číslom 7, aby ste dostali menovateľa 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \krát 7)(20 \krát 7)=\frac(7)(140)\)
A vynásobte druhý zlomok 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \krát 10)(14 \krát 10)=\frac(30)(140)\)

Pravidlá alebo algoritmus na redukciu zlomkov na spoločného menovateľa.

Algoritmus na redukciu zlomkov na najmenší spoločný menovateľ:

Menovateľov zlomkov musíte započítať do prvočísel.
Musíme nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) pre menovateľov týchto zlomkov.
Zlomky zredukujte na spoločného menovateľa, to znamená vynásobte čitateľa aj menovateľa zlomku faktorom.

Spoločný menovateľ niekoľkých zlomkov.

Ako nájsť spoločného menovateľa pre niekoľko zlomkov?

Pozrime sa na príklad:
Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa pre zlomky \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Riešenie:
Rozložme menovateľov 11, 15 a 22 na prvočísla.

Číslo 11 je už samo o sebe jednoduché číslo, takže ho netreba popisovať.
Rozšírme číslo 15=5⋅3
Rozšírme číslo 22=11⋅2

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov 11, 15 a 22.
LCM(11; 15; 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Pre tieto zlomky sme našli najnižšieho spoločného menovateľa. Teraz prinesme tieto zlomky \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) na spoločného menovateľa rovnajúceho sa 330.

\(\začiatok(zarovnanie)
\frac(2)(11)=\frac(2 \krát 30)(11 \krát 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \krát 22)(15 \krát 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \krát 15)(22 \krát 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(zarovnať)\)

Zlomok sa nezmení, ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom iným ako nula.

Prečo potrebujeme zlomky zredukovať na spoločného menovateľa? Tu je len niekoľko dôvodov:

Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Neexistuje žiadny iný spôsob vykonania tejto operácie;
Porovnávanie zlomkov. Niekedy redukcia na spoločného menovateľa značne zjednodušuje túto úlohu;
Riešenie problémov so zlomkami a percentami. Percentá sú v podstate bežné výrazy, ktoré obsahujú zlomky.

Krížové násobenie

Ako ďalšie faktory zvážte menovateľov susedných zlomkov. Dostaneme:

Metóda spoločného deliteľa

Táto technika pomáha výrazne znížiť výpočty, ale bohužiaľ sa používa pomerne zriedka. Metóda je nasledovná:

Predtým, ako pôjdete rovno (t. j. pomocou krížovej metódy), pozrite sa na menovateľov. Možno je jedna z nich (tá, ktorá je väčšia) rozdelená na druhú.
Číslo vyplývajúce z tohto delenia bude dodatočným faktorom pre zlomok s menším menovateľom.
V tomto prípade zlomok s veľkým menovateľom nie je potrebné násobiť vôbec ničím – v tom spočíva úspora. Zároveň sa výrazne zníži pravdepodobnosť chyby.

Úloha. Nájdite význam výrazov:

Všimnite si, že 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Keďže v oboch prípadoch sa jeden menovateľ delí bezo zvyšku druhým, použijeme metódu spoločných faktorov. Máme:

Všimnite si, že druhý zlomok nebol vynásobený vôbec ničím. V skutočnosti sme znížili množstvo výpočtov na polovicu!

Mimochodom, zlomky v tomto príklade som nezobral náhodou. Ak máte záujem, skúste ich spočítať krížovou metódou. Po zmenšení budú odpovede rovnaké, ale bude s tým oveľa viac práce.

Toto je sila metódy spoločných deliteľov, ale opäť ju možno použiť len vtedy, keď je jeden z menovateľov bezo zvyšku deliteľný druhým. Čo sa stáva dosť zriedka.

Najmenej bežná viacnásobná metóda

Keď zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa, v podstate sa snažíme nájsť číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov. Potom privedieme menovateľov oboch zlomkov k tomuto číslu.

Takýchto čísel je veľa a najmenšie z nich sa nemusí nevyhnutne rovnať priamemu súčinu menovateľov pôvodných zlomkov, ako sa predpokladá pri metóde kríženia.

