Formeln für die Flächen eines Dreiecks, Parallelogramms, Trapezes, Kreises. So berechnen und beschriften Sie die Fläche

Fläche einer geometrischen Figur- ein numerisches Merkmal einer geometrischen Figur, das die Größe dieser Figur angibt (Teil der Oberfläche, die durch die geschlossene Kontur dieser Figur begrenzt wird). Die Größe der Fläche wird durch die Anzahl der darin enthaltenen Quadrateinheiten ausgedrückt.

Dreiecksflächenformeln

1. Formel für die Fläche eines Dreiecks nach Seite und Höhe
   Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus der Länge einer Seite eines Dreiecks und der Länge der zu dieser Seite gezeichneten Höhe
   
2. Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des Umkreises
   
3. Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des eingeschriebenen Kreises
   Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus dem Halbumfang des Dreiecks und dem Radius des eingeschriebenen Kreises.
   
wobei S die Fläche des Dreiecks ist,
- Längen der Seiten des Dreiecks,
- Höhe des Dreiecks,
- der Winkel zwischen den Seiten und,
- Radius des eingeschriebenen Kreises,
R - Radius des umschriebenen Kreises,

Quadratische Flächenformeln

1. Formel für die Fläche eines Quadrats nach Seitenlänge
   Quadratischer Bereich gleich dem Quadrat der Länge seiner Seite.
2. Formel für die Fläche eines Quadrats entlang der Diagonallänge
   Quadratischer Bereich gleich dem halben Quadrat der Länge seiner Diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

wobei S die Fläche des Quadrats ist,
- Länge der Seite des Quadrats,
- Länge der Diagonale des Quadrats.

Rechteckflächenformel

Fläche eines Rechtecks gleich dem Produkt der Längen seiner beiden benachbarten Seiten

wobei S die Fläche des Rechtecks ​​ist,
- Längen der Seiten des Rechtecks.

Formeln für Parallelogrammflächen

1. Formel für die Fläche eines Parallelogramms basierend auf Seitenlänge und -höhe
   Fläche eines Parallelogramms
2. Formel für die Fläche eines Parallelogramms basierend auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen
   Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Längen seiner Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.
   

   a b sin α

wobei S die Fläche des Parallelogramms ist,
- Längen der Seiten des Parallelogramms,
- Länge der Parallelogrammhöhe,
- der Winkel zwischen den Seiten des Parallelogramms.

Formeln für die Fläche einer Raute

1. Formel für die Fläche einer Raute basierend auf Seitenlänge und -höhe
   Fläche einer Raute gleich dem Produkt aus der Länge seiner Seite und der Länge der zu dieser Seite abgesenkten Höhe.
2. Formel für die Fläche einer Raute basierend auf Seitenlänge und Winkel
   Fläche einer Raute ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat der Länge seiner Seite und dem Sinus des Winkels zwischen den Seiten der Raute.
3. Formel für die Fläche einer Raute basierend auf den Längen ihrer Diagonalen
   Fläche einer Raute gleich dem halben Produkt der Längen seiner Diagonalen.
wobei S die Fläche der Raute ist,
- Länge der Seite der Raute,
- Länge der Höhe der Raute,
- der Winkel zwischen den Seiten der Raute,
1, 2 - Längen der Diagonalen.

Trapezflächenformeln

1. Herons Formel für Trapez

   Wobei S die Fläche des Trapezes ist,
   - Längen der Grundflächen des Trapezes,
   - Längen der Seiten des Trapezes,
   

Flächenformel ist notwendig, um die Fläche einer Figur zu bestimmen, bei der es sich um eine reellwertige Funktion handelt, die auf einer bestimmten Klasse von Figuren der euklidischen Ebene definiert ist und 4 Bedingungen erfüllt:

1. Positivität – Fläche darf nicht kleiner als Null sein;
2. Normalisierung – ein Quadrat mit Seiteneinheit hat die Fläche 1;
3. Kongruenz – kongruente Figuren haben die gleiche Fläche;
4. Additivität – die Fläche der Vereinigung zweier Figuren ohne gemeinsame innere Punkte ist gleich der Summe der Flächen dieser Figuren.

