파생 상품이란 무엇입니까? 대략적인 계산에 미분 적용

파생 상품이란 무엇입니까?

파생 상품 표.

미분은 고등 수학의 주요 개념 중 하나입니다. 이번 강의에서는 이 개념을 소개하겠습니다. 엄격한 수학적 공식과 증명 없이 서로를 알아가자.

이 지인을 통해 다음을 수행할 수 있습니다.

파생 상품을 사용하여 간단한 작업의 본질을 이해합니다.

이러한 간단한 작업을 성공적으로 해결하십시오.

파생상품에 대한 보다 진지한 수업을 준비하세요.

첫째 - 즐거운 놀라움입니다.)

미분의 엄격한 정의는 극한 이론에 기초하고 있으며 문제는 매우 복잡합니다. 이것은 속상하다. 그러나 파생 상품을 실제로 적용하려면 일반적으로 그렇게 광범위하고 깊은 지식이 필요하지 않습니다!

학교와 대학교에서 대부분의 업무를 성공적으로 완료하려면 다음 사항을 아는 것만으로도 충분합니다. 몇 가지 용어만- 과제를 이해하고, 몇 가지 규칙만- 그것을 해결하기 위해. 그게 다야. 이것이 나를 행복하게 만든다.

친해지기 시작해볼까요?)

용어 및 명칭.

초등 수학에는 다양한 수학적 연산이 있습니다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 지수, 로그 등 이들 연산에 연산을 하나 더 추가하면 초등수학이 더욱 높아진다. 이 새로운 작업은 분화.이 작업의 정의와 의미는 별도의 강의에서 논의됩니다.

여기서 미분은 단순히 함수에 대한 수학적 연산이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 우리는 어떤 기능이든 취하고 특정 규칙에 따라 이를 변형합니다. 결과는 새로운 기능이 될 것입니다. 이 새로운 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 유도체.

분화- 기능에 대한 조치.

유도체- 이 조치의 결과.

예를 들어, 합집합- 덧셈의 결과. 또는 사적인- 나눗셈의 결과.

용어를 알면 최소한 작업을 이해할 수 있습니다.) 공식은 다음과 같습니다. 함수의 미분을 찾으세요. 파생상품을 취하세요; 기능을 차별화하십시오. 미분 계산등등. 이게 다야 같은.물론 미분(미분)을 찾는 것이 문제를 해결하는 단계 중 하나일 뿐인 더 복잡한 작업도 있습니다.

도함수는 함수의 오른쪽 상단에 대시로 표시됩니다. 이와 같이: 와이"또는 에프"(엑스)또는 성)등등.

독서 igrek 스트로크, x의 ef 스트로크, te의 es 스트로크,뭐, 이해하겠지...)

소수는 특정 함수의 도함수를 나타낼 수도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. (2x+3)", (엑스 3 )" , (신스)"등. 종종 도함수는 미분을 사용하여 표시되지만 이 수업에서는 그러한 표기법을 고려하지 않습니다.

우리가 작업을 이해하는 법을 배웠다고 가정해 봅시다. 남은 것은 이를 푸는 방법을 배우는 것뿐입니다.) 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 도함수를 찾는 것은 특정 규칙에 따라 함수를 변환합니다.놀랍게도 이러한 규칙은 거의 없습니다.

함수의 도함수를 찾으려면 세 가지만 알면 됩니다. 모든 차별화를 이루는 세 가지 기둥. 여기에는 세 가지 기둥이 있습니다.

1. 파생상품 표(미분공식).

3. 복잡한 함수의 파생.

순서대로 시작합시다. 이번 시간에는 파생상품표를 살펴보겠습니다.

파생 상품 표.

세상에는 셀 수 없이 많은 기능이 있습니다. 이 세트 중에는 실제 사용에 가장 중요한 기능이 있습니다. 이러한 기능은 모든 자연법칙에서 발견됩니다. 벽돌과 마찬가지로 이러한 기능을 사용하여 다른 모든 기능을 구성할 수 있습니다. 이 함수 클래스를 호출합니다. 기본 기능.선형, 2차, 쌍곡선 등 학교에서 공부하는 함수입니다.

"처음부터" 기능 차별화, 즉 미분의 정의와 극한 이론에 따르면 이는 다소 노동 집약적인 작업입니다. 그리고 수학자 역시 사람입니다. 그렇습니다. 그렇습니다!) 그래서 그들은 자신들(그리고 우리)의 삶을 단순화했습니다. 그들은 우리보다 먼저 기본 함수의 미분을 계산했습니다. 결과는 모든 것이 준비된 파생 상품 테이블입니다.)

가장 인기 있는 기능을 위한 플레이트입니다. 왼쪽에는 기본 함수가 있고 오른쪽에는 파생 함수가 있습니다.

	기능 와이	함수 y의 파생 와이"
1	C(상수값)	C" = 0
2	엑스	x" = 1
3	xn (n - 임의의 숫자)	(xn)" = nxn-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	죄 x	(sin x)" = cosx
	왜냐하면 x	(cos x)" = - 죄 x
	tg x
	CTG X
5	아크신 x
	아르코스엑스
	아크탄엑스
	arcctg x
4	ㅏ엑스
	이자형엑스
5	통나무 ㅏ엑스
	lnx( a = 전자)

이 파생 상품 표의 세 번째 함수 그룹에 주의를 기울이는 것이 좋습니다. 거듭제곱 함수의 미분은 가장 일반적인 공식은 아니지만 가장 일반적인 공식 중 하나입니다! 힌트를 얻으셨나요?) 네, 파생상품표를 외워두는 것이 좋습니다. 그건 그렇고, 이것은 보이는 것만 큼 어렵지 않습니다. 더 많은 예제를 풀어보세요. 테이블 자체가 기억될 것입니다!)

아시다시피 파생 상품의 테이블 값을 찾는 것은 가장 어려운 작업이 아닙니다. 따라서 이러한 작업에는 추가 칩이 있는 경우가 많습니다. 과제의 문구에서든, 표에는 없는 것 같은 원래의 기능에서든...

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1. 함수 y = x의 미분을 구합니다. 3

테이블에는 해당 기능이 없습니다. 그러나 일반적인 형태의 거듭제곱 함수의 도함수(세 번째 그룹)가 있습니다. 우리의 경우 n=3입니다. 따라서 n 대신 3을 대체하고 결과를 주의 깊게 기록합니다.