Napríklad pre menovateľov 8 a 12 je číslo 24 celkom vhodné, pretože 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Toto číslo je oveľa menšie ako súčin 8 · 12 = 96.

Najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov, sa nazýva ich najmenší spoločný násobok (LCM).

Zápis: Najmenší spoločný násobok aab je označený LCM(a ; b) . Napríklad LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 uM.

Ak sa vám podarí nájsť takéto číslo, celkové množstvo výpočtov bude minimálne. Pozrite si príklady:

Úloha. Nájdite význam výrazov:

Všimnite si, že 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktory 2 a 3 sú koprime (nemajú žiadne iné spoločné faktory ako 1) a faktor 117 je bežný. Preto LCM(234, 351) = 11723 = 702.

Podobne 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 sú koprimárne a faktor 5 je bežný. Preto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz prinesme zlomky k spoločným menovateľom:

Všimnite si, aké užitočné bolo faktorizovanie pôvodných menovateľov:

Po objavení rovnakých faktorov sme okamžite dospeli k najmenšiemu spoločnému násobku, čo je vo všeobecnosti netriviálny problém;
Z výsledného rozšírenia môžete zistiť, ktoré faktory „chýbajú“ v jednotlivých zlomkoch. Napríklad 234 · 3 = 702, preto pre prvý zlomok je dodatočný faktor 3.

Aby ste pochopili, aký veľký rozdiel spôsobuje metóda najmenej spoločného násobku, skúste vypočítať tieto rovnaké príklady pomocou krížovej metódy. Samozrejme, bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáre budú zbytočné.

Nemyslite si, že v skutočných príkladoch nebudú také zložité zlomky. Stretávajú sa neustále a vyššie uvedené úlohy nie sú limitom!

Jediný problém je, ako nájsť práve toto NOC. Niekedy sa všetko nájde v priebehu niekoľkých sekúnd, doslova „od oka“, ale vo všeobecnosti ide o komplexnú výpočtovú úlohu, ktorá si vyžaduje samostatné zváženie. Toho sa tu nedotkneme.

Menovateľom aritmetického zlomku a / b je číslo b, ktoré vyjadruje veľkosť zlomkov jednotky, z ktorej sa zlomok skladá. Menovateľom algebraického zlomku A / B je algebraický výraz B. Ak chcete vykonávať aritmetické operácie so zlomkami, musia byť zredukované na najmenšieho spoločného menovateľa.

Budete potrebovať

Ak chcete pracovať s algebraickými zlomkami a nájsť najnižšieho spoločného menovateľa, musíte vedieť, ako násobiť polynómy.

Inštrukcie

Uvažujme redukciu dvoch aritmetických zlomkov n/m a s/t na najmenší spoločný menovateľ, kde n, m, s, t sú celé čísla. Je jasné, že tieto dva zlomky možno redukovať na ľubovoľného menovateľa deliteľného m a t. Ale snažia sa viesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi. Rovná sa najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov m a t daných zlomkov. Najmenší násobok (LMK) čísla je najmenší deliteľný všetkými danými číslami súčasne. Tie. v našom prípade musíme nájsť najmenší spoločný násobok čísel m a t. Označené ako LCM (m, t). Potom sa frakcie vynásobia zodpovedajúcimi: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa troch zlomkov: 4/5, 7/8, 11/14. Najprv rozviňme menovateľov 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ďalej vypočítajte LCM (5, 8, 14) vynásobením všetky čísla zahrnuté aspoň v jednom z rozšírení. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Všimnite si, že ak sa faktor vyskytne pri expanzii niekoľkých čísel (faktor 2 pri expanzii menovateľov 8 a 14), potom faktor berieme do vyšší stupeň (v našom prípade 2^3).