Die Flächen geometrischer Figuren sind Zahlenwerte, die ihre Größe im zweidimensionalen Raum charakterisieren. Dieser Wert kann in System- und Nicht-Systemeinheiten gemessen werden. So ist beispielsweise eine nichtsystemische Flächeneinheit ein Hundertstel, ein Hektar. Dies ist der Fall, wenn es sich bei der zu messenden Fläche um ein Grundstück handelt. Die Systemeinheit der Fläche ist das Quadrat der Länge. Im SI-System ist die Einheit der ebenen Fläche der Quadratmeter. Im GHS wird die Flächeneinheit als Quadratzentimeter ausgedrückt.

Geometrie- und Flächenformeln sind untrennbar miteinander verbunden. Dieser Zusammenhang liegt darin, dass die Berechnung der Flächen ebener Figuren gerade auf deren Anwendung beruht. Für viele Figuren werden mehrere Optionen abgeleitet, aus denen ihre quadratischen Abmessungen berechnet werden. Anhand der Daten aus der Problemstellung können wir die einfachste mögliche Lösung ermitteln. Dadurch wird die Berechnung erleichtert und die Wahrscheinlichkeit von Berechnungsfehlern auf ein Minimum reduziert. Betrachten Sie dazu die Hauptbereiche der Figuren in der Geometrie.

Formeln zum Ermitteln der Fläche eines beliebigen Dreiecks werden in verschiedenen Varianten dargestellt:

1) Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich aus der Grundfläche a und der Höhe h. Als Basis gilt die Seite der Figur, auf der die Höhe abgesenkt ist. Dann ist die Fläche des Dreiecks:

2) Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks wird auf die gleiche Weise berechnet, wenn die Hypotenuse als Basis betrachtet wird. Wenn wir das Bein als Basis nehmen, dann ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Produkt der halbierten Beine.

Die Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks enden hier nicht. Ein anderer Ausdruck enthält die Seiten a,b und die Sinusfunktion des Winkels γ zwischen a und b. Den Sinuswert finden Sie in den Tabellen. Sie können es auch mit einem Taschenrechner herausfinden. Dann ist die Fläche des Dreiecks:

Mit dieser Gleichheit können Sie auch sicherstellen, dass die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Längen der Beine bestimmt wird. Weil Winkel γ ist ein rechter Winkel, daher wird die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ohne Multiplikation mit der Sinusfunktion berechnet.

3) Betrachten Sie einen Sonderfall – ein regelmäßiges Dreieck, dessen Seite a durch die Bedingung bekannt ist oder dessen Länge beim Lösen ermittelt werden kann. Über die Figur im Geometrieproblem ist nichts Näheres bekannt. Wie findet man dann den Bereich unter dieser Bedingung? In diesem Fall wird die Formel für die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks angewendet:

Rechteck

Wie finde ich die Fläche eines Rechtecks ​​und verwende die Abmessungen der Seiten, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben? Der Berechnungsausdruck lautet:

Wenn Sie die Längen der Diagonalen verwenden müssen, um die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen, benötigen Sie eine Funktion des Sinus des Winkels, der gebildet wird, wenn sie sich schneiden. Diese Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​lautet:

Quadrat

Die Fläche eines Quadrats wird als zweite Potenz der Seitenlänge bestimmt:

Der Beweis folgt aus der Definition, dass ein Quadrat ein Rechteck ist. Alle Seiten, die ein Quadrat bilden, haben die gleichen Abmessungen. Daher kommt es bei der Berechnung der Fläche eines solchen Rechtecks ​​darauf an, das eine mit dem anderen zu multiplizieren, also mit der zweiten Potenz der Seite. Und die Formel zur Berechnung der Fläche eines Quadrats wird die gewünschte Form annehmen.