(엑스 3) " = 3 x 3-1 = 3배 2

그게 다야.

답변: y" = 3x 2

2. x = 0 점에서 y = sinx 함수의 도함수 값을 찾습니다.

이 작업은 먼저 사인의 도함수를 찾은 다음 값을 대체해야 함을 의미합니다. 엑스 = 0이 동일한 파생 상품으로. 바로 그 순서에요!그렇지 않으면 원래 함수에 즉시 0을 대체하는 일이 발생합니다... 우리는 원래 함수의 값이 아니라 값을 찾도록 요청받습니다. 그 파생물.상기시켜드리자면 미분은 새로운 함수입니다.

태블릿을 사용하여 사인과 해당 도함수를 찾습니다.

y" = (sin x)" = cosx

우리는 미분에 0을 대체합니다.

y"(0) = cos 0 = 1

이것이 답이 될 것입니다.

3. 기능을 차별화합니다.

무엇을 영감을 주나요?) 파생 상품 표에는 그러한 기능이 없습니다.

함수를 미분하는 것은 단순히 이 함수의 도함수를 찾는 것임을 상기시켜 드리겠습니다. 기본 삼각법을 잊어버리면 함수의 미분을 찾는 것이 꽤 번거롭습니다. 테이블이 도움이 안되는데...

하지만 우리의 기능이 다음과 같다면 이중 각도 코사인, 그러면 모든 것이 즉시 좋아질 것입니다!

예 예! 원래 함수를 변환하는 것을 기억하세요 차별화 전꽤 괜찮습니다! 그리고 그것은 인생을 훨씬 더 쉽게 만들어줍니다. 이중 각도 코사인 공식 사용:

저것들. 우리의 까다로운 기능은 단지 y = cosx. 그리고 이것은 테이블 함수입니다. 우리는 즉시 다음을 얻습니다:

답변: y" = - 죄 x.

고급 졸업생 및 학생의 예:

4. 함수의 도함수를 찾습니다.

물론 파생상품 테이블에는 그러한 기능이 없습니다. 하지만 초등 수학, 거듭제곱 연산을 기억한다면... 그러면 이 기능을 단순화하는 것이 가능합니다. 이와 같이:

그리고 x의 1/10제곱은 이미 표 형식의 함수입니다! 세 번째 그룹, n=1/10. 우리는 공식에 따라 직접 작성합니다.

그게 다야. 이것이 답이 될 것입니다.

차별화의 첫 번째 기둥인 파생 상품 표를 통해 모든 것이 명확해지기를 바랍니다. 남은 고래 두 마리를 처리해야합니다. 다음 시간에는 미분의 법칙을 배워보겠습니다.

파생 상품이란 무엇입니까?
미분 함수의 정의와 의미

많은 사람들은 한 변수의 함수 파생과 그 응용에 관한 내 저자의 과정에서 이 기사가 예상치 못한 위치에 있다는 사실에 놀랄 것입니다. 결국, 학교 이후로 그랬듯이 표준 교과서는 우선 도함수의 정의, 기하학적, 기계적 의미를 제공합니다. 다음으로, 학생들은 정의에 따라 함수의 도함수를 찾고, 실제로는 그런 다음에야 다음을 사용하여 미분 기법을 완성합니다. 파생 테이블.

하지만 내 관점에서는 다음 접근 방식이 더 실용적입니다. 우선 잘 이해하는 것이 좋습니다. 함수의 한계, 그리고 특히, 극소량. 사실은 미분의 정의는 극한의 개념에 기초합니다., 이는 학교 과정에서 잘 고려되지 않습니다. 그렇기 때문에 지식 화강암의 젊은 소비자 중 상당 부분이 파생 상품의 본질을 이해하지 못하는 것입니다. 따라서 미분학에 대한 이해가 거의 없거나 현명한 두뇌가 수년에 걸쳐 이 짐을 성공적으로 제거했다면 다음부터 시작하십시오. 기능 제한. 동시에 솔루션을 숙지하고 기억하세요.

동일한 실제적인 의미에서 그것이 먼저 유리하다는 것을 나타냅니다. 파생 상품을 찾는 법을 배우십시오, 포함 복잡한 함수의 파생물. 이론은 이론이지만, 사람들이 말했듯이 항상 차별화를 원합니다. 이와 관련하여 나열된 기본 수업을 진행하는 것이 더 낫습니다. 차별화의 달인그들의 행동의 본질을 깨닫지도 못한 채.

기사를 읽은 후 이 페이지의 자료부터 시작하는 것이 좋습니다. 파생 상품의 가장 간단한 문제, 특히 함수 그래프에 대한 접선 문제가 고려됩니다. 하지만 기다릴 수 있습니다. 사실 미분의 많은 적용에는 이해가 필요하지 않으며 설명이 필요할 때 이론적 교훈이 꽤 늦게 나타난 것은 놀라운 일이 아닙니다. 증가/감소 간격 및 극값 찾기기능. 게다가 그는 꽤 오랫동안 화제를 모았습니다. 함수 및 그래프”, 마침내 더 일찍 넣기로 결정했습니다.

그러므로 친애하는 찻주전자 여러분, 채도가 맛도 없고 불완전할 것이기 때문에 배고픈 동물처럼 파생물의 본질을 흡수하기 위해 서두르지 마십시오.

함수의 증가, 감소, 최대, 최소의 개념

많은 교과서에서 몇 가지 실제 문제를 통해 파생상품의 개념을 소개하고 있는데, 저는 흥미로운 예도 생각해 냈습니다. 우리가 다양한 방법으로 갈 수 있는 도시로 곧 여행을 간다고 상상해 보십시오. 굽은 구불구불한 길은 즉시 버리고 직선 고속도로만 생각해 봅시다. 그러나 직선 방향도 다릅니다. 평평한 고속도로를 따라 도시에 갈 수 있습니다. 또는 언덕이 많은 고속도로를 따라 - 위아래로, 위아래로. 또 다른 길은 오르막길로만 가고, 또 다른 길은 항상 내리막길로 갑니다. 익스트림 매니아는 가파른 절벽과 가파른 오르막이 있는 협곡을 통과하는 경로를 선택합니다.