Takže je prijatý všeobecný. Rovná sa 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tu dostaneme čísla, ktorými musíme vynásobiť zlomky so zodpovedajúcimi menovateľmi, aby sme ich dostali k najnižšiemu spoločnému menovateľovi. Získame 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Redukcia algebraických zlomkov na najmenší spoločný menovateľ sa vykonáva analogicky s aritmetickými. Pre prehľadnosť sa pozrime na problém pomocou príkladu. Nech sú dané dva zlomky (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) a (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rozložme oboch menovateľov na faktor. Všimnite si, že menovateľ prvého zlomku je dokonalý štvorec: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pre

V tejto lekcii sa pozrieme na redukciu zlomkov na spoločného menovateľa a na riešenie problémov na túto tému. Definujme pojem spoločného menovateľa a dodatočného faktora a zapamätajme si relatívne prvočísla. Definujme koncept najnižšieho spoločného menovateľa (LCD) a vyriešme množstvo problémov na jeho nájdenie.

Téma: Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Lekcia: Redukovanie zlomkov na spoločného menovateľa

Opakovanie. Hlavná vlastnosť zlomku.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia alebo vydelia rovnakým prirodzeným číslom, dostaneme rovnaký zlomok.

Čitateľ a menovateľ zlomku môžeme napríklad deliť 2. Dostaneme zlomok. Táto operácia sa nazýva redukcia frakcií. Inverznú transformáciu môžete vykonať aj vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku číslom 2. V tomto prípade hovoríme, že sme zlomok zredukovali na nového menovateľa. Číslo 2 sa nazýva dodatočný faktor.

Záver. Zlomok možno redukovať na ľubovoľného menovateľa, ktorý je násobkom menovateľa daného zlomku. Aby sa zlomok dostal do nového menovateľa, jeho čitateľ a menovateľ sa vynásobia ďalším faktorom.

1. Zmenšite zlomok na menovateľ 35.

Číslo 35 je násobkom 7, to znamená, že 35 je deliteľné 7 bezo zvyšku. To znamená, že táto transformácia je možná. Poďme nájsť ďalší faktor. Ak to chcete urobiť, vydeľte číslo 35 číslom 7. Získame číslo 5. Vynásobte čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku číslom 5.

2. Zmenšite zlomok na menovateľ 18.

Poďme nájsť ďalší faktor. Ak to chcete urobiť, vydeľte nového menovateľa pôvodným menovateľom. Dostaneme 3. Čitateľa a menovateľa tohto zlomku vynásobíme 3.

3. Zredukujte zlomok na menovateľ 60.

Vydelením 60 15 získate ďalší faktor. Rovná sa 4. Vynásobte čitateľa a menovateľa 4.

4. Zmenšite zlomok na menovateľ 24

V jednoduchých prípadoch sa redukcia na nového menovateľa vykonáva mentálne. Dodatočný faktor je zvykom uvádzať len mierne vpravo a nad pôvodný zlomok.

Zlomok možno zmenšiť na menovateľa 15 a zlomok zmenšiť na menovateľa 15. Zlomky majú tiež spoločného menovateľa 15.

Spoločným menovateľom zlomkov môže byť akýkoľvek spoločný násobok ich menovateľov. Pre jednoduchosť sú zlomky zredukované na ich najmenšieho spoločného menovateľa. Rovná sa najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov daných zlomkov.

Príklad. Znížte na najmenší spoločný menovateľ zlomku a .

Najprv nájdime najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov. Toto číslo je 12. Nájdite ďalší faktor pre prvý a druhý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte 12 4 a 6. Tri je dodatočný faktor pre prvý zlomok a dva pre druhý. Prinesme zlomky do menovateľa 12.

Zlomky sme priviedli na spoločného menovateľa, to znamená, že sme našli rovnaké zlomky, ktoré majú rovnakého menovateľa.

Pravidlo. Ak chcete zlomky zmenšiť na ich najnižšieho spoločného menovateľa, musíte

Najprv nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov, bude to ich najmenší spoločný menovateľ;

Po druhé, vydeľte najnižšieho spoločného menovateľa menovateľmi týchto zlomkov, t. j. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor.