Die Fläche eines Quadrats lässt sich auch auf andere Weise ermitteln, beispielsweise wenn man die Diagonale verwendet:

Wie berechnet man die Fläche einer Figur, die durch einen Teil einer durch einen Kreis begrenzten Ebene gebildet wird? Um die Fläche zu berechnen, lauten die Formeln:

Parallelogramm

Für ein Parallelogramm enthält die Formel die linearen Abmessungen der Seite, der Höhe und der mathematischen Operation – Multiplikation. Wenn die Höhe unbekannt ist, wie findet man dann die Fläche des Parallelogramms? Es gibt eine andere Möglichkeit zu berechnen. Es ist ein bestimmter Wert erforderlich, der von der trigonometrischen Funktion des von benachbarten Seiten gebildeten Winkels sowie deren Länge übernommen wird.

Die Formeln für die Fläche eines Parallelogramms lauten:

Rhombus

Wie findet man die Fläche eines Vierecks namens Raute? Die Fläche einer Raute wird durch einfache Mathematik mit Diagonalen bestimmt. Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass sich die Diagonalsegmente in d1 und d2 im rechten Winkel schneiden. Die Sinustabelle zeigt, dass diese Funktion für einen rechten Winkel gleich Eins ist. Daher berechnet sich die Fläche einer Raute wie folgt:

Die Fläche einer Raute lässt sich auch auf andere Weise ermitteln. Dies ist auch nicht schwer zu beweisen, da seine Seiten gleich lang sind. Ersetzen Sie dann ihr Produkt durch einen ähnlichen Ausdruck für ein Parallelogramm. Ein Sonderfall dieser besonderen Figur ist schließlich eine Raute. Dabei ist γ der Innenwinkel der Raute. Die Fläche einer Raute wird wie folgt bestimmt:

Trapez

Wie finde ich die Fläche eines Trapezes durch die Basen (a und b), wenn das Problem deren Längen angibt? Ohne einen bekannten Wert der Höhenlänge h ist es hier nicht möglich, die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen. Weil Dieser Wert enthält den Ausdruck zur Berechnung:

Auf die gleiche Weise lässt sich auch die Quadratgröße eines rechteckigen Trapezes berechnen. Dabei wird berücksichtigt, dass in einem rechteckigen Trapez die Konzepte von Höhe und Seite kombiniert werden. Daher müssen Sie für ein rechteckiges Trapez die Länge der Seitenseite anstelle der Höhe angeben.

Zylinder und Parallelepiped

Betrachten wir, was zur Berechnung der Oberfläche des gesamten Zylinders erforderlich ist. Die Fläche dieser Figur besteht aus einem Paar Kreisen, den sogenannten Basen, und einer Seitenfläche. Die Kreise, die Kreise bilden, haben Radiuslängen gleich r. Für die Fläche eines Zylinders erfolgt folgende Berechnung:

Wie finde ich die Fläche eines Parallelepipeds, das aus drei Flächenpaaren besteht? Seine Maße stimmen mit dem jeweiligen Paar überein. Gegenüberliegende Flächen haben die gleichen Parameter. Ermitteln Sie zunächst S(1), S(2), S(3) – die quadratischen Abmessungen der ungleichen Flächen. Dann ist die Oberfläche des Parallelepipeds:

Ring

Zwei Kreise mit einem gemeinsamen Mittelpunkt bilden einen Ring. Sie begrenzen auch die Fläche des Rings. In diesem Fall berücksichtigen beide Berechnungsformeln die Abmessungen jedes Kreises. Der erste von ihnen, der die Fläche des Rings berechnet, enthält die größeren R- und kleineren r-Radien. Häufiger werden sie als extern und intern bezeichnet. Im zweiten Ausdruck wird die Ringfläche anhand der größeren D- und kleineren d-Durchmesser berechnet. Somit wird die Fläche des Rings basierend auf bekannten Radien wie folgt berechnet:

Die Fläche des Rings wird anhand der Längen der Durchmesser wie folgt bestimmt:

Polygon

Wie finde ich die Fläche eines Polygons, dessen Form nicht regelmäßig ist? Für die Fläche solcher Figuren gibt es keine allgemeine Formel. Aber wenn es auf einer Koordinatenebene dargestellt wird, zum Beispiel könnte es sich um kariertes Papier handeln, wie findet man dann in diesem Fall die Oberfläche? Hier verwenden sie eine Methode, die keine ungefähre Messung der Figur erfordert. Sie tun dies: Wenn sie Punkte finden, die in die Ecke der Zelle fallen oder ganze Koordinaten haben, werden nur diese berücksichtigt. Um dann herauszufinden, wie groß die Fläche ist, verwenden Sie die von Peake bewährte Formel. Es ist notwendig, die Anzahl der Punkte, die sich innerhalb der gestrichelten Linie befinden, mit der Hälfte der darauf liegenden Punkte zu addieren und eins davon zu subtrahieren, d. h. es wird wie folgt berechnet:

wobei B, G die Anzahl der Punkte sind, die sich innerhalb bzw. auf der gesamten gestrichelten Linie befinden.

Das Wissen darüber, wie man die Erde vermessen kann, tauchte bereits in der Antike auf und nahm nach und nach Gestalt in der Wissenschaft der Geometrie an. Dieses Wort wird aus dem Griechischen als „Landvermessung“ übersetzt.

Das Maß für die Ausdehnung eines flachen Abschnitts der Erde in Länge und Breite ist die Fläche. In der Mathematik wird es üblicherweise mit dem lateinischen Buchstaben S (vom englischen „Quadrat“ – „Fläche“, „Quadrat“) oder dem griechischen Buchstaben σ (Sigma) bezeichnet. S bezeichnet die Fläche einer Figur auf einer Ebene oder die Oberfläche eines Körpers, und σ ist in der Physik die Querschnittsfläche eines Drahtes. Dies sind die Hauptsymbole, obwohl es beispielsweise auch andere geben kann. Im Bereich der Materialfestigkeit ist A die Querschnittsfläche des Profils.

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Berechnungsformeln

Wenn Sie die Bereiche einfacher Figuren kennen, können Sie die Parameter komplexerer Figuren finden.. Antike Mathematiker entwickelten Formeln, mit denen sich diese leicht berechnen lassen. Solche Figuren sind Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis.

Um die Fläche einer komplexen ebenen Figur zu ermitteln, wird diese in viele einfache Figuren wie Dreiecke, Trapeze oder Rechtecke zerlegt. Anschließend wird mit mathematischen Methoden eine Formel für die Fläche dieser Figur abgeleitet. Eine ähnliche Methode wird nicht nur in der Geometrie, sondern auch in der mathematischen Analyse verwendet, um die Flächen von durch Kurven begrenzten Figuren zu berechnen.

Dreieck

Beginnen wir mit der einfachsten Figur – einem Dreieck. Sie sind rechteckig, gleichschenklig und gleichseitig. Nehmen Sie ein beliebiges Dreieck ABC mit den Seiten AB=a, BC=b und AC=c (∆ ABC). Um seinen Flächeninhalt zu ermitteln, erinnern wir uns an die aus dem Schulmathematikkurs bekannten Sinus- und Kosinussätze. Wenn wir alle Berechnungen hinter uns lassen, kommen wir zu den folgenden Formeln:

• S=√ – Herons Formel, die jedem bekannt ist, wobei p=(a+b+c)/2 der Halbumfang des Dreiecks ist;
• S=a h/2, wobei h die zur Seite a abgesenkte Höhe ist;
• S=ab (sin γ)/2, wobei γ der Winkel zwischen den Seiten a und b ist;
• S=a b/2, wenn ∆ ABC rechteckig ist (hier sind a und b Beine);
• S=b² (sin (2 β))/2, wenn ∆ ABC gleichschenklig ist (hier ist b eine der „Hüften“, β ist der Winkel zwischen den „Hüften“ des Dreiecks);
• S=a² √¾, wenn ∆ ABC gleichseitig ist (hier ist a eine Seite des Dreiecks).

Viereck

Es gebe ein Viereck ABCD mit AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Um die Fläche S eines beliebigen Vierecks zu ermitteln, müssen Sie es durch die Diagonale in zwei Dreiecke teilen, deren Flächen S1 und S2 im allgemeinen Fall nicht gleich sind.

Berechnen Sie sie dann mithilfe der Formeln und addieren Sie sie, d. h. S=S1+S2. Wenn ein 4-Eck jedoch zu einer bestimmten Klasse gehört, kann seine Fläche mithilfe bisher bekannter Formeln ermittelt werden:

• S=(a+c) h/2=e h, wenn das Viereck ein Trapez ist (hier sind a und c die Basen, e ist die Mittellinie des Trapezes, h ist die auf eine der Basen des Trapezes abgesenkte Höhe);
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, wenn ABCD ein Parallelogramm ist (hier ist φ der Winkel zwischen den Seiten a und b, h ist die zur Seite a fallende Höhe, d1 und d2 sind Diagonalen);
• S=a b=d²/2, wenn ABCD ein Rechteck ist (d ist eine Diagonale);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, wenn ABCD eine Raute ist (a ist die Seite der Raute, φ ist einer ihrer Winkel, P ist der Umfang);
• S=a²=P²/16=d²/2, wenn ABCD ein Quadrat ist.

Polygon

Um die Fläche eines N-Ecks zu ermitteln, zerlegen Mathematiker es in die einfachsten gleichen Figuren – Dreiecke –, ermitteln die Fläche jeder einzelnen davon und addieren sie dann. Wenn das Polygon jedoch zur Klasse der regulären Polygone gehört, verwenden Sie die Formel:

S=a n h/2=a² n/=P²/, wobei n die Anzahl der Eckpunkte (oder Seiten) des Polygons ist, a die Seite des n-Ecks ist, P sein Umfang ist, h das Apothem ist, d. h. a Segment, das von der Mitte des Polygons zu einer seiner Seiten in einem Winkel von 90° gezogen wird.

Kreis

Ein Kreis ist ein perfektes Polygon mit unendlich vielen Seiten. Wir müssen den Grenzwert des Ausdrucks rechts in der Formel für die Fläche eines Polygons berechnen, dessen Seitenzahl n gegen Unendlich geht. In diesem Fall wird der Umfang des Polygons zur Länge eines Kreises mit dem Radius R, der die Grenze unseres Kreises darstellt, und wird gleich P=2 π R. Setzen Sie diesen Ausdruck in die obige Formel ein. Wir bekommen:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Finden wir den Grenzwert dieses Ausdrucks als n→∞. Dazu berücksichtigen wir, dass lim (cos (180°/n)) für n→∞ gleich cos 0°=1 ist (lim ist das Vorzeichen des Grenzwerts) und lim = lim für n→∞ ist gleich 1/π (wir haben das Gradmaß mithilfe der Beziehung π rad=180° in ein Bogenmaß umgewandelt und den ersten bemerkenswerten Grenzwert lim (sin x)/x=1 bei x→∞ angewendet). Wenn wir die erhaltenen Werte in den letzten Ausdruck für S einsetzen, erhalten wir die bekannte Formel:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Einheiten

Es werden systemische und nicht-systemische Maßeinheiten verwendet. Systemeinheiten gehören zum SI (System International). Dabei handelt es sich um einen Quadratmeter (Quadratmeter, m²) und davon abgeleitete Einheiten: mm², cm², km².

In Quadratmillimetern (mm²) messen sie beispielsweise die Querschnittsfläche von Drähten in der Elektrotechnik, in Quadratzentimetern (cm²) – den Querschnitt eines Balkens in der Strukturmechanik in Quadratmetern (m²) – in einer Wohnung oder einem Haus, in Quadratkilometern (km²) – in der Geographie.

Manchmal werden jedoch nicht systemische Maßeinheiten verwendet, wie zum Beispiel: Weave, Ar (a), Hektar (ha) und Acre (ac). Stellen wir die folgenden Beziehungen dar:

• 100 Quadratmeter=1 a=100 m²=0,01 Hektar;
• 1 ha=100 a=100 Acres=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 Acres = 0,405 Hektar.