그러나 선호하는 것이 무엇이든 해당 지역을 알고 있거나 최소한 해당 지역의 지형도를 갖고 있는 것이 좋습니다. 그러한 정보가 누락되면 어떻게 되나요? 결국, 예를 들어 평탄한 길을 선택할 수 있지만 결과적으로 쾌활한 핀란드인이 있는 스키 슬로프를 우연히 발견하게 됩니다. 내비게이터나 위성 이미지가 신뢰할 수 있는 데이터를 제공한다는 것은 사실이 아닙니다. 따라서 경로의 구호를 수학을 이용하여 공식화하면 좋을 것 같습니다.

도로를 살펴보겠습니다(측면도).

혹시라도 기본적인 사실을 상기시켜 드리겠습니다. 여행은 일어납니다. 왼쪽에서 오른쪽으로. 단순화를 위해 다음 함수를 가정합니다. 마디 없는고려중인 지역에서.

이 그래프의 특징은 무엇입니까?

간격을 두고 기능 증가하다, 즉, 각 다음 값 더이전 것. 대략적으로 일정은 잡혀있습니다 아래로 위로(우리는 언덕을 올라간다). 그리고 간격에 따라 기능 감소하다– 각각의 다음 값 더 적은이전이고 우리 일정은 다음과 같습니다 위에서 아래로(우리는 경사면을 내려갑니다).

특별한 점에도 주목합시다. 우리가 도달한 지점에서 최고, 그건 존재한다값이 가장 큰(가장 높은) 경로 섹션입니다. 동시에 달성됩니다. 최저한의, 그리고 존재한다값이 가장 작은(가장 낮은) 이웃입니다.

수업 시간에 좀 더 엄격한 용어와 정의를 살펴보겠습니다. 함수의 극값에 대해, 하지만 지금은 또 다른 중요한 기능인 간격을 두고 연구해 보겠습니다. 기능은 증가하지만 증가합니다. 다른 속도로. 그리고 가장 먼저 눈에 띄는 것은 구간 동안 그래프가 급등한다는 것입니다. 훨씬 더 멋지다, 간격보다. 수학적 도구를 사용하여 도로의 가파른 정도를 측정하는 것이 가능합니까?

기능 변화율

아이디어는 다음과 같습니다: 몇 가지 가치를 취하자 ("델타 x"를 읽어보세요), 우리는 이것을 호출할 것입니다 인수 증가, 경로의 다양한 지점에 대해 "시도"를 시작해 보겠습니다.

1) 가장 왼쪽 지점을 살펴 보겠습니다. 거리를지나 경사면을 높이 (녹색 선)까지 올라갑니다. 수량이라고 합니다 기능 증가, 이 경우 이 증분은 양수입니다(축을 따른 값의 차이가 0보다 큼). 도로의 경사도를 측정하는 비율을 만들어 보겠습니다. 분명히 이것은 매우 구체적인 숫자이며 두 증분 모두 양수이므로 .

주목! 지정은 하나즉, "X"에서 "델타"를 "분리"할 수 없으며 이러한 문자를 별도로 고려할 수 없습니다. 물론 이 주석은 함수 증분 기호와도 관련이 있습니다.

결과 분수의 성격을 좀 더 의미 있게 살펴보겠습니다. 처음에는 20미터 높이(왼쪽 검은 점)에 있다고 가정하겠습니다. 미터 거리(왼쪽 빨간색 선)를 이동하면 고도 60미터에 도달하게 됩니다. 그러면 함수의 증가는 다음과 같습니다. 미터(녹색 선) 및: . 따라서, 미터마다이 도로 구간 키가 커진다 평균 4미터씩...등산 장비를 잊으셨나요? =) 즉, 구성된 관계는 함수의 평균 변화율(이 경우 성장)을 나타냅니다.

메모 : 해당 예시의 수치는 도면의 비율과 대략적으로 일치합니다.

2) 이제 가장 오른쪽 검은 점에서 같은 거리를 이동해 보겠습니다. 여기서는 상승이 더 점진적이므로 증가폭(진홍색 선)이 상대적으로 작으며 이전 사례에 비해 비율도 매우 완만할 것입니다. 상대적으로 말하면, 미터와 기능 성장률이다 . 즉, 여기에 경로의 모든 미터마다 평균반 미터 높이.

3) 산비탈에서의 작은 모험. 세로축에 위치한 위쪽 검은 점을 살펴보겠습니다. 이것이 50미터 표시라고 가정해 봅시다. 우리는 거리를 다시 극복했으며 그 결과 30m 수준에서 더 낮아졌습니다. 움직임이 이루어지기 때문에 위에서 아래로(축의 "카운터" 방향으로), 최종 함수의 증가(높이)는 음수입니다.: 미터(그림의 갈색 부분). 이 경우에 우리는 이미 감소율특징: 즉, 이 구간의 경로 1미터마다 높이가 감소합니다. 평균 2미터씩. 다섯 번째로 옷을 잘 관리하세요.

이제 스스로에게 질문해 봅시다. "측정 표준"의 어떤 값을 사용하는 것이 가장 좋습니까? 완전히 이해할 수 있습니다. 10 미터는 매우 험난합니다. 수십 개의 험목이 쉽게 들어갈 수 있습니다. 언덕이 아무리 많아도 아래에는 깊은 협곡이 있을 수 있으며, 몇 미터만 지나면 더 가파른 상승의 반대쪽이 있습니다. 따라서 10미터를 사용하면 비율을 통한 경로 섹션에 대한 이해하기 쉬운 설명을 얻을 수 없습니다.

위의 논의에서 다음과 같은 결론이 나온다. 값이 낮을수록, 도로 지형을 더 정확하게 설명합니다. 또한 다음 사실은 사실입니다.

– 누구에게나리프팅 포인트 특정 상승 경계 내에 맞는 값(아주 작더라도)을 선택할 수 있습니다. 즉, 해당 높이 증분은 양수로 보장되며 부등식은 이러한 간격의 각 지점에서 함수의 증가를 정확하게 나타냅니다.

- 비슷하게, 어떠한 것도경사점에는 이 경사면에 완전히 맞는 값이 있습니다. 결과적으로 해당 높이의 증가는 분명히 음수이며 부등식은 주어진 간격의 각 지점에서 함수의 감소를 올바르게 표시합니다.