Po tretie, vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku jeho dodatočným faktorom.

a) Redukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ je 12. Dodatočný faktor pre prvý zlomok je 4, pre druhý - 3. Zlomky zredukujeme na menovateľa 24.

b) Zredukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ je 45. Delením 45 číslom 9 číslom 15 dostaneme číslo 5 a číslo 3. Zlomky zredukujeme na menovateľa 45.

c) Redukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Spoločným menovateľom je 24. Ďalšie faktory sú 2 a 3.

Niekedy môže byť ťažké slovne nájsť najmenší spoločný násobok menovateľov daných zlomkov. Potom sa pomocou prvočíselnej faktorizácie nájde spoločný menovateľ a ďalšie faktory.

Zmenšiť zlomky a na spoločného menovateľa.

Rozložme čísla 60 a 168 na prvočísla. Vypíšeme si rozšírenie čísla 60 a doplníme chýbajúce faktory 2 a 7 z druhého rozšírenia. Vynásobme 60 číslom 14 a dostaneme spoločného menovateľa 840. Dodatočný faktor pre prvý zlomok je 14. Dodatočný faktor pre druhý zlomok je 5. Zlomky privedieme na spoločného menovateľa 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a iné.Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy do kurzu matematiky pre 5.-6. ročník. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ai.Matematika: Učebnica-hovorca pre 5-6 ročníkov SŠ. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

Môžete si stiahnuť knihy uvedené v odseku 1.2. tejto lekcie.

Domáca úloha

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a iné.Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz pozri 1.2)

Domáca úloha: č.297, č.298, č.300.

Ďalšie úlohy: č.270, č.290

Väčšina operácií s algebraickými zlomkami, ako je sčítanie a odčítanie, vyžaduje najprv redukciu týchto zlomkov na rovnaké menovateľe. Takéto menovatele sa tiež často označujú ako „spoločný menovateľ“. V tejto téme sa pozrieme na definíciu pojmov „spoločný menovateľ algebraických zlomkov“ a „najmenší spoločný menovateľ algebraických zlomkov (LCD)“, zvážime algoritmus na nájdenie spoločného menovateľa bod po bode a vyriešime niekoľko problémov na tému.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Spoločný menovateľ algebraických zlomkov

Ak hovoríme o obyčajných zlomkoch, tak spoločným menovateľom je číslo, ktoré je deliteľné ktorýmkoľvek menovateľom pôvodných zlomkov. Pre obyčajné zlomky 1 2 A 5 9 číslo 36 môže byť spoločným menovateľom, keďže je deliteľné 2 a 9 bezo zvyšku.

Spoločný menovateľ algebraických zlomkov sa určuje podobným spôsobom, len namiesto čísel sa používajú polynómy, keďže ide o čitateľov a menovateľov algebraického zlomku.

Definícia 1

Spoločný menovateľ algebraického zlomku je polynóm, ktorý je deliteľný menovateľom ľubovoľného zlomku.

Kvôli zvláštnostiam algebraických zlomkov, o ktorých bude reč nižšie, sa budeme často zaoberať spoločnými menovateľmi reprezentovanými ako súčin a nie ako štandardný polynóm.

Príklad 1

Polynóm zapísaný ako súčin 3 x 2 (x + 1), zodpovedá polynómu štandardného tvaru 3 x 3 + 3 x 2. Tento polynóm môže byť spoločným menovateľom algebraických zlomkov 2 x, - 3 x y x 2 a y + 3 x + 1, pretože je deliteľný X, na x 2 a ďalej x+1. Informácie o deliteľnosti polynómov sú dostupné v príslušnej téme nášho zdroja.

Najmenší spoločný menovateľ (LCD)

Pre dané algebraické zlomky môže byť počet spoločných menovateľov nekonečný.

Príklad 2

Vezmime si ako príklad zlomky 1 2 x a x + 1 x 2 + 3. Ich spoločným menovateľom je 2 x (x 2 + 3), ako aj − 2 x (x 2 + 3), ako aj x (x 2 + 3), ako aj 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), ako aj − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, a tak ďalej.

