고조파 진동을 나타내는 벡터 다이어그램. a) A - 진동 진폭이라고 하는 진동량의 최대값

강제 진동. 공명.

지금까지 우리는 자연 진동, 즉 외부 영향이 없을 때 발생하는 진동을 고려했습니다. 외부 영향은 시스템을 평형 상태에서 벗어나게 하는 데에만 필요했으며 그 후에는 자체 장치에 맡겨졌습니다. 자연 진동의 미분 방정식에는 시스템에 대한 외부 영향의 흔적이 포함되어 있지 않습니다. 이 영향은 초기 조건에만 반영됩니다.

진동의 확립.

그러나 지속적으로 존재하는 외부 영향으로 인해 발생하는 변동을 처리해야 하는 경우가 매우 많습니다. 특히 중요하고 동시에 연구하기 매우 간단한 것은 외력이 주기적인 경우입니다. 주기적인 외력의 영향으로 발생하는 강제 진동의 일반적인 특징은 외력이 시작된 후 어느 정도 시간이 지나면 시스템이 초기 상태를 완전히 "잊고" 진동이 고정되어 초기 조건에 의존하지 않는다는 것입니다. . 초기 조건은 일반적으로 전이 과정이라고 불리는 진동이 확립되는 기간 동안에만 나타납니다.

정현파 효과.

먼저 정현파 법칙에 따라 변하는 외부 힘의 영향으로 발진기가 강제 진동하는 가장 간단한 사례를 고려해 보겠습니다.

시스템에 대한 이러한 외부 영향은 다양한 방식으로 수행될 수 있습니다. 예를 들어, 그림 3과 같이 긴 막대에 공 형태의 진자와 강성이 낮은 긴 스프링을 가져와 서스펜션 지점 근처의 진자 막대에 부착할 수 있습니다. 178. 수평으로 위치한 스프링의 다른 쪽 끝은 전기 모터로 구동되는 크랭크 메커니즘의 도움으로 법칙 B에 따라 움직여야 합니다. 스프링 B의 왼쪽 끝의 운동 범위가 스프링이 부착된 지점에서 진자 막대의 진동 진폭보다 훨씬 클 경우 스프링에서 진자에 작용하는 추진력은 실제로 사인곡선이 됩니다.

운동 방정식.

유 복원력과 저항력과 함께 구동 외부 힘이 발진기에 작용하여 시간에 따라 정현파로 변하는 이 시스템과 기타 유사한 시스템의 운동 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면 질량과 가속도의 곱입니다. 오른쪽의 첫 번째 항은 평형 위치로부터의 변위에 비례하는 복원력을 나타냅니다. 스프링에 매달린 하중의 경우 이는 탄성력이며, 다른 모든 경우 물리적 특성이 다른 경우 이 힘을 준탄성력이라고 합니다. 두 번째 항은 속도에 비례하는 마찰력입니다(예: 공기 저항력 또는 축의 마찰력). 계를 흔드는 추진력의 진폭과 진동수가 일정하다고 생각하고, 방정식의 양변을 질량으로 나누어 표기법을 도입하면, 추진력이 없으면 방정식의 우변은 사라지고, 예상할 수 있듯이 이는 자연 감쇠 진동의 방정식으로 줄어듭니다. 경험에 따르면 모든 시스템에서 사인파형 외부 힘의 영향으로 진동이 결국 확립되며, 이는 또한 주파수가 있는 사인파 법칙에 따라 발생합니다. 추진력 co와 일정한 진폭 a를 갖지만 추진력에 비해 약간의 위상 변화가 있습니다. 이러한 진동을 정상상태 강제 진동이라고 합니다. 먼저 정상상태 강제진동을 고려하고 단순화를 위해 마찰을 무시하겠습니다. 이 경우 방정식에는 속도를 포함하는 항이 없습니다. 정상 상태 강제 진동에 해당하는 해를 다음 형식으로 찾아보겠습니다. 2차 도함수를 계산하여 방정식에 함께 대입해 보겠습니다. 이 등식은 다음과 같습니다. 언제든지 유효하므로 왼쪽과 오른쪽의 계수는 동일해야 합니다. 이 조건에서 우리는 진동의 진폭을 찾습니다. 구동력의 주파수 c에 대한 진폭 a의 의존성을 연구해 보겠습니다. 이 의존성의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 179. 여기에 값을 대입하면 시간에 따른 힘 상수가 단순히 발진기를 이전 평형 위치에서 새로운 평형 위치로 이동시키는 것을 알 수 있습니다. 변위가 발생하면 위상 관계가 발생합니다. 정상 상태 휠의 구동력에 따라 주파수가 증가합니다. 179. 그래프에 따르면, 구동력과 위상이 일치하여 그 진폭이 처음에는 천천히 지속적으로 증가하고, 점점 더 빠르게 접근할수록 진동의 진폭이 무한정 증가합니다. 자연 진동의 주파수를 초과하는 값의 경우 , 공식은 ( 쌀에 대해 음수 값을 제공합니다. 179). 공식에서 진동이 추진력과 반대 위상으로 발생할 때 힘이 한 방향으로 작용하면 진동자가 반대 방향으로 이동한다는 것이 분명합니다. 구동력의 주파수가 무제한으로 증가하면 진동의 진폭이 0이 되는 경향이 있습니다.