– 특히 흥미로운 경우는 함수의 변화율이 0인 경우입니다. 첫째, 높이 증가가 0인 경우()는 부드러운 경로를 나타냅니다. 둘째, 그림에서 볼 수 있는 다른 흥미로운 상황이 있습니다. 운명이 우리를 독수리가 날아오르는 언덕 꼭대기나 개구리가 울부짖는 계곡 바닥으로 데려왔다고 상상해 보세요. 어떤 방향으로든 작은 발걸음을 내딛으면 높이의 변화는 미미할 것이며, 함수의 변화율은 실제로 0이라고 말할 수 있습니다. 이것이 바로 지점에서 관찰된 그림이다.

따라서 우리는 함수의 변화율을 완벽하게 정확하게 특성화할 수 있는 놀라운 기회를 얻었습니다. 결국 수학적 분석을 통해 인수의 증가를 0으로 지정할 수 있습니다. 극소의.

결과적으로 또 다른 논리적 질문이 발생합니다. 도로와 일정을 찾을 수 있습니까? 다른 기능, 어느 우리에게 알려줄 거에요모든 평탄한 구간, 오르막, 내리막, 봉우리, 계곡, 그리고 길을 따라 각 지점의 성장/감소 속도에 대해 어떻게 생각하시나요?

파생 상품이란 무엇입니까? 파생 상품의 정의.
미분과 미분의 기하학적 의미

너무 빨리 읽지 말고 주의 깊게 읽으십시오. 자료는 간단하고 누구나 접근할 수 있습니다! 어떤 곳에서 내용이 명확하지 않은 경우에도 괜찮습니다. 나중에 언제든지 해당 기사로 돌아갈 수 있습니다. 모든 요점을 철저하게 이해하기 위해 이론을 여러 번 연구하는 것이 유용하다고 더 말씀드리겠습니다. (이 조언은 특히 고등 수학이 교육 과정에서 중요한 역할을 하는 "기술" 학생들과 관련이 있습니다).

당연히 한 지점에서 도함수의 정의에서 우리는 이를 다음과 같이 대체합니다.

우리는 무엇에 이르렀습니까? 그리고 우리는 법에 따른 기능을 위해서는 다음과 같은 결론에 도달했습니다. 에 따라 배치됩니다 다른 기능, 이는 호출됩니다. 미분 함수(또는 단순히 유도체).

파생 상품의 특징 변화율기능 어떻게? 아이디어는 기사의 시작 부분부터 빨간색 실처럼 이어집니다. 몇 가지 점을 생각해 봅시다. 정의 영역기능 함수가 주어진 점에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그 다음에:

1) 이면 점 에서 함수가 증가합니다. 그리고 분명히 있습니다. 간격(아주 작은 것조차도), 함수가 성장하는 지점을 포함하며 그래프는 "아래에서 위로" 이동합니다.

2) 이면 점 에서 함수가 감소합니다. 그리고 함수가 감소하는 지점을 포함하는 간격이 있습니다(그래프는 "위에서 아래로" 이동합니다).

3) 그렇다면 무한히 가까운지점 근처에서 함수는 속도를 일정하게 유지합니다. 이것은 언급한 바와 같이 상수 함수와 함께 발생합니다. 기능의 중요한 지점에서, 특히 최소 및 최대 포인트.

약간의 의미론. 넓은 의미에서 "차별화하다"라는 동사는 무엇을 의미합니까? 차별화한다는 것은 특징을 강조한다는 뜻이다. 함수를 미분함으로써 함수의 도함수 형태로 변화율을 "격리"합니다. 그런데 "파생품"이라는 단어는 무엇을 의미합니까? 기능 일어난기능에서.

용어는 파생어의 기계적 의미로 매우 성공적으로 해석됩니다. :
시간에 따른 신체 좌표의 변화 법칙과 주어진 신체의 이동 속도의 기능을 고려해 보겠습니다. 이 함수는 신체 좌표의 변화율을 특성화하므로 시간에 대한 함수의 1차 도함수입니다. 만약 자연에 '몸의 움직임'이라는 개념이 존재하지 않았다면, 유도체"신체 속도"의 개념.

물체의 가속도는 속도의 변화율이므로 다음과 같습니다. . 만약 '신체 운동'과 '신체 속도'라는 초기 개념이 자연에 존재하지 않았다면 존재하지 않았을 것입니다. 유도체"신체 가속"의 개념.

기사의 내용

유도체– 함수의 파생물 와이 = 에프(엑스), 특정 간격으로 제공됨( ㅏ, 비) 시점에서 엑스이 간격의 함수 증분 비율이 경향이 있는 한계라고 합니다. 에프이 시점에서 인수의 증분이 0이 되는 경향이 있을 때 해당 인수의 증분에 해당합니다.

파생 상품은 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.

다른 명칭도 널리 사용됩니다.

즉각적인 속도.

요점을 보자 중직선으로 움직입니다. 거리 에스이동점, 일부 초기 위치에서 계산 중 0 , 시간에 따라 다름 티, 즉. 에스시간의 기능이 있다 티: 에스= 에프(티). 어느 시점에 보자 티이동점 중멀리 떨어져 있었다 에스시작 위치에서 중 0, 그리고 다음 순간에 티+D 티자신이 어떤 위치에 있는지 발견했습니다. 중 1 - 거리에 에스+D 에스초기 위치에서 ( 사진 참조.).

따라서 일정 기간 동안 D 티거리 에스금액 D만큼 변경됨 에스. 이 경우 그들은 시간 간격 D 동안 다음과 같이 말합니다. 티크기 에스수신된 증분 D 에스.

평균 속도는 모든 경우에 지점의 이동 속도를 정확하게 특성화할 수 없습니다. 중어느 시점에 티. 예를 들어, 구간 D의 시작 부분에 있는 몸체 티매우 빠르게 이동하고 마지막에는 매우 느리게 이동하면 평균 속도가 해당 지점 이동의 표시된 특징을 반영할 수 없으며 현재 이동의 실제 속도에 대한 아이디어를 제공할 수 없습니다. 티. 평균 속도를 이용하여 실제 속도를 보다 정확하게 표현하려면 더 짧은 시간이 소요됩니다. 티. 현재 지점의 이동 속도를 가장 완벽하게 특성화합니다. 티평균 속도가 D에 도달하는 한계 티® 0. 이 한계를 현재 속도라고 합니다.

따라서 주어진 순간의 이동 속도를 경로 증분 비율 D의 한계라고합니다. 에스시간 증분 D로 티, 시간 증가가 0이 되는 경향이 있는 경우. 왜냐하면

도함수의 기하학적 의미. 함수 그래프에 접함.