Pri riešení úloh si prácu môžete uľahčiť používaním spoločného menovateľa, ktorý má z celej množiny menovateľov najjednoduchší tvar. Tento menovateľ sa často označuje ako najmenší spoločný menovateľ.

Definícia 2

Najmenší spoločný menovateľ algebraických zlomkov je spoločný menovateľ algebraických zlomkov, ktorý má najjednoduchší tvar.

Mimochodom, pojem „najnižší spoločný menovateľ“ nie je všeobecne akceptovaný, preto je lepšie obmedziť sa na pojem „spoločný menovateľ“. A preto.

Predtým sme zamerali vašu pozornosť na frázu „menovateľ najjednoduchšieho druhu“. Hlavný význam tejto frázy je nasledujúci: menovateľ najjednoduchšieho tvaru musí bezo zvyšku deliť akýkoľvek iný spoločný menovateľ údajov v podmienke problému algebraických zlomkov. V tomto prípade v súčine, ktorý je spoločným menovateľom zlomkov, možno použiť rôzne číselné koeficienty.

Príklad 3

Zoberme si zlomky 1 2 · x a x + 1 x 2 + 3 . Už sme zistili, že najjednoduchšie sa nám bude pracovať so spoločným menovateľom v tvare 2 · x · (x 2 + 3). Spoločným menovateľom týchto dvoch zlomkov môže byť x (x 2 + 3), ktorá neobsahuje číselný koeficient. Otázkou je, ktorý z týchto dvoch spoločných menovateľov sa považuje za najmenej spoločného menovateľa zlomkov. Neexistuje jednoznačná odpoveď, preto je správnejšie jednoducho hovoriť o spoločnom menovateľovi a pracovať s možnosťou, s ktorou bude najpohodlnejšie pracovať. Môžeme teda použiť také spoločné menovatele ako x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) alebo − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, ktoré majú zložitejší vzhľad, ale vykonávanie akcií s nimi môže byť náročnejšie.

Nájdenie spoločného menovateľa algebraických zlomkov: algoritmus akcií

Predpokladajme, že máme niekoľko algebraických zlomkov, pre ktoré musíme nájsť spoločného menovateľa. Na vyriešenie tohto problému môžeme použiť nasledujúci algoritmus akcií. Najprv musíme rozdeliť menovateľov pôvodných zlomkov. Potom vytvoríme dielo, do ktorého postupne zaradíme:

všetky faktory z menovateľa prvého zlomku spolu s mocninami;
všetky faktory prítomné v menovateli druhého zlomku, ktoré však nie sú v písomnom súčine alebo ich stupeň je nedostatočný;
všetky chýbajúce faktory z menovateľa tretieho zlomku atď.

Výsledný produkt bude spoločným menovateľom algebraických zlomkov.

Ako faktory súčinu môžeme brať všetky menovatele zlomkov uvedené v úlohe. Násobiteľ, ktorý nakoniec dostaneme, však bude mať význam ďaleko od NCD a jeho použitie bude iracionálne.

Príklad 4

Určte spoločného menovateľa zlomkov 1 x 2 y, 5 x + 1 a y - 3 x 5 y.

Riešenie

V tomto prípade nemusíme počítať menovatele pôvodných zlomkov. Preto začneme aplikovať algoritmus skladaním práce.

Z menovateľa prvého zlomku vezmeme násobiteľa x 2 r, od menovateľa druhého zlomku násobiteľ x+1. Dostaneme produkt x 2 y (x + 1).

Menovateľ tretieho zlomku nám môže dať násobiteľ x 5 r, avšak produkt, ktorý sme zostavili skôr, už má faktory x 2 A r. Preto pridávame ďalšie x 5 − 2 = x 3. Dostaneme produkt x 2 y (x + 1) x 3, ktorý je možné zredukovať do podoby x 5 r (x + 1). Toto bude naša NOZ algebraických zlomkov.

odpoveď: x 5 · y · (x + 1) .