모든 경우에 진동의 진폭을 양수로 간주하는 것이 편리하며 이는 구동 사이에 위상 변이를 도입하여 쉽게 달성할 수 있습니다. 여기서 a는 여전히 공식에 의해 주어지며 위상 변이는 0과 같습니다. 구동력 대 주파수의 그래프가 그림 1에 나와 있습니다. 180.

공명.

구동력의 주파수에 대한 강제 진동 진폭의 의존성은 비단조적입니다. 구동력의 주파수가 발진기의 고유 진동수 co0에 가까워짐에 따라 강제 진동의 진폭이 급격히 증가하는 것을 공진이라고 합니다. 이 공식은 마찰을 무시한 강제 진동의 진폭을 표현합니다. 진동의 진폭이 주파수의 정확한 일치와 함께 무한대로 변하는 것은 이러한 무시 때문입니다. 물론 실제로는 진동의 진폭이 무한대로 갈 수 없기 때문에 공진 근처의 강제 진동을 설명할 때 마찰을 고려하는 것이 기본적으로 필요하다는 의미입니다. 마찰을 고려하면 공진 시 강제 진동의 진폭은 유한한 것으로 나타납니다. 시스템의 마찰이 클수록 마찰은 작아집니다. 공진과는 거리가 먼 공식은 마찰이 너무 강하지 않은 경우에도 마찰이 있는 경우에도 진동의 진폭을 찾는 데 사용할 수 있습니다. 게다가 마찰을 고려하지 않고 구한 이 공식은 마찰이 존재할 때만 물리적인 의미를 갖는다. 사실 정상 상태 강제 진동의 개념은 마찰이 있는 시스템에만 적용 가능합니다.

마찰이 전혀 없다면 진동을 확립하는 과정은 무한정 계속될 것입니다. 실제로 이는 마찰을 고려하지 않고 얻은 강제 진동의 진폭에 대한 표현이 구동력의 작용이 시작된 후 충분히 오랜 시간이 지난 후에만 시스템의 진동을 정확하게 설명할 수 있음을 의미합니다. 여기서 "충분히 긴 시간"이라는 단어는 전환 과정이 이미 끝났음을 의미하며, 그 기간은 시스템의 자연 진동이 감소하는 특징적인 시간과 일치합니다. 낮은 마찰에서 정상 상태 강제 진동은 마찰이 없는 경우와 마찬가지로 co에서 구동력과 위상이 같고 반대 위상에서 발생합니다. 그러나 공진 근처에서는 위상이 급격하게 변하지 않고 지속적으로 주파수가 정확히 일치하면서 변위가 구동력보다 위상이 (1/4주기) 뒤쳐집니다. 이 경우 속도는 구동력에 따라 위상이 변하여 외부 구동력 소스에서 발진기로 에너지를 전달하는 데 가장 유리한 조건을 제공합니다.

발진기의 강제 진동을 설명하는 방정식에서 각 용어에는 어떤 물리적 의미가 있습니까?

정상상태 강제 진동이란 무엇입니까?

마찰을 고려하지 않고 얻은 정상 상태 강제 진동의 진폭에 대한 공식을 어떤 조건에서 사용할 수 있습니까?

공명이란 무엇입니까? 공명 현상의 발현 및 사용에 대해 귀하에게 알려진 예를 제시하십시오.

구동력의 주파수와 발진기의 고유 주파수 사이의 다양한 비율에 대한 구동력과 혼합 사이의 위상 변이를 설명합니다.

강제 진동을 설정하는 과정의 지속 시간을 결정하는 것은 무엇입니까? 대답에 대한 이유를 제시하십시오.

벡터 다이어그램.

마찰이 있을 때 정상 상태 강제 진동을 설명하는 방정식의 해를 구하면 위 설명의 타당성을 확인할 수 있습니다. 정상 상태 진동은 구동력 c의 주파수와 특정 위상 변화에 따라 발생하므로 이러한 진동에 해당하는 방정식의 해를 다음 형식으로 찾아야 하며, 이 경우 속도와 가속도도 다음과 같이 변경됩니다. 고조파 법칙에 따른 시간 정상 상태 강제 진동 및 이동 위상의 진폭 a는 벡터 다이어그램을 사용하여 편리하게 결정됩니다. 조화 법칙에 따라 변하는 임의의 양의 순간 값은 미리 선택된 방향에 대한 벡터의 투영으로 표현될 수 있으며 벡터 자체는 주파수 co를 사용하여 평면에서 균일하게 회전한다는 사실을 활용해 보겠습니다. 그리고 그 일정한 길이는 이 진동량의 진폭 값과 같습니다. 이에 따라 우리는 방정식의 각 항을 각속도로 회전하는 벡터와 연관시키며 그 길이는 이 항의 진폭 값과 같습니다. 여러 벡터의 합에 대한 투영은 이러한 벡터의 투영을 통해 방정식은 왼쪽 항과 연관된 벡터의 합이 오른쪽 항의 양과 연관된 벡터와 동일함을 의미합니다. 이러한 벡터를 구성하기 위해 관계를 고려하여 방정식의 왼쪽에 있는 모든 항의 순간 값을 작성합니다. 공식에서 수량과 관련된 길이 벡터가 각도만큼 앞서 있음이 분명합니다. 수량과 관련된 벡터입니다. 멤버에 매핑된 길이 벡터가 길이 벡터보다 앞에 있습니다. 이 벡터는 반대 방향으로 향합니다.

임의의 순간에 대한 이들 벡터의 상대적 위치가 그림 1에 나와 있습니다. 181. 전체 벡터 시스템은 한 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 각속도 c로 전체적으로 회전합니다. 모든 수량의 순간값은 해당 벡터를 미리 선택된 방향으로 투영하여 얻습니다. 방정식의 우변과 관련된 벡터는 그림 1에 표시된 벡터의 합과 같습니다. 181. 이 추가 내용은 그림 1에 나와 있습니다. 182. 피타고라스 정리를 적용하여 정상 상태 강제 진동의 진폭을 찾는 곳에서 그림의 벡터 다이어그램에서 볼 수 있듯이 구동력과 변위 사이의 위상 변화를 얻습니다. 182는 길이 벡터가 벡터보다 뒤처지기 때문에 음수입니다. 따라서 정상상태 강제진동은 조화법칙에 따라 발생하며 공식에 의해 결정됩니다.

공명 곡선.

설정된 강제 진동의 진폭은 구동력의 진폭에 비례합니다. 구동력의 주파수에 대한 진동 진폭의 의존성을 연구해 보겠습니다. 낮은 감쇠에서 이 의존성은 매우 날카로운 특성을 갖습니다. 그렇다면 co가 자유 진동의 주파수에 경향이 있는 경우 강제 진동의 진폭 a는 무한대에 가까워지는 경향이 있으며 이는 이전에 얻은 결과와 일치합니다. 감쇠가 있는 경우 공진 시 진동의 진폭은 더 이상 무한대로 가지 않지만 동일한 크기의 외부 힘의 영향으로 진동의 진폭을 크게 초과하지만 공진 주파수와는 거리가 먼 주파수를 갖습니다. 감쇠 상수 y의 다양한 값에 대한 공명 곡선이 그림 1에 나와 있습니다. 183.

차단 공진 주파수를 찾으려면 공식의 급진적 표현이 최소값을 갖는 위치를 찾아야 합니다. 이 표현의 미분을 0과 동일시하거나 완전한 제곱으로 보완하면 공진 주파수가 시스템의 자유 진동 주파수보다 작을 때 강제 진동의 최대 진폭이 발생한다고 확신합니다. 작은 y에서는 공진 주파수가 거의 동일합니다. 구동력의 주파수는 무한대 경향이 있으므로, 볼 수 있듯이 진폭 a는 일정한 외부 힘의 작용 하에서 0이 되는 경향이 있습니다. 이는 일정한 힘의 영향을 받아 평형 위치에서 발진기의 정적 변위입니다. 최대 진폭. 식에 주파수를 대입하여 공진 시 강제 진동의 진폭을 구하며, 감쇠 상수가 작을수록 공진 시 진동의 진폭이 커집니다. 공진 근처의 강제 진동을 연구할 때 마찰이 아무리 작더라도 무시할 수 없습니다. 감쇠를 고려할 때만 공진의 진폭은 유한합니다. 이 값을 정적 변위와 비교하는 것은 흥미로울 것입니다. 힘의 영향. 비율을 구성하면 낮은 감쇠에서 얻습니다. 여기에 대입하고 외부 힘이 없는 동일한 시스템에 대해 자체 감쇠 진동의 수명이 있다는 점을 고려하면 다음을 찾습니다. 그러나 감쇠 발진기에 의해 수행되는 진동 수는 다음과 같습니다. 진동의 수명 동안. 따라서 시스템의 공진 특성은 자체 감쇠 진동과 동일한 매개변수로 특징지어집니다. 이 공식을 사용하면 강제 진동 중 외력과 변위 사이의 위상 변이 변화를 분석할 수 있습니다. d의 값이 0에 가까울 때. 이는 저주파에서 발진기 변위가 외부 힘과 동일한 위상으로 발생한다는 것을 의미합니다. 그림에서 크랭크가 천천히 회전할 때. 178 진자는 커넥팅 로드의 오른쪽 끝과 시간에 맞춰 이동하며, 음의 값 측에서 0에 가까워지는 경향이 있으면 위상 변이는 동일하고 발진기는 구동력과 역위상으로 이동합니다. 공명에서는 이로부터 알 수 있듯이 변위가 외력보다 위상이 뒤떨어집니다. 두 번째 공식은 이 경우 외력이 속도에 따라 위상이 변하고 항상 이동 방향으로 작용한다는 것을 보여줍니다. 이것이 정확히 어떻게 되어야 하는지는 직관적인 고려 사항에서 분명합니다.속도 공명. 공식에서 정상 상태 강제 진동 동안 속도 진동의 진폭이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 우리가 얻은 도움으로 외력의 주파수에 대한 속도 진폭의 의존성이 그림 1에 나와 있습니다. 184. 속도에 대한 공명 곡선은 변위에 대한 공명 곡선과 유사하지만 일부 측면에서 다릅니다. 따라서 일정한 힘의 작용 하에서 발진기는 평형 위치에서 정적 변위를 경험하고 전환 프로세스가 끝난 후 속도는 0입니다. 속도 진폭이 사라지는 것은 공식에서 분명합니다. 속도 공진은 외력의 주파수가 자유 진동의 주파수와 정확히 일치할 때 발생합니다.

벡터 다이어그램입니다. 진동 추가.

진동 이론의 여러 문제에 대한 해결책은 진동이 다음 방법을 사용하여 그래픽으로 표현되면 훨씬 더 쉽고 시각적이 됩니다. 벡터 다이어그램.축을 선택해 봅시다 엑스. 출발지점 0 축에 길이의 벡터를 플롯합니다. 이는 처음에 축과 각도를 형성합니다(그림 2.14.1). 이 벡터를 각속도로 회전시키면 벡터 끝이 축에 투영됩니다. 엑스시간이 지남에 따라 법에 따라 변경됩니다.

.

결과적으로, 벡터의 끝을 축에 투영하면 벡터의 길이와 동일한 진폭, 벡터의 회전 각속도와 동일한 원형 주파수 및 초기 위상이 동일한 조화 진동이 수행됩니다. 초기 순간에 벡터가 축과 형성하는 각도입니다. 특정 순간에 축과 벡터가 형성하는 각도는 해당 순간의 진동 위상을 결정합니다.

위에서부터 고조파 진동은 길이가 진동의 진폭과 같고 그 방향이 진동의 위상과 동일한 특정 축과 각도를 형성하는 벡터를 사용하여 표현될 수 있습니다. 이것이 벡터 다이어그램 방법의 핵심입니다.

같은 방향의 진동을 추가합니다.

방향이 평행한 두 개의 조화 진동을 추가하는 것을 고려하십시오.

. (2.14.1)

결과 오프셋 엑스합계가 될 것이며 . 이는 진폭이 있는 진동이 됩니다.

벡터 다이어그램 방법을 사용해 보겠습니다(그림 2.14.2). 그림에서는 - 각각 결과 및 추가 진동의 단계. 벡터와 를 추가하면 무엇을 찾을 수 있는지 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 추가된 진동의 주파수가 다른 경우 결과 진폭은 시간이 지남에 따라 크기가 변경되고 벡터는 가변 속도로 회전합니다. 진동은 고조파가 아니지만 복잡한 진동 과정을 나타냅니다. 결과적인 진동이 고조파가 되려면 추가된 진동의 주파수가 동일해야 합니다.

결과 진동은 동일한 주파수로 발생합니다.

.

건설에서 그것은 분명하다

결과 진동의 진폭에 대한 식(2.14.2)을 분석해 보겠습니다. 만약에 추가된 진동의 위상차는 0입니다.(진동은 위상이 동일함), 진폭은 추가된 진동의 진폭의 합과 같습니다., 즉. 가능한 최대값을 갖는다 . 만약에 위상차는(진동은 역위상에 있음) 결과 진폭은 진폭의 차이와 같습니다, 즉. 가능한 최소값을 가짐 .

상호 수직 진동 추가.

입자가 동일한 주파수로 두 개의 조화 진동을 수행한다고 가정합니다. 하나는 우리가 나타내는 방향을 따릅니다. 엑스, 다른 하나 - 수직 방향 와이. 이 경우 입자는 일반적인 경우 곡선 궤적을 따라 이동하며 그 모양은 진동 위상의 차이에 따라 달라집니다.

한 진동의 초기 위상이 0이 되도록 시간 카운트의 시작을 선택하겠습니다.

. (2.14.3)

입자 궤적 방정식을 얻으려면 (2.14.3)에서 제외해야 합니다. 티. 첫 번째 방정식에서 a. 수단, . 두 번째 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

또는

.

방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 첫 번째 항을 옮기고 결과 방정식을 제곱하고 변환을 수행하면 다음을 얻습니다.

. (2.14.4)

이 방정식은 축을 기준으로 축이 회전하는 타원의 방정식입니다. 엑스그리고 와이어떤 각도에서. 그러나 일부 특별한 경우에는 더 간단한 결과가 얻어집니다.

1. 위상차가 0입니다. 그런 다음 (2.14.4)에서 우리는 다음을 얻습니다.

또는 . (2.14.5)

이것이 직선의 방정식이다(그림 2.14.3). 따라서 입자는 와 동일한 주파수와 진폭으로 이 직선을 따라 진동합니다.

복소진폭법

평면 위의 점 위치는 복소수로 고유하게 지정할 수 있습니다.

점($A$)이 회전하면 이 점의 좌표는 다음 법칙에 따라 변경됩니다.

$z$를 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.

여기서 $Re(z)=x$, 즉 물리량 x는 복소수식(4)의 실수부와 같습니다. 이 경우 복소수식의 모듈러스는 진동 진폭 - $a$와 동일하며 해당 인수는 위상 ($(\omega )_0t+\delta $)과 같습니다. 때로는 $z$의 실수 부분을 취할 때 Re 연산의 부호가 생략되어 기호 표현식이 얻어집니다.

식 (5)를 문자 그대로 받아들여서는 안 된다. 종종 형식적으로 단순화됩니다(5).

여기서 $A=ae^(i \delta)$는 진동의 복소 진폭입니다. 진폭 $A$의 복잡한 특성은 진동의 초기 위상이 0이 아니라는 것을 의미합니다.

(6)과 같은 식의 물리적인 의미를 밝히기 위해 진동주파수($(\omega )_0$)가 실수부와 허수부를 가지고 있다고 가정하고 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그러면 식 (6)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$(\omega )2>0,$이면 식 (8)은 원형 주파수 $\omega1$ 및 감쇠 지수 $(\omega )_2$를 사용하여 감쇠된 조화 진동을 설명합니다. 만약 $(\omega )_2

논평

마치 수량이 실제인 것처럼 복소수에 대해 많은 수학적 연산을 수행할 수 있습니다. 연산 자체가 선형이고 실수인 경우(예: 실수 변수에 대한 덧셈, 곱셈, 미분 등) 연산이 가능하지만 전부는 아닙니다. 복소수 자체는 어떤 물리량과도 일치하지 않는다는 점을 기억해야 합니다.

벡터 다이어그램 방법

점 $A$가 반경 $r$(그림 1)의 원, 회전 속도 $(\omega )_0$를 따라 균일하게 회전한다고 가정합니다.

그림 1.

원에서 점 $A$의 위치는 각도 $\varphi $를 사용하여 지정할 수 있습니다. 이 각도는 다음과 같습니다.

여기서 $\delta =\varphi (t=0)$는 초기 시점의 반경 벡터 $\overrightarrow(r)$의 회전 각도입니다. $M$ 점이 회전하면 $축 X$에 대한 투영이 원의 직경을 따라 이동하여 $M$ $N$ 점 사이에서 조화 진동을 수행합니다. $A$ 점의 가로좌표는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

비슷한 방식으로 모든 크기의 변동을 나타낼 수 있습니다.

원 주위를 균일하게 회전하는 점 $A$의 가로좌표와 함께 진동하는 양의 이미지를 받아들이면 됩니다. 물론 세로좌표를 사용할 수도 있습니다.

참고 1

감쇠 진동을 표현하려면 원이 아니라 초점에 접근하는 로그 나선을 사용해야 합니다. 나선형으로 움직이는 점의 접근 속도가 일정하고 점이 초점을 향해 이동하는 경우 이 점을 X축에 투영하면 감쇠 진동에 대한 공식이 제공됩니다.

노트 2

점 대신 원점을 중심으로 균일하게 회전하는 반경 벡터를 사용할 수 있습니다. 그런 다음 조화 진동을 수행하는 양은 이 벡터를 X축에 투영하는 것으로 표시됩니다. 이 경우 $x$ 수량에 대한 수학 연산은 벡터에 대한 연산으로 대체됩니다.

따라서 두 수량을 합산하는 작업은 다음과 같습니다.

평행사변형 규칙을 사용하여 두 벡터를 합산하여 대체하는 것이 더 편리합니다. 선택된 $축 X$에 대한 투영이 $x_1\ 및\ x_2$ 표현식이 되도록 벡터를 선택해야 합니다. 그런 다음 x축에 대한 투영의 벡터를 합산하는 작업의 결과는 $x_1+\x_2$와 같습니다.

실시예 1

벡터 다이어그램 방법의 사용법을 보여드리겠습니다.

그럼, 복소수를 복소평면의 벡터로 표현해 봅시다. 조화법칙에 따라 변화하는 양은 원점을 중심으로 반시계방향으로 $(\omega )0$의 주파수로 회전하는 벡터로 표현됩니다. 벡터의 길이는 진동의 진폭과 같습니다.

예를 들어 방정식을 풀기 위한 그래픽 방법은 다음과 같습니다.

여기서 $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$는 그림 2를 사용하여 표현된 임피던스입니다. 이 그림은 교류 회로의 전압 벡터 다이어그램을 보여줍니다.

그림 2.

복소수 값에 복소수 단위를 곱한다는 것은 시계 반대 방향으로 $90^0$의 각도로 회전하고 시계 방향으로 같은 각도로 ($-i$)를 곱한다는 것을 의미합니다. 그림 2에서 다음과 같습니다.

여기서 $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ 각도의 변화 $\varphi $는 회로 요소의 임피던스와 주파수. 외부 전압은 인덕턴스 양단의 전압과 일치하는 것부터 커패시터 양단의 전압과 일치하는 것까지 위상이 변할 수 있습니다. 이는 일반적으로 회로 요소의 전압 위상과 외부 전압 위상 간의 관계 형태로 표현됩니다.

인덕턴스 $((U)L=i\omega LI)$ 양단의 전압 위상은 항상 $0$에서 $\pi까지의 각도만큼 외부 전압의 위상보다 앞서 있습니다.

커패시턴스 $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$)의 전압 위상은 항상 $0$와 --$\ \pi .$ 사이의 각도만큼 외부 전압 위상보다 뒤쳐집니다.

이 경우 저항의 위상은 $\frac(\pi )(2)$와 $\frac(\pi )(2)$ 사이의 각도만큼 외부 전압의 위상보다 앞서거나 뒤처질 수 있습니다.

벡터 다이어그램(그림 2)을 통해 다음을 공식화할 수 있습니다.

인덕턴스 양단의 전압 위상은 $\frac(\pi )(2)$만큼 전류 위상보다 앞선다.

커패시턴스 양단의 전압 위상은 현재 위상보다 $\frac(\eth )(2)\ $지연됩니다.

저항 양단의 전압 위상은 전류 위상과 일치합니다.

실시예 2

운동:실수로서 복소수에 제곱을 적용할 수 없음을 보여줍니다.

해결책:

실수 $x$를 제곱해야 한다고 가정해 보겠습니다. 정답: $x^2$. 공식적으로 우리는 복잡한 방법을 적용합니다. 교체해 봅시다:

$x\to x+iy$. 결과 표현식을 제곱하고 다음을 얻습니다.

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

식 (2.1)의 실수 부분은 다음과 같습니다.

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

오류가 발생하는 이유는 제곱 연산이 선형이 아니기 때문입니다.

동일한 몸체가 두 개 이상의 동작에 동시에 참여할 수 있습니다. 간단한 예는 수평에 대해 비스듬히 던져진 공의 움직임입니다. 우리는 공이 두 가지 독립적인 상호 수직 운동, 즉 수평으로 균일한 움직임과 수직으로 균일하게 변하는 움직임에 참여한다고 가정할 수 있습니다. 하나의 동일한 본체(재료 지점)가 두 개(또는 그 이상)의 진동 운동에 참여할 수 있습니다.

아래에 진동 추가진동 시스템이 여러 진동 과정에 동시에 참여하는 경우 결과 진동 법칙의 정의를 이해합니다. 한 방향으로 진동을 추가하는 것과 상호 수직 진동을 추가하는 두 가지 제한 사례가 있습니다.

2.1. 한 방향의 고조파 진동 추가

1. 같은 방향의 두 진동 추가(동방향 진동)

두 방정식을 추가하는 대신 벡터 다이어그램 방법(그림 9)을 사용하여 수행할 수 있습니다.

그림 2.1은 진폭 벡터를 보여줍니다. ㅏ 1(t) 및 ㅏ 2(t) 임의의 순간 t에 진동을 추가합니다. 이때 이러한 진동의 위상은 각각 동일합니다. 그리고 . 진동을 추가하면 정의가 내려집니다. . 벡터 다이어그램에서 추가되는 벡터의 투영 합계가 이러한 벡터의 벡터 합계 투영과 동일하다는 사실을 활용해 보겠습니다.

결과 진동 벡터 다이어그램에서 진폭 벡터 및 위상에 해당합니다.

그림 2.1 - 동일 방향 진동 추가.

벡터 크기 ㅏ(t)는 코사인 정리를 사용하여 찾을 수 있습니다.

결과 진동의 위상은 다음 공식으로 제공됩니다.

.

추가된 진동 Ω 1 및 Ω 2의 주파수가 동일하지 않은 경우 위상 Φ(t)와 진폭은 모두 ㅏ(t) 결과 변동은 시간이 지남에 따라 변경됩니다. 추가 진동이 호출됩니다. 일관되지 않은이 경우.

2. 두 개의 고조파 진동 x 1과 x 2가 호출됩니다. 일관성 있는, 위상차가 시간에 의존하지 않는 경우:

그러나 이 두 진동의 일관성 조건을 충족하려면 주기 주파수가 동일해야 합니다.

동일한 주파수(간섭 진동)를 갖는 동일 방향 진동을 추가하여 얻은 결과 진동의 진폭은 다음과 같습니다.

결과 진동의 초기 단계는 벡터를 투영하면 쉽게 찾을 수 있습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2 좌표축 OX 및 OU(그림 9 참조):

.

그래서, 동일한 주파수를 갖는 두 개의 고조파 동일 방향 진동을 추가하여 얻은 결과 진동도 고조파 진동입니다.

3. 추가된 진동의 초기 위상 차이에 대한 결과 진동의 진폭 의존성을 연구해 보겠습니다.

If , 여기서 n은 음이 아닌 정수입니다.

(n = 0, 1, 2…), 그런 다음 최저한의. 추가 순간에 추가된 진동은 다음과 같습니다. 역위상. 결과 진폭이 0인 경우.

만약에 , 저것 , 즉. 결과 진폭은 다음과 같습니다. 최고. 추가하는 순간 추가된 진동은 다음과 같습니다. 한 단계에서, 즉. 단계에 있었다. 추가된 진동의 진폭이 동일한 경우 , 저것 .

4. 동일하지 않지만 유사한 주파수를 갖는 동일 방향 진동 추가.

추가된 진동의 주파수는 동일하지 않지만 주파수 차이는 Ω1과 Ω2보다 훨씬 작습니다. 추가된 주파수의 근접성에 대한 조건은 관계식으로 작성됩니다.

가까운 주파수를 갖는 공동 지향 진동을 추가하는 예는 스프링 강성이 k 1과 k 2로 약간 다른 수평 스프링 진자의 움직임입니다.

추가된 진동의 진폭을 동일하게 만듭니다. , 초기 단계는 0과 같습니다. 그러면 추가된 진동의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

, .

결과 진동은 다음 방정식으로 설명됩니다.

결과 진동 방정식은 두 가지 고조파 함수의 곱에 따라 달라집니다. 하나는 주파수입니다. , 다른 하나 – 빈도 포함 여기서 Ω는 추가된 진동의 주파수(Ω 1 또는 Ω 2)에 가깝습니다. 결과 진동은 다음과 같이 간주될 수 있습니다. 조화 법칙에 따라 진폭이 변하는 조화 진동.이 진동 과정을 박자. 엄밀히 말하면, 일반적인 경우에 발생하는 진동은 조화 진동이 아닙니다.

진폭이 양수이기 때문에 코사인의 절대값을 사용합니다. 의존성 x res의 성격. 구타 중 그림 2.2에 나와 있습니다.

그림 2.2 - 구타 중 시간에 따른 변위의 의존성.

비트의 진폭은 주파수에 따라 천천히 변합니다. 인수가 π 만큼 변경되면 코사인의 절대값이 반복됩니다. 이는 결과 진폭의 값이 시간 간격 τ b 후에 반복된다는 것을 의미합니다. 비트 기간(그림 12 참조) 비트 기간의 값은 다음 관계식으로 결정할 수 있습니다.

값은 구타 기간입니다.

크기 결과로 발생하는 진동 기간입니다(그림 2.4).

2.2. 상호 수직 진동 추가

1. 상호 수직 진동의 추가를 입증할 수 있는 모델이 그림 2.3에 나와 있습니다. 진자(질량 m의 재료 지점)는 서로 수직으로 향하는 두 개의 탄성력의 작용에 따라 OX 및 OU 축을 따라 진동할 수 있습니다.

그림 2.3

접힌 진동의 형태는 다음과 같습니다.

진동 주파수는 다음과 같이 정의됩니다. 여기서 는 스프링 강성 계수입니다.

2. 두 개를 추가하는 경우를 고려하십시오. 동일한 주파수를 갖는 상호 수직 진동 , 이는 조건(동일한 스프링)에 해당합니다. 그러면 추가된 진동의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

한 점이 동시에 두 가지 움직임에 관여하면 그 궤적이 다르고 매우 복잡할 수 있습니다. 동일한 주파수를 갖는 두 개의 서로 수직인 진동을 추가할 때 OXY 평면에서 결과 진동의 궤적에 대한 방정식은 x 및 y에 대한 원래 방정식에서 시간 t를 제외하여 결정할 수 있습니다.

궤적 유형은 초기 조건에 따라 달라지는 추가 진동의 초기 위상 차이에 의해 결정됩니다(§ 1.1.2 참조). 가능한 옵션을 고려해 봅시다.

그리고 만약에 , 여기서 n = 0, 1, 2…, 즉 추가된 진동이 동위상이면 궤적 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(그림 2.3a).

b) 만일 (n = 0, 1, 2...), 즉 추가된 진동은 역위상이므로 궤적 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

(그림 2.3b).

두 경우 모두 (a, b)에서 점의 결과 이동은 점 O를 통과하는 직선을 따른 진동이 됩니다. 결과 진동의 주파수는 추가된 진동의 주파수 Ω 0과 동일하며 진폭이 결정됩니다. 관계로.

발진기는 진폭, 주파수 및 초기 위상이 서로 다른 두 개의 동일한 방향 진동에 참여할 수 있습니다. 그러한 진동을 추가하는 것을 고려해 보겠습니다.

동일한 주파수의 진동 추가

단순화를 위해 먼저 추가된 진동의 주파수가 동일한 경우를 고려해 보겠습니다. 추가된 고조파 진동의 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 x 1 , x 2- 변동을 설명하는 변수, 에이 1 , 에이 2는 진폭이고 는 초기 단계입니다. 결과적인 스윙

사용하여 쉽게 찾을 수 있음 벡터 다이어그램. 이 방법은 회전과 진동 과정 사이의 유사점을 사용합니다.

조화진동에 대한 일반적인 해법(1.23)을 살펴보겠습니다. 축을 선택해 봅시다 0x. 출발지점 0 길이의 벡터를 그려보자 ㅏ축으로 형성 0x모서리 . 이 벡터를 각속도로 회전시키면 이 벡터 끝의 투영이 축을 따라 이동합니다. 0x~에서 +A~ 전에 -ㅏ, 투영의 크기는 법칙에 따라 변경됩니다.

따라서 벡터의 끝을 축에 투영하는 것입니다. 0x벡터의 길이와 동일한 진폭, 벡터의 회전 각속도와 동일한 원형 주파수, 초기 순간에 벡터와 축이 형성하는 각도와 동일한 초기 위상으로 고조파 진동을 수행합니다. 시간(그림 1.12).

쌀. 1.12. 일반 솔루션의 벡터 다이어그램(1.23)

이제 이 기술을 진동 추가(1.34)에 적용해 보겠습니다. 벡터를 사용하여 두 진동을 모두 표현해 보겠습니다. ㅏ 1 그리고 ㅏ 2 벡터 합계를 구해 보겠습니다(그림 1.13).

쌀. 1.13. 동일한 주파수의 동일한 방향 진동을 추가하기 위한 벡터 다이어그램

벡터 투영 ㅏ 1 축당 0x해당 벡터의 투영 합계와 같습니다.

그래서 벡터는 ㅏ 결과 진동을 나타냅니다. 이 벡터는 동일한 각속도로 회전하므로 결과 모션은 주파수와 조화 진동이 됩니다. , 진폭 ㅏ및 초기 단계 ㅏ.코사인 정리에 따르면:

특히, 추가된 진동의 위상이 같거나 배수만큼 다른 경우(즉, ), 결과 진동의 진폭은 진폭의 합과 같습니다.

추가된 진동이 역위상인 경우(즉, ), 저것

비트

이 섹션에서는 서로 다른 주파수를 갖는 동일한 방향의 고조파 진동을 추가하는 경우를 고려할 것입니다. 실제로, 추가된 진동의 주파수 차이가 거의 없는 경우가 특히 중요합니다. 앞으로 살펴보겠지만, 이러한 진동을 추가한 결과 주기적으로 진폭이 변하는 진동이 얻어집니다. 박자.

단순화를 위해 추가된 진동의 진폭이 동일한 경우를 고려합니다. ㅏ, 두 진동의 초기 단계는 0입니다. 추가된 진동의 주파수는 각각 및 와 같습니다. 그래서,

우리는 다음 표현식을 추가하고 잘 알려진 삼각법 공식을 고려합니다.

그렇다면 두 번째 코사인 인수에서 주파수 편이를 무시할 수 있습니다.

또한 괄호 안의 승수는 에 비해 천천히 변합니다. . 그러므로 결과적인 진동 엑스로 볼 수 있다 변조된주파수에 따른 고조파 진동 승, 법칙(1.40)에 따라 시간에 따라 변하는 유효 진폭(그림 1.14):

엄격한 의미에서 이러한 진동은 조화가 아니라는 점을 강조하고, 정의에 따르면 진동이 법칙에 따라 발생하면 조화라는 점을 다시 한 번 상기하겠습니다. , 세 가지 매개변수 모두 시간에 따라 엄격하게 일정합니다.

쌀. 1.14. 가까운 주파수로 진동을 추가할 때 비트가 발생합니다.

진폭 맥동 주파수(라고 함) 비트 주파수)는 추가된 진동의 주파수 간의 차이와 같습니다. 비트 기간은