접선의 구성은 미분학의 탄생을 가져온 문제 중 하나입니다. 라이프니츠(Leibniz)가 미적분학에 관해 처음으로 출판한 작품은 다음과 같습니다. 분수나 무리수 모두 장애물이 되지 않는 최대값과 최소값, 탄젠트에 대한 새로운 방법과 이를 위한 특별한 유형의 미적분학.

곡선을 함수의 그래프라 하자 와이 =에프(엑스) 직각 좌표계( 센티미터. 쌀.).

어떤 가치에서는 엑스기능 문제 와이 =에프(엑스). 이러한 값 엑스그리고 와이곡선의 점이 일치합니다. 중 0(엑스, 와이). 인수의 경우 엑스주다 증분 D 엑스, 인수의 새 값 엑스+D 엑스새로운 함수 값에 해당합니다. 와이+디 와이 = 에프(엑스 + 디 엑스). 곡선의 해당 점이 포인트가 됩니다. 중 1(엑스+D 엑스,와이+D 와이). 시컨트를 그리면 중 0중 1이고 j로 표시됨 축의 양의 방향과 횡단면이 이루는 각도 황소, 그림을 보면 즉시 알 수 있다.

지금이라면 D 엑스 0이 되는 경향이 있고 그 다음에는 포인트 중 1은 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다. 중 0 및 각도 제이 D로 변경 엑스. ~에 Dx® 0 각도 j는 특정 한계 a에 가까워지고 점을 통과하는 직선 중 0이고 x축의 양의 방향인 각도 a를 갖는 구성요소가 원하는 접선이 됩니다. 기울기는 다음과 같습니다.

따라서, 에프´( 엑스) = tga

저것들. 파생 가치 에프´( 엑스) 주어진 인수 값에 대해 엑스함수 그래프의 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 같습니다. 에프(엑스) 해당 지점에서 중 0(엑스,와이) 양의 축 방향 황소.

기능의 미분성.

정의. 기능의 경우 와이 = 에프(엑스) 해당 지점에 파생 상품이 있습니다. 엑스 = 엑스 0이면 이 시점에서 함수가 미분 가능합니다.

도함수를 갖는 함수의 연속성. 정리.

기능의 경우 와이 = 에프(엑스)는 어느 시점에서 미분가능하다 엑스 = 엑스 0이면 이 시점에서 연속이다.

따라서 함수는 불연속점에서 도함수를 가질 수 없습니다. 반대의 결론은 올바르지 않습니다. 어느 순간부터 엑스 = 엑스 0 기능 와이 = 에프(엑스)가 연속적이라고 해서 이 시점에서 미분 가능하다는 의미는 아닙니다. 예를 들어, 함수 와이 = |엑스| 모두를 위해 지속적으로 엑스(–Ґ x x = 0에는 도함수가 없습니다. 이 시점에는 그래프에 접선이 없습니다. 오른쪽 접선과 왼쪽 접선이 있지만 일치하지 않습니다.

미분 가능한 함수에 관한 몇 가지 정리. 미분의 근에 관한 정리(Rolle의 정리).기능의 경우 에프(엑스)은 세그먼트에서 연속적입니다. [ㅏ,비]는 이 세그먼트의 모든 내부 지점과 끝에서 미분 가능합니다. 엑스 = ㅏ그리고 엑스 = 비 0으로 간다( 에프(ㅏ) = 에프(비) = 0), 세그먼트 내부 [ ㅏ,비] 점이 하나 이상 있습니다 엑스= 와 함께, ㅏ c b, 여기서 도함수는 에프ў( 엑스)는 0이 됩니다. 즉, 에프ў( 씨) = 0.

유한 증분 정리(라그랑주의 정리).기능의 경우 에프(엑스)는 구간 [ ㅏ, 비]이고 이 세그먼트의 모든 내부 지점에서 미분 가능하며, 그런 다음 세그먼트 내부에서 [ ㅏ, 비] 점이 하나 이상 있습니다 와 함께, ㅏㄷㄷ 그거

에프(비) – 에프(ㅏ) = 에프ў( 씨)(비– ㅏ).

두 함수의 증분 비율에 관한 정리(Cauchy의 정리).만약에 에프(엑스) 그리고 g(엑스) – 세그먼트에서 연속되는 두 가지 기능 [ㅏ, 비] 이 세그먼트의 모든 내부 지점에서 미분 가능하며, gў( 엑스)은 이 세그먼트 내부 어디에서도 사라지지 않으며, 세그먼트 내부에서는 [ ㅏ, 비] 그런 점이 있어요 엑스 = 와 함께, ㅏㄷㄷ 그거

다양한 주문의 파생 상품.

기능을 보자 와이 =에프(엑스) 는 어떤 구간에서 미분 가능합니다 [ ㅏ, 비]. 파생 가치 에프 ў( 엑스) 일반적으로 다음 사항에 따라 달라집니다. 엑스, 즉. 유도체 에프 ў( 엑스)는 또한 다음의 함수이다. 엑스. 이 함수를 미분할 때, 우리는 소위 함수의 2차 도함수를 얻습니다. 에프(엑스), 이는 다음과 같이 표시됩니다. 에프 ўў ( 엑스).

유도체 N-기능의 순서 에프(엑스)는 도함수의 (1차) 도함수라고 합니다. N- 1- th는 기호로 표시됩니다. 와이(N) = (와이(N– 1))ў.

다양한 주문의 차등.

기능 미분 와이 = 에프(엑스), 어디 엑스– 독립변수, 예 다이 = 에프 ў( 엑스)dx, 일부 기능 엑스, 하지만 에서 엑스첫 번째 요소만 의존할 수 있습니다. 에프 ў( 엑스), 두 번째 요소( dx)는 독립변수의 증분입니다. 엑스이 변수의 값에 의존하지 않습니다. 왜냐하면 다이의 기능이 있습니다 엑스, 그러면 우리는 이 함수의 미분을 결정할 수 있습니다. 함수의 미분의 미분을 이 함수의 2차 미분 또는 2차 미분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. 디 2와이:

디(dx) = 디 2와이 = 에프 ўў( 엑스)(dx) 2 .

미분 N- 1차 미분을 미분의 1차 미분이라고 합니다. N- 1- 번째 순서:

d n y = 디(DN–1와이) = 에프(N)(엑스)dx(N).

부분 파생물.

함수가 하나의 인수에 의존하지 않고 여러 인수에 의존하는 경우 x 나는(나 1부터 다양하다 N,나= 1, 2,… N),에프(엑스 1,엑스 2,… xn) 그런 다음 미분 미적분학에서는 하나의 인수만 변경될 때 여러 변수의 함수 변화율을 특성화하는 편미분 개념이 도입됩니다. 예를 들어, x 나는. 에 관한 1차 편도함수 x 나는는 일반 도함수로 정의되며, 다음을 제외한 모든 인수는 다음과 같이 가정됩니다. x 나는, 일정한 값을 유지합니다. 편미분의 경우 표기법이 도입됩니다.

이러한 방식으로 정의된 1차 편도함수(동일 인수의 함수)는 차례로 편도함수도 가질 수 있으며, 이는 2차 편도함수 등입니다. 서로 다른 주장에서 가져온 이러한 파생물을 혼합이라고 합니다. 동일한 차수의 연속 혼합 도함수는 미분 차수에 의존하지 않고 서로 동일합니다.

안나 추가이노바

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언덕이 많은 지역을 통과하는 직선 도로를 상상해 봅시다. 즉, 위아래로 움직이지만 오른쪽이나 왼쪽으로 돌아가지는 않습니다. 축이 도로를 따라 수평으로 그리고 수직으로 향하면 도로 선은 일부 연속 함수의 그래프와 매우 유사합니다.

축은 고도가 0인 특정 수준이며, 생활에서는 해수면을 그대로 사용합니다.

우리는 그러한 길을 따라 앞으로 나아가면서 위아래로 움직이기도 합니다. 인수가 변경되면(가로 축을 따라 이동) 함수 값도 변경됩니다(세로 축을 따라 이동)라고 말할 수도 있습니다. 이제 우리 도로의 "가파름"을 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 이것은 어떤 종류의 가치가 될 수 있습니까? 매우 간단합니다. 특정 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 변경되는지입니다. 실제로 도로의 다양한 구간에서 (x축을 따라) 1km 앞으로 이동하면 해수면(y축을 따라)을 기준으로 서로 다른 미터 수만큼 오르거나 내릴 것입니다.

진행 상황을 표시해 보겠습니다(“델타 x” 읽기).

그리스 문자(델타)는 수학에서 "변화"를 의미하는 접두사로 흔히 사용됩니다. 즉, 이것은 수량의 변화입니다. - 변화입니다. 그럼 뭔데요? 맞습니다, 규모의 변화입니다.

중요: 표현식은 하나의 전체, 하나의 변수입니다. “델타”를 “x” 또는 다른 문자와 분리하지 마십시오! 즉, 예를 들어 .

그래서 우리는 수평적으로 앞으로 나아갔습니다. 도로의 선을 함수 그래프와 비교하면 상승을 어떻게 표시합니까? 틀림없이, . 즉, 앞으로 나아갈수록 우리는 더 높이 올라갑니다.

값은 계산하기 쉽습니다. 처음에 우리가 높은 곳에 있었다면 이동한 후에 우리 자신이 높은 곳에 있다는 것을 알게 되었습니다. 끝점이 시작점보다 낮으면 음수가 됩니다. 이는 오름차순이 아니라 내림차순임을 의미합니다.

"가파름"으로 돌아가 보겠습니다. 이는 한 단위 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 (가파르게) 증가하는지를 나타내는 값입니다.

도로의 어떤 구간에서 1km 앞으로 나아갈 때 도로가 1km 올라간다고 가정해 보겠습니다. 그러면 이 곳의 경사는 같습니다. 그리고 도로가 m 단위로 전진하다가 km 단위로 떨어진다면? 그러면 기울기가 동일해집니다.

이제 언덕 꼭대기를 살펴보겠습니다. 정상 0.5km 전 구간의 시작 부분과 정상 뒤 0.5km 구간의 끝 부분을 비교해 보면 높이가 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우리 논리에 따르면 여기의 기울기는 거의 0과 같으며 이는 분명히 사실이 아닙니다. 킬로미터만 지나면 많은 것이 바뀔 수 있습니다. 경사도를 보다 적절하고 정확하게 평가하려면 더 작은 영역을 고려해야 합니다. 예를 들어, 1미터를 이동할 때 높이의 변화를 측정하면 결과가 훨씬 더 정확해집니다. 그러나 이 정확도조차도 우리에게는 충분하지 않을 수 있습니다. 결국 도로 중앙에 기둥이 있으면 간단히 지나갈 수 있습니다. 그렇다면 우리는 어떤 거리를 선택해야 할까요? 센티미터? 밀리미터? 적을수록 좋습니다!

실제 생활에서는 밀리미터 단위까지 거리를 측정하는 것만으로도 충분합니다. 하지만 수학자들은 언제나 완벽함을 추구합니다. 그래서 컨셉이 탄생한거임 극소의즉, 절대값은 우리가 명명할 수 있는 어떤 숫자보다 작습니다. 예를 들어, 1조분의 1이라고 말합니다. 얼마나 적습니까? 그리고 이 숫자를 -로 나누면 훨씬 작아집니다. 등등. 양이 무한하다고 쓰고 싶다면 다음과 같이 씁니다: (“x는 0이 되는 경향이 있습니다”라고 읽습니다). 이해하는 것이 매우 중요합니다. 이 숫자는 0이 아닙니다!하지만 아주 가깝습니다. 즉, 나누어서 쓸 수 있다는 뜻입니다.

무한소의 반대 개념은 무한히 크다(). 부등식을 연구할 때 이미 이 숫자를 접했을 것입니다. 이 숫자는 당신이 생각할 수 있는 어떤 숫자보다 모듈로 더 큽니다. 가능한 가장 큰 숫자가 생각나면 그 숫자에 2를 곱하면 더 큰 숫자가 나옵니다. 그리고 무한대는 일어나는 일보다 훨씬 더 큽니다. 사실, 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 서로 반대입니다. 즉, at이고 그 반대도 마찬가지입니다.

이제 우리의 길로 돌아가자. 이상적으로 계산된 경사는 경로의 극소 세그먼트에 대해 계산된 경사입니다. 즉,

변위가 무한하면 높이 변화도 극소화됩니다. 그러나 무한소가 0과 같다는 의미는 아니라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 극소수를 서로 나누면, 예를 들어 와 같이 완전히 평범한 숫자를 얻을 수 있습니다. 즉, 하나의 작은 값은 다른 값보다 정확히 몇 배 더 클 수 있습니다.

이게 다 뭐죠? 길, 가파른... 우리는 자동차 랠리를 가는 것이 아니라 수학을 가르치고 있습니다. 그리고 수학에서는 모든 것이 정확히 동일하며 다르게 호출됩니다.

파생상품의 개념

함수의 도함수는 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율입니다.

증분적으로수학에서는 변화라고 부릅니다. 인수()가 축을 따라 이동하면서 변경되는 정도를 이라고 합니다. 인수 증가축을 따라 거리만큼 전진할 때 함수(높이)가 얼마나 변했는지를 말합니다. 기능 증가그리고 지정됩니다.

따라서 함수의 미분은 언제에 대한 비율입니다. 함수와 동일한 문자로 도함수를 표시하고 오른쪽 상단에 소수만 표시합니다. 따라서 다음 표기법을 사용하여 미분 공식을 작성해 보겠습니다.

도로에 비유하듯이 여기서 함수가 증가하면 미분은 양수이고, 감소하면 음수입니다.

도함수가 0이 될 수 있나요? 틀림없이. 예를 들어 평평한 수평 도로를 운전하는 경우 경사도는 0입니다. 그리고 높이는 전혀 변하지 않는 것이 사실입니다. 도함수도 마찬가지입니다. 상수 함수(상수)의 도함수는 0과 같습니다.

그러한 함수의 증가는 어떤 경우에도 0과 같기 때문입니다.

언덕 위의 예를 기억해 봅시다. 끝의 높이가 동일해지는 방식, 즉 세그먼트가 축과 평행하도록 정점의 반대쪽에 세그먼트의 끝을 배열하는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 큰 부분은 측정이 부정확하다는 신호입니다. 세그먼트를 자체 평행하게 올리면 길이가 줄어듭니다.

결국 우리가 꼭대기에 무한히 가까워지면 세그먼트의 길이는 극소화됩니다. 그러나 동시에 축과 평행을 유지했습니다. 즉, 끝 부분의 높이 차이는 0과 같습니다 (경향은 없지만 같음). 그래서 파생어는

이것은 다음과 같이 이해될 수 있습니다. 우리가 맨 꼭대기에 서 있을 때 왼쪽이나 오른쪽으로 조금만 이동해도 높이가 무시할 만큼 변경됩니다.

순전히 대수적인 설명도 있습니다. 정점의 왼쪽에서는 함수가 증가하고 오른쪽에서는 감소합니다. 앞서 알아봤듯이, 함수가 증가하면 도함수는 양수이고, 감소하면 음수입니다. 그러나 점프없이 부드럽게 변합니다 (도로의 경사가 어디에서나 급격하게 변하지 않기 때문입니다). 따라서 음수 값과 양수 값 사이에 있어야 합니다. 정점에서 함수가 증가하지도 감소하지도 않는 곳이 됩니다.

최저점(왼쪽의 함수가 감소하고 오른쪽의 함수가 증가하는 영역)의 경우에도 마찬가지입니다.

증분에 대해 조금 더 자세히 설명합니다.

그래서 우리는 인수를 크기로 변경합니다. 우리는 어떤 가치로부터 변화하는가? 이제 그것(논쟁)은 어떻게 되었는가? 우리는 어느 지점이든 선택할 수 있으며 이제 그 지점에서 춤을 출 것입니다.

좌표가 있는 점을 생각해 보세요. 그 안에 있는 함수의 값은 동일합니다. 그런 다음 동일한 증분을 수행합니다. 좌표를 증가시킵니다. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 지금 함수의 가치는 얼마인가? 인수가 가는 곳에 함수도 있습니다: . 기능 증가는 어떻습니까? 새로운 것은 없습니다. 이는 여전히 함수가 변경된 양입니다.

증분 찾기를 연습하세요.

1. 인수의 증분이 다음과 같은 지점에서 함수의 증분을 구합니다.
2. 한 지점의 기능도 마찬가지입니다.

솔루션:

동일한 인수 증분이 있는 서로 다른 지점에서 함수 증분은 달라집니다. 이는 각 지점의 도함수가 다르다는 것을 의미합니다(우리는 맨 처음에 이에 대해 논의했습니다. 도로의 가파른 정도는 지점마다 다릅니다). 따라서 도함수를 작성할 때 다음과 같은 지점을 표시해야 합니다.

전원 기능.

거듭제곱 함수는 인수가 어느 정도(논리적이죠?)인 함수입니다.

게다가 - 어느 정도까지: .

가장 간단한 경우는 지수가 다음과 같은 경우입니다.

한 지점에서 그 파생물을 찾아봅시다. 파생상품의 정의를 떠올려보겠습니다.

따라서 인수는 에서 로 변경됩니다. 함수의 증가는 무엇입니까?

증분은 이렇습니다. 그러나 어떤 지점에서든 함수는 인수와 동일합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

파생 상품은 다음과 같습니다.

의 미분은 다음과 같습니다:

b) 이제 이차 함수()를 고려하십시오.

이제 그것을 기억해 봅시다. 이는 증가분의 값이 무시될 수 있음을 의미합니다. 왜냐하면 이는 무한소이고 따라서 다른 용어의 배경에 비해 중요하지 않기 때문입니다.

그래서 우리는 또 다른 규칙을 생각해냈습니다.

c) 우리는 논리 시리즈를 계속합니다: .

이 표현식은 다양한 방법으로 단순화될 수 있습니다. 합의 세제곱의 약식 곱셈 공식을 사용하여 첫 번째 괄호를 열거나 세제곱의 차이 공식을 사용하여 전체 표현식을 인수분해합니다. 제안된 방법 중 하나를 사용하여 직접 시도해 보세요.

그래서 나는 다음을 얻었습니다.

그리고 다시 한번 기억해 봅시다. 이는 다음을 포함하는 모든 용어를 무시할 수 있음을 의미합니다.

우리는 다음을 얻습니다: .

d) 큰 권력에 대해서도 비슷한 규칙을 얻을 수 있습니다.

e) 이 규칙은 정수가 아닌 임의의 지수를 갖는 거듭제곱 함수에 대해 일반화될 수 있는 것으로 나타났습니다.

규칙은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. "차수는 계수로 제시된 다음 로 감소됩니다."

우리는 이 규칙을 나중에 (거의 마지막에) 증명할 것입니다. 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 함수의 미분을 찾으세요.

1. (두 가지 방법: 공식을 사용하고 미분 정의를 사용 - 함수의 증분을 계산하여)

삼각 함수.

여기서 우리는 고등 수학에서 얻은 한 가지 사실을 사용할 것입니다.

표현력으로.

교육 기관의 첫 해에 증명을 배우게 됩니다(그리고 거기에 도달하려면 통합 상태 시험에 잘 통과해야 합니다). 이제 그래픽으로 보여드리겠습니다.

함수가 존재하지 않으면 그래프의 점이 잘려지는 것을 볼 수 있습니다. 하지만 값에 가까울수록 기능도 가까워지는 것이 바로 '목표'입니다.

또한 계산기를 사용하여 이 규칙을 확인할 수도 있습니다. 예, 예, 부끄러워하지 말고 계산기를 사용하세요. 아직 통합 상태 시험이 아닙니다.

자, 시도해 봅시다: ;

계산기를 라디안 모드로 전환하는 것을 잊지 마세요!

등. 비율이 작을수록 비율 값이 더 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

a) 기능을 고려하십시오. 평소처럼 증가분을 찾아보겠습니다.

사인의 차이를 곱으로 바꿔보겠습니다. 이를 위해 우리는 공식을 사용합니다 (주제 ""를 기억하십시오): .

이제 파생물은 다음과 같습니다.

교체를 해보자: . 그런 다음 무한소의 경우에도 무한소입니다. 에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 우리는 그 표현을 통해 그것을 기억합니다. 그리고 또한 합(즉, at)에서 극미량의 양을 무시할 수 있다면 어떨까요?

따라서 우리는 다음과 같은 규칙을 얻습니다. 사인의 미분은 코사인과 같습니다:

이는 기본(“표 형식”) 파생 상품입니다. 여기 하나의 목록에 있습니다:

나중에 몇 가지를 더 추가할 예정이지만 가장 자주 사용되기 때문에 이것이 가장 중요합니다.

관행:

1. 한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.
2. 함수의 미분을 찾아보세요.

솔루션:

지수와 자연로그.

수학에는 임의의 값에 대한 도함수가 동시에 함수 자체의 값과 동일한 함수가 있습니다. 지수(exponential)라고 하며 지수함수이다.

이 함수의 기본(상수)은 무한 소수, 즉 무리수(예:)입니다. 이를 "오일러 수"라고 부르므로 문자로 표시됩니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

기억하기 매우 쉽습니다.

글쎄, 멀리 가지 말고 즉시 역함수를 고려해 봅시다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연"이라고 하며 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수 및 자연 로그는 미분 관점에서 볼 때 독특하게 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석하겠습니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

1. 어느 시점에서;
2. 어느 시점에서;
3. 어느 시점에서;
4. 그 시점에.

솔루션:

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 파생물을 찾아보세요.
2. 한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 여러분의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 잊어버렸나요?).

그렇다면 어떤 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 미분은 통합 상태 시험에서는 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어렵다"를 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합 개체입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱을 한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

첫 번째 예에서는 .

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 그에 따라 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으시면 당신은 이 5% 안에 속합니다!

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결론적으로...

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'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 완전히 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.

문제를 찾아 해결해보세요!

이 기사에서 우리는 하나의 변수 함수의 도함수 주제에 대한 모든 추가 이론의 기반이 되는 기본 개념을 제공할 것입니다.

경로 x는 함수 f(x)의 인수이며 0과 다른 작은 숫자입니다.

(“델타 x”라고 읽음)이 호출됩니다. 함수 인수 증가. 그림에서 빨간색 선은 x 값에서 값으로 인수의 변화를 보여줍니다(따라서 인수의 "증분"이라는 이름의 본질).

인수 값에서 함수 값으로 이동할 때 함수가 간격에서 단조롭다면 그에 따라 함수가 변경됩니다. 불리는 차이점은 함수 f(x)의 증가, 이 인수 증분에 해당합니다. 그림에서 함수 증분은 파란색 선으로 표시됩니다.

구체적인 예를 사용하여 이러한 개념을 살펴보겠습니다.

예를 들어 다음 함수를 살펴보겠습니다. . 논쟁의 요점과 증분을 수정합시다. 이 경우 에서 으로 이동할 때 함수의 증분은 다음과 같습니다.

음수 증가는 세그먼트의 기능 감소를 나타냅니다.

그래픽 일러스트레이션

한 점에서 함수의 도함수 결정.

함수 f(x)를 구간 (a; b)에 정의하고 및 이 구간의 점으로 정의합니다. 점에서 함수 f(x)의 미분에서 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다. 지정 .

마지막 한계가 특정 최종 값을 가질 때 우리는 존재에 대해 이야기합니다. 점에서의 유한 도함수. 한계가 무한하다면 그들은 이렇게 말합니다. 도함수는 주어진 점에서 무한하다. 한도가 존재하지 않는 경우 이 시점에서 함수의 도함수는 존재하지 않습니다..

함수 f(x)가 호출됩니다. 시점에서 구별 가능, 유한 파생물이 있을 때.

함수 f(x)가 특정 구간(a; b)의 각 점에서 미분 가능하면 이 함수를 이 구간에서 미분 가능하다고 합니다. 따라서 간격 (a; b)의 모든 점 x는 이 지점에서 함수의 도함수 값과 연관될 수 있습니다. 즉, 우리는 다음과 같은 새로운 함수를 정의할 기회를 갖게 됩니다. 구간 (a; b)에서 함수 f(x)의 도함수.

미분을 찾는 작업을 호출합니다. 분화.

한 점과 구간에서 함수의 도함수 개념의 성격을 구별해 보겠습니다. 한 점에서 함수의 도함수는 숫자이고 구간에서 함수의 도함수는 함수입니다.

그림을 더 명확하게 만들기 위해 예를 들어 살펴보겠습니다. 미분할 때 미분의 정의를 사용합니다. 즉, 극한을 찾는 과정을 진행합니다. 어려움이 있으면 이론 섹션을 참조하는 것이 좋습니다.

예.

정의를 사용하여 해당 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

해결책.

한 점에서 함수의 도함수를 찾고 있으므로 답에는 숫자가 포함되어야 합니다. 인수 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계를 기록하고 삼각법 공식을 사용합시다.