Teraz sa pozrime na príklady problémov, kde menovateľ algebraických zlomkov obsahuje celočíselné číselné faktory. V takýchto prípadoch sa tiež riadime algoritmom, ktorý predtým rozložil celočíselné numerické faktory na jednoduché faktory.

Príklad 5

Nájdite spoločného menovateľa zlomkov 1 12 x a 1 90 x 2.

Riešenie

Rozdelením čísel v menovateľoch zlomkov na prvočísla dostaneme 1 2 2 · 3 · x a 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Teraz môžeme prejsť k zostaveniu spoločného menovateľa. Aby sme to dosiahli, z menovateľa prvého zlomku berieme súčin 2 2 3 x a pridajte k tomu faktory 3, 5 a X od menovateľa druhého zlomku. Dostaneme 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Toto je náš spoločný menovateľ.

odpoveď: 180 x 2.

Ak sa pozorne pozriete na výsledky dvoch analyzovaných príkladov, všimnete si, že spoločné menovatele zlomkov obsahujú všetky faktory prítomné v expanziách menovateľov, a ak je určitý faktor prítomný vo viacerých menovateľoch, potom sa berie s najväčším dostupným exponentom. A ak majú menovatelia celočíselné koeficienty, potom spoločný menovateľ obsahuje číselný faktor rovný najmenšiemu spoločnému násobku týchto číselných koeficientov.

Príklad 6

Menovatelia oboch algebraických zlomkov 1 12 x a 1 90 x 2 majú koeficient X. V druhom prípade sa faktor x rovná druhej mocnine. Pre vytvorenie spoločného menovateľa musíme tento faktor brať v najväčšej miere, t.j. x 2. Neexistujú žiadne ďalšie multiplikátory s premennými. Celočíselné číselné koeficienty pôvodných zlomkov 12 A 90 a ich najmenší spoločný násobok je 180 . Ukazuje sa, že požadovaný spoločný menovateľ má tvar 180 x 2.

Teraz môžeme napísať ďalší algoritmus na nájdenie spoločného faktora algebraických zlomkov. Za to my:

faktor menovateľov všetkých zlomkov;
skladáme súčin všetkých písmenových faktorov (ak je súčiniteľ vo viacerých rozšíreniach, berieme možnosť s najväčším exponentom);
k výslednému produktu pripočítame LCM číselných koeficientov expanzií.

Uvedené algoritmy sú ekvivalentné, takže na riešenie problémov je možné použiť ktorýkoľvek z nich. Je dôležité venovať pozornosť detailom.

Existujú prípady, keď spoločné faktory v menovateľoch zlomkov môžu byť za číselnými koeficientmi neviditeľné. Tu je vhodné najskôr dať číselné koeficienty pri vyšších mocninách premenných zo zátvoriek v každom z faktorov prítomných v menovateli.

Príklad 7

Aký spoločný menovateľ majú zlomky 3 5 - x a 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Riešenie

V prvom prípade treba zo zátvoriek vyňať mínus jedna. Dostaneme 3-x-5. Čitateľ a menovateľ vynásobíme - 1, aby sme sa zbavili mínusu v menovateli: - 3 x - 5.

V druhom prípade dáme dve zo zátvoriek. To nám umožňuje získať zlomok 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Je zrejmé, že spoločným menovateľom týchto algebraických zlomkov - 3 x - 5 a 5 - x · y 2 2 · x - 5 je 2 (x − 5).

odpoveď:2 (x − 5).

Údaje v podmienkach problému zlomkov môžu mať zlomkové koeficienty. V týchto prípadoch sa musíte najskôr zbaviť zlomkových koeficientov vynásobením čitateľa a menovateľa určitým číslom.

Príklad 8

Zjednodušte algebraické zlomky 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 a - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 a potom určte ich spoločného menovateľa.

Riešenie

Zbavme sa zlomkových koeficientov vynásobením čitateľa a menovateľa v prvom prípade 14, v druhom prípade 3. Dostaneme:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 a - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Po premenách sa ukáže, že spoločným menovateľom je 2 (x 2 + 2).

odpoveď: 2 (x 2 + 2).

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter